备战高考黄金100题解读与扩展系列之不等式专题二 不等式的解法 Word版含解析
专题02 不等式(组)型应用题(原卷版)
决战2020年中考典型压轴题大突破模块一中考压轴题应用题专题考向导航新的《课程标准》指出:“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。
”为了和新的教育理念接轨，各地中考命题都加大了考查应用题的力度.近几年的数学应用题主要有以下特色:涉及的数学知识并不深奥，也不复杂，无需特殊的解题枝巧，涉及的背景材料十分广泛.涉及到社会生产生活的方方面面:再就是题目文字冗长.常令学生抓不住要领，不知如何解题。
解答的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题.将其转化为数学模型。
专题02 不等式( 组)型应用题方法点拨现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定(有时也不需要确定)具体的数值.但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围(趋势)，从而对所要研究问题的面貌有一个比较清楚的认识，本篇中.我们所要讨论的问题大多是要求出某个量的取值范围或极端可能性，它们涉及我们日常生活中的方方面面。
列不等式时要从题意出发，设好未知量之后,用心体会题目所规定的实际情境，从中找出不等关系。
精典例题1．（2019•信阳一模）每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．（1）求甲、乙两种型号设备的价格；（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有哪几种购买方案；（3）在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．【点睛】（1）设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x万元和y万元，根据购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元，列出方程组，然后求解即可；（2）设购买甲型设备m台，乙型设备（10﹣m）台，根据公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，列出不等式，然后求解即可得出购买方案；（3）根据甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月和总产量不低于2040吨，列出不等式，求出m的取值范围，再根据每台的钱数，即可得出最省钱的购买方案．巩固突破1．（2019•达川区）小明家搬了新居要购买新冰箱，小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱．其中，甲冰箱的价格为2100元，日耗电量为1度；乙冰箱是节能型新产品，价格为2220元，日耗电量为0.5度，并且两种冰箱的效果是相同的．老板说甲冰箱可以打折，但是乙冰箱不能打折，请你就价格方面计算说明，甲冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算？（每度电0.5元，两种冰箱的使用寿命均为10年，平均每年使用300天）2．（2019•息县）某文化用品店出售书包和文具盒，书包每个定价50元，文具盒每个定价8元，该店制定了两种优惠方案．方案一：买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款．购买时，顾客只能选用其中的一种方案．某学校为给学生发奖品，需购买10个文具盒，书包若干（大于0且不多于10个）．设书包个数为x（个），付款金额为y（元）．（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式：方案一：y1＝；方案二：y2＝．（2）试分析以上两种方案中哪种更省钱？（3）学校计划用420元购买这两种奖品，最多可以买到多少个书包？3．（2019•无棣）某中学对七年级学生数学学期成绩的评价规定如下：学期评价得分由期中测试成绩（满分150分）和期末测试成绩（满分150分）两部分组成，其中期中测试成绩占30%，期末测试成绩占70%，当学期评价得分大于或等于130分时，该生数学学期成绩评价为优秀．（注：期中、期末成绩分数取整数）（1）小明的期中成绩和期末测试成绩两项得分之和为260分，学期评价得分为132分，则小明期中测试成绩和期末测试成绩各得多少分？（2）某同学期末测试成绩为120分，他的综合评价得分有可能达到优秀吗？为什么？（3）如果一个同学学期评价得分要达到优秀，他的期末测试成绩至少要多少分（结果保留整数）？4．（2019•江阴市校级模拟）小明与小红开展读书比赛．小明找出了一本以前已读完84页的古典名著打算继续往下读，小红上个周末恰好刚买了同一版本的这本名著，不过还没开始读．于是，两人开始了读书比赛．他们利用右表来记录了两人5天的读书进程．例如，第5天结束时，小明还领先小红24页，此时两人所读到位置的页码之和为424．已知两人各自每天所读页数相同．读书天数 1 2 3 4 5页码之差72 60 48 36 24页码之和152 220 424（1）表中空白部分从左到右2个数据依次为，；（2）小明、小红每人每天各读多少页？（2）已知这本名著有488页，问：从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读几页，才能确保第10天结束时还不被小红超过？（答案取整数）5．（2019•道里区校级模拟）为喜迎中华人民共和国成立70周年，博文中学将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，七年级需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买．两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，而且4袋贴纸与3袋小红旗价格相同．（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？（2）如果购买贴纸和小红旗共90袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面，恰好全部分完，请问该校七年级有多少名学生？（3）在（2）条件下，两家文具店的有优惠如下，A文具店：全场商品购物超过800元后，超出800元的部分打八五折；B文具店：相同商品，“买十件赠一件”．请问在哪家文具店购买比较优惠？6．（2019•西湖区校级模拟）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A B月销售件数（件）200 300月总收入（元）3400 3700 假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．（1）求x、y的值；（2）若营业员A某月的总收入不低于3500元，那么营业员A当月至少要卖服装多少件？（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式，如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如采购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元，某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？7．（2019•西湖区校级模拟）某校八年级举行英语演讲比赛，准备用1200元钱（全部用完）购买A，B两种笔记本作为奖品，已知A，B两种每本分别为12元和20元．设购入A种x本．（1）B种购入本（用含x的代数式表示）．（2）若购进A种的数量不少于B种的数量，①求至少购进A种多少本？②根据①的购买，发现B种太多，在费用不变的情况下把一部分B种调换成另一种C，调换后C种的数列多于B种的数量．已知C种每本8元，则调换C种至少有本．（直接写出答案）8．（2019•平房区）某校为了普及推广冰雪活动进校园，准备购进速滑冰鞋和花滑冰鞋用于开展冰上运动，若购进30双速滑冰鞋和20双花滑冰鞋共需8500元；若购进40双速滑冰鞋和10双花滑冰鞋共需8000元．（1）求速滑冰鞋和花滑冰鞋每双购进价格分别为多少元？（2）若该校购进花滑冰鞋的数量比购进速滑冰鞋数量的2倍少10双，且用于购置两种冰鞋的总经费不超过9000元，则该校至多购进速滑冰鞋多少双？9．（2019•龙华区校级模拟）目前节能灯在城市已基本普及，为响应号召，某商场计划用3800元购进甲，乙两种进价分别为25元和45元的节能灯120只．（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？（2）若商场现只能购进甲种节能灯60只，则按计划剩下的钱最多能购进乙种节能灯多少只？10．（2019•南岗区校级模拟）张老板要印制名片x张，有甲乙两个经销商来推销，甲经销商的价格是每份定价3元的名片打八折，但另收900元的制版费，乙经销商的价格是每份名片定价3元不变，但制版费900元打六折．（1）请直接用含x的式子表示甲、乙两个经销商的费用：甲，乙；（2）请你替张老板根据印刷量来选择方案．11．（2019•丹江口市）某小区准备新建60个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建2个地上停车位和3个地下停车位共需1.7万元；新建4个地上停车位和2个地下停车位共需1.4万元．（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？（2）若该小区新建车位的投资金额超过14万元而不超过15万元，问共有几种建造方案？（3）对（2）中的几种建造方案中，哪一种方案的投资最少？并求出最少投资金额．12．（2019•河池一模）随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？13．（2019•华蓥市）星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：进价（元/个）售价（元/个）电饭煲200 250电压锅160 200（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？14．（2019•随县）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）甲乙进价（元/件）14 35售价（元/件）20 43（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．15．（2019•云冈区）青县祥通汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？16．（2019•越秀区）某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg．（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组．（2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来．（3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明）17．（2019•通城）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？18．（2019•莘县）某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个．甲、乙两种零件分别取2个、1个才能配成一套，要在80天内生产最多的成套产品，问：甲、乙两种零件各应生产多少天？19．（2019•梁园区）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润不少于750元，且不超过760元，请你通过计算求出该商场所有的进货方案；（3）在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折按上述优惠条件，若贝贝第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件？20．（2019•义安区）2015年6月5日是第44个“世界环境日”．为保护环境，我市公交公司计划购买A 型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？。
高三数学不等式的解法2
玉妃网 玉妃网
2d视频转3d视频1、将要转换的2D添加到转换器上。可以看到转换器的添加按钮，左上角“添加”按钮，点击，选择，添加。 2、在添加到转换器存放栏上后，就可以在“添加”按钮右边的第二个按钮，看到“3D效果”按钮，直接点击设置后，跳出一个对话框，在进行选择，可以默认状态。 3、单击对话框之后，就可以进到3D效果设置界面上。可以详细看到下面的3D效果设置，有“红/青、红/绿、红/蓝、蓝/黄、交错、并排”等。 4、可以是设置上面的效果，选择“红/青”之后，可以在上面的预览按钮上看到，在前面的是“红色”，在后面的是“青色”，这些就是3D设置的效果。 5、在设置完成之后，就可以看到经过3D效过3D设置的效果提示。想要修改效果设置的，还可以直接点击眼镜，之后在弹出的下列栏上选择其它效果。 6、3D效果设置完成之后，格式转换功能，可以把设置好的3D文件转换成日常常见的格式。 7、选好要转换的格式就可以到转换。单击右下角的“转换”按钮之后。就可以对3D效果和格式进行转换了，转换一会即可完成。
2d视频转3d视频 梨视频怎么删除下载的视频1、手机开机，在手机桌面打开梨； 2、登录进入后，在梨页面，点击我的； 3、在我的页面，点击我的缓存； 4、在我的缓存页面，点击管理； 5、在管理状态下，找到要删除的，点击×； 6、这样下载的就删除成功了。
梨视频怎么删除下载的视频 《一下视频》1、进入界面之后首页为欢迎语，同时有清晰的找朋友标识。在主界面向左滑动会出现找朋友功能，可以自动读取绑定的微博帐号下的关注以及粉丝，快速找到与自己相关的一下好友；向右滑动会出现菜单，包括推荐、附近、我的、消息以及设置等等。 2、在这个版本中我们可以看到在头像的位置做了优化，主界面的大半部分都是个人资料区域。可以快速方便地更换头像好背景。在设置方面，可以绑定腾讯微博、新浪微博，同时新增了非WIFI自动上传开关以及推送提醒设置。一下是一款主打原创与分享的应用，可以将自己身边的新鲜事拍下来上 进行分享，所以拍摄的功能是必须要具备的。 3、一下完整支持前后摄像头，并且可以快速上传。点击首页左下角的“+”号可以弹出拍摄、好友、上传三个按钮，点击拍摄之后会打开相机进行拍摄，在拍摄的时候新增了11中滤镜，可以赋予不同的风格，可以更好地丰富拍摄体验。如果手机上已经有需要上传直接点击第三个按钮即可。新版本的一 频的入口只有这一个地方，笔者觉得似乎缺少了一键拍摄这个功能。 4、一下提供了“推荐”和“附近”两种入口，“推荐”是由系统推荐的，附近则运用LBS技术查找周边的，可以查看附近正在发生的事情。在观看的方式上可以直接在界面点击中间的播放按钮进行观看，还可以点击放大进行全屏观看。一下提供了“推荐”和“附近”两种入口，“推荐”是由系统推荐的，附近则运 术查找周边的，可以查看附近正在发生的事情。在观看的方式上可以直接在界面点击中间的播放按钮进行观看，还可以点击放大进行全屏观看。 5、当然，在观看的同时我们也可以进行评论。在详情的下边或者点击都有评论入口。每一个的左上角有的时间，右上角有的观看人数。可以点击表情图标赋予喜怒哀乐四种不同的表情，增加互动。在观看方面一下做得比较好，页内快速播放很实用。
不等式的解法·典型例题及详细答案
不等式的解法·典型例题及详细答案不等式的解法·典型例题【例1】(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【例2】解下列不等式：【例3】解下列不等式1x5x2)2(;3x1x1+>+-≤-）（【例4】解下列不等式：23不等式·典型例题参考答案【例1】(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况．原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“穿针引线法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．【例2】解下列不等式：解：(1)原不等式等价于用“穿针引线法”∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)．（2）【例3】解下列不等式1x5x2)2(;3x1x1+>+-≤-）（解：(1)原不等式等价于∴原不等式解集为｛x|x≥5｝．(2)原不等式等价于【说明】解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变．45【例4】 解下列不等式：解：(1)原不等式等价于令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为(2)原不等式等价于∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)．【例5】 |x 2-4|＜x+2．解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2．故原不等式解集为(1，3)．这是解含绝对值不等式常用方法．【例6】 解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．解：原不等式等价于(1)当a＞1时，①式等价于②(2)当0＜a＜1时，②等价于③6。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题二 不等式的解法 Word版含解析
I ．题源探究·黄金母题【例1】求不等式24410x x -+>的解集． 【解析】注意到()22441210x x x -+=->，所以原不等式的解集为12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必5第78页例1．【母题评析】本题考查了一元二次不等式的解法．作为基础题，不等式的解法是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】可以借助二次函数的图像解一元二次不等式．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考上海理数】设x R ∈，则不等式13<-x 的解集为__________．【答案】(2,4)．【解析】由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】解绝对值不等式关键是去掉绝对值符号，再进一步求解．本题也可利用平方法．【例3】【2015高考江苏，7】不等式224x x-<的解集为________．【答案】(1,2).-【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).-【命题意图】本题主要考查指数不等式与一元二次不等式的解法． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】解答此类问题，关键在于熟记常见不等式的解法．III ．理论基础·解题原理考点一 一元二次不等式我们把只含有一个未知数并且未知数的最高次项的次数是2的不等式叫做一元二次不等式．当0a >时，（1）若方程20ax bx c ++=的两实根分别为()1212,x x x x <，则不等式2ax bx c ++>的解集为{1x x x <或}2x x x >，不等式20ax bx c ++<的解集为{}12x x x x <<；（2）若方程20ax bx c ++=的两实根分别为122b x x a==-，则不等式20ax bx c ++>的解集为{x x R ∈且2b x a ⎫≠-⎬⎭，不等式20ax bx c ++<的解集为∅； （3）若方程20ax bx c ++=无实数根，则不等式20ax bx c ++>的解集为R ，不等式20ax bx c ++<的解集为∅．考点二 分式不等式（1）()()()()00f x f x g x g x >⇔>；（2）()()()()00f x f x g x g x <⇔<；（3）()()()()()0,00.f x g x f x g x g x ≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩（4）()()()()()0,00.f xg x f x g x g x ≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 考点三 简单的含绝对值不等式（1）()220x a a x a a x a <>⇔<⇔-<<；（2）()220x a a x a x a >>⇔>⇔<-或x a >；（3）()0x m a a a x m a m a x m a -<>⇔-<-<⇔-<<+；（4）()0x m a a x m a ->>⇔-<-或x m a ->x m a ⇔<-或x m a >+． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏易，考查一元二次不等式、简单的分式不等式、简单的绝对值不等式的解法．【技能方法】（1）利用一元二次方程和二次函数的图像是解一元二次不等式的根； （2）分式不等式的解法——化为整式不等式求解；（3）解含绝对值的不等式，去绝对值符号有下列三种常用方法： ①定义法（又称零点分段法）：,0,,0.x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩②公式法：()0x a a a x a <>⇔-<<；()0x a a x a >>⇔<-或x a >． ③平方法：()220x a a x a <>⇔<；()220x a a x a >>⇔>．解形如(),0ax b c ax b c c +≤+≥>的不等式，只需将“ax b +”看成一个整体，即可化成(),0x c x c c ≤≥>型不等式求解．【易错指导】（1）对一些表现形式上是一元二次不等式的问题，不要忽视其中的二次项的系数有可能为零的情况，这时可能是一元一次不等式，可能一次项系数也是零，要充分考虑这些可能性．（2）分式不等式化为整式不等式时，应注意原不等式中的分母不为零这一条件． （3）含绝对值的不等式去绝对值符号时易犯未判断绝对值里面式子的正负而直接去绝对值符号的错误．在解含绝对值的不等式的变形过程中，应当保证是“同解”变形． V ．举一反三·触类旁通考向1 一元二次不等式的解法【例4】【2016全国大联考2课标I 卷】设集合{}260,A x x x x =--<∈R ，{}||3,B y y x x A ==-∈，则A B等于（ ）A ．{}03x x << B ．{}10x x -<< C ．{}20x x -<< D ．{}33x x -<<【答案】C【名师点睛】（1）若方程20ax bx c ++=的两实根分别为()1212,x x x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为{1x x x <或}2x x x >，不等式20ax bx c ++<的解集为{}12x x xx <<；（2）若方程20ax bx c ++=的两实根分别为122b x x a==-，则不等式20ax bx c ++>的解集为{x x R ∈且2b x a ⎫≠-⎬⎭，不等式20ax bx c ++<的解集为∅； （3）若方程20ax bx c ++=无实数根，则不等式20ax bx c ++>的解集为R ，不等式20ax bx c ++<的解集为∅．【跟踪练习】【2016河北三市联考】若集合{}2320A x x x =+->，集合{}1B x x =<，则AB =（ ）A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1- 【答案】C ．【解析】由已知可得()()()1,3,,1,1,1A B A B =-=-∞-∴=-．考向2 简单分式不等式的解法【例5】【2016押题卷1山东卷】已知全集为R ，且集合{}22log (1)2,0,1x A x x B x x -⎧⎫=+<=≥⎨⎬-⎩⎭则)(B C A R 等于（ ）A ．)1,1(-B ．]1,1(-C ．)2,1[D ．]2,1[ 【答案】C【解析】由题意知}31|{<<-=x x A ，1|{<=x x B 或}2≥x ，∴}21|{<≤=x x B C R ，∴)(B C A R }21|{<≤=x x ．【名师点睛】先将分式不等式右边化零，化为以下四种类型之一再等价转化为整式不等式求解：（1）()()()()00f x f x g x g x >⇔>；（2）()()()()00f x f x g x g x <⇔<；（3）()()()()()0,00.f x g x f x g x g x ≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩（4）()()()()()0,00.f xg x f x g x g x ≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 【跟踪训练】不等式212≥++x x 的解集是 ．考向3 简单的绝对值不等式的解法【例6】【2016山东实验中学打靶测试】关于x 的不等式125x x ++->的解集为 （ ）A ．(3,)+∞B ．(,2)-∞-C ．(,2)(3,)-∞-+∞D ．(,2][3,)-∞-+∞【答案】C【解析】211212521512535x x x x x x x ><--≤≤⎧⎧⎧++->⇒⎨⎨⎨->->>⎩⎩⎩或或，解得32x x ><-或，即解集为(,2)(3,)-∞-+∞，选C ．【方法归纳】这种绝对值不等式可以用零点分段法．去绝对值符号有下列三种常用方法： ①定义法（又称零点分段法）：,0,,0.x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩②公式法：()0x a a a x a <>⇔-<<；()0x a a x a >>⇔<-或x a >． ③平方法：()220x a a x a <>⇔<；()220x a a x a >>⇔>．【跟踪训练1】【2016全国大联考1山东卷】若不等式|2|x a b +<的解集为{}|14x x <<，则ab 等于————．【答案】15-．【解析】显然，当0b ≤时，不合题意，当0b >时，由|2|x a b +<可得2b x a b -<+<，所以22b a b a x ---<<，因此1242b ab a --⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得53a b =-⎧⎨=⎩，故15ab =-． 【跟踪训练2】【2016辽宁大连八中、二十四中联考】已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，当0≤x 时，x x x f 2)(2+=，那么，不等式3)2(<+x f 的解集是 ．【答案】{}15<<-x x 【解析】考向4 简单的指数不等式、对数不等式的解法【例7】【2015-2016学年吉林长春十一中高一上学期期中】不等式221250.30.3x x x x++-+>的解集为 ．【答案】⎪⎭⎫⎝⎛1,31．【解析】由于13.00<<，x x x x 52122+-<++∴，整理得01432<+-x x ，解得131<<x ，因此解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31． 【名师点睛】简单的指数不等式（对数不等式）可以利用指数函数（对数函数）的单调性求解．（1）当1a >时，()()()()()()()(),log log 0f x g x a a aaf xg x f x g x f x g x >⇔>>⇔>>；（2）当01a <<时，()()()()()()()(),log log 0f x g x a a aaf xg x f x g x f x g x >⇔<>⇔<<．【跟踪训练1】【2016年河南八校高三联考】若不等式()0()f x x R ≤∈的解集为[]1,2-，则不等式(lg )0f x >的解集为__________．【答案】110xx x ⎧⎫<<>⎨⎬⎩⎭|0或100【跟踪训练2】【2016押题卷1山东卷】函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f 且)(x f 在R 上的导数)('x f 满足03)('>-x f ，则不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为 ．【答案】)3,0(．。
高中不等式的解法全集
1、一元二次不等式的解法
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
2、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.
3、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
4、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
5、指数不等式的解法：
规律：根据指数函数的性质转化.
6、对数不等式的解法
规律：根据对数函数的性质转化.
7、含绝对值不等式的解法：
⑶同解变形法，其同解定理有：
规律：关键是去掉绝对值的符号.
8、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
9、含参数的不等式的解法
10、恒成立问题
.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》技巧及练习题附答案
新高中数学《不等式》专题解析一、选择题1．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122b a z =-+进行平移，找到截距的最大值．2．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80C ．90D ．120【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y =-+，即322zy x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.4．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；②若正整数m 和n 满足m n ≤2n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】 【分析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得()22m n m nm n m +--≤=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.5．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5B 45C 5D 25【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．7．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y --的最小值为（ ）A 85B ．8C 165D ．163【答案】D 【解析】 【分析】222424512x y x y ----=+222412x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】因为222424512x y x y ----=+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线240x y --=5点44(,)33A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时224424333512d -⨯-==+， 所以24x y --1653d =. 故选：D. 【点睛】本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.8．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（ ）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．11．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ． 6D ．3【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ()122152522333n m m n ⎛⎫≥+⨯=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.12．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即AF BF AB +≤，所以MN AB ≤，故选B ．考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．13．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ）A ．B ．(4,C ．4+D ．(4+【答案】C 【解析】 【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A =-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.14．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.15．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D 【解析】 【分析】2()sin (2)sin 2mf x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =. 故选：D 【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ）A．2⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．[)1,+∞ C．)+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：()0,1F ，设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，M Q 为线段AB 的中点，12022x x x k +∴==， M Q 在直线l 上，200121y kx k ∴=+=+，20021122OMy k k k x k k +∴===+≥=k =时取等号）， 即直线OM斜率的取值范围为)+∞. 故选：C . 【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.17．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.18．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ） A ．log 3log 3a b > B ．336a b +> C ．133ab a b ++> D ．b a a b >【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立. 【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>，1ab >，所以23323323236a b a b a b ab++>=>>，综上选B. 【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.19．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-【答案】C【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.20．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】C 【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.。
高考不等式的解法
学生: 教师:班主任:日期: 2012、时段:课题高考不等式的解法教学目标1.熟悉并掌握不等式问题的几种类型2.分析不等式问题，属于具体哪类3．不等式问题的转化思想4.多种方法之间的选择重难点透视1.不等式问题的转化思维2.恒成立问题的转化3.扎实的基本知识知识点剖析序号知识点预计时间掌握情况12345教学内容名思教育个性化辅导教案知识点梳理：不等式的解法汇总：解分式不等式如a )x (g )x (f ≥时，应注意，在不知分母的正负时，不能去分母而应移项，通分解含有绝对值符号的不等式，要注意区别以下不同情况：①)x (g )x (f )x (g )x (g )x (f ;)x (或g )x (g )x (f )x (g )x (f <<-⇔<<≥>⇔>00②[][];)x (g )x (f )x (g )x (f 22<⇔<③)x (h )x (g )x (f <+，用零点分段法，分类讨论求解。
12.不等式成立问题类型汇总：（1）恒成立问题：若不等式A )x (f >在区间D 上恒成立，则等价于函数)x (f 在区间D 上的最小值（或下确界）大于A 。
若不等式B )x (f <在区间D 上恒成立，则等价于函数)x (f 在区间D 上的最大值（或上确界）大于B 。
【例1】（20XX 年，湖北卷，理，文）已知向量),t ,x (b ),x ,x (a -=+=112若函数b a )x (f ⋅=在区间 （－1，1）上是增函数，求t 的取值范围。
解析：依定义,t tx x x )x (t )x (x )x (f +++-=++-=23211 则.t x x )x ('f ++-=232)x (f 在区间（－1，1）上是增函数等价于0>)x ('f 在区间（－1，1）上恒成立；设),(x ,x x )x (g 11232-∈-=进而t>g(x)在区间（－1，1）上恒成立等价于t ≥g max (x),x ∈（－1，1）考虑到g(x)=3x 2－2x,x ∈（－1，1）在⎪⎭⎫ ⎝⎛-311，上是减函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛131，上是增函数，则g max (x)=g(－1)=5. 于是，t 的取值范围是t ≥5. （2）能成立问题即有解问题：若在区间D 上存在实数x 使不等式)x (f >A 成立，即)x (f >A 在区间D 上能成立，则等价于函数)x (f 在区间D 上的最大值（或上确界）大于A 。
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
高考数学试题与解析-不等式及其解法专题检测题与解析
专题二不等式2.1不等式及其解法一、选择题1.(2022届河南期中,3)已知a,b,c,d∈R,则下列命题中,正确的是()A.若a4>b4,则a>bB.若>,则a>bC.若a>b,c>d,则ac>bdD.若2<2,则a<b答案D对于A,当a=-2,b=1时,满足a4>b4,但a<b,所以A错误;对于B,当c<0,a<b<0时,满足>,但不满足a>b,所以B错误;对于C,若a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,满足a>b,c>d,而此时ac=3<bd=8,所以C错误;对于D, 2<2,c2>0,所以a<b,所以D正确.故选D.2.(2022届兰州西北师大附中期中,6)若b<a<0,给出下列不等式:①1r<1B;②|a|+b>0;③a-1>b-1;④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④答案C因为b<a<0,所以a+b<0,ab>0,所以1r<1B,所以①正确;当b=-4,a=-2时,满足b<a<0,此时|a|+b<0,所以②不正确;由a-1-1+由b<a<0,可得a-b>0,ab>0,所以(a-b)1+所以a-1>b-1,所以③正确;由b<a<0,可得a2<b2,所以ln a2<ln b2,所以④不正确.故选C.3.(2021四川绵阳诊断,11)已知正实数x,y满足ln>lg,则()A.ln x>ln(y+1)B.ln(x+1)<lg yC.3x<2y-1D.2x-y>1答案D因为正实数x,y满足ln>lg,所以ln x-ln y>lg y-lg x,所以ln x+lg x>ln y+lg y,因为函数f(x)=ln x+lg x在(0,+∞)上单调递增,所以x>y.对于A,取x=4,y=3,此时ln x=ln(y+1),故A错误;对于B,取x=2,y=1,此时ln(x+1)>lg y,故B错误;对于C,取x=3,y=2,此时3x>2y-1,故C错误;对于D,因为x>y,所以2x-y>20=1,故D正确.故选D.4.(2022届湖北襄阳五中10月月考,6)已知x,y是正数,且x+2y=1,下列叙述正确的是()A.x+y的最大值为1B.x2+y2的最大值为1C.(x+y)y的最大值为14D.r22B的最小值为4答案D由>0,>0,+2=1得0<<1,0<<12.对于A,x+y=1-2y+y=1-y,∵0<y<12,∴12<x+y<1,不存在最大值,A中叙述错误;对于B,x2+y2=(1-2y)2+y2=5y2-4y+1,∵0<y<12,∴15<x2+y2<1,不存在最大值,B中叙述错误;对于C,(x+y)y=(1-y)y=-y2+y,∵0<y<12,∴0<(x+y)y<14,不存在最大值,C中叙述错误;对于D,r22B=12+1=+(x+2y)=2+2+2≥2+2当且仅当2=2,即x=12,y=14时取等号,∴r22B的最小值为4,D中叙述正确.故选D.x,x≥1,<1,则不等式f(x)≤1的解集为()5.(2022届长春重点高中月考一,8)已知函数2A.(-∞,2]B.(-∞,0]∪(1,2]C.[0,2]D.(-∞,0]∪[1,2]答案D当x≥1时,log2x≤1=log22,可得x≤2,所以1≤x≤2;当x<1时,11-≤1,即1-≤0,解得x≤0或x>1,所以x≤0.综上所述,不等式f(x)≤1的解集为(-∞,0]∪[1,2],故选D.6.(2020陕西汉中二模,12)对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使得不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是()B.[2,8]C.[2,8)D.[2,7]答案C因为4[x]2-36[x]+45<0,所以32<[x]<152,所以2≤x<8,故选C.7.(2021安徽名校期末,4)已知使不等式x2+(a+1)x+a≤0成立的任意一个x,都满足不等式3x-1≤0,则实数a的取值范围为()A.-13,B.-13∞C.-∞D.-∞答案B解3x-1≤0,得x≤13,故解集为-∞由不等式x2+(a+1)x+a≤0,得(x+1)(x+a)≤0,因为使不等式x2+(a+1)x+a≤0成立的任意一个x,都满足不等式3x-1≤0,所以若a=1,则不等式(x+1)(x+a)≤0的解集为{-1},满足{-1}⊆-∞符合题意;若a<1,则不等式(x+1)(x+a)≤0的解集为[-1,-a],则[-1,-a]⊆-∞所以-a≤13,解得-13≤a<1;若a>1,则不等式(x+1)(x+a)≤0的解集为[-a,-1],则[-a,-1]⊆-∞所以a>1.综上知,实数a的取值范围是-13,+∞.故选B.8.(2022届贵阳一中10月月考,12)已知函数f(x)=2ln(+1),>0,-2+4x,x≤0,若|f(x)|≥ax对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0]B.[-4,0]C.[-2,0]D.(-∞,1]答案B画出y=|f(x)|的大致图象,如图.由图可知,当a>0时,不符合题意.当a=0时,|f(x)|≥ax恒成立,符合题意.当a<0时,当直线y=ax与曲线y=x2-4x(x≤0)相切时,a有最小值,联立=2-4x,=B,得x2-(4+a)x=0,Δ=(4+a)2=0,解得a=-4,所以-4≤a≤0.故选B.9.(2020海南天一大联考一,11)已知a>1,若存在x∈[1,+∞),使不等式3xln a<(x+1)·ln a a成立,则a的取值范围是()A.(1,+∞)+∞+∞ D.(2,+∞)答案C因为a>1,所以3xln a<(x+1)·ln a a⇔3xln a<a(x+1)ln a⇔3x<a(x+1)⇔a>3r1.因为存在x∈[1,+∞),使不等式3xln a<(x+1)ln a a成立,所以,又y=3r1=3-3r1在区间[1,+∞)上单调递增,=3-=32,所以a>32,故选C.10.(2022届湖南联考,9)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是()A.(-1,0)B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)答案C因为对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,由1=2,解得a=2.又因为函数f(x)的图象开口向下,所以函数f(x)在[-1,1]上单调递增,而f(x)>0恒成立,所以=f(-1)=b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.故选C.f(x)min11.(2022届江西上饶月考,9)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是()A.[-2,-1)∪(3,4]B.(-2,-1)∪(3,4)C.(3,4]D.(3,4)答案A x2-(a+1)x+a<0即(x-1)(x-a)<0,当a>1时,解得1<x<a;当a<1时,解得a<x<1.∵不等式的解集中恰有两个整数,∴3<a≤4或-2≤a<-1,∴a的取值范围是[-2,-1)∪(3,4].故选A.12.(2021东北三省模拟,7)关于x的不等式ax-b>0的解集是(-1,+∞),则关于x的不等式(bx+a)(x-3)>0的解集是()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)答案C∵关于x的不等式ax-b>0,即ax>b的解集是(-1,+∞),∴=-1,且a>0,即a=-b>0.则关于x的不等式(bx+a)(x-3)>0,即(-ax+a)(x-3)>0,也即a(x-1)(x-3)<0,解得1<x<3.故选C. 13.(2021新疆第二次适应性检测,3)若关于x的不等式cost2>0的解集为(-2,3),则mn=()A.5B.-5C.6D.-6答案C因为cos x-2<0,cost22-mx-n>0的解集为(-2,3),所以x2-mx-n<0的解集为(-2,3),故-2+3=m,-2×3=-n,所以m=1,n=6,则mn=6.故选C.14.(多选题)下列说法正确的是()A.不等式2x2-x-1>0的解集是{x|x>2或x<1}B.不等式-6x2-x+2≤0的解集是≤-23或x≥C.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7<x<-1},则a的值是3D.若关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为-1答案BCD对于A,∵2x2-x-1=(2x+1)(x-1),∴由2x2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-12,∴不等式的解集为>1或<故A错误;对于B,∵-6x2-x+2≤0,∴6x2+x-2≥0,∴(2x-1)(3x+2)≥0,∴x≥12或x≤-23.∴不等式的解集为Ux≥12或x≤故B正确;对于C,由题意可知-7和-1是关于x的方程ax2+8ax+21=0的两个根.∴-7×(-1)=21,∴a=3.故C正确;对于D,依题意知q,1是方程x2+px-2=0的两根,则q+1=-p,即p+q=-1,故D正确.15.(2020山东德州期中,11)对于实数a,b,c,下列命题中正确的是()A.若a>b,则ac<bcB.若a<b<0,则a2>ab>b2C.若c>a>b>0,则t>t D.若a>b,1>1,则a>0,b<0答案BCD对于A,当c>0时,由a>b,可得ac>bc,故A不正确;对于B,a2-ab=a(a-b),∵a<b,∴a-b<0,又a<0,∴a(a-b)>0,∴a2>ab.ab-b2=b(a-b),∵a<b,∴a-b<0,又b<0,∴b(a-b)>0,∴ab-b2>0,∴a2>ab>b2,故B正确;对于C,∵c>a>b>0,∴c-a>0,c-b>0,且c-b>c-a,∴1t>1t,又∵a>b>0,∴t>t,故C正确;对于D,∵a>b,∴a-b>0,又∵1-1>0,∴t B>0,又b-a<0,∴ab<0,即a,b异号,又∵a>b,∴a>0,b<0,故D正确,故选BCD.16.(多选)(2022届重庆巴蜀中学月考一,9)已知实数a,b,c满足a>b>0>c,则下列不等式中一定正确的有()A.a c>b cB.>C.ac2>bc2D.+≤-2BCD对于选项A:f(x)=x c(c<0)在(0,+∞)上是减函数,所以a c<b c,A错误;对于选项⇒>,B正确;对于选项C:a>b>0,c2>0⇒ac2>bc2,C正确;对选项D:+=--当且仅当a=-c时等号成立),D正确.故选BCD.二、填空题17.(2022届上海二模,7)不等式2t r>0的解集为M,且2∉M,则实数a的取值范围是.答案(-∞,-2]∪[4,+∞)解析由题意可知,4-2+≤0或2+a=0,解得a≥4或a≤-2.18.(2021河南新乡一模,16)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,当x≥0时,f(x)=x2.若不等式14f(ax2)+f(3-x)≥0对任意x∈R恒成立,则实数a的最小值为.答案16解析由已知得f(x)=2,x≥0,-(B)2,xy<0=f(xy),所以不-2,x所以f(x)f(y)=22,xy≥0,-2<0=(B)2,xy≥0,14f(ax2)+f(3-x)≥0可化为2)+f(3-x)≥0,即2≥f(x-3).因为f(x)是R上的增函数,12ax2≥x-3,即ax2-2x+6≥0对任意x∈R恒成立,当a=0时显然不满足-2x+6≥0对任意x∈R恒成立,所以>0,=4-24≤0,即a≥16.19.(2021河南部分重点高中联考,15)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=-+e-2x-1,则不等式f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0的解集为.答案-∞解析易知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,因为函数f(x)为奇函数,所以函数f(x)在R上为减函数,不等式f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0可化为f(2x2-10x)<f(-x2+6x+12),所以2x2-10x>-x2+6x+12,即3x2-16x-12>0,解得x∈-∞20.(2022届通州期中,12)不等式-x2+x+42>0的解集为.答案(-6,7)解析由-x2+x+42>0得x2-x-42<0,即(x-7)(x+6)<0,解得-6<x<7.21.(2022届北京一零一中学统考二,12)若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x 2-x1=15,则a的值为.答案52解析由题意,x1,x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的两个实数根,所以Δ=4a2+32a2=36a2>0,且x1+x2=2a,x1x2=-8a2.因为x2-x1=15,所以152=(1+2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2,所以a2=254.又a>0,所以a=52.22.(2022届北京九中10月月考,12)命题“∀x∈R,使得关于x的不等式mx2+mx+1≥0”是真命题,则m的取值范围是.答案[0,4]解析当m=0时,1≥0恒成立,满足题意;当m≠0时,则>0,2-4m≤0,解得0<m≤4,综上可得0≤m≤4,即m∈[0,4].23.(2022届清北学堂全国高中数学联赛,1)已知关于x的不等式(x-1)2>ax2有且仅有三个整数解,则实数a 的取值范围是.答案解析由已知得a>0,因为x=0是不等式的一个解,x=1不是不等式的解,所以不等式的三个整数解只能是-2,-1,0.不等式(x-1)2>ax2化为(a-1)x2+2x-1<0.设f(x)=(a-1)x2+2x-1,则依题意得f(x)=0的两根满足-3≤x1<-2,0<x2≤1,所以o-3)=9(t1)-7≥0,o-2)=4(t1)-5<0,且o0)=-1<0,o1)=(t1)+1≥0,169≤a<94,所以a24.(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为.答案解析3x2+x-2<0⇔(x+1)(3x-2)<0,所以-1<x<23.。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解2---不等式的解法
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解不等式的解法【考纲要求】1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图，3.掌握一次不等式、分式不等式、高次、指对不等式等的解法，4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
【知识网络】一元二次不等式解法不等式的解法一次、分式、高次、指对等不等式函数不等式解法【考点梳理】要点一、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2+bx+c>0 (或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)，图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解.而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标.求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集.设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅要点诠释：一元二次不等式的步骤：（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：2A ax bx c =++(0)a >（2）计算判别式∆，分析不等式的解的情况：①0∆>时，求根12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）写出解集.要点二、高次不等式的解法高次不等式：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-xn)>0（其中x1, x2, ……,xn 是互不相等的实常数）叫做一元n 次不等式(n ∈N).要点诠释：作出相应函数的图象草图.具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x 轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x 轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）.然后根据图象草图，写出满足不等式的解集.要点三、无理不等式的解法无理不等式:如果函数f(x)是关于x 的无理式，那么f(x)>0或f(x)<0，叫做无理不等式.要点诠释：(1))(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(x g x f x g x f ⇔⎩⎨⎧>≥)()(0)(x g x f x g(2))(x f >g(x) ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f 或 ⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f ⇔⎩⎨⎧>≥)()(0)(2x g x f x g 或⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f (3))(x f <g(x) ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f 要点四、指对不等式的解法解法指导：化超越不等式为代数不等式，依据是指数函数和对数函数的单调性. 要点诠释：(1))()(x g x f a a >(a>0,a ≠1).当0<a<1时，f(x)<g(x); 当a>1时，f(x)>g(x). (2)m ·(a x )2+n ·(a x )+k>0.令a x =t(t>0)，转化为mt 2+nt+k>0，先求t 的取值范围，再确定x 的集合.(3)log a f(x)>log a g(x) (a>0, a ≠1).当0<a<1时，⎩⎨⎧<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<>>)()(0)()()(0)(0)(x g x f x f x g x f x g x f当a>1时，⎩⎨⎧>>⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>>)()(0)()()(0)(0)(x g x f x g x g x f x g x f(4) 0)(log ))((log 2>+⋅+⋅k x f n x f m a a .令log a f(x)=t(t ∈R)，转化为mt 2+nt+k>0，先求t 的取值范围，再确定x 的集合.【典型例题】类型一：一元二次不等式例1. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集。
不等式的解法高中数学
不等式的解法高中数学高中数学：不等式与不等式组的解法1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。
例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△<0，其解集为R②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)m2+4m-12<0(2)解：由①得m<-5或m>1由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)4.分式不等式的解法任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).故原不等式的解集为(-1，43).5.含有绝对值不等式的解法去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。
不等式的解法及二次函数二次不等式二次方程
不等式的解法及二次函数二次不等式二次方程一．不等式的解 知识小结1、 一元二次不等式：只含有一个未知数。
并且未知数的最高次数是二次的不等式叫一元二次不等式。
要求学生举5个例子。
2、 闭区间：集合}{b x a x ≤≤叫做闭区间，记为[a,b ]。
注意：隐含条件a <b 。
3、 开区间：集合}{b x a x <<叫做开区间，记为（a,b ）。
注意：隐含条件a <b 。
4、 半开半闭区间：集合}{b x a x <≤或}{b x a x ≤<叫做半开半闭区间，记为[a,b ]或（a,b ）。
注意：隐含条件a <b 。
5、 区间的端点：在上述所有区间中，a,b 叫做端点。
6、 实数集R 及b x b x a x a x ≤<>≥,,,用区间表示：),(),,[),,(+∞+∞+∞-∞a a ， ),(],,(b b -∞-∞，∞+读作正无穷大，∞-读作负无穷大。
它们是一个理想的数，不是一个具体的数，∞+比你想的大还要大，∞-比你想的小还要小。
7、)0(02>>++a c bx ax 、或)0(02><++a c bx ax 的解法：例1 例1（一元二次不等式与一元二次方程的关系）求不等式2x 2-3x-2>0的解集。
解： 因为不等式2x 2-3x-2>0相应的一元二次方程的根的判别式Δ>O ，方程2x 2-3x-2＝0的两个根是2,2121=-=x x 所以不等式的解集为),2()21,(+∞--∞ 。
小结：解不等式步骤：10检验二次项系数是否为正；20判断一元二次方程的判别式是否>0,<0,=0；30解出一元二次方程的根；40写出一元二次不等式的解集（用集合或区间表示）。
8、)0(02<>++a c bx ax 、或)0(02<<++a c bx ax 的解法：前面，我们只考虑一元二次不等式的二次项系数a>0的情况，当a<O 时，可在不等式的两边同乘以一l ，使二次项系数为正，就可同样求解． 例2 求不等式-3x 2+x+1>0的解集． 解 将原不等式化为3x 2-x-1<0， 因为方程3x 2-x-1＝0的两根是6131,613121+=-=x x , 所以原不等式的解集为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6131,6131例3 写出一个一元二次不等式，使它的解集（-1，3）。
高三数学不等式的解法2
4、设不等式：
(m
1) x 2
x2 3x 4 2(m 1)x
2m
3
0
对一切实数x恒成立，求实数m的 取值范围。
5、设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840平方厘米，画面的宽与高之比为 a(a>1),画面的上下各留8厘米的空白， 左右各留5厘米空白，怎样确定画面高 与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积
；
用主义和技术主义难以理解的。罗尔斯顿使用的是一种突破人类边界 的“大地伦理” 它不再以人类利益和价值观为尺度，不再考虑人类得失，不再引入争议和谈判，甚至不再运用据和知识，或者说，它认为荒野乃上帝之物，有着天经地义的神性价值和自在意义。 爱德华·阿贝说： “你可以认为地球是为你和你的快乐准备的，但若连沙漠也是你的，它为何只备很少的一点水？”人们常悲愤地究问为何一些王朝和古堡在沙漠里悄然蒸发了？其实真相并不神秘，只需请教一下那些土著比如胡杨树和骆驼刺即可。像人这样大消耗量的种群，之于资源匮乏的沙漠，本身即 负重超载，沙漠并不支持其大额存在。任何部族的消亡都死于自身的迷途和误入，无论它怎样一度兴旺，也只是错觉，它已透支了未来。 在这个世界上，有些资源并非供人消费的，也无须人类命名和确认。像日月星辰一样，它们有自在的意义、目标和使命。人最恰当的态度，就是以远 眺的方式保持敬畏和憧憬，而人唯一获得的，就是一片原始圣地在内心激起的美好情愫和宗教暖意。 8 按有限消费与合理需求的原则，人类的“拓荒时代”早该结束了，早该进入“护荒时代”和“崇荒时代” 以捍卫自然成就为自身成就的时代。 我们晚了吗？ 是的，有点。 因为我们 不仅超额完成了“拓荒”，还干起了“灭荒”的勾当。 看看这个时代吧，我们已不仅将荒野放逐天涯即收手，而是赶尽杀绝，欲将整个地球包括大气层都变成沸腾的“人间”。也许我们并不想如此，但事实上正不折不扣这么干。有探险者在沙漠中遇难了，我们在其倒下的地方竖一块碑， 刻几行字，既表彰人类的勇敢，也算替同胞复仇在我看来，这碑和一只乱扔的饮料瓶没区别，它们都侮辱并杀死了荒野的纯度。 眼皮底下，我们如火如荼的文明和蓝图，几乎消灭了所有的乡野。 而在远方，我们的征服欲、好奇心、成就感，正让荒野奄奄一息。 如果一个国家毁灭了其 98%的天然荒野，却还在打余下的2%的主意、在想这点荒野是否太多余了的话，那这个国家的价值观真是发疯了。（霍尔姆斯·罗尔斯顿） 有组不伦不类的词，叫“征程”“进军”“开拓”，除誓师大会，每次朝未知领域的出发，都会像挥斧一样舞动这些词。人类语境中，它们似乎永远 高尚，代表着正义的擒获、真理的探取，但就是这些词，却暗含杀气腾腾的掳掠意味。 我们所有行动的出发点，皆在于把自己当成了地球唯一的合法业主，事实上，这正是人类怒斥的王道威权和纳粹主义。从大自然系统中抽身出来，封许自己至上的生存特权，这是人类最沉重的精神堕 落。文明的悲剧，即始于此。 我们现在所干的一切，我们的挥霍水准，差不多是以1000个地球为假设库存和消耗前提的，但事实是：只有一个地球！ 9 再过几十或上百年，纯粹的大自然成就还有吗？ 若地球只剩下人类的成就，只剩下人类自己生儿育女，那一定是最卑劣的成就、最丑 陋的儿女。 我们不想牺牲天然的多样性以换取有序，不想以牺牲精彩的自然历史来换取系统性。我们要的是带有偶然性的恒常性。野性似乎有显得混乱，从而影响自然历史成就的危险，但这最后的荒野，恰恰增强了自然历史的成就，并给新的成就加上了一种兴奋。（霍尔姆斯·罗尔斯 顿） 说人类意识不到危机，是不公平的，但危机之下，那些僵持的谈判与激烈争吵又显得不可理喻。争吵的原因，不外乎地区私欲和政治博弈，不外乎资源的控制与瓜分、责任的推卸与转嫁。这些年来，从围绕《京都议定书》的种种扯皮到“哥本哈根大会”面红耳赤的厮咬，都让人类 的西装领带和所谓的“文明”蒙羞。 面对巨量的物种消逝，埃利希夫妇曾哀泣：“地球是一艘由人类驾驶的飞船，物种是这艘船上的铆钉，使物种灭绝，犹如恶毒地把铆钉敲掉。”虽然我不同意“人类驾驶”之喻（我认为是上帝驾驶或无人驾驶），但地球万物搭乘唯一的“生存共同体 ” 和“命运共同体”，则是事实。不同的洲际、民族、国家，也许分处不同舱室和床位，但船只有一艘，前途只有一个，任何只顾舱位不顾船体的私欲，都是愚蠢而可悲的。 20年前，《自然的终结》一书的作者写道 “如果有人对我说，2010年世界将发生极其不幸的事，我会在表面上显示 关切，而潜意识里把它撂到一边。” 10 惠特曼说：“每当我遇到极为悲痛和苦恼的事，总是等到夜晚，走到户外星空下，以求得无声的满足。” 而星空，正是天上的荒野。 我常觉得，世人的烦忧，也许在于太倚重“人间逻辑”、太在意文明和习俗编撰的游戏程序，太迷信那些鼓吹价 值观和伦理观的生活小册子了，所谓成败、正反、得失、荣辱、功过是非、幸与不幸我理解川端康成的那句话：“如果一朵花很美，那么，我就有理由活下去。”我觉得这是跳出了“人间”“世事”框架的彻悟，他突然意识到了生命的另一身份：花朵身份，生物身份。他意识到了自己的 “小”，和草木鸟兽一样的小小的自然身份。正是这种触地接壤、和泥土交融的感觉，让灵魂如释重负，不用在如风世事中荡秋千了。 我凝视过一些古老的树。我早年念书的地方山东曲阜有2500年前的柏树，每次用掌心去抚触沧桑的树皮，感受其体温，揣摩其内部的年轮，我都隐隐动 容。想想看吧，这样一棵树，它足以看着人类从幼儿到成年，从摇摇晃晃的学步到傲慢的航天发射无数的时空，全部的文明，所谓博大精深的事物，都在一棵树的眼皮底下发生，犹如荒野中一群直立动物的玩耍。就像折子戏，你方唱罢我登场，再重大的历史，在一棵树眼里，也和一群顽 童玩狗尾巴草无二每想到这儿，我即觉得体内悄悄发生着变化，有一种倏醒、激活和畅通的感觉，古代、现在、未来阻断的线路突然接上了，某种电流正驶过你，离生命和时空的真相越来越近，不用多余的言说，不用表达你的获得，而你明明获得了。 11 很多时候，“野地”能提供生命 的另种向度、一种超越时空和经验的能量，那是一个清静而安详的空间，和亿万年前没大区别，越往深处体味它，它对你的滋养和浸润越浓，那种古老和原始给你的震惊越大当重返“人间”时，一个人的肉体和精神往往焕然一新。 1792年7月2日，黑格尔在给女友的信中说：“我时常逃 向大自然的怀抱，以便在这儿能使我跟别人分离开来，从而在大自然庇护下，不受他们的影响，破除同他们的联系。” 黑格尔投奔的，无疑是“乡野”。 想想那样一幅画吧：在虫鸣草寂、树叶飒飒的空旷中，生命的原初感、清晨感、婴儿感骤然睁眼，尘嚣被远远抛开，个体的宁静、精 神的自由、灵魂的纯真与谦卑重新回归人体。无论沐浴感官，还是唤醒脑力，野地都是高能量的磁场。 想一想这些，或许，我们会对世界更加热爱，对生活更加眷恋，会打消各种愤懑、狂妄、诅咒、绝望或自杀的念头罢。 想一想这些，我们会对宇宙有更神性的理解，内心会进驻更多的 光，会更好地理解时空、社会、文明、信仰、矛盾，从而更好地设计和安置个体的人生，伟大而渺小、珍贵而卑微的一生。 缪尔说：“走向外界，我发现，其实是走向内心。” 2009年9月初稿 2009年12月，“哥本哈根气候大会”闭幕日改定 你被逼成你的对立面 ? 这是个处处栏杆的时 代。 所谓奋斗，即跨栏。像袋鼠那样，像刘翔那样。 国人有理由、有实力成为障碍跑赛的世界第一。 你想两耳不闻窗外事、蔽帽遮颜成一阁，想得美。你不折腾，世界来折腾你。打个比方，你说一见数字就头疼，不理财不炒股不听政，好，利率天天跌，物价天天涨，所有迹象都显示， 你牙缝挤出来的那点钱将沦为废纸，你还坐得住吗？比如，你不想打官司不想维权不想投诉谁，可你每个人生行为几乎都会遇到麻烦和挑衅，怎么办？再比如买房，开发商即你的天敌，为对付这个不可一世的敌人，你要请多少知识当幕僚，聘多少信息做高参啊，你要硬硬长出多少心眼， 借鉴多少人的前车？ 无论你再单纯，再想过省心日子和简易人生，末了，都会被逼成你的对立面。 吊诡的社会，逼你复杂，逼你猜疑，逼你斗争，逼你一手执矛一手操盾，一个都不敢少。 前几天，媒体说了个事：俩小伙子，瓢泼大雨中见地上一沓钱，打110后原地站了一小时，既不敢 拔腿走，也不敢弯腰捡，结果人和钱全淋透了，直到警察姗姗来迟。问究竟，答“守护现场”，怕“万一说不清”。小伙子可爱可敬，只是“怕”得让人费解，既非交通肇事更非犯罪凶案，何来“现场”之忧？可仔细一想，真是杞人忧天吗？此前关于拾金不昧、见义勇为反被当事人讹缠 的事还少吗？ 就这样，道德被逼成了“有限的道德”。 勇敢成了“战战兢兢的勇敢”，善良成了“心有余悸的善良”，高尚成了“如履薄冰的高尚”。 （事情的后来是，媒体公开报道后，当地警局拥来一大堆认领者，且都说得有鼻子有眼，时间、地点、钱数，和新闻里讲的都一样） 某日，我在网上浏览到3份讯息。 一份网帖，《快被准生逼疯了，我要办假》。大意是： 怀孕4个月了，老公是户口，我是安徽户口，咨询街道办，答可在领准生，但要女方的初婚未育明。打电话问老家计生办，说凭双方户口本、结婚即可开明。老家的父亲持资料去办，不成，须有老公 的初婚未育明。老公开好寄回，不成，女方必须回原籍做妇检。于是，腆着大肚子，冒酷暑回安徽。 计生办大妈板着脸嚷嚷，你老公这个明不该单位开，应由街道开。托了熟人，塞了贿金，终于妇检完毕。长途跋涉回了京，老公的街道办突然说仅有初婚未育明还不行，尚须安徽的准生， 要用安徽的换的。 快气疯了，打电话问安徽，能办准生吗？可以，但先按月份罚款，每月300，我说才四个半月，她说只要超一天，就按月计。另外，不能给本人，要压在计生办，等孩子出生后3个月，本人须回老家上环，届时才给，再之后，本人每年须在原籍妇检4次，每漏一次罚款 300，直到45周岁为止。我说可出具明，明我在京按时做妇检，对方说，安徽不认的东西，我们讲究规范。规范？就是把人往绝路上逼嘛！真想一脚把这破踢开，但眼见肚子越来越大，想到孩子会成为黑户，只能咬牙，实在不行，我就办假！最后，向大家讨讨经验，这东西有没有统一编 号什么的，办假会不会被发现？望高人指点！ 同天，还有两则新闻，摘录于此： 有位叫刘瑞良的男子，为刚出生的儿子上户口，连续奔波无果后，患上了严重抑郁症，一急之下，竟把降生才43天的男婴摔到地上。孩子夭折，父亲被拘。 最大的办假户口案宣判，海淀区法院以买卖国家 机关件罪判处富长宁等
不等式的解集完美版
当 $Delta > 0$ 时，不等式有两个不相等 的实数根 $x_1$ 和 $x_2$（$x_1 < x_2$）， 解集为 $x < x_1$ 或 $x > x_2$。
当 $Delta < 0$ 时，不等式无实数根， 解集为全体实数。
当 $Delta = 0$ 时，不等式有两个相 等的实数根 $x_1 = x_2$，解集为 $x neq x_1$。
不等式约束条件的建立
在非线性规划问题中，不等式约束条件的建立与线性规划问题类似，但需要考虑非线性函 数的特点。建立不等式约束条件时，需要选择合适的变量和函数形式，并根据问题的实际 情况确定不等式的符号和取值范围。
非线性规划问题的求解
求解非线性规划问题的方法有多种，如梯度下降法、牛顿法等。这些方法通过迭代计算， 寻找满足所有约束条件并使目标函数达到最优的解。需要注意的是，由于非线性函数的复 杂性，求解过程可能比线性规划问题更加困难。
实际应用案例分析与讨论
案例一
生产计划问题。某企业需要制定生产计划，以满足市场需求并实现利润最大化。该问题可以转化为线性规划问题进行 求解，其中不等式约束条件表示生产资源的限制和市场需求的限制。
案例二
投资组合优化问题。投资者需要在多个投资项目中选择合适的投资组合以实现收益最大化并控制风险。该问题可以转 化为非线性规划问题进行求解，其中不等式约束条件表示投资项目的风险和收益限制。
案例三
交通流量优化问题。交通管理部门需要优化城市交通网络的流量分配以减少拥堵并提高交通效率。该问 题可以转化为线性或非线性规划问题进行求解，其中不等式约束条件表示道路通行能力、交通信号灯时 间等限制条件。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
高考数学复习不等式的解法知识点
高考数学复习不等式的解法知识点
不等式的解法知识点是高考温习的重点，查字典数学网希望大家喜欢下文!
不等式的解法：
(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对停止讨论：(2)相对值不等式：假定，那么 ; ;
留意：
(1)解有关相对值的效果，思索去相对值，去相对值的方法有：
⑴对相对值内的局部按大于、等于、小于零停止讨论去相对值;
(2).经过两边平方去相对值;需求留意的是不等号两边为非负值。
(3).含有多个相对值符号的不等式可用按零点分区间讨论的方法来解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;
(5)不等式组的解法：区分求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共局部。
(6)解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应留意调查能否需求停止分类讨论.假设遇到下述状况那么普通需求讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，那么需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解进程中，需求运用指数函数、对数函数的单调性时，那么需对它们的底数停止讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时，需求思索相应的二次函数的启齿方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要剖析△)，比拟两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数，要讨论。
2021年高考数学温习不等式的解法知识点就引见到这里了，更多精彩内容请继续关注查字典数学网!。
高三数学一轮复习——不等式的解法3
1 • x 2 • (5 − x 2 ) < 1 4
转下页
{
(5 − x ) x > 0
2 2
等价吗？ 等价吗？
{x
1 2 2 • x • (5 − x ) < 1 4
{
5 − x2 > 0
2 2 2
且
x≠0
( x ) − 5x + 4 > 0
− 5<x<0
2
{ x < −2
∴ 数轴
− 5< x<0
t > 8或 t < −
5
x +1
+ 256 < 5 • (2 )
所以原不等式的解 集为：
{x
x > 2}
(舍去)
2 x +1 > 8 = 23
x +1 > 3
∴
x>2
想一想，你能不能解出来？
例4:解不等式：
1 log 1 (5 − x ) + log 2 2 + 2 > 0 x 2
2
或
1 log 2 5 − x2
log a x − 1 > 3 − log a x
解:
（a>0,且a≠1) 且
{ {
原不等式等价于:
3 − loga x ≥ 0
或
log a x − 1 > (3 − log a x) 2 ∴ log a x > 2 2 3 − log x < 0 即: log a x > log a a
∴2 < log a
不等式的解法3 不等式的解法
无理不等式，指数、对数 无理不等式，指数、 不等式的解法
高考数学不等式的解法讲解
2019高考数学不等式的解法讲解高考一轮复习已经开始，查字典数学网为大家带来不等式的解法，希望大家喜欢下文!不等式的解法：(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：(2)绝对值不等式：若，则; ;注意：(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(3).含有多个绝对值符号的不等式可用按零点分区间讨论的方法来解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;(5)不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
(6)解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
专题2 命题真假的判断 跳出题海之高中数学必做黄金100题 (解析版
第2 题命题真假的判断所以，AB ⊂α，即l3 ⊂α，命题p1为真命题；命题p4 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假②四种命题的真假关系同一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题同真假；互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系．因此任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题这四个命题中，真命题与假命题的个数总是偶数．考点二含有逻辑联结词命题真假的判断逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．（1）复合命题有三种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （⌝p ）．（2）复合命题的真假判断：“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对．（3）含逻辑联结词命题真假的等价关系：① p ∨q 真⇔p , q 至少一个真⇔(⌝p)∧(⌝q)假；②p ∨q 假⇔p , q 都假⇔(⌝p)∧(⌝q)真；③p ∧q 真⇔p , q 都真⇔(⌝p)∧(⌝q)假；④ p ∧q 假⇔p , q 至少一个假⇔(⌝p)∨(⌝q)真；( ) 0 0 0【答案】B【解析】对于①中，当 x = 2 时， x 2 = 2 为有理数，故①错误；对于②中，若 a ⋅ b = 0 ，可以有 a ⊥ b ，不一定要 a = 0 或b = 0 ，故②错误；对于③中，命题“若 x 2 + y 2 = 0 ， x ∈ R ， y ∈ R ，则 x = y = 0 ”为真命题， 其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中， f (-x ) =e - x - e x -x= e x - e - x =x (x ) ，且函数的定义域是(-∞, 0) (0, +∞) ，定义域关于原点对称，e x - e - x所以函数 f x =是偶函数，故④正确. x综上，真命题的个数是2 .故选：B.3.（2020·广西兴宁）以下四个命题：①若 p ∧ q 为假命题，则 p ，q 均为假命题；②对于命题 p : ∃x ∈R, x 2+ x +1 < 0, 则⌝p 为： ∀x ∉ R, x 2 + x +1 0; ；③ a = 2 是函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数的充分不必要条件；④ f ( x ) = sin (ωx +ϕ) 为偶函数的充要条件是ϕ= π2其中真命题的个数是（ ）fx x【答案】A【解析】对①，若 p ∧ q 为假命题，则 p , q 中至少一个为假命题，故①错误；对②，命题 p : ∃x ∈R, x 2+ x +1 < 0 的否定为⌝p : ∀x ∈ R, x 2 + x +1 0 ，故②错误；对③，当 a = 2 时，函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数；当函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥)上为增函数时， a > 1，即 a = 2 是函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数的充分不必要条件，故③正确；对④，当ϕ=3π时， f (x ) = sin⎛ 3π+ωx ⎫= -cos ωx ， f (-x ) = -cos(-ωx ) = -cos ωx = f (x ) ，此时 22 ⎪ ⎝ ⎭函数 f ( x ) = sin (ωx +ϕ) 也是偶函数，故④错误；故选：A4.（2020·安徽省六安中学） 已知命题 p ： ∃x ∈ R ，x - 2 > 0 ；命题q ： ∀x ≥ 0 ， < x ，则下列说法中正确的是A ．p ∨ q 是假命题 B ．p ∧ q 是真命题C ． p ∧ (⌝q ) 是真命题D ． p ∨ (⌝q ) 是假命题【答案】C【解析】命题 p ， ∃x 0 = 3, x 0 - 2 > 0 ，即命题 p 为真，对命题 q ，去x = 1 , = 1 > x = 1，所以命题 q 为假， ⌝p 为真 424所以 p ∧ (⌝q ) 是真命题故选：C.5.（2020·安徽相山高三）下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若x2 = 1 ，则x = 1 ”的否命题为：“若x2 = 1 ，则x ≠ 1”．B.若p ∨q 为真命题，则p, q 均为真命题.C.命题“存在x ∈R ，使得x2 +x +1 < 0 ” 的否定是：“对任意x ∈R ，均有x2 +x +1< 0 ”．D.命题“若x =y ，则sin x = sin y ”的逆否命题为真命题．【答案】D【解析】对于A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；对于B．若p∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题，因此不正确；对于C．“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确对于D．由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确．故选D．6.（2020·安徽金安）下列结论正确的个数为（）①设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“ m//β”是“α//β”的必要而不充分条件；②已知命题p : ∀x > 0 ，总有(x+1)e x>1，则⌝p : ∃x ≤ 0 ，使得(x+1)e x0 ≤1；0 0③已知函数y = tan(ωx +ϕ) ⎛ω> 0,|ϕ|<π⎫的最小正周期为π，其图象过点(0, 3) ，则其对称中心为2 ⎪2⎝⎭⎛kπ-π⎫4 6 , 0 ⎪(k ∈Z ) ；⎝⎭④已知随机变量ξ~ N(1,δ2 )，若P(ξ< 3) = 0.6 ，则P(-1 <ξ< 1) = 0.1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，根据面面平行的判定知，由“ m//β”不能推出“α//β”，根据面面平行的性质知由“α//β”可得到“ m//β”，所以“ m//β”是“α//β”的必要而不充分条件，故①正确；对于②，由全称命题的否定是特称命题得：命题p : ∀x > 0 ，总有(x +1)e x > 1 ，则⌝p : ∃x0 >0 ，使得(x+1)e x0 ≤1，故②不正确；对于③：因为函数y = tan(ωx +ϕ) ⎛ω> 0,|ϕ|<π⎫的最小正周期为π，所以ω= 2 ，2 ⎪2⎝⎭又其图象过点(0, 3) ，所以tanϕ= 3 ，所以ϕ=π，所以y = tan(2x +π，) 3 3令2x +π=kπ(k ∈Z ) ，得x =kπ-π, k ∈Z ，所以其对称中心为⎛kπ-π0 ⎫(k ∈Z )，故③正确；3 24 6 4 6, ⎪⎝⎭对于④，因为随机变量ξ~ N(1,δ2 )，所以P(ξ<1)=0.5，又P(ξ< 3) = 0.6 ，所以P(1 <ξ< 3) = 0.6 - 0.5 = 0.1 ，所以P(-1 <ξ< 1) =P(1 <ξ< 3) = 0.1 ，故④正确；综上可知：正确的命题有①③④，故选：C.2 a 2 2 2【答案】A【解析】令 f (x ) = e x + x ，则易知 f (x ) = e x + x 在 R 上单调递增，所以当 x < 0 时， f (x ) = e x + x < 1 < 2 ，即e x < 2 - x ；因此命题 p : ∃x ∈ R , 2 - x > e x为真命题； 由 a > 0 得 a 2 +1 > 1；所以，当 a > 1时， log a (a + 1) > 0 ；当0 < a < 1时， log a (a + 1) < 0 ；因此，命题 q : ∀a ∈ R + ，且a ≠ 1, log (a 2+1) > 0 为假命题； 所以命题 p ∧ ⌝q 是真命题.故选 A8.（2020·全国高三）对于实数 a ，b ，m ，下列说法：①若 a > b ，则am 2 > bm 2 ；②若 a > b ，则 a | a |> b | b | ； ③若b > a > 0, m > 0 ，则a + m > a ；④若a >b > 0 ，且| ln a |=| ln b | ，则 2a + b 的最小值为 ．其 b + m b 中是真命题的为（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B【解析】对于①，当 m = 0 时， am 2 = bm 2 = 0 ，所以①是假命题．对于②，当 a > 0 时， a | a |> b | b | 成立；当 a < 0 时， a a > b b 等价于- a 2 > - b 2 ，即a 2 < b 2 ，因为b < a < 0 ，所以a 2 < b 2 ，所以 a | a |> b | b | 成立；当 a = 0 时， b < 0 ，所以a a > b b 成立．所以②是真命题．2 2 对于③，因为b > a > 0, m > 0 ，所以a + m - a = (a + m )b - (b + m )a = (b - a )m > 0 ，所以 a + m > a ， b + m b (b + m )b (b + m )b b + m b所以③是真命题．对于④，因为 a > b > 0 ，且| ln a |=| ln b | ，所以 a > 1 > b > 0 ，且ln a = - ln b ，所以 ab = 1 ，因为2a + b = 2a + 1 ≥ 2 ，当且仅当 2a = 1 ，即 a = 2 时成立， 2 < 1，不合题意，所以 2a + b 的最小 a a 2 2值不是2 ，又由⎛ 2a + 1 ⎫' = 2 - 1 ，因为 a > 1，所以⎛ 2a + 1 ⎫' = 2 - 1 > 0 ， a ⎪ a 2 a ⎪ a 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 y = 2a + 1 是 a 的增函数， 2a + 1在 a > 1时没有最小值．所以④是假命题． a a故选：B.9.（2020·厦门市湖滨中学）给出下列四个命题：①若样本数据 x 1 , x 2 , x 10 的方差为16 ，则数据 2x 1 -1, 2x 2 -1, 2x 10 -1 的方差为64 ；②“平面向量 a , b 的夹角为锐角，则 a ⋅b > 0 ”的逆命题为真命题；③命题“ ∀x ∈(-∞, 0) ，均有e x > x +1 ”的否定是“ ∃x ∈(-∞, 0) ，均有e x ≤ x + 1”；④ a = -1是直线 x - ay + 1 = 0 与直线 x + a 2 y - 1 = 0 平行的必要不充分条件． 其中正确的命题个数是（） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4【答案】B【解析】①若样本数据 x 1 , x 2 , x 10 的方差为16 ，则数据 2x 1 -1, 2x 2 -1, 2x 10 -1 的方差为 22 ⨯16 = 64 ，a 2 a a故①正确；②命题的逆命题为：“若 ⋅ b > 0 ，则平面向量, b 的夹角为锐角”，为假命题， 当向量夹角为 0 度时，满足⋅ b > 0 ，故②错误；③命题“ ∀x ∈(-∞, 0)，均有e x > x +1 ”的否定是“ ∃x ∈(-∞, 0) ，均有e x ≤ x +1 ”，故③正确；④当 a = 0 时，直线方程分别化为： x + 1 = 0, x -1 = 0 ，此时两直线平行，当a ≠ 0 时，若两直线平行，则 1 = - 1 , 1 ≠ 1 ，解得 a = -1，a a 2 a a 2综上 a = -1是直线 x - ay + 1 = 0 与直线 x + a 2 y -1 = 0 平行的充分不必要条件，故④错误.故选 B.10.【多选题】（2020·山东临沂）下列命题正确的是（ ）A ．若随机变量 X ~B (100, p ) ，且 E ( X ) = 20 ，则 D ⎛ 1 X +1⎫ = 5 2 ⎪ ⎝ ⎭B. 已知函数 f( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在[0, +∞) 上单调递减 f (1) = 0 ，则不等式 f (log 2x ) > 0 的 ⎛ 1 ⎫解集为 , 2 ⎪ ⎝ ⎭C. 已知 x ∈ R ，则“ x > 0 ”是“ x -1 < 1 ”的充分不必要条件D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 y ˆ = 0.3x - m ，若样本中心点为(m , -2.8) ，则 m = 4【答案】BD【解析】对 A ， E ( X ) = 20 ，∴ 100 p = 20 ⇒ p = 1 ，∴ D ( X ) = 100 ⋅ 1 ⋅ 4= 16 ， 5 5 5故选：BD.对 D ， 样本中心点为(m , -2.8) ，∴ 0.3⋅ m - m = -2.8 ⇒ m = 4 ，故 D 正确；对 C ， x -1 < 1 ⇔ 0 < x < 2 ，∴“ x > 0 ”推不出“ 0 < x < 2 ”，而“ 0 < x < 2 ”可以推出“ x > 0 ”， ∴“ x > 0 ”是“ x -1 < 1 ”的必要不充分条件，故 C 错误；2x < 1 ⇔ 1 < x < 2 ，故 B 正确； 2 2 ∴ log x < 1 ⇔ -1 < log 对 B ， 函数 f (x ) 是定义在R 上的偶函数，∴ f (| x |) = f (x ) ， f (log 2 x ) > 0 ⇔ f (| log 2 x |) > f (1) ， ，故 A 错误； 4⎭ ⎪ ⎝ ⎫ 1 2 ⎛ 1 D X +1 = D ( X ) = 4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
．题源探究·黄金母题
【例】求不等式错误！未指定书签。
的解集．
【解析】注意到错误！未指定书签。
，所以原不等式的解集为错误！未指定书签。
．精彩解读
【试题来源】人教版版必第页例．【母题评析】本题考查了一元二次不等式的解法．作为基础题，不等式的解法是历年来高考的一个常考点．【思路方法】可以借助二次函数的图像解一元二次不等式．
．考场精彩·真题回放
【例】【高考上海理数】设错误！未指定书签。
，则不等式
错误！未指定书签。
的解集为．
【答案】．
【解析】由题意得：，即，故解集为．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．
【难点中心】解绝对值不等式关键是去掉绝对值符号，再进一步求解．本题也可利用平方法．
【例】【高考江苏，】不等式错误！未指定书签。
的解集为．
【答案】错误！未指定书签。
【解析】由题意得：错误！未指定书签。
，解集为错误！未指定书签。
【命题意图】本题主要考查指数不等式与一元二次不等式的解法．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．
【难点中心】解答此类问题，关键在于熟记常见不等式的解法．
．理论基础·解题原理
考点一一元二次不等式
我们把只含有一个未知数并且未知数的最高次项的次数是的不等式叫做一元二次不等式．当错误！未指定书签。
时，
（）若方程错误！未指定书签。
的两实根分别为错误！未指定书签。
，则不等式错误！未指定书签。
的解集为错误！未指定书签。
或错误！未指定书签。
，不等式错误！未指定书签。
的解集为错误！未指定书签。
；
（）若方程错误！未指定书签。
的两实根分别为错误！未指定书签。
，则不等式错误！未指定书签。
的解集为错误！未指定书签。
且错误！未指定书签。
，不等式错误！未指定书签。
的解集为错误！未指定书签。
；
（）若方程错误！未指定书签。
无实数根，则不等式错误！未指定书签。
的解集为错误！未指定书签。
，不等式错误！未指定书签。
的解集为错误！未指定书签。
．
考点二分式不等式
（）错误！未指定书签。
；（）错误！未指定书签。
；
（）错误！未指定书签。
（）错误！未指定书签。
考点三简单的含绝对值不等式
（）错误！未指定书签。
；
（）错误！未指定书签。
或错误！未指定书签。
；
（）错误！未指定书签。
；
（）错误！未指定书签。
或错误！未指定书签。
错误！未指定书签。
或错误！未指定书签。
．
．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏易，考查一元二次不等式、简单的分式不等式、简单的绝对值不等式的解法．
【技能方法】
（）利用一元二次方程和二次函数的图像是解一元二次不等式的根；
（）分式不等式的解法——化为整式不等式求解；
（）解含绝对值的不等式，去绝对值符号有下列三种常用方法：
①定义法（又称零点分段法）：错误！未指定书签。
②公式法：错误！未指定书签。
；错误！未指定书签。
或错误！未指定书签。
．
③平方法：错误！未指定书签。
；错误！未指定书签。
．
解形如错误！未指定书签。
的不等式，只需将“错误！未指定书签。
”看成一个整体，即可化成错误！未指定书签。
型不等式求解．
【易错指导】
（）对一些表现形式上是一元二次不等式的问题，不要忽视其中的二次项的系数有可能为零的情况，这时可能是一元一次不等式，可能一次项系数也是零，要充分考虑这些可能性．。