高等数学函数与模型

高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限

函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
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函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
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函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
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函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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函数与极限
26
五、小结
基本概念集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数

高等数学(绪论)

掌握基本原理
基本原理是高等数学的核心，需要熟练掌握。在学习过程中，要注重对定理、公式的推导和证明，理解其逻辑和证明过程。
多做习题，培养解题能力
做习题
通过大量练习习题，可以加深对知识点的理解和掌握，培养解题能力和技巧。在练习过程中，要注重对题目的理解和分析，掌握解题思路和方法。
VS
解题能力
推理思维的培养需要学生注重观察和实验，从具体问题中寻找规律和线索，通过归纳和总结得出一般性的结论。同时，学生还需要注重培养自己的创造性思维，能够从不同角度和思路出发进行思考和探索。
04
高等数学的学习方法
理解概念，掌握基本原理
理解概念
高等数学中的概念通常比较抽象，需要深入理解。在学习过程中，要注重对概念的解释和推导，理解其本质含义和应用场景。
05
高等数学的重要性和意义
对其他学科的影响
物理学
高等数学提供了描述物理现象和规律的数学语言，如微积分、线性代数和微分方程等。
工程学
高等数学是解决复杂工程问题的关键工具，如流体力学、结构力学和航空航天工程等。
经济学
高等数学在经济学中广泛应用，如统计分析、计量经济学和决策理论等。
对个人发展的影响
高等数学是大学理工科、经济学、管理学等学科的重要基础课程，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
高等数学的应用领域
物理学高等数学在物理学中有广泛应用，如力学、电磁学、光学等领域都需要用到高等数学的知识。
计算机科学计算机科学中，高等数学主要用于算法设计、数据结构、图像处理等领域，有助于提高计算机科学和技术的水平。
联系
高等数学与初等数学有着密切的联系，初等数学是高等数学的基础。高等数学中的许多概念和方法都是在初等数学的基础上发展起来的，同时高等数学也为解决初等数学中的问题提供了更为深入和有效的方法。

电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏骈俊生)ppt-第一章函数及其应用-电子课件

第如果对于任意 y f (D)，都可以从关系式y f (x)
一节
中确定唯一的值 x D 与之对应，那么所确定的以 y为自变量的函数x f 1( y) 称为函数的反函数.
函
数
习惯上，函数自变量用x 表示，所以反函数
及
其
通常表示为 y f 1(x) ，
性质
此时函数与反函数的
图像有如图对称性。
由于鱼缸的容积为180cm3 ，即有x2h 108
模型和工
由此得
h 108 x2
程
所以总费用与底面边长的函数关系为：
曲
线
C 2ax2 432a ， x ( 0 , )
x
第二节函数模型和工程曲线
4.函数的有界性
定义1.7 设函数y f (x)在区间I上有定义，
第
如果存在一个正数 M，对于任意xI ，恒
一节
有| f (x) | M 成立，则称y f (x) 是区间I 上
函
的有界函数；如果这样的正数M 不存在，
数及
则称 y f (x) 是区间 I上的无界函数。
其
性质
比如：函数 y sin x 在区间(, ) 内是有
3.函数的周期性
定义1.6 设T 为一个非零实数，如果函数
y f (x) 对于其定义域内任意x D ，且x T D
第一
都有 f (T x) f (x) ，则称y f (x)是周期函数，
节
习惯上，把上述关系式成立的最小正数称
函
为周期。
数
及
其性
例如求函数 f (x) Asin(wx ) 的周期：
xx
x3
注意：若不考虑实际意义，只研究用解析

高等数学知识点

高等数学知识点高等数学知识点在日复一日的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。

哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编为大家收集的高等数学知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

高等数学知识点1第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.会建立简单应用问题中的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。

4.掌握基本初等函数的性质及图形。

5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。

6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。

7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。

8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

9.掌握极限性质及四则运算法则。

10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。

3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。

2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。

3.了解函数图形的作图步骤。

了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。

4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。

第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。

2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。

高等数学(函数与极限)完全归纳笔记

目录：函数与极限 (1)1、集合的概念 (1)2、常量与变量 (2)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

高等数学：函数的基本概念

函数的基本概念在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着。

17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念。

在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置。

本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性。

1.1.1邻域定义1.1.1 设a 与δ是两个实数,且0>δ,数集}|{δδ+<<-a x a x 称为点a 的δ邻域,记为}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U其中点a 叫做该邻域的中心,δ叫做该邻域的半径。

(见图111-- )图111--由于δδ+<<-a x a 相当于δ<-||a x ，因此}|||{),(δδ<-=a x x a U若把邻域),(δa U 的中心去掉，所得到的邻域称为点a 的去心δ邻域，记为),ˆ(δaU ，即}||0|{),ˆ(δδ<-<=a x x aU 更一般地，以a 为中心的任何开区间均是点a 的邻域。

当不需要特别辨明邻域的半径时，可简记为)(a U 。

为了使用方便，有时把开区间),(a a δ-称为点a 的左δ邻域，把开区间),(δ+a a 称为点a 的右δ邻域。

1.1.2 函数的概念1. 函数的定义定义1.1.2 设D 为一个非空实数集合，若存在确定的对应法则f ，使得对于数集D 中的任意一个数x , 按照f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称f 是定义在集合D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈其中，x 称为自变量，y 称为因变量，数集D 称为该函数的定义域，也记为f D ，即D D f =如果对于自变量x 的某个确定的值0x ，因变量y 能够得到一个确定的值，那么就称函数f 在0x 处有定义，其因变量的值或函数f 的函数值记为)( )(,000x f x f y x x x x 或== 当自变量遍取D 的所有数值时，对应的函数值的全体构成的集合称为函数f 的值域，记为f R 或)(D f ，即}),(|{)(D x x f y y D f R f ∈===注：函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素。

高等数学模型—微积分模型(数学建模课件)

度等）
2、假设易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是
否可以合理地说明你们所测量地易拉罐地形状和尺寸。
二、数据测量
罐直径、罐高、罐壁厚、顶盖厚、圆台高、
顶盖直径、圆柱体高、罐底厚、罐内体积等。
该如何测量？
二、数据测量
1、直接测量
①用软皮尺环绕易拉罐相关部位一圈
（罐桶直径、罐
测得周长。
高、圆台高、顶
速度、出手角度和出手高度)
作定性和定量研究并得到明
确结论。
森林救火问题
微积分模型
知识点
一、问题的提出
二、模型分析与假设
三、模型建立与求解
四、模型应用
一、问题的提出
一、问题的提出
森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。队
员多，火被扑灭的快，森林损失小，但救援费用大；队员少，救援费用小，
118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86
四、模型建立与求解
一、问题的提出
运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅
球落入有效区内，以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。
问题：
建模分析如何使铅球投掷的最远？
二、问题分析
• 铅球投掷中，影响投掷距离的因素有哪些？

《高等数学》函数考点精讲与例题解析

《高等数学》函数考点精讲与例题解析第一部分函数极限连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节函数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。

【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。

二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。

例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。

（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。

（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。

【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。

如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。

三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。

【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。

特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。

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第二章函数极限与连续
2.1极限
2.1.1数列的极限
01
2.1.2函数
习题2.1
06
的极限
02
2 . 1 . 5 极 05 限的运算
法则
04
2.1.4极限的性质
2.1.3函
03
数的左极限与右极
限
第二章函数极限与连续
2.2两个重要极限
习题2.2
第二章函数极限与连续
2.3无穷小量与无穷大量
习题3.5
第
和导数的应用
四章微分中值定
理

理第和四导章数微的分应中用值
定
0 1
4.1微分中值定理
0 4
4.4极值与优化
0 2
4.2洛必达法则
0 5
4.5不等式的证明
0 3
4.3函数的单调性与凸性
0 6
4.6变化率问题
第四章微分中值定理和导数的应用
必达法则
第四章微分中值定理和导数的应用
4.3函数的单调性与凸性
4.3.1函数单调性及其判别法
4.3.2函数的凸性与曲线的拐点
习题4.3
第四章微分中值定理和导数的应用
4.4极值与优化
4.4.1函数的极值
4.4.3最优化问题
4.4.2函数的最大、最小值
习题4.4
第四章微分中值定理和导数的应用
4.7导数在经济学中的应用 4.8演示与实验
第四章微分中值定理和导数的应用
4.1微分中值定理
4.1.1罗尔中值定理
4.1.3柯西中值定理
4.1.2拉格朗日中值定理
习题4.1

高等数学ppt课件

05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础，学习高等数学有助于为未来职业生涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分的计算方法，包括累次积分法、换元积分法

高数课件PPT

算。
插值法的概念与应用
概念
插值法是一种数学方法，通过已知的离散数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点上的取值与实际值相等。
应用
插值法在数学、物理、工程等领域有广泛应用，如数据拟合、数值积分、微分、求解方程等。
拉格朗日插值法与牛顿插值法
拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方法，通过构造一个拉格朗日多项式来逼近已知数据点。该方法具有较好的数值稳定性和收敛性。
两个向量的点积等于它们的模的乘积和它们夹角的余弦值的乘积。
两个向量的叉积是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个向量，大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积。
三个向量的混合积等于它们构成的平行六面体的体积。
两个向量的数量积等于它们的模的乘积和它们夹角的余弦值。
空间直角坐标系与向量的表示
详细描述
极限的运算规则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。这些规则能够帮助我们简化极限的计算过程，提高计算的准确性和效率。在进行极限运算时，需要注意一些常见的错误，例如无穷大与无穷小的混淆、未定式的误解等。
03
导数与微分
导数的定义与性质
导数的定义
01
导数描述了函数在某一点的斜率，即函数值随自变量变化的速
率。
单侧导数
02
在函数定义域的某一点，可以定义左侧或右侧的导数，表示函
数在该点的切线斜率。
导数的几何意义
03
导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
导数的运算规则
链式法则
对于复合函数的导数，链式法则是重要的运算规则，表示对复合函数的内部函数求导后再乘以外部函数的导数。

高等数学知识点大全

高等数学知识点大全高考高等数学知识点篇一极限1、知识范围(1)数列极限的概念数列、数列极限的定义(2)数列极限的性质性、有界性、四则运算法则、夹通定理、单调有界数列极限存在定理(3)函数极限的概念函数在一点处极限的定义、左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限、函数极限的几何意义(4)函数极限的性质性、四则运算法则、夹通定理(5)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的性质、无穷小量的阶(6)两个重要极限2、要求(1)理解极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。

会运用等价无穷小量代换求极限。

篇二高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用。

这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式。

主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计。

这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。

第七，解析几何。

是高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。

针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。

以不变应万变。

对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。

高等数学ppt课件

定积分的性质
定积分具有可加性、可积性、可微性等性质。
定积分的应用
01
02
03
几何应用
定积分可以用于计算平面图形和三维物体的面积和体积，如矩形、圆形、球体等。
物理应用
定积分可以用于计算变力沿直线做功、液体压力等物理问题。
经济应用
定积分可以用于计算经济指标，如成本、收益、利润等。
05
多重积分与向量分析
多重积分的概念与性质
多重积分的定义
多重积分是单变量积分概念的推广，它涉及多个变量的积分。多重积分可以看作是对于每个变量进行积分，然后将结果相乘。
多重积分的性质
多重积分的性质包括积分的可加性、积分的可交换性、积分的可结合性等。这些性质与单变量积分的性质类似，但需要考虑到多个变量的复杂性。
函数定义
函数是一种数学工具，它建立了数与数之间的对应关系，可以将一个数集中的每一个数唯一地映射到另一个数集中。函数的性质包括定义域、值域、对应关系等。
函数的表示方法
函数的表示方法有表格法、图示法和解析法等，其中解析法是最常用的方法之一。解析法是通过数学表达式来表示函数的关系。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间内的单调递增或单调递减的性质。单调函数具有连续性和可导性等性质。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数值随自变量改变速率的方式，是函数局部性质的重要体现。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函数在这一点处切线的斜率。导数的基本性质包括：（1）常数函数的导数为零；（ 2）导函数在某点的极限就是原函数在该点的导数值；（3）两个函数相加或相减后的导数等于各自导数之和或之差；（4 ）常数倍函数的导数等于该常数乘以原函数的导数。

高等数学建模案例集.d

《高等数学》案例集第一章函数与极限（一）建立函数关系的的案例1、零件自动设计要求，需确定零件轮廓线与扫过的面积的函数关系。

已知零件轮廓下部分为长a 2，宽a 22的矩形ABCD ，上部分为CD 圆弧，其圆心在AB 中点O 。

如下图所示。

M 点在BC 、CD 、DA 上移动，设BM ＝x ，OM 所扫过的面积OBM （或OBCM 或OBCDM ）为y ，试求y=f(x)函数表达式，并画出它的图象。

解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≤≤++-+≤≤+≤≤==a x a ax a ax a axa a x ax x f y 2222242822222224122042)(22ππππ （二）极限1、一男孩和一女孩分别在离家2公理和1公理且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公理/小时和2公理/小时的速度步行回家,一小狗以6公理/小时的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多少路程? 若男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何处?解：(1) 男孩和女孩到校所需时间是半小时，也即小狗奔波了半小时，故小狗共跑了3公里。

(2)设x(t)，y(t)，z(t)分别表示t 时刻男孩、女孩、小狗距家的距离，（二）连续函数性质B C AD M MM1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午5时到达山顶并留宿。

次日早8时沿同一路径下山,下午5时回到山下旅店。

某乙说,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么? 第三章中值定理与导数应用 1、陈酒出售的最佳时机问题某个酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入 R0＝50万元。

如果窖藏起来待来年（第n 年）按陈酒价格出售，第n 年末可得总收入为R ＝R 0832n e 万元，而银行利率为r ＝0.05，试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。

若银行利率开始为r ＝0.05，第5年后降为0.04，请给出最佳出售方案。

《高等数学》第一章函数与极限第一节函数

5
4 x 5,
4
5
6
x
5） . 因此，函数的定义域为 D [4，
14
第1 章函数与极限
1.1 函数
3. 单值函数与多值函数
若自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数．
例如，x y a ．
2 2 2
y a x

( 0,1)
当 0<a<1 时，函数单调减少
28
第1 章函数与极限
1.1 函数
3. 对数函数
y loga x (a 0, a 1)
y log a x

对数函数是指数函数 y = ax 的反函数定义域为(0, +) 图形通过(1, 0)点当 a>1 时, 函数单调增加当 0<a<1 时, 函数单调减少
则称 f ( x ) 在I 上有上界, M 为 f ( x ) 的一个上界.
若I D, 数m, x I , 总有 f ( x) m 成立,
则称 f ( x) 在I 上有下界, m为 f ( x ) 的一个下界.
如果 f ( x ) 在 I 上既有上界, 又有下界, 则称函数 f ( x ) 在 I 上有界.
32
第1 章函数与极限
1.1 函数
5. 反三角函数
y
反正弦函数
y arcsin x
-1
p
2
定义域为[-1, 1]
p p 值域为 , 2 2
O

1 x
p
2
函数单调增加，奇函数，是有界函数
33
第1 章函数与极限
1.1 函数

高等数学基础知识

导是指对幂级数中的每一项分别求导，得到一个新的幂级数。积分是指对幂级数中的每一项分别进行积分，得到一个新的幂级数。此外，收敛性是幂级数的一个重要性质。当$x$取某一固定值时，幂级数会收敛于一个确定的数值，这个性质称为收敛性。收敛性的判断是幂级数研究中的一个重要问题。在实际应用中，收敛性保证了幂级数的运算有意义，并且可以得到一个确定的结果。
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式；常数变易法则是将方程中的常数项视为未知数，通过求解得到常数的值。
二阶线性微分方程的解法
总结词
二阶线性微分方程是含有两个导数的微分方程，其解法包括特征值法、常系数线性微分方程的解法等。
详细描述
二阶线性微分方程是微分方程中较为复杂的一种类型，其解法主要包括特征值法和常系数线性微分方程的解法等。特征值法是通过将方程转化为关于特征值和特征向量的形式，然后求解特征值和特征向量；常系数线性微分方程的解法则是在已知系数的情况下，通过求解线性方程组得到微分方程的解。
02
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部性质的重要体现。
导数的几何意义
在二维空间中，导数可以解释为函数图像在该点的切线的斜率。
导数的物理意义
在物理中，导数可以用来描述物理量随时间的变化率，如速度、加速度等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、三角函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 等基本初等函数，需要熟记其
极限的运算与法则
总结词
掌握极限的四则运算和各种运算法则，如连续性、可导性、积分等。
详细描述
极限的四则运算包括加减法、乘除法等，各种运算法则如连续性（即函数在某点的极限值等于该点的函数值）、可导性（即函数在某点的导数存在且等于该点的极限值）和积分（即对函数的积分结果仍存在极限）等。这些运算法则和运算方法在高等数学中具有广泛的应用。

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