(完整版)等比数列的概念(教案).doc
等比数列的定义(教案)
6.3.1 等比数列的定义教学目的：1．正确理解等比数列的定义；明确1n na q a +=(不为零的常数)的意义； 2．培养学生的观察能力、归纳能力和解决问题的能力.教学重点：等比数列的定义.教学难点：定义的理解．授课类型：新授课.课时安排：1课时.教学设计：本节的主要内容是等比数列的定义，等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:q a a nn =+1(常数). 例1是基础题目，有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：1a ，q ，n ，n a ，只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意：例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.从例4可以看到，若三个数成等比数列，则将这三个数设成是a q，a ，aq 比较好，因为这样设了以后，这三个数的积正好等于3a ，很容易将a 求出.教学过程：一、创设情境、兴趣导入：观察1. 将一张纸连续对折5次，列出每次对折纸的层数.第1次对折后纸的层数为1×2=2（层）；第2次对折后纸的层数为2×2=4（层）； 第3次对折后纸的层数为4×2=8（层）；第4次对折后纸的层数为8×2=16（层）；第5次对折后纸的层数为16×2=32（层）.各次对折后纸的层数组成数列 2，,4，8，16，32.不难发现，从第2项开始，数列中的各项都是其前一项的2倍，即从第2项开始，每一项与它的前一项的比都等于2．2. 某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在今后的5年内，每年的产值都比上一年增加10%，那么今年及以后5年的产值构成下面的一个数列（单位：万元）：1000，1000 1.1⨯，21000 1.1⨯，31000 1.1⨯，41000 1.1⨯，51000 1.1⨯，51000 1.1⨯. 不难发现，从第2项开始，数列中的各项都是其前一项的1.1倍，即从第2项开始，每一项与它的前一项的比都等于1.1．二、动脑思考、探索新知：新知识如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q 来表示．由定义知，若{}n a 为等比数列，q 为公比，则1a 与均不为零，且有1n na q a +=，即 1n n a a q +=⋅ （6.5）.上面问题1中，5年的产值组成的数列是首项11000a =，公比 1.1q =的等比数列；问题2中，对折纸的层数组成的数列是首项12a =，公比2q =的等比数列.三、巩固知识、典型例题：例１ 在等比数列{}n a 中，15a =，3q =，求2a 、3a 、4a 、5a ．解 215315a a q =⋅=⨯=；3215345a a q =⋅=⨯=；43453135a a q =⋅=⨯=；541353405a a q =⋅=⨯=.试一试 你能很快地写出这个数列的第９项吗？四、运用知识、强化练习：（教材练习6.3.1）1．在等比数列{}n a 中，63-=a ，2q =，试写出4a 、6a ．2．写出等比数列3，-6，12，-24，…的第５项与第6项．五、课堂小结： 正确理解等比数列的定义，明确1n n a q a +=的意义. 六、课后作业：1. 判断下列数列是否是等比数列，若是，写出其公比.（1）1，3，9，27；（2）-2，2，6，10；（3）1-，1，1-，1； （4）1，12，14，18； （5（5）a ，a ，a ，a .2. 求等比数列1-，12，14-，18，…的第6项与第7项. 七、板书设计：（略）八、课后记：。
职高数学基础模块下（人教版）教案：等比数列的概念及通项公式
职高数学基础模块下（人教版）教案：等比数列的概念及通项公式知能目标解读1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列，并能确定等比数列的公比.2.探索并掌握等比数列的通项公式，能够应用它解决等比数列的问题.3.体会等比数列与指数函数的关系.4.掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决问题.重点难点点拨重点：等比数列的定义和通项公式的应用. 难点：等比数列与指函数的关系.学习方法指导1.等比数列的定义要正确理解等比数列的定义，应注意以下几方面：①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0. ②“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.③nn a a 1均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒.④如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列.这时可以说此数列从第2项起或从第3项起是一个等比数列.⑤如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列.⑥常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列.当常数列各项不为0时，它是等比数列，且公比q =1. 注意：(1)由等比数列的定义知，要证明一个数列是等比数列，只需证明对任意n ∈N +，n n a a 1+是一个常数或证明对任意n ∈N +且n ≥2，1-n n a a是一个常数，这时所说的常数是指一个与n 无关的常数.(2)要证明一个数列不是等比数列，可证明n n a a 1+或1-n n a a(n ≥2)不是一个常数，也可以采用举反例的方法，举一个反例即可.2.等比数列的通项公式（1）等比数列的通项公式：首项为a 1,公比为q 的等比数列的通项公式是a n =a 1q n-1(a 1≠0,q ≠0).（2）等比数列通项公式的推导教材上是采用的不完全归纳法推导等比数列的通项公式为a n =a 1q n-1.除此之外，还可以用如下方法推导.方法1：累积法：因为12a a =q , 23a a =q ,…21--n n a a =q ，1-n n a a=q , 将这n -1个式子相乘得1a a n =q n-1,所以a n =a 1q n-1. 方法2：迭代法：根据等比数列的定义有a n =a n-1·q =a n-2·q 2=…=a 2·q n -2=a 1·q n-1. （3）通项公式中的基本量：通项公式中涉及的基本量有：a 1,q,n,a n ，知道其中的三个，可以求出第四个量，即“知三求一”问题.注意：由等比数列的通项公式a n =a 1q n-1可知，要写出其通项，必须知道a 1和q ，因此要确定通项公式，需两个独立的条件.（4）等比数列通项公式的变形形式：若{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意的m,n ∈N +，有a n =a m ·q n-m . ∵a n =a 1q n-1 ①a m =a 1q m-1 ②由①÷②得m n a a =1111--m q a q a n =q n-m ，∴a n =a m q n-m.这里的a n =a m ·q n-m可以看成是通项公式的另一种形式. 注意：在已知a 1和q 的前提下，利用通项公式a n =a 1q n-1可以求出等比数列中的任意一项;在已知等比数列任意两项的前提下，使用a n =a m q n-m可求等比数列中任意一项. （5）用函数的观点看等比数列的通项等比数列{a n }的通项公式a n =a 1q n-1，可以改写为a n =qa 1·q n .当q >0，且q ≠1时，y=q x 是一个指数函数，而y =qa 1·q x 是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a n }的图像是函数y =qa 1·q x 的图像上的一群孤立的点. 例如，当a 1=1，q =2时，a n =21·2n ，表示这个数列各项的点就都在函数y =21·2x的图像上，如下图所示：3.等比中项(1)在a,b同号时，a,b的等比中项有两个，它们互为相反数；在a,b异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第二项起（有穷数列的末项除外）每一项都是它的前一项与后一项的等比中项.(3)若a,b,c成等比数列，则b2=ac;反过来，若b2=ac，则a,b,c不一定成等比数列，如a=b=0.特别地，若a,b,c均不为零时，则a,b,c成等比数列 b2=ac.(4)注意a,b,c成等比数列与b=ac是不等价的.知能自主梳理1.等比数列的定义如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比都等于，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示.2.等比数列的递推公式与通项公式已知等比数列｛a n｝的首项为a1,公比为q(q≠0),填表：3.等比中项（1）如果三个数x,G,y组成，则G叫做x和y的等比中项.（2）如果G是x和y的等比中项，那么,即.［答案］ 1.第2项同一个常数公比q2.a1q n-13.等比数列G2=xy G=±xy等比数列的概念及通项公式思路方法技巧命题方向等比数列的判断［例1］已知数列｛a n｝的前n项和S n=2a n+1,求证：｛a n｝是等比数列，并求出通项公式.［分析］要证数列是等比数列，关键是看a n与a n-1之比是否为一个常数，由题设还须利用a n=S n-S n-1 (n≥2),求得a n.［证明］∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1.∴S n+1-S n =a n+1=(2a n+1+1)-(2a n +1)=2a n+1-2a n . ∴a n+1=2a n . ① 又∵S 1=a 1=2a 1+1,∴a 1=-1≠0. 由①式可知，a n ≠0,∴由nn a a 1+=2知｛a n ｝是等比数列，a n =-2n -1. ［说明］ (1)本题证明，关键是用等比数列的定义，其中说明a n ≠0是非常重要的.证明中，也可以写出S n-1=2a n-1+1,从而得到a n =2a n-1,只能得到n ≥2时，｛a n ｝是等比数列，得到n ≥2时，a n =-2n-1,再将n =1代入，验证a 1=-1也满足通项公式的要求.（2）判断一个数列是否是等比数列的常用方法是： ①定义法nn a a 1+=q (q 为常数且不为零)⇔ {a n }为等比数列. ②等比中项法a n+12=a n a n+2 (n ∈N +且a n ≠0) ⇔ {a n }为等比数列. ③通项公式法a n =a 1q n-1 (a 1≠0且q ≠0) ⇔{a n }为等比数列. 变式应用1 判断下列数列是否为等比数列. (1)1,3,32,…,3n-1,…; (2)-1,1,2,4,8,…; (3)a 1,a 2,a 3,…,a n,….［解析］ （1）此数列为等比数列，且公比为3. (2)此数列不是等比数列.(3)当a =0时，数列为0,0,0,…,是常数列，不是等比数列；当a ≠0时，数列为a 1,a 2,a 3,a 4,…,a n ,…,显然此数列为等比数列且公比为a . 命题方向 等比数列的通项公式的应用［例2］ 在等比数列｛a n ｝中，已知a 5-a 1=15,a 4-a 2=6,求a n .［分析］ 本题可以列关于a 1,q 的方程组入手，解出a 1与q ,然后再求a n . ［解析］ 设等比数列｛a n ｝的首项为a 1,公比为q , a 5-a 1=a 1q 4-a 1=15 ① 因为a 4-a 2=a 1q 3-a 1q =6 ②由②①得q =21或q =2.当q =21时，a 1=-16. 当q =2时，a 1=1, ∴a n =-16×（21）n-1或a n =2n-1. ［说明］ 首项和公比是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于首项和公比的方程组，求出首项和公比.变式应用2 已知等比数列{a n }中，a 2+a 5=18,a 3+a 6=9,a n =1,求n . a 1q +a 1q 4=18 a 1=32 ［解析］ 解法一：由题意得 ，解得 .a 1q 2+a 1q 5=9 q =21∴a n =a 1q n-1=32（21）n-1=1,∴26-n =20,∴n =6.解法二：∵a 3+a 6=q (a 2+a 5), ∴q =21,又∵a 1q +a 1q 4=18, ∴a 1=32, ∴a n =a 1q n-1=32×（21）n-1=1, 解得n =6.命题方向 等比中项的应用［例3］ 等比数列｛a n ｝的前三项的和为168，a 2-a 5=42,求a 5,a 7的等比中项.［分析］［解析］ 设该等比数列的首项为a 1,公比为q ,因为a 2-a 5=42,所以q ≠1,由已知，得a 1+a 1q +a 1q 2=168 a 1（1+q+q 2）=168 ，所以 ，a 1q -a 1q 4=42 a 1q (1-q 3)=42 因为1-q 3=(1-q )(1+q+q 2), 所以由②除以①，得q (1-q )=41. 所以q =21.所以a 1=4)21(2142⋅=96.若G 是a 5,a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7=a 1q 4·a 1q 6=a 12q 10=962×（21）10=9. 所以a 5,a 7的等比中项是±3.［说明］ 由等比中项的定义可知：a G =Gb⇒G 2=ab ⇒G =±ab .这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.异号的两数没有等比中项.反之，若G 2＝ab (ab ≠0),则a G =Gb,即a,G,b 成等比数列.所以a,G,b 成等比数列⇔G 2=ab (ab ≠0).变式应用3 若a ,2a +2,3a +3成等比数列，求实数a 的值. ［解析］ 因为a ,2a +2,3a +3成等比数列， 所以（2a +2）2=a (3a +3). 解得a =-1或a =-4.因为当a =-1时，2a ＋2，3a +3均为0，故应舍去. 故a 的值为－4.探索延拓创新命题方向 等比数列的实际应用［例4］ 据《中国青年报》2004年11月9日报导，卫生部艾滋病防治专家徐天民指出：前我国艾滋病的流行趋势处于世界第14位，在亚洲第2位，而且艾滋病毒感染者每年以40%的速度在递增，我国已经处于艾滋病暴发流行的前沿，我国政府正在采取有效措施，防止艾滋病蔓延，公元2004年我国艾滋病感染者至少有80万人，若不采取任何防治措施，则至少到公元 年后，我国艾滋病毒感染者将超过1000万人.(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg7=0.8451) ［答案］ 2012［解析］ 设x 年后我国艾滋病毒感染者人数将达到1000万人，则80·(1+40%)x=1000, 即（57）x =801000， ∴lg （57）x =lg 801000, ∴x =57lg 8100lg =210lg 7lg 8lg 100lg --=12lg 7lg 2lg 32-+- =13010.08451.03010.032-+⨯-=1461.0097.1≈7.51(年).故8年后，即公元2012年后，我国艾滋病毒感染者人数将超过1000万人.辨误做答［例5］ 在等比数列{a n }中，a 5、a 9是方程7x 2-18x +7=0的两个根，试求a 7. ［误解］ ∵a 5、a 9是方程7x 2-18x +7=0的两个根， a 5+a 9=718 ∴a 5·a 9=1又∵a 7是a 5、a 9的等比中项，∴a 72=a 5·a 9=1，即a 7=±1.［辨析］ 上述解法忽视了对a 7的符号的讨论，由于a 5、a 9均为正数且公比为q =±57a a =±79a a ，所以不论q 取正还是取负，a 7始终与a 5和a 9的符号相同. ［正解］ ∵a 5、a 9是方程7x 2-18x +7=0的两个根，11 a 5+a 9=718>0∴ ，a 5·a 9=1>0∴a 5>0,a 9>0, 又∵a 7是a 5、a 9的等比中项， ∴a 72=a 5·a 9=1.又a 7与a 5、a 9的符号相同， ∴a 7=1.。
等比数列的概念及其简单性质(教师用)
1.4等比数列的概念及其简单性质（教师用）知能点全解：知能点一：等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前面相邻一项之比为同一个常数，则这个数列叫做等比数列。
特别说明：1、定义还可以表述为：数列{}n a 中，若1n na q a +=（常数）。
则称{}n a 为等比数列。
2、由于等比数列每一项都可以作分母，故每一项均不为0，即0,0n a q ≠≠。
3、定义中的“同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉。
4、常数列都是等差数列；非零常数列都是等比数列。
例 1：下面四个数列：①1,1,2,4,8,16,32,64；②数列{}n a 中，已知32122,2a a a a ==；③常数列,,,,,a a a a ； ④在数列{}n a 中，1n na q a +=（常数），其中n N *∈。
其中是等比数列的有 ④ 。
知能点二：等比数列的通项公式Ⅰ第一通项公式：11n n a a q -=()0q ≠，1a 为首项，q 为公比。
Ⅱ第二通项公式：()0n m n m a a q q -=≠例 2：在等比数列中（1）若427,3a q ==-，求7a ； （2）2418,8a a ==，求1,a q ； （3）514215,6a a a a -=-=，求3a 。
解：（1）∵3744,27,3a a q a q ===-∴()37273729a =⨯-=-（2）∵242a a q = ∴4282183a q a =±=±=± 当23q =时，由21a a q =，可得127a =；当23q =-时，同理可得127a =-。
（3）由已知得41131115 (1)6 (2)a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 由(1)(2)得：2152q q += ∴12q =或2q = 当12q =时，213116,4a a a q =-==-；当2q =时，21311,4a a a q ===。
等比数列的概念和通项公式(教学设计)
（四)例题解析
例1课本第5１页例3．
解:略
设计意图:通过这道例题,加深学生对等比数列的通项公式的理解,同时养成学生良好的动手习惯和规范解题习惯,提高学生的计算能力。
例题后的练习1和２可让学生自己动手完成，以便学生熟练应用通项公式。
例2课本第5１页 例4
解：略
设计意图:通过让学生举例、不完全归纳和证明,得到两个等比数列的积仍是等比数列,增强学生的归纳总结能力。
(五)、回顾小结
1．等比数列的概念和通项公式;
2．用类比的思想研究数学问题;
3.注重等差数列和等比数列的区别与联系。
（小结ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ先由学生叙述，教师进行补充和整理)
设计意图：让学生将获得的知识进一步条理化、系统化,同时培养学生的归纳总结能力，为学生以后解决问题提供经验和教训．
3．对等比数列概念的深化理解
给出几个数列让学生判断是否是等比数列,以加深对概念的理解。
问题1:等比数列的项可以为零吗?
问题2：等比数列的公比可以为零吗?
问题3:若,等比数列的项有什么特点?呢？特别地,若，数列的项有什么特点?
问题４:形如,,,…(）的数列既是等差数列,又是等比数列吗?
设计意图:通过让学生分析讨论，加深学生对概念的深层次理解,培养学生严谨的思维习惯和良好的自主探究能力。
1．回顾等差数列的相关性质
设计意图：通过复习等差数列的相关知识,类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点，为等比数列的学习做铺垫。
2.情境展示
情境１:“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
情境2：一张纸的折叠问题
等比数列教案(中职)
等比数列教案教学目标：（1）掌握等比数列的定义；归纳出等比数列的通项公式。
（2）通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；会解决关于等比数列的简单问题。
（3）进行史志教育，激发学生学习的学习兴趣；渗透数学中的类比、归纳、猜测等合情推理方法；充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的。
重难点：等比数列的定义及通项公式、性质。
教学重点：灵活应用定义式及通项公式、性质解决相关问题。
教学过程：1、复习导入：（1）等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d来表示。
（2）等差数列的通项公式：An=A1+(n-1)d（3）An=Am+(n-m)d (n>m)（4）若m+n=p+q,则Am+An=Ap+Aq.2、引入：早在春秋战国时代，我国名家公孙子龙就有个著名论断：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。
”（用粉笔在手中演练）若设该锤的单位长度为1，则每天所得的长度构成一个数列：1/2,1/4,1/8，1/16……在此引入数学史料，进行数学史志教育。
在印度有这样一个美妙的传说，印度国王为了嘉奖国际象棋的发明者，将他召到王宫，并让他尽管提条件，这个发明者说：“请国王在国际象棋棋盘的第1个格子里放上1粒麦子，第2个格子里放上2粒麦子，第3个格子里放上4粒麦子，第4个格子里放上8粒麦子，以此类推，直到最后一个格子。
国王听后哈哈大笑，说他条件太少了，便吩咐人去办，可经办人一算，吓了一跳，发现全印度的麦子给了他还远远不够。
那在这里呢，毎格的麦子数构成了这样一个数列：1,2,4,8,……由此激发学生的学习兴趣。
3、定义：在认真考察以上两个数列，寻求他们的共同点，并对照等差数列的定义，绝大部分同学都非常轻松地自己给出等比数列的定义。
《等比数列的概念》教学设计
等比数列教案一、教学目标知识目标：通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式． 能力目标：使学生进一步体会类比、归纳思想，培养学生的观察、概括能力． 情感目标：培养学生勤于思考，实事求是的精神及严谨的科学态度．二、教学重点和难点重点：等比数列的定义，通项公式的猜想过程、理解．难点：等比数列的通项公式的应用．三、教学用具多媒体．四、教学过程（一） 复习旧知等差数列的定义，数学表达式，通项公式．（二）创设情境情景引入生活中实际的例子．1, 细胞分裂问题，可以记作数列：1,2,4,8,． ①2, 取木棒问题可以记作数列： .,81,41,21,1 ②3, 计算机病毒感染可以记作数列 ： 2341,20,20,20,20观察三组数列的共同特征．从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.（三）讲解新课一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项之比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做这个数列的公比，用q 表示,(q ≠0)． 1, 等比数列的数学表达式：()*10,.n na q q n N a +=≠∈ 2, 对定义的认识（1）等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0; 二、等比数列的通项公式.结合等比数列的定义可知，有：2341231,,,.n n a a a a q q q q a a a a -==== 即有: ()21213111,,0,0,2n n a a q a a q a a q a q n -===≠≠≥等比数列的通项公式为: ()1*110,0,n n a a q a q n N -=≠≠∈ 变形公式为: ()*0,,n m n m a a q q m n N -=≠∈三、等比中项:若,,a G b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项. 2G ab =四、例题讲解 例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.解：设这个等比数列的第1项是1a ,公比是q ，那么21311218a q a q ⎧=⎨=⎩ 解得，1316,23q a == 因此21163832a a q ==⨯= 答：这个数列的第1项与第2项分别是163与8。
示范教案（等比数列概念及通项公式）
⽰范教案（等⽐数列概念及通项公式）2.4等⽐数列2.4.1等⽐数列的概念及通项公式从容说课本节内容先由师⽣共同分析⽇常⽣活中的实际问题来引出等⽐数列的概念，再由教师引导学⽣与等差数列类⽐探索等⽐数列的通项公式，并将等⽐数列的通项公式与指数函数进⾏联系，体会等⽐数列与指数函数的关系，既让学⽣感受到等⽐数列是现实⽣活中⼤量存在的数列模型，也让学⽣经历了从实际问题抽象出数列模型的过程.教学中应充分利⽤信息和多媒体技术，给学⽣以较多的感受，激发学⽣学习的积极性和思维的主动性.准备丰富的阅读材料，为学⽣提供⾃主学习的可能，进⽽达到更好的理解和巩固课堂所学知识的⽬的.教学重点1.等⽐数列的概念;2.等⽐数列的通项公式.教学难点1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等⽐关系;2.等⽐数列与指数函数的关系.教具准备多媒体课件、投影胶⽚、投影仪等三维⽬标⼀、知识与技能1.了解现实⽣活中存在着⼀类特殊的数列;2.理解等⽐数列的概念，探索并掌握等⽐数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等⽐关系，并能⽤有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等⽐数列与指数函数的关系.⼆、过程与⽅法1.采⽤观察、思考、类⽐、归纳、探究、得出结论的⽅法进⾏教学;2.发挥学⽣的主体作⽤，作好探究性活动;3.密切联系实际，激发学⽣学习的积极性.三、情感态度与价值观1.通过⽣活中的⼤量实例，⿎励学⽣积极思考，激发学⽣对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学⽣的类⽐、归纳的能⼒;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际⽣活的密切联系，激发学⽣学习的兴趣.教学过程导⼊新课师现实⽣活中，有许多成倍增长的实例.如，将⼀张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，⼿中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例⼦吗？⽣⼀粒种⼦繁殖出第⼆代120粒种⼦，⽤第⼆代的120粒种⼦可以繁殖出第三代120×120粒种⼦，⽤第三代的120×120粒种⼦可以繁殖出第四代120×120×120粒种⼦，…师⾮常好的⼀个例⼦！现实⽣活中，我们会遇到许多这类的事例.教师出⽰多媒体课件⼀：某种细胞分裂的模型.师细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成⼀个数列，你能写出这个数列吗？⽣通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从⽽得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下⾯的数列：1，2，4，8，…①教师出⽰投影胶⽚1：“⼀尺之棰，⽇取其半，万世不竭.”师这是《庄⼦·天下篇》中的⼀个论述，能解释这个论述的含义吗？⽣思考、讨论，⽤现代语⾔叙述.师 (⽤现代语⾔叙述后)如果把“⼀尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？⽣发现等⽐关系，写出⼀个⽆穷等⽐数列：1，21，41，81，161，… ②教师出⽰投影胶⽚2：计算机病毒传播问题.⼀种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进⾏传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第⼀轮，邮件接收者发送病毒称为第⼆轮，依此类推.假设每⼀轮每⼀台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成⼀个什么样的数列呢?师 (读题后)这种病毒每⼀轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学⽣发现“病毒制造者发送病毒称为第⼀轮”“每⼀轮感染20台计算机”中蕴涵的等⽐关系.⽣发现等⽐关系，写出⼀个⽆穷等⽐数列：1，20，202，203，204，… ③教师出⽰多媒体课件⼆：银⾏存款利息问题.师介绍“复利”的背景：“复利”是我国现⾏定期储蓄中的⼀种⽀付利息的⽅式，即把前⼀期的利息和本⾦加在⼀起算作本⾦，再计算下⼀期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现⾏定期储蓄中的⾃动转存业务实际上就是按复利⽀付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本⾦×(1+本⾦)n ，这⾥n 为存期.⽣列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.师⽣合作讨论得出“时间”“年初本⾦”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下⾯数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④师回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上⾯的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？师引导学⽣类⽐等差关系和等差数列的概念，发现等⽐关系.引⼊课题：板书课题 2.4等⽐数列的概念及通项公式推进新课［合作探究］师从上⾯的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等⽐关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等⽐数列，那么你能给等⽐数列下⼀个什么样的定义呢？⽣回忆等差数列的定义，并进⾏类⽐，说出：⼀般地，如果把⼀个数列，从第2项起，每⼀项与它前⼀项的⽐等于同⼀个常数，那么这个数列叫做等⽐数列.［教师精讲］师同学们概括得很好，这就是等⽐数列( geometric seque n ce)的定义.有些书籍把等⽐数列的英⽂缩写记作G .P.(Geometric Progressio n ).我们今后也常⽤G.P.这个缩写表⽰等⽐数列.定义中的这个常数叫做等⽐数列的公⽐(commo n r a tio)，公⽐通常⽤字母q 表⽰(q≠0). 请同学们想⼀想，为什么q≠0呢？⽣独⽴思考、合作交流、⾃主探究.师假设q=0，数列的第⼆项就应该是0，那么作第⼀项后⾯的任⼀项与它的前⼀项的⽐时就出现什么了呢？⽣分母为0了.师对了，问题就出在这⾥了，所以，必须q≠0.师那么，等⽐数列的⾸项能不能为0呢？⽣等⽐数列的⾸项不能为0.师是的，等⽐数列的⾸项和公⽐都不能为0，等⽐数列中的任⼀项都不会是0. ［合作探究］师类⽐等差中项的概念，请同学们⾃⼰给出等⽐中项的概念.⽣如果在a 与b 中间插⼊⼀个数G ，使a 、G 、b 成等⽐数列，那么G 叫做a 、b 的等⽐中项.师想⼀想，这时a 、b 的符号有什么特点呢？你能⽤a 、b 表⽰G 吗？⽣⼀起探究,a 、b 是同号的Gb a G ，G=±ab ，G 2=ab . 师观察学⽣所得到的a 、b 、G 的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列⼀样，等⽐数列也具有⼀定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任⼀项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n -k +a n +k =2a n .对于等⽐数列来说，有什么类似的性质呢？⽣独⽴探究，得出：等⽐数列有类似的性质：a n -k ·a n +k =a n 2.［合作探究］探究：(1)⼀个数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…(a 1≠0)是等差数列，同时还能不能是等⽐数列呢？(2)写出两个⾸项为1的等⽐数列的前5项，⽐较这两个数列是否相同？写出两个公⽐为2的等⽐数列的前5项，⽐较这两个数列是否相同？(3)任⼀项a n 及公⽐q 相同，则这两个数列相同吗？(4)任意两项a m 、a n 相同，这两个数列相同吗？(5)若两个等⽐数列相同，需要什么条件？师引导学⽣探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学⽣回答.⽣探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.［教师精讲］概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列⼜是等⽐数列的数列是存在的，每⼀个⾮零常数列都是公差为0，公⽐为1的既是等差数列⼜是等⽐数列的数列.概括学⽣对(2)(3)(4)的解答.(2)中，⾸项为1，⽽公⽐不同的等⽐数列是不会相同的；公⽐为2，⽽⾸项不同的等⽐数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任⼀对应项与公⽐都相同，可得出这两个数列相同；(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“⾸项和公⽐都相同”.(探究的⽬的是为了说明⾸项和公⽐是决定⼀个等⽐数列的必要条件；为等⽐数列的通项公式的推导做准备)［合作探究］师回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等⽐数列的通项公式吗？⽣推导等⽐数列的通项公式.［⽅法引导］师让学⽣与等差数列的推导过程类⽐，并引导学⽣采⽤不完全归纳法得出等⽐数列的通项公式.具体的，设等⽐数列{a n }⾸项为a 1，公⽐为q ，根据等⽐数列的定义，我们有： a 2=a 1q,a 3=a 2q=a 1q 2,…,a n =a n -1q=a 1q n -1，即a n =a 1q n -1.师根据等⽐数列的定义，我们还可以写出q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 进⽽有a n =a n -1q=a n -2q 2=a n -3q 3=…=a 1q n -1.亦得a n =a 1q n -1.师观察⼀下上式，每⼀道式⼦⾥，项的下标与q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？⽣把a n 看成a n q 0，那么，每⼀道式⼦⾥，项的下标与q 的指数的和都是n .师⾮常正确，这⾥不仅给出了⼀个由a n 倒推到a n 与a 1，q 的关系，从⽽得出通项公式的过程，⽽且其中还蕴含了等⽐数列的基本性质，在后⾯我们研究等⽐数列的基本性质时将会再提到这组关系式.师请同学们围绕根据等⽐数列的定义写出的式⼦q a a a a a a a a n n =====-1342312...,再思考. 如果我们把上⾯的式⼦改写成q a a q a a q a a q a a n n ====-1342312,...,,,. 那么我们就有了n -1个等式，将这n -1个等式两边分别乘到⼀起(叠乘)，得到的结果是11-=n n q a a ,于是，得a n =a 1q n -1. 师这不⼜是⼀个推导等⽐数列通项公式的⽅法吗？师在上述⽅法中，前两种⽅法采⽤的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种⽅法没有涉及不完全归纳法，是⼀个完美的推导过程，不再需要证明.师让学⽣说出公式中⾸项a 1和公⽐q 的限制条件.⽣ a 1，q 都不能为0.［知识拓展］师前⾯实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那⾥是⽤什么⽅法解决问题的呢？教师出⽰多媒体课件三：前⾯实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.某种储蓄按复利计算成本利息，若本⾦为a 元，每期利率为r ，设存期是x,本利和为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存⼊本⾦1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师前⾯实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是⽤函数的知识和⽅法解决问题的.⽣⽐较两种⽅法，思考它们的异同.［教师精讲］通过⽤不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等⽐数列和指数函数可以联系起来.(1)在同⼀平⾯直⾓坐标系中，画出通项公式为a n =2 n -1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？(2)在同⼀平⾯直⾓坐标系中，画出通项公式为1)21(-=n n a 的数列的图象和函数y=(21)x-1的图象，你⼜发现了什么？⽣借助信息技术或⽤描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出⼆者之间的关系.师出⽰多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系，得出结论：等⽐数列是特殊的指数函数，等⽐数列的图象是⼀些孤⽴的点.师请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个⾓度类⽐等差数列与等⽐数列，并填充下列表格：【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过⼀年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？师从中能抽象出⼀个数列的模型，并且该数列具有等⽐关系.【例2】根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建⽴数列的递推公式，这个数列是等⽐数列吗？师将打印出来的数依次记为a 1(即A )，a 2，a 3，….可知a 1=1;a 2=a 1×21;a 3=a 2×21.于是，可得递推公式 ??==-)1(21,111＞n a a a n n . 由于211=-n n a a ，因此，这个数列是等⽐数列. ⽣算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.练习：1.⼀个等⽐数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.师启发、引导学⽣列⽅程求未知量.⽣探究、交流、列式、求解.2.课本第59页练习第1、2题.课堂⼩结本节学习了如下内容：1.等⽐数列的定义.2.等⽐数列的通项公式.3.等⽐数列与指数函数的联系.布置作业课本第60页习题2.4 A 组第1、2题.板书设计。
等比数列的概念(教案)
§2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式一、教学内容《等比数列》是普通高中课程标准试验教科书《数学》必修5第二章《数列》第四节，内容较多，设置了两个课时，第1课时为等比数列的概念及通项公式.等比数列在我们的学习和生活中有着广泛的实际应用，例如：物理、化学、生物等均有涉及，通过该内容的学习，能够培养学生的多种数学能力。
而且它在教材中起着承前启后的作用，一方面，等比数列是一种特殊的数列，与等差数列既有区别，也有联系，另一方面，它又对进一步学习数列及其应用等内容作准备，且等比数列又是高考的考点之一。
所以本节内容比较重要，地位较突出.二、教学目标1.知识与技能：①通过学习，能说出等比数列的概念，并会使用符号语言表示；②初步掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；③运用等比数列的通项公式解决一些简单的有关问题.2.过程与方法：通过慨念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，培养学生观察、比较、概括、归纳等数学能力及思想方法，增强应用意识.3.情感、态度与价值观：通过对等比数列概念的归纳,培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，体会类比思想.三、教学重难点1.重点：等比数列、等比中项的概念的形成，通项公式的推导及运用.2.难点：等比数列通项公式推导方法的获取.四、学情分析高一学生已经初步形成了自己的学习习惯，好奇心强，有着自主的探究能力和思考辨别能力.但通过考试成绩的分析可以看出，学生基础薄弱，知识的引入及理解都应多加强调，在教学中，需要多设计问题，化难为易，循序渐进，以问题串为载体引导学生分析问题，解决问题.五、教法与学法教法：1.直观演示法：利用多媒体课件直观的展示数列，便于学生观察，发现数列特征.2.活动探究法：引导学生通过创设生活情境获取知识，以学生为主体，使学生的独立探索性得到充分的发挥，培养学生的自学能力、思维能力、活动组织能力.3.集体讨论法：针对学生提出的问题，组织学生进行集体和分组讨论，促使学生在学习中解决问题，培养学生的团结协作的精神.学法：等差数列的概念及通项公式启发我们，使用类比的方法，学习等比数列的概念，通项公式的两种推导方法.六、教学用具多媒体，三角板，彩色粉笔，电子笔七、授课类型新授课八、教学过程（一）课前复习1.等差数列的概念2.通项公式.（二）新授课1.课堂探究1课本48页4个实例.①细胞分裂个数构成的数列②“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，将“一尺之锤”看成单位“1”，得到的数列③计算机每轮感染的数量构成的数列④银行存款中，每一年的本利和得到的数列思考：类比等差数列的定义，这4个数列项与项之间都有什么共同特征？试将共同特征用语言叙述出来，并用符号表示.【师生活动】教师引导学生从生活中的实例出发，借助等差数列的概念进行类比推理.【设计意图】以学生熟悉的等差数列的概念为背景，通过思考，引导学生进行分析，使学生形成“等比数列是后一项与前一项的比是同一常数的数列”的感知，从而流畅自然的引出等比数列的概念.2.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的比．等于同一常数．．．．，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q )0(≠q 来表示.用数学符号表示为：}{n a 是等比数列⇔),2,0(1+-∈≥≠=N n n q q a a n n 且 【师生活动】在上一个环节的基础上，教师引导学生给出等比数列的概念.【设计意图】流畅的引出等比数列的概念，使学生理解等比数列.3.对概念的再认识（1）公比是否能等于0？ 等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）公比q>0的等比数列有什么特征？公比q<0的等比数列有什么特征？【师生活动】教师引导学生，观察等比数列中的各项的要求.【设计意图】使学生很自然的对等差、等比数列的异同点进行初步认知. 例1.判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比；若不是,请说明理由．① 1, 4, 16, 32．② 0, 2, 4, 6, 8.③ 1,－10,100,－1000,10000．④ 81, 27, 9, 3, 1.⑤ a a a a a ,,,,【师生活动】学生根据等比数列的概念进行判断.【设计意图】1.让学生体会等比数列中公比可正可负，可以大于1，也可以小于1.2.让学生体会等比数列中不能出现0.3.体会非零常数列既是等差数列，又是等比数列.4.课堂探究2 等比数列的通项公式)(11+-∈=N n q a a n n方法：累乘法【师生活动】教师引导学生回顾等差数列的通项公式推导过程，引导学生类比推导等比数列的通项公式.【设计意图】培养学生小组合作，类比推理的学习能力.5.对通项公式的再认识① 等比数列通项公式11-=n n q a a 中，是公比的．．．1-n 次方．．. ② 写出通项公式需已知的量是首项．．与公比．．，它们均不为．．．0.【师生活动】教师引导学生从等比数列的定义，通项公式的形式，推导过程，对通项公式进行再认识.【设计意图】熟练掌握等比数列的通项公式以及常用变形式.（三）练习导学案上的练习题九、课堂小结1.等比数列的概念2.等比数列的通项公式及推导方法 11-=n n q a a3.本节课所运用的数学思想方法十、课后作业练习册2.4.1等比数列的概念和通项公式十一、板书设计十二、教学反思（附页）。
等比数列的概念、性质(优质课)教案
等比数列的概念、性质（优质课）教案教学目标：教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系教学过程：1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q ()0q ≠表示。
2. 等比数列的通项公式11n n a a q -=3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中2G xy = 4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则m n p q a a a a = （3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列 （5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n nn a a a qq q-==当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则nn a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数xy cq =的图像上的一群孤立的点。
根据指数函数的性质，我们可以得到等比数列的增减性的下列结论： （1） 等比数列{}n a 递增⇔{101a q >> 或{1001a q <<< （2） 等比数列{}n a 递减⇔{1001a q ><< 或{101a q <>（3） 等比数列{}n a 为常数列⇔1q = （4） 等比数列{}n a 为摆动数列⇔0q <类型一： 等比数列的判定及通项公式的求解例1.（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A.数列{}1n a +不可能是等比数列B.数列{}n ka （k 为常数） 一定是等比数列C.若0n a >，则{}ln n a 一定是等差数列D.数列{}2n a 是等比数列，其公比与数列{}n a 的公比相等解析：A 项，若数列{}n a 为非-1的常数列，则{}1n a +是非零的常数列，显然是公比为1的等比数列，故该选项不正确；B 项，若0k =，则0n ka =，此时数列{}n ka 不是等比数列，所以该选项不正确；D 项，因为22112n n n n a a a a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以若数列{}n a 为等比数列，则数列{}2n a 是等比数列，其公比为数列{}n a 的公比的平方，所以该选项不正确，所以选C 答案：C练习1.对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A.139,,a a a 成等比数列 B.236,,a a a 成等比数列 C.248,,a a a 成等比数列 D.369,,a a a 成等比数列 答案：D练习2.已知数列{}n a 中，()111,212n n a a a n -==+≥ （1） 证明：数列{}1n a + 是等比数列 （2） 求n a答案：（1）数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列（2）21nn a =-例2.已知等比数列{}n a 中，0,n a >且1322,4a a a ==+，求 n a 解析：设等比数列{}n a 的公比为q0,0n a q >∴>由1322,4,a a a ==+得2224,q q =+即220,q q --= 解得2q = 或1q =-（舍去），因此2q =所以{}n a 的通项公式为()1222n n n a n N -+=⋅=∈答案：()1222n n n a n N -+=⋅=∈练习3.已知等比数列{}n a 中，3103,384a a ==，求7a 答案：748a =练习4.若等比数列{}n a 满足116,nn n a a += 则公比为 （）A.2B.4C.8D.16 答案：B类型二： 等比数列的性质例3.（2015广东梅州摸底）在等比数列{}n a 中，0,n a >且21431,9,a a a a =-=-则45a a += （） A.27 B.16 C.81 D.36解析：设公比为q 由已知得0q > 因为12341,9,a a a a +=+=所以234129,a a q a a +==+ 解得3q =或3-（舍），故 ()3451227a a a a q +=+⋅= 答案：A练习5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1237895,10,a a a a a a == 则456a a a = （）A. B.7 C.6 D. 答案：A练习6.已知数列{}n a 为等比数列，若4610,a a += 则1737392a a a a a a ++ 的值为（） A.10 B.20 C.60 D.100 答案：D例4.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122,a a a a e += 则12320ln ln ln ...ln a a a a ++++=解析：因为等比数列{}n a 中，1011912a a a a = 所以由510119122a a a a e += 可解得51011a a e = 所以()()()1051220122010111011ln ln ...ln ln ...ln 10ln 10ln 50a a a a a a a a a a e +++=⋅⋅⋅=⋅=⋅==答案：50练习7.若等比数列{}n a 满足241,2a a = 则2135a a a = ________________ 答案：14练习8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若28641,2,a a a a ==+ 则6a 的值是_________ 答案：4类型三：等比数列与指数函数的关系；等差数列与等比数列的结合 例5.已知等比数列{}n a 中，246,54,a a ==求5a解析：由24a a ≠知等比数列{}n a 的公比1q ≠，设其通项公式为nn a c q =⋅由已知得{2244654a c q a c q =⋅==⋅= 解得233c q ==⎧⎨⎩ 或233c q ==-⎧⎨⎩当3q =时()55231623a =⨯-=；当3q =-时()55231623a =⨯-=-；故5162a =或5162a =-答案：5162a =或5162a =- 练习9.已知{}n a 是等差数列，公差d ≠ 且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++=++ （）A.716B.916C.1116D.1316答案：D 练习10.设{}n a 为公比的等比数列，若2012a 和2013a 是方程24830x x -+=的两根，则20142015a a +=______________答案：18例6.（2015山西太原质检）设等差数列{}n a 的公差不为0，19,a d =若ka 是1a 与2ka 的等比中项，则k =（）A.2B.4C.6D.8解析：由题意得()()()()12118,2128k k a a k d k d a a k d k d =+-=+=+-=+又212k k a a a =⋅所以()()228928k d d k d +=+即2280k k --=解得4k =或2k =-（舍）答案：B练习11.各项均为正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠且2311,,2a a a 成等差数列，则234345a a a a a a ++++的值为（）A.12B.12C.12D.12或12答案：C练习12.已知,,a b c 成等比数列，如果,,a x b 和,,b y c 都成等差数列，则a cx y+= __________ 答案：21. 公差不为零的等差数列{a n }，a 2，a 3，a 7成等比数列，则它的公比为( ) A ．－4 B ．－14 C.14 D ．4答案：D2. 若2a ，b,2c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 答案：B3. 若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B4. 在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( )A ．90B ．30C ．70D ．40 答案：D5. 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列 答案：D6. 等比数列{a n }各项为正数，且3是a 5和a 6的等比中项，则a 1·a 2·…·a 10＝( ) A ．39 B ．310 C ．311 D ．312 答案：B7. 在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3 答案：D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：C2. 在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于( )A.32B.23C.16 D ．6 答案： A3. 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12答案：D4. 已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )A ．64B ．81C ．128D ．243 答案：A5. 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝±3，ac ＝9 答案：B6. 已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝__________. 答案： 3·2n －37. 已知等比数列前3项为12，－14，18，则其第8项是________．答案：－12568. 已知等比数{a n }中，a 1＝127，a 7＝27，求a n .答案：由a 7＝a 1q 6，得27＝127·q 6， ∴q 6＝272＝36，∴q ＝±3. 当q ＝3时，a n ＝a 1q n －1＝127×3n －1＝3n －4； 当q ＝－3时，a n ＝a 1q n －1＝127×(－3)n －1＝－(－3)－3·(－3)n －1＝－(－3)n －4. 故a n ＝3n －4或a n ＝－(－3)n －4.9. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 答案：410. 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于________．答案：－311. 已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 答案：(1)∵a 1a 2a 3＝216，∴a 2＝6，∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1、a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·(12)n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝± 2.能力提升12. 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215 答案： B13. 如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n}是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列 答案：A14. 在等比数列{a n }中，公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．当q >1时，{a n }为递增数列 B ．当0<q <1时，{a n }为递增数列 C ．当n ∈N ＋时，a n a n ＋2>0成立 D ．当n ∈N ＋时，a n a n ＋2a n ＋4>0成立 答案：C15. 等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( ) A ．(－2)n－1B ．－(－2)n－1C ．(－2)nD ．－(－2)n答案： A16. 各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－12答案： C17. 在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81答案：B18. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时，log a x ，log b x ，log c x ( ) A ．依次成等差数列 B ．依次成等比数列C ．各项的倒数依次成等差数列D ．各项的倒数依次成等比数列答案：C19. 在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________． 答案：64820. 从盛满20 L 纯酒精的容器里倒出1升后用水添满，再倒出1 L 混合溶液，再用水添满，这样连续进行，一共倒5次，这时容器里有纯酒精约__________L(结果保留3位有效数字)． 答案：15.521. 已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12，则a ，b ，c ( ) A ．成等差数列不成等比数列B．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列答案：A22.公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.答案：1623.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．答案：3或2724. {a n}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.答案：∵{a n}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，∴a3、a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根．∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4，当a3＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，∴1＋q4＝5，∴q4＝4.当a3＝16时，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，∴1＋q4＝54，∴q4＝14.∴a11＝a3q8＝64或1.25.设{a n}是各项均为正数的等比数列，b n＝log2a n，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式a n.答案：由b1＋b2＋b3＝3，得log2(a1· a2·a3)＝3，∴a1·a2·a3＝23＝8，∵a22＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3，设等比数列{a n}的公比为q，得log2(2q)·log2(2q)＝－3.∴1－(log2q)2＝－3，∴log2q＝±2.解得q＝4或14，∴所求等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 2·q n －2＝22n －3或a n ＝25－2n .26. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式． 答案：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意； 若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.27. 在等比数列{a n }中， (1)若a 4＝27，q ＝－3，求a 7； (2)若a 2＝18，a 4＝8，求a 1和q ； (3)若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a 3. 答案：(1)∵a 4＝a 1q 3，∴a 1＝a 4q 3＝27－27＝－1.∴a 7＝a 1q 6＝－(－3)6＝－729.(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝27q ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27q ＝－23. (3)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15， ①a 1q 3－a 1q ＝6. ②由①÷②，得q 2＋1q ＝52，所以q ＝12，或q ＝2. 当q ＝12时，a 1＝－16，a 3＝a 1q 2＝－4； 当q ＝2时，a 1＝1，a 3＝a 1q 2＝4.28. 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 答案：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝3a 1q 4＝81， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2. 29. 设数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3…)． 求证：数列{S n n}是等比数列． 答案：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n. ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2S n n . 故{S n n}是以2为公比的等比数列．。
等比数列概念优秀教案
等比数列的概念教案教学目标1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式．2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力．3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．教学重点和难点重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用．难点：对要领的深刻理解．教学过程设计(一)引入新课师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列．(板书)三等比数列(二)讲解新课师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解．(要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解)生：数列1，3，9，27，…师：你为什么认为它是等比数列呢？生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列．(先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维)师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．师：你对等比数列的理解呢？生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数．师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子．(若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了)师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子．生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列．师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值．说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列．生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列．师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来．(板书)1．定义如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．(教师在叙述的同时，再强调为突出所做出的比都相等，应写为同一个常数更准确)师：记住这句话并不难，关键是如何理解它，并利用它解决问题，先回到刚才几个例子看它们是否是等比数列，如果是，公比是多少？师：好，公比会找了，再来看这样一件事，等比数列从定义上与等差数列有很多密切关系使我们想到，有没有这样的数列，它既是等差数列也是等比数列呢？生：有，如数列1，1，1，1，…是一个以0为公差的等差数列，也是以1为公比的等比数列．师：除了这个数列以外，还能再举一个吗？师：他们举的例子都是对的，而且从例子中数列的特征，使我们联想到，形如a，a，a，…(a∈R)的数列好像都满足既是等差又是等比数列，是这样吗？(可让学生作短暂的讨论，再找学生回答)生：形如a，a，a，…这样的数列一定是等差数列(这一点可以由等差数列的定义加以证明)．但它未必是等比数列．师：能具体解释一下吗？生：当a=0时，数列每一项均为零，都不能作比，因此不是等比数列，a≠0时，此数列是等比数列．师：这个回答非常准确，通过对这个问题的研究，对于我们进一步认识等比数列有什么帮助吗？从中得到什么启示吗？生：等比数列中的每一项都不能为零，因为在定义中，数列中每一项都要做分母，所以均不能为零．师：这一点实际上是隐含在定义的叙述之中的，从另一个角度上讲，数列各项均不为零是这个数列成等比数列的什么条件呢？生：是必要非充分条件．师：这是我们对等比数列进一步理解得到第一点共识．(板书)2．对定义的理解(1)“a n≠0”是数列｛a n｝成等比数列的必要非充分条件．师：这一点是对等比数列的项的特殊要求，这与等差数列也是不同的．下面从另外一个角度研究一下定义，数学定义一般都是用文字语言叙述表达的，但是在使用时往往需要符号化，因此下面试用数学符号语言来描述它？师：这种描述过于具体，能否用简单的一个式子来概括这么多个比的等．师：由于n可取任意自然数，故a n+1可表示数列中每一项，a n可表示相应的前一项，因此这一个比可以代表无数多个比的相等，所以这个式子与定义是等价的．师：这个比式也可作为我们判断一个数列{a n}是否是等比数列的依据．这样我们就完成了对等比数列的定义的研究、回顾一下研究过程．主要做了这样两件事：一是利用类比方法得到了等比数列的定义；二是用抽象概括将定义翻译为符号语言，并能利用它证明一个数列是否是等比数列．下面要进一步研究等比数列，必须先搞清怎么表示一个等比数列，要表示数列，需先确定这个数列，确定一个等比数列几个条件呢？生：两个条件．师：哪两个条件？生：可以是首项和公比师：如果等比数列｛a n｝，首项为a1，公比为q，你会用什么方法来表示这个等比数列呢？生：可以表示为a1，a2，a3，a4…这是常用的列举法师：刚才举例时用的就是这种表示方法，除此之外，还有其它表示法吗？师：这两种表示法各有所长，但使用最方便的还是通项公式法．即如果已知{a n}是等比数列，首项是a1，公比是q，如何用n的解析式表示数列中的第n项呢？(板书) 3．等比数列的通项公式(1)已知等比数列｛a n｝，首项为a1，公比为q，则a n=？生：a n=a1q n-1(n∈N+)．师：你是怎么得到的．生：根据已知条件，数列可以写成a1，a1q，a1q2，a1q3，…从而发现规律，归纳出第n次a n=a1·q n-1．师：归纳的结论是正确的，且用的方法，调动的知识都非常好，寻找通项即寻找项的一般规律，先看特殊项，写出几项，再归纳出一般结论．这种方法是不完全归纳法，因此这个结论的正确性是需要证明的(请同学们课下完成)．(板书)a n=a1q n-1(n∈N+)．(2)对公式的认识与理解师：对于这个通项公式，可以从几个方面去认识它呢？(这不是第一次遇到这类公式，学生应知道从什么角度去认识公式)生：可以从函数观点去认识，把通项公式看作关于n的解析式．师：与什么函数的解析式相类似．生：指数函数．师：它类似于指数函数解析式，说明它在某些方面可能与指数函数有联系．生：还可以把它看作一个方程，用方程思想来求解其中的量．师：方程中有四个量，知三求一是最简单的公式应用，不过当已知a1，q和a n，求n时，此时的方程是个指数方程，求解时需多加注意．如｛a n｝是等比数列，首项是2，公比是2，那么256是数列中第几项？生：因为a n=a1q n-1，则a n=2·2n-1=2n．又a n=256，得256=2n．解得n=8．师：其它的例子不再举了．但如果只知二，那么就能求二，但求二恐怕一个方程就不能解决了，需要方程组才能解决．这也就是通项公式的不同层次的应用了，下面一起看这样一个题目．(板书) 例1 一个等比数列的第二项是2，第三项与第四项的和是12，求它的第八项的值．师：拿到这个题目，你打算怎样设计你的求解方案，或者说对这个题目有什么想法．生：想求出首项和公比．师：为什么要求出它们呢？生：有了首项和公比，就有了通项公式，就可以求出数列中任何一项．师：好，这就是计算中要抓基本量的思想．首项和公比就是等比数列的两个基本量．下面我们具体开始解，大家共同完成这个题目的求解．师：怎么解这个方程组呢？生：②÷①得q＋q2=6．解得q=－3或q=2．师：最后结果是正确的，但在具体求解过程中还有值得改进的地方．此题要求的是a8，即a1q7=a1q·q6=2q6．故只要把q求出即可求出a8的值．这样在解方程组时就不必求出a1，从而使运算过程得以简化．(板书) 解：设等比数列的首项为a1，公比为q．则由已知得②÷①得q2＋q=6．解得q=－3或q=2．则a8=a1q7=a1q·q6=2·q6=2·(－3)6=1458或a8=2q6=2·26=27=128．故数列第八项是1458或128．师：通过这个小题的计算，发现这类型题目主要是方程思想的应用．应用过程中主要是三个基本步骤：设、列、求，通过刚才的实践，你们觉得在这三步上应该注意什么呢？生：设未知数应注意设等比数列的基本量首项和公比．在解方程组时，通常会用到乘除消元的方法．师：总结得不错，在注意以上几点的同时，还应注意利用分析综合法寻求已知和所求之间的联系，以达到简化运算的目的．下面我们一起看例2．(此题先让学生讲明思路，根据时间完成主要内容即可)师：这个题目应从哪里入手解决呢？生：应先判断这个数列是否是等比或等差数列．师：为什么要做这件事呢？生：因为知道了是什么样的数列，就可以找出其通项公式，就可以判断某个数是否是数列中的项．师：如果判断它是否是等差或等比数列呢？师：好，这种思路是可行的，除此之外还有其他思路吗？生：可以利用2a n=3a n+1(n∈N+)找到2a1=3a2，2a2=3a3，… 2a4=3a5，可以找师：这种方法把一般关系具体化，有一定可取之处，但有一定的偶然性，因此两种思路比较而言，另一种方案更具一般性．下面请同学把这种方案具体实施一下．(让一个学生就说一个重要环节，并及时指出表述上的问题)师：这两步是等价的吗？生：不等价，应保证a n≠0才等价．师：题目中能保证a n≠0吗？生：根据条件“各项均为负”可以保证a n≠0．师：在表述上应怎样调整呢？(提醒学生，开方时必须指明a1＜0，才能保证只有一解)师：在这个题目求解过程中注意这样几点：(1)判断数列是等比数列时，将条件变形为比的形式，注意变形的等价性；(2)判断某个数是否是数列中的项，只需将该数代入通项公式，并解此方程，看是否有正整数解．(四)小结师：这节课主要学习了一个重要概念等比数列和一个重要的公式等比数列的通项公式．(1)对于这个概念要注意与等差数列的类比中把握它们的区别与联系．(2)对于通项公式除了记住内容，了解推导之外，关键是能用方程观点去认识，并应用它解决有关问题．(五)布置作业课本习题(略)课堂教学设计说明等比数列是在等差数列之后介绍的，因此它的数学方法不能简单地重复等差数列．应当既(体现)出两者的联系，又有所变化且有所提高．因此在教学方法上突出了类比思想的使用，教师为学生创造好使用的条件，引导学生自己研究相关内容如定义、表示方法．通项公式及对公式的认识，通过学生的研究，探索，加上老师概括总结，既充分发挥学生的主体作用又体现教师的主导作用．等比数列的通项公式应用是等比数列这段知识的重点，也是本节课的重点，方程思想的应用是公式应用的核心和关键．所以必须了解方程思想应用的特点，首先必须用方程的观点去认识等比数列的基础知识；再从本质上把握公式．其次在运用方程思想解题时，对于设元要抓好其中的关键量；最后在运用方程思想时需恰当应用整体代入，设而不求，如例1的计算应注意把a2=2的条件整体代入到所求的a8中，从而使a1设而不求．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）授课：XXX。
4.3.1等比数列的概念(教案)
4.3.1等比数列的概念教学设计一、教学目标1.通过实例，理解等比数列的概念。
2.掌握等比中项的概念并会应用。
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程。
4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形。
二、教学重点、难点（一）教学重点1.探索并掌握等比数列的通项公式。
2.运用通项公式解决实际问题。
（二）教学难点1.等比数列的运算、等比数列的性质及应用。
2.掌握等比数列的判断与证明方法。
三、教学过程环节一创设情境，引入课题问题1：前面我们学习了等差数列，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？【师生活动】学生独立思考、讨论交流。
教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“等差数列”；然后指引学生回顾等差数列相邻两项的关系，确定新数列的研究问题：相邻两项比是固定常数。
【设计意图】意在引导学生从运算的角度，类比已有研究对象的主要特征，发现一个新的特殊数列作为研究对象，这样的过程有利于培养学生发现问题和提出问题的能力。
问题2：“请看下面几个问题中的数列”，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？【师生活动】学生独立观察，充分思考，交流讨论。
根据学生交流讨论情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问。
【设计意图】该情境让学生从生活实例中发现各组数列在运算上的特点，目的在从而自然引出本节课的探究问题——等比数列的概念请看下面几个问题中的数列。
1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：23109,9,9,,9；①2310100,100,100,,100；②23105,5,5,,5；③2．《庄子・天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是11111④,,,,,24816323．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2,4,8,16,32,64,⑤4．某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是2345a r a r a r a r a r+++++⑥(1),(1),(1),(1),(1)追问：（1）你能用自然语言归纳每组数列的特征吗？（从相邻两项间的关系分析）（2）请归纳概括上述四个具体例子的共同特点。
4.3.1 等比数列的概念(精讲)(解析版)
4.3.1等比数列的概念一、等比数列的定义及通项公式1、等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示()0q ≠．2、对等比数列概念的理解（1）“从第2项起”，是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与前一项的比，前后次序不能点到，另外等比数列中至少含有三项；（2）定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与n 无关的常数，但是如果这些常数不相同，那么此数列也不是等比数列，当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列；（3）若一个数列不是从第2项其，而是从第3项起或第()3,n n n N *>∈项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列；（4）由定义可知，等比数列的任一项都不为0，且公比0q ≠；（5）不为0的常数列是特殊的等比数列，其公比为1。
3、等比数列的通项公式（1）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则通项公式为：11n n a a q -=.（2）通项公式的变形：n m n m a a q -=或n m nma q a -=二、等比中项1、定义：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列2G ab ⇒=2、对等比中项概念的理解（1）G 是a 与b 的等比中项，则a 与b 的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．此时，G =，即等比中项有两个，且互为相反数．（2）2G ab =时，G 不一定是a 与b 的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列；（3）在等比数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项；（4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列{}n a 中，2nn k n k a a a -+=⋅3、等差中项与等比中项区别（1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项；（2）任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则等比中项有两个，且互为相反数。
等比数列的概念及通项公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
{an }为等比数列 an2 an 1an 1 (n 2)
an21 an an 2 (n N * )
a 42 a 3a5
探究新知
巩固：等比中项的定义
1
±4 .
3.等比数列{an }中, a1 , q 2, 则a4与a8的等比中项是____
①
2，___
4 ，8；
②
-1，____
2 ，- 4
若a, G, b成等比数列 , 则G叫做a与b的等比中项。
G
b
G 2 ab G ab
a
G
（ a 、 b 同号, G 有两个取值）
注：三个数a,b,c成等比数列
2
ac
b
探究新知
四.等比中项的定义
若a, G, b成等比数列, 则G叫做a与b的等比中项, 此时G ab.
.
a7
n4
n4
n 3
析 : q 3 8, q 2, an a4 q 2 2 2
a4
6
26 n .
③若a2 a5 18, a3 a6 9, ak 1, 则k _____,
an ____
a3 a6 a2 q a5 q
1
析:
an
*
课堂练习
1. 判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比.
（1）
3，9，15，21，27，33; 不是； (2)1, 1.1, 1.21, 1.331, 1.461;
不是；
(5) 0,1,2,4,8,… 不是；
(6) 2,0,2,0,2,… 不是；
等比数列教案（精选7篇）
等比数列教案等比数列教案什么是教案？教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
等比数列教案（精选7篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。
那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编为大家收集的等比数列教案（精选7篇），希望能够帮助到大家。
等比数列教案1教学目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.(1)正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念;(2)正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;(3)通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.教材分析(1)知识结构等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.(2)重点、难点分析教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议(1)建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.(2)等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.(4)对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.(5)由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.(6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用. 等比数列教案2教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)①-2，1，4，7，10，13，16，19，②8，16，32，64，128，256，③1，1，1，1，1，1，1，④-243，81，27，9，3，1，，，⑤31，29，27，25，23，21，19，⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，⑧0，0，0，0，0，0，0，由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列).二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数。
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等比数列的概念
亳州三中 范图江
一、教学目
1、 体会等比数列特性，理解等比数列的概念。
2、 能根据定 判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。
3、 能 运用 比的思想方法得到等比数列的定 ,会推 出等比数列的通 公式。
二、教学重点、 点
重点：等比数列定 的 及 用，通 公式的推 。
点：正确理解等比数列的定 ， 根据定 判断或 明某些数列 等比数列， 通 公式的推 。
三、教学 程 1、 入
复 等差数列的相关内容 :
定 ： a n
1a
n
d,( n N * )
通 公式： a n a 1 (n 1)d , n N *
等差数列只是数列的其中一种形式， 在来看 两 数列 1、2、 4、 8⋯⋯ ，
1、 1 、
1 、 1
⋯⋯
2
4
8
： 两 数列中，各 数列的各 之 有什么关系？ 2、 探究 ，建构概念
：与等差数列的概念相 比，可以 出 种数列的概念 ？是什么？
<1> 定 ：如果一个数列从地
2 起，每一 与前一 的比 都等于同一个常数，
称此数列 的不 比数列。
个常数就叫做公比，用
q 表示。
<2> 数学表达式 ：
a n 1
q,( n N * )
a n
：从等比数列的定 及其数学表达式中，可以看出什么？也就是， 个公式在什么条件下
成立？
1
等比数列各 均不 零，公比
q 0 。
学生看
P 45 的 例，目的是 学生知道等比数列在 生活中的 用，从而知
道其重要性。
3、 运用概念
例 1 判断下列数列是否 等比数列：
（ 1） 1、 1、 1、 1、 1；
（ 2） 0、 1、 2、 4、 8；
（3） 1、
1 1
1 1
2 、 、 -
8 、 .
4 16
分析 （ 1）数列的首项为 1，公比为 1，所以是等比数列； （2）等比数列中的各项均不为零，所以不是等比数列；
1
（3）数列的首项为 1，公比为
，所以是等比数列 .
2
注 成等比数列的条件：
1
o
a
n 1
q;2 o a n 0;3o q 0 .
a n
练习 P 47 1、判断下列数列是否为等比数列：
（1） 1、 2、 1、 2、 1； （2） -2、 -2、 -2、 -2； （3） 1、
1 1
1
1 ； （4） 2、 1、
1 、 1 、 0.
3 、 、
27 、
2 4
9 81
分析 （ 1）
a 1 a 3 1
a 2
2，
，比值不等于同一个常数，所以不是等比数列；
a 2 2
（2）首项是 -2，公比是 1，所以是等比数列；
1
（3）首项是 1，公比是
，所以是等比数列；
3
（4）数列中的最后一项是零，所以不是等比数列
.
例 2 求出下列等比数列中的未知 ： （1） 2， a ， 8；
（2） - 4，b ，c ， 1
.
2
分析 在做 种 的 候，可以根据等比数列的定 ，列出一个或多个等式来求解。
（1）
a 8
，解得 a 4或 4 ；
2
a
b c 4 b b 2 4c b 2
（2） 1
,化简得 b 2c 2 , 解得
c . 2 c
1
c b
例 3 等比数列 a n 中，
① a 3=4， a 5=16，求 a n
② a 1=2，第二 与第三 的和 12，求第四 。
随堂
P23 。
思考 由前面的
5，等比数列
a n 的首 a 1 ，公比 q ，
a 2 a 1q, a 3 a 2 q a 1q 2 ,
a 4 a 3 q a 2 q 2 a 1q 3,
⋯⋯
以此 推，可以得到
a n 用 a 1 和 q 表示的数学表达式 ？
归纳猜测得到： a n a 1q n
1
证明
n
是等比数列，当
n 2 时，有
a
a 2 q,
a
3
q,
a
4
q,..., a n q ，用累积法把这 n-1 个式子相乘，
a 1
a 2 a 3
a
n 1
得
a
n
q n 1 ，所以 a n a 1q n 1
a 1
<3>通项公式 ： a n
a 1q n 1 ( n N * )
四、归纳总结
本节课的主要内容是等比数列的定义及其通项公式，要求学生能理解、掌握，并能 够会应用。
五、布置作业
练习册上与本节课相关的内容。
六、教学反思
上课刚开始的时候有点紧张，讲的内容不是很连贯流畅，不能和学生形成互动，但是等紧张情绪过后，讲课的语言变得很清晰，能注意观察学生，以便和学生产生交流，调动课堂气氛。
在以后的教学中，一定要保持平稳的心态，讲好课。