初中数学解分式方程
人教版初中数学八年级上册教学课件 第十五章 分式 分式方程(第2课时)
数学
8年级/上
八年级数学·上 新课标 [人]
第十五章 分 式
学习新知
检测反馈
解方程 1 3 . x2 x
学习新知
解:方程两边同乘x(x-2),得x=3(x-2),
解这个一元一次方程,得x=3.
检验:将x=3代入原方程,左边=右边.
所以x=3是原方程的根.
解分式方程的基本思路是:
.
一般步骤是:
等式变形的条件是两边同乘非
零数或整式,而(x-7)可能为零.
产生增根的原因及验根方法:
原分式方程与变形后的整式方程中,未知 数的取值范围不同,我们在方程的两边同乘了一个 可能令分母等于0的整式,因此解分式方程可能产
生不是分式方程的根(即增根).所以解分式方程必
须验根,目的在于检验整式方程的根是不是原分式
.
解分式方程的基本思路是: 方程两边都乘最简公分母,把分式方程
转. 化为整式方程
一般步骤是: 去分母、解整式方程、检验、下结论 .
分式方程无解的原因
解方程
1 x5
10 x2 25
解:方程两边同乘(x+5)(x-5),去分母,得 x+5=10,解这个整式方程得x=5. 将x=5代入原分式方程检验,发现分母 x-5和x 2-25的值都为0,相应的分式无意 义.因此,x=5不是原分式方程的解,所以 原分式方程无解.
时,小魏ห้องสมุดไป่ตู้
的解法如下:
解:方程两边同乘(x-7),得:
x-8+1=8(x-7),
解这个一元一次方程,得x=7.
你认为x=7是原方程的根吗?
x=7不是原方程的根,因为它使方程中 分母为0,分式没有意义.
八上数学分式方程
八上数学分式方程数学作为一门学科，无处不在，贯穿于我们生活的方方面面。
而在数学的学习中，分式方程是一个非常重要且常见的内容。
在八年级的数学课程中，我们将开始接触和学习关于分式方程的知识。
什么是分式方程呢？简单来说，分式方程就是含有分式的方程。
分式是数的比的形式。
而分式方程则是含有未知数的分式的等式。
解分式方程的过程就是找出未知数的值，使得等式成立。
学习八年级的数学分式方程，需要掌握一些基本的知识。
首先要了解分式的概念，明确分子和分母的含义。
然后要学会如何化简分式，将分式化为最简形式。
接着就是学习如何解分式方程，常见的方法有通分、去分母、因式分解等。
在解题过程中，还需要注意约束条件，确保得到的解符合题目的要求。
在学习过程中，要多做练习，熟练掌握各种解题方法。
可以通过做题册、练习册、习题集等方式进行练习，巩固所学知识。
同时，要注意归纳总结，将不同类型的题目进行分类整理，形成自己的解题思路和方法。
除了理论知识外，实际问题的分析和解决也是学习分式方程的重要内容。
在解决实际问题时，要将问题转化为数学语言，建立分式方程，然后通过求解方程得到问题的答案。
这样可以帮助我们将抽象的数学知识与实际生活相结合，提高解决问题的能力。
此外，学习数学分式方程也需要培养逻辑思维和分析问题的能力。
在解题过程中，要善于观察、分析和推理，找出问题的关键点和解题思路。
通过不断练习和思考，提高自己的数学思维能力，培养解决问题的能力。
总的来说，八年级数学分式方程是一个重要且必要的学习内容。
通过学习分式方程，可以帮助我们提高数学能力，培养逻辑思维，解决实际问题。
希望大家在学习数学的过程中，能够认真对待，多加练习，提高自己的数学水平。
愿大家都能在数学的海洋中畅游，享受数学带来的乐趣！。
初中数学教案：分式方程的解法
初中数学教案：分式方程的解法一、引言二、分式方程的基本概念和性质2.1 分式方程的定义2.2 分式方程的性质三、分式方程的解法3.1 直接相乘法解分式方程3.2 通分法解分式方程3.2.1 假设法通分解分式方程3.2.2 等效化简通分解分式方程3.2.2.1 倍增型等效化简通分解分式方程3.2.2.2 凑整型等效化简通分解分式方程...四、常见问题与习题解析五、总结【引言】在初中数学学科中，我们学习了很多不同类型的数学题目。
其中，分式方程是我们必须掌握并熟练运用的一种重要工具。
本文将介绍关于初中数学教案中的一个主题：分式方程的解法。
我们将从定义和性质开始，逐步讲解直接相乘法和通分法这两种重要的求解方法，并通过举例和习题来帮助读者更好地理解和掌握这些知识点。
【二、分式方程的基本概念和性质】2.1 分式方程的定义：分式方程是指方程中含有分数形式的未知数的等式。
例如，$\frac{2}{x}+\frac{3}{2}=4$就是一个分式方程，其中$x$为未知数。
2.2 分式方程的性质：- 分式方程中至少含有一个分子或分母含有未知数的分数项。
- 如果一个数满足方程，则将其代入原方程中仍满足相等关系。
- 两个等效的分式对应的解相同。
【三、分式方程的解法】3.1 直接相乘法解分式方程：直接相乘法是求解简单形式的分式方程时常用的一种方法。
它适用于方程中只包含一个分数项或者多个可以合并成一个整体进行计算的分数项。
举例：$\frac{a}{b} \cdot c = d$解法：根据等号两边混合运算交换律，我们可以得到$a \cdot \frac{c}{b} = d$。
通过乘法逆元操作，可得到表达式$a = d \cdot \frac{b}{c}$。
这样就求出了变量$a$的值。
3.2 通分法解分式方程：通分法是求解复杂形式的分式方程时常用的一种方法。
它适用于需要将多个不同分母的分数项转换为相同分母的情况。
3.2.1 假设法通分解分式方程：对于一些特殊形式的问题，我们可以通过假设辅助变量使得原方程化简为一般形式。
初中分式方程的解法
初中分式方程的解法初中分式方程是初中数学中的一个重要内容，掌握了解题方法能够帮助我们更好地解决相关问题。
接下来，我们将详细介绍初中分式方程的解法。
首先，我们先来了解一下什么是分式方程。
分式方程是指方程中含有一个或多个分式的方程。
例如：3/x - 4/(x+1) = 1/(x+2) 就是一个分式方程。
解分式方程的基本思路是将方程中的分式转化为相同的分母，然后进行整理、消元、求解的步骤。
下面我们来看一些常见的解法。
一、通分法：通过求最小公倍数来将分式的分母转化为相同的分母。
例如：解方程2/x + 1/(x-1) - 1/(x+1) = 4/(x^2-1)首先，我们求出分母的最小公倍数(x-1)(x+1)，然后分别将每个分式的分母乘上对应的倍数，得到2(x+1)(x-1)/(x-1)(x+1) +(x+1)/(x-1)(x+1) - (x-1)/(x-1)(x+1) = 4/(x-1)(x+1)。
整理方程，得到2(x+1)(x-1) + (x+1) - (x-1) = 4化简，得到2x^2 - 2 + x + 1 - x + 1 = 4合并同类项，得到2x^2 = 4化简，得到x^2 = 2解方程，得到x = ±√2所以，方程的解为x = ±√2。
二、消元法：通过交叉相乘消去分式中的分母，将分式方程转化为一元方程。
例如：解方程1/(x-1) - 2/(x+1) = -1/(x^2-1)利用交叉相乘得到(x+1) - 2(x-1) = -1展开，得到x + 1 - 2x + 2 = -1合并同类项，得到-x + 3 = -1移项，得到x = 4所以，方程的解为x = 4。
三、代数法：通过引入一个新的变量来将分式方程转化为一元方程。
例如：解方程1/(x-1) - 2/(x+1) = -1/(x^2-1)令t = x^2 - 1，则方程可以转化为1/(t+2) - 2/(t+4) = -1/t。
初中数学知识归纳分式方程的解法与应用
初中数学知识归纳分式方程的解法与应用分式方程是初中数学的重要内容之一，解决分式方程的问题需要归纳总结各种解法和应用方法。
本文将系统地介绍分式方程的解法与应用。
一、基本概念分式方程是含有分式的方程，形如：$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = c$其中，a、b、c为已知实数，x、y为未知数。
求解分式方程即是要找到使等式成立的x、y的取值。
二、分式方程的基本解法1. 通分法对于分式方程中的两个分式，如果其分母之间没有公约数，可以采用通分法求解。
具体步骤如下：Step 1：确定两个分式的最小公倍数为分母的通分分母。
Step 2：对原方程的两个分式进行通分，得到分母相同的两个分式。
Step 3：将通分后的两个分式的分子相加，得到新的分式。
Step 4：将新的分式等于给定的实数c，得到新的分式方程。
Step 5：解新的分式方程，得到x、y的值。
2. 消元法对于分式方程中只有一个未知数的情况，可以采用消元法求解。
具体步骤如下：Step 1：选择未知数的系数较小的一方作为基准，将另一方的分子乘以基准方的分母，将两个分式的分母统一。
Step 2：将新的方程化简，得到未知数的一次方程。
Step 3：解未知数的一次方程，得到未知数的值。
Step 4：将求得的未知数代入原分式方程中，得到另一个未知数的值。
三、分式方程的应用1. 比例问题分式方程在解决比例问题时非常有用。
比例问题可以通过建立分式方程来解决，而求解分式方程就是求解比例问题的具体步骤。
例如，已知某比例中，一个分数和另一个分数的和等于1，可以建立分式方程求解两个分数的值。
2. 速度问题分式方程在解决速度问题时也具有广泛的应用。
速度问题涉及到物体的速度、时间和距离等概念，通过建立分式方程，可以求解物体的速度、时间和距离等具体数值。
例如，已知两个物体以不同的速度出发，相隔一定距离后相遇，根据已知条件可以建立分式方程求解两个物体的速度和相遇时间。
初中数学专题： 分式方程的解法
范围是(D )
A．a＞1
B．a＜1
C．a＜1 且 a≠－2
D．a＞1 且 a≠2
4．(黑龙江中考)已知关于 x 的分式方程3xx－－3a＝13的解是非负数，那
么 a 的取值范围是(C)
A．a＞1
B．a≥1
C．a≥1 且 a≠9
D．a≤1
5．已知关于 x 的分式方程ax＋＋21＝1 的解是非正数，则 a 的取值范围
(3)x－1 2＝12－ －xx－3. 解：方程两边同乘(x－2)，得 1＝x－1－3x＋6.解得 x＝2. 检验：当 x＝2 时，x－2＝0. 因此 x＝2 不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解．
2．解分式方程： (1)x－x 1＋x2－1 1＝1； 解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得 x(x＋1)＋1＝(x＋1)(x－1)．解得 x＝－2. 检验：当 x＝－2 时，得(x＋1)(x－1)≠0， 所以原分式方程的解为 x＝－2.
是(B)
A．a≤－1
B．a≤－1 且 a≠－2
C．a≤1 且 a≠－2D来自a≤16．(眉山中考)已知关于 x 的分式方程x－x 3－2＝x－k 3有一个正数解，
则 k 的取值范围为 k＜6且k≠3 ．
【易错提示】 求得的未知数不仅要满足所给出的范围，还要使分
式的分母不为零，两个条件必须同时具备，缺一不可．
类型 2 由分式方程无解确定字母的取值
7．若关于 x 的方程3xx＋－12＝2＋x＋m1无解，则 m 的值为(A)
A．－5
B．－8
C．－2
D．5
8．【分类讨论思想】若关于 x 的方程xa－x2＝x－4 2＋1 无解，则 a 的
值是 1或2 ．
9．【分类讨论思想】若关于 x 的方程3x－－23x－m3x－－x2＝－1 无解，则 m 的值是1 或53 ． 【易错提示】 分式方程无解可能有两种情况：(1)由分式方程去分 母后化成的整式方程有解，但这个解使最简公分母为零；(2)由分式 方程去分母后化成的整式方程无解．
初中数学分式方程
分式方程1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程。
2、解分式方程的步骤：（1）、将分式方程化成整式方程（两边同乘最简公分母）。
（2）、解这个整式方程（按步骤进行）。
（3）、将所解出的解带入最简公分母检测是否为零，若为零，无解，不为零，即为方程的解。
3、增根与无解的区别增根：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，而这个整式的根恰好使分式方程的分母为0，这种根通常称为增根。
因此，在解分式方程时必须进行检验。
无解：分式方程无解可以从两个角度考虑：一是：分式方程转化为整式方程无解；二是：分式方程转化为整式方程有解，但是这个解使分式方程的分母为0，即为增根.例1、下列方程是分式方程的是______521=+x x a 、134=+y x b 、 )321(32-+=+x x c 、 04222=+-x x d 、 练习： 1、分式方程的个数是______（1）312=+x （2）2321325-=-+x x x （3）yy 1322=- （4）01232=+-m m 例2、解下列分式方程（1）、231+=x x （2）、012112=---x x（3）431222-=-+-x x x （4）6122x x x +=-+（5）31144x x x --=-- （6）311(1)(2)x x x x -=--+练习：（1）22111x x =--- （2）x x 527=+（3）87178=----x x x （4）417425254=-+-x x x x（5）11322x x x -=--- （6）120112x x x x-+=+-分式的求值问题例3、 关于x 的分式方程432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值．练习：1、若方程132323-=-++--xmx x x 无解，则m 的值是多少？2、若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围.例4、解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x练习：1、解关于x 的方程)0(≠+=--d c dc x b a x2、解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+分式方程的应用1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇，若同向而行，则b 小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）.（A ）a b b + (B)b a b + (C)b a b a +- (D)b a b a-+ 2．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x 公顷，根据题意列方程正确的是（ ）.（A ）24024054x x +=+ （B ）24024054x x -=+ （C ）24024054x x +=- （D ）24024054x x -=- 3．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．设李明原计划平均每天读书x 页，用含x 的代数式表示：（1）李明原计划读完这本书需用 天；（2）改变计划时，已读了 页，还剩 页；（3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需 天；（4）根据问题中的相等关系，列出相应方程 ．4.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？5. A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？6.某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。
初中数学 分式方程的解如何计算
初中数学分式方程的解如何计算解分式方程的方法取决于方程的形式和难度级别。
下面我将介绍一些常见的解分式方程的方法。
一、清除分母法清除分母法是解分式方程的常用方法。
具体步骤如下：1. 将分式方程中的所有分母都清除，使等式两边都变成整式。
2. 将等式两边的整式进行合并和化简，得到一个新的等式。
3. 解这个新的等式，找出满足等式的变量值。
4. 将求得的解代入原分式方程中，验证是否成立。
二、通分法通分法是解分式方程的另一种常用方法。
具体步骤如下：1. 将分式方程中的各分式的分母进行通分，使等式两边的分母相同。
2. 将等式两边的分子进行合并和化简，得到一个新的等式。
3. 解这个新的等式，找出满足等式的变量值。
4. 将求得的解代入原分式方程中，验证是否成立。
三、求最小公倍数法有些分式方程可以通过求最小公倍数来解决。
具体步骤如下：1. 将分式方程中的各分式的分母进行分解，找出它们的最小公倍数。
2. 将等式两边的分母变成最小公倍数，并对等式两边进行相应的变形。
3. 解这个新的等式，找出满足等式的变量值。
4. 将求得的解代入原分式方程中，验证是否成立。
四、变量代换法有些分式方程可以通过变量代换来简化。
具体步骤如下：1. 选择一个合适的变量代换，将原分式方程中的分式表示成新的形式。
2. 对新的形式进行合并和化简，得到一个新的等式。
3. 解这个新的等式，找出满足等式的变量值。
4. 将求得的解代入原分式方程中，验证是否成立。
以上是一些常见的解分式方程的方法。
当然，还有其他一些特殊的方法和技巧，可以根据具体问题的性质和难度级别选择合适的方法。
通过大量的练习和实际问题的应用，我们可以更加熟练地掌握解分式方程的方法，提高解决问题的能力。
分式方程知识点的总结
分式方程知识点的总结分式方程知识点的总结关于分式方程知识点的总结，列分式方程解应用题的关键是列出分式方程，难点是找出等量关系，易错点是检验。
下面由小编为您整理出的相关内容，一起来看看吧。
（一）分式方程知识点的总结分式方程同前面讲到的分式知识是完全不同的两个概念，同学们不要弄混淆了。
分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法①去分母{方程两边同时乘以最简公分母（最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂），将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号}；②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，系数化为1）求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。
一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。
若解出的根是增根，则原方程无解。
在分式方程中，如果分式本身约分了，也要代进去检验。
分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程→整式方程。
（2）解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。
注意：①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！上面对分式方程的解法知识的讲解，希望同学们都能很好的掌握，并在考试中很好的备战考试工作。
（二）初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的`掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
初中数学知识归纳分式方程的解法
初中数学知识归纳分式方程的解法初中数学知识归纳：分式方程的解法在初中数学学习中，分式方程是一个重要的知识点。
解决分式方程的问题，需要了解并掌握一些基本的解法和技巧。
本文将对初中数学中分式方程的解法进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、分式方程的定义分式方程是指方程中存在有分数形式的未知数。
一般形式为：分子是未知数的有理式，分母不含未知数或者含有未知数的有理式。
例如：2/x + 3/x^2 = 1/x二、分式方程的基本解法1. 消去分母法有些分式方程的难点在于方程中含有未知数的分母，导致方程难以求解。
在这种情况下，我们可以利用消去分母的方法化简方程。
具体步骤如下：（1）找到分母的最小公倍数。
（2）将方程两边同乘以最小公倍数，以消去分母。
举例说明：对于方程 2/x + 3/(x+1) = 5/x(x+1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）最小公倍数为 x(x+1)。
（2）两边同乘以 x(x+1)，得到 2x(x+1) + 3x = 5。
（3）化简方程 2x^2 + 2x + 3x = 5。
（4）整理方程得到 2x^2 + 5x - 5 = 0。
（5）利用因式分解或配方法求解上述方程，得到 x 的值。
2. 分离变量法对于分式方程中含有多个分式的情况，我们可以借助分离变量的方法将方程转化为更简单的形式。
具体步骤如下：（1）将方程中的分式分离，分别移至方程两边。
（2）通过移项的方式将方程变为等式。
（3）对方程两边进行合并和化简。
（4）解出未知数。
举例说明：对于方程 1/(x-3) + 1/(x+3) = 2/(x-1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）方程中存在三个分式，我们将分式分离得到：1/(x-3) + 1/(x+3) - 2/(x-1) = 0。
（2）通过移项得到 (x+3)(x-1)+ (x-3)(x-1) - 2(x-3)(x+3) = 0。
（3）整理方程得到 (x^2+2x-3) + (x^2-4) - 2(x^2-9) = 0。
初中数学人教版八年级上册《15.分式方程》课件(1)
谢谢大家
解：方程两边同时乘以(x-m)(x-n),
可得(x+m)(x-m)+(x+n)(x-n)=2(x-m)(x-n),
即是 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2m,n 整理得：2(m n)x (m n)2 ，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得：x m n ，
5k
解得k≠-3.
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
3 k ≠，1 5k
含字母的 分式方程
含字母的分式方程的概念
解含字母的分式方程的 一般步骤
若关于x的分式方程 2 - 1- kx 1 无解，求k的值. x-2 2-x
解析：分式方程无解分为两种情况： ①分式方程化为整式方程后，求出整式方程的解使得最简公分母为0； ②分式方程化为的整式方程无解. 根据两种情况分类讨论，确定 k 的值即可.
分式方程
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
解析：原方程是关于x的分式方程，则x表示未知数，m、n表示已 知数，将字母m、n看作是常数，按照解一般分式方程的步骤即可. 注意：原分式方程含有常数项，在去分母的时候要将常数项也乘 以最简公分母.
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
x
2
3
.
解：方程两边同时乘以2x(x+3)，得x+3=4x， 解得：x=1. 检验：当x=1时，2x(x+3)=8≠0， 所以原分式方程的解是 x=1.
解分式方程： 2 x -1
4 x2 -1
.
解：方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4， 解得：x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=1不是原分式方程的解， 则原分式方程无解.
初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程
先把分式方程转化为整式方程，再把使得分式方程 中分母为零的未知数的值代入到转化后的整式方程 中，即可求得待定量的值.
列分式方程解应用题
一般步骤
列 (1)审：找出问题中已知与未知的数量关系；
分 (2)设：一般是直接设未知数，个别是间接设未知数；
式 方
(3)列：根据等量关系列出分式方程；
程 (4)解：解转化后的整式方程；
3
所以 2 m ≠2,解得m≠0.综上所述，m的取值范围为m＜6
3
且m≠0.故选C.
本题在求m的取值范围时，只注意到方程
2 x2
xm 2 x
2
的解为正数，而忽略了排除分式方程无解的情况.
题型一 解分式方程
角度a 可化为一元一次方程的分式方程
例8 解方程：
y
6y 2
12 4y
4
y2 4 y2 4y 4
角度b 解含有字母的分式方程
例9 解方程： x m x (m -2, m -1). x1 x1 x1
思路导图
方程两边同乘 （x-1）(x+1)，把 分式方程转化为 整式方程，解整 式方程
检验，将求得 的整式方程的 解代入分式方 程的最简公分 母中，检验是 否为零
写出 原分 式方 程的 解
解：方程两边同乘(x-1)(x+1)，得(m+2)x=-m.
续表
知识 解读
(1)问题中的数量关系可能不止一个，分析得出 与未知的等量关系，选择适当的未知数可以简 化方程； (2)列方程时要保持单位统一； (3)注意在分式方程应用题中检验意义的双重性， 既要检验得到的整式方程的解是否是列出的分 式方程的解，又要检验其是否符合实际意义
注意：列分式方程解应用题一定要检验，同时还要 保证其结果符合实际意义.
初中数学知识点总结：分式方程和无理方程
知识点总结一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．无理方程：根号内含有未知数的方程。
（无理方程又叫根式方程）3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。
二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。
2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。
解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。
三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。
2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。
解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。
常见考法（1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；（2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。
误区提醒（1）去分母时漏乘整数项；（2）去分母时弄错符号；（3）换元出错；（4）忘记验根。
【典型例题】。
初中数学知识归纳解分式方程不等式的问题
初中数学知识归纳解分式方程不等式的问题分式方程和不等式是初中数学中重要的内容之一，掌握解题方法可以帮助我们解决很多实际问题。
在本文中，我们将对初中数学中解分式方程和不等式的方法进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
一、解分式方程的方法1. 清除分母当方程中存在分数时，我们可以采用清除分母的方法来求解。
具体步骤如下：（1）找到方程中所有的分母，记为分母集合D。
（2）将方程两边同时乘以D的最小公倍数LCM，得到一个无分母的方程。
（3）对无分母的方程进行求解，得到结果。
2. 去分母对于一些特殊的分式方程，我们可以采用去分母的方法来求解。
具体步骤如下：（1）将方程中的分式两边同时乘以所有分母的最小公倍数LCM，得到一个无分母的方程。
（2）对无分母的方程进行求解，得到结果。
3. 换元法有时候，我们可以通过引入一个新的未知数来将分式方程转化为一元方程，再进行求解。
具体步骤如下：（1）设未知数为t，将原方程中的分式表示为t的函数形式。
（2）对新引入的未知数t进行求解，得到结果。
（3）将t的解代入原方程，求得原方程的解。
二、解不等式的方法1. 定义法当不等式中存在绝对值或者平方根等特殊函数时，我们可以通过定义法来求解。
具体步骤如下：（1）根据定义列出所有可能的情况，解得若干个不等式。
（2）对每个不等式进行求解，得到若干个解集。
（3）将所有解集合并，得到原不等式的解。
2. 移项法对于一般的一元一次不等式，我们可以通过移项法来求解。
具体步骤如下：（1）将不等式中的项集中到一边，将常数项集中到另一边，得到一个简化的不等式。
（2）根据不等式的符号进行分类讨论，求解出满足条件的值域。
（3）将求得的值域与问题的条件进行比较，得到最终的解集。
3. 化简法对于一些复杂的不等式，我们可以通过化简法来求解。
具体步骤如下：（1）将不等式化简为形如f(x)>0或f(x)<0的形式。
（2）对于f(x)>0，找出函数f(x)的零点和导数的变化，进行符号表法。
初中数学-解分式方程100题
（2）去分母得：1+3y﹣6=y﹣1， 解得：y=2， 经检验 y=2 是增根，分式无解．
20．解方程： （1） ﹣ =0
（2）
．
【解答】解：（1）去分母得：2x﹣x+2=0， 解得：x=﹣2， 经检验 x=﹣2 是原方程的根； （2）去分母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4， 解得：x=﹣2， 经检验 x=﹣2 是增根，分式方程无解．
3．解分式方程： （1） = ；
（2） + = ．
4．解方程： （1） +3=
（2） ﹣ =1．
5．解方程 （1） + =2
（2） =1﹣ ．
6．解分式方程：
（1）
=8．
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（2）
．
7．解方程
（1）
=1
（2） =2﹣ ．
8．解方程： （1） + =1
（2） + = ．
9．解方程： （1）
50．解方程： （1） ﹣1= ．
（2） + =2．
第 7 页（共 30 页）
解分式方程 100 题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 40 小题）
1．解方程：
（1） ﹣1=
；
（2） =1﹣ ．
【解答】解：（1）去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3， 去括号得：2x﹣2x+x+2=3， 解得：x=1， 经检验 x=1 时，分母为 0，方程无解； （2）去分母得：2x=x﹣2+1， 解得：x=﹣1， 经检验 x=﹣1 是分式方程的解．
（2）
．
38．解方程求 x： （1） ﹣ =1
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法初中数学知识归纳：分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是初中数学中的重要知识点。
它们能够帮助我们解决实际问题，加深对数学知识的理解与应用。
本文将对分式方程和分式不等式的解法进行归纳总结，为初中数学学习者提供参考。
一、分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，我们可以通过凑分子、通分、消去分母等方法求解。
下面将逐一介绍这些方法。
1. 凑分子法当分式方程中分子的次数比分母的次数少一次时，可以通过凑分子将其转化为整式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{2}{x} - \frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x - 1}$，我们可以令$y = \frac{1}{x}$，将方程转化为$2y - 3(y + 2) = 5(y - 1)$，然后解得$y = -1$，从而得出$x = -1$是原方程的解。
2. 通分法当分式方程中含有多个分式时，我们可以通过通分将其转化为有理式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x + 3}$，我们可以通分得到$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+2)} =\frac{3(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+3)}$，然后化简得到$(x+2)(x+3) +2(x+1)(x+3) = 3(x+1)(x+2)$，进而解得$x = 0$。
3. 消去分母法当分式方程中的分母为一次多项式时，可以通过消去分母的方式求解。
例如，对于方程$\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}$，我们可以将方程两边同乘以$(x + 1)(x - 1)x$，得到方程$x(x - 1)x + 2(x +1)x = 3(x + 1)(x - 1)$，然后化简求解得$x = 0$。
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初中数学解分式方程 2019年 4 月 9日考试总分： 160 分 考试时长： 120 分钟）单选题 （本题共计 12 小题，共计 48 分）D ．无解1、（ 4分）解分式方程 + =3 时，去分母后变形为（ ）A． 2+（x+2）=3（x ﹣1） B ．2+x-2=3 （ x+1）C． 2+（x+2）=3（1﹣x ）D ． 2﹣（x+2）=3（x ﹣1）2、 （ 4 分）x 2 1方程 x 1 0 的解是 （）x1A．无解B ． x=1C ． x=-1D ． x= ±13、 （ 4分） 若分式方程 有增根，则实数 a 的取值是（ ） A ． 0或2B ． 4C ． 8D ． 4或 84、 （ 4 分） 在今年抗震赈灾活动中，小明统计了自己所在的甲、 乙两班的捐款情况， 得到三 个信息：2）3） 乙班平均每人捐款数比甲班平均每人捐款数多 ； 根据以上信息列方程得（ 甲班比乙班多 5人，设甲班有 x 人，A ．B ．C ．×（ 1+ ）=D ．5、 4分）方程 - =0 的解为（ A ．B ．0C ．6、 4分）下列式子中，是分式方程的是 A ．B ．C ．D ． 44分）某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的 12倍，用这台机器生产 6 0个零件比 8个工人生产这些零件少用 2小时，则这台机器每小时生产个零件．1 1 17、 A ． 8、 A ． 9、 A ．10、 A ． 11、 A ．D ．4分） ±24分） -24分） D ．若分式 D ．解关于的值为0，则 x 的值为（x 的方程 产生增根，则常数 分式方程1 134分） ﹣2 （ 4分）C ．﹣2 B ． -1C ．m 的值等于D ． 2535 3 的解为（ 2x 1 x 2若关于x 的方程 B ． 13B ． 2方程 的解是（B ．C ．有增根， m 的值是C ．C ． -4D ． ﹣ 112、 4分）下列式子中，是分式方程的是A ．B ．C ．D ．填空题 （本题共计 4 小题，共计 16 分）13、 4分）分式方程-1= 的解是 x=14、 4分）关于 x 的分式方程有增根，则 a=15、16、（4分）如果实数x满足（x+ ）2﹣（x+ ）﹣2=0，那么x+ 的值是_____ ．x x x三、解答题（本题共计8 小题，共计96 分）17、（12分）某商厦进货员在苏州发现了一种应季围巾，用8000 元购进一批围巾后，发现市场还有较大的需求，又在上海用17600 元购进了同一种围巾，数量恰好是在苏州所购数量的 2 倍，但每条比在苏州购进的多了 4 元．问某商厦在苏州、上海分别购买了多少条围巾？18、（12分）设a、b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b＝,2例如：1⊕（－3）＝＝－3，（－3）⊕2＝（－3）－2＝－5，（x2＋1）⊕（x－1）＝（因为x2＋1>0）．参照上面材料，解答下列问题：（1）2⊕ 4＝，（－2）⊕ 4＝；（2）若x> ，且满足（2x－1）⊕（4x2－1）＝（－4）⊕（1－4x），求x的值．19、（12 分）解下列分式方程（1）（2）20、（12分）某校学生利用双休时间去距学校10km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．21、（12分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50 台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450 台机器所需时间相同．（1）现在平均每天生产多少台机器；（2）生产3000 台机器，现在比原计划提前几天完成．22、（12 分）解分式方程：2 ．23、（12分）某校为了开展“阳光体育”活动，购进一批体育用品．经了解，长绳的单价比短绳的单价多 5 元，用12000元购进的长绳与用8000元购进的短绳的数量相等．问购进的长绳和短绳的单价分别是多少元？24、（12分）解方程：故答案为： C ．第 5 页 共 10 页一、 单选题 （本题共计 12 小题，共计 48 分） 1、（ 4分）【答案】 D【解析】 方程两边都乘以 x ﹣1，得： 2﹣（ x+2）＝3（x ﹣1） 故选 D ．2、（ 4分）【答案】 B解得： x=1 故选 B.3、（ 4分）【答案】 D【解析】方程两边同乘 x （x ﹣2），得 3x ﹣ a+x=2（ x ﹣2）， 由题意得，分式方程的增根为 0或 2， 当x=0时，﹣ a=﹣ 4， 解得， a=4，当x=2时， 6﹣ a+2=0， 解得， a=8， 故选： D ．4、（ 4分）【答案】 C【解析】甲班每人的捐款额为： ，乙班每人的捐款额为： 根据（ 2）中所给出的信息，方程可列为： ×（1+ ）= ．故选 C ．5、（ 4分）【答案】 B【解析】去分母得： 3x+3 ﹣ x ﹣ 3=0，解得： x=0，经检验 x=0 是分式方程的解． 故选 B ．6、（ 4分）【答案】 C【解析】 A 、不是方程，故不是分式方程，故 A 项错误；B 、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故 B 项错误；C 、方程中各式的分母含有未知数，故是分式方程，故 C 项正确；D 、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故 D 项错误．7、（ 4分）【答案】 C 【解析】根据题意，得： x 2﹣4=0且x ﹣2≠0， 解得： x= ﹣2； 故选： C ． 8、（ 4分）【答案】 A【解析】方程两边都乘 （x-1） ，得 解析】x1x 2-1=0x+1 0x-3=m ，∵方程有增根，∴最简公分母x-1=0 ，即增根是x=1，把x=1 代入整式方程，得m=-2.故选： A.9、（4分）【答案】B【解析】去分母得：5（x+2）=3（2x﹣1），解得：x=13 ，经检验x=13是分式方程的解，故选B．10、（4分）【答案】B【解析】方程两边同乘x－3，得1＋3（x－3）＝－（m－x），∵原方程有增根，∴最简公分母x－3＝0,解得x＝3，把x＝3代入1＋3（x－3）＝－（m－x），得m＝2，故选 B.11、（4分）【答案】D【解析】检验：符合题意故选D．12、（4分）【答案】C【解析】选项 A ，不是分式方程，是一元二次方程；选项 B ，不是非方程；选项C，是分式方程；选项D，不是分式方程，是一元一次方程.故选 C.、填空题（本题共计 4 小题，共计16 分）13、（4分）【答案】-5【解析】两边同时乘以（x+3 ）（x-3），得226-x2+9=-x2-3x，解得:x=-5，检验：当x=-5 时，（x+3）（x- 3）≠，0所以x=-5 是分式方程的解，故答案为：-5.14、（4分）【答案】a=-3【解析】去分母可得：3+a=x+5 ，解得：x=a－2，∵分式方程有增根，∴x= －5，即a－2=－5 ，解得：a=－3 ．15、（4分）【答案】15．【解析】设一个工人每小时生产零件x个，则机器一个小时生产零件12x个，由题意得，﹣=2 ，解得：x=1.25 ，经检验：x=1.25是原分式方程的解，且符合题意，则12x=12×1.25=15．即这台机器每小时生产15个零件．16、（4分）【答案】212【解析】设x y ,则原方程可变形为y2-y -2=0 ，x解得y1=- 1,y2=2，1当y1=-1时, x 1，x∵△=b2- 4ac<0∴此方程无解，1当y2=2时, x 2 ，x2∵△=b2- 4ac=0,∴此方程有解，∴x 1 2 ；x 故答案为： 2.三、解答题（本题共计8 小题，共计96 分）17、（12分）【答案】进货员在苏州购买了200 条围巾，则在上海购买了400 条围巾．【解析】设进货员在苏州购买x 条围巾，则在上海购买2x 条围巾，根据题意得：．方程两边同乘以x，8800﹣8000=4x ．解得：x=200 ．经检验x=200 是原方程的解，且符合题意．2x=400．答：进货员在苏州购买了200 条围巾，则在上海购买了400条围巾．18、（12分）【答案】（1）2，-6；（2）x=3.【解析】（1）2⊕ 4= =2，（﹣2）⊕4=﹣2﹣4=﹣6；（2）∵x> ，∴（2x﹣1）⊕（4x2 3﹣1）=（﹣4）⊕（1﹣4x），即=﹣4﹣（1﹣4x），移项得：系数化为1，得检验：当时，所以，是原方程的根，（2）方程两边同乘以最简公分母（x-1）（x+2）得：x（x+2）-（x-1）（x+2）=3 ，整理得：合并同类项得：x=1 ，检验：当x=1 时，（x-1）（x+2）=（1-1）（1+2）=0 ，=4x ﹣5，4x2﹣1=（4x﹣5）（2x﹣1），4x2﹣1=4x2﹣14x+5，32x2﹣7x+3=0，（2x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1= ，x2=3．经检验，x1= 是增根，x2=3是原方程的解，故x的值是3．故答案为：2，﹣6．19、（12分）【答案】（1）（2）无解【解析】（1）方程两边同乘以最简公分母3（x+1）得：整理得：所以，x=1 是原方程的增根，所以，原分式方程无解.20、（12分）【答案】骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15km，30km．【解析】设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，10 10 20可得：x 2x 60 ，解得：x=15，经检验x=15是原方程的解，2x=2×15=30，答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15km，30km．21、（12分）【答案】（1）现在平均每天生产200台机器．（2）现在比原计划提前5天完成．【解析】解：（1）设现在平均每天生产x 台机器，则原计划可生产（x-50）台．依题意得：，解得：x=200 ．检验x=200 是原分式方程的解.（2）由题意得=20-15=5（天）∴现在比原计划提前5天完成.22、（12分）【答案】（1）方程无解；（2）x=13.【解析】（1）两边同乘以（x+2）（x-2 ）得：x（x+2）- （x+2 ）（x-2 ）=8，去括号，得：+2x- +4=8 ，移项、合并同类项得：2x=4 ，解得：x=2.经检验，x=2 是方程的增根，∴方程无解.（2）由题意可得：5（x+2）=3（2x﹣1），解得：x=13，经检验，当x=13 时，（x+2）≠0，2x ﹣1≠0，故x=13 是原方程的解.23、（12分）【答案】短绳的单价是10元，则长绳的单价是15 元【解析】解：设短绳的单价是x 元，则长绳的单价是（x+5）元，由题意得12000 8000x 5= 5解得：x=10，经检验，x=10 是原方程的根∴ x+5=15 元，答：短绳的单价是10 元，则长绳的单价是15 元．24、（12分）【答案】原分式方程无解【解析】方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得x（x+2）﹣（x+2）（x ﹣2）=8．化简，得2x+4=8 ．解得：x=2 ．检验：x=2 时，（x+2）（x﹣2）=0，即x=2 不是原分式方程的解，则原分式方程无解．。