椭圆的标准方程1

9 ( ③表示焦点在x轴上的椭圆。3) 16 m 2
探究与互动：
x2 y2 2、方程 ＋ ＝1 ，分别求方程满足下列条件的 25－m 16＋m
m的取值范围：
①表示一个圆；
析：方程表示圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
1 1 k 4
解之得：0<k<4
∴k的取值范围为0<k<4。
探究与互动：
2、方程
x2 y2 ＋ ＝1，分别求方程满足 25－m 16＋m
下列条件的m的取值范围： ①表示一个圆；
9 (1) m 2
(2) 16 m 25且m 9 2
②表示一个椭圆；
椭圆 小 结
(2a>2c)
F1
F2
线段
(2a=2c)
F1
F2
不存在 (2a<2c)
2.学生活动 ♦ 回忆在必修2中是如何求圆的方程的？ 以圆心O为原点，建立直角坐标系 设圆上任意一点P(x，y) y

P ( x, y )
x
r
O

OP r 2 2 x y r
两边平方，得
x y r
例题精析
例1】判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。
x2 y2 (1) 1 答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0） 25 16
x y ( 0，-5）和（0，5） 答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
x2 y2 (3) 2 2 1 m m 1
( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 x 2 2a
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c）
③ c2= a2 - b2
根据所学知识完成下表
定 义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y P
y F2
P x
不 同 点
图
形
F1
O
F2
9 m 2
探究与互动：
2、方程
x2 y2 ＋ ＝1 ，分别求方程满足下列条件 25－m 16＋m
的m的取值范围：
①表示一个圆；
②表示一个椭圆；
9 (1) m 2
析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
16 m 25且m
a 2 c 2 0, 设 a 2 c 2 b 2 (b 0), b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 两边除以 a 2b 2 得
x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
椭圆的标准方程⑴
x y 2 1 (a b 0) 2 a b
“嫦娥一号”奔月模拟演示[].mp4
可我 我们 们身 将处 用的 无世 边界 的浩 知瀚 识无 去边 了 解神 她秘 无 驾边 驭 她
……
“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空
♦自然界处处存在着椭圆,我们如
何用自己的双手画出椭圆呢?
9 16 m 2
解题感悟：
方程表示椭圆时要看清楚限 制条件，焦点在哪个轴上。
1、椭圆的定义（强调2a>|F1F2|）和椭圆的标 准方程 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法
Y C O F1 F2
X
D
x y 1 9 16
2
2
2 2 变式： 若椭圆的方程为 16 x 9 y 144,试口答完成（1）.
课堂练习：
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a=
6
,b=1,焦点在x轴上；
x
2
6
y 1
2
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；
y
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
例2、填空：
x2 y2 已知椭圆的方程为： 25 16 1 ，则 4 3 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标 5 6 (3,0)、(-3,0) 为：____________焦距等于______;若CD为过 20 左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________
2
25

x
2
16
1
(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点； x2 y2
16 12
1
跟踪练习：
x2 y2 1 ，则 1、已知椭圆的方程为： 4 5 2 1 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为： 5 2 (0,-1)、(0,1) ___________焦距等于__________;曲线上一点P 到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距 2 5 3 离等于_________，则△F1PF2的周长为 ___________ 2 52 y
MF 由椭圆的定义得，限制条件： 1 MF2 2a
x
代入坐标 MF1 ( x c) 2 y 2 , MF2 ( x c) 2 y 2
得方程 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a （问题：下面怎样化简？）
移项，再平方 ( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
感悟:(1)若|MF |+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆.
1
(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段. (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.
1、椭圆的定义
平面上到两个定点F1、F2的距离的和（2a)等于常 数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。 M
先 回 忆 如 何 画 圆
数学实验
[1]取一条细绳， [2]把它的两端固定在板上 的两点F1、F2 [3]用铅笔尖（M）把细绳 拉紧，在板上慢慢移动观察 画出的图形
观察做图过程：
[1]绳长应当大于F1、F2之间 的距离。
[2]由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。
M F1 F2
♦如何定义椭圆?
坐标法
1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标 5.化简方程
2.学生活动
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O
y M M
O 2 F
y F2 xx x
O
x F1
x
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
3.建构数学
1)椭圆的标准方程的推导
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 F2 F1 0 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
2 2
2
2.学生活动：
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线 上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略， 直接列出曲线方程) （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 f ( x, y) 0 （4）化方程 f ( x, y) 0 为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以 适当予以说明)
9 2
探究与互动：
2、方程
x2 y2 ＋ ＝1 ，分别求方程满足 25－m 16＋m
下列条件的m的取值范围：
①表示一个圆；
②表示一个椭圆；
9 (1) m 2
9 (2) 16 m 25且m 2
③表示焦点在x轴上的椭圆。
析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：
25 m 0 16 m 0 25 m 16 m
F2 P
O
x
F1
例3．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。 解： ∵椭圆的焦点在x轴上 .
x y ∴设它的标准方程为: 2 2 1(a b 0) a b
2 2
y
M
F1
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
它表示：
2 2
y M
F1
0
F2
x
① 椭圆的焦点在x轴
② 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0）
③ c2= a2 - b2 思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是 怎样的呢
y
椭圆的标准方程⑵
y x 2 1 (a b 0) 2 a b
它表示:
2 2
F2
M O x
F1
① 椭圆的焦点在y轴
o
F2
x
∴ b2=a2－c2=52－42=9
x2 y2 1 ∴所求椭圆的标准方程为 25 9
讲评例题
解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值.
例4：若方程4x2+kx2=1表示的曲线是焦点在y轴上 的椭圆，求k的取值范围。
x2 y2 解：由4 x 2 ky2 1得 1 1 1 4 k
x
O
F1
标准方程 焦点坐标