高一期末计算题强化训练3
高一第二学期期末数学练考卷(三)含答案解析
高一第二学期期末数学练考卷(三)含答案解析注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）1. 对于相关系数r 下列描述正确的是（ ） A.r >0表明两个变量线性相关性很强 B.r <0表明两个变量无关C.|r|越接近1，表明两个变量线性相关性越强D.r 越小，表明两个变量线性相关性越弱2. 下列说法错误的是（ ）A.一个算法应包含有限的操作步骤，而不能是无限的B.有的算法执行完后，可能有无数个结果C.一个算法可以有0个或多个输入D.算法中的每一步都是确定的，算法的含义是唯一的3. 若角α满足1+sin 2α1+cos 2α=12，则tan (α−π3)=( ) A.0 B.−√3 C.√3 D.−√334. 在平行四边形ABCD 中，|AD|＝1，∠BAD ＝60∘，E 为CD 的中点，若AD →⋅EB →=1，则|AB|等于（ ） A.2 B.4 C.6 D.85. 函数f(x)=−2tan (x −π4)的定义域为( ) A.{x|x ≠kπ+3π4，k ∈Z }B.{x|x ≠k +34，k ∈Z } C.{x|x =kπ+34π，k ∈Z } D.{x|x ≠kπ+π4，k ∈Z }6. 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C>0)，该扇形的最大面积为（）A.C4B.C24C.C216D.C227. 已知cos2θ=35，则sin4θ−cos4θ的值为（）A.4 5B.35C.−35D.−458. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是( )A.“至少1名男生”与“全是女生”B.“至少1名男生”与“至少有1名是女生”C.“至少1名男生”与“全是男生”D.“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”9. 下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ；②一个沿直线y=x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某城市在1天内发生的火警次数；④1天内的温度η．其中是离散型随机变量的是（）A.①②B.③④C.①③D.②④10. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值nm= ()A.1B.3C.83D.92…订…………○………线…………○11. 执行如图所示的程序框图，若m =4，则输出的n 的值为（ ）A.9B.10C.11D.1212. 函数f(x)=A sin (ωx +φ),(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈(−π6,π3)，x 1≠x 2且f (x 1)=f (x 2)，则f (x 1+x 2)=（ ）A.12B.√22C.√32D.1二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）13. 设向量a →=(1, x −1)，b →=(x +1, 3)，则“x =2”是“a → // b →”的________．14. 某村有2500人，其中青少年1000人，中年人900人，老年人600人，为了调查本村居民的血压情况，采用分层抽样的方法抽取一个样本，若从中年人中抽取36人，从青年人和老年人中抽取的个体数分别为a ，b ，则直线ax +by +8＝0上的点到原点的最短距离为________．15. 甲、乙两人在相同的条件下进行投篮，甲投中的概率是0.8，乙投中的概率是0.9，两人各投篮一次，恰有一人投中的概率是________．16. 将函数f(x)＝sin (2x +π12)的图象向左平移φ(0<φ<π2)个单位后，所得函数图象关于原点对称，则φ＝________11π24．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）17. （10分） 在平面直角坐标系内,角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在直线y =−2x 上,求sin α,cos α,tan α的值.18.(12分) 已知向量a →=(cos ωx −sin ωx, sin ωx)，向量b →=(−cos ωx −sin ωx, 2√3cos ωx)，设函数f(x)=a →⋅b →，(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω为常数，且ω∈[12,1]． （1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在区间[0,3π5]上的取值范围．19.(12分) 《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20∼80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．20. （12分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．(Ⅰ)求图中a的值；(Ⅱ)队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；(Ⅲ)在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）21. （12分） 已知函数f(x)＝sin x cos x +√3cos 2x ． (Ⅰ)求f(π3)的值；(Ⅱ)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值．22.(12分)一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：（1）利用散点图或相关系数r 的大小判断变量y 与x 是否线性相关？（2）如果y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（最后结果精确到0.001）参考数据：√656.25≈25.617，16×11+14×9+12×8+8×5=438， 162+142+122+82=660，112+92+82+52=291． 回归分析有关公式： r =∑(n i=1x −x ¯)(y −y ¯)√∑(ni=1x i −x )2√∑(n i=1y i −y )2b ̂=∑(ni=1x i −x ¯)(y i −y ¯)∑(n i=1x i −x ¯)2=∑x i ni=1y i −nx ¯y ¯∑x i 2n i=1−x¯2， a ̂=y ¯−bx ¯．参考答案与试题解析 2020年7月6日高中数学一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【解答】解：两个变量之间的相关系数，r 的绝对值越接近于1， 表面两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关， 故选C ． 2.【解答】解：因为算法具有：(1)明确性，(2)有穷性，(3)有序性，(4)不唯一性，(5)普遍性．由算法的明确性可知，算法能有效地执行且得到确定的结果，不能模棱两可，故B 不正确． 故选：B ． 3. 【解答】 由1+sin 2α1+cos α=12，得2+2sin 2α＝1+cos 2α，又sin 2α+cos 2α＝1，代入解得sin α＝0，即α＝kπ，k ∈Z 则tan (α−π3)=tan (kπ−13π)＝−tan 13π=−√3． 4. 【解答】如图：∵ EB →=AB →−AE →=AB →−(AD →+DE →)=AB →−AD →−12AB →=12AB →−AD →， ∴ AD →⋅EB →=AD →⋅(12AB →−AD →)=12AD →⋅AB →−AD →2=12|AD →|×|AB →|cos ∠BAD −12=14|AB|−1，∴ 14|AB|−1＝1，∴ |AB|＝（8）5. 【解答】解：要使函数f(x)=−2tan (x −π4)有意义，必有x −π4≠kπ+π2，k ∈Z ， 所以函数的定义域{x|x ≠kπ+3π4, k ∈Z }．故选A ． 6. 【解答】解：∵ 扇形周长c =2R +l =2R +αR ， ∴ R =C 2+α，∴ S 扇=12α⋅R 2=12α(C2+α)2=C 22⋅14+α+4α≤C 216．∴ 当且仅当α=4α，即α=2（α=−2舍去）时，扇形面积有最大值C 216． 故选：C ． 7. 【解答】∵ cos 2θ＝cos 2θ−sin 2θ=35，∴ sin 4θ−cos 4θ＝(sin 2θ−cos 2θ)(sin 2θ+cos 2θ)＝sin 2θ−cos 2θ＝−(cos 2θ−sin 2θ)=−35， 8.【解答】解：从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛， “至少1名男生”与“全是女生”是对立事件； “至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥； “至少1名男生”与“全是男生”不互斥；“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件； 故选D . 9.【解答】解：在①中，由离散型随机变量的定义得：一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是离散型随机变量，故①是离散型随机变量；在②中，一个沿直线y =x 进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是连续型随机变量，故②不是离散型随机变量；在③中，由离散型随机变量的定义得：某城市在1天内发生的火警次数是离散型随机变量，故③是离散型随机变量； 在④中，1天内的温度η是连续型随机变量，故④不是离散型随机变量． 故选：C ． 10.【解答】解：根据茎叶图，得； 乙的中位数是33，∴ 甲的中位数也是33，即m =3； 甲的平均数是x 甲¯=13(27+39+33)=33，乙的平均数是x 乙¯=14(20+n +32+34+38)=33， ∴ n =8，∴ nm =83，故选：C ． 11.【解答】解：x =1，n =1，满足条件x <4，执行循环， x =43，n =2，满足条件x <4，执行循环， 依此类推， x =113，n =9，满足条件x <4，执行循环，x =4，n =10，不满足条件x <4，退出循环， 此时n =10 故选B ． 12.【解答】根据题意，函数f (x )=A sin (ωx +φ)中，A =1， 周期T =2[π3−(−π6)]=π，所以ω=2，又函数图象过点(−π6,0)，即2×(−π6)+φ=2kπ，k ∈Z ， 又|φ|<π2，所以φ=π3，所以f (x )=sin (2x +π3)， 所以sin (2×π12+π3)=1，即图中最高点的坐标为(π12,1)， 又x 1，x 2∈(−π6,π3)且f (x 1)=f (x 2)， 所以x 1+x 2=π12×2=π6，所以f (x 1+x 2)=sin (2×π6+π3)=√32，故选C ． 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【解答】解：x =2，a →=(1, 1)，b →=(3, 3)，显然“a → // b →”，但是x =−2时“a → // b →”也成立．“x =2”⇒“a → // b →”；充分不必要条件．故答案为充分不必要条件 14. 【解答】由题意，36900=a1000=b600， ∴ a ＝40，b ＝24，∴ 直线ax +by +8＝0，即5x +3y +1＝0上的点到原点的最短距离为√25+9=√3434．15.【解答】甲、乙两人在相同的条件下进行投篮，甲投中的概率是0.8，乙投中的概率是0.9，两人各投篮一次， 恰有一人投中的概率是：P ＝0.8×(1−0.9)+(1−0.8)×0.9＝0.26． 16. 【解答】函数f(x)＝sin (2x +π12)的图象向左平移φ(0<φ<π2)个单位后，得到g(x)＝sin (2x +2φ+π12)的图象， 由于函数图象关于原点对称， 所以2φ+π12=kπ，所以φ=kπ2−π24(k ∈Z)，当k ＝1时，φ=11π24．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） 17.【解答】解：①当角α的终边在射线y =−2x(x ≥0)上时， 取点P(1，−2)，|OP|=√5， 则sin α=√5=−2√55， cos α=5=√55,tan α=−21=−2.②当角α的终边在射线y =−2x(x ≤0)上时， 取点P(−1，2)，|OP|=5, 则sin α=√5=2√55, cos α=√5=−√55, tan α=2−1=−2.18. 【解答】向量a →=(cos ωx −sin ωx, sin ωx)，向量b →=(−cos ωx −sin ωx, 2√3cos ωx)，函数f(x)=a →⋅b →， 所以f(x)＝sin 2ωx −cos 2ωx +2√3sin ωx ⋅cos ωx＝−cos 2ωx +√3sin 2ωx ＝2sin (2ωx −π6)，由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin (2ωπ−π6)=±1，所以2ωπ−π6=kπ+π2(k ∈Z)，即ω=k 2+13(k ∈Z)．又ω∈[12,1]，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω=56．所以f(x)的最小正周期是6π5． 因为f(x)＝2sin (53x −π6)，由0≤x ≤3π5，得−π6≤53x −π6≤5π6，所以−12≤sin (53x −π6)≤1， 得−1≤2sin (53x −π6)≤2 故函数f(x)在[0,3π5]上的取值范围为[−1, 2]．19. 【解答】解：（1）酒精含量(mg/100ml)在[20, 30)的频率组距为320×10=0.015，在[30, 40)的频率组距为420×10=0.020， 在[40, 50)的频率组距为120×10=0.005， 在[50, 60)的频率组距为420×10=0.20， 在[60, 70)的频率组距为220×10=0.010， 在[70, 80)的频率组距为320×10=0.015， 在[80, 90)的频率组距为220×10=0.010， 在[90, 100]的频率组距为120×10=0.005；绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示：…（2）检测数据中醉酒驾驶（酒精含量在80mg/100ml （含80）以上时）的频率是试卷第11页，总12页 2+120=0.15；… 根据频率分布直方图，小矩形图最高的是[30, 40)和[50, 60)， 估计检测数据中酒精含量的众数是35与55；… 估计检测数据中酒精含量的平均数是 0.015×10×25+0.020×10×35+0.005×10×45+0.020×10×55 +0.010×10×65+0.015×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=55．… 20. 【解答】 （1）由图可得 0.01+a +0.19+0.29+0.45＝1， 所以 a ＝0.(06) （2）设事件A 为“队员甲进行1次射击，中靶环数大于7”． 则事件A 包含三个两两互斥的事件：中靶环数为8，9，10， 所以 P(A)＝0.45+0.29+0.01＝0.(75) 设事件A i 为“队员甲第i 次射击，中靶环数大于7”，其中i ＝1，2， 则P(A 1)＝P(A 2)＝0.(75) 设事件B 为“队员甲进行2次射击，恰有1次中靶环数大于7”． 则B =A 1A 2¯+A 1¯A 2，A 1，A 2独立． 所以 P(B)=P(A 1A 2¯)+P(A 1¯A 2)=34×14+14×34=38． 所以，甲恰有1次中靶环数大于7的概率为38． (Ⅲ)队员甲的射击成绩更稳定． 21. 【解答】 ∵ f(x)＝sin x cos x +√3cos 2x =12sin 2x +√3(1+cos 2x)2， =12sin 2x +√32cos 2x +√32， ＝sin (2x +13π)+√32， (I)f(π3)=√32， (II)∵ 0≤x ≤12π， ∴ 13π≤2x +13π≤4π3， 结合正弦函数的性质可知，当2x +13π=12π即x =π12时，函数取得最大值1+√32． 22. 【解答】试卷第12页，总12页 解：（1）x ¯=12.5，y ¯=8.25，∑(4i=1x i −x ¯)(y i −y ¯)=25.5，√∑(4i=1x 1−x ¯)2∑(4i=1y i −y ¯)2=√656.25≈25.617， ∴ r ≈0.995>0.75，y 与x 有线性相关关系．（2）∑(4i=1x i −x ¯)2=35，∴ b ̂=25.535≈0.729，a ̂=y ¯−b ̂x ¯≈−0.857， ∴ 回归直线方程为y ̂=0.729x −0.857． （3）0.729x −0.857≤10，解得x ≤14.893．。
2023-2024学年北京市高一上学期数学人教A版-三角函数-强化训练-3-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年北京市高一上学期数学人教A版-三角函数-强化训练(3) 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）-11. 若角的终边经过点 ， 则（ ）A .B .C .D .12.（ ）A .B .C .D .3. 已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围为（ ）A .B .C .D .sin α＜0cos α＜0sin α•cosα＜0 sin α﹣cos α＜04. 若tan α＜0，则（ ）A .B .C .D .对称轴方程是x= +2kπ（k∈Z）φ=﹣最小正周期为π5. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示，则关于f（x）的说法正确的是（ ）A .B .C .在区间（ ， ）上单调递减D .6. 一个扇形的半径为 ，弧长是半径的 倍，则扇形的面积等于（ ）A .B .C .D .的图象关于点 对称 的图象关于直线 对称在 上单调递减 在 上的最小值为07. 设函数 ，则下列结论中正确的是（ ）A .B .C .D .3618368. 1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）A .B .C .D .y=sin y=sin（x-)y=sin(x-)y-sin(2x-)9. 将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A .B .C .D .10. 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A .B .C .D .11. 已知弧长为的弧所对的圆心角为 ， 则该弧所在的扇形面积为（ ）A .B .C .D .012312. 函数 的零点个数为（ ）A .B .C .D .13. 已知 为非零实数， ，且同时满足：① ，② ，则 的值等于 ．14. 函数 最大值为 ．15. 圆心角为 ,弧长为2的扇形的面积为 .16. 如果tanα= ， 那么cosα的值为17. 已知 ．(1) 若 为锐角，求 ；(2) 求 ．18. 已知向量 =（2cos2x， ）， =（1，sin2x），函数f（x）= • ﹣1．(1) 当x= 时，求|a﹣b|的值；(2) 求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；(3) 求方程f（x）=k，（0＜k＜2），在[﹣ ， ]内的所有实数根之和．19.(1) 将 写成 的形式，其中 ；(2) 写出与（1）中角 终边相同的角 的集合并写出在 的角 .20. 已知函数 ， 满足.(1) 求的值；(2) 求函数的单调递增区间.21. 已知角 终边与单位圆交于点(1) 求 的值；(2) 若 ，求 的值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)第 11 页 共 11 页。
高一数学平面向量计算强化练习与答案
一．选择题（共14小题）1．下列各式中结果为零向量的是高一数学平面向量计算强化练习()A ．AB MB BO OM +++ B ．AB AD DC -- C ．OA OC BO CO+++ D ．AB AC BD CD-+- 2．设,a b是两个不共线的向量，若向量()m a kb k R =+∈ 与向量2n a b =- 共线，则()A ．12k =-B ．0k =C ．12k =D ．1k =3．若平面四边形ABCD 满足：AB AD AC +=，()()0AB AD AB AD -⋅+= ，则该四边形一定是()A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形4．已知m ，n是夹角为60︒的两个单位向量，则|2|(m n += )ABCD．5．已知单位向量a，b 满足0a b ⋅=，若向量c a = ，则cos ,(a c 〈〉= )A．2B ．12C．4D ．146．已知向量(4,3)AB = ，(3,)AC t = ，||1BC = ，则AB AC ⋅等于()A ．3B ．4C ．15D ．217．已知向量(1,2),(5,)a b k =-= ．若||a b +不超过5，则k 的取值范围是()A ．[5-，1]B ．[1-，5]C ．[6-，2]D ．[2-，6]8．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且4AP =，则(AP AC ⋅=)A ．32B ．18C ．16D ．89．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且42,53AM AB AN AD ==，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为()A ．35B ．57C ．411D ．81510．在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，则(DF =)A ．1233AB AD-+B ．2133AB AD-+C ．1233AB AD-D ．2133AB AD-11．下列向量运算结果错误的是()A ．a b d e ++=B ．c f d =-C ．a c b=- D ．c d e g++=12．圆内接四边形ABCD 中，2AD =，4CD =，BD 是圆的直径，则(AC BD ⋅=)A ．12B ．12-C ．20D ．20-13．已知非零向量a ，b 满足||2||a b = ，且()a b b -⊥ ，则a与b 的夹角为()A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π14．已知正六边形ABCDEF 中，G 是AF 的中点，则(CG =)A ．5384CE DA+B ．2536CE DA+C ．3548CE DA+D ．5263CE DA+二．多选题（共6小题）15．已知向量(1,2)AB = ，(2,4)AC =-，则()A ．(3,2)BC =-B ．||2||AC AB = C ．//AB ACD ．与AB 方向相同的单位向量为16．已知平面向量(1,2)a =，(2,1)b =-- ，则下列命题中正确的有()A ．a b> B ．||a b +=C ．a b⊥ D ．4cos ,5a b <>=-17．已知(2,1,2)a =-，(2,2,1)b = ，则()A ．a，b 夹角为锐角B ．a b + 与a b -相互垂直C ．||||a b a b +=- D ．以a，b18．已知平面向量(1,0)a =，b = ，则下列说法正确的是()A ．||16a b +=B ．()2a b a +⋅= C ．向量a b + 与a的夹角为60︒D ．向量a b + 在a 上的投影向量为2a19．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，AF CE G = ，则()A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+C ．2133AG AD AB=- D ．3BG GD=20．已知向量(4,2)a =-，(2,)b t = ，则下列说法正确的是()A ．当a b ⊥时，4t =B ．当//a b时，1t =-C ．a与b 夹角为锐角时，则t 的取值范围为(4,)+∞D ．当2t =时，a在b 上的投影为2三．填空题（共5小题）21．设1e ，2e 是空间两个不共线的向量，已知12AB e ke =+ ，1254BC e e =+ ，122DC e e =--，且A ，B ，D 三点共线，则实数k =．22．若向量(6,8)a =- ，则与a平行的单位向量是．23．若向量(,2)a x = ，(3,)b y =- ，(1,2)c =--，且()()a c b c -⊥+ ，则||a b - 的最小值为．24．已知向量,a b满足||6,(a b == ，且||0(0)a b λμλμ+=≠ ，则||λμ的值为．25．已知向量(3,2)a =，(1,1)b x =- ，若()a b a -⊥ ，则|2|a b +=．一．选择题（共14小题）1．下列各式中结果为零向量的是高一数学平面向量计算强化练习答案()A ．AB MB BO OM +++ B ．AB AD DC -- C ．OA OC BO CO+++ D ．AB AC BD CD-+- 【分析】根据向量的加法与减法的几何意义即可求解．【解答】解：对A ， AB MB BO OM AB MB BM AB +++=++=，A ∴错误；对B ， AB AD DC DB DC CB --=-=，B ∴错误；对C ， OA OC BO CO BO OA BA +++=+=，C ∴错误；对D ， 0AB AC BD CD AD AD -+-=-=，D ∴正确．故选：D ．【点评】本题考查向量的线性运算，属基础题．2．设,a b是两个不共线的向量，若向量()m a kb k R =+∈ 与向量2n a b =- 共线，则()A ．12k =-B ．0k =C ．12k =D ．1k =【分析】由题意知存在x R ∈，使m xn =，代入化简得12x k x =⎧⎨=-⎩，解方程组即可．【解答】解： 向量()m a kb k R =+∈ 与向量2n a b =-共线，∴存在x R ∈，使m xn =，即(2)a kb x a b +=-，即2a kb xa xb +=-，又 设,a b是两个不共线的向量，∴12xk x =⎧⎨=-⎩，解得12k =-；故选：A ．【点评】本题考查了向量的运算及向量共线的应用，属于基础题．3．若平面四边形ABCD 满足：AB AD AC +=，()()0AB AD AB AD -⋅+= ，则该四边形一定是()A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形【分析】根据题意，AB AD AC +=，满足平行四边形法则，所以四边形ABCD 是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可得出．【解答】解： AB AD AC +=，∴四边形ABCD 是平行四边形，()()0AB AD AB AD -⋅+=，即0DB AC ⋅=，∴对角线DB AC ⊥，∴平行四边形ABCD 是菱形，故选：B ．【点评】本题考查了向量的相等、数量积运算、平行四边形与菱形的判定定理，属于基础题．4．已知m ，n是夹角为60︒的两个单位向量，则|2|(m n += )A B C D ．【分析】由|2|m n += 可解得此题．【解答】解：|2|m n +=== ．故选：C ．【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算及向量模，考查数学运算能力，属于基础题．5．已知单位向量a，b 满足0a b ⋅= ，若向量c a = ，则cos ,(a c 〈〉= )A ．32B ．12C ．34D ．14【分析】根据条件进行数量积的运算可求出a c ⋅和||c 的值，从而根据向量夹角的计算公式可求出cos ,a c <>的值．【解答】解： ,a b为单位向量，且0a b ⋅= ，∴()1a c a a ⋅=⋅+= ，||1a =，||2c === ，∴1cos ,||||2a c a c a c ⋅<>==．故选：B ．【点评】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．6．已知向量(4,3)AB = ，(3,)AC t = ，||1BC = ，则AB AC ⋅等于()A ．3B ．4C ．15D ．21【分析】先由平面向量的线性运算求得BC，再由平面向量模的坐标表示得到关于t 的方程，解之即可利用平面向量数量积的坐标表示求得AB AC ⋅．【解答】解：因为(4,3)AB = ，(3,)AC t =，所以(1,3)BC AC AB t =-=--，因为||1BC = ，所以22(1)(3)1t -+-=，解得3t =，则(3,3)AC = ，所以433321AB AC ⋅=⨯+⨯=．故选：D ．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．7．已知向量(1,2),(5,)a b k =-= ．若||a b +不超过5，则k 的取值范围是()A ．[5-，1]B ．[1-，5]C ．[6-，2]D ．[2-，6]【分析】根据求模公式将||a b +用k 表示出来，解关于k 的不等式即可．【解答】解：由已知得(4,2)a b k +=+，故||5a b +=，化简得2(2)9k + ，解得51k -．故选：A ．【点评】本题考查平面向量的坐标表示和模的计算公式，属于基础题．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且4AP =，则(AP AC ⋅= )A ．32B ．18C ．16D ．8【分析】由平面向量数量积的运算求解即可．【解答】解：设AC BD O = ，则222||||cos 2||21632AP AC AP AO AP AO OAP AP ⋅=⋅=∠==⨯=，故选：A ．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．9．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且42,53AM AB AN AD ==，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为()A ．35B ．57C ．411D ．815【分析】根据已知条件，结合平面向量的基本定理，即可求解．【解答】解： 42,53AM AB AN AD ==，∴5353()()4242AP AC AB AD AM AN AM AN λλλλλ==+=+=+，M ，N ，P 三点共线，∴53142λλ+=，解得411λ=．故选：C ．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．10．在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，则(DF = )A ．1233AB AD -+ B ．2133AB AD -+C ．1233AB AD - D ．2133AB AD-【分析】由题可得23DF DE =，再根据向量运算法则即可表示．【解答】解：因为E 是BC 的中点，//AD EC ，所以||||2||||DF AD EF EC ==，所以222121()()333233DF DE DC CE AB AD AB AD ==+=-=- ．故选：D ．【点评】本题考查平面向量基本定理，考查向量的线性运算，属基础题．11．下列向量运算结果错误的是()A ．a b d e ++=B ．c f d =-C ．a c b =-D ．c d e g++= 【分析】直接利用三角形法则进行计算选项即可．【解答】解：A 选项：a b d c d f ++=+=，故A 选项错误；B 选项：f d AD CD AC c -=-==，故B 选项正确；C 选项：c b AC BC AB a -=-==，故C 选项正确；D 选项：c d AC CD DE AE g +=++==，故D 选项正确．故选：A ．【点评】本题主要考查平面向量三角形法则，属于基础题．12．圆内接四边形ABCD 中，2AD =，4CD =，BD 是圆的直径，则(AC BD ⋅=)A ．12B ．12-C ．20D ．20-【分析】由平面向量的减法运算知，()AC BD DC DA DB ⋅=--⋅，展开后，结合平面向量数量积的几何意义，可转化为22||||AC BD DA DC ⋅=-，代入数据，运算即可．【解答】解：因为BD 是圆的直径，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，所以2222()||||cos ||||cos ||||2412AC BD DC DA DB DA DB DC DB DA DB ADB DC DB BDC DA DC ⋅=--⋅=⋅-⋅=⋅∠-⋅∠=-=-=-．故选：B ．【点评】本题考查平面向量在平面几何中的应用，理解平面向量数量积的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13．已知非零向量a ，b 满足||2||a b = ，且()a b b -⊥ ，则a与b 的夹角为()A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【分析】由()a b b -⊥ ，可得()0a b b -⋅= ，进一步得到2||||cos ,0a b a b b <>-=，然后求出夹角即可．【解答】解：()a b b -⊥，∴2()a b b a b b-⋅=⋅- 2||||cos ,0a b a b b =<>-=，∴2||cos ,||||b a b a b <>=22||122||b b == ，,[0,]a b π<>∈，∴,3a b π<>=．故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．14．已知正六边形ABCDEF 中，G 是AF 的中点，则(CG =)A ．5384CE DA+B ．2536CE DA+C ．3548CE DA+D ．5263CE DA+【分析】选AF ，AB 为基向量，将CG ，CE ，DA用基向量表示后可得．【解答】解：1112222CG CB BA AG OA BA AF AF AB AB AF AF AB =++=++=---+=--；555528844DA OA AF AB =⨯=-- ；33333()44444CE BF AF AB AF AB ==-=-，∴353355124844442CE DA AF AB AF AB AF AB +=---=--．故选：C ．【点评】本题考查了平面向量基本定理，属中档题．二．多选题（共6小题）15．已知向量(1,2)AB = ，(2,4)AC =-，则()A ．(3,2)BC =-B ．||2||AC AB = C ．//AB ACD ．与AB 方向相同的单位向量为【分析】利用向量的坐标运算计算即可．【解答】解：A 选项，(3,2)BC AC AB =-=-，故A 正确；B 选项，||AC ==||AB ==，故B 正确；C 选项，142(2)0⨯-⨯-≠，故C 错误；D 选项，||AB AB = ，故D 正确．故选：ABD ．【点评】本题考查向量的坐标运算，需熟练掌握向量坐标运算公式．16．已知平面向量(1,2)a =，(2,1)b =-- ，则下列命题中正确的有()A ．a b >B ．||a b +=C ．a b⊥ D ．4cos ,5a b <>=-【分析】对于A ，结合向量不能比较大小，即可求解，对于B ，结合向量模公式，即可求解，对于C ，结合向量垂直的性质，即可求解，对于D ，结合平面向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：对于A ，向量不能比较大小，故A 错误，对于B ， (1,2)a =，(2,1)b =-- ，∴(1,1)a b +=-，∴||a b +== ，故B 正确，对于C ，40a b ⋅=-≠，故C 错误，对于D ， (1,2)a =，(2,1)b =-- ，∴||a =，||b = ，4a b ⋅=- ，∴4cos ,5||||a b a b a b ⋅<>==-，故D 正确．故选：BD ．【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，考查转化能力，属于基础题．17．已知(2,1,2)a =-，(2,2,1)b = ，则()A ．a，b 夹角为锐角B ．a b + 与a b -相互垂直C ．||||a b a b +=- D ．以a，b 【分析】对A ，根据向量的夹角公式的坐标运算即可求解；对B ，根据向量垂直的性质即可求解；对C ，根据向量模的公式即可求解；对D ，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：对A ， (2,1,2)a =-，(2,2,1)b = ，∴2212214cos ,0339a b ⨯-⨯+⨯<>==>⨯，且a 与b 不共线，∴a，b 夹角为锐角，A ∴正确；对B ， ()()401(3)310a b a b +⋅-=⨯+⨯-+⨯=，∴a b + 与a b -相互垂直，B ∴正确；对C ， (4,1,3)a b += ，(0a b -=，3-，1)，||a b ∴+=，||a b -=，C ∴错误；对D，||3a ==，||3b == ，又根据A的分析知65sin ,9a b <>==，∴以a，b为邻边的平行四边形的面积为||||sin ,339a b a b <>=⨯⨯= ，D ∴正确．故选：ABD ．【点评】本题考查向量的夹角公式的坐标运算，向量垂直的性质，向量垂直的性质，三角形的面积公式，属基础题．18．已知平面向量(1,0)a =，b = ，则下列说法正确的是()A ．||16a b +=B ．()2a b a +⋅= C ．向量a b + 与a的夹角为60︒D ．向量a b + 在a 上的投影向量为2a【分析】由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量的模、投影向量及夹角的运算求解即可．【解答】解：已知平面向量(1,0)a =，b = ，对于选项A，a b +=，则||4a b += ，即选项A 错误；对于选项B，()2102a b a +⋅=⨯+=，即选项B 正确；对于选项C ，()21cos ,412||||a b a a b a a b a +⋅<+>===⨯+ ，即,60a b a <+>=︒，即选项C 正确；对于选项D ，向量a b + 在a上的投影向量为()2||||a b a a a a a +⋅=，即选项D 正确，故选：BCD ．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量的模及夹角的运算，属基础题．19．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，AF CE G = ，则()A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+C ．2133AG AD AB=- D ．3BG GD=【分析】对于A ：直接利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．对于B ：利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．对于C ：利用平行线分线段成比例和三角形法则和线性运算的应用求出结果．对于D ：直接利用平行线成比例的应用求出结果．【解答】解：在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，AF CE G = ，如图所示：根据三角形法则：对于1:2A AF AD DF AD AB =+=+，故选项A 正确．对于:B E ，F 分别为线段AD ，CD 的中点，所以11()22EF AC AB AD ==+，故选项B 正确．对于C ：过E 作//EH DC ，所以12EH CF =，所以13HG HF =，故13HG AH =，整理得14HG AG =，所以32AF AG = ，即22121()33233AG AF AD AB AD AB ==+=+，故选项C 错误．对于D ：根据平行线分线段成比例定理，点B 、G 、D 共线，2BG GD =故选项D 错误．故选：AB ．【点评】本题考查的知识要点：平面向量共线基本定理，向量的线性运算，平行线分线段定理，三角形法则，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．20．已知向量(4,2)a =-，(2,)b t = ，则下列说法正确的是()A ．当a b ⊥时，4t =B ．当//a b时，1t =-C ．a与b 夹角为锐角时，则t 的取值范围为(4,)+∞D ．当2t =时，a在b 上的投影为2【分析】由向量垂直的坐标运算得到A 正确；由向量共线的坐标运算公式得到B 正确；向量夹角为[0θ∈，2π时，820a b t ⋅=-+> ，可得4t >，再由向量共线当(0)a b λλ=> 时，解得1t =-，2λ=-，不合条件，可得C 正确；a在b 上的投影为||a b b ⋅ ，代入数据进行运算，可得D 错误．【解答】解：对于A ，a b ⊥时，4220t -⨯+=，可得4t =，故A 正确；对于B ，//a b时，440t --=，可得1t =-，故B 正确；对于C ，a与b 夹角[0θ∈，)2π时，820a b t ⋅=-+> ，可得4t >，当(0)a b λλ=>时，解得1t =-，2λ=-，无解，可得a与b 夹角为锐角时，4t >，C 正确；对于D ，当2t =时，a在b 上的投影为||a b b ⋅= ，故D 选项错误．故选：ABC ．【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量平行，向量模的运算，向量夹角公式，属于中档题．三．填空题（共5小题）21．设1e ，2e 是空间两个不共线的向量，已知12AB e ke =+ ，1254BC e e =+ ，122DC e e =--，且A ，B ，D 三点共线，则实数k =1．【分析】由题意可得向量AB 和BD 共线，存在实数λ，使AB BD λ=，可得关于k ，λ的方程组，进行求解即可．【解答】解：A ，B ，D 三点共线，∴向量AB 和BD 共线，故存在实数λ，使AB BD λ=，由题意可得121212(54)(2)6()BD BC CD e e e e e e =+=+++=+，即12166e ke e λλ+=+ 2e ，故可得616k λλ=⎧⎨=⎩，解得161k λ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故1k =，故答案为：1．【点评】本题考查向量的线性运算，涉及向量的共线定理，建立方程关系是解决本题的关键．22．若向量(6,8)a =- ，则与a平行的单位向量是3(5，4)5-或3(5-，4)5．【分析】由题意，根据与a平行的单位向量是||a a ± ，得出结论．【解答】解： 向量(6,8)a =- ，则与a平行的单位向量是3(||5a a ±=± ，45-，即3(5，45-或3(5-，45，故答案为：3(5，45-或3(5-，45．【点评】本题主要共线向量与单位向量的定义，属于基础题．23．若向量(,2)a x = ，(3,)b y =- ，(1,2)c =--，且()()a c b c -⊥+ ，则||a b - 的最小值为【分析】先求出a c - ，b c +的坐标，再利用()()a c b c -⊥+ 可得3y x =+，代入||a b -= ，再结合二次函数的性质即可求出结果．【解答】解： (,2)a x = ，(3,)b y =- ，(1,2)c =--，∴(1,4)a c x -=+，(4,2)b c y +=-- ，又 ()()a c b c -⊥+ ，∴()()0a c b c -⋅+=，4(1)4(2)0x y ∴-++-=，3y x ∴-=，即3y x =+ (3,2)a b x y -=+-，∴||a b -==∴当1y =时，||a b -，．【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，考查了二次函数的性质，是基础题．24．已知向量,a b满足||6,(a b == ，且||0(0)a b λμλμ+=≠ ，则||λμ的值为13．【分析】由||0(0)a b λμλμ+=≠ 可转化为0a ub λ+= ，从而可得||||||||a u b λ⋅=⋅，从而求得．【解答】解： ||0(0)a b λμλμ+=≠，0a ub λ∴+= ，即a ub λ=- ，即||||||||a u b λ⋅=⋅，又||6a =，||2b == ，6||2||u λ∴⋅=⋅，即||1||3λμ=，故答案为：13．【点评】本题考查了平面向量的应用及向量的模，属于基础题．25．已知向量(3,2)a =，(1,1)b x =- ，若()a b a -⊥ ，则|2|a b +=13．【分析】根据()a b a -⊥ 即可得出()0a b a -=，进行向量数量积的坐标运算即可求出4x =-，进而可得出2a b +的坐标，从而可得出|2|a b + 的值．【解答】解：(2,1)a b x -=+ ，(3,2)a =，且()a b a -⊥ ，∴()62(1)0a b a x -=++=，解得4x =-，∴(1,5)b =，2(5,12)a b +=，∴|2|13a b +=．故答案为：13．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．。
【优质文档】河北衡水中学2018-2019学年上学期人教版高一期末模拟试题(三)含答案(必修1+必修2)含解析
在 ( ,1) 上单调递增，在 (1,2) 上单调递减，所以函数 f (x) 的单调递减区间为 (1,2) ．
考点： 1、分段函数的求值； 2、对数的运算； 3、函数的单调性． 三、解答题： 本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（ 10 分）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC 3 ，AB 5 ，BC 4 ，AA1 4 ，点 D 是 AB 的中点．
【答案】 D
【解析】由条件知： f (1) a b c 0, a 0, c 0; 排除答案 A, C; f (0) c 0 排除 B;
故选 D
10．一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，
何体的体积为 (
)．
则该几
A． 7 【答案】 D
22
B.
3
C. 47 6
D. 23 3
圆圆心距离
，由
可知两圆的位置关系是外切， 故答案
为外切 . 14．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是
__________．
【答案】 【解析】由三视图可以知道：该几何体是一个三棱锥．其中
则该三棱锥的最长棱的长是
，
底面 ，
，
，故答案为 ．
15．若 A 0,1,2,3 , B x | x 3a, a A ，则 A U B =
r，弦心距为 d，弦长为 l ，则
l 2 r2 d2 ；
(2) 代 数 方 法 ： 运 用 根 与 系 数 的 关 系 及 弦 长 公 式 ：
AB 1 k 2 x1 x2 .
12．已知定义在 R 上的函数 f x 的图象关于点
3 ,0
对称 ,
北师大版高一上册数学期末测试卷(三)附答案
的值域也是 ，
，即 ，
或 ，
即 ，
（2） ， ， ，
.
分情况讨论：
1.当 时， .
2.当 时， ，
，
.
，
，
所以，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上， ，
.
（2）
【解析】（1）
（2） .
故答案为：（1） （2）
13.【答案】（1）
（2）
【解析】（1） .
（2）当 时，由 ，此时 ，
当 时，由 ，此时
综上，实数 的取值范围是 .
故答案为：（1） （2） .
14.【答案】（1）
（2）
【解析】（1） .
（2） .
故答案为：（1） （2） .
15.【答案】4
【解析】【详解】因为 .故 ，即 .
8.【答案】D
【解析】由题意，必存在 使得 .
由 的图像知，在 上单调递减，在 上单调递增.
故 ，
，
，
.
所以 .
故选：D.
9.【答案】C
【解析】
【详解】画出二次函数的图像可得，令 .
所以当 时 值域是 .
同理 ，且 .
所以当 时 值域是 .
综上， ， .
故选：C.
10.【答案】B
【解析】因 恒成立.故 与 恒异号.
A. B.
C. D.
6.函数 ，（ 且 ）的图象恒过定点P，P点坐标为（）
A. B. C. D.
7.对于函数 的性质，下列描述①函数 在定义域内是减函数；②函数 是非奇非偶函数；③函数 的图象关于点 对称．其中正确的有几项（）
高一数学上册期末强化综合试卷附答案
高一数学上册期末强化综合试卷附答案一、选择题1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-2．下列函数中，与函数1y x=有相同定义域的是 A ．1()f x x=B ．31()f x x=C ．()ln f x x =D ．()xf x e =3．若α是第二象限角，角β的终边经过点(cos(),sin())2ππαα+-，则β为（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()1,2P --，则2sin sin 2αα+=（ ） A ．58B ．85C ．55D ．2555．方程340x e x +-=（其中 2.71828e =）的根所在的区间为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭6．为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量y （3/mg m ）与时间t （h ）成正比（102t <<）；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()4t a y -=（a 为常数，12t ≥），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5（3/mg m ）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作A ．30B ．40C ．60D ．907．已知幂函数()12f x x =，若()()1142f a f a -<-，则a 的取值范围是（ ） A ．[)1,3-B ．(),5-∞C ．[)1,5D ．()5,+∞8．已知函数()3411f x x =---，则函数()lg =-y f x x 的零点个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．以上都不对二、填空题9．下列函数为奇函数的是（ ）A ．()x xx x e e f x e e ---=+B ．(()ln f x x =C ．11()212x f x =+- D ．()f x =10．21x ≤的一个充分不必要条件是（ ） A ．10x -≤<B ．1≥xC ．01x <≤D ．11x -≤≤11．下面说法正确的有（ ） A ．若22ac bc >，则a b > B ．若a b >，则11a b> C ．若0b a <<，则2ab b <D ．若a ，b 为正数，则11()()4a b a b++12．对于函数()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(其中0>ω)，下列结论正确的有A ．若()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ω的取小值为2B ．当12ω=时，()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．当2ω=时，()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数D ．当1ω=时，()f x 的图象可由()sin g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到 三、多选题13．若命题“ R x ∃∈，220x mx m ++ ”是假命题，则实数 m 的取值范围是________． 14．已知2312a b ==，则21a b+=_______．15．设,a b 是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(,1)A a ，(2,)B b -，且1sin 3θ=，则ab 的值为____________ .16．在平面直角坐标系中，两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）间的“L 距离”定义为|P 1P 2|＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，记平面内与x 轴上两个不同的定点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0）的“L 距离”之和等于定值2a （a ＞0）（大于|F 1F 2|）的点的轨迹是T ，则T 围成的面积是_____．四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}1264xA x =≤≤，{}211B x m x m =-<<+.（1）当1m =-时，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.18．已知函数2()cos cos()6f x x x x π=-+．（1）求()f x 的最小正周期T ；（2）若()1(1)0n f x m ++-⋅>对任意的[,]44x ππ∈-和n *∈N 恒成立，求实数m 的取值范围． 19．已知函数3()1f x x =-. （1）画出函数的草图，并用定义证明函数的单调性； （2）若[]2,7x ∈，求函数的最大值和最小值.20．杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x ⎧-<≤⎪=⎨+->⎪+⎩（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．21．如图，现有一块半径为2m ，圆心角为3π的扇形木板，按如下方式切割一平行四边形：在弧AB 上任取一点P (异于A ､B )，过点P 分别作PC ､PD 平行于OB ､OA ，交OA ､OB 分别于C ､D 两点，记AOP α∠=.（1）当点P 位于何处时，使得平行四边形OCPD 的周长最大？求出最大值；（2）试问平行四边形OCPD 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及相应的α的值；若不存在，请说明理由.22．已知函数()21()221x f x a =-+为奇函数，其中a 为常数. （1）求函数y =f (x )的解析式；（2）若关于x 的方程()1()212x f x k ++=在[1,1]-上有解，求实数k 的最大值； （3）若关于x 的不等式()1(21)226x f λλ++≤在[2,2]-恒成立，求实数λ的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】直接根据补集的概念进行运算可得解. 【详解】因为U =R ,{|1A x x =<-或2}x >， 所以UA{|12}x x -≤≤.故选：B2．C 【分析】 求出函数函数y x=的定义域，分别求出函数定义域判定即可.【详解】 解：函数y=(0,)+∞， A. 1()f x x=定义域为{|0}x x ≠ B.()f x =定义域为{|0}x x ≠ C. ()ln f x x =定义域为(0,)+∞D. ()xf x e =定义域为R故选：C. 3．D 【分析】由α是第二象限角及诱导公式判断cos(),sin()2ππαα+-的正负，从而判断β为第几象限角.【详解】由诱导公式：cos()=cos ,sin()=cos 2ππαααα+--，因为α是第二象限角，所以cos 0,cos 0,sin02παπαα，故β为第四象限角. 故选：D 4．B 【分析】先由正弦、余弦函数的定义得到sinαα==，再求值即可. 【详解】由正弦、余弦函数的定义有sin α==，cos α==， 所以2248sin sin 2sin 2sin cos 2((55ααααα+=+=+⨯⨯=. 故选：B.【分析】由函数()y f x =的单调性和函数零点存在定理，即可判断零点所在的区间． 【详解】函数()34x f x e x =+-在R 上为增函数，由1355()4202222f =-<-<，f （1）10e =->，f （1）1()02f ⋅< 结合函数零点存在定理可得方程的解在1(2，1)内． 故选：B ． 6．C 【分析】计算函数解析式，取()1211()42t f t -==，计算得到答案.【详解】根据图像：函数过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，故()1212,0211(),42t x t y f t t -⎧<<⎪⎪==⎨⎪≥⎪⎩， 当12t ≥时，取()1211()42t f t -==，解得1t =小时60=分钟.故选：C . 【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7．C 【分析】利用函数()12f x x =的单调性解不等式，同时注意定义域的取值范围，即可得解. 【详解】由()f x 的定义域为[)0,+∞， 且在定义域上为在增函数， 所以若要()()1142f a f a -<-， 则要01142a a ≤-<-， 解得15a ≤<， 故选：C.【分析】先去掉绝对值得出函数()f x 的解析式，再由函数()y f x =与lg y x =图象的交点个数，结合函数图象得出函数()lg =-y f x x 的零点个数. 【详解】当10x -≥，即1≥x 时，()342f x x =-- ①若2x ≥，()34(2)411f x x x =--=-+ ②若12x ≤<，()34(2)45f x x x =--=- 当10x -<，即1x <时，()34f x x =- ①若0x ≤，()34f x x =+ ②若01x <<，()34f x x =- 即34,034,01()45,12411,2x x x x f x x x x x +≤⎧⎪-<<⎪=⎨-≤<⎪⎪-+⎩函数()lg =-y f x x 的零点的个数即()y f x =与lg y x =图象的交点个数 函数()y f x =与lg y x =的图象如下图所示由图可知，函数()lg =-y f x x 的零点有4个 故选：C 【点睛】关键点睛：本题在求零点个数时，关键是将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题进行处理.二、填空题9．ABC 【分析】根据函数的奇偶性的定义，逐项判定，即可 求解. 【详解】对于A 选项，函数()f x 的定义域为R ，且()()x xx x e e f x f x e e----==-+，所以A 是奇函数；对于B 选项，函数()f x 的定义域为R ，且(()ln f x x -=-，((()()ln ln 0f x f x x x -+=-+=，故B 是奇函数；对于C 选项，函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且1121()212122x x x f x --=+=+--，2111()()0122212x x x f x f x -+=+++=--，故C 是奇函数；对于D 选项，由函数()f x =101x x -≥+，解得11x -<≤，可得定义域不关于原点对称，故D 不是奇函数. 故选：ABC . 10．AC 【分析】由不等式21x ≤，求得11x -≤≤，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式21x ≤，可得11x -≤≤，结合选项可得： 选项A 为21x ≤的一个充分不必要条件； 选项B 为21x ≤的一个既不充分也不必要条件； 选项C 为21x ≤的一个充分不必要条件； 选项D 为21x ≤的一个充要条件, 故选：AC. 11．ACD 【分析】利用不等式的性质可判断ABC ，利用基本不等式可判断D. 【详解】若22ac bc >，则a b >，故A 正确 当2,1a b ==时满足a b >，但11a b<，故B 不正确 若0b a <<，则2ab b <，故C 正确若a ，b 为正数，则11()()224b a a b a b a b ++=++≥+，当且仅当a b =时等号成立，故D 正确 故选：ACD12．ABD 【分析】对于A. 若()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立， 242()k k Z ω=+∈，结合条件0>ω判定；对于B. 当12ω=时，()1cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，验证403f π⎛⎫= ⎪⎝⎭是否成立； 对于C. 当2ω=时，()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，验证函数cos y t =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭是否单调； 对于D. 当1ω=时，()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而cos 36g x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭符合题意.【详解】解：对于A. 若()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则cos 1,61212f ωπππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭2()122426k k Z k ωππωπ∴-=∈⇒=+()k ∈Z ， 又0>ω，所以ω的取小值为2，故正确； 对于B. 当12ω=时，()1cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1cos cos 04432326f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故正确﹔ 对于C. 当2ω=时，()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 此时函数cos y t =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上先递增再递减，故不正确； 对于D. 当1ω=时，()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()sin g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到，所以sin sin 336cos 26g x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+，故正确.故选：ABD. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.三、多选题13．01m <<【分析】根据特称命题的真假可得0<，解不等式即可求解. 【详解】因为命题“ R x ∃∈，220x mx m ++ ”是假命题，所以 220x mx m ++> 恒成立，所以 0<，解出 01m <<． 故答案为：01m <<14．1【分析】根据指对互化先计算出,a b 的结果，然后计算11,a b 的结果，由此即可计算出21a b+的结果.【详解】因为2312a b ==，所以23log 12,log 12a b ==，所以121211log 2,log 3a b==， 所以1212121212212log 2log 3log 4log 3log 121a b+=+=+==，故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用指对互化将2312a b ==化为对数形式，然后根据对数运算法则完成计算.15．4-【分析】根据三角函数的定义，得到两个方程，解方程即可求出ab的值.【详解】由三角函数的定义，13==a < 0，解得b a ==- 所以4ab=-. 故答案为：4-16．2222a c -【分析】设平面上的点为(,)x y ,根据题意可得||||2||2x c x c y a ++-+=,然后去绝对值,化简方程,再根据轨迹T 求出面积. 【详解】解:设平面上的点为(,)x y ,由题意,得||||||||2x c y x c y a +++-+=, 所以||||2||2x c x c y a ++-+=.当x c <-,0y 时,方程化为2220x y a -+=; 当x c <-,0y <时,方程化为2220x y a ++=; 当c x c -<,0y 时,方程化为y a c =-; 当c x c -<,0y <时,方程化为y c a =-; 当x c ,0y 时,方程化为2220x y a +-=; 当x c ,0y <时,方程化为2220x y a --=. 则轨迹T 的图象如图所示:所以T 围成的面积S 221(22)()2222a c a c a c =⨯+⨯-⨯=-. 故答案为:2222a c -. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,考查了分类讨论思想,属中档题.四、解答题17．（1）{3x x ≤-或}6x >；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）当1m =-时，求出集合B ，利用交集和补集的定义可求得集合()UA B ；（2）分B =∅与B ≠∅两种情况讨论，根据B A ⊆可得出关于实数m 的不等式（组），综合可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）当1m =-时，{}{}21130B x m x m x x =-<<+=-<<， {}{}126406x A x x x =≤≤=≤≤，{}36A B x x ∴⋃=-<≤，因此，(){3UA B x x ⋃=≤-或}6x >；（2）当B =∅时，211m m -≥+，即2m ≥，这时B A ⊆；当B ≠∅时，有21121016m m m m -<+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，解得122m ≤<.综上，m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】易错点点睛：在利用集合的包含关系求参数，要注意以下两点：（1）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；（2）在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论． 18．（1）T π=；（2）11(,)22-.【分析】（1）化简()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ⇒最小正周期22T ππ==； （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()5111112sin 2636223424x x f x ππππ⎛⎫≤-≤-≤-≤-≤≤ ⎪⎝⎭． ①当n 为偶数时，()()11?0nf x m ++-> ()10f x m ⇔+-> ()1m f x ⇔>--．⇒()max 1m f x ⎡⎤>--⎣⎦．②当n 为奇数时，同理得： ()min 1m f x ⎡⎤<+⎣⎦即可求出m 的取值范围． 【详解】（1）()2cos cos 6f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1cos sin 2x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭21sin cos 2x x x x =+1sin24x x =+1sin24x x = 1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ()f x 的最小正周期22T ππ==．（2）由（1）知()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52636x πππ≤-≤，111sin 22234x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 即()1124f x -≤≤．①当n 为偶数时，()()110nf x m ++-> ()10f x m ⇔+-> ()1m f x ⇔>--．由题意，只需()max 1m f x ⎡⎤>--⎣⎦．因为当()12f x =-时，()max 112f x ⎡⎤--=⎣⎦，所以12m >-． ②当n 为奇数时，()()110nf x m ++-> ()10f x m ⇔+-> ()1m f x ⇔>+．由题意，只需()min 1m f x ⎡⎤<+⎣⎦．因为当()12f x =-时，()min 112f x ⎡⎤+=⎣⎦，所以12m <． 综上所述，实数m 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求参数的取值范围，通常采用分离参数法．19．（1）图象见解析，证明见解析；（2）最大值为3，最小值为12. 【分析】（1）画出()f x 图象，利用定义法，证明()()120f x f x ->，结合()f x 的定义域，证得()f x 的单调区间.（2）结合()f x 的单调性来求得()f x 在区间[]2,7上的最大值和最小值. 【详解】（1）()f x 的图象如下图所示：()f x 的定义域为{}|1x x ≠，当1x <时，任取121x x <<，()()()()211212123331111x x f x f x x x x x --=-=⨯----，其中21120,10,10x x x x ->-<-<，所以()()120f x f x ->，所以()f x 在区间(),1-∞上递减. 同理可证得()f x 在区间()1,+∞上递减. （2）由（1）得()f x 在区间[]2,7上递减， 所以2x =时，()f x 取得最大值为3321=-， 当7x =时，()f x 取得最小值为31712=-. 20．（1）()2210050,020{9000195010,201x x x W x x x x -+-<≤=-->+；（2）29x =万台时最大利润为1360万元. 【分析】（1）由题意有()()8050W x xG x x =--，即可写出利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式.（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出020x <≤、20x >上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值.【详解】（1）由题意知：()()8050W x xG x x =--，∴2210050,020()9000101950,201x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩. （2）由（1）知：()()()22251200,020{90001960101,201x x W x x x x --+<≤=⎡⎤-+->⎢⎥+⎣⎦， ∴020x <≤时，()W x 单调递增，则max ()(20)1150W x W ==；20x >时，9000()1960210(1)13601W x x x ≤-+⋅=+，当且仅当29x =时等号成立. 综上，当年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大为1360万元.21．（1）点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD 的周长最大，最大值为833；（2）存在，最大值为233. 【分析】过P 点作OC 的垂线，垂足为H ，从而可得PH =2sin α，OH =2cos α，43sin 3PC α=，23sin 3CH α=，得出23sin 2cos 3OC OH CH αα=-=-. （1）平行四边形OCPD 的周长为f (α) 83sin 33πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. （2）4323()sin 2363S OC PH παα⎛⎫=⋅=+- ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】过P 点作OC 的垂线，垂足为H ，因为OP =2，∠AOP =α，则PH =2sin α，OH =2cos α，2sinsin3PC απ=，12CH PC ==所以2cos OC OH CH α=-= （1）设平行四边形OCPD 的周长为f (α)，则()2()4cos 4cos f OC PC ααα=+=3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为点P 异于A ､B 两点，所以03πα<<，所以当6πα=，即点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD . （2）设平行四边形OCPD 的面积为S (α)，则()2cos 2sin S OC PH ααα⎛=⋅=⋅ ⎝⎭4sin cos αα=2sin 2α=26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由（1）得，03πα<<，所以52666πππα<+<， 所以当262ππα+=，即6πα=，也就是点P 位于弧AB 的中点时，使得平行四边形OCPD 22．（1）11()212x f x =-+；（2）最大值为14；（3）13,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据奇函数的性质可得(0)0f =，代入解析式求出a =2，再根据()()0f x f x 验证即可求解. （2）令121x t =+，12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程转化为2k t t =-在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求出2t t -的取值范围即可求解.（3）将不等式转化为1(21)221x λλ-≤++≤，令2x μ=，1,44μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得令()(21)2h u u λλ=++，根据函数的单调性可得11141(4)1h h ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤≤⎩，解不等式即可求解.【详解】（1）因为函数()21()221x f x a =-+为奇函数，且定义域为R ，所以()021(0)0221f a =-=+，解得a =2. 此时11()212x f x =-+， 所以1111()()0212212xx f x f x --+=-+-=++， 所以函数f (x )为奇函数. 所以函数y =f (x )的解析式为11()212x f x =-+. （2）令121x t =+，因为x ∈[-1，1]，所以12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1()212x f x k ++=在[-1，1]上有解, ()111212122x xk ⇔-++=+在[-1，1]上有解, 2k t t ⇔=-在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，因为221124k t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21,94k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以实数k 的最大值为14.（3）设12x x <，则()()()()2112121211112202122122121x x x x x x f x f x --=--+=>++++， 即f (x 1)>f (x 2)，所以函数11()212x f x =-+在R 上单调递减， 因为1111(1)2126f --=-=+，1(1)6f =-， 所以()()111(21)22(21)22666x x f f λλλλ++≤⇔-≤++≤()(1)(21)22(1)x f f f λλ⇔≤++≤-，1(21)221x λλ⇔-≤++≤(*)令2x μ=，则由x ∈[-2，2]，得1,44μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()(21)22(21)2x h u u λλλλ=++=++，则结合题设及(*)，得1,44μ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，1()1h u -≤≤，所以11141(4)1hh⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤≤⎩，即21121414(21)21λλλλ+⎧-≤+≤⎪⎨⎪-≤++≤⎩，解得13 210λ-≤≤-，所以实数λ的取值范围为13,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.。
2019-2020年高一下学期数学强化训练 含答案
2019-2020年高一下学期数学强化训练 含答案一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题中不正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．2．函数f (x )= （ ） A ．在上递增，在上递减 B ．在上递增，在上递减 C ．在上递增，在上递减 D ．在上递增，在上递减3．在边长为2的正三角形ABC 中， ⋅+⋅+⋅等于（ ）A ．B ．C ．D ． 4．已知扇形周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为（ ） A ． B ． C ．或 D ．或 5．已知若与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．已知函数，且，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．7．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若→→→→+=+=j k i AC j i AB 3,2，则的可能值个数是（ ）A ．B ．C ．D ． 8.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位 9．在中，角的对边分别为，，则一定是（ ）A ．正三角形B ．等腰或直角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 10．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则的最小值是（ ） A ． B ． ． D ．11．函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ） A ． B ． C ． D ．12．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时， （ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题13．已知()13124sin ,53sin ,,43,=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫⎝⎛∈πββαππβα,则= ；14． 已知向量()(),cos ,2,sin ,1ββ==则的最大值为 ； 15．设向量与的夹角为，，则 ；16．在中,角所对的边分别为,且,则角= ．二 填空题：（共4题，每小题5分，共20分）13 . 14 .15 . 16 . 三、解答题17．在中，内角对边的边长分别是，已知，．⑴若的面积等于，求的值； ⑵若，求的面积．18．已知函数()()()πϕωϕω≤≤>+=0,0sin x x f 为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为．(1)求函数的表达式；(2)若，求απαtan 1142sin 2++⎪⎭⎫ ⎝⎛-的值．19．已知函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫⎝⎛+=2,4,2cos 34sin 22πππx x x x f ． (1)求的最大值和最小值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．20．已知向量()()0,cos 3,cos ,cos ,sin 3>==→→ωωωωωx x b x x a ，设，且的最小正周期为．(1)求的值；(2)求函数的单调递增区间；(3)函数的图象可由函数经过怎样的变换得到．21．已知锐角中，三个内角为，两向量()A A A p sin cos ,sin 22+-=→，()A A A q sin 1,cos sin +-=→，若与是共线向量．(1)求的大小； (2)求函数⎪⎭⎫⎝⎛-+=23cos sin 22B C B y 取最大值时，的大小．22．在中，已知，且的面积满足．(1)求的取值范围； (2)()()C C q A A p sin ,cos ,cos ,sin ==→→，求的取值范围．2019-2020年高一下学期暑假作业（三十一）地理试题 含答案读下图回答题。
2018-2019学年高一数学期末模块复习提升练(3)不等式(附答案解析)
2018-2019学年高一数学期末模块复习提升练（3）不等式1、若x ,y 满足约束条件0,{23,23,x x y x y ≥+≥+≤则z x y =-的最小值是( )A. 3-B. 0C.32D. 32、已知0,,a x y >满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a = ( )A. 14 B. 12C.1D.23、设变量 ,x y 满足约束条件205010y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩,则2y x 的最小值为( )A.1B. 29C. 43D.44、设,a b 是实数,且3a b +=,则2?2ab +的最小值是( ) A. 6B.C.D. 85、已知实数,x y 满足221x y +=,则()()11xy xy -+有( )A.最小值12和最大值1 B.最小值34和最大值1C.最小值12和最大值34D.最小值16、已知变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则2log (24)z x y =++的最大值为( )A.2B.32C.32D.17、不等式()231x +<的解集是( ) A. {}2x x - B. {4|}x x <- C. 2{|}4x x <<-- D. {}|42x x -≤≤-8、若,,a b c R ∈,且a b >,则下列不等式一定成立的是( ) A. a c b c +≥+ B. ac bc >C.20c a b >- D.20c a b≥-9、设D 是不等式组210,23,{04,1x y x y x y +≤+≥≤≤≥表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=的距离的最大值是__________.10、不等式13x x+≤的解集为__________. 11、函数42(0)y x x x=-->的值域为__________12、已知,a b 都是正实数,函数2xy ae b =+的图象过()0,1点,则11a b+的最小值是__________. 13、设函数() 1af x x x =++,[)0,x ∈+∞. （1）当2?a =时,求函数()f x 的最小值; （2）当01a <<时,求函数()f x 的最小值. 14、求下列各式的最值.（1）已知0x y >>且1xy =,求22x y x y+-的最小值及此时x 、y 的值;（2）已知函数()2,0{2,0x x f x x x +≤=-+>,解不等式()2f x x ≥.15、设a 为实数,函数2()2()f x x x a x a =+--. （1）若()01f ≥,求a 的取值范围; （2）求()f x 的最小值;（3）设函数()()h x f x =,(,)x a ∈+∞,直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集. 16、已知,x y R +∈ (正实数集),且191x y+=,求x y +的最小值。
高一数学上册期末强化综合试卷带答案
高一数学上册期末强化综合试卷带答案一、选择题1．已知集合{}0,1A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-2．若函数()y f x =的定义域是[0,4]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域为（ ） A ．[)(]0,11,4B ．[0,2]C ．[)(]0,11,2D ．[]0,13．下列说法中，错误的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12πC ．1rad 的角比1的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 4．已知角α的终边经过点()3,4P -，则tan α=（ ） A ．34-B ．43-C ．45-D ．54-5．已知函数3()ln f x x x=-，在下列区间中包含()f x 零点的区间是（ ） A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．( 3，4)6．比萨斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而世界闻名.把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，OA 的方向即为A 点处的竖直方向.已知比萨斜塔处于北纬44︒，经过测量，比萨斜塔朝正南方向倾斜，且其中轴线与竖直方向的夹角为4︒，则中轴线与赤道所在平面所成的角为（ ）A ．40︒B ．42︒C ．48︒D ．50︒7．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f =，若实数x 满足102xf x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（ ）A ．113,0,222⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ B ．113,,222⎡⎤⎡⎫-+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．11,0,22⎡⎤⎡⎫-+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．311,0,222⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8．函数()(1)cos π=-f x x x 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x a =++-，则（ ）A ．2a =B ．()22f =C ．()f x 是增函数D ．()312f -=-10．下列说法不正确是（ ）A ．不等式(21)(1)0x x --<的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ B ．已知:12p x <<，11q x +，则p 是q 的充分不必要条件C ．“0a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是(0,4) 11．下列结论正确的是（ ）A ．命题：0x ∀>，22x x >的否定是00x ∃≤，0202x x ≤B ．已知0a b >>，则22b ba a+>+ C ．已知1x y >>，01a <<，则a a x y --< D ．()00,πx ∃∈，使得222sin x= 12．已知1x y +=，0y >，0x ≠，则121x x y ++的值可能是（ ） A ．23B ．1C ．34D ．54三、多选题13．已知命题“2,230x x ax a ∃∈-+R ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 14．函数1()lg 1f x x m x =-++在区间()0,9上有零点，则实数m 的取值范围为____________.15．已知函数()221f x x ax =-+，[]1,x a ∈-，且()f x 最大值为f a ，则a 的取值范围为______.16．设函数2cos ,[6,6]3()12,(,6)(6,)x x f x x xπ⎧∈-⎪⎪=⎨⎪∈-∞-⋃+∞⎪⎩，若关于x 的方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同的实根.则实数a 的取值范围是_______.四、解答题17．已知{}2230A x x x =--≤，()(){}40B x x k x k =--+>．（1）若[]0,3AB =R，求实数k 的值；（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数k 的取值范围． 18．已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，当12()()4f x f x -=时，12x x -的最小值为3π. （1）求函数()f x 的单调减区间; （2）求函数()f x 在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的值域;（3）若方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解，求实数m 的取值范围.19．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()22f x g x x x +=+-，R x ∈（1）求()f x 和()g x 的表达式；（2）若对于任意的[]23x ∈，，不等式()()70f x k g x -⋅+≥恒成立，求k 的最大值． 20．如图为某儿童游乐场一个小型摩天轮示意图，该摩天轮近似看作半径为4.8m 的圆，圆上最低点A 与地面距离为0.8m ，摩天轮每60秒匀速转动一圈，摩天轮上某点B 的起始位置在最低点A 处.图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为m h .（1）求h 与θ间关系的函数解析式；（2）设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式；（3）如果离地面高度不低于8m 才能获得最佳观景效果，在摩天轮转动的一圈内，有多长时间B 点在最佳观景效果高度？21．已知函数()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，求实数m 的取值范围.22．已知函数()x xf x a q a -=-⋅（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数，且()312f =． （1）求q 的值，并判断和证明()f x 的单调性；（2）是否存在实数m （2m >且3m ≠），使函数()()()222log 1x x m g x a a mf x --⎡⎤=+-+⎣⎦在[]1,2上的最大值为0，如果存在，求出实数m 所有的值；如果不存在，请说明理由．（3）是否存在正数k ，()1k ≠使函数()()22x x a a kf x x k ϕ-⎡⎤+-⎣⎦=在[]21,log 3上的最大值为k ，若存在，求出k 值，若不存在，请说明理由．【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】根据所给图形结合补集的韦恩图表示得出所求的集合表示式，由此得解. 【详解】依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是BA ，因集合{}0,1A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，则有{1,2,3}B A =-，所以图中阴影部分表示的集合是{}1,2,3-. 故选：C 2．C 【分析】先由函数()y f x =的定义域为[0,4]，求出(2)f x 的定义域，再由1x ≠可得答案. 【详解】函数()y f x =的定义域是[0,4](2)f x 满足024x ≤≤，即02x ≤≤又分母不为0，则1x ≠ 所以函数的定义域为：[)(]0,11,2故选：C 3．D 【分析】根据角度和弧度的定义可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，A 选项正确； 对于B 选项，1的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12π，B 选项正确；对于C 选项，11180π=<，C 选项正确；对于D 选项，用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，D 选项错误. 故选：D. 【点睛】本题考查角度制与弧度制相关概念的判断，属于基础题. 4．B 【分析】直接利用三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角α的终边经过点()3,4P -， 所以44tan 33y x α-===-， 故选：B.5．C 【分析】可判断函数单调性，将区间端点代入解析式，函数值为一正一负，该区间就必有零点. 【详解】3()ln f x x x=-为0,上增函数3(2)ln 202f =-< (3)ln 310f =->由零点存在定理可知，在区间(2，3)存在零点. 故选：C 6．A 【分析】由题意画出示意图，即可选出正确答案. 【详解】解析如图所示，AP 为比萨斜塔的中轴线，44AOD ∠=︒，4BAP ∠=︒，则40PAC ∠=︒，中轴线与赤道所在平面所成的角为40︒.故选:A. 7．A 【分析】首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数()f x 在R 上单调递增，且()()110f f =-=，从而得到(),1x ∈-∞-，()0f x <，()1,0x ∈-，()0f x >，()0,1x ∈，()0f x <，()1,x ∈+∞，()0f x >，再分类讨论解不等式102xf x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭即可.【详解】因为奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，定义域为R ，(1)0f =， 所以函数()f x 在R 上单调递增，且()()110f f =-=.所以(),1x ∈-∞-，()0f x <，()1,0x ∈-，()0f x >，()0,1x ∈，()0f x <，()1,x ∈+∞，()0f x >. 因为102xf x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，当0x <时，102f x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即1102x -≤-≤或112x -≥，解得102x -≤<.当0x =时，符合题意.当0x >时，102f x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，112x -≤-或1012x ≤-≤，解得1322x ≤≤.综上：102x -≤≤或1322x ≤≤.故选：A 8．B 【分析】取特殊区间进行判断函数在该区间上的正负，利用排除法可得答案 【详解】 解： 当102x <<时，10x -<，cos 0x π>，所以()0f x <， 当12x =时，()0f x =， 当112x <<时， 10x -<，cos 0x π<，所以()0f x >，所以排除A ，C ， 当102x -<<时，10x -<，cos 0x π>，所以()0f x <，所以排除D故选：B二、填空题9．ACD 【分析】由()f x 是R 上的奇函数，则()00=f 可算出2a =，代入可算得()2f 根据()f x 的对称性可得出单调性，根据()()33f f -=-可求得()3f - 【详解】A.项 ()f x 是R 上的奇函数，故()002f a =-= 得2a =，故A 对对于B 项，()2426f =+=，故B 错对于C 项，当0x ≥时，()2f x x x =+在[)0,+∞上为增函数，利用奇函数的对称性可知，()f x 在(],0-∞上为增函数，故()f x 是R 上的增函数，故C 对 ()()339312f f -=-=--=-，故D 对 故选：ACD 【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性． 10．ACD 【分析】运用一元二次不等式的解法求解选项A 和选项D 的结果，并对其进行判断，运用充分条件和必要条件知识判断选项B ，运用函数单调性求解选项C 中的最值. 【详解】对于A ，根据不等式()()2110x x --<可得()()2110x x -->， 所以12x <或1x >， 则不等式的解集为()11,,2⎛⎫+∞-∞ ⎪⎝⎭，故选项A 的说法错误；对于B ，当12x <<1成立；1≥时，解得0x ≥， 所以p 是q 的充分不必要条件， 故选项B 正确；对于C ，若方程20x x a ++=有一个正根和一个负根， 则12140,00a x x a a ∆=->=<⇒<，所以“0a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的充要条件； 故选项C 的说法错误；对于D ，若当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立； 则当0k =时，不等式化为10>恒成立， 故0k =符合题意，当0k ≠时，只要240k k k >⎧⎨∆=-<⎩， 解得04k <<，所以不等式210kx kx -+>的解集为R ， 则实数k 的取值范围是[)0,4， 故选项D 的说法错误； 故答案为：ACD. 【点睛】易错点睛：本题考查了解一元二次函数不等式，以及恒成立问题，在解答恒成立问题时注意对参量的分类讨论，判断充分条件和必要条件时注意取值范围问题. 11．BCD 【分析】根据全称命题的否定是变量词否结论可判断A ；利用作差法比较22b a ++和ba的大小可判断B ；由幂函数的单调性可判断C ；解方程2sin x=D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：命题：0x ∀>，22x x >的否定是00x ∃>，0202x x ≤，故选项A 不正确；对于B ：当 0a b >>时，()()()()()22220222a b b a a b b b a a a a a a+-+-+-==>+++，所以22b ba a +>+， 故选项B 正确；对于C ：当01a <<时，10a -<-<，因为幂函数a y x -=在()0,∞+上单调递减，所以1x y >>可得a a x y --<，故选项C 正确；对于D ：由2sin x =2sin 2x ，解得：04x π=或34π，所以存在04x π=或34π使得2sin x=D 正确； 故选：BCD. 12．BCD 【分析】1,0,0x y y x +=>≠,有10y x =->则1x <且0x ≠,分01x <<和0x <打开||x ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案. 【详解】由1,0,0x y y x +=>≠，得10y x =->，则1x <且0x ≠. 当01x <<时,121x x y ++=122242x x x x x x x x+-+=+--=1215+44244x x x x -+≥-.当且仅当2=42x x x x --即23x = 时取等号. 当0x <时,121x x y ++=122242x x x xx x x x--+-+=+----=1213+44244x x x x ---+≥---.当且仅当2=42x x x x ----即2x =- 时取等号. 综上，13214x x y +≥+. 故选：BCD. 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、多选题 13．()0,3【分析】把条件等价转化为“2,230x x ax a ∀∈-+>R ”为真命题，结合二次函数知识可求范围. 【详解】由题意知“2,230x x ax a ∀∈-+>R ”为真命题， 所以2Δ4120a a =-<，解得0＜a ＜3． 故答案为：()0,3.14．()10,0-【分析】根据零点存在原理直接求解即可. 【详解】因为函数1()lg1f x x m x =-++在区间()0,9上有零点，所以有： (0)(9)0(10)0100f f m m m ⋅<⇒+<⇒-<<.故答案为：()10,0- 【点睛】本题考查了零点存在原理，考查了解一元二次不等式的能力，考查了数学运算能力.15．[)2,+∞【分析】由题知1a >-，进而得函数的对称轴[]14,a ax ∈-=，再根据函数开口向上，()f x 最大值为f a 得144a aa -≥+，解不等式即可得答案. 【详解】解:因为[]1,x a ∈-，所以1a >-， 因为函数的对称轴为[]14,a ax ∈-=，开口向上，()f x 最大值为f a 所以144a aa -≥+，解得2a ≥， 所以a 的取值范围为[)2,+∞ 故答案为; [)2,+∞16．52a <-或52a =或2a =-【分析】作出函数()f x 的图象，设()f x t =，分关于210t at ++=有两个不同的实数根1t 、2t ，和两相等实数根进行讨论，当方程210t at ++=有两个相等的实数根0t 时，2a =±再检验，当方程210t at ++=有两个不同的实数根1t 、2t 时，()1222,0t t =-∈-，或[)120,22t t ∈>，，再由二次方程实数根的分布进行讨论求解即可. 【详解】作出函数()f x 的简图如图，令()f x t =，要使关于x 的方程()()21f x af x ++⎡⎤⎣⎦()0a =∈R 有且仅有6个不同的实根，（1）当方程210t at ++=有两个相等的实数根0t 时， 由240a ∆=-=，即2a =±，此时01t =±当2a =，此时01t =-，此时由图可知方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有4个实数根，此时不满足.当2a =-，此时01t =，此时由图可知方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有6个实数根，此时满足条件.(2)当方程210t at ++=有两个不同的实数根1t 、2t 时，则()1222,0t t =-∈-，或[)120,22t t ∈>，当12t =-时，由4210a -+=可得52a =则25102t t ++=的根为12122t t =-=-，由图可知当12t =-时，方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有2个实数根当212t =-时，方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有4个实数根，此时满足条件. 当[)120,22t t ∈>，时，设()21g t t at =++ 由()010g => ，则()2520g a =+<，即52a <-综上所述：满足条件的实数a 的取值范围是 52a <-或52a =或2a =-故答案为：52a <-或52a =或2a =-【点睛】关键点睛：本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，解答本题的关键由条件结合函数的图象，分析方程210t at ++=的根情况及其范围，再由二次方程实数根的分布解决问题，属于难题.四、解答题17．（1）4k =；（2）7k >或1k <-． 【分析】（1）化简集合,A B ,求出B R,解不等式40,3,k k -=⎧⎨≥⎩得解；（2）由题得A B ⊆，即43k ->或1k <-，解不等式即得解. 【详解】解：因为{}2230A x x x =--≤，所以{}13A x x =-≤≤，因为()(){}40B x x k x k =--+>，所以{B x x k =>或4}x k <-． （1）因为{}4R B x k x k =-≤≤， 若[]0,3RAB =，则40,3,k k -=⎧⎨≥⎩即4,3,k k =⎧⎨≥⎩所以4k =．（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，p 是q 的充分条件， 即A B ⊆，所以43k ->或1k <-，即7k >或1k <-．18．（1）()52112,183183k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]0,2；（3）112⎧⎫⎨⎬⎩⎭或(]10,0- 【分析】（1）利用三角函数的定义求出ϕ的值，由题意知223T ππω==可得ω的值，进而可得()f x 的解析式，利用整体代入法以及正弦函数的单调性即可求解； （2）由x 的范围求出33x π-的范围，利用正弦函数的性质即可求解；（3）设()(]0,2f x t =∈，将问题转化为y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点，数形结合可得112m -=-或010m ≤-<，即可求解. 【详解】（1）因为角ϕ的终边经过点(1,P ，所以tan ϕ= 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-，因为当12()()4f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， 所以223T ππω==，可得：3ω=，所以()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()3232232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈解得：()52112183183k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调减区间为()52112,183183k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （2）当4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，033x ππ<-<， 所以0sin 313x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以()02sin 323f x x π⎛⎫<=-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的值域为(]0,2， （3）设()(]0,2f x t =∈，因为方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解， 则230t t m -+=在(]0,2t ∈内有一根或两个相等的实根，因为23m t t -=-，所以y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点，作出y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象，由图知：当16t =时211136612y ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭；当0t =时，0y = ；当2t =时，232210y =⨯-=， 所以112m -=-或010m ≤-≤直线y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点， 当10m -=时，2t =，此时方程()2sin 323f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭只有一解，不符合题意，所以112m -=-或010m ≤-<， 即方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解， 所以：112m =或100m -<≤ 所以实数m 的取值范围为：112⎧⎫⎨⎬⎩⎭或(]10,0-19．（1）22f x x ，()g x x =；（2）5【分析】（1）根据已知的关系式以及函数的奇偶性列出另一个关系式，联立求出函数()f x 和()g x 的表达式；（2）先将已知不等式进行化简，然后可以分离参数，利用基本不等式求最值即可求解． 【详解】（1）因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，()()22f x g x x x +=+-①，所以()()()()22f x g x x x -+-=-+--，即()()22f x g x x x -=--②，联立①②，解得：22f xx ，()g x x =，（2）因为22f xx ，()g x x =，由()()70f x k g x -⋅+≥对于任意的[]23x ∈，恒成立， 可得2270x kx --+≥对于任意的[]23x ∈，恒成立， 即250x kx -+≥对于任意的[]23x ∈，恒成立， 所以5k x x≤+对于任意的[]23x ∈，恒成立， 所以min 5k x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，[]23x ∈，因为55225x x x x+≥⋅=， 当且仅当5x x=即5x =时等号成立，所以25k ≤， 所以k 的最大值为25．20．（1） 5.6 4.8sin 2h πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；（2） 5.6 4.8cos 30h t π=-，[)0,t ∈+∞；（3）20秒【分析】（1）由题意，以圆心O 为原点，建立平面之间坐标系则以Ox 为始边，OB 为终边的角为2πθ-，，再根据实际情况列出高度，即为函数关系式；（2）根据题意，列出角速度，进而列出t 秒转过的弧度数为θ，即可求解； （3）由（2）问中解析式，计算三角函数不等式5.6 4.8cos 830t π-≥，解得t 的范围长度，即为观景最佳时间. 【详解】（1） 以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则以Ox 为始边，OB 为终边的角为2πθ-，故点B 的坐标为 4.8cos ,4.8sin 22ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5.6 4.8sin 2h πθ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭.（2）点A 在圆上转动的角速度是30π，故t 秒转过的弧度数为30t π，5.6 4.8sin 5.6 4.8cos 30230h t t πππ⎛⎫∴=+-=- ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞.（3）由5.6 4.8cos 830t π-≥得24223303k t k πππππ+≤≤+，k Z ∈ 60206040k t k +≤≤+，k Z ∈故转动一圈最佳观景效果持续的时间为20秒答:一个周期内B 点在最佳观赏效果高度持续的时间为20秒. 【点睛】本题考查：（1）根据实际情况列三角函数关系式；（2）根据角速度列出函数关系式；（3）根据观景效果最优时，列三角不等式求解最优值；本题考查数学建模能力，创新应用型题，有一定难度.21．（1）5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈（2m << 【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，根据二次函数列式可得结果. 【详解】（1）()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭12sin sin cos cos sin 1cos 2332x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21cos sin 1cos 22x x x x =-++-212cos cos 22x x x =++-1cos 212cos 222x x x +=++-32cos 22x x =+)3x π=+，由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈. （2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，52(0,)36x ππ+∈，())3f x x π+∈，因为函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，令()t f x =，则(t ∈且221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，所以2214401600m m m h h ⎧⎛⎫∆=--> ⎪⎪⎝⎭<⎨⎪>⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即22316043160m m m <<⎪⎪+->⎨⎪⎪-+->⎪⎩，解得m <<⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩m <<， 所以实数mm <<. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22．（1）1q =；单调递增，证明见解析；（2）存在，176m =；（3）7324k =，理由见解析. 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出q 的值，根据3(1)2f =，求出a 的值，从而求出函数的解析式，任取实数12x x <，判断12()()f x f x -的符号即可出函数的单调性；（2）求出2(2)()log [(22)(22)3]x x x xm g x m ---=---+，设22x x t -=-，则22(22)(22)33x x x x m t mt -----+=-+，得到3[2t ∈，15]4，记2()3h t t mt =-+，通过讨论m 的取值范围，求出函数的最大值，确定m 的值即可；（3）令()22x x t f x -==-，根据()f x 是单调递增函数，得到t 的范围，然后得到22()()tkt g x g t k -+==，再求出k 的值即可．【详解】（1）函数()(0x x f x a q a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，x ∈R ， (0)0f ∴=，即10q -=，解得：1q =，代入原函数，则有()()f x f x -=-， 所以1q =，f （1）32=，132a a ∴-=，22320a a --=，2a =或12a =-，0a >，2a ∴=，()22x x f x -=-，任取实数12x x <，则11221212121()()22(22)(22)(1)2x x x x x x x x f x f x --+-=---=-+，12x x <，∴1222x x <，又1220x x +>，12()()f x f x ∴<，()f x ∴是单调增函数；（2）22(2)()log [()1]x xm g x a a mf x --=+-+22(2)log [22(22)1]x x x x m m ---=+--+ 2(2)log [(22)(22)3]x x x x m m ---=---+，设22x x t -=-，则22(22)(22)33x x x x m t mt -----+=-+，[1x ∈，2]，3[2t ∴∈，15]4，记2()3h t t mt =-+， 当021m <-<，即23m <<时，要使()g x 的最大值为0，则要()1min h t =， 22()()(3)24m m h t t =-+-，312m <<，3[2t ∈，15]4，()h t ∴在3[2，15]4上单调递增， 3213()()242min h t h m ∴==-，由()1min h t =，得176m =，因17(2,3)6∈，所以176m =满足题意； 当21m ->，即3m >时，要使()g x 的最大值为0， 则要()1max h t =，且()0min h t >，322m >， ①若321228m <，则1522515()()314164max h t h m ==-+=，解得：25760m =，又2()()3024minm m h t h ==->，3m ∴<<25760>25760m ∴=不合题意，②若2128m >，即214m >， 则32132132121()()02424248max h t h m ==-<-⨯=-<，()1h t max ≠， 综上所述，只存在176m =满足题意； （3）令()22x x t f x -==-，由（1）知()f x 是单调递增函数，∴当[1x ∈，2log 3]时，38[,]23t ∈，222222x x t -=+-， ∴22()()tkt g x g t k -+==，38[,]23t ∈，其最大值为k ，也即22t kt -+有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取，∴只可能是以下三种情况：①233()2122k -+=，解得136k =，此时对称轴为1312t =，左端点处取的是二次函数最小值， 而1k >，也即()g t 最小值，不合题意舍去． ②288()2133k -+=，解得7324k =，此时对称轴为7348t =，右端点离对称轴更远，取的最大值，而1k >，也即()h t 最大值，符合．③22142k kk -⋅+=，解得2k =±，此时对称轴为1t =±，不在区间上，∴最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．综上所述，7324k =． 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用定义判断函数的单调性，函数最值得求法，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．。
高一下学期期末复习训练题(三)答案
高一下学期期末复习训练题（三）参考答案1．A 【思路点拨】根据复数的除法运算求出复数1i i +，可得复数1i i +在复平面内对应的点的所在的象限.【解析】因为1i i +(1)1(1)(1)2i i i i i -+==+-，所以复数1ii +在复平面内对应的点11(,)22在第一象限.故选：A2．D 【思路点拨】根据题中条件，利用诱导公式，即可求出结果. 【解析】由()1sin 3A π+=得1sin 3A -=，即1sin 3A =-， 所以1cos sin 23A A π⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭. 故选：D.【名师指导】本题主要考查根据诱导公式求三角函数值，属于基础题型.3．D 【思路点拨】由圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式直接列式计算即可得出答案.【解析】设圆锥的母线为l 2，所以3l ==； 由圆锥的侧面展开图是扇形，故圆锥的展开图的面积是132262ππ⨯⨯⨯=. 故选：D.【名师指导】该题考查了圆锥侧面展开图，以及扇形的面积公式，属于基础题目.4．B 【解析】()tan112tan 23tan135tan 1122311tan112tan 23︒︒︒︒︒︒︒+=+==--⋅，即有tan112tan 23tan112tan 231︒︒︒︒+=⋅-，∴tan112tan 23tan112tan 23tan112tan 231tan112tan 231︒︒︒︒︒︒︒︒+-⋅=⋅--⋅=-故选：B.5．C 【思路点拨】设A 在平面BCD 的投影为O ，则AO =O 是BCD △的重心求出OB ，即可求出侧棱长.【解析】如图所示三棱锥中，由题可得3BC CD BD ===，设A 在平面BCD 的投影为O ，则3AO =，则O是BCD △的重心，23333OB ∴=⨯⨯=，则在Rt AOB 中，226AB AO OB =+=.故选：C.6．A 【思路点拨】由题意知1S 与2S 之比即为各扇形圆心角之比，根据扇形圆心角弧度数可求剩余部分圆心角弧度数，进而可求比值.【解析】由扇形的圆心角的弧度数为(35π，可知剩余部分圆心角弧度数为()23551πππ-=，故()12355151S S ππ--==- A.7．D 【思路点拨】由条件可得sin 4cos αα=-，又由22222sin cos 2sin sin 22sin sin cos ααααααα++=+可得答案. 【解析】由in 4(s 2)sin πααπ⎛⎫=+⎪⎝⎭+可得sin 4cos αα-=，即sin 4cos αα=- ()()22222222222224cos cos 24cos sin 22sin 2sin cos 2sin 24cos 24sin 22sin sin cos sin cos 17cos 174cos cos αααααααααααααααααα-⨯⨯+-+++=====++-+故选：D8．B 【思路点拨】连接AC ，BD ，交于1O ，取PC 中点O ，连接1OO ，则可证明1OO ⊥平面ABCD ，即O 为该四棱锥的外接球的球心，在Rt PAC △中，求得PC 的值，进而可求得外接球半径R ，代入公式，即可求得答案.【解析】连接AC ，BD ，交于1O ，取PC 中点O ，连接1OO ，如图所示因为1,O O 分别为PC ，AC 的中点，所以1//OO PA ，又PA ⊥平面ABCD ，所以1OO ⊥平面ABCD ，所以O 到A,B,C,D 的距离都相等，又PO OC ，所以O 为该四棱锥的外接球的球心，在Rt PAC △中，5PA =，2222345AC AB BC =+=+=，所以22225552PC PA AC ++=522PC R ==， 所以该阳马的外接球的表面积225244502S R πππ⎛==⨯=⎝⎭.故选：B 9．AD 【思路点拨】求出周期和单调递增区间2,33k x k k Z ππππ-+<<+∈可判断A ；求出周期为π2可判断B ；求出周期和单调递增区间27,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，可判断C ；求出周期和单调递增区间,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，可判断D.【解析】对于A ，函数tan 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期为π，单调递增区间为,262k x k k Z πππππ-+<+<+∈，即2,33k x k k Z ππππ-+<<+∈， 当0k =时单调递增区间为233x ππ-<<，所以在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，符合题意，正确；对于B ，函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为π2，不合题意，故错误；对于C ，函数cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期为π，单调递增区间为2222,3k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，即27,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 1k =-时单调递增区间为36x ππ-≤≤，所以在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上不是增函数，不合题意，错误；对于D ，函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期为π，单调递增区间为222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，0k =时单调递增区间为63x ππ-≤≤，所以在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，符合题意.故选：AD.【名师指导】本小题主要考查三角函数的周期性和单调性，解题关键点是熟练掌握三角函数的基本性质、基础知识，属于基础题.10．AC 【思路点拨】根据函数图象先求出函数()f x 的解析式，再对选项进行逐一判断即可得出答案.【解析】由函数()()sin (0f x A x ωϕω=+>且)ϕπ<的图象可得：252,21212A T ππππω⎡⎤⎛⎫===--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以2ω= ，故选项A 正确. 即()()2sin 2f x x ϕ=+，由22126f sin ππϕ⎛⎫-=-+= ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎭⎝所以2,62k k Z ππϕπ-+=+∈,则22,3k k Z πϕπ=+∈，又ϕπ<，所以23ϕπ= 所以()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以选项B 不正确.所以4821022sin 2sin 2sin 33333f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 正确. 又()222sin 22cos 22cos 22cos 232366f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以D 不正确. 故选：AC【名师指导】关键点睛：本题考查根据函数()()f x Asin x ωϕ=+图象求出函数解析式，解答本题的关键是先根据图象求出振幅A ,由周期求出ω,再根据特殊值求出ϕ的值，即252,21212A T ππππω⎡⎤⎛⎫===--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，22126f sin ππϕ⎛⎫-=-+= ⎛⎫ ⎪⎝⎪⎭⎭⎝，属于中档题.11．BD 【思路点拨】结合空间线面位置关系及平行垂直的判定与性质定理对选项进行分别判断.【解析】A ：若,//m n n α⊥，则m 与α平行或相交或m α⊂，A 选项错误；B ：因为,ααβ⊥⊥m ，所以//m β或m β⊂，又n β⊥，所以m n ⊥，B 选项正确；C ：若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n 与β相交或平行或n β⊂，C 选项错误；D ：若一个平面内两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行，D 选项正确； 故选：BD.12．ACD 【思路点拨】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D.【解析】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===， 由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==，故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =，所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin A =，故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯=C 正确；若8+=b c ，则2k =，所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以sin A =，则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：12sin 3a A ⨯=，故选项D 正确；故选：ACD.【名师指导】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.13 【解析】复数z 满足34(34)(12)5101212(12)(12)5i i i iz i i i i -----====--++-．则||z ==14．43【思路点拨】由平面向量的线性运算，化简得到2233OC OA OB OE OF =+=+，即可求解,m n 的值得到答案． 【解析】由题意，OC OA OB =+，因为12OF OB BF OB OA =+=+,12OE OA AE OA OB =+=+, 所以两式相加得，()()133222OF OE OA OB OA OB OA OB OC +=+++=+=, 所以2233OC OF OE =+，得23m n ==，所以43m n +=，故答案为：43． 【名师指导】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中根据平面向量的基本定理，合理进行向量的线性运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．5【思路点拨】在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，得到交点的个数，再根据()f x 与()g x 的图象的都关于点()1,0对称求解. 【解析】函数()22cos 1cos sin 242f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=--=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图所示：当3x ≥时，()21g x ≥>，且()g x 为增函数， 当1x ≤-时，()21g x ≤-<-，且()g x 为增函数， 所以由图知：()f x 与()g x 的图象有5个交点， 又因为()f x 与()g x 的图象的都关于点()1,0对称，所以()555111505iiiii i i x y x y===+=+=+=∑∑∑故答案为：5 16．4π2【思路点拨】由题意知1AA ⊥平面ABCD ，所以1A BA ∠即为1A B 与平面ABCD所成角，在1A BA 中求1A BA ∠即可；连接11B D ，交11AC 于点O ，连接OB ，故11OB AC ⊥，所以1BOB ∠即为二面角111B AC B --的平面角. 【解析】由题意知1AA ⊥平面ABCD ， 所以1A BA ∠即为1A B 与平面ABCD 所成角， 又1AB AA =，190A AB ∠=︒， 所以145ABA ∠=︒，即1A B 与平面ABCD 所成角的大小为4π； 如图，连接11B D ，交11AC 于点O ，连接OB ， 则1111B D AC ⊥，又11A B C B =，11OA OC =， 所以11OB AC ⊥，所以1BOB ∠即为二面角111B AC B --的平面角； 因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB OB ⊥，所以190OB B ∠=︒, 又111111122222OB B D A B BB ===, 所以111tan 2BB BOB OB ∠==故答案为：4π2【名师指导】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．17．【思路点拨】（1）由条件设(2),c a λλλ-==25=，求出λ，即可得出答案.(2)由条件可得()23,2ka b k k -=---，()24,5a b +=，则()()20ka b a b -⋅+=，由此可得答案. 【解析】（1）//a c ，设(2),c a λλλ-==25c =25= 25=.λ∴=，λ∴=±(105,5c =-或(105,c =-.（2）()23,2ka b k k -=---，()24,5a b +=()()2ka b a b -⊥+，()()20ka b a b ∴-⋅+=，即423()20)(5k k -+--=即322,k -=则223k =-18．【思路点拨】（1）先利用已知条件求出37244πππα<+<，进而得到sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后利用两角差的余弦公式求解即可；（2）直接利用二倍角公式，两角差的正弦公式以及辅助角公式化简求解即可. 【解析】解：（1）350,547444cos ππππαα⎛⎫++< <⎪⎝⎭=>，37244πππα∴<+<， 4sin 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，4cos sin 2444cos cos ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎡⎭⎣⎦⎤∴==⎢⎥⎣⎦3455⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=；()()22222cos sin 42sin cos a a a a π⎛⎫ ⎝⎭-⎪=- ()2sin cos a a =+2sin 4a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭85=-.19．【思路点拨】（1）连AC ，利用已知条件可得AE BC ⊥，PA AE ⊥，进而得到AE AD ⊥，再利用线面垂直的判定定理得到AE ⊥面PAD ，即可得出结论；（2）取PD 的中点M ，连,FM MC ，利用已知条件得到四边形FECM 是平行四边形，进而得到//EF MC ，再利用线面平行的判定定理即可得出结果.【解析】证明：（1）连AC ，60ABC ∠=，底面ABCD 为菱形，ABC ∴是等边三角形，BE EC =，AE BC ∴⊥，又//BC AD ，AE AD ∴⊥，又PA ⊥面,ABCD AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥，PA AD A ⋂=，AE ∴⊥面,PAD PD ⊂面PAD ，AE PD ∴⊥.()2取PD 的中点M ，连,FM MC ，PF FA =，所以11//,22FM AD FM AD =， 又11//,22EC AD EC AD =， //,FM EC FM EC ∴=，∴四边形FECM 是平行四边形，//EF MC ∴，又EF ⊄面,PCD MC ⊂面PCD ，//EF ∴面PCD .20．.【思路点拨】若选①，根据向量共线，可得)2(0a c cosB bcosC --=，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，即可求得12cosB =，根据角B 的范围，即可求得角B 的值，根据余弦定理，可求得ac 的值，代入面积公式，即可求得答案；若选②，利用正弦定理边化角，结合二倍角公式，即可求得2B sin 的值，即可求得角B 的值，根据余弦定理，可求得ac 的值，代入面积公式，即可求得答案；若选③：根据正弦定理角化边，结合余弦定理，即可求得角B 的值，根据余弦定理，可求得ac 的值，代入面积公式，即可求得答案.【解析】解:若选①向量(2,)m a c b =-与向量(),n cosC cosB =共线，()20a c cosB bcosC -∴-=由正弦定理边化角得20()sinA sinC cosB sinBcosC --=，即()2sinAcosB sinCcosB sinBcosC sin B C =+=+，又()sinA sin B C =+，2,sinAcosB sinA ∴=(0,)A π∈，∴0sinA ≠12cosB ∴=， ()0,B π∈，3B π∴=；由余弦定理得2222b a c accosB =+-， ∴()2222213234933a c accosa c ac a c ac ac π=+-=+-=+-=-，12,ac ∴=∴三角形的面积为111222ABC S acsinB ==⨯=若选②：由题设及正弦定理得2A C sinCsin sinBsinC +=， ()0,C π∈，0,sinC ∴≠ ∴2A C sin sinB += 由A BC π++=，可得cos 2222A C B B sin sin π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴cos 2222B B B sin cos = 0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0,2B cos ≠ ∴122B sin =， 26B π∴=， ∴3B π=.由余弦定理得2222b a c accosB =+-，∴()2222213234933a c accosa c ac a c ac ac π=+-=+-=+-=-， 12,ac ∴=∴三角形的面积为111222ABC S acsinB ==⨯= 若选③：由已知得222sin A sin C sin B sinAsinC +-=，由正弦定理角化边得222a c b ac +-=由余弦定理得2221222ac cosB ac a a c c b +-=== ()0,B π∈，∴3B π=由余弦定理得2222b a c accosB =+-，∴()2222213234933a c accosa c ac a c ac ac π=+-=+-=+-=-， 12,ac ∴=∴三角形的面积为111222ABC S acsinB ==⨯=【名师指导】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式并灵活应用，化简时需注意各角的范围，考查计算化简的能力，属中档题.21．【思路点拨】（1）连接AC ，分别证得EF CD ⊥和PA CD ⊥，利用线面垂直的判定，即可求解.（2）利用等积法，即可求解.【解析】（1）如图所示，连接AC ，由ABCD 是边长为2的正方形，因为F 是BD 的中点，可得AC 的中点，在PAC △中，因为,E F 分别是,PC AC 的中点，可得//EF PA ，又因为EF CD ⊥，所以PA CD ⊥，又由AD CD ⊥，且AD AP A =，所以CD ⊥平面PAD .（2）如图所示，取AD 中点O ，连接PO ，因为PAD △是边长为2的等边三角形，所以PO AD ⊥且3PO =， 由（1）知平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 可得11123223332P BDC BDC V S PO -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 连接OB ，则225OB AO AB =+=，所以2222PB PO OB =+=， 又2222BD AB AD =+=，又2PD =，所以212(22)172PBD S =⨯⨯-=, 设点C 到平面PDB 的距离为h ，则1773C PBD h V h -=⨯⨯=， 即723h =，解得2217h =.22．【思路点拨】（1）由()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，可得函数的周期，从而得出ω的值，由平移得出()g x 的解析式，根据()g x 图像关于原点对称，可求出ϕ的值，从而可求()f x 单调增区间,得出答案.（2）令23t x π=+ 则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[2s n i t ∈，根据()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-有两解，从而可得答案.【解析】解:由()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，则22T ππω==，1,ω∴= ()()2sin 2f x x ϕ∴=+()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦⎭⎭ 函数()g x 的图像关于原点对称，3k πϕπ-+=，,2πϕ< 所以3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ （1）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈ 得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 令0k =得51212x ππ-≤≤ 1k =得7131212x ππ≤≤ ()f x ∴在[]0,π增区间是70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()2令23t x π=+，0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n i t ∈若()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，由2sin y t =322m -<，即123m <≤13322m -∴<≤ m ∴的取值范围是133,22⎛⎤- ⎥ ⎝⎦【名师指导】本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，解答本题的关键是设23t x π=+，由0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n ,2]i 3t ∈-若()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解，然后数形结合求解，属于中档题.。
(精)高一数学(下)期末强化训练40题(附答案解析)
高一数学（下）期末强化训练40题版本：北师大版适用范围：必修5一．选择题（共24小题）1．已知数列{a n}的前n项和为S n，，且a2=a9，则所有满足条件的数列中，a1的最大值为（）A．3 B．6 C．9 D．122．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点A在x轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}3．已知圆x2+y2=1与x轴的两个交点为A，B，若圆内的动点P使，，成等比数列（O为坐标原点），则的取值范围为（）A．B．C．D．[﹣1，0）4．已知点M（m，m2），N（n，n2），其中m，n是关于x的方程sinθ•x2+cosθ•x﹣1=0（θ∈R）的两个不等实根．若圆O：x2+y2=1上的点到直线MN的最大距离为d，且正实数a，b，c满足abc+b2+c2=4d，则log4a+log2b+log2c的最大值是（）A．B．4 C．2D．5．设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导函数为f′（x），对∀x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为（）A．+2 B．﹣2 C．2+2 D．2﹣26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC，且S=，则对△ABC的形状的精确描述是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形7．存在正实数b使得关于x的方程sinx+cosx=b的正根从小到大排成一个等差数列，若点P（6，b）在直线nx+my﹣2mn=0上（m，n均为正常数），则m+4n的最小值为（）A．5+2B．4C．8D．7+48．关于函数y=sin|2x|+|sin2x|下列说法正确的是（）A．是周期函数，周期为πB．关于直线对称C．在上最大值为D．在上是单调递增的9．设等差数列{a n}满足：cos2a3cos2a5﹣sin2a3sin2a5﹣cos2a3=sin（a1+a7），a4≠，k∈Z 且公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=8时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．[，2π]B．（，2π）C．[，2π]D．（，2π）10．若关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，且函数在区间上不是单调函数，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a＞0），若方程f（x）=x的根x1与x2满足|x1|＜1，|x1﹣x2|=2，则实数b的取值范围是（）A．或B．或C．或D．或12．若存在唯一的正整数x0，使关于x的不等式x3﹣3x2﹣ax+5﹣a＜0成立，则a的取值范围是（）A．B．C．D．13．已知数列{a n}满足：a1=m，m为正整数，a n+1=，若a6=1，则m所有可能的取值为（）A．{4，5}B．{4，32}C．{4，5，32}D．{5，32}14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若数列{S n}有唯一的最大项S3，H n=S1+2S2+3S3+…+nS n，则（）A．S5•S6＜0B．H5•H6＜0C．数列{a n}、{S n}都是单调递减数列D．H6可能是数列{H n}最大项15．已知数列{a n}的首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，若数列{sina n}是等比数列，则其公比为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．216．设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3，…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则∠A n的最大值为（）A．B．C．D．17．已知△ABC中，AB=4，且满足BC=CA，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．3 C．2 D．418．已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤2419．对于函数f（x），若任给实数a、b、c，f（a），f（b），f（c）为某一三角形三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，+∞）20．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，则AD的长度的最小值为（）A．B．2﹣3 C．3﹣2D．21．设a=3π，b=π3，c=33，则（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a22．已知m，n∈R，若关于实数x的方程x2+（m+1）x+m+n+1=0的两个实根x1、x2满足0＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围为（）A．（﹣2，﹣）B．（﹣2，）C．（﹣1，﹣）D．（﹣1，）23．若关于x的不等式2（x﹣2）2﹣log m x＞0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，）C．[）D．（0，1）∪（1，]24．已知变量x、y满足约束条件，且z=x+2y的最小值为3，则≥的概率是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）25．观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时，=（最后结果用m，n表示）26．若实数x，y满足2x2+xy﹣y2=1，则的最大值为．27．若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为．28．已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足：b2﹣a2=ac，c=2，则a的取值范围是．29．在△ABC中，B（﹣3，0），C（3，0），且AB、BC、AC成等差数列，则△ABC面积的最大值为．30．对于任一实数序列A={a1，a2，a3…}，定义△A为序列{a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…}，﹣a n，假定序列△（△A）的所有项都是1，且a18=a2017=0，则a2018=．它的第n项是a n+131．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=60°，AB=1，∠D=150°，则四边形ABCD面积的取值范围是．32．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是．三．解答题（共8小题）33．在正项数列{a n}中，令S n=．（1）若{a n}是首项为25，公差为2的等差数列，求S100；（2）若（p为正常数）对正整数n恒成立，求证：{a n}为等差数列．34．已知不等式x2﹣5mx+4m2≤0的解集为A，不等式ax2﹣x﹣1+3a＜0的解集为B．（1）求A．（2）若当m=1时，A∩B≠∅，求a的取值范围．35．已知锐角△ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数f（x）=sin（ωx+）+cosωx（ω＞0），且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．36．某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元．根据需要A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？37．设A=[﹣1，1]，B=[﹣2，2]，函数f（x）=2x2+mx﹣1，（1）设不等式f（x）≤0的解集为C，当C⊆（A∩B）时，求实数m的取值范围；（2）若对任意x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x）成立，试求x∈B时，函数f（x）的值域；（3）设g（x）=2|x﹣a|﹣x2﹣mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．38．已知数列{a n}满足：对于任意n∈N*且n≥2时，a n+λa n﹣1=2n+1，a1=4．（1）若，求证：{a n﹣3n}为等比数列；（2）若λ=﹣1．①求数列{a n}的通项公式；②是否存在k∈N*，使得+25为数列{a n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．39．已知数列{a n}满足：a1=3，．证明：当n∈N*时，＞2；（1）a n＞a n+1（2）（3）a1+a2+…+a n＜2n+8．40．已知函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1．（1）当x∈[2，4]时，f（x）≥﹣1恒成立，求实数m的取值范围；（2）是否存在整数a，b（a＜b），使得关于x的不等式a≤f（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．高一数学（下）期末强化40题参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．已知数列{a n}的前n项和为S n，，且a2=a9，则所有满足条件的数列中，a1的最大值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】当n=1时，2S1=﹣a2，即a1==﹣，由于函数y=的图象的对称轴为x=，当且仅当最大时，a1取得最大值．，n≥2时，2a n=2S n﹣2S n﹣1，化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，可得：a n+1+a n=0，或a n+1﹣a n﹣1=0．数列{a n}从第三项开始，每一项是由前一项加1或乘以﹣1得到，又a2=a9，a9=﹣a2+k，（﹣6≤k≤6，且k为偶数），即﹣a2+k=a2，可得：a2=k．对k取值即可得出．【解答】解：当n=1时，2S1=﹣a2，即a1==﹣，由于函数y=的图象的对称轴为x=，当且仅当最大时，a1取得最大值．，n≥2时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=﹣（﹣a n），化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，+a n=0，或a n+1﹣a n﹣1=0．∴a n+1∴数列{a n}从第三项开始，每一项是由前一项加1或乘以﹣1得到，又a2=a9，∴a9=﹣a2+k，（﹣6≤k≤6，且k为偶数），即﹣a2+k=a2，可得：a2=k．当k=6时，a2取得最大值3，当k=﹣6时，a2取得最小值为﹣3．∴当a2=﹣3时，取得最大值，对应a1取得最大值为6．故选：B．2．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点A在x轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）A．{1，2} B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【分析】根据菱形的不同位置进行判断即可．【解答】解：根据对称性我们只研究在第一象限内的整点情况，设∠AOC=θ，则C（2cosθ，2sinθ），B（2cosθ+2，2sinθ），①若0°＜θ≤30°，则0＜2sinθ≤1，此时区域内整点个数为0，排除A，B，②若30°＜θ＜45°，则1＜2sinθ＜，＜2cosθ＜，+2＜2cosθ+2＜2+，此时区域内整点为（2，1），个数为1，③若45°＜θ＜90°，则＜2sinθ＜2，0＜2cosθ＜，此时区域内整点为（1，1），（2，1），个数为2，④若θ=90°，则此时区域内整点为（1，1），个数为1个，综上菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是{0，1，2}，故选：C．3．已知圆x2+y2=1与x轴的两个交点为A，B，若圆内的动点P使，，成等比数列（O为坐标原点），则的取值范围为（）A．B．C．D．[﹣1，0）【分析】设P（x，y），则A（﹣1，0），B（1，0），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），•=（﹣1﹣x，﹣y）•（1﹣x，﹣y）=x2+y2﹣1；由圆内的动点P使，，成等比数列可求得x2﹣y2=，从而得x2≥．又P在圆内，故x2+y2﹣1＜0，继而得到答案．【解答】解：设P（x，y），则A（﹣1，0），B（1，0），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），∵，，成等比数列，∴=•，∴（x2+y2）2=[（﹣1﹣x）2+（﹣y）2][（1﹣x）2+（﹣y）2]=（x2+y2+1）2﹣4x2，∴x2﹣y2=，∴y2=x2﹣，x2≥．∴•=（﹣1﹣x，﹣y）•（1﹣x，y）=x2+y2﹣1=x2+（x2﹣）﹣1=2x2﹣≥2×﹣=﹣①又P在圆内，故x2+y2﹣1＜0，即•＜0②由①②得：﹣≤•＜0．故选：B．4．已知点M（m，m2），N（n，n2），其中m，n是关于x的方程sinθ•x2+cosθ•x﹣1=0（θ∈R）的两个不等实根．若圆O：x2+y2=1上的点到直线MN的最大距离为d，且正实数a，b，c满足abc+b2+c2=4d，则log4a+log2b+log2c的最大值是（）A．B．4 C．2D．【分析】m，n是关于x的方程sinθ•x2+cosθ•x﹣1=0（θ∈R）的两个不等实根．可得m+n=，mn=，由直线MN的方程为：y﹣m2=（x﹣m），化简代入可得：xcosθ+ysinθ﹣1=0．圆O：x2+y2=1的圆心O（0，0）到直线MN的距离为1，可得圆O上的点到直线MN的最大距离为d=2，由正实数a，b，c满足abc+b2+c2=4d=8，利用基本不等式的性质与对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵m，n是关于x的方程sinθ•x2+cosθ•x﹣1=0（θ∈R）的两个不等实根．∴m+n=，mn=，直线MN的方程为：y﹣m2=（x﹣m），化为：y=（m+n）x﹣mn，∴xcosθ+ysinθ﹣1=0．圆O：x2+y2=1的圆心O（0，0）到直线MN的距离=1，∴圆O上的点到直线MN的最大距离为d=1+1=2，∴正实数a，b，c满足abc+b2+c2=4d=8，∴8≥abc+2bc≥2，化为：ab2c2≤8，当且仅当b=c=，a=2时取等号．则log4a+log2b+log2c=≤log48=，其最大值是．故选：D．5．设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导函数为f′（x），对∀x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为（）A．+2 B．﹣2 C．2+2 D．2﹣2【分析】由二次函数f（x）=ax2+bx+c，可得导函数为f′（x）=2ax+b，于是不等式f（x）≥f′（x）化为ax2+（b﹣2a）x+c﹣b≥0．由于对∀x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，可得，化为b2≤4ac﹣4a2．可得≤=，令，可得==，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由二次函数f（x）=ax2+bx+c，可得导函数为f′（x）=2ax+b，∴不等式f（x）≥f′（x）化为ax2+（b﹣2a）x+c﹣b≥0．∵对∀x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴，化为b2≤4ac﹣4a2．∴≤=，令，则=====，当且仅当时取等号．∴的最大值为﹣2．故选：B．6．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC，且S=，则对△ABC的形状的精确描述是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形【分析】由正弦定理化简已知可得a2+b2=c2，利用勾股定理可得C=，利用余弦定理，三角形面积公式化简可得sinB﹣cosB=0，可求sin（B﹣）=0，结合范围B∈（0，），可求B=A，即可得解三角形的形状．【解答】解：∵asinA+bsinB=csinC，∴由正弦定理可得：sin2A+sin2B=sin2C，可得：a2+b2=c2，∴C=，△ABC是直角三角形．又∵S==acsinB，∴×2accosB=acsinB，解得：sinB﹣cosB=0，可得：sin（B﹣）=0，∴B﹣=kπ，可得：B=kπ+，k∈Z，∵B∈（0，），B﹣∈（﹣，），∴B﹣=0，可得：B=，A=π﹣B﹣C=，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：D．7．存在正实数b使得关于x的方程sinx+cosx=b的正根从小到大排成一个等差数列，若点P（6，b）在直线nx+my﹣2mn=0上（m，n均为正常数），则m+4n的最小值为（）A．5+2B．4C．8D．7+4【分析】由sinx+cosx=b，可得：2=b．存在正数b，使得方程sinx+cosx=b 的正根从小到大排成一个等差数列，即有0＜b≤2．经过讨论可得：b=2，即有x+=2kπ+，即为x=2kπ+，k∈Z．点P（6，2）在直线直线nx+my﹣2mn=0上（m，n均为正常数），可得：=1．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由sinx+cosx=b，可得：2=b存在正数b，使得方程sinx+cosx=b的正根从小到大排成一个等差数列，即有0＜b≤2．若0＜b＜2，由y=sin（x+）的图象可得：直线y=b与函数y=2sin（x+）的图象的交点的横坐标不成等差数列，若b=2，即有x+=2kπ+，即为x=2kπ+，k∈Z，可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为2π．由点P（6，2）在直线直线nx+my﹣2mn=0上（m，n均为正常数），∴6n+2m﹣2mn=0，化为：=1．则m+4n=（m+4n）=7+≥7+2=7+4，当且仅当m=2n=3+2时取等号．故选：D．8．关于函数y=sin|2x|+|sin2x|下列说法正确的是（）A．是周期函数，周期为πB．关于直线对称C．在上最大值为D．在上是单调递增的【分析】令y=f（x）=sin|2x|+|sin2x|，A：利用y=sin2|x|不是周期函数，可判断A的正误；B：利用f（﹣）≠f（）可判断B的正误；C：利用f（）=2＞可判断C的正误；D：当x∈[﹣，﹣]时，f（x）=﹣sin2x﹣sin2x=﹣2sin2x，利用正弦函数的单调性即可判断D之正误．【解答】解：令y=f（x）=sin|2x|+|sin2x|，A：∵y=sin2|x|不是周期函数，∴函数y=sin|2x|+|sin2x|不是周期函数，故A错误；B：∵﹣+=，即点（﹣，0）与点（，0）关于直线x=对称，又f（﹣）=1+1=2，f（）=﹣1+1=0，f（﹣）≠f（），∴y=sin|2x|+|sin2x|的图象不关于直线x=对称，故B错误；C：∵∈[﹣，]，且f（）=1+1=2＞，故C错误；D：当x∈[﹣，﹣]时，f（x）=﹣sin2x﹣sin2x=﹣2sin2x，由2kπ+≤2x≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），∴f（x）=﹣2sin2x的单调递增区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z），当k=﹣1时，﹣≤x≤﹣，∴f（x）=sin|2x|+|sin2x|=﹣2sin2x在区间[﹣，﹣]上单调递增，而[﹣，﹣]⊂[﹣，﹣]，∴f（x）=sin|2x|+|sin2x|在区间[﹣，﹣]上单调递增，故D正确．故选：D．9．设等差数列{a n}满足：cos2a3cos2a5﹣sin2a3sin2a5﹣cos2a3=sin（a1+a7），a4≠，k∈Z 且公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=8时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．[，2π]B．（，2π）C．[，2π]D．（，2π）【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．【解答】解：∵cos2a3cos2a5﹣sin2a3sin2a5﹣cos2a3=sin（a1+a7），∴cos2a3cos2a5﹣sin2a3sin2a5﹣cos2a3+sin2a3=sin（a1+a7），即cos2a3（cos2a5﹣1）﹣sin2a3（sin2a5﹣1）=sin2a4，即﹣cos2a3sin2a5+sin2a3cos2a5=sin2a4，即（sina3cosa5﹣cosa3sina5）（sina3cosa5+cosa3sina5）=sin2a4，即sin（a3﹣a5）sin（a3+a5）=sin2a4，即﹣sin2dsin（2a4）=sin2a4，∵a4≠，∴sin2a4≠0，∴sin（2d）=﹣1．∵d∈（﹣1，0），∴2d∈（﹣2，0），则2d=，d=﹣．由S n=na1+=na1+×（﹣）=﹣n2+（a1+）n．对称轴方程为n=（a1+），由题意当且仅当n=8时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴＜（a1+）＜，解得：＜a1＜2π．∴首项a1的取值范围是（，2π），故选：D．10．若关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，且函数在区间上不是单调函数，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集求出a，c的值，求出函数y的解析式，根据区间（，1）上不是单调函数，可得y′=3x2+2mx+m=0在区间（，1）上有解，且不是重解；构造函数，求导函数，确定函数的值域，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴对应方程x2+ax﹣c=0的实数根为﹣2和1，由根与系数的关系知a=﹣（﹣2+1）=1，c=﹣（﹣2）×1=2；∴函数=x3+mx2+x+1，∴y′=3x2+2mx+1；又函数y=x3+mx2+x+1在区间（，1）上不是单调函数，∴y′=3x2+2mx+1在区间（，1）上有正有负，可以转化为3x2+2mx+1=0（*）在区间（，1）上有解，且不是重解∴由3x2+2mx+1=0，可得2m=﹣3x﹣；令f（x）=﹣3x﹣，其中＜x＜1，且f'（x）=﹣3+，令f'（x）=0，得x=，∴x∈（，）时，f'（x）＞0，f（x）递增，x∈（，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）max=f（）=﹣2；∵f（1）=﹣4，f（）=﹣，∴f（x）的值域为（﹣4，﹣2]，∴2m∈（﹣4，﹣2]，∴m∈（﹣2，﹣]；又当m=﹣时，（*）中△=0，有2个相等的根，不合题意，∴m的范围是（﹣2，﹣）．故选：A．11．已知二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a＞0），若方程f（x）=x的根x1与x2满足|x1|＜1，|x1﹣x2|=2，则实数b的取值范围是（）A．或B．或C．或 D．或【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣x，根据函数与方程的关系和根与系数的关系，讨论0＜x1＜1和﹣1＜x1＜0，得出对应x2的取值范围，根据函数零点的定义列出不等式组，求出b的取值范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，则g（x）=ax2+（2b﹣1）x+1=0，知x1x2=＞0，∴x1与x2同号；①若0＜x1＜1，则x2﹣x1=2（负根舍去），∴3＞x2=x1+2＞2；∴，即，解得b＜；②若﹣1＜x1＜0，则﹣3＜x2=﹣2+x1＜﹣2（正根舍去），，即，解得b＞；综上，b的取值范围是b＜或b＞．故选：C．12．若存在唯一的正整数x0，使关于x的不等式x3﹣3x2﹣ax+5﹣a＜0成立，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】设g（x）=x3﹣3x2+5，h（x）=a（x+1），在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可．【解答】解：设f（x）=x3﹣3x2﹣ax+5﹣a，则存在唯一的正整数x0，f（x0）＜0，再设g（x）=x3﹣3x2+5，h（x）=a（x+1），两个函数图象如图：要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，只要，即，解得＜a≤；故选：B．13．已知数列{a n}满足：a1=m，m为正整数，a n+1=，若a6=1，则m所有可能的取值为（）A．{4，5}B．{4，32}C．{4，5，32}D．{5，32}【分析】a6=1，可得a5必为偶数，因此=1，解得a5=2．当a4为偶数时，，解得a4=4；当a4为奇数时，a5=3a4+1=2，解得a4=﹣，舍去．依此类推即可得出．【解答】解：∵a6=1，∴a5必为偶数，∴=1，解得a5=2．当a4为偶数时，，解得a4=4；当a4为奇数时，a5=3a4+1=2，解得a4=，舍去．∴a4=4．当a3为偶数时，，解得a3=8；当a3为奇数时，a4=3a3+1=4，解得a3=1．当a3=8时，当a2为偶数时，，解得a2=16；当a2为奇数时，a3=3a2+1=8，解得a2=，舍去．当a3=1时，当a2为偶数时，a3==1，解得a2=2；当a2为奇数时，a3=3a2+1=1，解得a2=0，舍去．当a2=16时，当a1为偶数时，a2==16，解得a1=32=m；当a1为奇数时，a2=3a1+1=16，解得a1=5=m．当a2=2时，当a1为偶数时，a2==2，解得a1=4=m；当a1为奇数时，a2=3a1+1=2，解得a1=，舍去．综上可得m=4，5，32．故选：C．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若数列{S n}有唯一的最大项S3，H n=S1+2S2+3S3+…+nS n，则（）A．S5•S6＜0B．H5•H6＜0C．数列{a n}、{S n}都是单调递减数列D．H6可能是数列{H n}最大项【分析】由等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}有唯一的最大项S3，可得：公差d＜0，a1＞0，a1，a2，a3＞0，a4＜0．A．由S5=5a3＞0，S6=3（a3+a4）与0的大小关系不确定，即可判断出正误；B．H5=S1+2S2+3S3+4S4+5S5＞0，H6=S1+2S2+3S3+4S4+5S5+6S6，由A可知：S6=3（a3+a4）与0的大小关系不确定，即可判断出正误．C．数列{a n}是单调递减数列，而数列{S n}在n≤3时单调递增，n≥4时单调递减．D．由a3+a4与0的大小关系不确定即可判断出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}有唯一的最大项S3，∴公差d＜0，a1＞0，a1，a2，a3＞0，a4＜0．A．由S5==5a3＞0，S6==3（a3+a4）与0的大小关系不确定，可知A 不正确；B．H5=S1+2S2+3S3+4S4+5S5＞0，H6=S1+2S2+3S3+4S4+5S5+6S6，由A可知：S6=3（a3+a4）与0的大小关系不确定，H5•H6与0的大小关系也不确定，因此不正确．C．数列{a n}是单调递减数列，而数列{S n}在n≤3时单调递增，n≥4时单调递减．D．若a3+a4＞0，则S6＞0，而S7==7a4＜0，因此H6有可能是数列{H n}最大项．故选：D．15．已知数列{a n}的首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，若数列{sina n}是等比数列，则其公比为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2【分析】数列{a n}是首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，a n=a1+（n﹣1）d，由于数列{sina n}是等比数列，可得n≥2，=，利用积化和差与和差化积即可得出．【解答】解：数列{a n}是首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，∵数列{sina n}是等比数列，∴n≥2，=，∴sina1sin（a1+nd）=sin（a1+d）sin[a1+（n﹣1）d]，积化和差得cos（2a1+nd）﹣cosnd=cos（2a1+nd）﹣cos（n﹣2）d，∴cos（n﹣2）d﹣cosnd=0，和差化积得2sin[（n﹣1）d]sind=0，对任意的正整数n都成立，∴sind=0，0＜d＜2π，∴d=π．由①，公比q=﹣1．故选：B．16．设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3，…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则∠A n的最大值为（）A．B．C．D．【分析】根据数列的递推关系得到b n+c n=2a1为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论．【解答】解：∵a n+1=a n，∴a n=a1，∵，，∴b n+1+c n+1=a n+=a1+，∴b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n﹣2a1），又b1+c1=2a1，∴当n=1时，b2+c2﹣2a1=（b1+c1+﹣2a1）=0，当n=2时，b3+c3﹣2a1=（b2+c2+﹣2a1）=0，…∴b n+c n﹣2a1=0，即b n+c n=2a1为常数，∵b n﹣c n=（﹣）n﹣1（b1﹣c1），∴当n→+∞时，b n﹣c n→0，即b n→c n，则由基本不等式可得b n+c n=2a1≥2，∴b n c n≤（a1）2，由余弦定理可得=﹣2b n c n cosA n=（b n+c n）2﹣2b n c n﹣2b n c n cosA n，即（a1）2=（2a1）2﹣2b n c n（1+cosA n），即2b n c n（1+cosA n）=3（a1）2≤2（a1）2（1+cosA n），即3≤2（1+cosA n），解得cosA n≥，∴0＜A n≤，即∠A n的最大值是，故选：B．17．已知△ABC中，AB=4，且满足BC=CA，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．3 C．2 D．4【分析】解法一：以AB中点为坐标原点建立直角坐标系，设A（﹣2，0），B（2，0），C（x，y），由BC=CA，可得：y=，可得y max的值，利用三角形面积公式即可计算得解．解法二：设CA=b，则BC=b，利用余弦定理可求得cos2A=+﹣1，再利=2bsinA，继而可求S△ABC2=48﹣（b2﹣16）2，从而可得用三角形的面积公式可求得S△ABC△ABC面积的最大值．【解答】解：解法一：如图，以AB中点为坐标原点，建立直角坐标系，设A（﹣2，0），B（2，0），C（x，y），则BC=CA，可得：=，整理可得：y=，可得y max=2，可得：s max===4．解法二：依题意，设CA=b，则BC=b，又AB=4，由余弦定理得：cosA===﹣，∴cos2A=（﹣）2=+﹣1，∴sin2A=1﹣cos2A=2﹣﹣．=AB•ACsinA=×4bsinA=2bsinA，∵S△ABC∴S2=4b2sin2A=4b2（2﹣﹣）=48﹣（b2﹣16）2，△ABC当b2=16，即b=4时，4、4、4能组成三角形，∴S2max=48，∴S max=4．故选：D．18．已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，∴sin2A+sin2B+sin2C=，∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，∴sinAsinBsinC=．设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，故选：A．19．对于函数f（x），若任给实数a、b、c，f（a），f（b），f（c）为某一三角形三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[，2] B．[0，1] C．[1，2]D．[0，+∞）【分析】因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f （a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．【解答】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x）==1+，①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．综上可得，≤t≤2，故实数t的取值范围是[，2]，故选：A．20．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，则AD的长度的最小值为（）A．B．2﹣3 C．3﹣2D．【分析】在图（2）中连接DP，由折叠可知AD=PD，根据等边对等角可得∠BAP=∠APD，又∠BDP为三角形ADP的外角，若设∠BAP为θ，则有∠BDP为2θ，再设AD=PD=x，根据正弦定理建立函数关系，根据正弦函数的图象与性质得出正弦函数的最大值，进而得出x 的最小值，即为AD的最小值．【解答】解：显然A，P两点关于折线DE对称，连接DP，图（2）中，可得AD=PD，则有∠BAP=∠APD，设∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，再设AD=DP=x，则有DB=1﹣x，在△ABC中，∠APB=180°﹣∠ABP﹣∠BAP=120°﹣θ，∴∠BPD=120°﹣2θ，又∠DBP=60°，在△BDP中，由正弦定理知，即∴x=，∵0°≤θ≤60°，∴0°≤120°﹣2θ≤120°，∴当120°﹣2θ=90°，即θ=15°时，sin（120°﹣2θ）=1．此时x取得最小值==2﹣3，且∠ADE=75°．则AD的最小值为2﹣3．21．设a=3π，b=π3，c=33，则（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【分析】运用幂函数y=x3在（0，+∞）是单调增函数，y=3x在R上递增，以及f（x）=的单调性，即可得到所求大小关系．【解答】解：考查幂函数y=x3在（0，+∞）是单调增函数，且π＞3，∴π3＞33，∴b＞c；由y=3x在R上递增，可得3π＞33，由a=3π，b=π3，可得lna=πln3，lnb=3lnπ，考虑f（x）=的导数f′（x）=，由x＞e可得f′（x）＜0，即f（x）递减，可得f（3）＞f（π），即有＞，即为πln3＞3lnπ，即有3π＞π3，则a＞b＞c，故选：C．22．已知m，n∈R，若关于实数x的方程x2+（m+1）x+m+n+1=0的两个实根x1、x2满足0＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围为（）A．（﹣2，﹣）B．（﹣2，）C．（﹣1，﹣）D．（﹣1，）【分析】将方程转化为函数，利用一元二次方程根的发布，转化为关于m，n的二元一次不等式组，利用线性规划的知识进行求解即可得到结论．【解答】解：设f（x）=x2+（m+1）x+m+n+1，∵关于实数x的方程x2+（m+1）x+m+n+1=0的两个实根x1、x2满足0＜x1＜1，x2＞1，∴，即，作出不等式对应的平面区域如图，设k=，则k的几何意义为过原点的直线的斜率，由，解得，即A（﹣2，1），此时OA的斜率k==，直线2m+n+3=0的斜率k=﹣2，故﹣2＜k＜，故选：A．23．若关于x的不等式2（x﹣2）2﹣log m x＞0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（1， C．[）D．（0，1）∪（1，]【分析】首先将不等式变形为2（x﹣2）2＞log m x，设f（x）=2（x﹣2）2，g（x）=log m x，只要f（x）min＞g（x）max即可．【解答】解：由已知不等式变形为2（x﹣2）2＞log m x，设f（x）=2（x﹣2）2，g（x）=log m x，要使关于x的不等式2（x﹣2）2﹣log m x＞0在（0，）内恒成立，只要f（x）min＞g（x），maxf（x）＞2（﹣2）2=1，∴1＞log m x，即log m m＞log m x恒成立，所以或恒成立，所以m；故选：C．24．已知变量x、y满足约束条件，且z=x+2y的最小值为3，则≥的概率是（）A．B．C．D．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，得到当直线得z=x+2y截距最小时z最小，求出可行域内使直线截距最小的点的坐标，代入x=a求出a的值，利用≥的几何意义，转化求解概率即可．【解答】解：由变量x、y满足约束条件画出可行域如图，由z=x+2y的最小值为3，在y轴上的截距最小．由图可知，直线得z=x+2y过A点时满足题意．联立，解得A（3，0）．A在直线x=a上，可得a=3．则≥的几何意义是可行域内的点与Q（﹣1，0）连线的斜率超过，由图形可知：直线x=3与直线x﹣2y+1=0的交点为：（3，2），直线x﹣2y+3=0与x=3的交点（3，3），∴则＜的概率：=，则≥的概率是：1﹣=．故选：D．二．填空题（共8小题）25．观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时，=n2﹣m2（最后结果用m，n表示）【分析】通过观察，第一个式子为m=0，n=1．第二个式子为m=2，n=4．第三个式子为m=5，n=8，然后根据结果值和m，n的关系进行归纳得到结论．【解答】解：当m=0，n=1时，为第一个式子+=1，此时1=12﹣0，当m=2，n=4时，为第二个式子+++=12，此时12=42﹣22当m=5，n=8时，为第三个式子+++++=39，此时39，=82﹣52由归纳推理可知，=n2﹣m2．故答案为：n2﹣m226．若实数x，y满足2x2+xy﹣y2=1，则的最大值为．【分析】根据条件即可得到（x+y）（2x﹣y）=1，且5x2﹣2xy+2y2=（x+y）2+（2x﹣y）2，从而便可得出，可讨论x﹣2y=0，大于0和小于0的情况，从而由基本不等式即可求出的范围，即得出的范围，从而得出要求的最大值．【解答】解：由2x2+xy﹣y2=1得，（x+y）（2x﹣y）=1；∴5x2﹣2xy+2y2=（x+y）2+（2x﹣y）2=[（2x﹣y）﹣（x+y）]2+2=（x﹣2y）2+2；∴；∴（1）x﹣2y=0时，；（2）x﹣2y＞0时，；即；（3）x﹣2y＜0时，=；即；∴综上得，；∴的最大值为．故答案为：．27．若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为﹣6．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得A（﹣2，﹣2），化目标函数z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣6．故答案为：﹣6．28．已知锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足：b2﹣a2=ac，c=2，则a的取值范围是（1，2）．【分析】由已知可得：b2=2a+a2，又由余弦定理可得：b2=a2+4﹣4acosB，整理可得：a=，可求B的范围，进而可求cosB的范围，进而可求a的范围．【解答】解：∵b2﹣a2=ac，c=2，可得：b2=2a+a2，又∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+4﹣4acosB，∴2a+a2=a2+4﹣4acosB，整理可得：a=，∵由余弦定理2bccosA=b2+c2﹣a2=c2+ac，可得：2bcosA=c+a，∴由正弦定理可得：2sinBcosA=sinC+sinA=sin（A+B）+sinA=sinAcosB+cosAsinB+sinA，可得：sinBcosA﹣sinAcosB=sinA，可得：sin（B﹣A）=sinA，可得：B﹣A=A，或B﹣A=π﹣A （舍去），可得：B=2A，C=π﹣A﹣B=π﹣3A，由△ABC为锐角三角形，可得：，解得：＜A＜，可得：＜B＜，可得：cosB∈（0，）∴可得：1+2cosB∈（1，2），∴a=∈（1，2）．故答案为：（1，2）．29．在△ABC中，B（﹣3，0），C（3，0），且AB、BC、AC成等差数列，则△ABC面积的最大值为9．【分析】由题意可得a=6，b+c=2a=12，利用余弦定理可得bc=≤=36，从而=27tan≤9．可求得cosA≥，0＜A≤，而由正弦定理可求得S△ABC【解答】解：∵△ABC中，B（﹣3，0），C（3，0），且AB、BC、AC成等差数列，∴a=6，b+c=2a=12，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，∴2bc（1+cosA）=144﹣36=108，∴bc=≤=36（当且仅当b=c=6时取“=”），∴cosA≥，又0＜A＜π，∴0＜A≤，∴S=bcsinA△ABC=•×sinA=27×=27tan≤27tan=9，故答案为：9．30．对于任一实数序列A={a1，a2，a3…}，定义△A为序列{a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…}，﹣a n，假定序列△（△A）的所有项都是1，且a18=a2017=0，则a2018=1000．它的第n项是a n+1【分析】根据高阶等差数列的定义，进行推理即可得到结论．【解答】解：设序列DA的首项为d，则序列DA为{d，d+1，d+2，…}，则它的第n项为d+（n﹣1），因此数列A的第n项，a n=a1+（a k+1﹣a k）=a1+d+（d+1）+…+（d+n﹣2）=a1+（n﹣1）d+（n﹣1）（n﹣2），则a n是关于n的二次多项式，其中n2的系数为，∵a18=a2017=0，∴必有a n=（n﹣18）（n﹣2017），则a2018=（2018﹣18）（2018﹣2017）=×2000×1=1000．故答案为：1000．31．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=60°，AB=1，∠D=150°，则四边形ABCD面积的取值范围是（，）．【分析】根据题意，取两个极端值：延长AD、BC相交于点O，得△OAB为等边三角形，求出△AOB的面积；当A，D重合时，AC⊥BC，得△ABC为直角三角形，求出△ABC的面积；由此得出平面四边形ABCD的面积取值范围．【解答】解：平面四边形ABCD中，∠A=∠B=60°，∠D=150°，∴∠C=90°；延长AD、BC相交于点O，则△OAB为等边三角形，如图（1）所示；此时△AOB的面积为×1×1×sin60°=；当A，D重合时，AC⊥BC，∠B=60°，如图（2）所示；此时△ABC的面积为×1××sin60°=；∴平面四边形ABCD的面积S满足＜S＜．故答案为：（，）．32．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是27万元．【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且，联立，解得x=3 y=4，由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故答案为：27万元．三．解答题（共8小题）33．在正项数列{a n}中，令S n=．（1）若{a n}是首项为25，公差为2的等差数列，求S100；（2）若（p为正常数）对正整数n恒成立，求证：{a n}为等差数列．【分析】（1）由a n=2n+23.==．利用裂项求和即可得出．（2）由（p为正常数）对正整数n恒成立，S n=．n=1时，=，可得p=1．可得S n=．n≥2时=S n﹣S n﹣=﹣，化为：﹣=．利用裂项求和与等差数列1的通项公式即可得出．【解答】解：（1）∵a n=25+2（n﹣1）=2n+23．==．∴S100=++…+==5．（2）证明：∵（p为正常数）对正整数n恒成立，S n=．则n=1时，=，可得p=1．∴S n=．n≥2时=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：﹣=．∴﹣a2=a1+…+，∴a n=（n﹣1）a2+（2﹣n）a1=a1+（n﹣1）（a2﹣a1）为等差数列．34．已知不等式x2﹣5mx+4m2≤0的解集为A，不等式ax2﹣x﹣1+3a＜0的解集为B．（1）求A．（2）若当m=1时，A∩B≠∅，求a的取值范围．【分析】（1）不等式x2﹣5mx+4m2≤0可化为（x﹣m）（x﹣4m）≤0．对m分类讨论：m＞0，m=0，m＜0．即可得出．（2）当m=1时，A=[1，4]．由于A∩B≠∅，因此当x∈[1，4]时，不等式ax2﹣x﹣1+3a ＜0有解．分离参数可得=f（x）（x∈[1，4]），可知：a＜f（x）max．利用导数研究其单调性极值与最值即可．【解答】解：（1）不等式x2﹣5mx+4m2≤0可化为（x﹣m）（x﹣4m）≤0．当m＞0时，A=[m，4m]；当m=0时，A={0}；当m＜0时，A=[4m，m]．（2）当m=1时，A=[1，4]．∵A∩B≠∅，∴当x∈[1，4]时，不等式ax2﹣x﹣1+3a＜0有解．∴=f（x）（x∈[1，4]），则f′（x）==≤0，∴函数f（x）在[1，4]上单调递减，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，∴．∴a的取值范围是．35．已知锐角△ABC中内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，满足a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数f（x）=sin（ωx+）+cosωx（ω＞0），且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．【分析】（1）由已知及余弦定理可求cosC=，又由已知及正弦定理可得：c2=2ab，从而解得cosC，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）利用两角和的正弦函数公式可求f（x）=sin（ωx+），利用周期公式可求ω=2，则f（x）=sin（2x+），可求范围＜A＜，解得π＜，利用正弦函数的图象和性质即可得解f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵a2+b2=6abcosC，由余弦定理可知：a2+b2=c2+2abcosC，∴cosC=，又∵sin2C=2sinAsinB，由正弦定理可得：c2=2ab，∴cosC===，∵C∈（0，π），∴C=…（2）∵f（x）=sin（ωx+）+cosωx=sin（ωx+），∴由已知=π，解得ω=2，则f（x）=sin（2x+），∵C=，B=﹣A，又0，0＜B＜，可得：＜A＜，∴π＜，∴﹣＜f（A）＜036．某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元．根据需要A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的内容进行图象平移，然后确定目标函数是最值．【解答】解：依题意，A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组如下：，画出的平面区域如图．设餐馆加工这两种蔬菜利润为z元，则目标函数为z=2x+y，∵y=﹣2x+z∴z表示过可行域内点斜率为﹣2的一组平行线在y轴上的截距．联立解得即B（24，4），∴当直线过点B（24，4）时，在y轴上的截距最大，即z max=2×24+4=52答：餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．。
高一上学期期末强化数学检测试卷答案
高一上学期期末强化数学检测试卷答案一、选择题1．已知全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,3A =，则UA（ ）A ．{}1,3B ．{}5,7,9C ．{}1,3,5,7,9D ．∅ 2．在下列函数中，既是奇函数并且定义域为(,)-∞+∞的是（ ） A ．tan y x = B ．cos y x =C ．x x y e e -=-D ．1y x -=3．若sin 0α<，且cos 0α>，则角α是（ ）A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角4．已知角α的终边经过点()m,2，且3cos 2α=-，则实数m =（ ） A ．3-B ．23±C ．23D ．23-5．若方程2ln 40x x +-=在区间(),a b (a ，b 是整数，且1b a -=)上存在一个根，则a b +=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车沿逆时针方向以角速度()0ωω>转动，规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即0P 时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，设盛水筒M 从点0P 运动到点P 时经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：米），筒车经过6s 第一次到达最高点，则下列叙述正确的是（ ）A ．当16t s =时，点P 与点0P 重合B ．当[]51,65t ∈时，h 一直在增大C ．当()0,50t ∈时，盛水筒有5次经过水平面D ．当50t =时，点P 在最低点7．已知函数()(3lg f x x x =+，若当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的函数，且当[)1,1x ∈-时，()21f x x =-；已知函数()lg ||g x x =，则函数()()y f x g x =-在区间[]7,10-内的零点个数为（ ） A ．11B ．13C ．15D ．17二、填空题9．下列各组函数中，()f x 与()g x 是同一函数的有（ ） A ．()f x x =，ln ()x g x e = B ．()|1|f x x =-，1,1()1,1x x g x x x -≥⎧=⎨-<⎩C ．2()f x x =，()g x D ．()f x x =，2()x g x x=10．下列结论不正确的是（ ） A ．“x ∈N ”是“x Q ∈”的充分不必要条件 B ． “*x N ∃∈，230x -<”是假命题C ．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则“222+=a b c ”是“ABC 是直角三角形”的充要条件D ．命题“0x ∀>，230x ->”的否定是“0x ∃>，230x -≤” 11．下列命题中，正确的有（ ） A ．若0a b >>则22ac bc > B ．若0a b <<则22a ab b >> C ．若0a b >>且0c >则b c ba c a +>+ D ．若0ab <<且0c <则22c c a b< 12．已知函数()()1sin cos cos sin 2f x x x x x =-++，下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．函数图象关于直线4x π=对称C ．函数在3,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．方程()10f x +=有无数个解三、多选题13．1x ∀>，2210x x -+>的否定是___________.14．方程2210x x +-=的解可视为函数2y x =+的图像与函数1y x=的图像交点的横坐标，若方程440x ax +-=的各个实根1x ，2x ，，(4)k x k 所对应的点4,i i x x ⎛⎫⎪⎝⎭(1,2,,)i k =均在直线y x =的同侧，则实数a 的取值范围是______.15．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式sin ()0x f x ⋅>，[,]x ππ∈-的解集为_________.16．设,a b 是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(,1)A a ，(2,)B b -，且1sin 3θ=，则ab 的值为____________ .四、解答题17．设集合{}2230A x x x =+-<，集合{}11B x a x a =--<<-.（1）若3a =，求A B ；（2）设:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为π2．（1）求实数ω的值；（2）将()y f x =的图象上的所有点向左平移π12个单位得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =，ππ,26x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最值以及相应x 的值．19．已知函数()f x 的图象向左平移3个单位后，再关于y 轴对称可得到函数()22g x x x =-的图象. （1）求()f x 的表达式；（2）()g x 的图象与直线y b =有两个交点时，求b 的取值范围.20．已知某海滨天然浴场的海浪高度y (单位：米)是时间t (单位：小时，0≤t ≤24)的函数，记作y =f (x ).如下表是某口各时段的浪高数据：（）从,,,0,0()y at b y at bt c y Acos t b A ωω=+=++=+>>中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（2）依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者，若海滨浴场全天二十四小时营业，对游客，请依据（1）的结论求出一天内共有多长时间可供冲浪爱好者进行活动.21．已知函数()()sin 20,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最大值为2，其图象与y 轴交点为()0,1.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间；（3）对于任意的0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()240f x mf x -+≥恒成立，求实数m 用的取值范围.22．已知函数2()2(1)1f x x a x a =-+-+，a R ∈． （1）若()f x 在区间[1,1]-上不单调，求a 的取值范围；（2）设2()[(2)()]g x x ax a f x x =---⋅，若函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，求实数t的取值范围；（3）已知方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】根据集合的运算直接求解即可 【详解】由全集{}1,3,5,7,9U =，{}1,3A = 则5,7,9UA故选：B2．C 【分析】分别判断每个函数的定义域和奇偶性即可. 【详解】对A ，tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误；对B ，cos y x =是偶函数，故B 错误；对C ，令()x x f x e e -=-，()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且()()e e x xf x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，故C 正确.对D ，1y x -=的定义域为{}0x x ≠，故D 错误. 故选：C. 3．D 【分析】根据任意角的三角函数的定义判断即可； 【详解】解：因为sin 0α<，且cos 0α>，所以角α是第四象限的角 故选：D 4．D 【分析】由三角函数的定义列方程进行求解即可 【详解】 解：由题意得=，且0m <，解得m =m =- 故选：D 5．A 【分析】设2()ln 4f x x x =+-，由零点存在性定理确定出零点所在的区间即可. 【详解】令2()ln 4f x x x =+-，利用增函数+增函数=增函数，可知()f x 在(0,)+∞上单调递增， 又(1)30f =-<，(2)ln 20f =>，由零点存在性定理，知存在 唯一一个0(1,2)x ∈，使得0()0f x =，此时1,2a b ==，满足1b a -=， 所以3a b +=. 故选：A. 【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 6．C 【分析】由题意，设002P Ox πϕϕ⎛⎫∠=-<< ⎪⎝⎭，易知1sin 2ϕ=-，从而求得ϕ， 由M 从点0P 运动到点P 时经过的时间为t （单位：s ），得到6xOP t πω∠=-，再由经过6s 第一次到达最高点，令662ππω-=求得函数解析式再逐项判断.【详解】设002P Ox πϕϕ⎛⎫∠=-<< ⎪⎝⎭，依题意1sin 2ϕ=-．又02πϕ-<<，所以6πϕ=-．又6xOP t πω∠=-，圆O 的半径为4，所以P 点满足4sin 6y t πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当6t =时，662ππω-=，解得9πω=，所以4sin 96y t ππ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，故4sin 296h t ππ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭．该函数最小正周期为2189ππ=，所以当18t s =时，点P 与点0P 重合，选项A 错误；令22()2962k t k k ππππππ-≤⋅-≤+∈Z ，解得183186()k t k k -≤≤+∈Z ，当3k =时，5160t ≤≤，又因为[51,65][51,60]，所以选项B 错误；令4sin 2096h t ππ⎛⎫=⋅-+= ⎪⎝⎭，即1sin 962t ππ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，所以2()966t k k ππππ⋅-=-∈Z 或72()966t k k ππππ⋅-=+∈Z ，解得18t k =或1812()t k k =+∈Z ．又()0,50t ∈，所以t 可以取的值为12，18，30，36，48，此时盛水筒有5次经过水平面，选项C 正确；当50t =时，974sin 5024sin229618h πππ⎛⎫=⨯-+=+≠- ⎪⎝⎭，所以选项D 错误， 故选：C ． 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ= ，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 7．D 【分析】先判断()f x 是奇函数且在R 上为增函数，所以由()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->可得2sin sin 40t t θθ-+>，由当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，得sin [0,1]θ∈，构造函数2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈，然后分1012t <<，102t <和112t≥三种情况求解即可 【详解】解：()f x 的定义域为R ，因为33()()lg(lg(lg10f x f x x x x x +-=+-+-==， 所以()f x 为奇函数，因为函数3,lg(y x y x ==在[0,)+∞上均为增函数， 所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，所以()f x 在R 上为增函数，由()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->得()()2sin 4sin f t f t θθ>--， 所以()()2sin 4sin f t f t θθ>-+，所以2sin 4sin t t θθ>-+，即2sin sin 40t t θθ-+>， 当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin [0,1]θ∈，令2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈ 当0t =时，()0g x x =-≤，舍去， 当0t ≠时，对称轴为12x t=， 当1012t <<时，即12t >，则有11()4024g t t t =->，解得14t >，所以12t >， 当102t <时，即0t <，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以t ∈∅， 当112t ≥时，即102t <≤，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以1152t <≤， 综上，1(,)5t ∈+∞，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想和分类思想，解题的关键是利用函数在R 上为增函数且为奇函数，将()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立转化为2sin sin 40t t θθ-+>恒成立，然后构造函数，利用二次函数的性质讨论求解即可，属于中档题 8．C 【分析】根据函数的周期性，作出函数()f x 和()g x 的图象，观察图像，即可得到两个函数公共点的个数. 【详解】函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的函数，且当[)1,1x ∈-时，()21f x x =-；∴作出函数()f x 的图象如图：()lg ||g x x =，定义域()(),00,-∞⋃+∞∴在同一直角坐标系内，作出函数()g x 的图象如图：当910x ≤≤时，1100x -≤-≤ 则()()()210110f x f x x =-=-- 此时()()101,101f g ==()()90,9lg9f g ==故由图象可知两个图象的交点个数为15个. 故选：C 【点睛】本题考查函数周期性、对数函数运算，考查函数与方程思想、数形结合思想，综合性较强，有一定难度.二、填空题9．BC 【分析】满足定义域和对应关系一样的函数才是相等函数. 【详解】A.定义域不一样，()f x 定义域为R ，ln ()x g x e =的定义域为0,，不是同一函数；B. ()|1|f x x =-，当1≥x ，时()1f x x ；当1x <时，()1f x x =-()f x 与()g x 定义域和对应关系一样，为同一函数；C. 2()g x x ，()f x 与()g x 定义域和对应关系一样，为同一函数；D. 定义域不一样，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为{}|0x x ≠ 故选:BC 10．BC 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断AC ；利用特例法判断B ；利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断D. 【详解】自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“x ∈N ”是“x Q ∈”的充分不必要条件，A 正确；2130-<，所以“*x N ∃∈，230x -<”是真命题，B 错误；由222+=a b c ，可得90C =︒，ABC 是直角三角形，但是ABC 是直角三角形不一定意味着90C =︒，所以“222+=a b c ”是“ABC 是直角三角形”的充分不必要条件，C 错误； 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“0x ∀>，230x ->”的否定是“0x ∃>，230x -≤”，D 正确. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 11．BC 【分析】当0c 时，可判定A 不正确；根据不等式的性质，可判定B 正确；根据作差法比较大小，可判定C 正确；根据22110a b <<，结合，0c <可判定D 不正确. 【详解】对于A 中，若0a b >>，当0c 时，则22ac bc =，所以A 不正确；对于B 中，若0a b <<，根据不等式的性质，可得22a ab b >>，所以B 正确； 对于C 中，取2,1,3a b c ===-()()()b c b ab ac ab bc c a b a c a a a c a a c ++----==+++, 由0a b >>且0c >，可得0,0a c a b +<->，所以b c ba c a+>+，C 正确；对于D 中，由0a b <<，可得220a b >>，所以22110a b <<， 又0c <，所以22c c a b >，所以D 不正确. 故选：BC 12．BC 【分析】A 选项，计算()f x π+，判定()()f x f x π+≠，可得A 错；B 选项，计算4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭与4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得出44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得B 正确； C 选项，由3,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，化简()cos f x x =，可得C 正确；D 选项，讨论x 的范围，去绝对值，求出()f x 的值域，可判断D 错. 【详解】 A 选项，()()()()()1sin cos cos sin 2f x x x x x πππππ⎡⎤+=+-+++++⎣⎦ ()()()11sin cos cos sin sin cos cos sin 22x x x x x x x x f x =-+--=---≠， 所以π不是()f x 的周期，故A 错；B 选项，1sin cos cos sin 424444f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12x x x x x x x x ⎫=⎪⎪⎭)12x x =； 1sin cos cos sin 424444f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12x x x x x x x x ⎫=+⎪⎪⎭)12x x =， 所以44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此函数()f x 的图象关于直线4x π=对称；即B 正确；C 选项，cos sin 4x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，当3,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,244x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 04x x x π⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，此时()()()11sin cos cos sin cos sin cos sin cos 22f x x x x x x x x x x =-++=-++=，根据余弦函数的单调性，可得，其在3,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上显然单调递增，即C 正确；D 选项，由sin cos 04x x x π⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭可得()224Z k x k k ππππ≤-≤+∈，则()52244k x k k Z ππππ+≤≤+∈；此时()()1sin cos cos sin sin 2f x x x x x x ⎡⎤=-++=∈⎢⎥⎣⎦；由sin cos 04x x x π⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭可得()224k x k k Z ππππ-+<-<∈，则()32244k x k k Z ππππ-+<<+∈；此时()()1sin cos cos sin cos 2f x x x x x x ⎛⎤=-++=∈ ⎥ ⎝⎦；综上，()f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()112f x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此方程()10f x +=无解，即D 错； 故选：BC. 【点睛】 思路点睛：判定含三角函数的函数对称性、周期性、单调性等问题时，一般可根据正弦（余弦、正切）函数的性质，利用代入验证的方法判定对称性和周期性；求解最值或研究方程根的问题时，可先判断函数单调性，进而即可求解.三、多选题13．01x ∃>，200210x x -+≤【分析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以1x ∀>，2210x x -+>的否定是01x ∃>，200210x x -+≤， 故答案为：01x ∃>，200210x x -+≤.14．()(),66,-∞-+∞【分析】原方程等价于34x a x +=,分别作出3y x a =+和4y x=的图象,分0a >和0a <讨论,利用数形结合即可得到结论. 【详解】因为方程440x ax +-=等价于34x a x+=, 原方程的实根是3y x a =+ 与曲线4y x=的交点的横坐标, 曲线3y x a =+是由曲线3y x =纵向平移||a 个单位而得到,若交点4,i i x x ⎛⎫⎪⎝⎭(1,2,,)i k =均在直线y x =的同侧,因y x =与4y x=的交点为(2,2),(2,2)--,所以结合图象可得:3022a x a x >⎧⎪+>-⎨⎪≥-⎩或3022a x a x <⎧⎪+<⎨⎪≤⎩恒成立,所以32a x >--在[2,)-+∞上恒成立,或32a x <-+在(,2]-∞上恒成立,所以3max (2)a x >--=3(2)26---=,或33min (2)226a x <-+=-+=-,即实数a 的取值范围是()(),66,-∞-+∞.故答案为: ()(),66,-∞-+∞.【点睛】本题考查了数形结合思想,等价转化思想,函数与方程,幂函数的图象,属于中档题.15．()()2,02,π-【分析】设()()sin g x x f x =⋅，先分析出()g x 的奇偶性，然后分类讨论()g x 在[]0,π上的取值情况，最后根据()g x 的奇偶性求解出()0g x >在[],ππ-上的解集. 【详解】设()()sin g x x f x =⋅，因为sin y x =为奇函数，()f x 为偶函数，所以()()()()()sin sin g x x f x x f x g x -=-⋅-=-⋅=-，且定义域为R 关于原点对称，所以()g x 为奇函数，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =， 当0x =时，sin 0x =，所以sin ()0x f x ⋅=，当()0,2x ∈时，()sin 0,0x f x ><，所以sin ()0x f x ⋅<， 当2x =时，()20f =，所以sin ()0x f x ⋅=，当()2,x π∈时，()sin 0,0x f x >>，所以sin ()0x f x ⋅>， 所以当[]0,x π∈时，若()0g x >，则()2,x π∈，又因为()g x 为奇函数，且[],x ππ∈-，根据对称性可知：若()0g x >，则()()2,02,x π∈-，故答案为：()()2,02,π-.【点睛】方法点睛：已知()f x 的单调性和奇偶性，求解不等式()()00f x ><在指定区间上的解集的常用方法：（1）分类讨论法：根据临界值采用分类讨论的方法将区间分成几段，分别考虑每一段上()f x 的正负，由此求解出不等式的解集；（2）数形结合法：根据题意作出()f x 的草图，根据图象直接写出不等式()()00f x ><的解集.16．4-【分析】根据三角函数的定义，得到两个方程，解方程即可求出ab的值.【详解】由三角函数的定义，13==a < 0，解得b a ==-所以4ab=-. 故答案为：4-四、解答题17．（1）{}41A B x x ⋃=-<<；（2）[]0,2. 【分析】（1）求出集合A 、B ，利用并集的定义可求得集合A B ；（2）由已知可条件可得出A B ，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）{}{}223031A x x x x x =+-<=-<<，因为3a =，所以{}42B x x =-<<-，因此{}41A B x x ⋃=-<<； （2）{}31A x x =-<<，{}11B x a x a =--<<-， 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以A B ，因此有1113a a -≤⎧⎨--≥-⎩，解得02a ≤≤.当0a =时，{}11B x x =-<< A ，满足题意； 当2a =时，{}31B x x =-<<- A ，满足题意. 综上所述，实数a 的取值范围是[]0,2. 【点睛】结论点睛：本题考查利用必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应集合与p 对应集合互不包含． 18．（1）1ω=；（2）最大值为1，π2x =-或π6x =，最小值为2-，π6x =-.【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为π2，可得函数的最小正周期，进一步求出结果；（2）利用函数的平移变换求出函数()g x 的关系式，进一步利用函数的定义域结合整体思想求出函数的最值． 【详解】（1）()22sin cos f x x x x ωωω=+π22sin 23sin 2x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭=，因为当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为π2，所以函数的最小正周期为π，即2π2πω=，解得1ω=． （2）由（1）知()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()πππ2sin 22sin 21236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵ππ,26x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴7πππ2666x -≤-≤． ∴π11sin 262x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，π22sin 216x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭．()y g x =的最大值为1，此时π1sin 262x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π2x =-或π6x =．()y g x =的最小值为2-，此时πsin 216x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π6x =-．19．（1）()243f x x x =-+；（2）1b =-或0b >.【分析】（1）()g x 关于y 轴对称的函数()22F x x x =+，再根据函数的平移法则得到答案.（2）将()g x 化简为分段函数，画出函数图象，根据图象得到参数范围. 【详解】（1）()g x 关于y 轴对称的函数()()2222F x x x x x =--=+，()F x 的图象向右平移3个单位可得到函数()f x 的图象，()()()2232343f x x x x x ∴=-+-=-+；（2）()2222,022,0x x x g x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩，作出()g x 的图象可知：()g x 的图象与直线y b =有两个交点时，b 的范围：1b =-或0b >.【点睛】本题考查了函数的平移和对称，利用分段函数图象解决交点个数问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图象是解题的关键.20．（1）应选择的函数模型为：cos()y A t b ωϕ=++，0.5cos 16y t π=+，(024t ≤≤)；（2）一天之间有8小时可供冲浪爱好者进行活动. 【分析】（1）表中数据可知，应选择的函数模型为：cos()y A t b ωϕ=++，根据函数的最值求出A 和b ，根据周期求出ω，根据0的函数值求出ϕ可得函数解析式； （2）由0.5cos 1 1.256t π+>，解不等式可得结果.【详解】（1）由表中数据可知，应选择的函数模型为：cos()y A t b ωϕ=++. 则 1.5(1.5)0.52A -==， 1.50.512b +==，212π=ω，6π=ω. ∴0.5cos 16y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又当0x =时， 1.5y =，∴0.5cos 1 1.5ϕ+=，得cos 1ϕ=，则2k ϕ=π，k Z ∈.∴0.5cos 210.5cos 166y t k t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，(024t ≤≤).（2）由0.5cos 1 1.256t π+>，得1cos62t π>， ∴22363k t k πππππ-<<+，即122122k t k -<<+，k Z ∈.又024t ≤≤，∴02t <<，或1014t <<，或2224t <<. 故一天之间有8小时可供冲浪爱好者进行活动. 【点睛】关键点点睛：利用表格中的数据求出函数解析式是解题关键.21．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3；（3）4m ≤. 【分析】（1）先由最值，求出2A =，再由函数过点()0,1，求出6π=ϕ，即可得出函数解析式； （2）根据正弦函数的单调性，即可求出函数在区间[]0,π上的增区间；（3）先由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到()[]1,2f x ∈，令()t f x =，将问题化为240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立，进而可求出结果. 【详解】（1）因为最大值为2，所以2A =．因为()f x 过点()0,1，所以2sin 1=ϕ，又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ． 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈．当0k =时，36x ππ-≤≤；当1k =时，2736x ππ≤≤． 又因为[]0,x π∈，所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3． （3）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]1,2f x ∈．令()t f x =，则240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立， 即4m t t≤+在[]1,2t ∈时恒成立， 令()4g t t t=+，[]1,2t ∈，任取1212t t ≤<≤，则120t t -<，124t t <，所以()()()121212121244410g t g t t t t t t t t t ⎛⎫-=+--=--> ⎪⎝⎭，即()()12g t g t >， 所以()4g t t t=+在[]1,2t ∈上单调递减，则()()min 42242g t g ==+=，所以只需4m ≤，即实数m 用的取值范围是4m ≤. 【点睛】 思路点睛：求解含三角函数的二次型不等式恒成立的问题时，一般需要先根据三角函数的性质，确定所含三角函数的值域，再由换元法，将问题转化为一元二次不等式的形式，进行求解.22．（1）(2,0)-；（2）1(,1)2；（3）91,)5.【分析】（1）根据()f x 的对称轴在区间()1,1-内列不等式，解不等式求得a 的取值范围. （2）先求得()g x 表达式，将函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，转化为“对于任意的实数[,1]x t ∈，不等式()(21)||0g x x x =->恒成立”，对t 分成11,22t t ≤>两种情况进行分类讨论，由此求得t 的取值范围.（3）构造函数()2=()|2|h x f x x x ++，将()h x 写出分段函数的形式，对a 分成2,2a a =-≠-两种情况进行分类讨论，结合()h x 在(1,2)-有两个不相等的实数根，求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为()f x 在区间[1,1]-上不单调，则111a -<+<，解得20a -<< 即a 的取值范围(2,0)-；（2）222()[(2)()]||[(2)(2(1)1)]||g x x ax a f x x x ax a x a x a x =---⋅=----+-+⋅(21)||x x =- 函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，等价于对于任意的实数[,1]x t ∈，不等式()(21)||0g x x x =->恒成立，（*） 当12t ≤时，1[,1]2t ∈，此时1()02g =，与（*）式矛盾，不合题意 当12t >时，由[,1]x t ∈可知，210x ，||0x >，所以()0>g x 恒成立，即（*）成立 又在区间[,1]t 上实数t 必须满足1t <综上，所求实数t 的取值范围为1(,1)2；（3）令()2=()|2|h x f x x x ++方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根 等价于函数()h x 在区间(1,2)-上存在两个零点因为222(2)1,10(=()2221,? 02a x a x h x f x x x x ax a x -+-+-<<⎧++=⎨--+≤<⎩）且()h x 在0x =处图象不间断当2a =-时，23,?10()=243,? 02x h x x x x -<<⎧⎨++≤<⎩无零点；当2a ≠-时，由于()2(2)1h x a x a =-+-+在(1,0)-单调，∴在(1,0)-内()h x 至多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为12,x x ，并且12x x <若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是26,?10()22,02x x h x x x x --<<⎧=⎨-≤<⎩，零点为0或1，所以1a =满足题意若0不是函数()h x 零点，则函数()h x 在区间(1,2)-上存在两个零点有以下两种情形： ①若110x -<<，202x <<，则15(1)(0)0(1)(5)0919(0)(2)0(1)(95)0515a a h h a a a h h a a a ><-⎧-⋅<-+<⎧⎧⎪⇒⇒⇒<<⎨⎨⎨⋅<--<<<⎩⎩⎪⎩或.②若1202x x <<<，则248(1)01104 022111(0)09(2)05(1)(0)051a a a a a a a h a h h h a ⎧⎧∆=-->-⎪⎪<<⎪⎪<<⎪⎪<⇒⇒<<⎨⎨>⎪⎪<⎪⎪>⎪⎪->-<<⎩⎩． 综合①②得，实数a的取值范围是91,)5.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查函数定义域问题的求解，考查方程的根的问题求解，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.。
高一上学期期末强化数学试题附答案
高一上学期期末强化数学试题附答案一、选择题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,3,4A =，{}3,5B =，则下列结论正确的是（ ） A ．B A ⊆ B ．{}1,5UA =C ．{}3A B =D ．{}2,4,5A B =2．函数y =+ ）A ．[]1,2B ．[)1,+∞C ．(],2-∞D ．R 3．已知tan 0α>且cos 0α<，则α的终边在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知角α的终边经过点()3,1P -，则cos α=（ ）A B ． C ．D 5．根据表格中的数据，可以判断方程30x e x --=的一个根所在的区间为（ ）A ．(2,3)B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(1,0)-6．赵爽是我国古代数学家、天文学家．约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．4D ．97．若()f x 为偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递减，则满足1(31)2f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） A ．11,36--⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,36--⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,26⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭8．若2log 31x =，则39x x +的值为 A ．3B ．52C ．6D ．12二、填空题9．函数()f x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，则（ ） A ．()01f =B ．()f x 是周期函数C ．()3f x +为奇函数D ．()5f x +为偶函数10．下列说法中正确的是（ ） A ．函数2()ln(1)f x x x=+-只有一个零点，且该零点在区间(0,1)上 B ．若()f x 是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x -=+，且当(1,0)x ∈-时，22()log f x x =，则322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．已知()f x 的定义域为R ，且(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，则(7)f x +一定是奇函数D ．实数(1,0)a ∈-是命题“2,210x R ax ax ∃∈+-”为假命题的充分不必要条件 11．若lg(1)lg(1)0a b +>+>，下列命题正确的有（ ） A ．1122a b< B a b< C ．2211a b < D ．11lg lg a b<12．下列命题不正确的有（ ） A ．函数tan y x =在定义域内单调递增 B ．若a b >，则lg lg a b >成立C ．命题“0x ∃>，230ax ax +-≥”的否定是“0x ∀>，230ax ax +-<”D ．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()221f x x x =-++，则[)0,x ∈+∞时，函数解析式为()221f x x x =--三、多选题13．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若同时满足条件：①对于任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <成立； ②存在(),4x ∈-∞-，使得()()0f x g x ⋅<成立． 则m 的取值范围是______________________． 14．计算102554(1)2100.25log log π-++++=_____.15．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm 2.16．对任意0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()sin()f x x ωϕ=+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数ω的取值范围是________.四、解答题17．已知集合{123}A xm x m =-≤≤+∣，函数2()28f x x x -++B ． （1）当2m =时，求()R A B A B ⋃⋂、； （2）若A B A =，求实数m 的取值范围．18．已知()2sin sin 3f x x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.（1）求函数()f x 的最小正周期T ； （2）若63ππα-<<，()312f α=，求cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.19．已知函数()21x b f x ax +=+是定义在[1-，1]上的奇函数，且()112f =． （1）求a ，b 的值；（2）判断()f x 在[1-，1]上的单调性，并用定义证明；（3）设()52g x kx k =+-，若对任意的[]111x ∈-，，总存在[]201x ∈，，使得()()12f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围．20．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：()()sin ,0,2f t A t B A πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来描述.（1）根据以上数据，求出函数()()sin f t A t B ωϕ=++的表达式；（2）一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？21．某同学用“五点法”画函数()() sin ωϕ=++f x A x B (其中A >0，0>0，||)2πϕ<在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：f (x )的解析式；（2）若定义在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数g (x )=af (x )+b 的最大值为7，最小值为1，求实数a ，b 的值.22．已知,a m ∈R ，函数()4331x xa f x ⋅+=+和函数()()2214h x mx m x =-++. （1）若函数()f x 图象的对称中心为点()0,3，求满足不等式()3log 3f t >的t的最小整数值；（2）当4a =-时，对任意的实数x ∈R ，若总存在实数[]0,4t ∈使得()()f x h t =成立，求正实数m 的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】利用集合的包含关系可判断A 选项的正误，利用集合的基本运算可判断BCD 选项的正误. 【详解】已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,3,4A =，{}3,5B =. 对于A 选项，B A ⊄，A 选项错误； 对于B 选项，{}1,5UA =，B 选项正确；对于C 选项，{}2,3,4,5A B ⋃=，C 选项错误； 对于D 选项，{}3A B ⋂=，D 选项错误. 故选：B. 2．A 【分析】利用平方根式有意义的条件列出不等式组，求解得到函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，必须且只需1020x x -≥⎧⎨-≥⎩,解得12x ≤≤， 故选：A. 3．C 【分析】根据三角三角函数的定义，分别求出当tan 0α>和cos 0α<时α所在的终边，判断象限. 【详解】当tan 0α>时，α在第一象限或是第三象限，当cos 0α<时，α在第二象限，或是第三象限，或是在x 轴的非正半轴， 综上可知α应位于第三象限. 故选：C本题考查三角函数的定义，重点考查根据三角函数的正负，判断角α终边所在的象限. 4．C【分析】由三角函数的定义即可求得cosα的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cosα∴==故选：C．5．B【分析】令()3xf x e x=--，利用零点存在定理可得出合适的选项.【详解】令()3xf x e x=--，由表格中的数据可得:()10f-<，()00f<，()10f<，()20f>，()30f>，由零点存在定理可知，方程30xe x--=的一根所在的区间为()1,2.故选：B.6．A【分析】根据题意求出一个直角三角形的直角边，即可求出锐角α的正切值，从而利用两角和的正切公式即可求出结果．【详解】解：根据图形的特点，设四个全等的直角三角形的一条直角边为x，另一条为1x+，所以222(1)5x x++=，解得3x=，所以14x+=，所以3tan4α=，故3tan tan144tan()7341tan tan144παπαπα+++===--．7．D 【分析】偶函数有()|(|)f x f x =，把不等式化到区间(0,)+∞上用增函数去掉抽象符号，可化为含绝对值的一次不等式来解. 【详解】因为()f x 为偶函数，()()||f x x f ∴=， 则1(31)2f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为1(|31|)2f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，而偶函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减， 得()f x 在区间(0,)+∞上单调递增， 所以原不等式可化为1|31|2x +<， 所以113122x -<+<，解得1126x -<<-.故选：D. 【点睛】解抽象不等式，常用单调性去掉抽象符号化为简单不等式来解； 或者利用对称性和单调性画草图，由图找出解集. 8．C 【详解】由32log 1x =，可得：3x 2log =∴33223939246log log x x +=+=+= 故选C二、填空题9．BD 【分析】根据题意可知函数()f x 的一个周期为4，再结合奇函数，偶函数的定义，对称性即可判断． 【详解】因为()1f x +是偶函数，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，即()()2f x f x -=+，又函数()f x 是定义在R 上奇函数，所以()()f x f x -=-，()00f =，于是()()2f x f x +=-，即有()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的一个周期为4，故A 错误B 正确；设()()3g x f x =+，()()()()313g x f x f x f x -=-+=-+=+，即()()g x g x =-，所以()3f x +为偶函数，C 错误；设()()5h x f x =+，则()()()()355f x f f x x h x =-+==-+-，即()()h x h x =-，所以()5f x +为偶函数，D 正确． 故选：BD ． 10．BCD 【分析】利用零点存在性定理可得函数2()ln(1)f x x x=+-在()0,∞+上的零点在区间(1,2)上，即可判断A ，由131222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可判断B ，由(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数可推出函数()f x 的周期为8，可判断C ，求出命题“2,210x R ax ax ∃∈+-”为假命题的充要条件可判断D. 【详解】函数2()ln(1)f x x x=+-在()0,∞+上单调递增，又(1)ln220,(2)ln310f f =-<=->， 所以该零点在区间(1,2)上，故A 错误；由()()11f x f x -=+得，1113112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以1122f f⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当(1,0)x ∈-时，22()log f x x =，所以211log 224f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故11222f f⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确； 由(1)f x -为奇函数，得(1)(1)()(2)f x f x f x f x -=---⇒=---， 由(1)f x +为偶函数，得(1)(1)()(2)f x f x f x f x +=-+⇒=-+， 所以(2)(2)()(4)f x f x f x f x ---=-+⇒-=+()(8)f x f x ⇒=+，所以函数()f x 的周期为8，故(1)(7)f x f x -=+，所以(7)f x +一定是奇函数，故C 正确； 命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题，则“2,210x ax ax ∀∈+-<R ”为真命题， 当0a =时，“,10x ∀∈-<R ”为真命题， 当0a <时，由2(2)40a a ∆=+<可得10a -<<所以命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题的充要条件是10a -<≤故实数(1,0)a ∈-是命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题的充分不必要条件，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：若()f x 关于,x a x b ==对称，则2T a b =-；若()f x 关于()(),0,,0a b 对称，则2T a b =-；若()f x 关于(),,0x a b =对称，则4T a b =-.11．ABC 【分析】利用已知条件可得0a b >>，再利用指数函数的单调性判断选项A ；利用不等式的性质判断选项BC ；最后利用特殊值法判断选项D 即可. 【详解】由lg(1)lg(1)0a b +>+>， 得111a b +>+>， 即0a b >>，由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内单调递减可知：1122a b<， 故A 正确； 由0a b >>，00>⇒<< 故B 正确； 由0a b >>， 得220a b >>⇒2211a b <， 故C 正确； 因为0a b >>， 当110,10a b ==时， 得11lg lg a b>， 故D 不正确； 故选：ABC. 12．ABD 【分析】由正切函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ；由特称命题的否定判断C ；由函数的奇偶性判断D. 【详解】对于选项A ：因为tan y x =在其定义域内不具有单调性，故A 不正确； 对于选项B ：若0a b >>，则lg lg a b >，故B 不正确；对于选项C ：命题“0x ∃>，230ax ax +-≥”的否定是“0x ∀>，230ax ax +-<”，故C 正确；对于选项D ：当0x >时，()()()222121f x f x x x x x =--=---+=+-，又()00f =，所以当[)0,x ∈+∞时，()20,021,0x f x x x x =⎧=⎨+->⎩. 故D 不正确. 故选：ABD.三、多选题 13．()4,2--【分析】由()0g x <求得1x <，由①成立可得出当1≥x 时，()()()230f x m x m x m =-++<恒成立，可得出关于实数m 的不等式组，解出m 的取值范围；由②知，存在(),4x ∈-∞-使得()0f x >，可得出关于实数m 的不等式，解出m 的取值范围.综合①②可得出结果.【详解】由()220xg x =-<，可得1x <.对于①，对于任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <成立，则当1≥x 时，()()()230f x m x m x m =-++<恒成立，故0m <，且2131m m <⎧⎨--<⎩，解得40m -<<；对于②，存在(),4x ∈-∞-，使得()()0f x g x ⋅<成立，由于()0g x <对任意的(),4x ∈-∞-恒成立，所以，存在(),4x ∈-∞-使得()0f x >. 所以，24m <-或34m --<-，且23m m ≠--，解得2m <-或1m . 综上所述，实数m 的取值范围是()4,2--. 故答案为：()4,2--. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.14．72【分析】根据指数、对数的运算法则和性质求解. 【详解】 102554(1)2100.25π-++++log log ，551211000.1254=+++log log ，511252=++log 171222=++=. 故答案为：72【点睛】本题主要考查了对数，指数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．704【分析】设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =， 所以，21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯=⎪⎝⎭．故答案为：704．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．16．130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【分析】 根据题意可得22T π≥，从而可得2ω≤，讨论0>ω，0ω=或0ω<，再求出()sin()f x x ωϕ=+的单调递增区间，只需,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集即可求解.【详解】()()sin f x x ωϕ=+，0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，()f x 的每个增区间的长度为2T，其中函数()f x 的最小正周期为2T ωπ=.函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调地藏，可得22T π≥，即2ω≤.①当0>ω时，此时02ω<≤，x ωϕ+单调递增，当2,2,22x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增，解得112,2,22x k k k Z πππϕπϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，只需11,2,2,222k k k Z πππππϕπϕωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊆--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥-- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得2141,2,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈--+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立， 则21410214k k πωππ--⨯≤≤+-⨯，即141,2,4k k k Z ω⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，由124141204k k k ⎧+>-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1588k -<<，k Z ∈，0k ∴=.所以，10,4ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；②当0ω=时，函数()sin f x ϕ=为常函数，不合乎题意； ③当0ω<时，20ω-≤<，x ωϕ+单调递减，由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈， 解得13122,22k x k k Z πππϕπϕωω⎛⎫⎛⎫+-≤≤+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立， 可得13222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥+- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122,43,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈+-+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立， 于是12210434k k πωππ+-⨯≤≤+-⋅，即521,4,2k k k Z ω⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，由5142225402k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得518k -≤<-，由k Z ∈，1k =-，此时，32ω=-.综上所述，实数ω的取值范围是130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.故答案为：130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是求出函数的单调递增区间，使,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集，考查了分类讨论的思想. 四、解答题17．（1）[]2,7A B =-，()[)2,1R A B ⋂=-；（2）()1,41,2⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据m 的值直接得到集合A ，然后求解出不等式2280x x -++≥的解集为集合B ，然后根据交、并、补集的概念求解出()R A B A B ⋃⋂、；（2）根据A B A =分析得到,A B 的子集关系，然后分别考虑,A A =∅≠∅的情况，由此求解出m 的取值范围. 【详解】（1）因为2m =，所以{}[]171,7A x x =≤≤=，又因为2280x x -++≥，所以2280x x --≤，解得24x -≤≤，所以[]2,4B =-， 所以[]2,7A B =-， 又因为()(),17,R A =-∞+∞，所以()[)2,1RA B ⋂=-；（2）因为A B A =，所以A B ⊆，当A =∅时，A B ⊆满足，此时123m m ->+，所以4m <-；当A ≠∅时，因为A B ⊆，所以412234m m m ≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得112m -≤≤，综上可知，m 的取值范围是()1,41,2⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦.【点睛】易错点睛：根据集合的包含关系求解参数范围时的注意事项： （1）注意分析集合为空集的可能；（2）列关于参数的不等式时，注意等号是否能取到. 18．（1）最小正周期π；（2. 【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后根据cos 2cos 2663πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦计算可得；【详解】解：（1）()2sin sin 3f x x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=212sin sin sin 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 212sin 2262x x x π-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， 1()sin 262f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期T π=. （2）1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1()2f α=+，sin 26πα⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 63ππα-<<， 2262πππα∴-<-<，cos 26πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭1cos 2cos 2cos 22663266πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12== 19．（1）1,0a b ==；（2）()f x 在[]1,1-上递增，证明详见解析；（3）92k ≤. 【分析】（1）利用()()100,12f f ==求得,a b 的值. （2）利用定义法判断出()f x 在区间[]1,1-上的单调性.（3）将问题转化为()()max max f x g x ≤，对k 进行分类讨论，结合一次函数的单调性，求得k 的取值范围.【详解】（1）依题意函数()21x bf x ax +=+是定义在[1-，1]上的奇函数， 所以()00f b ==， ()111112f a a ==⇒=+， 所以()21xf x x =+，经检验，该函数为奇函数. （2）()f x 在[]1,1-上递增，证明如下： 任取1211x x ，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()22121212221211x x x x x x x x +--=++()()()()()()()()12212112212222121211111x x x x x x x x x x x x x x -----==++++， 其中122110,0x x x x -<->，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<， 故()f x 在[]1,1-上递增.（3）由于对任意的[]111x ∈-，，总存在[]201x ∈，，使得()()12f x g x ≤成立，所以()()max max f x g x ≤. ()()max 112f x f ==. 当0k ≥时，()52g x kx k =+-在[]0,1上递增，()()max 15g x g k ==-， 所以195022k k ≤-⇒≤≤. 当0k <时，()52g x kx k =+-在[]0,1上递减，()()max 052g x g k ==-，所以15202k k ≤-⇒<. 综上所述，92k ≤. 20．（1）()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【分析】由表格易知()()max min 7,3f t f t ==，由()()()()max minmax min,22f t f t f t f t A B -+==，求得A ，B ，再根据14212T =-=和2t =时，函数取得最大值，分别求得,ωϕ即可.（2）根据货船需要的安全水深度为6，由()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭求解.【详解】由表格可知()()max min 7,3f t f t ==,， 则()()()()max minmax min2,522f t f t f t f t A B -+====，又214212,6T T ππω=-===， 当2t =时，()22sin 2576f πϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以232k ππϕπ+=+，又2πϕ<， 所以6π=ϕ， 所以()2sin 566f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）因为货船需要的安全水深度为6，所以()2sin 5666f t t ππ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，即1sin 662t ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以5226666k t k ππππππ+≤+≤+， 即12412k t k ≤≤+，又因为[]0,24t ∈，当0k =时，[]0,4t ∈，当1k =时，[]12,16t ∈，所以在0时进港4时出港或12时进港16时出港，每次在港内可停留4个小时. 【点睛】方法点睛：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象或表格确定A ，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准“零点”或“最大（小）值点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．21．（1）()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）2,1a b ==或2,7a b =-=. 【分析】（1）由表中数据可得周期及A 、B 、ϕ的值；（2）()2sin 23g x a x a b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，讨论a 的正负，根据()g x 的最大值、最小值可得答案.【详解】（1）由题，函数()f x 的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 所以22Tπω==， 由31A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，得21A B =⎧⎨=⎩，故()2sin(2)1f x x ϕ=++， 由表可知，23πϕπ⨯+=，得3πϕ=，所以()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （2）由（1）可知()2sin 23g x a x a b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由44x ππ-≤≤，得52636x πππ-≤+≤，所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭；当0a >时，()g x 的最大值是37a b +=，最小值是1b =， 解得2,1a b ==；当0a <时，()g x 的最大值是7b =，最小值是31a b +=， 解得2,7a b =-=，综上，2,1a b ==；或2,7a b =-=. 【点睛】本题考查了由三角函数图象上的点求解析式及利用单调性参数的问题，要正确分析表中数据，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，考查了学生的计算能力.22．（1）2；（2）72++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）先根据题意可得()()6f x f x +-=，令0x =可求出a 的值，再根据指对数恒等式即可得到关于t 的不等式，解出不等式即可求解；（2）根据题意可知，()f x 的值域是()h t 在[]0,4t ∈上的值域的子集，先求出()f x 的值域，再根据0m >且()04h =，只需()h t 在[]0,4t ∈上的最小值小于等于4-， 解出即可． 【详解】（1）因为函数()f x 图象的对称中心为点()0,3，所以()()6f x f x +-=，令0x =得，()4032a f +==，解得2a =，所以()43231x x f x ⋅+=+，即()342log 1t f t t +=+，于是()3log 3f t >等价于4231t t +>+，即()()110t t +->，又0t >，解得1t >，故满足不等式()3log 3f t >的t 的最小整数为2．（2）当4a =-时，()434843131x x xf x ⋅-==-++， 因为83(0,)31(1,)(0,8)31x xx∈+∞⇒+∈+∞⇒∈+，所以()f x 的值域是()4,4-． 依题意知，对任意的实数x ∈R ，若总存在实数[]0,4t ∈使得()()f x h t =成立，则()f x 的值域是()h t 在[]0,4t ∈上的值域的子集，而0m >且()04h =，所以()h t 在[]0,4t ∈上不能单调递增， 且只需()h t 在[]0,4t ∈上的最小值小于等于4-，故 21()422142m h mm m +⎧≤-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩216441474261m m m m mm ⎧---≤-⎪⇒⇒≥+⎨⎪≥⎩或(4)48412112426h m m m m m ≤-≤-⎧⎧⎪⎪⇒⇒≤-+⎨⎨><⎪⎪⎩⎩（舍去）．即正实数m的取值范围为72++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查函数的性质，对数恒等式，分式不等式的解法的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．结论点睛：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min max f x g x <； （4）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（5）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．。
高一精品数学上册课后强化训练题3(1).pdf
第二节 液体的压强学案
学习目标
1.熟记液体压强的特点.
2.学会应用液体压强公式进行分析计算.
课前预习
1.液体内部朝各个方向都有________,且在同一深度,液体内部向各个方向的压强都_______,同一液体内部的压强随着深度的增加而_______,另外液体内部的压强还与液体的密度有关,在不同液体的同一深度处,液体的密度越大,压强
_______.
2.计算液体压强的公式是________,其中液体密度的单位是_______,深度的单位是______,压强的单位是________. 典型例题
例1.如图所示的三只容器中分别装有一定量的液体,则三只容器底受到的压强大小关系是( )
A Pa
<pb
Pb>Pc C Pa>Pb=Pc D Pa
FB,PA=PB B FAPB D FA=FB,PA
P2 B P1=P2 C P1
<p2 D 无法确定
5题图 6题图 7题图
8.一个圆柱形容器,重20N,底面积为2×10-2m2,放在水平桌面中央,在里面装入深10cm的水,求:(1)水对底面的压强(2)容器对桌面的压强.
9.一只装煤油的油罐中盛有4m深的煤油,在距底部0.5m处发现有一个面积为5cm2的小孔,求:(1)煤油对罐底的压强多大?(2)小孔处煤油的压强多大?(3)要想堵住这个孔,至少需要在小孔处施加多大的力?
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高一上期数学期末强化训练三含答案
高一上期强化训练三1． sin 585°的值为 ( )A ．－22B ．22C ．－32D ．322．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∪(B C R )＝( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥－1}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2} 3．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( )A ．[－4，＋∞)B ．[－3,5]C ．[－4,5]D ．(－4,5] 4．3log 34－2723－lg 0.01＋ln e 3等于( )A ．14B ．0C ．1D ．65．若a ＝20.2，b ＝log 4(3.2)，c ＝log 2(0.5)，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a6． 已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于 ( )A ．34-B ．45C ．43-D ．547．函数f (x )＝1x ＋1＋4－2x 的定义域为( ) A ．[－1,2] B ．(－1,2] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞) 8．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．15 C. －35 D.359． 要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象 ( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度10.函数1()ln 23f x x x =+-的零点所在区间为（ C ） A ． (2,)e B ．(3,4) C. (,3)e D ．(1,2)11．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 12．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，{1,2,5}B =，则A B = ▲ ，()U C A B = ▲ ．14．函数log (25)1a y x =--恒过定点的坐标为__________15．已知幂函数()f x 的图象经过点(4,2)，则函数()f x = ▲ ，若(2)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是 ▲ ．16．设函数11,02()1,0x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则((0))f f =________．17．f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________.18．若方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．（1）当m ＝－1时，求A ∪B ； （2）若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．20．已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α).（1）化简f (α)；（2）若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值；（3）若α＝－31π3，求f (α)的值．x t 2=21. 在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. （1）求f (x )的解析式；（2）当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．22．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R). （1）求f (x )的单调减区间及周期；（2）经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．23.（本小题满分12分）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=（1）求函数）（R x x f ∈)(的解析式；（2）现已画出函数)(x f 在y 轴左侧的图象，如图所示， 请补全完整函数)(x f 的图象；（3）根据（2）中画出的函数图像，直接写出函数)(x f 的单调区间．24.（本小题满分12分）已知函数)(324)(R a a x f x x ∈+⋅+=,（1）当4-=a 时,,求]2,0[∈x 函数f(x)的值域； （2）若对于任意的0)(),,0(>+∞∈x f x ,恒成立,求实数a 的取值范围．25．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1.（1）求函数f (x )的定义域；（2）若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．26．已知奇函数f (x )＝px ＋q x ＋r (p ，q ，r 为常数)，且满足f (1)＝52，f (2)＝174.（1）求函数f (x )的解析式；（2）试判断函数f (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；（3）当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )≥2－m 恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学上期强化训练三参考答案 ABCB ADBC BCDC13．{}{}5,4,2,1,1 14．(3,1)- 15．,x 312a ≤< 16．1- 17．－5 18．(0,4)19.[解] (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ⊆B ，知⎩⎨⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}．20.[解] (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.21．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2， 得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]． 23.（Ⅰ）设∵x>0,∴-x<0.x x x x x f x x x f x 2)(2)()(2)(0222-=-+-=-∴+=≤时， ……2分又因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，）（即0x 2)()()()(2>+-=--=-=-∴x x x f x f x f x f ……3分⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=∴0x 20x 2)(22xx xx x f …4分（Ⅱ）…………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）图可知：f(x)的单调减区间为()），，（—，∞+∞11-.……10分递增区间为（-1,1）.……12分 （若写成（-1,0），（0,1）一律不给分。