索罗增长模型ppt课件
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宏观经济学之运用索洛增长模型PPT课件
• 在长期内或在稳态的情况下，一个较高的 技术水平导致每个工人有更高的稳态资本 和实际GDP——k∗ and y∗，而不会导致增 长率的变化（它们仍然为0）。
Macroeconomics - Barro
10
Chapter 4
索洛增长模型 劳动投入的变化
劳动投入 （L）
图4.3 劳动投入水平的增加
Macroeconomics - Barro Chapter 4
Macroeconomics - Barro
3
Chapter 4
索洛增长模型
• 生产函数
y = A ·f (k)
• 索洛增长的基本方程
∆k/ k= s A·f( k)/k − sδ − n
Macroeconomics - Barro
4
Chapter 4
索洛增长模型 储蓄率的变化 (s)
图4.1 索洛模型中储蓄率上升的影响
索洛增长模型 人口增长率的变化
劳动投入 （L）
图4.4 人口增长率的上升
人口增长率=n’ 人口增长率=n
Macroeconomics - Barro Chapter 4
时间
14
索洛增长模型 人口增长率的变化
图4.5 索洛模型中人口增长率上升的效应
上面的直线比下面的直线有 更高的人口增长率
∆k/ k的决定因素
8
Chapter 4
索洛增长模型 技术水平的变化 (A)
• 在短期内，技术水平A的上升提高了每个工 人的资本增长率和实际GDP的增长率。
• 这些增长率在向稳态的过渡期间仍然保持 较高的水平。
Macroeconomics - Barro
9
Chapter 4
第三讲 索罗增长模型
K(t) sY (t) K (t)
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
2020/3/6
12
三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
3.储蓄率变化对产出的长期影响
稳态时，人均资本和人均产出不变 y* f (k*)
储蓄率变化 对产出的长 期影响
y * f (k*) k * f (k*) k *
s k * s
s
变化得到产出 的储蓄率弹性
y * s K (k*) s y 1K (k*)
产出的资 本弹性
2020/3/6
6
2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
lim
K 0
FK
lim
L0
FL
lim
K
FK
lim
L
FL
0
满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。因
cg*
sgf(k)
所有时点都位于另
一条可行的路径之 下。
0 kg*
k1*
k
动态无效率区域
2020/3/6
25
黄金律和动态无效率
c* cgold
sgold
s
纵轴表示对应于每一储蓄率的人均消费的稳态水平。使人均 稳态消费最大时的储蓄率被称为黄金律储蓄率，以sgold表示。
2020/3/6
26
索洛增长模型PPT课件
GDP增长率 人均GDP增长率
图2-7
中国1978-2009年GDP及人均GDP增长率（%）
.
11
350000 300000 250000 200000 150000 100000
50000 0
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
29252
21763
21124
18409
12140
33885 22885 19766
0
美国 日本 德国 英国 法国 意大利 加拿大 中国 印度 俄罗斯 巴西
图2-5 2008年按购买力平价法计算的GDP(亿美元)
.
9
50000 46716
45000
40000 35000 30000
34099
35613
.
13
30000 25000 20000 15000 10000
5000 0
图2-10 中国1978-2009年人均GDP（元）
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
.
14
3．经济增长与经济发展的区别与联系 （二）增长的源泉
35445
34045
30756
36444
25000
20000 15000 10000
5000
16139
5962
2972
10296
0
美国 日本 德国 英国 法国 意大利 加拿大 中国 印度 俄罗斯 巴西
图2-6 2008年按购买力平价法计算的人均GDP(美元)
图2-7
中国1978-2009年GDP及人均GDP增长率（%）
.
11
350000 300000 250000 200000 150000 100000
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1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
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21124
18409
12140
33885 22885 19766
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美国 日本 德国 英国 法国 意大利 加拿大 中国 印度 俄罗斯 巴西
图2-5 2008年按购买力平价法计算的GDP(亿美元)
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45000
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35613
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图2-10 中国1978-2009年人均GDP（元）
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
.
14
3．经济增长与经济发展的区别与联系 （二）增长的源泉
35445
34045
30756
36444
25000
20000 15000 10000
5000
16139
5962
2972
10296
0
美国 日本 德国 英国 法国 意大利 加拿大 中国 印度 俄罗斯 巴西
图2-6 2008年按购买力平价法计算的人均GDP(美元)
索罗增长模型PPT精选文档
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
03.06.2020
12
三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k ( t) s(k f ( t) ( ) n g )k ( t)
每单位有效劳动 的实际投资
有效折旧：为保持 k在现有水平所必 须进行的投资。
03.06.2020
10
图形表示
f(k) f(k)
c sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的 资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
03.06.2020
11
3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
03.06.2020
一国若想从最低级的野蛮状态 过渡到最高程度的丰饶，所需要的 仅仅是和平、轻松的税收和可以容 忍的公正原则的执行，其他一切都 可以从事物的自然进程中产生。
——亚当.斯密
1
问题提出
什么因素决定了经济增长？ 经济增长的一般趋势是什么？ 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 穷国能否赶上富国？
03.06.2020
23
四、储蓄率变化的影响
(3) 对消费的影响 在稳态，c*= f(k*)-(n+g+δ）
k* 当MPK= n+g+δ时，消费达
到最大。 使消费达到最大化的资本存
量被称为资本的黄金律。
f(k)
y2* y1*
f(k) (n+g+δ)k
第六讲 索洛经济增长模型
（6.18）
利用上面这个方程，我们就能够刻画出 k 的动态
学。利用链式法则可得：
k(t)
K(t) A(t)N (t)
K (t)
A(t ) N (t
)2
A(t)N(t) N (t) A(t)
= K(t) K (t) N(t) K (t) A(t)
A(t)N (t) A(t)N (t) N (t) A(t)N (t) A(t)
(6.12)
这个一阶偏微分方程描述了人均有效资本
随时间演进的规律，我们能把它写成如下形式：
这里：
kt1 g (kt )
(6.13)
2020/3/1
g(k) (1 )k sf (k)
(1 g A )(1 gN )
第六讲 索洛经济增长模型
(6.14)
17
根据我们对函数 f (k) 所作的假定，可以知道函数
第一，消费者按一个外生的比率把收入储蓄起来。 第二，消费者无弹性地供给所有的劳动和资本。
2020/3/1
第六讲 索洛经济增长模型
13
三、索洛模型的动态学
2020/3/1
第六讲 索洛经济增长模型
14
在经济中，资本将以如下规则被积累：
Kt1 (1 )Kt It
（6.7）
这里，I t 是总投资， 是折旧率。因为我
位有效劳动的平均资本存量的变动率是两项之差。第
一项 sf (k) 是每单位有效劳动的平均实际投资：每单位
有效劳动的平均产量为 f (k) ，该产量中用于投资的比
例为 s。第二项 (n g )k 是持平投资（Break-even
investment），即使得 k 保持在其现有水平上所必须的
索洛模型精品PPT课件
23
朝向稳态移动
只要 k < k*, 投资就大于折旧，k 就会继续增大直至 k*.
投资与折旧
k sf(k)
k3 k*
人均资本 k
24
k > k*
类似地，假定经济的初始资本水平高于稳定状态。 在这种情况下，投资小于折旧：资本的磨损快于更替。 资本存量将减少，又一次向稳定状况的水平趋近 一旦资本存量达到了稳定状态，投资等于折旧，资本 存量增加或减少的压力都不存在
k = 0. 资本存量和产出随时间的推移是稳定的（既不增加也不减
少）。此时的资本存量 k*, 称为 稳定状态的资本存量。
18
投资与折旧
稳态
折旧k 投资sf(k)
k*
无论经济开始时的资本是多少，总是以稳定 状态的资本水平结束，也就是说，稳定状态代 表经济的长期均衡
人均资本 k
19
向稳态移动
（开始时经济中的资本小于稳态资本水平）
10
消费函数
索洛模型假设每年人们储蓄s比例的收入， 消费（1-s）比例的收入
消费函数: c = (1–s)y
S为储蓄率，是介于0-1之间的一个数。就目前 而言，将储蓄率S 视为给定的
11
储蓄与投资
人均储蓄= y – c = y – (1–s)y = sy
国民收入核算恒等式 y = c + i
索洛增长模型是为了说明在一个经济中，资本 存量的增长，劳动力的增长以及技术进步是如 何影响一国产品与服务的总产出
为理解该模型，需分步骤来进行 先考虑产品的供求是如何决定资本积累。在这
里假定劳动力和技术不变 接下来放松假定，考虑劳动力的变动 最后考虑技术的变革
5
一、资本积累
主要考虑以下三个方面的问题： 产品的供求 资本存量的增长与稳定状态 储蓄率的变动
朝向稳态移动
只要 k < k*, 投资就大于折旧，k 就会继续增大直至 k*.
投资与折旧
k sf(k)
k3 k*
人均资本 k
24
k > k*
类似地，假定经济的初始资本水平高于稳定状态。 在这种情况下，投资小于折旧：资本的磨损快于更替。 资本存量将减少，又一次向稳定状况的水平趋近 一旦资本存量达到了稳定状态，投资等于折旧，资本 存量增加或减少的压力都不存在
k = 0. 资本存量和产出随时间的推移是稳定的（既不增加也不减
少）。此时的资本存量 k*, 称为 稳定状态的资本存量。
18
投资与折旧
稳态
折旧k 投资sf(k)
k*
无论经济开始时的资本是多少，总是以稳定 状态的资本水平结束，也就是说，稳定状态代 表经济的长期均衡
人均资本 k
19
向稳态移动
（开始时经济中的资本小于稳态资本水平）
10
消费函数
索洛模型假设每年人们储蓄s比例的收入， 消费（1-s）比例的收入
消费函数: c = (1–s)y
S为储蓄率，是介于0-1之间的一个数。就目前 而言，将储蓄率S 视为给定的
11
储蓄与投资
人均储蓄= y – c = y – (1–s)y = sy
国民收入核算恒等式 y = c + i
索洛增长模型是为了说明在一个经济中，资本 存量的增长，劳动力的增长以及技术进步是如 何影响一国产品与服务的总产出
为理解该模型，需分步骤来进行 先考虑产品的供求是如何决定资本积累。在这
里假定劳动力和技术不变 接下来放松假定，考虑劳动力的变动 最后考虑技术的变革
5
一、资本积累
主要考虑以下三个方面的问题： 产品的供求 资本存量的增长与稳定状态 储蓄率的变动
part5索洛增长模型
长期经济增长中的“70”规则（见WORD文件）
1/28/2020
21
假设 n g 6% ，K =1/3，则 4%（表示 k 和 y 向 k*和
y*每年移动剩余距离的 4%），因此走完平衡增长路径距离的一半约需 18 年时间。
因此，当储蓄率增加 10%时，人均产出长期内仅变化 5%。第 1 年增长 0.04(5%)=0.2%，18 年后增长 0.5(5%)=2.5%。
k
*gold
，
f
'(k
*
(s,
n,
g,
)) < (n
g
),
c *
<0
s
16
f '(k)
c gold
f (k)
(n g )k(t)
sf (k)
1/28/2020
k*gold
k
当MPK＝f’(k)=n+g+δ时，消费达到最大。使消费
最大化的资本存量被称为资本的黄金律水平。 17
久性地影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产
出变化只有较小的影响，且作用缓慢。
1/28/2020
25
八、对索洛模型的评论
索洛模型的若干例证
世界及主要发达国家和发展中国家的投资率 一些经济体资本对经济增长的贡献
①f(0)=0,f’(k)>0,f’’(k)<0
资本的边际产出：
MPK
F(K, AL) K
ALf (K / K
AL)
f (k)
由规模报酬 F(K, AL) AL F(K / AL,1) AL f (K / AL)
索洛-斯旺增长模型 ppt课件
s：储蓄率（外生）；
：折旧率（外生）。
ppt课件
10
模型的核心公式：
ppt课件
11
k*
无论 k 在哪里开始，它总会收敛于 k *
ppt课件
12
(二)稳态与平衡增长路径
“稳态”是指一种在其中各种经济变量都以不变速率增长的状态。 在此状态下，经济的增长路径我们称之为“平衡增长路径”。
如上图所示：
消费者的储蓄率为常数s,国内储蓄S=s ·Y等于国内投资I,这样， 资本存量的变化（即净投资）等于总投资减去折旧：
K t sY t K t
s：储蓄率（外生）；
：折旧率（外生）。
ppt课件
8
假设总结
经济社会只有生产和消费两个部门，资本K、劳动L和知识A是生产 的三大要素（其他要素都可以忽略），经济在任何时刻都处于充分就业 的均衡状态，储蓄总是等于投资；
经济中的技术进步可表述为劳动密集型，即生产函数可写为：
Y(t) = F(K(t), A(t)L(t))
(2-1)
如此形式的生产函数具有如下两层重要含义。
第一，时间因素不是以直接的方式，而是以间接的方式通过资本因素K、劳动因
素L和知识因素A进入生产函数关系之中的。
第二，知识与劳动连带进入生产函数。这种形式的技术进步就是劳动密集型技
是重根要据的规。模报酬不变F假AK设L ,，1可 以A1L将F生K产, A函L数写成密集形式： y f k
y为单位有效劳动的平均产量； k为单位有效劳动的平均资本量。
ppt课件
3
2.每种投入的边际产出为正且递减
ppt课件
4
3.满足稻田条件
ppt课件
5
ppt课件
6
：折旧率（外生）。
ppt课件
10
模型的核心公式：
ppt课件
11
k*
无论 k 在哪里开始，它总会收敛于 k *
ppt课件
12
(二)稳态与平衡增长路径
“稳态”是指一种在其中各种经济变量都以不变速率增长的状态。 在此状态下，经济的增长路径我们称之为“平衡增长路径”。
如上图所示：
消费者的储蓄率为常数s,国内储蓄S=s ·Y等于国内投资I,这样， 资本存量的变化（即净投资）等于总投资减去折旧：
K t sY t K t
s：储蓄率（外生）；
：折旧率（外生）。
ppt课件
8
假设总结
经济社会只有生产和消费两个部门，资本K、劳动L和知识A是生产 的三大要素（其他要素都可以忽略），经济在任何时刻都处于充分就业 的均衡状态，储蓄总是等于投资；
经济中的技术进步可表述为劳动密集型，即生产函数可写为：
Y(t) = F(K(t), A(t)L(t))
(2-1)
如此形式的生产函数具有如下两层重要含义。
第一，时间因素不是以直接的方式，而是以间接的方式通过资本因素K、劳动因
素L和知识因素A进入生产函数关系之中的。
第二，知识与劳动连带进入生产函数。这种形式的技术进步就是劳动密集型技
是重根要据的规。模报酬不变F假AK设L ,，1可 以A1L将F生K产, A函L数写成密集形式： y f k
y为单位有效劳动的平均产量； k为单位有效劳动的平均资本量。
ppt课件
3
2.每种投入的边际产出为正且递减
ppt课件
4
3.满足稻田条件
ppt课件
5
ppt课件
6
索洛模型课件
索洛模型基于以下假设：生产函数是规模报酬不变的，即增 加投入的倍数，产出也增加相同的倍数；生产要素之间可以 相互替代；技术进步是中性的，即技术进步不改变资本和劳 动之间的边际替代率。
索洛模型的基本假设
生产的规模收益不变
意味着当所有生产要素都增加时，产出也会按相同的比例增加。
生产要素之间可以相互替代
06
索洛模型与其他经济增长模型的 比较
与哈罗德-多马模型比较
哈罗德-多马模型强调了资本积 累在经济增长中的作用，而索洛 模型则引入了劳动和技术进步作
为经济增长的独立因素。
哈罗德-多马模型假设经济中存 在一个稳定的资本-产出比率， 而索洛模型则认为这个比率是可
变的。
哈罗德-多马模型假设储蓄率是 外生的，而索洛模型则认为储蓄 率是内生的，取决于经济中的收
形式
$Y=F(K,L)$，其中Y表示总产出，K表 示资本投入，L表示劳动投入。
劳动、资本、技术进步对产出的贡献
劳动
劳动投入的增加会提高产出水平 ，但存在边际收益递减规律，即 随着劳动投入的增加，单位劳动
产出的增加逐渐减少。
资本
资本投入的增加也会提高产出水平 ，同样遵循边际收益递减规律。
技术进步
技术进步可以改善生产效率，提高 单位要素的产出水平，是经济增长 的重要源泉。
L'表示劳动投入的增长
率。
03
索洛模型的应用
对经济增长的预测
总结词
索洛模型可以用来预测经济增长，通过分析生产函数和储蓄率等参数的变化趋 势，可以预测未来经济增长率。
详细描述
索洛模型是一种基于生产函数的经济增长模型，通过将资本、劳动力和技术进 步等要素纳入模型中，可以模拟经济增长的过程。通过对模型参数的调整和优 化，可以预测未来经济增长的趋势和速度。
索洛模型的基本假设
生产的规模收益不变
意味着当所有生产要素都增加时，产出也会按相同的比例增加。
生产要素之间可以相互替代
06
索洛模型与其他经济增长模型的 比较
与哈罗德-多马模型比较
哈罗德-多马模型强调了资本积 累在经济增长中的作用，而索洛 模型则引入了劳动和技术进步作
为经济增长的独立因素。
哈罗德-多马模型假设经济中存 在一个稳定的资本-产出比率， 而索洛模型则认为这个比率是可
变的。
哈罗德-多马模型假设储蓄率是 外生的，而索洛模型则认为储蓄 率是内生的，取决于经济中的收
形式
$Y=F(K,L)$，其中Y表示总产出，K表 示资本投入，L表示劳动投入。
劳动、资本、技术进步对产出的贡献
劳动
劳动投入的增加会提高产出水平 ，但存在边际收益递减规律，即 随着劳动投入的增加，单位劳动
产出的增加逐渐减少。
资本
资本投入的增加也会提高产出水平 ，同样遵循边际收益递减规律。
技术进步
技术进步可以改善生产效率，提高 单位要素的产出水平，是经济增长 的重要源泉。
L'表示劳动投入的增长
率。
03
索洛模型的应用
对经济增长的预测
总结词
索洛模型可以用来预测经济增长，通过分析生产函数和储蓄率等参数的变化趋 势，可以预测未来经济增长率。
详细描述
索洛模型是一种基于生产函数的经济增长模型，通过将资本、劳动力和技术进 步等要素纳入模型中，可以模拟经济增长的过程。通过对模型参数的调整和优 化，可以预测未来经济增长的趋势和速度。
相关主题
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6
2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
lim
K 0
FK
lim
L0
FL
lim
K
FK
lim
L
FL
0
满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。
因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。
3
以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡 结构：
家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自 主决策。
企业雇佣投入品进行生产。 家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。
4
二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出Y、资本K、劳动L，以及知 识或劳动的有效性A。 生产函数：
14
2、稳态
单位有效劳动资 本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
f(k)
k 0
(n＋g+δ)k f(k) sf(k)
A
k*
k
索洛－斯旺模型
在A点，实际投资与有 效折旧相等，资本存量 不变，经济达到稳态： 单位有效劳动的k*, y*, c*固定不变。消费为：
gx
x
x dt
劳动增长率为n：
L(t) n L(t)
t时劳动力：
Hale Waihona Puke L(t) L(0)ent
技术进步率为g： A (t) g t时技术存量： A(t )
A(t) A(0)egt
产出在消费和投资之间分割，那么储蓄 等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本
K (t) sY (t) K (t)
7
模型的集约形式
根据规模报酬不变假设可以得到
F(K, AL) AL F(K / AL,1) AL f (K / AL)
于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)： y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 效劳动的资本
8
假设的含义
k(t) 0 k下降 k(t) 0 k不变
13
2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的
状况，即 k(t) 0 平衡增长（balanced growth): 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增 长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态 的路径也是平衡增长的路径。
一国若想从最低级的野蛮状态 过渡到最高程度的丰饶，所需要的 仅仅是和平、轻松的税收和可以容 忍的公正原则的执行，其他一切都 可以从事物的自然进程中产生。
——亚当.斯密
1
问题提出
什么因素决定了经济增长？ 经济增长的一般趋势是什么？ 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 穷国能否赶上富国？
16
3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* f (k*)
根据单位有效 y* Y / AL Y y * AL 结论：索罗模
工人产出的定 义可以计算出
ln Y ln y*ln A ln L
型意味着，无 论起点在何处，
总产出的增长 速度：
2
一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。
稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际 产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。
其作用在于确保经济的路径不发散。即
lim f (k)
k 0
根据假设1得到：
lim f (k) 0
k
f (0) 0 f (k ) 0 f (k ) 0
9
边际产出
c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)(n+g+δ）k*
15
2、稳态
稳态均衡图示
因为
d[sf (k) / k] s d[ f (k) / k]
dk
dk
s
f (k) kf '(k) k2
s
F 'AL k2
0
sf (k) / k
k(t)
(n g )
k*
k
k*
k
资本的边际产出
MPK
F(K, AL) K
ALf (K / K
AL)
f
(k )
有效劳动的边际产出
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F(K, AL) L
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
12
三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
k(t) 0 k增加
每单位有效劳动 的实际投资
有效折旧：为保持 k在现有水平所必 须进行的投资。
10
图形表示
f(k) f(k)
c sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的 资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
11
3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
dx / dt x d ln x
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。
AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步
被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
5
二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
Y L A n g
Y LA
资本增长率 k* K / AL K k * AL
2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
lim
K 0
FK
lim
L0
FL
lim
K
FK
lim
L
FL
0
满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。
因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。
3
以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡 结构：
家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自 主决策。
企业雇佣投入品进行生产。 家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。
4
二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出Y、资本K、劳动L，以及知 识或劳动的有效性A。 生产函数：
14
2、稳态
单位有效劳动资 本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
f(k)
k 0
(n＋g+δ)k f(k) sf(k)
A
k*
k
索洛－斯旺模型
在A点，实际投资与有 效折旧相等，资本存量 不变，经济达到稳态： 单位有效劳动的k*, y*, c*固定不变。消费为：
gx
x
x dt
劳动增长率为n：
L(t) n L(t)
t时劳动力：
Hale Waihona Puke L(t) L(0)ent
技术进步率为g： A (t) g t时技术存量： A(t )
A(t) A(0)egt
产出在消费和投资之间分割，那么储蓄 等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本
K (t) sY (t) K (t)
7
模型的集约形式
根据规模报酬不变假设可以得到
F(K, AL) AL F(K / AL,1) AL f (K / AL)
于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)： y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 效劳动的资本
8
假设的含义
k(t) 0 k下降 k(t) 0 k不变
13
2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的
状况，即 k(t) 0 平衡增长（balanced growth): 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增 长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态 的路径也是平衡增长的路径。
一国若想从最低级的野蛮状态 过渡到最高程度的丰饶，所需要的 仅仅是和平、轻松的税收和可以容 忍的公正原则的执行，其他一切都 可以从事物的自然进程中产生。
——亚当.斯密
1
问题提出
什么因素决定了经济增长？ 经济增长的一般趋势是什么？ 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 穷国能否赶上富国？
16
3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* f (k*)
根据单位有效 y* Y / AL Y y * AL 结论：索罗模
工人产出的定 义可以计算出
ln Y ln y*ln A ln L
型意味着，无 论起点在何处，
总产出的增长 速度：
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一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。
稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际 产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。
其作用在于确保经济的路径不发散。即
lim f (k)
k 0
根据假设1得到：
lim f (k) 0
k
f (0) 0 f (k ) 0 f (k ) 0
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边际产出
c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)(n+g+δ）k*
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2、稳态
稳态均衡图示
因为
d[sf (k) / k] s d[ f (k) / k]
dk
dk
s
f (k) kf '(k) k2
s
F 'AL k2
0
sf (k) / k
k(t)
(n g )
k*
k
k*
k
资本的边际产出
MPK
F(K, AL) K
ALf (K / K
AL)
f
(k )
有效劳动的边际产出
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F(K, AL) L
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
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三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
k(t) 0 k增加
每单位有效劳动 的实际投资
有效折旧：为保持 k在现有水平所必 须进行的投资。
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图形表示
f(k) f(k)
c sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的 资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
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3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
dx / dt x d ln x
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。
AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步
被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
Y L A n g
Y LA
资本增长率 k* K / AL K k * AL