3.2三维晶格振动 固体物理研究生课程讲义
固体物理第三章2
U U U0 i 1 ui
3N
2 1 3N U ui 2 u u i , j 1 i j 0
ui u j , 0
因在平衡位置势能取极小值，所以上式右端第二项为零，若取U0为能 量零点，并略去二次以上的高次项，得到
上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次方程组，是
简谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线性项得到的。
处理小振动问题的理论方法和主要结果－－做为晶格振动这部分
内容的理论基础。
在第二章已经讨论过，当原子处于平衡位置时，原子间的相互
作用势能
1 A B ' U0 m n 2 i j r r ij ij
用独立简谐振子来表述。
下面根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡到量子理论， 并引入声子概念－－晶格振动中的简谐振子的能量量子。
数学处理：通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密顿量）= 动能 +
势能（化成）= 独立简谐振子能量之和
一、简谐近似和简正坐标
从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问题，凡是力 学体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动。
(9)
代表q空间均匀分布的点子。 若 K 是倒格矢，则 q q' q K h h
u
l p
不变。
因此q的取值可限制在第一布里渊区之内。
h3 h1 h2 q b1 b2 b3 (10) N1 N2 N3
波矢q的点阵具有周期性，均匀分布。 其中
b1 b2 b3 是波矢q的基矢，最小重复单元的体积为 , , N1 N 2 N3
对于有N个原胞的三维晶体，每个原胞有n个原子，每个原子有3个
3.2三维晶格振动
−
π π <q≤ 2 2
u2n = u2(n+ N )
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数 ， 晶体的原胞数N， 晶体的原胞数 格波振动频率数目=晶体的自由度数， 晶体的自由度数 晶体的自由度数， 格波的支数 =原胞内原子的自由度数。 原胞内原子的自由度数 原胞内原子的自由度数。
ω
ωm
一维单原子链，设晶体有N个原胞。
色散关系 波矢q范围 波矢 范围 B--K条件 条件 波矢q取值 波矢 取值
u2n+1 = B e
'
u2n = Ae i[qna+qb−ωt ]
i (qna−ωt )
= Be
i (qna−ωt )
12 (β1 + β2 ) 16mMβ1β2 2 qa 2 sin ( ) ω2 = (m + M) ± (m + M) − 2mM 2 (β1 + β2 )2
3
(2π)3 每个波矢代表点占有的体积为： 每个波矢代表点占有的体积为： Vc l q′ = q + K h u α ( q ′ ) = A α s e − i (ω t − R l .( q + K h ) ) s l − i (ω t − R l .q ) = Aαs e = uα ( q ) s
(2)运动方程和解 运动方程和解
l m s uα = ⋅ ⋅ ⋅ (α=1,2,3；s=1,2,3,···,n) ； s [ (α=3,s=n)共有 个方程 共有3n个方程 共有 个方程]
..
在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。 上式的右端是位移的线性代数式。
′ 试探解： 试探解：uα l = A α s e i [(R l + r s ). q − ω t ] = A α s e i (R l . q − ω t )
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
3.2三维晶格振动
m 3, n 2,
有6支格波，3支声学波，3支光学波。 振动模式数为6N。
设三维无限大的晶体，每个原胞中有n个原子，各原子的
质量分别为m1，m2，m3，…mn。原胞以l(l1l2l3)标志，表明原 胞的中心位置位于格点：
R(l ) l1 a1 l 2 a 2 l3 a 3
则原胞中各原子的位置表示如下：
l l l l R , R , R ,..., R 1 2 3 n
2
2n
Aei t 2 naq
i t 2 n 1aq
波矢q范围 B--K条件
{( m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq } mM
π π q 2a 2a
波矢q取值
2n 2(n N )
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N，
mk 2 Ak
Ak有非零解，必须其系数行列式为零，由此得到一个关于ω2 的3n次方程式，进而得到ω的3n个解。具体分析证明： 当q→0时，有三个解ωj正比于q，与弹性波一致，这3支格 波称为声学支格波。而且A1j， A2j ，… Anj趋于相同，说明在 长波极限整个原胞一起运动。其余的(3n-3)个解的长波极限 描述原子之间的相对振动，并且具有有限的振动频率，比声学
Vc 1 3 ( 2 π) ( 2 π)3 Vc
注意：q空间体积的量纲具有正空间体积量纲的倒 数，因此波矢密度具有体积的量纲。
Vc Ω N Ω 波矢可取的数目： Ω ( 2π)3 ( 2π)3 N
另一方法：根据
e
i[t R (l )q ]
e
i[t R (l )q N1 a1 q ]
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
3.2 三维晶格振动
a1 , a2 , a3
a2 Rl
Rl N 2 a 2
a1N N 1 N 2 N 3
Rl N1 a1
(l 1 N 1 )a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
根据玻恩---卡门周期性条件：
Rl N 2 a 2
l1 a 1 (l 2 N 2 )a 2 l 3 a 3
l i R l . q -t u A e s
e
i ( R l q t )
e
i ( R l q t )
e
i ( R l q t )
e i R q N a q -t e
三维情况下的态密度：
设一边长为 L的立方体，体积
V L3 包含有N3个原胞，
3
2 于是每个 q 值在波矢空间占据的体积是： L
4 3 L V 3 q 半径为q 的球体积内的模式数目为： 2q 3 2 6
3
V 2 q q dq 球壳内的模式数： 2 q dq 2
l l1 , l2 , l3 l1 N1 , l2 , l3 u u u s s s l l1 , l2 , l3 l1 , l2 N 2,l3 u s u s u s l l1 , l2 , l3 l1 , l2 , l3 N 3 u u u s s s
1 2 2
L dq 2 N 2 g ( ) m d
分立晶格和连续模型的区别：
m , g ( ) 0
g ( )
固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质
取行波解:只假设两种原子振幅不一样
ul Aei ( qla t ) vl Bei ( qla t ) M 2 2 1 e iqa
1 e iqa A 0 m 2 2 B
真空中的光线性色散关系对长波有效我们将看到当波长很短时与弹性波偏离增加需考虑晶格的结构格波这是本章的重点减小时晶格的不连续性变得更重要原子开始对波产生散射散射的结果是减小波速而阻碍波的传播这是本章的重点主要结论一般的晶体有n个原子3n个自由度对应3n个位移分量u3n个耦合谐振子10处理这样的问题有标准的线性代数方法
1 n n , n 0,1,, 2
长波极限：q→0，λ → ∞
2 mM , mM
M B m A
34
q →0 时，两种原子相对振动，保持质 心不变
对离子晶体，这是两种离子的电偶极矩 振荡，能够对ω ≈ω + 的红外光产生强 烈共振吸收，所以称为光学支。
35
在布里渊区边界
2 , m B A
振幅满足：
2 B m 2 A 1 e iqa
30
二、声学波和光学波
1.周期性与布里渊区
2 q q h q K h a
q , 1BZ a a
单链的频率谱成为带，即有最低、最高频 率
26
§3.3 一维双原子链振动
本节讨论最简单的复式晶格, 模拟 双原子分子
27
一、运动方程及其解
设有两种原子，m, M，各N个（N个原胞）， 晶格常数为a
ul
vl
l-1
固体物理-第三章
l 1
原 子
上式说明每个坐标gk的振动，都可以分解成3N个简正振动的线 性迭加，Ql新坐标称为简正坐标，所以，我们可以得出结论：N个
的
原子组成晶体的任何一种微振动，可看成3N个简正振动的迭加。
运
动
★简正坐标与原子位移坐标之间的正交变换，
实际上是按付氏展开式把坐标系由位置坐标转
换到状态空间（正格子——倒格子）。
单
体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单
原
独存在，它并不是一种真实的粒子, 只是一种准粒子；
子
➢声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
晶
➢一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子
格
组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子,
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
声子
采用“声子”概念不仅表达简洁、处理问题方便（例晶格与微观粒
3N
动
2 Ak bik Ai 0 k 1, 2,L 3N (9) i 1
方程组（9）又可改写成：
3N
bik 2ik Ai 0 k 1, 2,L 3N (10)
i 1
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
原子的运动方程
3N
bik 2ik Ai 0 k 1, 2,L 3N (10)
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
原子的运动方程
••
gk bik gi 0 k 1, 2,L 3N
(7)
原
gk Ak sin t k 1, 2,L 3N
(8)
子
的 运
（8）式所给出的特解应能够满足方程（7），则将（8）式 代入（7）式，得确定ω与bik之间关系的方程组：
固体物理讲义讲义教程
《固体物理学》第二章晶格振动和固体比热第二章晶格振动和固体比热晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。
晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。
本章的主题：用最近邻原子间简谐力模型来讨论晶格振动的本征频率；并用格波来描述晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子。
2-1、绝热近似和简谐近似绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。
为简单化，可以把离子的运动看成是近似成中性原子的运动。
简谐近似：r 设一维单原子晶体的布喇菲格子的格矢为R ，那么第n 个格点原子的位置r r r r矢量为：Rn na a 为基矢。
令第n 个原子相对其平衡位置Rn 的瞬时位置由与时r r r r间相关的矢量Sn 给出。
那么原子的瞬时位置为：rn Rn Sn 。
晶体的总势能应该为所有原子相互作用势能之和忽略均匀电子云产生的常1 r r势能项。
静态格点时的总势能：U 0 ∑ u0 Rn Rn ，u x 表示一维原子链中2 n n距离为x 的两原子的相互作用能。
1 r r 1 r r r r 考虑晶格振动时的总势能：U ∑ urn rn 2 ∑ u Rn Sn Rn Sn 2 n n nn 这时势能与动力学变量Sn有关，如果Sn是个小量，将势能U在平衡值U0附近1作泰勒展开：f r a f r a f r a 2 f r ...... 。
2 r r r r r r 取r Rn Rn a Sn Sn 1 r r 1 r r r r 1 r r r rU ∑ u0 Rn Rn 2 ∑ Sn Sn u0 Rn Rn 4 ∑ Sn Sn 2 u0 Rn Rn .... 2 n n nn nn 我们忽略高阶项，只保留二阶项第一项非零校正项，那么势能近似为：1 r r r r U U 0 ∑ S n S n 2 u0 Rn Rn 4 n n 上述近似称为简谐近似。
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分布密度＝
1
b1 N1
b2 N2
b3 N3
N v0 (2 )3
V (2
)3
V 为晶体 的体积
从原子振动考查, q 的作用只在于确定不同原胞之间 振动位相的联系, 具体表现在格波解中的位相因子
ei R(l )q
如果 q 改变一个倒格子矢量 G n n 1 b 1 n 2 b 2 n 3 b 3 ,
由于边界条件允许的 q 分布密度为 V/(2π)³, 因此不同 q 的总数应当是
(倒 格 子 原 胞 体 积 ） V /(2)3 N
和晶体中包含的原胞数目相同. 对于每个 q 有 3 个
声学波, (3n－3) 个光学波, 所以不同的格波的总数是
N(33n3) 3nN
正好等于晶体 Nn 个原子的自由度。这表明, 上述的格波已概括了晶体的全部振动模
边界条件表示, 沿着 ai 方向, 原胞的标 数增加 Ni , 振动情况必须相同 (i=1,2,3)
边界条件要求
q N 1 a 1 h1 2 ,
x1
h1 N1
q N 2 a 2 h2 2 ,
x2
h2 N2
q N 3 a 3 h3 2 ,
q
指数函数表示各种原子的振动都具有共同的平面 波的形式, q 是其波数矢量
A1 (A1x, A1y, A1z), A2 (A2x, A2y, A2z), …可以是复数, 表示各原子的位移分量的振幅和位相可以有区别
上式实际上表示了三维晶格格波的一般形式
同样可证明, 代回运动方程后, 得到以 A1x , A1y , A1z , …, Anx , Any , Anz 为未知数的 3n 个线性齐次联立方程
固体物理 第三章 晶格振动ppt课件
3N
独立的谐振子 声子
qk b ikq i 0
i 1
k 1 , 2 , , 3 N
q A si n( k kl lt l)
l 1
3 N
简正坐标下：
0 Q Q t ) l l sin( l 1
l 1 , 2 , , 3 N
第n个原子受到的合力为（仅考虑最近邻作用）
f f f ( x x 2 x ) n n , n 1 n , n 1 n 1 n 1 n
第n个原子的牛顿运动方程：
mx β( x x 2 x ) n n 1 n 1 n
每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个联立的线性齐次方程组 试解：
固体物理 第三 章 晶格振动
3.1晶体中原子的微振动 声子 晶体振动势能Uqi 按 q i 的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数 2 U 1 U 高阶项 U U ( ) q ( ) q q 0 0 i 0 i j q 2 q q i ij i i j 其中 U0 0 平衡位置处的势能为零势能点 U q 0 平衡位置处势能为极小值 i 0 2U 略去高阶项（简谐近似） bij q q i j 0
则原子间相互作用力
0
2
du du d u f ( x ) 2 x x dx dx dx x x 0
0
2
作用力常数
近似1：原子间作用力简化为弹性力。 近似2：只考虑最近邻原子间作用力
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 一维无限长单原子链
a 1 n2a n
3.1晶体中原子的微振动 声子
固体物理--第三章 晶格振动ppt课件
5
2a
2
q2 q1 a
5
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
6
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
子数不守恒。
11
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
a Mm
{
n-1 n n n+1
只考虑近邻原子间的弹性相互作用
{ 运动方程：
M n n n1 2n
m n n n1 2 n
试 解：
it naq
Ae n
{ Bei
q 0
光波： ＝c0q， c0为光速
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
18
2. 声学波（acoustic branch）
n n
M
m
2m
cos
1 2
aqei
12aq
M 2 m2 2Mm cosaq
2 2
L＝Na ——晶体链的长度
简约区中波数q的取值总数 q 2 Na 2
a 2 a
＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数=N·1 =晶体链的自由度数
7
四、格波的简谐性、声子概念
晶体链的动能：
固体物理：3-2 三维晶格的振动
每一个波矢q，对应三支声学波(每个(q)为一支），
3n-3支光学波，总共N3+ N(3n-3)=3nN个晶格振动数
目，3nN为原子自由度数之和。
原胞数
结论： 1）晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数； 2）格波振动模式数目等于晶体中所有原子的自由度数之和。
9
光学纵波 光学横波 声学纵波
声学横波
X
K L
三维晶格振动的问题及其复杂， 难以得到晶格振动的近似解， 通过对比一维复式格子，来推 导三维晶格振动的形式解
晶格振动的 普遍规律
3
a1,a2,a3为晶体原胞的基矢，沿基矢方向晶体各有N1,N2,N3 个原胞。共有N= N1N2N3个原胞；晶体由n种不同原子构成， 原子的质量分别为m1,m2…mn ，每个原胞中n个不同原子平 衡位置的相对坐标为r1,r2…rn.设顶点的位置矢量为
原子的位置准连续
2u x 2
q Ae 2 i(qx t )
q 2u
2u t 2
2Aei(qx t )
2u
长声学波
弹性波
14
二、长光学波
15
16
17
18
19
20
21
22
Rl l1a1 l2a2 l3a3
的原胞中n个原子在t时刻偏离起平衡位置的位移为
第p个原子在方向的运动方程为 ：
第l个原胞中
第n个原子
简谐近似下，位
移的线性代数式
4
试探解：
q一定，对于晶格中同一种原子，qrp相位一定
方向
Ap共有3n个
3n个线性齐次方程组
Ap非零，则系
数行列式为零
3n个的实根
5
3n个的实根中，有三个根，当波矢q0时， 0,声学支
固体物理讲义第四章
第四章 晶格振动和晶体的热学性质● 晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动● 原子的振动以波的形式在晶体传播（原子的振动波称为格波） ● 晶格振动对晶体的性质有重要影响 主要内容● 晶格动力学（经典理论，1912年由波恩和卡门建立）晶格振动的模式数量（有多少种基本的波动解） 晶格振动的色散关系（波动的频率和波数的关系）● 晶格振动的量子理论 ● 固体的热容量 4.1 一维单原子链的振动原子链共有N 个原胞，每个原胞只有一个原子,每个原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常数a,原子沿链方向运动,第n 个原子离开平衡位置的位移用x n 表示,第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移为 一维单原子链原子振动时，相邻两个原子之间的间距: 基本假设● 平衡时原子位于Bravais 格点上 ● 原子围绕平衡位置作微振动●简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项 微振动时：简谐近似：势能展开式保留到二次项微振动：原子离开平衡位置的位移与原子间距相比是小量。
晶体中原子的平衡位置由原子结合能（势）决定。
任何一种晶体，原子间的相互作用势能可以表述成原子之间距离的函数。
n n x x -=+1δδ+=a x ()()⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=+=222 21 )(δδδa ax d U d x d U d a U a U x U把qa改变一个2π的整数倍，原子的振动相同，因此可以把qa限制负pi和正pi之间，此范围以外的q值，并不提供新的物理内容.群速度是指波包的传播速度，dw/dq,也就是能量在介质中的传播速度。
在布里渊区的边界上，群速度为零，波是一个驻波。
4.2 一维双原子链的振动q趋于0时，w也趋于零，称为声学波4.3 三维晶格的振动(略) 一个原胞中有n 个原子晶格基矢： 原胞数目： 原子的质量： 对于一个波矢q,有3n 个ω（即有3n 支色散曲线） 在3n 支色散关系中，当q→0时（长波）：有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相同，这三支为声学波。
基础课程讲义3
华中科技大学固体物理本次课的讲课内容第三章：晶格振动3.1简谐近似和简正坐标3.2一维单原子链3.3一维双原子链3.4三维晶格振动3.5确定晶格振动的试验方法3.1简谐近似和简正坐标晶格振动的研究最早从晶体的热学性质开始的，高温情况下热熔符合杜隆柏悌定则。
低温情况下，晶体热熔符合3T 律（涉及量子理论），研究晶体晶格振动的意义不限于热学性质，还包括晶体的电学性质，光学性质，超导电性，磁性，及结构相变，，，，从经典力学的观点看，晶格振动是典型的小震动问题，即，，，如果晶体包括N 个原子，平衡位置为n R ，偏离平衡位置的位移矢量为：()n t μ，则原子的实际位置矢量：()()'n n n R t t R μ=+，选用广义坐标系：位移矢量n μ用分量表示，N 个原子的位移矢量共有3N 个分量，写成：()1,2,......,3i i N μ=，以此作为广义坐标系，则整个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：23301,1001......2NN i i j i i j i i jV V V V μμμμμμ==⎛⎫⎛⎫∂∂=+++∑∑⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 零表明是平衡位置时所具有的值。
可以设00V =,且有:00i V μ⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭ 略去二阶以上的高阶项，就得到：23,1012N i j i j i jVV μμμμ=⎛⎫∂=∑⎪ ⎪∂∂⎝⎭,略去高阶项是有一定意义的，这称为简谐近似。
考虑到高阶项的作用，称为非简谐近似。
N 个原子体系的动能函数：203112N i i i T m μ==∑每个谐振子的波动方程的形式以及对应的能量本征值的形式，一定要记熟。
。
3.2一维单原子链晶体具有周期性，因而，晶格的振动模具有波的形式，称为格波。
将单原子链看做是一个最简单的晶格，平衡时相邻原子的距离为a ，每个原胞只含有一个原子，质量为m ，原子限制在沿链的方向移动，偏离格点的位移用：11......,,......n n n μμμ-+表示，只有相邻原子间存在相互作用，相互作用能可以一般写成：()()21 (2)a a νδνβδ+=++δ表示相对平衡位置a 的偏离。
固体物理学3晶格振动
第三章 晶格振动与晶体热力学性质3-1 一维晶格的振动一、 一维单原子链(简单格子)的振动 1. 振动方程及其解(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a ，原子质量为m 。
用xn 和xk 分别表示序号为n 和k 的原子在t 时刻偏离平衡位置的位移，用x nk = x n -x k 表示在t 时刻第n 个和第k 个原子的相对位移。
(2)振动方程和解平衡时，第k 个原子与第n 个原子相距0r a k n =-)(r u 为两个原子间的互作用势能，平衡时为)(0r u ，t 时刻为)()(0r r u r u δ+=)()(0r r u r u δ+=⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3332220)(d d 61)(d d 21d d )(000r r u r r u r r u r u r r r δδδ ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=3332220000d d 61d d 21d d )()(nk r nk r nk r x r u x r u x r u r u r u 第 n 个与第 k 个原子间的相互作用力:⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=2332200d d 21d d d d nk r nk r nkx r u x r u r u f 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（δr ）二次方以上的高次项---简谐近似。
(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。
) 得: nk nk r nkx x r u f β-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022d d 022d d r r u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=β()k n kn x x f --=∑β原子的振动方程: ()k n knx x mx--=∑β..只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：()()11..+-----=n n n n x x x x n m x ββ ()11..2+----=n n n x x x nm x β给出试探解：()naq t i n A x --=ωe ])1([1e aq n t i n A x +--+=ω原子都以同一频率ω，同一振幅A 振动,其中naq 表示第n 个原子在t=0时刻的振动相位，相邻原子间的位相差为aq 。
固体物理第10讲、三维晶格振动
2
第2n+1个M原子的方程 M 2n1 (22n1 2n2 2n ) 第2n个m原子的方程 m2n (22n 2n1 2n1)
—— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式：2n Aei[t(2na)q]
and
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
15
第k个原子运动方程
—— 原子在三个方向上的位移分量 —— 一个原胞中有3n个类似的方程 方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解形式为：
将方程解代回3n个运动方程
16
—— 3n个线性齐次方程
—— 系数行列式为零条件，得到3n个 j ( j 1, 2, 3, 3n)
长波极限
3个
——
趋于一致
24
q
Si
25
GaAs
26
三、二维布里渊区 —— 1、正方格子的布里渊区 正方格子的基矢 倒格子原胞基矢
27
第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格点 垂直平分线方程
—— 第一布里渊区 大小
28
第二布里渊区 由4个倒格点
的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
29
第三布里渊区 由4个倒格点
—— 声学波
7
q的取值 M和m原子振动波函数
相邻原胞之间位相差
波矢q的值 q —— 第一布里渊区
2a
2a 布里渊区大小 / a
采用周期性边界条件
q h 22aN8 Nhomakorabeaq的取值
q h 2 —— h为整数
2aN
每个波矢在第一布里渊区占的线度 q
Na
第一布里渊区允许的q值的数目 / N
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晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数， 格波的支数=原胞内原子的自由度数。
一维单原子链，设晶体有N个原胞。
原胞内原子的自由度数=1
1支格波
晶体的自由度数=N
频率数为N
一维双原子链，设晶体有N个原胞。
原胞内原子的自由度数=2
2支格波
晶体的自由度数=2N
频率数为2N
每个波矢代表点占有的体积为：
b2
b1 N1
b2 N2
b3 N3
Ω N
(2π)3 NΩ
(2π)3 Vc
N2
b1
正格子原胞体积 晶体体积
N1
(二维图示)
波矢密度：波矢空间中单位体积的波矢数目。
1
Vc
( 2 π) 3
( 2 π) 3
Vc
每个波矢代表点占有的体积为： (2π)3
q q K h
Vc
u
3.2.2 波矢q的取值和范围
设晶体有N个原胞,原胞的基矢为：a1 ,a2 ,a3;
沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞, N N1 N 2 N 3
Rl N1a1
(l1 N1 )a1 l2 a2 l3 a3
Rl N2 a2 l1a1 (l2 N2 )a2 l3 a3
根据玻恩---卡门周期性条件：
i t R l .q s
ms 2 As 可得到3n 个线性齐次方程。
As有非零解,必须其系数行列式为零
3n个的实根
在3n个实根中，其中有3个当波矢q 0时,
Ai vAi (q)q ,(i 1,2,3) 这3支格波称为声学支格波。
其余的(3n-3)支格波的频率比声学波的最高频率还要高称 之为光学支格波。
第二节 三维晶格的振动
本节主要内容: 3.2.1 色散关系 3.2.2 波矢q的取值和范围
模型 运动方程
试探解
色散关系 波矢q范围
B--K条件 波矢q取值
一维问题的处理步骤:
2n-2 2n-1 2
M
m
n
2n+1 2n+2
a ..
x M 2 n x 2 n1 x 2 n1 2 x 2 n ..
晶格振动频率数目: N 3 N (3n 3) 3nN
设晶体有N个原胞,每个原胞有n个原子,
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。
m支声学波，m(n-1)支光学波，这里m是晶体的维数，n 是原胞中原子的数目。
Rl N2 a2
a2 R l a1
Rl N1a1
u
l s
u
l1, l2, l3 s
u
l1
N1, s
l2l3
u
l s
u
l1, l2, l3 s
u
l1 , l2
s
N 2,l3
u
l s
u
l1, l2, l3 s
u
l1 , l2,l3 s
N3
u
l s
A e i t R l . q
例2：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶 体有N个原胞，晶格振动模式数为多少?
答: 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。
金刚石结构为复式格子, 每个原胞有2个原子。
m 3,n 2,
有6支格波，3支声学波，3支光学波。 振动模式数为6N。
m x 2 n 1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n1
x 2 n 1 A e i t 2 n 1 aq
x 2 n B e i t 2 naq
2 {(m M) m2 M 2 2mM cos2aq}
mM
π q π
2a
2a
x2n x2(n N )
(
q
)
l s
A e i t R l .( s
A e i t Rl .q s
q K h )
u
(
q
)
l s
将 q 的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为简
约布里渊区。
波矢可取的数目：
Ω
(
Vc 2 π)
3
Ω N Ω ( 2 π) 3
N
3支声学波 A (q)
q (3n-3)支光学波 O (q)
e e i(tRl q ) i tRl qN1a1q e e i(tRl q ) i tRl qN2a2q
e e i(tRl q ) i tRl qN3a3q
Rl N2 a2
a2 R l a1
Rl N1a1
N1a1 q 2π1 N2 a2 q 2π2 N3 a3 q 2π3
a1 q 1 2π N1
a2 q 2 2π
N2
a3 q 3 2π
N3
(1、2、3为整数)
波矢q 具有倒格矢的量纲，得出:
q
1
b1 N1
2
b2 N2
3
b3 N3
(b 1、b 2、b 3为倒格基矢 )
三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中 b1 、b2 、b3
N1 N2 N3
为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。
u
l s
表示顶点位矢为
Rl 的原胞内
第s个原子离开平衡位置在方向的位移。
rs
Rl
(2)运动方程和解
u ms
..
l s
(=1,2,3；s=1,2,3,···,n)
[ (=3,s=n)共有3n个方程]
在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。
试探解：
u
l s
A e A e i t R l r s .q s
§3.2 三维晶格的振动
3.2.1 色散关系 1.模型
设三维无限大的晶体,每个原胞中有n个原子，各原子的质
量分别为 m1 , m2 , m3 , , mn; 原胞中这n个原子平衡时的相对位 矢分别为 r1 , r 2 , r 3 , , r。n
Rl r s 表示平衡时顶点位矢为 Rl 的原胞内第s个原子的 位矢；