剪力和弯矩
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剪力与弯矩的计算方法
§7-2剪力与弯矩一、剪力和弯矩根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a 所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现在讨论距A 支座距离为x 的m m -截面上的内力。
图7-8简支梁指定截面的剪力、弯矩计算根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平”，计算梁的内力的步骤为：①、首先根据静力平衡方程求支座反力Ay F 和By F ，为推导计算的一般过程，暂且用Ay F 和By F 代替。
②、用截面假想沿m m -处把梁切开为左、右两段，如图7-8b、7-8c 所示，取左段梁为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样保持平衡状态。
从图7-8b 中可看到，左段梁上有一向上的支座反力Ay F 、向下的已知力1P 作用，要使左段梁不发生竖向移动，则在m m -截面上必定存在一个竖直方向的内力S F 与之平衡；同时，Ay F 、1P 对m m -截面形心O 点有一个力矩，会引起左段梁转动，为了使其不发生转动，在m m -截面上必须有一个力偶矩M 与之平衡，才能保持左段梁的平衡。
S F 和M 即为梁横截面上的内力，其中内力S F 使横截面有被剪开的趋势，称为剪力；力偶矩M 将使梁发生弯曲变形，称为弯矩。
由于外载荷的作用线垂直于梁的轴线，所以轴力为零，通常不予考虑。
剪力S F 和弯矩M 的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。
由0=∑Y 得：10Ay S F P F --=，得1S Ay F F P =-由0o M =∑得：()01=+-+-M a x P x F Ay 得()a x P x F M Ay --=1如图7-8c 所示，如果取右段梁为脱离体，同样可求得m m -截面的剪力S F 和弯矩M 。
根据作用力与反作用力原理，右段梁在m m -截面上的剪力S F 和弯矩M 与左段梁在m m -截面上的剪力S F 和弯矩M 应大小相等，方向相反。
剪力和弯矩
A
0.89 FkSN(=kNFA)Y O
0.89
1kN.m
CD E
1.5m
1.5m
1.11
(-)
F
2kN
1.5m
B
3．建立坐标系
建立 FS－x 和 M－x 坐标系
F＝BY1.11 kN
(+) x
4．应用截面法确定控制面上的剪 力和弯矩值，并将其标在 FS－ x 和 M－x 坐标系中。
M (kN.m)
y
q
简支梁受均布载荷作用
试画出剪力图和弯矩图。
A
B
x 解：1．确定约束力
FAY
l
FBY
FAy＝ FBy＝ ql/2
FS
2．确定控制面
支座反力内侧截面均为控制面。
x
即A、B截面。
3．建立坐标系
M
建立 FS－x 和 M－x 坐标系
4．应用截面法确定控制面上的剪
x
力和弯矩值，并将其标在 FS－ x
和 M－x 坐标系中。
FAy
2F FSE
FAy
FBy
F 3
FAy
5F 3
FBy
截面上的剪力等于截面任一
侧外力的代数和。
FSE
5F 3
F 3
FAy 2F
FBy
F 3
FAy
5F 3
FBy
截面上的弯矩等于截面任一侧外 力对截面形心力矩的代数和。
FAy
ME
ME
5F 3
3a 2
3 Fa 2
§6-4
q
x
l
q
剪力图和弯矩图
悬臂梁受均布载荷作用。
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
剪力与弯矩的计算方法
，得
F
F
FS 3 、弯矩 M 3 的方向都按规定假设成正方向，根据脱离体的平衡方程
S3
Y 0 ， F
3 1 0
由所有外力对 3-3 截面的形心取矩
M 3 3 1 1 / 2 0 ，得 M 3 3 / 2 1.5 kN .m M M
M
，得
FS 3 3
FS
如果取右段进行分析时，则有： S ， （也即 S ） ； 当取左段（或右段）进行分析时，任意截面的弯矩等于所有产生向上的线位移的力对该 点之矩减去所有产生向下的线位移的力对该点之矩，即：
F
F
（7-1）
M
利用式 、 可以直接写出指定截面的剪力和弯矩。 四、计算剪力、弯矩的简便方法 利用上面的关系，可以直接根据作用在梁上的外力计算出任意截面的剪力、弯矩，从而 省去取脱离体列平衡方程的步骤，使计算过程简化。 例 7-2 计算图 7-11 所示梁 1-1 和 2-2 截上的内力。 解：①、求支座反力由梁的整体平衡方程:
图 7-9 剪力、弯矩的符号规定
F
图 7-10 外伸梁指定截面的内力计算
解：①、求梁的支座反力 由
A
FAy
M 0， Y 0 由 ，
将剪力 由
和
FBy
，根据梁的整体平衡方程： ，得 得
FBy 6 3 6 5 3 0 FAy FBy 3 6 0
，
FBy 14.5 kN
03
kN
0
：
求得 3-3 截面的弯矩 3 为负值，表示所假设 3 的方向与实际方向相反。 由上面例题看出，截面上的剪力和弯矩与梁上外力之间存在着下列关系： ①、梁内任一横截面上的剪力 的代数和。
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。
剪力以及弯矩剪力图以及弯矩图
剪力图和弯矩图在工程管理中的应用
结构设计：用于计 算结构受力确定结 构尺寸和材料
施工管理：用于 指导施工确保施 工质量和安全
维护管理：用于 评估结构状态制 定维护计划
优化设计：用于 优化结构设计降 低成本和能耗
剪力图和弯矩图的注意 事项
绘制剪力图和弯矩图时应注意的事项
确保数据准确无误 注意单位换算确保单位一致 绘制过程中注意比例尺和坐标轴的设置 绘制完成后检查图例、标题、标注等是否清晰明确
添加副标题
剪力和弯矩剪力图以及弯矩 图
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 剪力和弯矩的基本 概念
03 剪力图和弯矩图的 绘制
04 剪力图和弯矩图的 解读
05 剪力图和弯矩图的 应用
06 剪力图和弯矩图的 注意事项
添加章节标题
剪力和弯矩的基本概念
剪力和弯矩的定义
剪力：作用在物体表面上的力使物体发生剪切变形 弯矩：作用在物体表面上的力使物体发生弯曲变形 剪力图：表示剪力在物体表面上的分布情况 弯矩图：表示弯矩在物体表面上的分布情况
剪力和弯矩的计算方法
剪力：作用在物体上的力使物体发生剪切变形 弯矩：作用在物体上的力使物体发生弯曲变形 剪力计算方法：根据力的平衡原理利用剪力公式进行计算 弯矩计算方法：根据力的平衡原理利用弯矩公式进行计算
剪力和弯矩的单位和符号
剪力：单位为牛顿（N） 符号为F
弯矩：单位为牛顿·米 （N·m）符号为M
证结构安全
剪力图和弯矩图在施工中的应用
确定结构受力情况： 通过剪力图和弯矩图 可以了解结构的受力 情况为施工提供依据。
优化施工方案：根据 剪力图和弯矩图可以 优化施工方案提高施 工效率和质量。
剪力和弯矩
a 5 F 3a 3 ME Fa 2F 3 2 2 2
材料力学
§6-4
q
x q x
FS l
剪力图和弯矩图
悬臂梁受均布载荷作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图 和弯矩图。
M x
解：任选一截面 x ，写出剪力和弯矩 方程
FS x
ql
FS x ＝qx M x ＝qx 2 / 2
+
_
左上右下为正；反之为负 截面上的弯矩使得 梁呈凹形为正；反之为负。
+
左顺右逆为正；反之为负
_
材料力学
求图示简支梁E 截面的内力 解：1. 确定支反力
FAy
2. 用截面法研究内力
FSE ME FAy
FBy 3a Fa 2F a F 5F FBy FAy 3 3 5F F Fy 0 2 F FSE 3 FSE 3 a 5F 3a 2 F M E ME 0 2 3 2 3Fa ME 2 材料力学
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
FSE FBy
F 3
M
o
0
3a M E FBy Fa 2 3Fa ME 2
第6章 梁弯曲内力及强度计算
材料力学
本章主要内容
§6-1 概述 §6-2 受弯杆件的简化 §6-3 剪力和弯矩
§6-4 剪力图和弯矩图
剪力和弯矩
AC FS x1＝M / l 0 x1 a
M x1＝Mx1 / l 0 x1 a
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
材料力学
y
q
简支梁受均布载荷作用
FN 0 FS FAy F1
FAy
FS
M FN
FS
FMc 0 M FAy x F1(x a)
FS剪力，平行于横截
面的内力合力
M 弯矩，垂直于横截
面的内力系的合力偶矩
FBy
3
材料力学
M
M FN
FN
FAy
FS
FS
截面上的剪力对梁上任意一点的矩
+
为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。
FBy
_
截面上的弯矩使得 梁呈凹形为正；反之为负。
左上右下为正；反之为负
+
_
左顺右逆为正；反之为负
材料力学
FAy
2. 用截面法研究内力
FSE
FAy
求图示简支梁E 截面的内力
解：1. 确定支反力
Fy 0 FAy FBy 2F
MA 0
FBy FBy 3a Fa 2F a
A xC
FAY
l
试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力
B
x
图和弯矩图。
解：1．确定约束力
FBY
FS ql / 2
M A＝0， M B＝0
FAy＝ FBy＝ ql/2
x 2．写出剪力和弯矩方程
ql / 2
M x1＝Mx1 / l 0 x1 a
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
材料力学
y
q
简支梁受均布载荷作用
FN 0 FS FAy F1
FAy
FS
M FN
FS
FMc 0 M FAy x F1(x a)
FS剪力，平行于横截
面的内力合力
M 弯矩，垂直于横截
面的内力系的合力偶矩
FBy
3
材料力学
M
M FN
FN
FAy
FS
FS
截面上的剪力对梁上任意一点的矩
+
为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。
FBy
_
截面上的弯矩使得 梁呈凹形为正；反之为负。
左上右下为正；反之为负
+
_
左顺右逆为正；反之为负
材料力学
FAy
2. 用截面法研究内力
FSE
FAy
求图示简支梁E 截面的内力
解：1. 确定支反力
Fy 0 FAy FBy 2F
MA 0
FBy FBy 3a Fa 2F a
A xC
FAY
l
试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力
B
x
图和弯矩图。
解：1．确定约束力
FBY
FS ql / 2
M A＝0， M B＝0
FAy＝ FBy＝ ql/2
x 2．写出剪力和弯矩方程
ql / 2
梁的内力——剪力和弯矩
上的内力来代替，如图4-7（b）所示。根据静力平衡条件，在
截面m-m上必然存在着一个沿截面方向的内力FS。由平衡方程
∑Y=0
FA-FS=0
得 FS=FA
FS称为剪力，它是横截面上分布内力系在截面方向的合力。
由图4-7（b）中可以看出，剪力FS和支座反力 FA组成了一个力偶，因而，在横截面m-m上还 必然存在着一个内力偶M与之平衡，由平衡方
∑Y=0 FB-FS3=0
∑MO=0 FB×1m-M3=0
FS3=-FB=-10kN
M3=FB×1m=10kN·m
计算结果明，FS3的实际方向与假设的相反，为 负剪力；M3为正弯矩。 从上述例题中可以总结出如下规律：
1） 梁的任一横截面上的剪力，在数值上等于 该截面左边（或右边）梁上所有外力在截面方 向投影的代数和。截面左边梁上向上的外力或 右边梁上向下的外力在该截面方向上的投影为 正，反之为负。
图4-7
为了使无论取左段梁还是右段梁得到的同一截面上的FS和M不仅 大小相等，而且正负号一致，需要根据梁的变形来规定FS和M的 符号。
1 剪力的符号规定
梁截面上的剪力对所取梁段内任一点的矩为顺时针方向转动时为 正，反之为负，如图4-8（a）所示。
2 弯矩的符号规定 梁截面上的弯矩使所取梁段上部受压、下部受拉时为正，反之为 负，如图4-8（b）所示。 根据上述正负号的规定，在图4-7（b）、（c）两种情况中，横 截面m-m上的剪力FS和弯矩M均为正。
程
∑MO=0
M-FAx=0
得 M=FAx
M称为弯矩，它是横截面上分布内力系的合力
偶矩。
1.2剪力和弯矩的符号规定
在上面的讨论中，如果取右段梁为研究对象，同样也可求得横截 面m-m上的剪力FS和弯矩M，如图4-7（c）所示。但是，根据 力的作用与反作用定律，取左段梁与右段梁作为研究对象求得的 剪力FS和弯矩M虽然大小相等，但方向相反。
弯矩和剪力单位
弯矩和剪力单位弯矩和剪力是结构力学中重要的概念，用于描述杆件或梁在受力下的行为。
弯矩指的是在横截面上由力产生的力矩，而剪力则是垂直于横截面的内力。
本文将详细介绍弯矩和剪力的定义、计算方法以及其在工程中的应用。
一、弯矩1. 弯矩的定义弯矩是指在横截面上由力产生的力矩，是力对杆件或梁的作用结果。
当外力作用在杆件或梁上时，横截面上会产生内力，这种内力引起了横截面的变形，即弯曲变形。
弯矩的大小取决于外力的大小和作用点的位置。
2. 弯矩的计算方法要计算弯矩，需要知道作用在杆件或梁上的外力和作用点的位置。
常用的计算公式是M = F * d，其中M表示弯矩，F表示作用力，d表示作用点到杆件或梁的某个参考点的距离。
3. 弯矩的单位弯矩的单位是力乘以长度，通常使用牛顿米（N·m）或千牛顿米（kN·m）作为单位。
4. 弯矩的应用弯矩在工程中有广泛的应用，特别是在结构设计和分析中。
通过计算弯矩，可以确定杆件或梁的受力情况，进而选择合适的材料和尺寸。
此外，弯矩还用于计算梁的挠度和应力分布，以确保结构的安全性和稳定性。
二、剪力1. 剪力的定义剪力是指垂直于横截面的内力，作用于杆件或梁上。
剪力是由力对横截面产生的剪应力引起的，其大小取决于外力的大小和横截面的形状。
2. 剪力的计算方法要计算剪力，需要知道作用在杆件或梁上的外力和横截面的形状。
剪力的计算通常使用剪力图或截面法来进行。
剪力图是一种图形表示方法，可以显示在杆件或梁上各个截面上的剪力大小和方向。
截面法则是通过对杆件或梁的横截面进行平衡分析，计算每个截面上的剪力。
3. 剪力的单位剪力的单位是力，通常使用牛顿（N）或千牛顿（kN）作为单位。
4. 剪力的应用剪力在工程中也有重要的应用。
在结构设计和分析中，剪力用于计算结构的强度和稳定性，特别是在混凝土结构中。
此外，剪力还用于计算梁的剪应力和横向变形，以确保结构的安全性和可靠性。
弯矩和剪力是结构力学中重要的概念，用于描述杆件或梁在受力下的行为。
剪力弯矩计算
由于截面上有弯矩作用，截面各点在垂直于中轴线方向发生 相对位移，在截面内任意一点沿任意方向作用有弯矩。
剪力和弯矩的符号和单位
剪力的符号
用字母F表示，单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）。
弯矩的符号
用字母M表示，单位为牛顿·米（N弯矩的关系
1
剪力和弯矩之间的关系可以通过弯曲正应力和 弯曲剪应力来表示。
剪力弯矩对基础的影响
01
02
03
基础沉降
剪力弯矩引起的结构变形 可能导致基础不均匀沉降 。
基础承载力
剪力弯矩会增大基础的承 载力，但也可能导致基础 剪切破坏。
基础稳定性
剪力弯矩可能影响基础的 稳定性，导致基础倾覆、 滑动等问题。
04
剪力弯矩的抗震计算
地震作用下的剪力弯矩计算
竖向地震作用
考虑结构自重以及地震加速度沿高度变化的影响，计算剪力 和弯矩。
矩的变化规律。
02
剪力弯矩的力学计算
静定梁的剪力弯矩计算
计算公式
剪力弯矩的计算公式为M=F*x。其中，F为梁所受的剪力，x为梁的跨度。
符号规定
梁的剪力弯矩符号规定为正，即向下为正，向上为负。
静定刚架的剪力弯矩计算
计算公式
静定刚架的剪力弯矩计算公式与静定梁相同，也为M=F*x。
符号规定
刚架的剪力弯矩符号规定为正，即向下为正，向上为负。
目标性能选择
根据建筑使用功能和结构重要性，选择合适的性能目标，如延性、承载力等 。
多方案比较
针对不同的性能目标，设计多种方案，比较其剪力弯矩等指标，选取最优方 案。
基于地震作用的剪力弯矩优化
地震烈度影响
考虑地震烈度对结构的影响，调整地震作用下的剪力弯矩计算方法。
剪力和弯矩的符号和单位
剪力的符号
用字母F表示，单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）。
弯矩的符号
用字母M表示，单位为牛顿·米（N弯矩的关系
1
剪力和弯矩之间的关系可以通过弯曲正应力和 弯曲剪应力来表示。
剪力弯矩对基础的影响
01
02
03
基础沉降
剪力弯矩引起的结构变形 可能导致基础不均匀沉降 。
基础承载力
剪力弯矩会增大基础的承 载力，但也可能导致基础 剪切破坏。
基础稳定性
剪力弯矩可能影响基础的 稳定性，导致基础倾覆、 滑动等问题。
04
剪力弯矩的抗震计算
地震作用下的剪力弯矩计算
竖向地震作用
考虑结构自重以及地震加速度沿高度变化的影响，计算剪力 和弯矩。
矩的变化规律。
02
剪力弯矩的力学计算
静定梁的剪力弯矩计算
计算公式
剪力弯矩的计算公式为M=F*x。其中，F为梁所受的剪力，x为梁的跨度。
符号规定
梁的剪力弯矩符号规定为正，即向下为正，向上为负。
静定刚架的剪力弯矩计算
计算公式
静定刚架的剪力弯矩计算公式与静定梁相同，也为M=F*x。
符号规定
刚架的剪力弯矩符号规定为正，即向下为正，向上为负。
目标性能选择
根据建筑使用功能和结构重要性，选择合适的性能目标，如延性、承载力等 。
多方案比较
针对不同的性能目标，设计多种方案，比较其剪力弯矩等指标，选取最优方 案。
基于地震作用的剪力弯矩优化
地震烈度影响
考虑地震烈度对结构的影响，调整地震作用下的剪力弯矩计算方法。
剪力和弯矩
剪力和弯矩是结构力学中的重要概念。剪力是使材料产生剪切变形的力，弯矩则是使材料计算方法，包括确定控制面、计算约束力数值、建立剪力和弯矩坐标系等步骤。同时，文档还介绍了如何绘制剪力图和弯矩图，通过描点和连线的方式，可以清晰地展示出结构在不同位置的剪力和弯矩分布情况。此外，文档还深入探讨了剪力图和弯矩图与载荷集度的关系。剪力图的斜率等于作用在结构上的分布载荷集度q，当q=0时，剪力图为一条水平直线；当q＞0时，剪力图为渐增直线；当q＜0时，剪力图为递减直线。弯矩图的变化则与剪力FQ的正负密切相关，当FQ为正时，弯矩M为递减直线；当FQ为负时，弯矩M为递增直线。这些关系对于理解和分析结构的受力情况具有重要意义。
剪 力和弯矩
∑Y＝0 FA FS = 0
得
FS = FA
FS称为剪力。
目录
弯曲内力\剪力和弯矩
因剪力FS与支座反力FA组成一力偶，故在横截面m—m上必然 还存在一个内力偶与之平衡。设此内力偶的矩为M，则由平衡方程
∑MO＝0 M FAx = 0
得
M = FAx
这里的矩心O是横截面m—m的形心。这个内力偶矩M称为弯矩，它 的矩矢垂直于梁的纵向对称面。
目录
力学
FA =FB =10kN
目录
弯曲内力\剪力和弯矩
2）求横截面1—1上的剪力和弯矩。取左段梁为研究对象，并 设截面上的剪力FS1和弯矩M1均为正（如图）。列出平衡方程
∑Y＝0 FA FS1= 0
得
FS1=FA=10 kN
∑MO＝0 M1FA1 m =0
得
M1=FA1 m =10 kN 1 m =10 kNm
如果取右段梁为研究对象，则同样可求得
横截面m—m上的剪力FS和弯矩M（如图）， 且数值与上述结果相等，只是方向相反。
为了使无论取左段梁还是取右段梁得到的同一横截面上的FS和 M不仅大小相等，而且正负号一致，根据变形来规定FS、M的正负 号：
目录
弯曲内力\剪力和弯矩 1)剪力的正负号。梁截面上的剪力对所取梁段内任一点的矩为
顺时针方向转动趋势时为正，反之为负（图a）； 2) 弯矩的正负号。梁截面上的弯矩使梁段产生上部受压、下部
受拉时为正，反之为负（图b）。
目录
弯曲内力\剪力和弯矩
【例4.1】 简支梁如图所示。求横截面1—1、2—2、3—3上的 剪力和弯矩。
【解】 1）求支座反力。 由梁的平衡方程求得支座A、B处的反力为
得 M2= FA4 m F12 m =10 kN4 m10 kN 2 m=20 kNm 由计算结果知，M2为正弯矩。
剪力方程和弯矩方程
剪力方程和弯矩方程
剪力方程和弯矩方程是结构工程中用于描述杆件（梁或桁架等）内部受力分布的重要方程。
这些方程通常用于分析和设计结构，以确保其在承受外部荷载时的稳定性和安全性。
剪力方程（Shear Force Equation）：
剪力是指垂直于杆件轴线的内力，它的方向可能是沿着杆件的纵轴。
剪力方程描述了沿杆件长度的剪力分布。
在梁的自由体图上，剪力方程可以表示为：
[ V(x) = -\frac{dM(x)}{dx} + C_1 ]
其中：
* ( V(x) ) 是距离( x ) 处的剪力；
* ( M(x) ) 是距离( x ) 处的弯矩；
* ( C_1 ) 是积分常数，代表剪力图的初值。
弯矩方程（Bending Moment Equation）：
弯矩是指垂直于杆件轴线的内力，使得结构产生弯曲形状。
弯矩方程描述了沿杆件长度的弯矩分布。
在梁的自由体图上，弯矩方程可以表示为：
[ M(x) = -\int V(x) ,dx + C_2 ]
其中：
* ( M(x) ) 是距离( x ) 处的弯矩；
* ( V(x) ) 是距离( x ) 处的剪力；
* ( C_2 ) 是积分常数，代表弯矩图的初值。
这两个方程通常结合着使用，通过它们可以分析梁在不同位置的受力情况。
在设计和分析中，工程师通常会应用这些方程，考虑梁的几何形状、材料特性和外部荷载，以确定梁在不同截面的受力状态。
剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图
FS
(
x)
FRA
qx
ql 2
qx
(0 x l)
M(
x)
FRA
x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
(0 x l)
§5-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
FS
(
x)
ql 2
qx
(0 x l)
A
剪力图为一倾斜直线
x
FRA
l
x=0
处
， FS
ql 2
x= l 处 ,
FS
ql 2
ql/2
+
绘出剪力图
l
突变值等于集中力偶矩的数值.此处
M /l
剪力图没有变化.
+
Ma
+l
Mb l
§5-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
小结
1.取梁的左端点为坐标原点,x 轴向右为正:剪力图向上为正;弯矩 图向上为正. 2.以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处,及支座截 面处为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程,然后绘出剪 力图和弯矩图. 3.梁上集中力作用处左、右两侧横截面上,剪力（图）有突变,突 变值等于集中力的数值.在此处弯矩图则形成一个尖角.
§5-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
小结
4.梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩（图） 有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图 没有变化.
5.梁上的FSmax发生在全梁或各梁段的边界截面处;梁上的Mmax发 生在全梁或各梁段的边界截面,或FS = 0 的截面处.
x
l
l
l
AC,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.
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同）。
（4）梁上集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变的值即为该处
集中力偶的力偶矩。从左至右，若力偶为顺时针转向，弯矩图
向上突变，反之若力偶为逆时针转向，则弯矩图向下突变。
（5）绝对值最大的弯矩总是出现在：剪力为零的截面上、集中
力作用处、集中力偶作用处。
第18页
机械设计基础
§6–3 梁纯弯曲时的强度条件
一、梁纯弯曲的概念 • 横梁弯曲：横截面上既有 剪力又有弯矩的情况，如 AC、DB段。
• 纯弯曲:某段梁的内力只有 弯矩没有剪力时，该段梁 的变形称为纯弯曲，如CD 段。
第19页
• 梁纯弯曲实验
机械设计基础
横向线(mm、nn）保持为直线，高度不变，相互倾斜，仍垂直于纵向 线；纵向线（aa、bb）变为弧线，凸边伸长，凹边缩短，中间有一纵向 线（oo）长度不变。
机械设计基础
学习情境2：数直控梁系弯统显曲示画面及操作 主讲教师：文清平
第1页
机械设计基础
§6–1 梁的类型及计算简图
一、直梁弯曲的概念
1、弯曲变形: 杆受垂直于轴线的外力（即横向力）或外力偶矩矢 的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2、梁：以弯曲变形为主的直杆构件通常称为直梁，简称梁。
第2页
机械设计基础
第9页
机械设计基础
例6-1： 如图所示简支梁，求C、D截面的弯曲内力。
解：1）支座反力
取整体为研究对象，由 平衡方程得：
M A(F ) 0
4FB （4 10 2 10 1)kN m 0
FB 6.5kN
Fy 0
FA FB 10kN 10kN 0
P Q
上作用线平行于截面的内力。
MC
2、 弯矩M：构件受弯时，与横截面垂直的分布内力系的 RB
合力偶矩。
第8页
3、剪力和弯矩的正负号规定
• 剪力的正负号：使截面 绕其内侧任一点有顺时 针转趋势的剪力为正， 如图 a 所示；反之则为负， 如图b所示。
• 弯矩的正负号：在横截面 m-m处弯曲变形凹向下时， 这一横截面上的弯矩规定 为正；如图c所示，反之 为负，如图d所示。
2
2
8
第15页
机械设计基础
例6-3：图示为简支梁，在C点处作用有一集中力偶Me。试作其
弯矩图。
解：1）求支座的反力
2）列弯矩方程
FAy
FBy
Me l
AC段
M(x)
FAy x
Me l
x
(0 x a)
CB段
M(x)=(l-x)Me/l (a≤x ≤l)
第16页
机械设计基础
3）画弯矩图
第13页
例6-2：写剪力方程和弯矩方程，并画图。
机械设计基础
AC段：Qx Pb
l
Mx Pb x
l
0xa
CB段：Q x Pa
l
M2x
Pb l
x
Px
a
a xl
第14页
机械设计基础
Qx ql qx
2
M x ql x qx2
ql 2
第20页
机械设计基础
两个概念
中性层：长度不变的纵向纤维层； 中性轴：中性层与横截面的交线；
推论
平面假设：横截面变形后仍为平面（ 且仍垂直于变形后的梁轴
线 ） ，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。
:各纵向纤维之间无挤压。
③:横截面上只有正应力。
第21页
二、梁纯弯曲时的强度条件
第11页
机械设计基础
二、剪力方程和弯矩方程
内力与截面位置标（x）间的函数关系式。
Q Q(x)
剪力方程
M M (x)
弯矩方程
三、剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
Q Q(x) 的图线表示 M M (x) 的图线表示
第12页
机械设计基础
作剪力图（图）和弯矩图（图）的一般步骤为：
①作剪力和弯矩直角坐标系，其中X轴平行于梁轴线，Q轴、M轴垂直于梁轴线 ②确定分段点，分段建立剪力方程、弯矩方程； ③确定各分段点处截面上的剪力和弯矩的大小及正负，标在和坐标系中得 到相应的点； ④根据各段剪力方程、弯矩方程，在坐标中大致作出剪力图图形，在坐标 中大致作出弯矩图图形。
2、悬臂梁
3、外伸梁
q — 均布力
机械设计基础
M — 集中力偶 q(x)— 分布力
P — 集中力
第6页
机械设计基础
§6–2 直梁弯曲时的内力
一、梁弯曲时横截面上的内力——剪力和弯矩
已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。
a
P
解：①求外力
A
B
X 0, XA 0
mA 0 ,
机械设计基础
强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
● 强度校核:
max
M max Wz
[ ]
● 截面设计:
max
FA 13.5kN
第10页
2）截面C处的剪力和弯矩
机械设计基础
Fy 0
QC FB 0
QC FB 6.5kN
MC (F) 0
MC 4kN m 1.5FB 0
M C 13.75kN m
3）截面D处的剪力和弯矩
QD FA 10kN 3.5kN QD FA 13.5kN M D FA 1m 13.5kN m
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A
YA
x
l
mP B
m RB
第7页
机械设计基础
②求内力——截面法
XA A
mP B
Y
0,
Q YA
P(l a) l
mC 0 , M YA x
YA
x
m
RB
∴ 弯曲构件内力
剪力 弯矩
Q A
M C
1、 剪力Q：构件受弯时，横截面 YA
AC段 x=0，M=0；
x a, M Mea l
M
CB段
x
x a, M Meb ; l
x=l，M=0。
第17页
弯矩图特点总结
机械设计基础
（1）梁上没有均布载荷作用的部分，弯矩图为倾斜直线。
（2）梁上有均布载荷作用的一段，弯矩图为抛物线，均布载荷
向下时抛物线开口向下（⌒）。
（3）在集中力作用处，弯矩图上在此出现折角（即两侧斜率不
3、 工程实例
机械设计基础
第3页
机械设计基础
4. 平面弯曲：所有外力都作用在纵向面内，梁的轴线由直线变为平面曲线 ，但仍然保持和外力在同一平面内。
P1
q
P2
M
纵向对称面
第4页
机械设计基础
二、梁上的载荷
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、 集中力偶和分布载荷。
第5页
三、简单静定梁的类型 我们把梁分为以下三种类型： 1、简支梁