高中数学类比推理教案1 新人教A版选修2-2

§2.1.1.2类比推理●教学目标：（一）知识与能力：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。

（二）过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

（三）情感态度与价值观：1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。

●教具准备：与教材内容相关的资料。

●教学设想：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

●教学过程：学生探究过程：除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比．例如，据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等。

事实上，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。

从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？中国古代杰出科学家张衡，曾将人们日常生活中的影子与日月食现象的类似情况进行类比，提出了日月食科学成因的初步认识。

几百年前，人们对热量的认识是非常直观的，将一定质量的水加热到沸点所吸收的热确定为基本热量单位“大卡”。

科学家焦耳通过对比热与功相互转化过程中的类似现象，指出了它们本质的同一性，这就是热力学基本定律。

运用类比推理，通过对一些类似现象、过程的对比分析，可能在看似互不关联的当然、偶然信息中发现规律性的必然。

类比推理亦称类比法或简称“类比”。

它是根据A与B两个或两类对象在某些属性上相同或相似，已知A对象还有另外某种属性，推出B对象也有这种属性的推理。

类比推理的公式可表示为：A对象具有属性a、b、c、d；B对象具有属性a、b、c；所以，B对象具有属性d。

为了提高类比推理结论的可靠性，逻辑学提出了一些要求:应当尽可能多地列举出对象间相似属性和选择较为本质的属性进行类比。

数学活动我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质： 猜想不等式的性质：(1) a=b ⇒a+c=b+c; (1) a ＞b ⇒a+c ＞b+c;(2) a=b ⇒ ac=bc; (2) a ＞b ⇒ ac ＞bc;(3) a=b ⇒a 2=b 2;等等。

(3) a ＞b ⇒a 2＞b 2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试根据等差数列的性质猜想等比数列的性质。

等差数列 等比数列a n -a n-1=d(n ≥2,n ∈N) ),2(1N n n q a a n n ∈≥=- a n =a 1+(n-1)d a n =a 1⋅qn-1 a n =211+-+n n a a (n ≥2,n ∈N) a n 2=11-+⋅n n a a (n ≥2,n ∈N) 设问1：观察上述公式，等差数列、等比数列相关公式的对应运算法则规律是什么？ 设问2：如何分析表达式结构特征？)2()2(5)4(g f f -设问3：类比对象是什么？三角形与三棱柱。

属于平面图形性质与空间图形性质的类比。

设问4：类比属性有哪些？如何从几何要素角度进行分析？（板书）：三角形 三棱柱面 积 体 积边 面线段长 面 积平面角 二面角由此，可类比猜测本题的答案（板书）：11111111112222cos AAC CABB A BCC B ABB A BCC B S S S S S θ=+-⋅ 设问5：本题中，类比对象各是什么？等差数列与等比数列性质的类比。

设问6：类比结论的结构特点是什么？（板书） 等差数列 a 10=0左：前n 项和 右：前19-n 项和 2⨯10-1-n=19-n设问7：项数10、n 、19-n 之间的关系如何确定？19-n=2⨯10-1-n等比数列 b 9=1左：前n 项积 右：前17-n 项积2⨯9-1-n=17-nb 1b 2⋯b n =b 1b 2⋯b 17-n (n<17,n ∈N)设问8：如何证明猜想等式成立？常见两种证法：1、等式左右两边分别用通项公式代入，转化为首项和公比的关系；2、不妨设17-n>n,b 1b 2⋯b n =b 1b 2⋯b n b n+1b n+2⋯b 16-n b 17-n由b n+1b 17-n =b n+2b 16-n =⋯=b 92=1可得结论成立。

设问9：对类比推理有了一定的体验。

例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比而提出新问题和作出新发现．例如，数学家波利亚（Polya ）曾指出：“类比是一个伟大的引路人面几何中的类比问题．”数学中还有向量与数的类比，求解立体几何问题往往有赖于平无限与有限的类比，不等与相等的类比，等等．例4（课本例2）类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质．分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位因此我们可以从上述 4 个方面来类比这两种运算．解：(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数．（2）从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即a +b = b + a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程a + x=0 ax=1 (a ≠0 )都有唯一解 x=-a x=1a(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数，即 a + 0= a a 1= a运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．例如，在立体几何中，为了研究四面体的性质，我们可以在平面几何中寻找一个研究过的对象，通过类比这个对象的性质，获得四面体性质的猜想以及证明这些猜想的思路．探究：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？我们可以从不同角度出发确定类比对象，如围成四面体的几何元素的数目、位置关系、度量等．基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象．例如，从构成几何体的元素数目看，四面体由4个平面围成，它是空间中由数目最少的基本元素（平面）围成的封闭几何体；在平面内，两条直线不能围成一个封闭的图形，而3条直线可以围成一个三角形，即三角形是平面内由数目最少的基本元素（直线）围成的封闭图形．从这个角度看，我们可以把三角形作为四面体的类比对象．⎧⎫⎧------⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪--⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎬-----⎪⎪⎪⎪---⎪⎪⎪⎪---⎪⎪-----∆⎪⎪⎪⎪------⎩⎭三四面（积）边长棱（长）三面角（顶点）角（顶点）二面角（棱）角面面积（法）体积（法）内切圆（心）内切球（心）外接圆（心）外接球（心）边中点面的重心重心四面体重心形体 本图可参考王扬老师的论文《平面几何命题向立体几何移植新探》（《数学教学研究》2000.1）.下面，我们就来看一个通过类比平面几何中的结论，得到立体图形性质的猜想的例子．例 5 （课本例3）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个面两两垂直的个面是四面体，作为直角三角形的类比对象．如图2.1-1所示，与Rt △ABC 相对应的，是四面体P-DEF; 与Rt △ABC 的两条边交成1个直角相对应的，是四面体P-DEF 的3个面在一个顶点处构成3个直二面角；与Rt △ABC 的直角边边长a , b 相对应的，是四面体 P - DEF 的面△DEF ，△FPD 和△DPE 的面积S 1 , S 2和S 3；与Rt △ABC 的斜边边长c 相对应的，是四面体P -DEF 的面△PEF 的面积S.由此，我们可以类比Rt △ABC 中的勾股定理，猜想出四面体P-DEF 四个面的面积之间的关系解：如图2.1-1所示，我们知道，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得222c a b =+.于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体 P - DEF 我们猜想2222123S S S S =++. 思考：这个结论是正确的吗？请同学们自己．我们把前面所进行的推理过程概括为：可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理、我们把它们统称为合情推理（plausible reasoning ）公．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．下面再来看一个例子．例 6（课本例4）如图2 .1-2 所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．1．每次只能移动1个金属片；2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．试推测：把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？分析：我们从移动1, 2, 3, 4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动 n 个金属片所需的次数．解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13 )表示，共移动了1次．当n=2 时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：(1)把第1个金属片从1号针移到 2 号针；(2)把第2个金属片从1号针移到 3 号针；(3)把第1个金属片从2号针移到 3 号针．用符号表示为：(12 ) (13 ) (23 ) .共移动了3 次．当n=3 时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2 的情形，移动顺序是：(1)把上面两个金属片从1号针移到2号针；(2)把第 3 个金属片从1号针移到3号针；(3)把上面两个金属片从 2 号针移到3 号针．其中（1）和（3）都需要借助中间针．用符号表示为：( 13 ) (12 ) ( 32 ) ; ( 13 ) ; ( 21 ) ( 23 ) ( 13 ) .共移动了 7 次．当n=4 时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：(1)把上面3个金属片从1号针移到2号针；(2)把第4个金属片从 1 号针移到3号针；(3)把上面 3 个金属片从 2 号针移到 3 号针．用符号表示为：( 12 ) ( 13 ) (23 ) (12 ) (31) (32 ) (12 ) ; (13 ) ; ( 23 ) (21 ) (31 ) (23 ) ( 12 ) (13 ) (23 ) .共移动了15次．至此，我们得到依次移动1, 2, 3, 4 个金属片所需次数构成的数列：1, 3, 7,15. 观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：1 = 21- 1 ,3 = 22 - 1,7 = 23 -1,15 = 24 -1.由此我们猜想：若把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动n a 次，则数列{n a }的通项公式为*21()n n a n N =-∈． ①通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n 个金属片都适用的移动方法．当移动n 个金属片时，可分为下列3个步骤：(1)将上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针；(2)将第 n 个金属片从1号针移到3号针；(3)将上面（n -1）个金属片从2号针移到3号针．这样就把移动n 个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第 n 个金属片的任务．而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和移动一次第（n-1）个金属片，移动（n-2）个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第（n-2）个金属片… … 如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形．根据这个过程，可得递推公式1*11,21(,1).nn a a a n N n -=⎧⎨=+∈>⎩ 从这个递推公式出发，可以证明通项公式①是正确的．一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 例如，法国数学家费马观察到1221+= 5,2221+= 17 ,3221+= 257 ,4221+=65 537都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如221n +. (*n N ∈) 的数都是质数．这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于计算的欧拉（ Euler ）发现，第 5 个费马数 52521F =+= 4 294 967 297 = 641×6 700 417不是质数，从而推翻了费马的猜想．例4.在平面上,设h a ,h b ,h c 是三角形ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P 到相应三边的距离分别为p a ,p b ,p c ,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论.巩固练习：1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。