苏教版学考选考草图设计专题一轮复习学案

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高三一轮复习试卷讲评课教案（苏教版高三必修）

•••••••••••••••••高三一轮复习试卷讲评课教案（苏教版高三必修）高三一轮复习试卷讲评课教案(苏教版高三必修)学习目标：1、反馈本次测试的得分情况2、深入探究出错率较高的题目3、整理答题思路，掌握答题技巧练习重点：诗歌中的鉴赏音乐的题型小说中的环境描写的作用讲练过程自主学习学生对照答案讨论试题试卷讲评一、反馈本次演练过程中出现的问题第一卷 30分以上：五班10人，六班12人第二卷排序题出错率大约78%，这个题目遵循的原则是“陈述主题保持一致”。

下定义的问题主要是表述不是很严密，出现了丢掉信息的问题。

抽样计算平均分值2.54分。

诗歌鉴赏题普遍得分不高，抽样计算平均分值3.6分。

存在的主要问题是审题不细致，分析不具体，答题思路不清晰。

小说阅读题第一个问题得分不高，抽样计算平均分值0.87分。

对于小说中环境描写的作用很陌生，答非所问。

二、反馈课前延伸教案的做题情况，明确答案。

合作探究一、诗歌中的音乐描写精练点拨：阅读下面一首唐诗,然后回答问题. （原题）听弹琴刘长卿泠泠七弦上，静听松风寒。

古调虽自爱，今人多不弹。

诗中一、二两句是如何描写琴声的？请做简要回答。

（4分）当堂训练阅读下面一首唐诗,然后回答问题.听蜀僧濬弹琴李白蜀僧抱绿绮，西下峨嵋峰。

为我一挥手，如听万壑松。

客心洗流水，余响入霜钟。

不觉碧山暮，秋云暗几重。

结合诗句分析作者是怎样写琴声的？规律总结：诗歌中的音乐形象具有怎样的总体特点：由此分析，诗歌中描写音乐形象时常用的写作手法有哪些：完成音乐形象的鉴赏题的答题思路通常包括哪几步：二、小说中环境描写的作用精练点拨：1、《战地医院》（原题）医院只是连成一片的几顶帐篷，卧在近郊的小树林里。

城市已被空袭夷为平地，所有建筑被毁，所有百姓撤离。

帐篷里满是伤兵，沾满鲜血的纱布扔了一地，止血钳变了形。

远处枪炮声连成一片，战士且战且退，脆弱的防线随时可能被对方撕成碎片。

不断有卡车停在帐篷外面，车厢打开，是一个挨一个的伤兵，全是重伤员。

专题(5)草图设计训练2021-2022学年苏教版(2019)高二通用技术学考复习 (解析版)

【答案】①.A②. ③.C④.A
【解析】
3.如图所示为某人设计的木制躺椅，其扶手与前后脚之间的连接缺少必要的连接件，不能调节靠背的倾斜角度。请你设计一个连接件，用于调整靠背倾斜角度。设计要求如下：
A．连接件安装在前后脚与扶手之间，能使靠背倾斜角度可调，并保证一定的连接强度；
B．连接件采用厚2mm、宽60mm、长度足够的不锈钢钢板制作，其余零件自选；
C．连接件结构简单、安装方便。
请根据上述设计要求，完成以下任务：
（1）画出连接件的设计草图，必要时可用文字说明；___________
（2）在设计草图上标注连接件的主要尺寸；___________
（3）以批量生产、经济使用为目标，连接件材料应选用“_______”（在①木材；②塑料；③钛合金中选择一项，将序号填写在“”处）；连接件与方管之间的连接宜采用“_______”（在以下中选择一项，将序号填写在．安装后挂取相框比较方便。
请根据上述要求和相框尺寸完成以下任务：
（1）画出连接件的设计草图，必要时可用文字说明；______
（2）在设计草图上标注连接件的主要尺寸；
（3）连接件与相框的连接可以采用________（在①自攻螺钉连接；②紧定螺钉连接；③螺栓螺母连接；④膨胀螺栓连接中选择一项，将序号填写在“________”中）；
C．结构简单，操作方便。
请根据上述设计要求，完成以下任务：
(1)若要实现靠背角度可调节，木制扶手与靠背之间的连接可采用________(在①榫接；②膨胀螺栓连接；③松螺栓连接；④焊接中选择一项，将序号填写在“________”处)；
(2)画出连接件的设计草图，必要时可用文字说明；_________
(3)在设计草图上标注连接件的主要尺寸；_________

高考物理一轮复习苏教版专题十四热学学案(江苏专用)

专题十四热学【考纲解读】分析解读本专题为选考内容,概念、规律繁多,但要求较低,全部是Ⅰ级要求,复习时应注意以下几点:(1)加强对基本概念和基本规律的理解和记忆。

(2)固体、液体部分内容常结合实例考查晶体和非晶体的特点及表面张力产生的原因,会用表面张力解释一些生活现象。

(3)建立宏观量与微观量的关系。

分子动能与温度相对应,分子势能与体积相对应。

(4)加强贴近高考的典型题的练习,提高分析问题和解决问题的能力。

【命题探究】核心考点审题结果思路分析解答过程命题技巧【五年高考】考点一分子动理论1.[2017江苏单科,12A(2)(3)](2)甲图和乙图是某同学从资料中查到的两张记录水中炭粒运动位置连线的图片,记录炭粒位置的时间间隔均为30 s,两方格纸每格表示的长度相同。

比较两张图片可知:若水温相同, (选填“甲”或“乙”)中炭粒的颗粒较大;若炭粒大小相同, (选填“甲”或“乙”)中水分子的热运动较剧烈。

(3)科学家可以运用无规则运动的规律来研究生物蛋白分子。

资料显示,某种蛋白的摩尔质量为66 kg/mol,其分子可视为半径为3×10-9 m 的球,已知阿伏加德罗常数为6.0×1023mol -1。

请估算该蛋白的密度。

(计算结果保留一位有效数字) 答案 (2)甲乙 (3)见解析2.(2017北京理综,13,6分)以下关于热运动的说法正确的是( ) A.水流速度越大,水分子的热运动越剧烈 B.水凝结成冰后,水分子的热运动停止C.水的温度越高,水分子的热运动越剧烈D.水的温度升高,每一个水分子的运动速率都会增大答案 C3.[2015课标Ⅱ,33(1),5分](多选)关于扩散现象,下列说法正确的是( )A.温度越高,扩散进行得越快B.扩散现象是不同物质间的一种化学反应C.扩散现象是由物质分子无规则运动产生的D.扩散现象在气体、液体和固体中都能发生E.液体中的扩散现象是由于液体的对流形成的答案ACD4.[2015福建理综,29(1),6分]下列有关分子动理论和物质结构的认识,其中正确的是。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8.6 双曲线教学案苏教版-苏教版高三全册数学教学案

第六节双曲线[最新考纲] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a <2c )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实、虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)[常用结论]双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b .(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.(5)过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，那么AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.(6)双曲线的离心率公式可表示为e ＝1＋b 2a2.一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线． ( )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编1．假设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 A [由题意可知b ＝2a ，∴e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝5，应选A.] 2．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 24－y 23＝1 A [设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x 轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0). 所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.]3．假设方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) [因为方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m )(m ＋1)＞0，即m ＞－1或m ＜－2.]4．双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于．6 [设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，那么||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6.]考点1 双曲线的定义及其应用双曲线定义的主要应用(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(1)圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，那么动圆圆心M 的轨迹方程为．(2)F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，那么|PF |＋|PA |的最小值为．(3)F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，那么c os∠F 1PF 2＝ .(1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2)9 (3)34[(1)如下图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，那么b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)设双曲线的右焦点为F 1，那么由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|PA |最小时满足|PF |＋|PA |最小．由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|PA |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|PA |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9.(3)因为由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，所以cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝422＋222－422×42×22＝34.] [母题探究]1．将本例(3)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|〞改为“∠F 1PF 2＝60°〞，那么△F 1PF 2的面积是多少？[解] 不妨设点P 在双曲线的右支上，那么|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.2．将本例(3)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|〞改为“PF 1→·PF 2→＝0〞，那么△F 1PF 2的面积是多少？[解] 不妨设点P 在双曲线的右支上，那么|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.在“焦点三角形〞中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．1.虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，那么△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24B [由于2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ，∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22， ①|BF 2|－|BF 1|＝22， ②①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，那么△ABF 2的周长为16＋2，应选B.]2．(2019·洛阳模拟)双曲线x 2－y 2＝4，F 1是左焦点，P 1，P 2是右支上的两个动点，那么|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是．8 [设双曲线的右焦点为F 2，∵|F 1P 1|＝2a ＋|F 2P 1|，|F 1P 2|＝2a ＋|F 2P 2|，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|＝2a ＋|F 2P 1|＋2a ＋|F 2P 2|－|P 1P 2|＝8＋(|F 2P 1|＋|F 2P 2|－|P 1P 2|)≥8(当且仅当P 1，P 2，F 2三点共线时，取等号)，∴|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是8.]考点2 双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，得双曲线方程． (2)待定系数法：即“先定位，后定量〞． ①焦点位置不确定时，设Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；②与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③与x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)．(1)(2019·大连模拟)F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，那么双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 22＝1B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1 D ．x 2－y 22＝1(2)根据以下条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54；②渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10；③经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)；(1)D [(1)由题意可知|PF 1|＝43c 3，|PF 2|＝23c 3，2b ＝22，由双曲线的定义可得43c3－23c 3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1，应选D.](2)[解] ① 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②设所求双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，双曲线标准方程为x 24λ－y 2λ＝1，∴c ＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；当λ<0时，双曲线标准方程为y 2－λ－x 2－4λ＝1，∴c ＝－5λ.∴－5λ＝5，λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1.(mn >0)∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线方程为y 225－x 275＝1.(1)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a ＜|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．(2)求双曲线标准方程时，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论．1.(2019·荆州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，那么双曲线C 的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1 C ．x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 C [由双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1，应选C.]2．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，焦点坐标为(±5,0)，那么双曲线的方程为．x 216－y 29＝1 [将3x ±4y ＝0化为x 4±y 3＝0，设以x 4±y 3＝0为渐近线的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点坐标为(±5,0)，所以16λ＋9λ＝25，解得λ＝1，即双曲线的方程为x 216－y 29＝1.] 考点3 双曲线的几何性质双曲线的渐近线求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)． 1.[一题多解](2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，那么其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x A [法一：(直接法)由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x .法二：(公式法)由e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±b ax ＝±2x .]2．(2019·揭阳一模)双曲线mx 2＋y 2＝1的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，那么m 的值为( )A ．－14B ．－1C ．－2D ．－4D [因为m ＜0，那么双曲线为：y 2－x 2－1m＝1，渐近线方程为：±－mx ＋y ＝0，所以－m ＝2，解得m ＝－4，应选D.]3．(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P是C 上一点，假设|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，那么双曲线C 的渐近线方程是( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0B [假设点P 在双曲线的右支上，那么⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|F 1F 2|＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最短的边是PF 2， ∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝16a 2＋4c 2－2×4a ×2c ×cos 30°， ∴c 2－23ac ＋3a 2＝0，∴e 2－23e ＋3＝0，∴e ＝3，∴c a＝3， ∴c 2＝3a 2，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b 2＝2a 2，∴b a＝2， ∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，应选B.]4．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，假设双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3,4)，那么该双曲线的渐近线方程是．y ＝±2x [∵双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，∴32－16b2＝1，解得b 2＝2，即b ＝ 2. 又a ＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .]双曲线的离心率求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(1)点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，假设△ABE 是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)(2)(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．假设F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，那么C 的离心率为．(1)B (2)2 [(1)假设△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt△AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，那么b 2a＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，那么e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，那么1＜e ＜2，应选B.(2)如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB .又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线，即BF 2//OA ，BF 2＝2OA .由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ，那么OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1，又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝π，得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°，又渐近线OB 的斜率为b a ＝tan 60°＝3，所以该双曲线的离心率为e ＝ca ＝1＋b a 2＝1＋32＝2.]双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a 2－1＝e 2－1. 1.(2019·衡水模拟)双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，假设双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，那么双曲线C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C ．(1,2) D ．(2，＋∞)A [由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以 c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233.] 2．(2019·济南模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．假设矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，那么E 的离心率是．2 [由得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．]。

一轮复习苏教版细胞中的蛋白质和核酸学案

第2讲细胞中的蛋白质和核酸[课标要求] 1.1.6.阐明蛋白质通常由20种氨基酸分子组成，它的功能取决于氨基酸序列及其形成的空间结构，细胞的功能主要由蛋白质完成。

1.1.7.概述核酸由核苷酸聚合而成，是储存与传递遗传信息的生物大分子。

实验：检测生物组织中的还原糖、脂肪和蛋白质。

考点一蛋白质的结构和功能1．蛋白质的结构(1)蛋白质的基本组成单位——氨基酸[提醒]基团R决定氨基酸的种类，其上可能含有氨基或羧基。

(2)蛋白质的结构及其多样性①氨基酸的脱水缩合②蛋白质的结构层次(以血红蛋白为例)[提醒]a．多肽无生物活性，基因的表达中的翻译路段合成的是多肽链。

b．多肽形成具有空间结构的蛋白质的场所有的是在细胞质基质中，有的是在内质网上。

③蛋白质分子多样性的原因a．氨基酸：□11不同。

b．构成蛋白质的肽链在□12上千差万别。

2．蛋白质的功能[答案自填] □1C、H、O、N□2同一个碳原子□3R□420□5脱水缩合□6肽键□7二肽□8氨基□9羧基□10一□11种类、数量、排列顺序□12数量和空间结构□13运输□14调控(1)具有氨基和羧基的化合物都是构成生物体蛋白质的氨基酸。

()(2)生物体内组成蛋白质的氨基酸中，不同氨基酸之间的差异是由R引起的。

()(3)胰岛素中不同肽链之间通过肽键连接。

()(4)蛋白质肽链的盘曲和折叠被解开时，其特定功能并未发生改变。

()(5)评价蛋白质食品的营养价值主要依据其必需氨基酸的种类和含量。

()(6)氨基酸仅通过脱水缩合的方式就可以形成蛋白质。

()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)×1．(必修1 P21积极思维)图中胰岛素由条肽链构成，通过二硫键(—S—S—)相互结合在一起，该种胰岛素中共含有个二硫键。

提示：2 32．(必修1 P22正文信息)同为组成生物体蛋白质的氨基酸，酪氨酸几乎不溶于水，而精氨酸易溶于水，这种差异与氨基酸中的有关，判断依据________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _______。

一轮复习苏教版影响光合作用和细胞呼吸的环境因素学案

第9讲影响光合作用和细胞呼吸的环境因素[课标要求]概述影响光合作用和细胞呼吸的环境因素。

简述利用光合作用和细胞呼吸的原理在农业实践上的应用。

实验：探究不同环境因素对光合作用的影响。

考点一影响光合作用的环境因素1．外部因素(1)单因子变量对光合速率的影响①光照强度②CO2浓度③温度④水分和无机盐的种类(2)多因子变量对光合速率的影响2．内部因素(1)植物自身的遗传特性(如植物品种不同)：以阴生植物、阳生植物为例，如下图所示。

(2)植物叶片的叶龄、叶绿素含量及酶[答案自填] □1光反应□2细胞呼吸□3＝□4＞□5增强光照强度□6光能□7暗反应□8CO2补偿点□9增大□10酶的活性□11降低□12介质□13下降□14叶绿素□15光照强度□16CO2浓度□17光照强度□18CO2浓度(1)光合作用中温度主要影响暗反应阶段。

()(2)光合作用、呼吸作用都受到温度的影响，其中与呼吸作用有关的酶的适宜温度更高。

()(3)农田种植作物一年两茬，可延长光合作用时间。

()(4)栽种矮秆、叶直而小的作物，能增加种植密度，有利于增大光合作用面积。

()(5)温室条件下，通过增施农家肥可以提高作物对有机物的吸收。

()(6)夏季晴天光照最强时，小麦光合速率最高。

()(7)番茄幼苗在缺镁的培养液中培养一段时间后，与对照组相比，其叶片光合作用强度下降，原因是光反应强度升高，暗反应强度降低。

() 答案：(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×(6)×(7)×1．(2022·江苏泰州高三月考)甲图和乙图表示某植物在适宜的CO2浓度条件下光合作用速率与环境因素之间的关系，下列相关叙述错误的是()A.甲图中，在B点限制光合作用速率的主要因素是温度或CO2浓度B.从乙图可以看出，当超过一定温度后，光合作用的速率会随着温度的升高而降低C.温度主要通过影响酶的活性来影响光合作用速率D.若光照强度突然由A变为B，短时间内叶肉细胞中C3的含量会减少解析：选A。

草图设计(2)(课件)-高中通用技术苏教版学考专题复习

底面封闭结构，支撑桌脚
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草图设计模板（审题、表达与技巧）
（2）能调整桌子高度的装置（连续可调——长槽腰形孔）
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草图设计模板（审题、表达与技巧）
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草图设计模板（审题、表12
3.组合
草图设计模板（审题、表达与技巧）
13
草图设计模板（审题、表达与技巧）
14
6
草图设计模板（审题、表达与技巧）
设计要求
解题分析
能调整桌子高度的装置
需要对桌腿进行设计修改，关键尺寸与桌腿尺寸有关（连接尺寸）
能方便实现200mm高度范采用腰形孔伸缩结构实现连续调节，腰形孔长200mm（功能尺寸）围内的连续调节
不允许对桌子进行任何改动（包括不能钻孔，不能拧螺钉等）
采用包裹结构可以不破坏原有结构
方案设计、草图绘制要注意以下几点要求：（1）实用：功能实现，可靠性高（2）合理：利用合理的材料，采用合理的工艺，选择合适的标准件（3）表达清晰：绘图立体感强，文字说明简洁，关键尺寸标注得当
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草图设计模板（审题、表达与技巧）
2、【典型示例分析】
如图所示为小明家的木质学习桌，现准备将桌子作为他用，但是高度有些不够。请你帮助小明设计能调整桌子高度的装置，并在通用技术实践室里完成制作。装置设计要求如下：（1）能方便实现200mm高度范围内连续调节；（2）不允许对桌子进行任何改动（包括不能钻孔，不能拧螺钉等）；（3）主要采用3mm厚的钢板，辅助材料自选，可焊接；（4）装置可方便安装与拆下。请完成以下任务： ①画出装置的设计草图，必要时可用文字说明（如有多个相同的装置，只需画一个）； ②在设计草图上标注主要尺寸。
学考专题复习之《草图设计》
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2021版江苏新高考选考化学(苏教版)一轮复习教师用书：专题4 1 第一单元含硫化合物的性质和应用

第一单元含硫化合物的性质和应用学习任务1硫及其氧化物硫化氢亚硫酸一、硫单质1．自然界中的硫(1)游离态：硫单质俗称硫黄，主要存在于火山喷口附近或地壳的岩层里。

(2)化合态：主要以硫化物和硫酸盐的形式存在。

有关硫化物和硫酸盐的化学式见下表：硫铁矿黄铜矿石膏芒硝FeS2CuFeS2CaSO4·2H2O Na2SO4·10H2O色态淡黄色或黄色晶体溶解性不溶于水，微溶于酒精，易溶于CS2二、二氧化硫(SO2 )1．物理性质颜色气味毒性密度溶解性无色有刺激性气味有毒比空气大易溶于水2.化学性质(1)具有酸性氧化物的通性与少量NaOH 溶液反应：SO 2＋NaOH===NaHSO 3；与足量NaOH 溶液反应：SO 2＋2NaOH===Na 2SO 3＋H 2O 。

(2)具有还原性，能被Cl 2、Br 2、I 2、H 2O 2、KMnO 4等氧化剂氧化。

①SO 2与卤水反应：SO 2＋X 2＋2H 2O===2HX ＋H 2SO 4(X 为Cl 、Br 、I)。

②使FeCl 3溶液由棕黄色变为浅绿色。

③2SO 2＋O 2催化剂2SO 3。

(3)具有氧化性与H 2S 反应：SO 2＋2H 2S===3S ↓＋2H 2O 。

(4)具有漂白性使品红溶液褪色(原理：SO 2＋有色物质→无色物质――→加热有色物质＋SO 2)。

三、三氧化硫(SO 3)SO 3在标准状况下为无色、针状晶体，能与水反应：SO 3＋H 2O===H 2SO 4，放出大量的热。

SO 3是酸性氧化物，跟碱性氧化物或碱都能反应生成硫酸盐。

四、硫的氧化物的污染与治理五、硫化氢(H 2S)、亚硫酸(H 2SO 3)1．H 2S 、H 2SO 3的弱酸性(1)都是二元弱酸，在水中分步电离，能使紫色石蕊溶液变红。

(2)与NaOH 反应都可生成两种盐：正盐(Na 2S 、Na 2SO 3)和酸式盐(NaHS 、NaHSO 3)。

高考一轮复习生物学案(苏教版)第二单元第6课时细胞质膜具有选择透过性

第6课时细胞质膜具有选择透过性课标要求阐明细胞质膜具有选择透过性。

考点一动植物细胞的吸水和失水1．渗透作用(1)概念：在________两侧的水分子从_________________向________________________扩散，这一现象称为渗透作用。

(2)选择透过性膜：对物质进出具有__________作用的膜。

(3)渗透作用产生的条件(4)渗透作用现象分析A、B分别表示渗透作用装置，据图回答下列问题：①A图中渗透达到平衡，半透膜两侧________(填“有”或“没有”)水分子的进出。

②A图中Δh不变时，S1、S2溶液浓度的大小关系为：S1________S2(填“>”“<”或“＝”；S1、S2中溶质不能通过半透膜)。

③在B图所示的U形玻璃管内，左右管内分别装入质量分数相等的葡萄糖、麦芽糖溶液。

初始时两管中液面相平，假设溶质分子不能透过半透膜。

a．一段时间后，两管中液面的变化为：左管液面________，右管液面________。

(均填“升高”“降低”或“不变”)b．液面高度稳定后再同时向两管内加入等量的麦芽糖酶，两管中液面的变化分别为：左管液面________，右管液面________，最后________________________。

总结提升不同渗透装置中水分子运动情况及液面变化(1)溶质不能通过半透膜的情况①若S1溶液浓度大于S2溶液浓度，则单位时间内由S2→S1的水分子数多于由S1→S2的，表现为S1溶液液面上升。

②若S1溶液浓度小于S2溶液浓度，则情况相反，表现为S1溶液液面下降。

③在达到渗透平衡后，若存在如图所示的液面差Δh，则S1溶液浓度仍大于S2溶液浓度。

(2)溶质能通过半透膜的情况①若S1溶液浓度大于S2溶液浓度，则最初单位时间内由S2→S1的水分子数多于由S1→S2的，随着溶质的扩散，最终S1和S2溶液浓度相等，表现为S1溶液液面先上升后下降，最终S1和S2溶液液面持平。

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第二章第四节函数的图象教案文解析版

１．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：（１）１确定函数的定义域；２化简函数的解析式；３讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）．（２）列表（注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点）．（３）描点，连线．２．图象变换（１）平移变换１y＝f（x）的图象错误!y＝f（x—a）的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（x）＋b的图象．（２）对称变换１y＝f（x）的图象错误!y＝—f（x）的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（—x）的图象；３y＝f（x）的图象错误!y＝—f（—x）的图象；４y＝a x（a＞0且a≠１）的图象错误!y＝log a x（a＞0且a≠１）的图象．（３）伸缩变换１y＝f（x）的图象２y＝f（x）的图象错误!y＝af（x）的图象．（４）翻转变换１y＝f（x）的图象错误!y＝|f（x）|的图象；２y＝f（x）的图象错误!y＝f（|x|）的图象．[小题体验]１．f（x）的图象如图所示，则f（x）＝________.答案：f（x）＝错误!２．函数f（x）的图象向右平移１个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝________.解析：与曲线y＝e x关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e—x，将函数y＝e—x的图象向左平移１个单位长度即得y＝f（x）的图象，所以f（x）＝e—（x＋１）＝e—x—１.答案：e—x—１３．（２0１8·扬州期末）若函数y＝f（x）的图象经过点（１,２），则函数y＝f（—x）＋１的图象必经过的点的坐标是________．解析：把函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，再向上平移１个单位，可得函数y＝f（—x）＋１的图象．把函数y＝f（x）的图象上的点（１,２）关于y轴对称，再向上平移１个单位，可得点（—１,３），故函数y＝f（—x）＋１的图象必定经过的点的坐标是（—１,３）．答案：（—１,３）１．函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f（—２x）的图象到f（—２x＋１）的图象是向右平移错误!个单位，其中是把x变成x—错误!.２．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y＝f（|x|）的图象属于自身对称，而y＝f（x）与y ＝f（—x）的图象关于y轴对称是两个函数．[小题纠偏]１．函数y＝５x与函数y＝—错误!的图象关于________对称．答案：原点２．把函数y＝f（２x）的图象向右平移________个单位得到函数y＝f（２x—３）的图象．答案：错误!错误!错误![题组练透]分别画出下列函数的图象：（１）y＝|lg x|；（２）y＝２x＋２；（３）y＝x２—２|x|—１．解：（１）y＝错误!图象如图１．（２）将y＝２x的图象向左平移２个单位．图象如图２．（３）y＝错误!图象如图３．[谨记通法]作函数图象的３种常用方法错误!错误![典例引领]１．若函数f（x）＝错误!的图象如图所示，则f（—３）＝________.解析：由图象可得—a＋b＝３，ln（—１＋a）＝0，得a＝２，b＝５，所以f（x）＝错误!故f（—３）＝２×（—３）＋５＝—１．答案：—１２．（２0１9·启东检测）若函数f（x）＝|a x＋b|（a＞0，a≠１，b∈R）的图象如图所示，则a＋b 的取值范围是________．解析：由图可得，函数f（x）的零点为错误!，即错误!＋b＝0．由图可得，当x＞错误!时，函数f（x）为增函数，故a＞１，所以a＋b＝a—错误!＝错误!２—错误!∈（0，＋∞）．答案：（0，＋∞）[由题悟法]识图３种常用的方法[即时应用]１．已知y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的值域为________．解析：由图象易知f（x）的值域为（—∞，—１]∪（１,３）．答案：（—∞，—１]∪（１,３）２．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0,0），（１,２），（３,１），则f错误!＝________.解析：由图象知f（３）＝１，所以错误!＝１，所以f错误!＝f（１）＝２．答案：２错误!错误![锁定考向]函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．常见的命题角度有：（１）研究函数的性质；（２）求参数的值或范围；（３）研究不等式；（４）确定方程根（零点）的个数．（详见本章第八节考点二）[题点全练]角度一：研究函数的性质１．已知函数f（x）＝|x２—４x＋３|.（１）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（２）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有四个不相等的实根}．解：f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．（１）由图知函数f（x）的单调递增区间为[１,２]和[３，＋∞），单调递减区间为（—∞，１]和[２,３]．（２）由图象可知，若y＝f（x）与y＝m图象有四个不同的交点，则0＜m＜１，所以集合M＝{m|0＜m＜１}．角度二：求参数的值或范围２．（２0１9·苏州实验中学测试）定义min{a，b}＝错误!已知函数f（x）＝min{x，x２—４x＋４}＋４，若动直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有３个交点，则实数m的取值范围为________．解析：设g（x）＝min{x，x２—４x＋４}，则f（x）＝g（x）＋４，故把g（x）的图象向上平移４个单位长度，可得f（x）的图象，函数f（x）＝min{x，x２—４x＋４}＋４的图象如图所示，由直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有３个交点，可得m的取值范围为（４,５）．答案：（４,５）角度三：研究不等式３．（２0１8·启东中学测试）如图所示，函数y＝f（x）的图象是圆x２＋y２＝２上的两段弧，则不等式f（x）＞f（—x）—２x的解集是________．解析：由图象可知，函数f（x）为奇函数，故原不等式可等价转化为f（x）＞—x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝—x的图象，由图象可知不等式的解集为（—１,0）∪（１，错误!]．答案：（—１,0）∪（１，错误!]４．若不等式（x—１）２＜log a x（a＞0，且a≠１）在x∈（１,２）内恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：要使当x∈（１,２）时，不等式（x—１）２＜log a x恒成立，只需函数y＝（x—１）２在（１,２）上的图象在y＝log a x的图象的下方即可．当0＜a＜１时，显然不成立；当a＞１时，如图，要使x∈（１,２）时，y＝（x—１）２的图象在y ＝log a x的图象的下方，只需（２—１）２≤log a２，即log a２≥１，解得１＜a≤２，故实数a的取值范围是（１,２]．答案：（１,２][通法在握]函数图象应用的常见题型与求解策略（１）研究函数性质：１根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．２从图象的对称性，分析函数的奇偶性．３从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．４从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．（２）研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值（范围）：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．（３）研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[演练冲关]１．已知函数f（x）＝错误!若f（３—a２）＜f（２a），则实数a的取值范围是________．解析：如图，画出f（x）的图象，由图象易得f（x）在R上单调递减，因为f（３—a２）＜f（２a），所以３—a２＞２a，解得—３＜a＜１．答案：（—３,１）２．（２0１9·扬州中学高三调研）已知函数f（x）＝错误!的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是________．解析：若x＞0，则—x＜0，∵x＜0时，f（x）＝sin错误!—１，∴f（—x）＝sin错误!—１＝—sin错误!—１，则若f（x）＝sin错误!—１，x＜0关于y轴对称，则f（—x）＝—sin错误!—１＝f（x），设g（x）＝—sin错误!—１，x＞0，作出函数g（x）的大致图象如图所示．要满足题意，则须使g（x）＝—sin错误!—１，x＞0与f（x）＝log a x，x＞0的图象恰有9个交点，则0＜a＜１，且满足f（１7）＞g（１7）＝—２，f（２１）＜g（２１）＝—２，即—２＜log a１7，log a２１＜—２，解得错误!＜a＜错误!.答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．已知函数f（x）＝x２＋１，若0＜x１＜x２，则f（x１）与f（x２）的大小关系为________．解析：作出函数图象（图略），知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x１）＜f（x２）．答案：f（x２）＞f（x１）２．（２0１8·常州一中期末）将函数y＝e x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移２个单位，所得函数的解析式为________．解析：将函数y＝e x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y＝e２x，再向右平移２个单位，可得y＝e２（x—２）＝e２x—４.答案：y＝e２x—４３．（２0１8·前黄中学月考）设函数y＝f（x＋１）是定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）的偶函数，在区间（—∞，0）是减函数，且图象过点（１,0），则不等式（x—１）f（x）≤0的解集为________．解析：y＝f（x＋１）向右平移１个单位得到y＝f（x）的图象，由已知可得f（x）的图象的对称轴为x＝１，过定点（２,0），且函数在（—∞，１）上递减，在（１，＋∞）上递增，则f（x）的大致图象如图所示．不等式（x—１）f（x）≤0可化为错误!或错误!由图可知符合条件的解集为（—∞，0]∪（１,２]．答案：（—∞，0]∪（１,２]４．使log２（—x）＜x＋１成立的x的取值范围是________．解析：在同一坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１,0）．答案：（—１,0）５．若关于x的方程|x|＝a—x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：由题意a＝|x|＋x令y＝|x|＋x＝错误!图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a＞0．答案：（0，＋∞）6．设函数f（x）＝错误!若f（f（a））≤２，则实数a的取值范围是________．解析：函数f（x）的图象如图所示，令t＝f（a），则f（t）≤２，由图象知t≥—２，所以f（a）≥—２，当a＜0时，由a２＋a≥—２，即a２＋a＋２≥0恒成立，当a≥0时，由—a２≥—２，得0≤a≤错误!，故a≤错误!.答案：（—∞，错误!]二保高考，全练题型做到高考达标１．已知f（x）＝错误!x，若f（x）的图象关于直线x＝１对称的图象对应的函数为g（x），则g（x）的表达式为________．解析：设g（x）上的任意一点A（x，y），则该点关于直线x＝１的对称点为B（２—x，y），而该点在f（x）的图象上．所以y＝错误!２—x＝３x—２，即g（x）＝３x—２.答案：g（x）＝３x—２２．如图，定义在[—１，＋∞）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为________．解析：当—１≤x≤0时，设解析式为f（x）＝kx＋b（k≠0），则错误!解得错误!∴当—１≤x≤0时，f（x）＝x＋１．当x＞0时，设解析式为f（x）＝a（x—２）２—１（a＞0），∵图象过点（４,0），∴0＝a（４—２）２—１，∴a＝错误!，∴当x＞0时，f（x）＝错误!（x—２）２—１＝错误!x２—x.故函数f（x）的解析式为f（x）＝错误!答案：f（x）＝错误!３．（２0１9·江阴中学检测）方程x２—|x|＋a＝１有四个不同的实数解，则a的取值范围是________．解析：方程解的个数可转化为函数y＝x２—|x|的图象与直线y＝１—a交点的个数，作出两函数的图象如图，易知—错误!＜１—a＜0，所以１＜a＜错误!.答案：错误!４．（２0１9·启东中学期中）设奇函数f（x）的定义域为[—５,５]，若当x∈[0,５]时，f（x）的图象如图，则不等式错误!≤0的解集为________．解析：不等式错误!≤0，等价于错误!或错误!由图象可知：当１＜x≤５时，由f（x）≤0，解得２≤x≤５．当0≤x＜１时，由f（x）≥0，解得0≤x＜１，因为f（x）为奇函数，当—２＜x＜0时，由f（x）≥0，此时无解，当—５≤x≤—２时，由f（x）≥0，解得—５≤x≤—２，故不等式的解集为[—５，—２]∪[0,１）∪[２,５]．答案：[—５，—２]∪[0,１）∪[２,５]５．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝错误!若方程f（x）＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．解析：x≤0时，f（x）＝２—x—１，0＜x≤１时，—１＜x—１≤0，f（x）＝f（x—１）＝２—（x—１）—１．故x＞0时，f（x）是周期函数，如图所示．若方程f（x）＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f（x）的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a＜１，即a的取值范围是（—∞，１）．答案：（—∞，１）6．（２0１9·镇江中学测试）已知函数f（x）＝错误!若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a＋b＋c的取值范围是________．解析：作出函数f（x）的图象如图所示，不妨设a＜b＜c，则b＋c＝２×１２＝２４，a∈（１,１0），则a＋b＋c＝２４＋a∈（２５,３４）．答案：（２５,３４）7．（２0１9·徐州调研）设函数f（x）＝错误!其中[x]表示不超过x的最大整数，如[—１．２]＝—２，[１．２]＝１，若直线y＝kx＋k（k＞0）与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：∵函数f（x）＝错误!∴作出函数f（x）的图象如图所示．∵y＝kx＋k＝k（x＋１），故该直线的图象一定过点（—１,0），若y＝kx＋k与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，则f（x）＝kx＋k有三个不同的根，∵k＞0，∴当y＝kx＋k过点（２,１）时，k＝错误!，当y＝kx＋k过点（３,１）时，k＝错误!，要使f（x）＝kx＋k有三个不同的根，则实数k的取值范围是错误!.答案：错误!8．（２0１9·金陵中学月考）已知y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域均为[—π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f（x）·g（x）＜0的解集是________．解析：f（x）·g（x）＜0⇒f（x）与g（x）在同一区间内符号相反，由图可知，当x∈[0，π]时，两者异号的区间为错误!.又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴当x∈[—π，0）时，两者异号的区间为错误!，∴f（x）·g（x）＜0的解集是错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!9．（２0１8·盐城一中测试）已知函数f（x）＝x|m—x|（x∈R），且f（４）＝0．（１）求实数m的值；（２）作出函数f（x）的图象并判断其零点个数；（３）根据图象指出f（x）的单调递减区间；（４）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集；（５）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有三个不相等的实根}．解：（１）因为f（４）＝0，所以４|m—４|＝0，即m＝４．（２）因为f（x）＝x|４—x|＝错误!即f（x）＝错误!所以函数f（x）的图象如图所示．由图象知函数f（x）有两个零点．（３）从图象上观察可知：f（x）的单调递减区间为[２,４]．（４）从图象上观察可知：不等式f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜４或x＞４}．（５）由图象可知若y＝f（x）与y＝m的图象有三个不同的交点，则0＜m＜４，所以集合M＝{m|0＜m＜４}．１0．已知函数f（x）＝２x，x∈R.（１）当m取何值时方程|f（x）—２|＝m有一个解？两个解？（２）若不等式f２（x）＋f（x）—m＞0在R上恒成立，求m的取值范围．解：（１）令F（x）＝|f（x）—２|＝|２x—２|，G（x）＝m，画出F（x）的图象如图所示．由图象可知，当m＝0或m≥２时，函数F（x）与G（x）的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m＜２时，函数F（x）与G（x）的图象有两个交点，原方程有两个解．（２）令f（x）＝t（t＞0），H（t）＝t２＋t，因为H（t）＝错误!２—错误!在区间（0，＋∞）上是增函数，所以H（t）＞H（0）＝0．因此要使t２＋t＞m在区间（0，＋∞）上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为（—∞，0]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校解析：因为函数f（x）＝lg（|x—２|＋１），所以函数f（x＋２）＝lg（|x|＋１）是偶函数；由y＝lg x错误!y＝lg（x＋１）错误!y＝lg（|x|＋１）错误!y＝lg（|x—２|＋１），如图，可知f（x）在（—∞，２）上是减函数，在（２，＋∞）上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0．所以１２正确．答案：２２．已知函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋错误!＋２的图象关于点A（0,１）对称．（１）求f（x）的解析式；（２）若g（x）＝f（x）＋错误!，且g（x）在区间（0,２]上为减函数，求实数a的取值范围．解：（１）设f（x）图象上任一点P（x，y），则点P关于（0,１）点的对称点P′（—x,２—y）在h （x）的图象上，即２—y＝—x—错误!＋２，所以y＝f（x）＝x＋错误!（x≠0）．（２）g（x）＝f（x）＋错误!＝x＋错误!，g′（x）＝１—错误!.因为g（x）在（0,２]上为减函数，所以１—错误!≤0在（0,２]上恒成立，即a＋１≥x２在（0,２]上恒成立，所以a＋１≥４，即a≥３，故实数a的取值范围是[３，＋∞）．命题点一函数的概念及其表示１．（２0１8·江苏高考）函数f（x）＝错误!的定义域为________．解析：由log２x—１≥0，即log２x≥log２２，解得x≥２，所以函数f（x）＝错误!的定义域为{x|x≥２}．答案：{x|x≥２}２．（２0１6·江苏高考）函数y＝错误!的定义域是________．解析：要使函数有意义，需３—２x—x２≥0，即x２＋２x—３≤0，得（x—１）（x＋３）≤0，即—３≤x≤１，故所求函数的定义域为[—３,１]．答案：[—３,１]３．（２0１6·浙江高考）设函数f（x）＝x３＋３x２＋１，已知a≠0，且f（x）—f（a）＝（x—b）（x—a）２，x∈R，则实数a＝____，b＝________.解析：因为f（x）＝x３＋３x２＋１，所以f（a）＝a３＋３a２＋１，所以f（x）—f（a）＝（x—b）（x—a）２＝（x—b）（x２—２ax＋a２）＝x３—（２a＋b）x２＋（a２＋２ab）x—a２b＝x３＋３x２—a３—３a２.由此可得错误!因为a≠0，所以由２得a＝—２b，代入１式得b＝１，a＝—２．答案：—２１４．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）设函数f（x）＝错误!则满足f（x＋１）＜f（２x）的x的取值范围是________．解析：法一：１当错误!即x≤—１时，f（x＋１）＜f（２x），即为２—（x＋１）＜２—２x，即—（x＋１）＜—２x，解得x＜１．因此不等式的解集为（—∞，—１]．２当错误!时，不等式组无解．３当错误!即—１＜x≤0时，f（x＋１）＜f（２x），即为１＜２—２x，解得x＜0．因此不等式的解集为（—１,0）．４当错误!即x＞0时，f（x＋１）＝１，f（２x）＝１，不合题意．综上，不等式f（x＋１）＜f（２x）的解集为（—∞，0）．法二：∵f（x）＝错误!∴函数f（x）的图象如图所示．结合图象知，要使f（x＋１）＜f（２x），则需错误!或错误!∴x＜0．答案：（—∞，0）命题点二函数的基本性质１．（２0１6·江苏高考）[—１,１）上，f（x）＝错误!其中a∈R.若f错误!＝f错误!，则f（５a）的值是________．解析：因为函数f（x）的周期为２，结合在[—１,１）上f（x）的解析式，得f错误!＝f错误!＝f错误!＝—错误!＋a，f错误!＝f错误!＝f错误!＝错误!＝错误!.由f错误!＝f错误!，得—错误!＋a＝错误!，解得a＝错误!.所以f（５a）＝f（３）＝f（４—１）＝f（—１）＝—１＋错误!＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１３·江苏高考）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）＝x２—４x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为________．解析：由于f（x）为R上的奇函数，所以当x＝0时，f（0）＝0；当x＜0时，—x＞0，所以f（—x）＝x２＋４x＝—f（x），即f（x）＝—x２—４x，所以f（x）＝错误!由f（x）＞x，可得错误!或错误!解得x＞５或—５＜x＜0，所以原不等式的解集为（—５,0）∪（５，＋∞）．答案：（—５,0）∪（５，＋∞）３．（２0１8·全国卷Ⅱ改编）已知f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，满足f（１—x）＝f （１＋x）．若f（１）＝２，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝________.解析：法一：∵f（x）是奇函数，∴f（—x）＝—f（x），∴f（１—x）＝—f（x—１）．由f（１—x）＝f（１＋x），得—f（x—１）＝f（x＋１），∴f（x＋２）＝—f（x），∴f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），∴函数f（x）是周期为４的周期函数．由f（x）为奇函数得f（0）＝0．又∵f（１—x）＝f（１＋x），∴f（x）的图象关于直线x＝１对称，∴f（２）＝f（0）＝0，∴f（—２）＝0．又f（１）＝２，∴f（—１）＝—２，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＝f（１）＋f（２）＋f（—１）＋f（0）＝２＋0—２＋0＝0，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＋…＋f（４9）＋f（５0）＝0×１２＋f（４9）＋f（５0）＝f（１）＋f（２）＝２＋0＝２．法二：由题意可设f（x）＝２sin错误!，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为４，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝１２[f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）]＋f（４9）＋f（５0）＝１２×0＋f（１）＋f（２）＝２．答案：２４．（２0１7·全国卷Ⅱ改编）函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的单调递增区间是________．解析：由x２—２x—8＞0，得x＞４或x＜—２．因此，函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的定义域是（—∞，—２）∪（４，＋∞）．注意到函数y＝x２—２x—8在（４，＋∞）上单调递增，由复合函数的单调性知，f（x）＝ln（x２—２x—8）的单调递增区间是（４，＋∞）．答案：（４，＋∞）５．（２0１7·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（—∞，0）时，f（x）＝２x３＋x２，则f（２）＝________.解析：由已知得，f（—２）＝２×（—２）３＋（—２）２＝—１２，又函数f（x）是奇函数，所以f（２）＝—f（—２）＝１２．答案：１２6．（２0１7·山东高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋４）＝f（x—２）．若当x∈[—３,0]时，f（x）＝6—x，则f（9１9）＝________.解析：因为f（x＋４）＝f（x—２），所以f（x＋6）＝f（x），所以f（x）的周期为6，因为9１9＝１５３×6＋１，所以f（9１9）＝f（１）．又f（x）为偶函数，所以f（9１9）＝f（１）＝f（—１）＝6．答案：6命题点三函数的图象１．（２0１6·全国卷Ⅱ改编）已知函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），若函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!（x i＋y i）＝________.解析：因为f（—x）＝２—f（x），所以f（—x）＋f（x）＝２．因为错误!＝0，错误!＝１，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0,１）对称．函数y＝错误!＝１＋错误!，故其图象也关于点（0,１）对称．所以函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m）成对出现，且每一对均关于点（0,１）对称，所以错误!i＝0，错误!i＝２×错误!＝m，所以错误!（x i＋y i）＝m.答案：m２．（２0１５·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝ax３—２x的图象过点（—１,４），则a＝________.解析：因为f（x）＝ax３—２x的图象过点（—１,４），所以４＝a×（—１）３—２×（—１），解得a＝—２．答案：—２。

2023届新高考一轮复习苏教版第2章第5节函数的图象学案

函数的图象[考试要求]1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1．利用描点法作函数的图象基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)． (3)描点、连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换提醒：“左加右减”只针对x 本身，与x 的系数无关，“上加下减”指的是在f (x )整体上加减．(2)对称变换①y ＝f (x )的图象――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；③y ＝f (x )的图象――――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象．(3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象y ＝f (ax )的图象；②y ＝f (x )的图象y ＝af (x )的图象．(4)翻折变换①y ＝f (x )的图象――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．[常用结论]1．函数图象自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－a2对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．()(2)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．()(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×二、教材习题衍生1．函数f(x)＝1x－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称C[∵f(x)＝1x－x是奇函数，∴图象关于原点对称．]2．函数y＝4xx2＋1的图象大致为()A BC DA[根据函数为奇函数排除C、D选项，又∵x＞0时，y＞0，排除B，故选A．]3．定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设y＝max{2x,2x－3,6－x}，则y的最小值是()A．2 B．3C．4D．6C[画出y＝max{2x,2x－3,6－x}的示意图，如图所示．由图可知，y的最小值为22＝6－2＝4，故选C．]4．已知a>0且a≠1，函数y＝log a x，y＝a x，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是()A B C DC[因为函数y＝a x与y＝log a x的图象关于直线y＝x对称，再由函数y＝a x 的图象过点(0,1)，y＝log a x的图象过点(1,0)，观察图象知，只有C正确，故选C．]考点一作出函数的图象作出下列函数的图象． (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1. [解] (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象中x ≥0的部分，再作出y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分．图① 图②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.图③ 图④(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．考点二函数图象的辨识[典例1](1)(2021·浙江高考)已知函数f(x)＝x2＋14，g(x)＝sin x，则图象为图示的函数可能是()A．y＝f(x)＋g(x)－14B．y＝f(x)－g(x)－14C．y＝f(x)g(x) D．y＝g(x) f(x)[真题衍生]我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为() A．f(x)＝ln |x|＋cos x B．f(x)＝ln |x|－sin xC．f(x)＝ln |x|－cos x D．f(x)＝ln |x|＋sin xB[由题干中函数图象可知其对应的函数为非奇非偶函数，而A，C中的函数为偶函数，故排除AC；设题干中函数图象与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1<0<x2，则|x1|<x2.对于B，令y＝ln|x|－sin x＝0，即ln |x|＝sin x，作出y＝ln |x|与y＝sin x的大致图象，如图所示：由图象可知，函数y＝ln |x|－sin x的图象与x轴的交点的横坐标满足x1<0<x2且|x1|<x2，故B选项符合题意；对于D，令y＝ln |x|＋sin x＝0，即ln |x|＝－sin x，作出y＝ln |x|与y＝－sin x的大致图象，如图所示：由图象可知，函数y＝ln |x|＋sin x的图象与x轴的交点的横坐标满足x1<0<x2且|x1|>x2，故D选项不符合题意．故选B．](2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()A BC D(1)D(2)B[(1)易知函数f(x)＝x2＋14是偶函数，g(x)＝sin x是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数．选项A，y＝f(x)＋g(x)－14＝x2＋sin x为非奇非偶函数，不符合题意，排除A ；选项B ，y ＝f (x )－g (x )－14＝x 2－sin x 也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B ；因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递增，且f (x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，g (x )单调递增，且g (x )>0，所以y ＝f (x )g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，由图象可知所求函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上不单调，排除C ．故选D ． (2)法一(图象变换法)：作出与函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称的图形得到函数y ＝f (－x )的图象，再把得到的图象向右平移2个单位，得到函数y ＝f (2－x )的图象，再作出与此图象关于x 轴对称的图形，得到y ＝－f (2－x )的图象，故选B ．法二(特殊值验证)：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项可知，故选B ．]辨析函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (3)从函数的特征点，排除不合要求的图象． (4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (5)从函数的周期性，判断图象的循环往复． [跟进训练]1．(1)(2021·山东济南模拟)函数f (x )＝x 33x ＋1的图象大致是( )A BC D(2)函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0(1)D (2)C [(1)由于x <0时，f (x )<0，排除A ，C ，而函数在y 轴右侧y ＝x 3增长速度先比y ＝3x 快，而后比y ＝3x 慢，排除B ，故选D ．(2)由f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2及图象可知，x ≠－c ，－c ＞0，则c ＜0；当x ＝0时，f (0)＝b c 2＞0，所以b ＞0；当y ＝0时，ax ＋b ＝0，所以x ＝－ba ＞0，所以a ＜0.故a ＜0，b ＞0，c ＜0.故选C ．]考点三函数图象的应用研究函数的性质[典例2－1] (多选)对任意两个实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，若f (x )＝2－x 2，g (x )＝x 2，下列关于函数F (x )＝min{f (x )，g (x )}的说法正确的是( )A ．函数F (x )是偶函数B ．方程F (x )＝0有三个解C ．函数F (x )在区间[－1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间ABD [根据函数f (x )＝2－x 2与g (x )＝x 2，画出函数F (x )＝min{f (x )，g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )＝min{f (x )，g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )＝0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．]解不等式[典例2－2] 已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )＞0的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D [f (x )＞0⇔2x ＞x ＋1，在同一平面直角坐标系中画出h (x )＝2x ，g (x )＝x ＋1的图象，如图所示，两图象交点坐标为A (0,1)和B (1,2)，观察图象可知不等式f (x )＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D ．]求参数的取值范围[典例2－3] (1)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝x |x －4|，若直线y ＝a 与函数f (x )的图象有三个交点A ，B ，C ，它们的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (2)(8,6＋22) [(1)先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时，斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时，斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－4，x ≥4，－(x －2)2＋4，x ＜4，其图象如图所示．由图象可得x 1＋x 2＝4,4＜x 3＜2＋22，所以8＜x 1＋x 2＋x 3＜6＋2 2.]函数图象的应用类型及求解策略(1)利用函数的图象研究函数的性质，对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标；不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图象位于g (x )图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．[跟进训练]2．(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．f (x )是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减C ．f (x )是奇函数，在区间(－1,1)上单调递减D ．f (x )是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增(2)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}(3)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 13x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．(1)C (2)C (3)(0,1] [(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图．观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．(3)作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k∈(0,1]．]。

高考数学一轮总复习第十五篇系列4选考部分教案理苏教版

第十五篇系列4选考部分第1讲几何证明选讲知识梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似；(2)相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．4．圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．(3)切线的判定与性质定理①切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．②切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．(5)弦切角定理：弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半．(6)相交弦定理：圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等．(7)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项．(8)圆内接四边形的性质与判定定理①圆内接四边形判定定理a．如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；b．如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．②圆内接四边形性质定理a．圆内接四边形的对角互补；b．圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．诊断自测1.(2009·江苏卷)如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明由△ABC≌△BAD，得∠ACB＝∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD，得∠CAB＝∠DBA.因此∠DBA＝∠CDB，∴AB∥CD.学生用书第203页2.(2012·镇江市期末考试)已知梯形ABCD为圆内接四边形，AD∥BC，过点C作该圆的切线，交AD的延长线于点E，求证：△ABC∽△EDC.证明因为CE为圆的切线，所以∠DCE＝∠DAC.因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠BCA，所以∠DCE＝∠BCA.因为梯形ABCD为圆内接四边形，所以∠EDC＝∠ABC.所以△ABC∽△EDC.3.(2013·镇江调研)如图，圆O 的直径AB ＝4，C 为圆周上的一点，BC ＝2，过点C 作圆O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆O 交于点D 、E ，求∠DAC 的度数与线段AE 的长．证明在Rt △ABC 中，AB ＝2BC ，因此∠ABC ＝60°. 由于直线l 为过点C 的切线，∠DCA ＝∠CBA ，所以∠DCA ＝60°.由AD ⊥DC ，得∠DAC ＝30°. 则在△AOE 中，∠EAO ＝∠DAC ＋∠CAB ＝60°，OE ＝OA .于是AE ＝AO ＝12AB ＝2.考点一相似三角形的判定及性质【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 对应边上的高．求证：△ADE ∽△ABC .证明 ∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°.又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△ADB ，∴AD AE ＝ABAC. 又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC .规律方法 (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．【训练1】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .若DB ＝9，求BM 的长．解 ∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .又AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形．∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，∴△EDM ∽△FBM .∴DM BM ＝DE BF. ∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF . ∴DM ＝2BM ，∴BM ＝13DB ＝3.学生用书第204页【例2】如图所示，⊙O 的直径为6，AB 为⊙O 的直径，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于D 、E . (1)求∠DAC 的度数； (2)求线段AE 的长．解 (1)由已知△ADC 是直角三角形，易知∠CAB ＝30°，由于直线l 与⊙O 相切，由弦切角定理知∠BCF ＝30°，由∠DCA ＋∠ACB ＋∠BCF ＝180°，又∠ACB ＝90°，知∠DCA ＝60°，故在Rt △ADC 中，∠DAC ＝30°.(1)(2)法一连接BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.法二连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，(2)由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.规律方法 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练2】如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . (1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．(1)证明由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角．所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .(2)解因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD ＝AEAC，即AB ·AC ＝AD ·AE 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝90°.考点三相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用【例3】如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，AC是∠BAF的平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.证明：(1)DC是⊙O的切线；(2)AM·MB＝DF·DA.证明(1)如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.又∵AC是∠BAF的平分线，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴AD∥OC.又CD⊥AD，∴OC⊥CD，即DC是⊙O的切线．(2)∵AC是∠BAF的平分线，∠CDA＝∠CMA＝90°，∴CD＝CM.由(1)知DC2＝DF·DA，又CM2＝AM·MB，∴AM·MB＝DF·DA.规律方法已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．【训练3】如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2＝EC·EB.证明因为AE是圆的切线，所以∠ABC＝∠CAE.又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD.从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD.因为∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，所以∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED.因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2＝EC·EB.而EA＝ED，所以ED2＝EC·EB.学生用书第205页【例4】(2014·银川一中月考)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP. 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．(2)解由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠PAC的内部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．【训练4】如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF. 求证：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分∠DEF.证明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，∴∠AHC＝120°.∴∠EHD＝∠AHC＝120°.∴∠EBD＋∠EHD＝180°.∴B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，∴∠EBH＝∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，∴∠CED＝∠HBD＝30°，∠HDE＝∠EBH＝30°.∴∠HED＝∠HDE＝30°.∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴EF⊥AD.又∠EHA＝∠HDE＋∠CED＝60°，∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF.思想方法14——化解与转化法在几何证明中的应用以近几年的高考来看，几何证明的高考命题集中在以圆为载体和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．【典例】 (2012·辽宁卷)如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 延长交⊙O 于点E . 证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB . 从而AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AD ·AB . (2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝AD BD，即AE ·BD ＝AD ·AB . 结合(1)的结论，AC ＝AE .[反思感悟] 本题考查平面几何中的相似三角形知识及弦切角知识，关键是要把握相似三角形的判定定理，分清各种情况的符合条件，看两个三角形已经具备哪些条件，还差哪个条件，再去考虑．【自主体验】(2012·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.证明如图，连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.对应学生用书P3911.(2014·常州市期末考试)如图，圆O是△ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交圆O于点E，H为△ABC的垂心．求证：DH＝DE.证明连结CE，CH.因为H为△ABC的垂心，所以∠ECD＝∠BAD＝90°－∠ABC，∠HCD＝90°－∠ABC，所以∠ECD＝∠HCD.又因为CD⊥HE，CD为公共边，所以△HDC≌△EDC，所以DH＝DE.2.(2013·常州一中期中)如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O、C、P、D四点共圆．证明∵PA、PB为圆O的两条切线，∴OP垂直平分弦AB，∴AM＝BM.在Rt△OAP中，OM·MP＝AM2，在圆O 中，AM ·BM ＝CM ·DM ， ∴OM ·MP ＝CM ·DM ，又弦CD 不过圆心O ， ∴O 、C 、P 、D 四点共圆． 3.(2012·镇江调研)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . (1)证明：△ABE ∽△ADC ； (2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．(1)证明由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC . (2)解因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1. 又∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝90°. 4.(2011·江苏卷)如图，圆O 1与O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．证明如图，连接AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D ，连接BD 、CE . ∵圆O 1与圆O 2内切于点A ，∴点O 2在AD 上，故AD 、AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝90°. ∴BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2，∴AB ∶AC 为定值．5.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F . 求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边AC 的中点， ∴DE ＝EA ，∴∠A ＝∠2. 又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A . ∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FDC ＝∠FBD . 又∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ，∴FB FD ＝FD FC， ∴FD 2＝FB ·FC . 6.(2012·苏州市调研(一))如图，在△ABC 中，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆O 交BC 于点N .若AC ＝12AB ，求证：BN ＝2AM .证明连结MN .因为CM 是∠ACB 的平分线，所以∠ACM ＝∠NCM ，所以AM ＝MN . 因为∠B ＝∠B ，∠BMN ＝∠A ，所以△BMN ∽△BCA ，所以BN MN ＝ABAC＝2，即BN ＝2MN ＝2AM . 7.如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BD 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E . (1)求证：AB 2＝DE ·BC ；(2)若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长． (1)证明 ∵AD ∥BC ，∴AB ＝CD .∴AB ＝CD ， ∠EDC ＝∠BCD .又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC . ∴△CDE ∽△BCD .∴DC BC ＝DE DC. ∴CD 2＝DE ·BC ，即AB 2＝DE ·BC .(2)解由(1)知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4，∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ，∴PD PB ＝DE BC ＝49.又∵PB －PD ＝9，∴PD ＝365，PB ＝815. ∴PC 2＝PD ·PB ＝365·815＝54252.∴PC ＝545.8.如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P . (1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且PA ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长． (1)证明连接AB ，如图所示 ∵AC 是⊙O 1的切线， ∴∠BAC ＝∠D . 又∵∠BAC ＝∠E ， ∴∠D ＝∠E .∴AD ∥EC .(2)解设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2， ∴xy ＝12.①∵根据(1)，可得△ADP ∽△CEP ，∴DP EP ＝AP CP ，即9＋x y ＝62，② 由①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－1(负值舍去)，∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线， ∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16.∴AD ＝12. 9.(2014·泰州调研一)已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB 、FC .(1)求证：FB ＝FC ；(2)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝33，求AD 的长． (1)证明 ∵AD 平分∠EAC ， ∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆， ∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)解 ∵AB 是圆的直径，∴∠ACD ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠D ＝30°.在Rt △ACB 中，∵BC ＝33，∠BAC ＝60°，∴AC ＝3，又在Rt △ACD 中，∠D ＝30°，AC ＝3，∴AD ＝6. 10.(2013·宿迁联考)如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O 于N，过点N的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．(1)证明连结ON.因为PN切⊙O于N，所以∠ONP＝90°.所以∠ONB＋∠BNP＝90°.因为OB＝ON，所以∠OBN＝∠ONB.因为BO⊥AC于O，所以∠OBN＋∠BMO＝90°.所以∠BNP＝∠BMO＝∠PMN.所以PM＝PN.所以PM2＝PN2＝PA·PC.(2)解OM＝2，BO＝23，BM＝4.因为BM·MN＝CM·MA＝(23＋2)(23－2)＝8，所以MN＝2.11.(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．(1)证明如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.(2)解由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC边的中垂线，所以BG＝32.设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径为3 2.12.(2013·南京模拟)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，点P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，且PC＝PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD.证明如图(1)连结OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA＝OB，PC＝PD，所以OP ∥BD .从而OP ⊥l .因为点P 在⊙O 上，所以l 是⊙O 的切线． (2)连结AP ，因为l 是⊙O 的切线，所以∠BPD ＝∠BAP .又∠BPD ＋∠PBD ＝90°，∠BAP ＋∠PBA ＝90°，所以∠PBA ＝∠PBD ，即PB 平分∠ABD .学生用书第206页第2讲矩阵与变换知识梳理1．乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎡⎦⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11 a 12]⎣⎡⎦⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎡⎦⎤a 11a 21a 12a 22与列向量⎣⎡⎦⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则 ①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎡⎦⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎡⎦⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎡⎦⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，其中A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧λ－ax －by ＝0－cx ＋λ－d y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的特征方程．(3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．诊断自测1．(2012·徐州调研)曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤10 21的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎡⎦⎤1021⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .因为P ′是曲线C 1上的点，所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1.学生用书第207页2.(2012·如皋中学质量检测)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .解由题意，得A －1＝错误!，∵AX ＝B ，∴X ＝A －1B ＝错误!错误!＝错误!.3．(2013·扬州调研)已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎡⎦⎤11，求矩阵A .解设A ＝⎣⎡⎦⎤a c b d ，由⎣⎡⎦⎤a cb d ⎣⎡⎦⎤10＝⎣⎡⎦⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.由⎣⎡⎦⎤a cb d ⎣⎡⎦⎤11＝3⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，d ＝0.所以A ＝⎣⎡⎦⎤23 10.考点一矩阵与变换【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以(2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.规律方法理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】 (2013·南京金陵中学月考)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎡⎦⎤10 02，N ＝⎣⎡⎦⎤ 1－1 01.解 MN ＝⎣⎡⎦⎤102⎣⎡⎦⎤ 1－1 01＝⎣⎡⎦⎤ 1－202.设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )，则⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ 1－2 02⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′. 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.学生用书第208页【例2】已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M的逆矩阵及点A 的坐标．解依题意得由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1，故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤135得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32⎣⎡⎦⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求．规律方法求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用．【训练2】已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤21 32，(1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，解 (1)法一设逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤a c b d ，则由⎣⎡⎦⎤2132⎣⎡⎦⎤a c b d ＝⎣⎡⎦⎤10 01，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A －1＝⎣⎡⎦⎤2－1 －32.法二由公式知若A ＝⎣⎡⎦⎤a c b d ＝⎣⎡⎦⎤21 32，则A －1＝错误!＝错误!.(2)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎡⎦⎤21 32，X ＝⎣⎡⎦⎤x y ，B ＝⎣⎡⎦⎤13，且由(1)，得A －1＝⎣⎡⎦⎤2－1 －32.因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有 A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎡⎦⎤2－1 －32⎣⎡⎦⎤13＝⎣⎡⎦⎤－75.即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－7，y ＝5.考点三求矩阵的特征值与特征向量【例3】 (2012·常州市期末考试)求矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤214－1的特征值及对应的特征向量．解由题意知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－2)(λ＋1)－4＝λ2－λ－6＝(λ－3)(λ＋2)．令f (λ)＝0，得到矩阵M 的特征值为λ1＝3，λ2＝－2.当λ1＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧3－2x －4y ＝0，－x ＋3＋1y ＝0，可得矩阵M 的一个特征向量为α1＝⎣⎡⎦⎤41；当λ2＝－2时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2－2x －4y ＝0，－x ＋－2＋1y ＝0，可得矩阵M 的一个特征向量为α2＝⎣⎡⎦⎤1－1.规律方法已知A ＝⎣⎡⎦⎤a c bd ，求特征值和特征向量，其步骤为：①令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－a －c －b λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；②列方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0；③赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1a 21对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量．解由题意⎣⎡⎦⎤1a 21⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤3a ＋1＝⎣⎡⎦⎤33，得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎡⎦⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎡⎦⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．学生用书第209页答题模板15——程序化解决矩阵问题【典例】 (10分)设矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤a 0 0b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．[规范解答] (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎡⎦⎤x 1x 2 y 1y 2，则MM －1＝⎣⎡⎦⎤10 01.又M ＝⎣⎡⎦⎤20 03，所以⎣⎡⎦⎤20 03⎣⎡⎦⎤x 1x 2 y 1y 2＝⎣⎡⎦⎤10 01，所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 13.(5分) (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎡⎦⎤a 0 0b ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.(10分)[反思感悟] 解决本题的关键是准确把握变换前后点的坐标之间的关系，并且熟练掌握求逆矩阵的操作方法与步骤．答题模板第一步：利用MM －1＝E 求解，或利用求逆矩阵公式求解．第二步：先设出变换前后的坐标分别为(x ，y )，(x ′，y ′)．利用矩阵乘法列出方程组，代入变换后方程求解．【自主体验】(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝错误!，求矩阵A 的特征值．解因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1. 因为A －1＝错误!，所以A ＝(A －1)－1＝错误!，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－2－2－3λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 对应学生用书P3931．(2009·江苏卷)求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤32 21的逆矩阵．解设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎡⎦⎤x z yw ，则⎣⎡⎦⎤32 21⎣⎡⎦⎤x z y w ＝⎣⎡⎦⎤10 01，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，z ＝2，w ＝－3.从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－12 2－3.2．(2008·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤20 01对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．解设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)则有⎣⎡⎦⎤x ′0y ′0＝⎣⎡⎦⎤20 01⎣⎡⎦⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2x 0y ′0＝y 0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.又∵点P 在椭圆上，故4x 20＋y 20＝1，从而x ′20＋y ′20＝1. ∴曲线F 的方程是x 2＋y 2＝1.3．已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1b a 1，N ＝⎣⎡⎦⎤c 0 2d ，且MN ＝⎣⎡⎦⎤2－2 00.(1)求实数a 、b 、c 、d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．解 (1)由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(2)∵矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)， ∴可取直线y ＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)，由⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤13＝⎣⎡⎦⎤－22，得点(0,0)，(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)．从而，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y ＝－x .4．(2014·苏北四市调研一)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解由题意，知M ⎣⎡⎦⎤22＝⎣⎡⎦⎤－22，即⎣⎡⎦⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎡⎦⎤－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.∴M ＝⎣⎡⎦⎤01 －10.由M －1M ＝⎣⎡⎦⎤10 01，解得M －1＝⎣⎡⎦⎤0－1 10.5．(2013·南通调研)已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A .解由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321.6．(2012·扬州调研)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤3－1 －13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－31 1λ－3＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值．设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1， ∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量． 7．(2014·南京模拟)求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 11－11 对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．解设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，它在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y ) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y 2，y 0＝x ＋y2.因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以x －y 2×x ＋y2＝1，即x 2－y 2＝4.所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4. 8．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1. 解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则由(AB )·(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.故(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12－1 0. 9．(2011·福建卷)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 003.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 003⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，∴x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.10．(2012·南通调研)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，求： (1)实数a 的值；(2)矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解 (1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，所以2－2a ＝－4.所以a ＝3. (2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，则矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧λ－2x －3y ＝0，－2x ＋λ－1y ＝0⇒x ＋y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. 当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧λ－2x －3y ＝0，－2x ＋λ－1y ＝0⇒2x －3y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.11．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.因⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.12．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21. (1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14.(2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339. 学生用书第210页第3讲坐标系与曲线的极坐标方程知识梳理1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin_θ. 又可得到关系式：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x. 2．直线的极坐标方程(1)若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．推导如下：如图所示，设直线l 上任意一点为P (ρ，θ)，在△POM 中，由正弦定理，得OPsin ∠OMP＝OMsin ∠OPM.因为∠OMP ＝π－α＋θ0，∠OPM ＝α－θ，所以直线l 的极坐标方程是ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(*) (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程θ＝α(ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线(如图①)； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线(如图②)； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴的直线(如图③)．3．圆的极坐标方程(1)若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.推导如下：如图所示，设圆上任意一点为P (ρ，θ)，在△POM 中，由余弦定理，得PM 2＝OM 2＋OP 2－2OM ·OP cos ∠POM ，故圆的极坐标方程是ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程ρ＝r 表示圆心在极点，半径为r 的圆(如图①)． ρ＝2r cos_θ表示圆心在(r,0)，半径为r 的圆(如图②)； ρ＝2r sin_θ表示圆心在⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆(如图③)．诊断自测1．(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ＝2sin θ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标．解 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. 学生用书第211页A 、B 两点，求线段AB 的长．解法一由ρ＝1，得x 2＋y 2＝1.又ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ.所以x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2y ＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，所以AB ＝ 3.法二由ρ＝1，ρ＝2sin θ，得2sin θ＝1，解得θ＝π6或θ＝56π.所以点A 、B 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，56π.在△AOB 中，OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝23π，故AB ＝ 3.3．(2013·广州广雅中学模拟)在极坐标系中，求圆ρ＝4上的点到直线ρ(cos θ＋3sinθ)＝8的距离的最大值．解把ρ＝4化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝16，把ρ(cos θ＋3sin θ)＝8化为直角坐标方程为x ＋3y －8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d ＝82＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8.考点一直角坐标与极坐标的互化【例1】 (1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标； (2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标(ρ>0,0≤θ <2π)． (3)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)．解 (1)∵x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52，∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52.(2)ρ＝－32＋－12＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33.∵点M 在第三象限，ρ>0， ∴最小正角θ＝7π6.因此，点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6.(3)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点在第四象限，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. 规律方法 (1)极坐标方程与直角坐标方程互化公式：。

5.1.2草图及其画法【教学设计】-2020-2021学年高一通用技术苏教版《技术与设计1》

《草图及其画法》教学设计记录我们的设计灵感。

展示草图案例，激发学生学习草图的兴趣和动力。

习草图的动力。

认真听老师解读学习目标，对整节课形成一个大致的思路。

学生能理解并明白本节课的主要任务，并有认同感与探知欲进行后面的活动容。

帮助学生明确本节课的学习内容和学习目标，让学生更快的投入本节课的学习中。

清楚地知道本节需要达到什么样的掌握程度二、解读学习目标通过设计草图基本绘图练习，能用网格法表达简单物体（靠背椅）的形体特征。

解读学习目标的重点，紧扣任务：基本练习+靠背椅草图表现。

三、学习过程活动活动1.认识草图及草图的分类草图也叫方案草图或设计速写，它能迅速捕捉和记录设计者转瞬即逝的设计灵感，表达设计创意是把设计构思转化为现实图形的有效手段之一。

草图的分类：构思草图：是以具体图形的形式记录和描绘设计者的想法设计草图：是经过整理、选择、修改、和完善的草图，是从构思草图中挑选出来的，可以继续深入、可行的设计方案，通过细节的完善得到的。

（包括三维的透视图，细节结构图，连接方式等，以及色彩的表达）草图及草图的画法是相对比较专业的内容，对草图的整体认知单纯通过学生活动是无法建立起对草图的概念，需要老师结合学生的先期认知，以具体实例为切入让学生整体认知。

从整体上知道草图设计草图在设计中起到表达设计构思，决定产品实物的造型的重要作用。

知道草图是一种快速记录、呈现设计构思的方法，建立起草图要快速但要表达清晰，也要讲求比例、形体。

活动2：徒手绘图的画法及要求展示草图实例；（跟上问题：绘制草图过程中，我们应该注意哪些？帮助学生建立对草图的概念。

）引导学生观察草图案例细节（关注到线条、透视、比例、形体，发现学习需要，产生学习动机）。

线条→直线、曲线透视、形体、比例草图：草→快速，不是乱，线条美观、流畅；图→图纸，大致的比例、形体准确。

草图学习的建议：手绘线段→手绘基本图形→简单草图；线段手绘（帮助学生开始相应的知识获得的学习）（1）演示重点：①运笔放松，一次成型，切忌分小段往返描绘；②过长的线段，分段画；③宁可局部小弯，但求整体大直。

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