第二节 表上作业法求解运输问题
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4-02运输问题表上作业法
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100 100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
100 450
得到初始调运方案为： x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
量为该闭回路的顶点；其中 i1 , i2 ,, is 互不
相同, j1 , j2 ,, js 互不相同。
例 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地Ai 到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x11, x13 , x33 , x34 , x24 , x21} 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
最小元素法实施步骤口诀
《运价表》上找最小，《平衡表》上定产销； 满足销量划去“列”，修改“行产”要记
牢； （满足产量划去“行”，修改“列销”要记 牢） 划去列(行)对《运价》， 修改“行产(列销)”在《产销》； 余表再来找最小，方案很快就找到。
用西北角法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
（3-6）
位势法计算非基变量xij检验数的公式
σij=cij-（ui+vj）
（3-8）
思考：试解释位势变量的含义（提示：写出运输问 题的对偶问题）
四、方案调整
当至少有一个非基变量的检验数是负值时， 说明作业表上当前的调运方案不是最优的，应 进行调整。
若检验数σij小于零，则首先在作业表上以xij 为起始变量作出闭回路，并求出调整量ε：
2运输问题解析
第二章 运 输 问 题【教学内容】运输问题的基本概念，表上作业法，不平衡运输问题的求解。
【教学要求】要求学生理解运输问题基本概念、解的性质，掌握表上作业法，并能将不平衡运输问题转化为平衡运输问题求解，复杂的运输问题可用LINGO 软件求解。
【教学重点】运输问题解的性质，运输问题的表上作业法，检验数的求法及运量的调整，运输模型的建立。
【教学难点】表上作业法、求检验数的闭回路法及位势法。
【教材内容及教学过程】运输问题（Transportation Problem ，简记为TP ）是一类常见而且极其特殊的线性规划问题.它最早是从物资调运工作中提出来的，是物流优化管理的重要的内容之一.从理论上讲，运输问题也可用单纯形法来求解，但是由于运输问题涉及的变量及约束条件较多，而其数学模型具有特殊的结构，所以存在一种比单纯形法更简便的计算方法，——表上作业法，用表上作业法来求解运输问题比用单纯形法可节约计算时间与计算费用.但表上作业法的实质仍是单纯形法.本章首先介绍运输问题的数学模型及其特点；接着介绍表上作业法及主要步骤，表上作业法与单纯形法的关系；通过运输问题的解决，可充分体现表上作业法的简便和单纯形法的魅力. 最后给出运输问题的一些应用例子.第一节 运输问题的模型§1.1 问题的提出一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案。
例2.1.1某公司从两个产地1A 、2A 将物品运往三个销地1B 、2B 、3B ，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费最小？表2.1.1解： 此为 产销平衡的运输问题，总产量 = 总销量设 ij x 为从产地Ai 运往销地Bj 的运输量，得到下列运输量表 表2.1.2模型为232221131211556646m in x x x x x x f +++++=s.t ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=+=+=++++=++)3,2,1;2,1(0200150150300200231322122111232221131211j i x x x x x x x x x x x x x ij系数矩阵为=A可以看出运输问题模型系数矩阵有如下特征：（1）共有m+n 行，分别表示各产地和销地；m ⨯n 列，分别表示各决策变量； （2）每列只有两个 1，其余为 0，分别表示只有一个产地和一个销地被使用。
运输问题 表上作业法
相抵后，总的运费增加了1个单位。由检验数的经济
含义可以知道，（A，甲）处单位运量调整所引起的
运费增量就是（A，甲）的检验数，即σ 11=1。
仿照此步骤可以计算初始方案中所有空 格的检验数，表4-25～表4-30展示了各 检验数的计算过程，表4-30给出了最终 结果。可以证明，对初始方案中的每一 个空格来说“闭合回路存在且唯一”。
丁
3（+10） 24 = -1 3（-5）
6
产量（ai）
7 4 9
丁 3 24 = -1 3 6
产量（ai） 7 4 9
如果检验数表中所有数字均大于等于零， 这表明对调运方案做出任何改变都将导 致运费的增加，即给定的方案是最优方 案。在表4-30中， 24 = -1,说明方案 需要进一步改进。
表4-4 甲乙 丙
A
B
3
1
C
销量（bj） 3
6
5
表4-5
甲乙 丙
A
3 11
3
B
1
9
2
C
7
4
10
销量（bj） 3
6
5
丁 产量（ai） 7 4 9
6
丁 产量（ai）
10
7
8
4
5
9
6
表4-5
甲乙 丙
A
3 11
3
B
1
9
2
C
7
4
10
销量（bj） 3
6
5
丁 产量（ai）
10
7
8
4
5
9
6
第三步：在表4-5中再找出最小运价“3”， 这样一步步地进行下去，直到单位运价表上 的所有元素均被划去为止。
第二节运输问题求解表上作业法-精品文档
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
14
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
6
2015
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
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（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
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（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法.
整数规划是研究决策变量只能取正整数的一类 规划问题。 整数规划有纯整数规划、混合整数规划与0-1整 数规划等类型。 我们只研究线性整数规划。
【例8-2】：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表： 问如何 选择甲、 货物 体积 重量 利润 每箱（m3） 每箱（百斤） 每箱（百元） 乙两种货 物的托运 甲 5 2 20 数量，使 乙 4 5 10 获得的利 托运限制 润最大？ 24 13
上周内容回顾
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其 实质是单纯形法，其计算过程(假设产销平衡)如下： 1.求初始的调运方案(初始基可行解) 方法一：最小元素法（思想：就近供应） 该方法的基本思想是采用“优先安排单位运价最小 的产地与销地之间的运输业务”这个规则来确定初始 基可行解。 方法二：差额法(伏格尔) 一个产地的产品，若不能按最小运费就近供应， 就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大，不 能按最小运费调运时，运费增加越多。因而应对差 额最大处，优先采用最小运费调运。
XB x2 x1 x5 -Z
x1 0 1 0 0
x2 1 0 0 0
XB x2 x1 x5 Z 非 整 数 x2 x1 x3 Z
x1 0 1 0 0 0 1 0 0
x2 1 0 0 0 1 0 0 0
x3 1/2 -1/4 -1/2 - 1/4 0 0 1 0
x4 -1/2 3/4 -1/2 -5/4 -1 1 1 -1
k
其中bi是基变量的非整数解。 （2）将aik和bi分解为整数N和正真分数f 两部分之和
a ik N ik f ik , bi N ni f bi
2
将（2）代入(1)中,然后将整数置于方程左边，分 数置于方程右变，即
运筹学运输问题.
b K bK aL ，划掉运价表的第L行；反之，
'
若 x LK bK ，则令a L
的第k列。
'
aL bK ，划掉运价表
（2）在运价表剩余元素中重复（1），直
至运价表元素全部被划掉。
例：某糖果公司下设三个工厂，每日产量分别为：A1 — 7吨、A2 —4吨、A3 —9吨。该公司将这些产品运往四个 门市部，各门市部每日销量为：B1 —3吨、B2 —6吨、 B3 —5吨、B4 —6吨。各工厂到各门市部的单位运价如 下表，试确定最优的运输方案。
运输问题求解思路图
下面通过例子介绍它的计算步骤。
一、初始方案的给定
1、最小元素法★ 2、Vogel法★
1、最小元素法
基本思路是：就近供应，即从运价表中 最小运价开始确定调运量，然后次小，一直 到给出初始调运方案为止。
（1）找出运价表中最小元素 CLK ，确 定 xLK minaL , bK ，若 x LK a L，则令
x11 x21 xm1 b1 x x x b 12 22 m2 2 x1n x2n xmn bn xij 0(i 1,2,m; j 1,2,n)
min
Z cij xij
若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省
的调运方案。
建 模 ： 设 xij 为 从 产 地 Ai 运 往 销 地 Bj 的 物 资 数 量 （i=1，…m；j=1，…n。 销地 产地 A1 A2
. . .
B1 X11 X21
. . .
B2 X12 X22
. . .
... ... ...
. . .
运筹学 第二章 运输问题
1
=
j
j = 1
(
(
这就是运输问题的数学模型，它包含 m·n 变量, m + n 个约束条件。如果用单纯形法求解，先得在各约 束条件上加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。 因此，即使是 m = 3 ， n = 4 这样的简单问题, 变量数 就有19个之多，计算起来非常复杂。因此，我们有必 要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简单方便的 求解方法。
销地产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11 、 x12 、 x32 、 x34 、 x24 、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1 ， i2 = 3 ， i3 = 2；j1 = 1 ，j2 = 2 ，j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连 (今后就称这些直线为闭回路的边)。
第二节 表上作业法1. 表上作业法的基本概念与重要结论针对运输问题的数学模型结构的特殊性，它的约束方 程组的系数矩阵具有如下形式( 具体见下一张幻灯片 )，该 矩阵中， 每列只有两个元素为1，其余都是0。根据这个特 点，在单纯形法的基础上，创造出一种专门用来求解运输 问题的方法，这种方法我们称为表上作业法。运输问题也是一个线性规划问题，当用单纯形法进 行求解时，我们首先应当知道它的基变量的个数；其次， 要知道这样一组基变量应当是由哪些变量来组成。由运输 问题系数矩阵的形式并结合第一章单纯形算法的讨论可以 知道: 运输问题的每一组基变量应由 m+n-1个变量组成。 (即基变量的个数 = 产地个数 + 销售地个数 – 1) 进一步我 们想知道, 怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？
=
j
j = 1
(
(
这就是运输问题的数学模型，它包含 m·n 变量, m + n 个约束条件。如果用单纯形法求解，先得在各约 束条件上加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。 因此，即使是 m = 3 ， n = 4 这样的简单问题, 变量数 就有19个之多，计算起来非常复杂。因此，我们有必 要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简单方便的 求解方法。
销地产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11 、 x12 、 x32 、 x34 、 x24 、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1 ， i2 = 3 ， i3 = 2；j1 = 1 ，j2 = 2 ，j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连 (今后就称这些直线为闭回路的边)。
第二节 表上作业法1. 表上作业法的基本概念与重要结论针对运输问题的数学模型结构的特殊性，它的约束方 程组的系数矩阵具有如下形式( 具体见下一张幻灯片 )，该 矩阵中， 每列只有两个元素为1，其余都是0。根据这个特 点，在单纯形法的基础上，创造出一种专门用来求解运输 问题的方法，这种方法我们称为表上作业法。运输问题也是一个线性规划问题，当用单纯形法进 行求解时，我们首先应当知道它的基变量的个数；其次， 要知道这样一组基变量应当是由哪些变量来组成。由运输 问题系数矩阵的形式并结合第一章单纯形算法的讨论可以 知道: 运输问题的每一组基变量应由 m+n-1个变量组成。 (即基变量的个数 = 产地个数 + 销售地个数 – 1) 进一步我 们想知道, 怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？
表上作业法--运输问题
12
14
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯 形法。 运输问题都存在最优解。 计算过程（假设产销平衡）： 1.找出初始基本可行解。对于有m个产地n个销地的产销 平衡问题，则有m个关于产量的约束方程和n个关于销量 的约束方程。由于产销平衡，其模型最多只有m+n-1个独 立的约束方程，即运输问题有m+n-1个基变量。在m×n 的产销平衡表上给出m+n-1个数字格，其相对应的调运量 的值即为基变量的值。 2.求各非基变量的检验数，即检验除了上述m+n-1个基变 量以外的空格的检验数判别是否达到最优解，如果已是最 优，停止计算，否则转到下一步。 3.确定入基变量和出基变量，找出新的基本可行解。在表 上用闭回路法调整。 4.重复2、3直到得到最优解。
运输问题的表上作业法 某部门有3个同类型的工厂 产地），生产的产品由4个 个同类型的工厂（ ），生产的产品由 例1 某部门有 个同类型的工厂（产地），生产的产品由 个 销售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（ 销售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单 位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（ 位为 ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于表 ）示于表3 中，问如何调运才能使总运费最小？ 问如何调运才能使总运费最小？
解一
销地 产地
B1
4
6
B2
12
10
B3
4 3
4
B4
11
产 量
A1 A2
A3
销 量
16 10 9 10 11
8 14
2
2
4
8 8 14
5 12
6 22 48 14
解二
销地 产地
B1
第二节 表上作业法求解运输问题 - Copy
给出的运输问题的初始基本可行解． 【例3.4】求表 给出的运输问题的初始基本可行解． 】求表3-6给出的运输问题的初始基本可行解
表3-6
B1 A1 A2 A3 bj 4 7 1 5
B2 10 7 2 10
B3 4 3 10 25
B4 4 8 6 10
ai 20 15 15 50
【解】
Bj Ai 4 A1 B1
【4 】
－
初始基可行解： 初始基可行解： x11 =0, x12 = 10，x14 =5, x21 =20, ， x23 =5 ， x34 = 20 总运费Z=10×8+5×12+20×1+5×2+20×8=330。 总运费 × × × × × 。
练习1： 练习 ： 用元素差额法求表3—6运输问题的初始基本可行解 运输问题的初始基本可行解 用元素差额法求表
2．元素差额法（Vogel近似法） ．元素差额法（ 近似法） 近似法 最小元素法只考虑了局部运输费用最小。 最小元素法只考虑了局部运输费用最小。有时为了 节省某一处的运费，而在其它处可能运费很大。 节省某一处的运费，而在其它处可能运费很大。元 素差额法对最小元素法进行了改进， 素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到 销地的最小运价和次小运价之间的差额， 销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额 很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。 很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。 例如下面两种运输方案
ai ui (1) ui (2) 30 1 1 45 1 － 25 3 【 3】 100
总运费Z=15×8+6×5+10×7+45×4+25×4=500。 × 总运费 × × × × 。
运筹学【运输问题】考研必备
22
13
12 0
最小元素法(2)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
132 712来自10 62715
19 13 12 0 13 0
最小元素法(3)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
13
2 7
13
10
12
6
27
2
19 13 0 12 0 13 0
解: 西北角法
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
B3 3 7 5 3
B4 4 5 8 4
产量
A1 A2 A3
销量
4 6 3 13
(1) 从图的西北角开始, 填入a1与b1较小的值,b1=2, 即从A1运 给B1(2吨)B1已满足, 划去b1列, 并将a1=4-2=2
销地 产地
B1 26 4 7 2-2
例2
供应地 运价 销售地 1 a1=14 供 应 量 1 6 7 5
b1=22
a2=27
2
a3=19
3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
b2=13
销 售 量
3
b3=12
4
b4=13
解:
初始基础可行解—最小元素法(1)
1 1 6 7
2 5
3 3
4 14
2
8
4
2
7
27
15
12
3 5 9 10 6 19 13
如何调运产品才能使总运费最小？
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
运输问题表上作业法
重复上面的步骤，直至求出最优调运方案：
调
运
销地
量 B1
B2 90 80
X22
B3 100
X13
产量 200 250
产地
50 A1 A2
销 量
X11
150 70
X12
50
X21
65 200 75
X23
100
150
200
450
结 果
最优调运方案是： x11=50，x12=150，x21=50，x23=200
X11 X12
X13
80 150 65 100 75
A2
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 450
非基变量X12的检验数：
12
=（c12+c23）-（c13+c22） =70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c +c ）-（c +c ） 21 13 11 23
200 75
X23
100
150 50
200 450
得到初始调运方案为： x11=100，x12=100，x22=50，x23=200
总运价为： 90 * 100 70 * 100 50 * 65 200 * 100 39250
（3）沃格尔（V ogel) (略）
２、３最优性检验
闭回路上，奇数次顶点的调运量加上ε，偶数 次顶点的调运量减去ε；闭回路之外的变量调 运量不变。
得到新的调运方案：
调
运
销地
量 B1
B2 100 70
X12
用表上作业法求解运输问题
运输问题及数学模型
1. 运输问题数学模型 本章研究单一品种物资的运输调度问题。 其典型情况是：设某种物品有个产地（或供方）Ai（
i=1，2，…，m），各产地的产量分别是ai（i=1，2，…，m）
，有n个销地Bj（j=1，2，…，n）,各销地的销量分别为bj（ j=1，2，…，n）。假定从Ai（i=1，2，…，m）产地向销地
Bj（j=1，2，…，n）运输单位物品的运价是。问怎样调运这
些物品才能使总运费最小?
这是由多个产地供应多个销地的单品种物品运输问题。
为直观起见，可列出该问题的运输表（见下页）。表中的变
量Xij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）为由产地Ai运往销 地Bj的物品数量。cij为Ai到Bj的单位运价。有时，将单位运价
然后，在余下的供、销点的供销关系中，继续按上述方
法安排调运，直至安排完所有供销任务，得到一个完整的调
运方案(完整的解)为止。这样就得到了运输问题的一个初始 基可行解(初始调运方案)。
由于该方法基于优先满足单位运价(或运距)最小的供销
业务．故称为最小元素法。
最小元素法分配的初始调运方案
单价cij
A1 供 应 地 Ai A2 A3 需求量bj 销售地Bj B1 B2 B3 B4
至得到运输问题的最优解为止。如前所述，迭代过程得出的
所有解都要求是运输问题的基可行解。
步骤：
m n （1）找出初始即可行解，即在产销平衡表上分配初始调运 ai b j i 1 j 1 方案，保证xij≥0， ，并且xij>0的格（又称实格）必须
有m+n-1个；
（2）求出各非基变量的检验数σij（空格检验数），σij≥0时
西北角法分配初始调运方案
《运筹学》胡运权清华版-3-02表上作业法
最大元素法
总结词
与最小元素法相反，最大元素法选择运价表中的最大元素作为初始方案。
详细描述
最大元素法的基本思想是从运价表中寻找最大的元素，并将其确定为初始方案。在运价表中，最大的 元素可能是运输量最大的货物或运输距离最长的路线。这种方法可能会优先考虑大货物或长距离运输 ，但同样可能不是最优解，因为它没有考虑到整个运输网络的整体优化。
100%
稳定性
最优解应该是相对稳定的，即在 微小扰动下不会发生大的变化。
80%
可行性
最优解必须满足实际操作的可行 性，如运输量不能超过供应量和 需求量。
迭代终止条件
达到最大迭代次数
可以设定一个最大迭代次数， 当达到该次数时终止迭代。
运输成本收敛
如果连续几次迭代的运输成本 变化很小，可以认为已经收敛 ，终止迭代。
03
方案的调整
闭回路法
要点一
总结词
通过检查闭回路来调整方案，以使运输费用最小化。
要点二
详细描述
闭回路法是一种常用的运输方案调整方法。在运输问题中 ，如果发现某个产地的供应量大于需求量，或者某个销地 的需求量大于供应量，就可以通过构建闭回路来调整运输 方案。具体来说，就是在供需不平衡的地点之间构建一个 闭回路，将多余的供应量或不足的需求量通过闭回路进行 调整，以使运输费用最小化。
适用于解决产销平衡和产销不平衡的运输问题，特别是当运输问 题规模较大时，使用表上作业法可以快速找到最优解。
表上作业法的应用场景
物流规划
在物流规划中，表上作业法可以用于解决货物运输 的最优路径、运输成本等问题。
资源配置
在资源分配问题中，表上作业法可以用于确定资源 的最优调配方案，以最小成本满足需求。
第二节运输问题求解表上作业法
从上面的讨论可以看出，当某个非 基变量增加一个单位时，有若干个基变 量的取值受其影响。
22
这样，利用单位产品变化（运输的 单位费用）可计算出它们对目标函数的 综合影响，称这个综合影响为该非基变 量对应的检验数。
上面计算的两个非基变量的检验数
为 24 = -1，22 = 1。
闭回路方法原理就是通过寻找闭回路 来找到非基变量的检验数。
表4-11 初始基本可行解及检验数
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
3
11
3
10
[1] [2]
4
3
A2
1
9
2
8
3 [1]
1 [-1]
A3
7
4
10
5
[10]
6 [12]
3
销量
3
6
5
6
产量 7 4 9
20(产销平衡)
25
显然，当所有非基变量的检验数 均大于或等于零时，现行的调运方案就 是最优方案，因为此时对现行方案作任 何调整都将导致总的运输费用增加。
mn
Min f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t.
j=1
xij
si
i = 1,2,…,m
m
xij =dj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
40
2.运输问题求解
—表上作业法
只要在模型中的产量限制约束（前m
个不等式约束）中引入m个松弛变量 xin+1 i= 1,2,…,m 即可，变为：
第二节 运输问题求解 —表上作业法
22
这样，利用单位产品变化（运输的 单位费用）可计算出它们对目标函数的 综合影响，称这个综合影响为该非基变 量对应的检验数。
上面计算的两个非基变量的检验数
为 24 = -1，22 = 1。
闭回路方法原理就是通过寻找闭回路 来找到非基变量的检验数。
表4-11 初始基本可行解及检验数
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
3
11
3
10
[1] [2]
4
3
A2
1
9
2
8
3 [1]
1 [-1]
A3
7
4
10
5
[10]
6 [12]
3
销量
3
6
5
6
产量 7 4 9
20(产销平衡)
25
显然，当所有非基变量的检验数 均大于或等于零时，现行的调运方案就 是最优方案，因为此时对现行方案作任 何调整都将导致总的运输费用增加。
mn
Min f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t.
j=1
xij
si
i = 1,2,…,m
m
xij =dj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
40
2.运输问题求解
—表上作业法
只要在模型中的产量限制约束（前m
个不等式约束）中引入m个松弛变量 xin+1 i= 1,2,…,m 即可，变为：
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运筹学 第三章 运输问题
• 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量, cij表示对应的单位运费, 则我们有运输问题的数学模型如下:
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
运筹学 第4章 表上作业法
11
2.1 确定初始基可行解
表 3-5 和表3-6
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1 A2 A3 销量
7
3
4
9
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
12
2.1 确定初始基可行解
第二步：在表3-6未划去的元素中再找出最小运价2，确定A2多余的1吨供应B3， 并给出表3-7，表3-8。
• (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判 别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则转到 下一步。
• (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。在表上用 闭回路法调整。
• (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。
7
第2节 表上作业法
• 例1 某公司经销甲产品。它下设三个加工厂。每日的 产量分别是：A1为7吨，A2为4吨，A3为9吨。该公司 把这些产品分别运往四个销售点。各销售点每日销量 为：B1为3吨，B2为6吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从 各工厂到各销售点的单位产品的运价为表3-3所示。问 该公司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的前 提下，使总运费为最少。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
3
1
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
13
2.1 确定初始基可行解
2.1 确定初始基可行解
表 3-5 和表3-6
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1 A2 A3 销量
7
3
4
9
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
12
2.1 确定初始基可行解
第二步：在表3-6未划去的元素中再找出最小运价2，确定A2多余的1吨供应B3， 并给出表3-7，表3-8。
• (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判 别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则转到 下一步。
• (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。在表上用 闭回路法调整。
• (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。
7
第2节 表上作业法
• 例1 某公司经销甲产品。它下设三个加工厂。每日的 产量分别是：A1为7吨，A2为4吨，A3为9吨。该公司 把这些产品分别运往四个销售点。各销售点每日销量 为：B1为3吨，B2为6吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从 各工厂到各销售点的单位产品的运价为表3-3所示。问 该公司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的前 提下，使总运费为最少。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
3
1
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
13
2.1 确定初始基可行解
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.
【例3.4】求表3-6给出的运输问题的初始基本可行解．
表3-6
B1
B2
B3
B4
ai
A1
4
10
4
4
20
A2
7
7
3
8
15
A3
1
2
10
6
15
bj
5
表3-7
填有数字格
Bj
B1
B2
Ai
4
10
A1
×
×0
B3 4
10
B4
ai
4
10
20
7
7
3
8
A2
×
×
15
×
15
1
2
10
6
A3 5
10
×
第二步：求检验数并判断是否得到最优解。常用求检
验数的方法有闭回路法和位势法，当非基变量的检验数
ij全都非负时得到最优解，若存在检验数lk<0，说明还 没有达到最优，转第三步。
第三步：调整运量，即换基。选最小负检验数所对应
的非基变量作为入基变量，选一个适当的基变量作为出
基变量，对原运量进行调整得到新的基可行解，转入第
5
8
A2
1
7
A3
6
10
bj
20
10
9
12 15
2
4 25
13
8 20
5
25 60
【解】 求行差额 ui, i=1,2,3及列差额vj,j=1,2,3,4.计算公 式为
ui= i行次小运价—i行最小运价 vj= j列次小运价—j例最小运价
.
表3-9
Bj Ai
A1
B1 5
×0
B2
8 10
B3
9 ×
B4
A2 7 × 7 × 3 (15) 8 × 15 A3 1 (5) 2 (10) 10 × 6 × 15
4 4 【5】
1 【5】 －
bj
5 10 25 10 50
vj (1)
3 【5】 1
2
vj (2)
3－ 1
2
vj (3)
－－
1
4
总运费Z=10×4+10×4+15×3+5×1+10×2=150。
.
810
C
2
5
15
5 10
11
5
2
0
15
8
C
2
1
5
15
510 10
15
20
15
前一种按最小元素法求得，总运费是 Z1=10×8+5×. 2+15×1=105
810
C
2
5
15
5 10
11 5
2
0
15
8
C
2
1
5
15
510 10
15
20
15
后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是8－2=6， 先调运x21，再是x22，其次是x12这时总运费
ai ui (1) ui (2) ui (3)
12
5
15 3
3 【4 】
A2
1
7
20
×
2 5
4
×
25 1
3－
A3
6
10
13
8
×
×
×
20
20 2 2
2
bj
20
10
5
25
60
vj (1)
4
1
【7 】
4
vj (2) 【4 】
1
－
4
vj (3)
－
2
－
4
初始基可行解： x11 =0, x12 = 10，x14 =5, x21 =20, x23 =5 ， x34 = 20 总运费Z=10×8+5×12+20. ×1+5×2+20×8=330。
练习1：
用元素差额法求表3—6运输问题的初始基本可行解
表3-6
B1
B2
B3
B4
ai
A1
4
10
4
4
20
A2
7
7
3
8
15
A3
1
2
10
6
15
bj
5
10
25
10
50
.
用元素差额法求表3—6运输问题的初始基本可行解
表3-6
B1
B2
B3 B4
ai
ui (1) ui (2) ui (3)
A1 4 ×0 10 × 4 (10) 4 (10) 20 0 0 0
Z2=10×5+15×2+5×1=85<Z1。
罚数：产地到销地的最小运价和次小运价之间的 差额
.
基于以上思路，元素差额法求初始基本可行解的步骤 是：
第一步：求出每行次小运价与最小运价之差，记为ui， i=1,2,…,m ；同时求出每列次小运价与最小运价之差，记 为vj，j=1，2，…，n ； 第二步：找出所有行、列差额的最大值，即L=max{ui， vi}，差额L对应行或列的最小运价处优先调运；
二步。
.
一、运输问题初始基可行解的确定
1. 最小元素法 ： 最小元素法的思想是就近优先运送，即最小运价Cij对 应的变量xij优先赋值
xijma ii,b nj
然后再在剩下的运价中取最小运价对应的变量赋值并 满足约束，依次下去，直到最后得到一个初始基可 行解。
.
【例3.3】求表3－4所示的运输问题的初始基可行解。
A2 4 (45) 3 × 5 × 45 1 －
A3 7 × 4 (25) 8 × 25 3 【 3】
练习2：
用元素差额法求表3—4运输问题的初始基本可行解
表3-4
销地
产地
B1
B2
B3
产量
A1
8
6
A2
4
3
A3
7
4
销量
60
30
7
30
5
45
8
25
10
100
.
用元素差额法求表3—6运输问题的初始基本可行解
表3-6
B1
B2
B3
ai ui (1) ui (2)
A1 8 (15) 6 (5) 7 (10) 30 1 1
×
15
bj
5
10
25
10
50
当选定最小元素后，该元素所在行的产地产量等于
所在列的销地的销量，此时需要在打“×”的变量中任
选一个变量作为基变量，.运量等于0
2．元素差额法（Vogel近似法） 最小元素法只考虑了局部运输费用最小。有时为了 节省某一处的运费，而在其它处可能运费很大。元 素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到 销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额 很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。 例如下面两种运输方案
第三章 运输问题 (Transportation Problem)
第二节 表上作业法求解运输问题
第二节 表上作业法求解运输问题
本节要点
• 运输问题初始基可行解的确定 • 解的最优性检验与方案的改进
运输单纯形法也称为表上作业法，是直接在运价表上求 最优解的一种方法，它是一种迭代法，步骤为：
第一步：求初始基本可行解（初始调运方案）。 常用 的方法有最小元素法、元素差额法（Vogel近似法）、左 上角法。
第三步：这时必有一列或一行调运完毕，在剩下的运 价中再求最大差额，进行第二次调运，依次进行下去， 直到最后全部调运完毕，就得到一个初始调运方案。
用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以 也称为近似方案。
.
【例3.5】用元素差额法求表3—8运输问题的初始基本
可行解
表3-8
B1
B2
B3
B4
ai
A1
表3－4
销地
产地
B1
B2
B3
产量
A1
8
6
A2
4
3
A3
7
4
销量
60
30
7
30
5
45
8
25
10
100
.
【解】 Bj
Ai A1
A2
A3
销量
表3－5
B1
B2
B3
8
6
20
×
4
3
15
30
7
4
25
×
60(20) 30
7 10
5 ×
8 ×
10
产量
30 (20) 45 (15) 25 100
该运输问题的初始解： x11 =20, x13 =10, x21 =15, x22 =30 ，x31 =25,这时总运费为555
【例3.4】求表3-6给出的运输问题的初始基本可行解．
表3-6
B1
B2
B3
B4
ai
A1
4
10
4
4
20
A2
7
7
3
8
15
A3
1
2
10
6
15
bj
5
表3-7
填有数字格
Bj
B1
B2
Ai
4
10
A1
×
×0
B3 4
10
B4
ai
4
10
20
7
7
3
8
A2
×
×
15
×
15
1
2
10
6
A3 5
10
×
第二步：求检验数并判断是否得到最优解。常用求检
验数的方法有闭回路法和位势法，当非基变量的检验数
ij全都非负时得到最优解，若存在检验数lk<0，说明还 没有达到最优，转第三步。
第三步：调整运量，即换基。选最小负检验数所对应
的非基变量作为入基变量，选一个适当的基变量作为出
基变量，对原运量进行调整得到新的基可行解，转入第
5
8
A2
1
7
A3
6
10
bj
20
10
9
12 15
2
4 25
13
8 20
5
25 60
【解】 求行差额 ui, i=1,2,3及列差额vj,j=1,2,3,4.计算公 式为
ui= i行次小运价—i行最小运价 vj= j列次小运价—j例最小运价
.
表3-9
Bj Ai
A1
B1 5
×0
B2
8 10
B3
9 ×
B4
A2 7 × 7 × 3 (15) 8 × 15 A3 1 (5) 2 (10) 10 × 6 × 15
4 4 【5】
1 【5】 －
bj
5 10 25 10 50
vj (1)
3 【5】 1
2
vj (2)
3－ 1
2
vj (3)
－－
1
4
总运费Z=10×4+10×4+15×3+5×1+10×2=150。
.
810
C
2
5
15
5 10
11
5
2
0
15
8
C
2
1
5
15
510 10
15
20
15
前一种按最小元素法求得，总运费是 Z1=10×8+5×. 2+15×1=105
810
C
2
5
15
5 10
11 5
2
0
15
8
C
2
1
5
15
510 10
15
20
15
后一种方案考虑到C11与C21之间的差额是8－2=6， 先调运x21，再是x22，其次是x12这时总运费
ai ui (1) ui (2) ui (3)
12
5
15 3
3 【4 】
A2
1
7
20
×
2 5
4
×
25 1
3－
A3
6
10
13
8
×
×
×
20
20 2 2
2
bj
20
10
5
25
60
vj (1)
4
1
【7 】
4
vj (2) 【4 】
1
－
4
vj (3)
－
2
－
4
初始基可行解： x11 =0, x12 = 10，x14 =5, x21 =20, x23 =5 ， x34 = 20 总运费Z=10×8+5×12+20. ×1+5×2+20×8=330。
练习1：
用元素差额法求表3—6运输问题的初始基本可行解
表3-6
B1
B2
B3
B4
ai
A1
4
10
4
4
20
A2
7
7
3
8
15
A3
1
2
10
6
15
bj
5
10
25
10
50
.
用元素差额法求表3—6运输问题的初始基本可行解
表3-6
B1
B2
B3 B4
ai
ui (1) ui (2) ui (3)
A1 4 ×0 10 × 4 (10) 4 (10) 20 0 0 0
Z2=10×5+15×2+5×1=85<Z1。
罚数：产地到销地的最小运价和次小运价之间的 差额
.
基于以上思路，元素差额法求初始基本可行解的步骤 是：
第一步：求出每行次小运价与最小运价之差，记为ui， i=1,2,…,m ；同时求出每列次小运价与最小运价之差，记 为vj，j=1，2，…，n ； 第二步：找出所有行、列差额的最大值，即L=max{ui， vi}，差额L对应行或列的最小运价处优先调运；
二步。
.
一、运输问题初始基可行解的确定
1. 最小元素法 ： 最小元素法的思想是就近优先运送，即最小运价Cij对 应的变量xij优先赋值
xijma ii,b nj
然后再在剩下的运价中取最小运价对应的变量赋值并 满足约束，依次下去，直到最后得到一个初始基可 行解。
.
【例3.3】求表3－4所示的运输问题的初始基可行解。
A2 4 (45) 3 × 5 × 45 1 －
A3 7 × 4 (25) 8 × 25 3 【 3】
练习2：
用元素差额法求表3—4运输问题的初始基本可行解
表3-4
销地
产地
B1
B2
B3
产量
A1
8
6
A2
4
3
A3
7
4
销量
60
30
7
30
5
45
8
25
10
100
.
用元素差额法求表3—6运输问题的初始基本可行解
表3-6
B1
B2
B3
ai ui (1) ui (2)
A1 8 (15) 6 (5) 7 (10) 30 1 1
×
15
bj
5
10
25
10
50
当选定最小元素后，该元素所在行的产地产量等于
所在列的销地的销量，此时需要在打“×”的变量中任
选一个变量作为基变量，.运量等于0
2．元素差额法（Vogel近似法） 最小元素法只考虑了局部运输费用最小。有时为了 节省某一处的运费，而在其它处可能运费很大。元 素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到 销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额 很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。 例如下面两种运输方案
第三章 运输问题 (Transportation Problem)
第二节 表上作业法求解运输问题
第二节 表上作业法求解运输问题
本节要点
• 运输问题初始基可行解的确定 • 解的最优性检验与方案的改进
运输单纯形法也称为表上作业法，是直接在运价表上求 最优解的一种方法，它是一种迭代法，步骤为：
第一步：求初始基本可行解（初始调运方案）。 常用 的方法有最小元素法、元素差额法（Vogel近似法）、左 上角法。
第三步：这时必有一列或一行调运完毕，在剩下的运 价中再求最大差额，进行第二次调运，依次进行下去， 直到最后全部调运完毕，就得到一个初始调运方案。
用元素差额法求得的基本可行解更接近最优解，所以 也称为近似方案。
.
【例3.5】用元素差额法求表3—8运输问题的初始基本
可行解
表3-8
B1
B2
B3
B4
ai
A1
表3－4
销地
产地
B1
B2
B3
产量
A1
8
6
A2
4
3
A3
7
4
销量
60
30
7
30
5
45
8
25
10
100
.
【解】 Bj
Ai A1
A2
A3
销量
表3－5
B1
B2
B3
8
6
20
×
4
3
15
30
7
4
25
×
60(20) 30
7 10
5 ×
8 ×
10
产量
30 (20) 45 (15) 25 100
该运输问题的初始解： x11 =20, x13 =10, x21 =15, x22 =30 ，x31 =25,这时总运费为555