3.2三维晶格振动 固体物理研究生课程讲义

第二节 三维晶格的振动
本节主要内容: 3.2.1 色散关系 3.2.2 波矢q的取值和范围
模型 运动方程
试探解
色散关系 波矢q范围
B--K条件 波矢q取值
一维问题的处理步骤:
2n-2 2n-1 2
M
m
n
2n+1 2n+2
a ..
x M 2 n x 2 n1 x 2 n1 2 x 2 n ..
每个波矢代表点占有的体积为：
b2
b1 N1
b2 N2
b3 N3
Ω N
(2π)3 NΩ
(2π)3 Vc
N2
b1
正格子原胞体积 晶体体积
N1
(二维图示)
波矢密度：波矢空间中单位体积的波矢数目。
1
Vc
( 2 π) 3
( 2 π) 3
Vc
每个波矢代表点占有的体积为： (2π)3
q q K h
Vc
u
Rl N2 a2
a2 R l a1
Rl N1a1
u
l s
u
l1, l2, l3 s
u
l1
N1, s
l2l3
u
l s
u
l1, l2, l3 s
u
l1 , l2
s
N 2,l3
u
l s
u
l1, l2, l3 s
u
l1 , l2,l3 s
N3
u
l s
A e i t R l . q
e e i(tRl q ) i tRl qN1a1q e e i(tRl q ) i tRl qN2a2q
e e i(tRl q ) i tRl qN3a3q
Βιβλιοθήκη BaiduRl N2 a2
a2 R l a1
Rl N1a1
N1a1 q 2π1 N2 a2 q 2π2 N3 a3 q 2π3
3.2.2 波矢q的取值和范围
设晶体有N个原胞,原胞的基矢为：a1 ,a2 ,a3;
沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞, N N1 N 2 N 3
Rl N1a1
(l1 N1 )a1 l2 a2 l3 a3
Rl N2 a2 l1a1 (l2 N2 )a2 l3 a3
根据玻恩---卡门周期性条件：
例2：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶 体有N个原胞，晶格振动模式数为多少?
答: 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。
金刚石结构为复式格子, 每个原胞有2个原子。
m 3,n 2,
有6支格波，3支声学波，3支光学波。 振动模式数为6N。
(
q
)
l s
A e i t R l .( s
A e i t Rl .q s
q K h )
u
(
q
)
l s
将 q 的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为简
约布里渊区。
波矢可取的数目：
Ω
(
Vc 2 π)
3
Ω N Ω ( 2 π) 3
N
3支声学波 A (q)
q (3n-3)支光学波 O (q)
i t R l .q s
ms 2 As 可得到3n 个线性齐次方程。
As有非零解,必须其系数行列式为零
3n个的实根
在3n个实根中，其中有3个当波矢q 0时,
Ai vAi (q)q ,(i 1,2,3) 这3支格波称为声学支格波。
其余的(3n-3)支格波的频率比声学波的最高频率还要高称 之为光学支格波。
u
l s
表示顶点位矢为
Rl 的原胞内
第s个原子离开平衡位置在方向的位移。
rs
Rl
(2)运动方程和解
u ms
..
l s
(=1,2,3；s=1,2,3,···,n)
[ (=3,s=n)共有3n个方程]
在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。
试探解：
u
l s
A e A e i t R l r s .q s
§3.2 三维晶格的振动
3.2.1 色散关系 1.模型
设三维无限大的晶体,每个原胞中有n个原子，各原子的质
量分别为 m1 , m2 , m3 , , mn; 原胞中这n个原子平衡时的相对位 矢分别为 r1 , r 2 , r 3 , , r。n
Rl r s 表示平衡时顶点位矢为 Rl 的原胞内第s个原子的 位矢；
晶格振动频率数目: N 3 N (3n 3) 3nN
设晶体有N个原胞,每个原胞有n个原子,
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。
m支声学波，m(n-1)支光学波，这里m是晶体的维数，n 是原胞中原子的数目。
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数， 格波的支数=原胞内原子的自由度数。
一维单原子链，设晶体有N个原胞。
原胞内原子的自由度数=1
1支格波
晶体的自由度数=N
频率数为N
一维双原子链，设晶体有N个原胞。
原胞内原子的自由度数=2
2支格波
晶体的自由度数=2N
频率数为2N
m x 2 n 1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n1
x 2 n 1 A e i t 2 n 1 aq
x 2 n B e i t 2 naq
2 {(m M) m2 M 2 2mM cos2aq}
mM
π q π
2a
2a
x2n x2(n N )
a1 q 1 2π N1
a2 q 2 2π
N2
a3 q 3 2π
N3
(1、2、3为整数)
波矢q 具有倒格矢的量纲，得出:
q
1
b1 N1
2
b2 N2
3
b3 N3
(b 1、b 2、b 3为倒格基矢 )
三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中 b1 、b2 、b3
N1 N2 N3
为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。