2010年北京市春季普通高中会考数学试题

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2010年北京市高级中等学校招生考试数学试卷

2010年北京市高级中等学校招生考试数学试卷学校___________________ 姓名___________________ 准考证号___________________一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1. 2-的倒数是A. 12-B. 12C. 2-D. 2 2. 2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星—500”正式启动，包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12 480小时的“火星之旅”．将12 480用科学记数法表示应为A. 312.4810⨯B. 50.124810⨯C. 41.24810⨯D. 31.24810⨯3. 如图，在ABC △中，点D E 、分别在AB AC 、边上，DE BC ∥，若:3:4AD AB =，6AE =，则AC 等于A. 3B. 4C. 6D. 84. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为A. 20B. 16C. 12D. 10 5. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是A. 15B. 310C. 13D. 12 6. 将二次函数223y x x =-+化为()2y x h k =-+的形式，结果为 A. ()214y x =++ B. ()214y x =-+ C. ()212y x =++ D. ()212y x =-+设两队队员身高的平均数依次为x 甲，x 乙，身高的方差依次为S 甲，S 乙，则下列关系中完全正确的是A. x x =乙甲，22S S >乙甲B. x x =乙甲，22S S <乙甲C. x x >乙甲，22S S >乙甲D. x x <乙甲，22S S <乙甲E D B AFE DA 8. 美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 则x 的取值范围是___________． 10. 分解因式：34m m -=_____________________． 11. 如图，AB 为O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，连结OC ，若5OC =，8CD =，则AE =___________． 12. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是_________；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是_____________（用含n 的代数式表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.计算：1012010tan 603-⎛⎫-+--︒ ⎪⎝⎭．14. 解分式方程312422x x x -=--． 15. 已知：如图，点A B C D 、、、在同一条直线上，EA AD ⊥，FD AD ⊥，AE DF =，AB DC =．求证：ACE DBF ∠=∠．16. 已知关于x 的一元二次方程2410x x m -+-=有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．D BAC17. 列方程或方程组解应用题：2009年北京生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米．18. 如图，直线23y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求A B ，两点的坐标；（2）过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使2OP OA =，求ABP △的面积．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB DC AD ===，4BC =．求B ∠的度数及AC 的长．20. 已知：如图，在ABC △中，D 是AB 边上一点，O ⊙过D B C 、、三点，290DOC ACD ∠=∠=︒．（1）求证：直线AC 是O ⊙的切线；（2）如果75ACB ∠=︒，O ⊙的半径为2，求BD 的长．21. 根据北京市统计局公布的2006-2009年空气质量的相关数据，回执统计图如下：2006—2009年北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数统计图2009200820072006年份（1）有统计图中的信息可知，北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相比，增加最多的是_________年，增加了_______天；（2）表1是根据《中国环境发展报告（2010）》公布的数据绘制的2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表，请将表1中的空缺部分补充完整（精确到1%）；图112 表1 2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计表（3）根据表1中的数据将十个城市划分为三组，百分比不低于95%的为A 组，不低于85%且低于95%的为B 组，低于85%的为C 组．按此标准，C 组城市数量在这十个城市中所占的百分比为_____%；请你补全右边的扇形统计图．22. 阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，8cm AD =，6cm AB =．现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着与BC 边夹角为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45︒的方向作直线运动，…，如图1所示．问P 点第一次与D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形11A B CD ．由轴对称的知识，发现232P P P E =，11P A PE =．请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P 点第一次与D 点重合前与边相碰______次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时所经过的路径地总长是_______________cm ；（2）进一步探究：改变矩形ABCD 中AD AB 、的长，且满足AD AB >．动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上．若P 点第一次与B 点重合前与边相碰7次，则:AB AD的值为_________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）A 组20%2009 年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比分组统计图图211123. 已知反比例函数k y x=的图象经过点()1A ．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30︒得到线段OB ，判断点B 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点()6P m +也在此反比例函数的图象上（其中0m <），过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于点M ．若线段PM 上存在一点Q ，使得OQM △的面积是12，设Q 点的纵坐标为n，求29n -+的值．24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点()2B n ，在这条抛物线上．（1）求B 点的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED PE =，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．① 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长； ② 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM QF =，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）．若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．25. 问题：已知ABC △中，2BAC ACB ∠=∠，点D 是ABC △内的一点，且AD CD =，BD BA =．探究DBC ∠与ABC ∠度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当90BAC ∠=︒时，依问题中的条件补全右图．观察图形，AB 与AC 得数量关系为________；当退出15DAC ∠=︒时，可进一步推出DBC ∠的度数为_______；可得到DBC ∠与ABC ∠度数的比值为_________．（2）当90BAC ∠≠︒时，请你画出图形，研究DBC ∠与ABC ∠度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．C BA卖炭翁白居易(唐) 字乐天号香山居士卖炭翁，伐薪烧炭南山中。

。北京市2013、2012。2010年春季会考试题汇编

2013年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷第一部分选择题（每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．如果集合{1,2}A =-，{|0}B x x =>，那么集合A B 等于（） 2．不等式220x x -<的解集为（） 3．已知向量(2,3)=-a ，(1,5)=b ，那么⋅a b 等于（） 4．如果直线3y x =与直线1y mx =-+平行，那么m 的值为（） 5．如果0a >，那么11a a++的最小值是（）6．要得到函数2sin()6y x π=+的图象，只要将函数2sin y x =的图象（）7．在等差数列{}n a 中，已知11a =，525S =，那么5a 等于（） 8．在函数cos y x =，3y x =，e xy =，ln y x =中，奇函数是（）（A ）∅（B ）{1}-（C ）{2}（D ）{1,2}-（A ）{|2}x x >（B ）{|0}x x <（C ）{|02}x x << （D ）{|0x x <或2}x >（A ）13-（B ）7-（C ）7（D ）13（A ）3-（B ）13-（C ）13（D ）3（A ）2（B ）3（C ）4 （D ）5（A ）向左平移6π个单位（B ）向右平移6π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位（A ）9（B ）8（C ）7 （D ）6（A ）cos y x = （B ）3y x =（C ）e xy =（D ）ln y x =9．11cos6π的值为（）10．函数sin 2cos 2()y x x x =+∈R 的最小正周期是（）11．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[0,1]上最大值是2，那么a 等于（） 12．在A B C ∆中，60A ∠=︒，AC =BC =，则角B 等于（） 13．口袋中装有4个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，从口袋中随机摸出2个小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（） 14．为了解决某学校门前公路的交通状况，从行驶过的汽车中随机抽取200辆进行统计分析，绘制出关于它们车速的频率分布直方图（如图所示），那么车速在[60,70)区间的汽车大约有（）15．已知平面α、β，直线a 、b ，下面的四个命题①a b a α⎫⎬⊥⎭∥b α⇒⊥；②}a b αα⊥⇒⊥a b ∥；③a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊥⎭；④a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭∥∥中，所有正确命题的序号是（） 16．当,x y 满足条件,0,230x y y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩时，目标函数3z x y =+的最大值是（）（A）2- （B）2-（C）2（D）2（A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π（A ）14（B ）12（C ）2 （D ）4（A ）45︒（B ）30︒或60︒（C ）135︒（D ）45︒或135︒（A ）16（B ）13（C ）12（D ）23（A ）20辆（B ）40辆（C ）60辆（D ）80辆（A ）①②（B ）②③（C ）①④（D ）②④（A ）1 （B ）1.5 （C ）4 （D ）9频率17．针对2020年全面建成小康社会的宏伟目标，十八大报告中首次提出“实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番”的新指标．按照这一指标，城乡居民人均收入在这十年间平均增长率x 应满足的关系式是（） 18．一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（）19．将长度为1米的绳任意剪成两段，其中一段长度小于0.4米的概率是（） 20．记时钟的时针、分针分别为O A 、O B （O 为两针的旋转中心）．从12点整开始计时，经过m 分钟，OA OB ⋅的值第一次达到最小时，那么m 的值是（）第二部分非选择题（共40分）一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21．计算131()log 12-+的结果为．22．已知圆:C 22(1)(1)1x y -++=，那么圆心C 到坐标原点O 的距离是．23．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值为．24．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且各项均为正整数，如果11a =，16n a =，那么n d +的最小值为．（A ）1102x +=（B ）10(1)2x += （C ）10(1)2x +=（D ）1012x +=（A ）12 （B ）18 （C ）24 （D ）36（A ）1（B ）0.8（C ）0.6（D ）0.5（A ）30（B ）36011（C ）31（D ）211π俯视图侧(左)视图正(主)视图4开始二、解答题（共4个小题，共28分） 25．（本小题满分7分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱1C C 的中点．（Ⅰ）证明：1AC ∥平面BD E ；（Ⅱ）证明：1AC BD ⊥.26．（本小题满分7分）在平面直角坐标系xOy 中，角,(0,)22αβαβππ<<<<π的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于,A B 两点，,A B 两点的纵坐标分别为53,135．（Ⅰ）求tan β的值；（Ⅱ）求A O B ∆的面积．27．（本小题满分7分）已知圆222:5(0)C x y m m +=>，直线l 过点且与圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）如果直线l 的斜率为1，且||6AB =，求m 的值；（Ⅱ）设直线l 与y 轴交于点P ，如果||2||P A P M =，求直线l 的斜率．D 1B 1C 1A 1DBECA28．（本小题满分7分）已知函数2()f x ax bx c =++满足： ①()f x 的一个零点为2； ②()f x 的最大值为1；③ 对任意实数x 都有(1)(1)f x f x +=-．（Ⅰ）求,,a b c 的值；（Ⅱ）设函数,()(),x x A g x f x x B∈⎧=⎨∈⎩是定义域为(0,1)的单调增函数，且001x x '<<<．当0x B ∈时，证明：x B '∈．2012年北京市春季普通高中会考数学试卷第一部分选择题（每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{0,1,2}M =，{2,3}N =，那么集合M N 等于A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}0,1,2,3 2．在等差数列{}n a 中，已知12a =，24a =，那么5a 等于A ．6B ．8C ．10D ．163．已知向量(3,1)=a ，(2,5)=-b ，那么2+a b 等于A ．(1,11)-B ．(4,7)C ．(1,6)D ．(5,4)-4．函数2log (1)y x =+的定义域是A ．(0, +)∞B ．(1, +)-∞C ．(1, +)∞D ．[1,)-+∞5．如果直线30x y -=与直线10mx y +-=平行，那么m 的值为A ．3-B ．13-C ．13D ．36．函数sin y x ω=的图象可以看作是把函数sin y x =的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍而得到的，那么ω的值为A ．4B ．2C ．12D ．147．在函数3y x=，2xy =， 2log y x =，y =A ．3y x =B ．2xy =C ．2log y x =D ．y =8．11π6sin的值为A．2-B ．12-C ．12D．29．不等式2320x x -+<的解集为A ．{}2x x >B ．{}1x x >C ．{}12x x <<D ．{}12x x x <>或10．实数lg4+2lg5的值为A ．2B ．5C ．10D ．2011．某城市有大型、中型与小型超市共 1500 个，它们的个数之比为 1:5:9．为调查超市每日的零售额情况，需通过分层抽样抽取30个超市进行调查，那么抽取的小型超市个数为 A ．5B ．9C ．18D ．2012．已知平面αβ平面，直线m α⊂平面，那么直线m 与平面β的关系是A ．直线m 在平面β内B ．直线m 与平面β相交但不垂直C ．直线m 与平面β垂直D ．直线m 与平面β平行13．在△A B C中，如果a =2b =, 1c =，那么A 的值是 A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π14．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的表面积是A ．3πB ．8πC ．12πD ．14π 15．当0x >时，122x x+的最小值是A ．1B ．2C．D ．416．从数字1，2，3，4，5中随机抽取两个数字（不允许重复），那么这两个数字的和是奇数的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．1517．当x ，y 满足条件10260x x y x y -+-⎧⎪⎨⎪⎩≥，≤，≤时，目标函数z x y =+的最小值是A ．2B ．2.5C ．3.5D ．418．已知函数2,0,(),0.x x f x x x =-<⎧⎨⎩≥ 如果0()2f x =，那么实数0x 的值为A ．4B ．0C ．1或4D ．1或2-19．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是 A ．50%B ． 40%C ．30%D ．20%20．在△A B C 中，2()BC BA AC AC +⋅=，那么△A B C 的形状一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形第二部分非选择题（共40分）一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21．已知向量(2,3)=a ，(1,)m =b ，且⊥a b ，那么实数m 的值为＿． 22．右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图．那么甲、乙两人得分的标准差s 甲 s 乙（填<，>，=）．23．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的a 的最大值为.24．数学选修课中，同学们进行节能住房设计，在分析气候和民俗后，设计出房屋的剖面图（如下图所示）.屋顶所在直线的方程分别是132y x=+和156y x=-+，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点A的横坐标是.二、解答题（共4个小题，共28分）25.（本小题满分7分）在三棱锥P ABC-中，侧棱PA⊥底面A B C，AB BC⊥，E，F分别是棱B C，P C的中点．（Ⅰ）证明：EF//平面PAB；（Ⅱ）证明：EF BC⊥．26.（本小题满分7分）已知向量(2sin,2sin)x x=a，(cos,sin)x x=-b，函数()1f x=⋅+a b.（Ⅰ）如果1()2f x=，求sin4x的值；（Ⅱ）如果π(0)2x∈，，求()f x的取值范围.EFPCBA27.（本小题满分7分）已知图1是一个边长为1的正三角形，三边中点的连线将它分成四个小三角形，去掉中间的一个小三角形，得到图2.再对图2中剩下的三个小三角形重复前述操作，得到图3.重复这种操作可以得到一系列图形.记第n 个图形中所有．．剩．下的．．小三角形的面积之和为n a ，所有去掉的．．．．．三角形的周长之和为n b .图1 图2 图3 图4 （Ⅰ）试求4a ，4b ；（Ⅱ）试求n a ，n b .28.（本小题满分7分）已知圆C 的方程是2220x y y m +-+=.（Ⅰ）如果圆C 与直线0y =没有公共点，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）如果圆C 过坐标原点，直线l 过点(0,)P a （02a ≤≤），且与圆C 交于,A B 两点，对于每一个确定的a ，当△A B C 的面积最大时，记直线l 的斜率的平方为u ，试用含a 的代数式表示u ，并求u 的最大值．2011年北京市春季普通高中会考数学试卷第一部分选择题（每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么集合A ∩B =A. {2}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {1,2,3,4}2．不等式220x x -<的解集是A. {|02}x x <<B. {}|20x x -<<C. {}|02x x x <>或D. {}|20x x x <->或3．一个空间几何体的三视图如图所示，那么这个空间几何体是A. 球B. 圆锥C. 正方体D. 圆柱4．已知直线l 经过点(0,4)A ，且与直线230x y --=垂直，那么直线l 的方程是A. 280x y +-=B. 280x y ++=C. 240x y --=D. 240x y --=5．某校有学生1000人，其中高一学生400人．为调查学生了解消防知识的现状，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个40人的样本，那么样本中高一学生的人数为 A. 8B. 12C. 16D. 206．已知四个函数3y x =，2y x =，3xy =，3log y x =，其中奇函数是A. 3y x =B. 2y x =C. 3x y =D.3log y x = 7．如图，正方体1111ABC D A B C D -的棱长为a ，那么四棱锥1D ABC D -的体积是A. 312a B. 313a C.314a俯视图侧（左）视图正（主）视图D 1C 1B 1A 1DCD.316a8．已知函数()sin f x x =，那么()f x π-等于A. sin xB. cos xC. sin x -D. cos x -9. 函数22,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10. 已知3tan 4θ=，那么tan()4πθ+等于A. 7-B. 17-C. 7D.1711. 在△ABC 中，D 是B C 的中点，那么AB AC +uu u r uuu r等于A. BD uuu rB. A D uuu rC.2BD uuu r D. 2AD uuu r12. 不等式组114x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域的面积为A. 1B. 2C. 3D. 413. 在△ABC 中，3A π=，BC =，1A C =，那么A B 等于A. 1B.C. D. 214. 上海世博会期间，某日13时至21时累计．．入园人数的折线图如图所示，那么在13 时~14时，14时~15时，……，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是A. 13时~14时B. 16时~ 17时C. 18时~19时D. 19时~20时15. 已知两条直线,m n 和平面α，那么下列命题中的真命题为A. 若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥αB. 若m n ⊥，n α⊂，则m α⊥C. 若m ∥n ，n α⊂，m α⊄，则m ∥αD. 若m n ⊥，n α⊂，m α⊄，则m α⊥16. 已知3sin 5α=，那么cos 2α等于A.725B. 725-C.2425 D. 2425-17. 已知0a >，且4ab =，那么a b +的最小值是A. 2B. 4C. 6D. 818. 某校高二年级开设三门数学选修课程.如果甲、乙两名同学各从中任选一门，那么他们所选课程恰好相同的概率为 A.38B. 18C. 23D.1319. 已知,a b ∈R ，且23a b =，那么下列结论中不可能．．．成立的是 A. 0a b >>B. a b =C. 0b a <<D. 0a b <<20. 我国《国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间单位国内生产总值能耗降低20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x ，那么x 满足的方程是 A. 50.2x =B. 5(1)0.8x -=C. 50.2x =D. 5(1)0.8x -=第二部分非选择题（共40分）一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21..在等差数列{}n a 中，如果24a =，48a =，那么6a = ． 22..如果函数2log y x =的图像经过点0(4,)A y ，那么0y = ．23..阅读下面的程序框图，运行相应的程序，当输入3-时，输出的结果为． 24..某年级200名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果以1为组距分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积依次为0.05，0.15，0.35，x ，0.15，那么x = ；在这次百米测试中，成绩大于等于17秒的学生人数为．y=x x ≥0否是输入x输出y结束开始二、解答题（共3个小题，共28分）25．（本小题满分9分）已知圆心为(4,3)C 的圆经过原点．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线2y x =与圆交于,A B 两点，求||AB ．26．（本小题满分9分）在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5A B =，14AA =，点D 是A B 的中点．（Ⅰ）求证1AC BC ^；（Ⅱ）求证1AC ∥平面1C D B ；（Ⅲ）求异面直线1AC 与1B C 角的余弦值．27．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，已知(1,0)OA =-uur ，OB =uu u r ，(cos ,sin )OC θθ=uuu r，其中[0,]2θπ∈．（Ⅰ）若AB uu u r∥O C uuu r ，求tan θ；（Ⅱ）求AC BC ⋅uuu r uuu r的最大值；（Ⅲ）是否存在[0,]2θπ∈，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．。

2010年北京市春季会考数学试题

n 1 n +1 n 5 参考公式锥体的体积公式V = 1Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高.3第一部分选择题（每小题 3 分，共 60 分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1．已知全集为 R ，集合 A = {x | x ≥1} ，那么集合 ð A 等于A. {x | x > 1}B. {x | x > -1}C. {x | x < 1}D. {x | x < -1}2．已知函数 f (x ) 是 R 上的奇函数，且 f (1) = 1，那么 f (-1) 等于A. -1B. 0C. 1D. 23．已知直线 l 经过坐标原点，且与直线 x - 2 y - 2 = 0 平行，那么直线 l 的方程是A. 2x + y = 0 C. 2x - y = 0B. x + 2 y = 0 D. x - 2 y = 04．已知向量 a = (2, 8) ， b = (-4, 2) ，且 c = 1(a + b ) ，那么向量 c 等于2A. (-1, 5)B. (-2, 10)C. (-6, - 6)D. (-3, - 3)5．已知点 A (-2, 0) ， B (0, b ) ，如果直线 AB 的倾斜角为 45︒，那么实数 b 等于A. 3B. 2C. 1D. 06．已知函数 y = sin x 在区间 M 上是增函数，那么区间 M 可以是A. (0, 2π)B. (0,3π)2C. (0, π)D. (0, π)24π7．已知 sin α= ，且α∈( , π) ，那么 cos α等于5 2 3 3 3 3 A. - B. 4 4 C. -D.558．在数列{a } 中，如果 a = 2 ， a = a -1 (n∈ N *) ，那么 a 等于A. -4B.-3C. -2D.-19. 为做好家电下乡工作，质检部门计划对 300 台Ⅰ型电视机和 500 台Ⅱ型电视机进行检测.如果采用分层抽样的方法抽取一个容量为16 的样本，那么应抽取Ⅰ型电视机的台数为A. 3B. 5C. 6D. 1010. 已知 a > 0 ，那么 a + 1的最小值是aA. 4B. 3C. 2D. 1R111. 函数 y = x 2的图象大致是A B C D12. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为1 A. 32 B.34 C. 3 8 D.313. 设等比数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，如果 a 1 = -1， a 2 = 2 ，那么 S 4 等于A. 6B. 5C. 4D. 314. 已知圆 M 经过点 (1, 2) ，且圆心为 (2, 0) ，那么圆 M 的方程为A. (x - 2)2+ y 2= 5 B. (x + 2)2+ y 2= 5C. (x - 2)2+ y 2= 3D. (x + 2)2+ y 2= 315. 已知 a = lg 3， b = lg 2 ， c = lg 1，那么 a ， b ， c 的大小关系为2A. c > b > aB. c > a > bC. a > c > bD. a > b > c16. 如果等差数列{a n } 的公差为 2 ，且 a 1 , a 2 , a 4 成等比数列，那么 a 1 等于A. 2B. 1C. -1D. -217. 盒中装有大小形状都相同的 5 个小球，分别标以号码1, 2, 3, 4, 5 ，从中随机取出一个小球，其号码为偶数的概率是1 2A.B.55 ⎧2- x, ⎪ 34 C.D.55x ≥0, 1 18. 已知函数 f (x ) = ⎨ 1⎪- , ⎩ xx < 0.如果 f (x 0 ) = ，那么 x 0 等于 2A. 1或-2B. -1或2C. 1或2D.-1或-219. 已知点A(-2, 0) ，B(2, 0) ，如果直线3x - 4 y+ m = 0 上有且只有一个点P 使得PA ⋅ PB = 0 ，那么实数m 等于A.±4B.±5 C.±8 D. ±1020. 某种放射性物质的质量M (kg) 随时间t（年）的变化规律是M = M e-0.001t ，其中M为该物质的初始质量.如果计算中ln 2 取0.693 ，那么这种放射性物质的半．衰．期．（质量变为初始质量的一半所需要的时间）约为A. 347 年B. 693 年C. 1386 年D. 2772 年第二部分非选择题（共40 分）一、填空题（共4 个小题，每小题3 分，共12 分）21. 如果向量a = (4, -2) ，b = (x,1) ，且a ，b 共线，那么实数x =.22. 在冬季征兵过程中，对甲、乙两组青年进行体检，得到如图所示的身高数据（单位：cm ）的茎叶图，那么甲组青年的平均身高是cm若从乙组青年中随机选出一人，他的身高恰为179 cm 的概率为.sin( π+α)23. 化简2 =. cos(π-α)24. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为. 0二、解答题（共 3 个小题，共 28 分）25．（本小题满分 9 分）如图，四棱锥 P - ABCD 中， PD ⊥ 底面 ABCD ，底面 ABCD 是正方形，且 PD = AB = 2 . （Ⅰ）求 PB 的长；（Ⅱ）求证： AC ⊥ 平面 PBD .26．（本小题满分 9 分）在△ ABC 中， A = π ， B ∈( π , 5π) ， BC = 2 .62 6（Ⅰ）若 B =2π ，求 sin C ；3（Ⅱ）求证： AB = 4 s in(5π 6- B ) ；（Ⅲ）求 BA ⋅ BC 的取值范围.27.（本小题满分10 分）已知函数 f ( x ) = ax 2 + bx - 1，其中 a ∈(0, 4) ， b ∈ R ．（Ⅰ）当 a = 1时，解不等式 f (x ) + f (-x ) < 3x ；（Ⅱ）设 b < 0 ，当 x ∈[- 1 , 0] 时， f (x ) ∈[- 3, 0]，求 a ， b 的值；a a（Ⅲ）若函数 f (x ) 恰有一个零点 x ∈(1, 2) ，求 a - b 的取值范围．。

2010年普通高等学校招生全国统一考试北京卷_文科数学_

三角形面积为 2sin a, 设等腰三角形底边长为 x 可以直接应用余弦定理 x 2 = 12 + 12 - 2co sa = 22cos a, x 2 即正方形面积 , 四个等腰三角形加正方形可得八面体面积为 S = 2sin a- 2cos a+ 2 . 另解 : 作等腰三角形底边高线 , 因等腰三角形三线合一 , 此高线也是角平分线和中线 , 用正弦定义可得等腰三角形底边长为 2sin S= 46 a , 所以八边形面积 2
a= 2 , 因双曲线中 c 2 = b2 + a2 , 可求 b= 2 3, 因题 b 中双曲线焦点在 x 轴上 , 故渐近线方程 y = 8 a x , 将 a, b 代入即可 . 另解 : 将 a, b 代入双曲线方程将等号右边 1 换成 0 也可得之 . 14 . 4 ; + 1 : 显然 , 周期与面积都是这个运动变化过程本身固有的 ( 几何 ) 性质, 与正方形的初始位置无关 , 图1
2
由腰长为 1, 顶角为的四个等腰三角形, 及其底边构成的正方形所组成, 该八边形的面积为 A . 2sin - 2cos + 2 B. sin - 3cos + 3
图2
C . 3sin - 3cos + 1 D . 2sin - cos + 1 8. 如图 3, 正方体 A BCD - A 1 B1 C1 D 1 的棱长为 2, 动点 E, F 在棱 A 1 B 1 上, 点 Q 在棱 CD 的中点, 动点 P 在棱 A D 上, 若 EF = 1, D P = x , A 1 E = y ( x, y 大于零) , 则三棱锥 P - EFQ 的体积 A . 与 x , y 都有关 B. 与 x, y 都无关 C . 与 x 有关, 与 y 无关 D . 与 y 有关, 与 x 无关

北京市2010年高中数学高考会考说明电子版知识点分析新课标人教版

用心爱心专心
30．已知某个几何体的三视图(正视图或称
主视图，侧视图或称左视图)如右图，根据图中
标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）．
A． 4000 cm3 3
B． 8000 cm3 3
20
20 正视图
10
20 侧视图
C． 2000cm3
D． 4000cm3
10
20 俯视图
参考答案：B 考查内容：简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，三
(M I T ) U N 是（）．
A． 2, 4, 5，6 C． 1, 2, 3, 4, 5，6
B． 4, 5，6 D． 2, 4, 6
参考答案：A 考查内容：集合语言（列举法或描述法），交集，并集认知层次：b 难易程度：易
3．已知全集 I 1, 2 ,3 4, 5 ,6 ，, A 1, 2, 3 , 4 ， B 3, 4, 5 , 6 ，
A． N
B． N∈M
参考答案：C 考查内容：集合的包含与相等，子集，空集认知层次：b 难易程度：易
C． N M
D． M N
16 x2
5．函数 y=
的定义域是（
x
A． 4, 0∪ 0, 4
）． B． [-4，4]
C． , 4∪4, +
D． 4, 0∪4, +
A． (1, 1.25)
B． (1.25, 1.5)
C． (1.5, 1.75)
D． (1.75, 2)
参考答案：B 考查内容：用二分法求方程的近似解认知层次：b 难易程度：中
28．如图，一个空间几何体正视图(或称主视图)与
侧视图(或称左视图)为全等的等边三角形，俯视图为一

北京春季普通重点高中会考数学(含解析)

北京春季普通重点高中会考数学(含解析)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2013年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷第一部分选择题（每小题3分，共60分）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．如果集合{}1,2A =-，{}0B x x =>，那么集合AB 等于（）． A ．∅ B ．{}1- C ．{}2 D ．{1,2}-2．不等式220x x -<的解集为（）．A ．{|2}x x >B ．{|0}x x <C ．{|02}x x <<D ．{|0x x <或2}x >3．已知向量(2,3)a =-，(1,5)b =，那么a b ⋅等于（）．A ．13-B ．7-C ．7D ．134．如果直线3y x =与直线1y mx =-+平行，那么m 的值为（）．A ．3-B ．13-C ．13 D ．35．如果0a >，那么11a a++的最小值是（）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．要得到函数2sin()6y x π=+的图象，只要将函数2sin y x =的图象（）．A ．向左平移6π个单位B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位7．在等差数列{}n a 中，已知11a =，525S =，那么5a 等于（）．A ．9B ．8C ．7D ． 68．在函数cos y x =，3y x =，e x y =，ln y x =中，奇函数是（）．A ．cos y x =B ．3y x =C ．e x y =D ．ln y x =9．11cos6π的值为（）． A ．32- B ．22- C ．22 D ．3210．函数sin 2cos2()y x x x =+∈R 的最小正周期是（）．A ．2πB ．πC ．2πD ．4π11．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[0,1]上最大值是2，那么a 等于（）．A ．14B ．12C ．2D ．412．在ABC ∆中，60A ∠=︒，23AC =，32BC =，则角B 等于（）．A ．45︒B ．30︒或60︒C ．135︒D ．45︒或135︒13．口袋中装有4个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，从口袋中随机摸出2个小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（）．A ．16B ．13C ．12D ．2314．为了解决某学校门前公路的交通状况，从行驶过的汽车中随机抽取200辆进行统计分析，绘制出关于它们车速的频率分布直方图（如图所示），那么车速在[60,70)区间的汽车大约有（）．A ．20B ．40C ．60D ．8015．已知平面α、β，直线a 、b ，下面的四个命题①//a b a α⎫⎬⊥⎭b α⇒⊥；②a b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭//a b ；③a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊥⎭；④////a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭中，所有正确命题的序号是（）．A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④16．当x ，y 满足条件0230x y y x y ⎧⎪⎨⎪++⎩≥≥≤ 时，目标函数3z x y =+的最大值是（）．A ．1B ．1.5C ．4D ．917．针对2020年全面建成小康社会的宏伟目标，十八大报告中首次提出“实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番”的新指标．按照这一指标，城乡居民人均收入在这十年间平均增长率x 应满足的关系式是（）．A ．1102x +=B ．10(1)2x +=C ．10(1)2x +=D ．10(1)2x +=18．一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（）．A ．12B ．18C ．24D ．3619．将长度为1米的绳任意剪成两段，其中一段的长度小于0.4米的概率是（）．A ．1B ．0.8C ．0.6D ．0.520．记时钟的时针、分针分别为OA 、OB （O 为两针的旋转中心）．从12点整开始计时，经过m 分钟，OA OB ⋅的值第一次达到最小时，那么m 的值是（）． A ．30 B ．36011 C ．31 D ．211π第二部分非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21．计算131()log 12-+的结果为．22．已知圆:C 22(1)(1)1x y -++=，那么圆心C 到坐标原点O 的距离是．俯视图侧(左)视图正(主)视图433323．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值为．24．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且各项均为正整数，如果11a =，16n a =，那么n d +的最小值为．三、解答题（共4个小题，共28分） 25．（本小题满分7分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点．（Ⅰ）证明：1//AC 平面BDE ；（Ⅱ）证明：1AC BD ⊥．否是结束输出Si = i +1S=S +2i i ≤ 4S=1，i=1开始D 1B 1C 1A 1DBE CA在平面直角坐标系xOy 中，角α，β02πα⎛<< ⎝，2πβπ⎫<<⎪⎭的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的纵坐标分别为513，35．（Ⅰ）求tan β的值；（Ⅱ）求AOB △的面积．已知圆222:5(0)C x y m m +=>，直线l 过点(),0M m -且与圆C 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）如果直线l 的斜率为1，且||6AB =，求m 的值；（Ⅱ）设直线l 与y 轴交于点P ，如果||2||PA PM =，求直线l 的斜率．已知函数2()f x ax bx c =++满足：①()f x 的一个零点为2；②()f x 的最大值为1； ③ 对任意实数x 都有(1)(1)f x f x +=-．（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）设函数(),(),x x Ag x f x x B ∈⎧=⎨∈⎩是定义域为(0,1)的单调增函数，且001x x '<<<．当0x B ∈时，证明：x B '∈．2013年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷参考答案一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．【答案】C ．【解析】由于集合{1,2}A =-，{|0}B x x =>，因此{}2A B =，故选C ．2．【答案】C ．【解析】令220x x -=，解得0x =或2x =，因此不等式220x x -<的解集为{|02}x x <<，故选C ． 3．【答案】D ．【解析】根据向量的坐标运算()1212213513a b x x y y ⋅=+=-⨯+⨯=，故选D ． 4．【答案】A ．【解析】根据两条直线平行的条件可知，3m =-，得3m =-，故选A ． 5．【答案】B ．【解析】根据题意，求11a a++的最小值可应用均值不等式，则111132a a a a ++⋅+=≥，当且仅当1a a=，即1a =时等号成立，故选B ． 6．【答案】A ．【解析】根据图象平移左加右减的原理，要得到函数2sin()6y x π=+的图象，只要将函数2sin y x =的图象向左平移6π个单位，故选A ． 7．【答案】A ．【解析】由等差数列前n 和n S 的计算公式()12n n n a a S +=，知()15552a a S +=，解得59a =，故选A ．8．【答案】B ．【解析】对于A ，定义域为R ，()()()cos cos f x x x f x -=-==，是偶函数；对于B ，定义域为R ，()()()33f x x x f x -=-=-=-，是奇函数；对于C ，定义域R ，()()x f x e f x --=≠±，因此是非奇非偶函数；对于D ，定义域()0,+∞，不关于原点对称，因此是非奇非偶函数，故选B ．9．【答案】D ．【解析】根据诱导公式，113cos cos 2cos 6662⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ππππ，故选D ． 10．【答案】B ．【解析】根据辅助角公式，22sin 2cos 22sin 2cos 22sin 2224y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π，最小正周期22T π==π，故选B ． 11．【答案】C ．【解析】①当01a <<时，函数()x f x a =是减函数，那么当0x =时，取得最大值012a =≠，不符合题意； ②当1a >时，函数()x f x a =是增函数，那么当1x =时，取得最大值12a =，即2a =，故选C ．12．【答案】A ．【解析】根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，可得3223sin 60sin B =︒，即2s i n 2B =，那么4B π=或34B π=，因为AC BC <，所以A B >，所以4B π=，故选A ．13．【答案】A ．【解析】根据题意符合古典概型的条件，基本事件空间{（红色，黄色），（红色，蓝色），（红色，白色），（黄色，蓝色），（黄色，白色），（蓝色，白色）}基本事件总数为6，摸到红色小球和白色小球的事件为{（红色，白色）}，事件数为1，摸到红色小球和白色小球的概率是16，故选A ． 14．【答案】D ．【解析】根据频率分布直方图可知，车速在[60,70)区间的概率为0.04100.4⨯=，车辆数为：2000.480⨯=，故选D ．15．【答案】A ．【解析】若两条直线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面①正确；若两条都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，②正确；若两个面垂直，两个面内的直线不一定互相垂直，③错误；若两个平面平行，两个面内的直线平行或异面，④错误，故选A ．16．【答案】C ．【解析】根据题意，不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当过点()1,1时，z 取得最大值4，故选C ．y=-13x+13z2x+y -3=0x-y=0oy x17．【答案】C ．【解析】根据题意可知，设原收入为()0a a ≠，则十年后为2a ，因此10(1)2a x a +=，即10(1)2x +=，故选C ．18．【答案】B ．【解析】由三视图可知该空间几何体的直观图为横着放的直三棱柱，1433182V S h =⋅=⨯⨯⨯=，故选B ．19．【答案】B ．【解析】根据题意，符合几何概型的条件，因此将概率转化为长度的比，那么长度小于0.4 米的概率是20.40.81⨯=，故选B ． 20．【答案】B ．【解析】因为cos ,OA OB OA OB OA OB ⋅=⋅〈〉，所以要使OA OB ⋅的值第一次达到最小时，对应的夹角cos ,180OA OB 〈〉=︒，因为时针一分钟转的角度为：13600.51260⨯︒=︒⨯，分针一分钟旋转的角度为：1360660⨯︒=︒，经过m 分钟后，有60.5180m m -=，即5.5180m =，解得36011m =，故选B ．第二部分非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21．【答案】2．【解析】根据指数与对数的运算法则，131()log 12022-+=+=，故答案为：2．22．【答案】2．【解析】由题知，圆心()1,1C -，因此圆心C 到坐标原点O 的距离2d =，故答案为：2． 23．【答案】31．【解析】第一次循环，当1i =时，1123S =+=；第二次循环，当2i =时，2327S =+=；第三次循环，当3i =时，37215S =+=；第四次循环，当4i =时，415231S =+=；当5i =时，循环结束，输出S 的值为31，故答案为31．24．【答案】9．【解析】根据等差数列的通项公式()11n a a n d =+-，且各项均为正整数，即()11511535n d -==⨯=⨯，只有当13n -=，5d =或15n -=，3d = 解得4n =，5d =或6n =，3d =，n d +有最小值9，故答案为：9．三、解答题（共4个小题，共28分）25．证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，因为ABCD 是正方形，所以O 为AC 的中点，因为E 是棱1CC 的中点，所以1//AC OE ．又因为1AC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以1//AC 平面BDE ．（Ⅱ）因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥因为1CC ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．又因为1CC AC C =，所以BD ⊥平面1ACC ．又因为1AC ⊂平面1ACC ，所以1AC BD ⊥．26．解：（Ⅰ）因为在单位圆中，B 点的纵坐标为35，所以3sin 5β=，因为2πβπ<<，所以4cos 5β=-，所以sin 3tan cos 4βββ==-．（Ⅱ）因为在单位圆中，A 点的纵坐标为513，所以5sin 13α=．因为02πα<<，所以12cos 13α=．由（Ⅰ）得3sin 5β=，4cos 5β=-，所以56sin sin()sin cos cos sin 65AOB βαβαβα∠=-=-=．又因为1OA =，1OB =，所以AOB △的面积128||||sin 265S OA OB AOB =⋅∠=． 27．解：（Ⅰ）由已知，直线l 的方程为y x m =+，圆心()0,0到l 直线的为||2m ．因为6AB =，所以22||5()92m m -=，解得22m =．由0m >，得2m =．（Ⅱ）设()11,A x y ，直线l ：()y k x m =+，则点()0,P km ．因为||2||PA PM =，所以2PA PM =或2PA PM =-， ①当2PA PM =时，11(,)2(,)x y km m km -=--，所以12x m =-，1y km =-．由方程组222111152x y m x m y km ⎧+=⎪=-⎨⎪=-⎩，得1k =±．②当2PA PM =-时，11(,)2(,)x y km m km -=---，所以12x m =，13y km =．由方程组2221111523x y m x m y km⎧+=⎪=⎨⎪=⎩得13k =±．综上，直线l 的斜率为1±，13±．28．解：（Ⅰ）因为()f x 的一个零点为2，所以(2)0f =，即420a b c ++=．又因为对任意x 都有(1)(1)f x f x +=-，所以(0)(2)0f f ==，即0c =．因为()f x 的最大值为1，所以2414ac b a-=，所以1,2a b =-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，2()2f x x x =-+．因为0x B ∈，所以2000()2g x x x =-+．因为001x <<，所以00()1x g x <<．因为()g x 是单调递增函数，所以2000[,2]x x x B -+⊆．记21002(0,1)x x x =-+∈，22112x x x =-+，…，2112n n n x x x --=-+，…所以01[,]x x B ⊆．同理12[,]x x B ⊆，…，1[,]n n x x B -⊆，…由2112n n n x x x --=-+，得22111112(1)n n n n x x x x ----=+-=-．所以22221201(1)(1)(1)nn n n x x x x ---=-=-==-由于01x x '<<，可取自然数02(1)log log 1x x n x '-'-≥（），于是x n x x ''≤，即0[,]x n x x x '∈．而且0[,]x n x x x B '∈⊆，所以x B '⊆．。

北京市2010年新课标高中数学会考说明

附录题目示例一、选择题1．已知集合{}(1)0A x x x =-=，那么下列结论正确的是（）．A ．0A ∈B ． 1A ∉C ． 1A -∈D ． 0A ∉参考答案：A考查内容：集合的含义，元素与集合的关系，集合语言（列举法或描述法）认知层次：b 难易程度：易2．设集合{}1, 2, 3, 4, 5M =，集合{}2,4,6N =，集合{}4, 5, 6T =，则()M T N 是（）．A ． {}2, 4, 5 6，B ． {}4, 5 6，C ． {}1, 2, 3, 4, 5 6，D ． {}2, 4, 6参考答案：A考查内容：集合语言（列举法或描述法），交集，并集认知层次：b 难易程度：易3．已知全集{}123456I =,　,　,　,　,　，{}1,2,3,4A = ，{}3,4,5,6B = ，那么()I A B ð等于（）．A ． {}3, 4B ． {}1, 2, 5 6，C ． {}1, 2, 3, 4, 5 6，D ． ∅参考答案：B考查内容：全集，交集，补集，空集认知层次：b 难易程度：易4．设集合M =｛-2，0，2｝，N =｛0｝，则下列结论正确的是（）．A ． N =∅B ． N ∈MC ． N MD ． MN参考答案：C考查内容：集合的包含与相等，子集，空集认知层次：b 难易程度：易5．函数216x y =x-的定义域是（）．A ． [)4,0- ∪(]0,4B ． [-4，4]C ．(],4-∞- ∪[)4,+∞D ． [)4,0- ∪[)4,+∞参考答案：A考查内容：简单函数的定义域，用解析法表示函数，解一元二次不等式认知层次：b 难易程度：易6．已知函数3()=log (8+1)f x x ，那么f (1)等于（）．A ． 2B ． log 310C ． 1D ． 0参考答案：A考查内容：对数的概念，对数的运算性质认知层次：b 难易程度：易7．如果1()f x x x=-，那么对任意不为零的实数x 恒成立的是（）．A ． ()()f x f x =-B ． 1()f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ． 1()f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ． 1()0f x f x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭参考答案：C考查内容：函数的概念，简单函数的值域认知层次：b难易程度：易8．设集合{}, , A a b c =，{}0, 1B =则从A 到B 的映射共有（）．A ． 6个B ． 7个C ． 8个D ． 9个参考答案：C考查内容：对应与映射认知层次：a 难易程度：易9．函数f (x ) =xx 的图象是（）．参考答案：C考查内容：用图象法表示函数，分段函数，运用函数图象理解和研究函数的性质认知层次：c 难易程度：易10．下列函数中，与函数y = x ( x ≥0 ) 有相同图象的一个是（）．A ． y =2xB ． y = (x )2C ． y =33x D ． y =2x x参考答案：B考查内容：函数的概念，简单函数的定义域，简单函数的值域认知层次：b 难易程度：易11．在同一坐标系中，函数y =2x与y =1()2x 的图象之间的关系是（）．A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y = x 对称。

2010——2015年北京市普通高中会考数学真题

2015年北京市春季普通高中会考数学试卷第一部分选择题（每小题3分，共60分）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合{}{}5,3,1,8,6,5,3==B A ，那么A B 等于（）A. {}8,6,5,3,1 B. {}8,6 C. {}5,3 D. {}8,6,1 2. 平面向量a ，b 满足b=2a 如果a )1,1(=，那么b 等于( ) A. )2,2(- B. )2,2(-- C. )2,2(- D. )2,2(3. 已知函数)1lg()(-=x x f ，那么)(x f 的定义域是（）A RB {}1 x xC {}1≠x xD {}≠x x4.一个几何体的三视图如图所示，该集合体的体积是（） A. 30 B. 40 C. 50 D. 605.如果0 a ，那么21++a a 的最小值为（）A. 2B. C. 3 D. 4 6.已知过两点),4(),1,1(a B A -的直线斜率为1，那么a 的值是( ) A. 6- B. 4- C. 4 D. 67.65tanπ等于（）A ．1-；B ．33-； C ．22； D ．1．8. 已知定义在R 上的函数)(x f 的图像是一条连续不断地曲线，且有部分对应值如表所示，那么函数)(x f 一定存在零点的区间是（）A. )1,(-∞B. )2,1(C. )3,2(D. ),3(+∞俯视图9.函数x y 1=，2x y =，x y 3=，x y 2log =中，在区间),0(+∞上单调递减的是（）Ax y 1=B 2x y = C x y 3= D x y 2log =10.已知直线02=--y x 与直线0=+y mx 垂直，那么m 的值是（） A. 2- B. 1- C. 1 D. 211. 在同一坐标系中，函数xy 3=的图与xy )31(=的图象（） A ．关于x 轴对称； B ．关于y 轴对称；C ．关于原点x y =对称；D ．关于直线x y =对称． 12. 在等比数列{}n a 中，8,141==a a ，那么{}n a 的前5项和是（）A ．31-B ．15C ．31D ．6313.已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤--00202y y x y x ，那么目标函数y x z 2+=的最小值是（）A. 6-B. 4-C. 2-D. 414. 某程序框图如图所示，执行该程序后输出的S 的值是（）A. 32B. 43C. 54D. 6515. 函数=y 2)cos (sin x x +的最小正周期是：（）Ａ．2π；Ｂ．π；Ｃ．23π；Ｄ．π2．16. 已知函数)(x f 是定义在]4,0()0,4[ -上的奇函数，当时，)(x f 的图像如图所示，那么)(x f 的值域是（）A. )4,4(-B. ]6,6[-C. ]6,4()4,4( -D. ]6,4()4,6[ --864224510154O13579110元0 概率是（）A. 13B. 12C. 52D. 5318. 设a ，b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ① 如果//,//a b αα，那么//a b ； ②如果a ∥β ，a ⊂α, b ⊂β ，那么//a b ；③如果βα⊥ , a ⊂α, 那么 β⊥a ； ④如果β⊥a ，//a b ， b ⊂α, 那么βα⊥其中正确命题的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④19. 在ABC ∆中，如果4,3,5===BC AC AB ，那么角AC AB •等于：（）Ａ．9；Ｂ．12；Ｃ．15；Ｄ．20． 20. 已知函数1)(-=ax x f 与x a x g )1()(-=的图像没有交点，那么实数的取值范围是（）A. ]0,(-∞B.21,0( C. )1,21[ D. ),1[+∞第二部分非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21.计算=+4log 9221．22.一家电讯公司在某大学对学生每月的手机话费进行抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的手机话费情况进行统计分析，绘制成频率分布直方图（如图所示）。

数学会考高中试题及答案

数学会考高中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 4x + 3 \)，下列说法正确的是：A. 函数的图像是开口向上的抛物线B. 函数的图像是开口向下的抛物线C. 函数的图像与x轴有两个交点D. 函数的图像与x轴没有交点答案：A2. 圆的方程为\( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 9 \)，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A3. 已知等差数列的前三项依次为1，3，5，则该数列的第五项为：A. 7B. 9C. 11D. 13答案：B4. 函数\( y = \log_2(x) \)的定义域是：A. \( x > 0 \)B. \( x < 0 \)C. \( x \geq 0 \)D. \( x \leq 0 \)答案：A5. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)和集合\( B = \{2, 3, 4\} \)的交集为：A. \( \{1\} \)B. \( \{2, 3\} \)C. \( \{2, 4\} \)D. \( \{3, 4\} \)答案：B6. 直线\( y = 2x + 1 \)与直线\( y = -x + 4 \)的交点坐标为：A. (1, 3)B. (-1, 3)C. (1, -1)D. (-1, -1)答案：A7. 已知\( \sin \alpha = \frac{1}{2} \)，\( \alpha \)是第二象限角，则\( \cos \alpha \)的值为：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( -\frac{1}{2} \)C. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)D. \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)答案：D8. 函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \)的单调递增区间为：A. \( (-\infty, 1) \)B. \( (1, +\infty) \)C. \( (-\infty, 2) \)D. \( (2, +\infty) \)答案：B9. 向量\( \vec{a} = (1, 2) \)和向量\( \vec{b} = (2, 1) \)的夹角为：A. \( \frac{\pi}{4} \)B. \( \frac{\pi}{3} \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \frac{2\pi}{3} \)答案：A10. 已知等比数列的前三项依次为2，4，8，则该数列的公比为：A. 2B. 4C. 1D. 0.5答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知\( \tan \theta = 3 \)，\( \theta \)是第一象限角，则\( \sin \theta \)的值为______。

2010年北京高级中等学校招生考试数学试卷

2010年北京市高级中等学校招生考试数学试卷考生须知1. 本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

-、选择题（本题共 32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. -2的倒数是11A. B. - C. -2D. 22 22. 2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星一500”正式启动，包括中国志愿者王跃在内的 6名志愿者踏上了为期 12 480小时的“火星之旅”.将12 480用科学记数法表示应为_ 2 26. 将二次函数y 二x -2x 3化为y 二x 「h - k 的形式，结果为2 2 2A. y=x1 4B. y =x —14 C. y=x1 27. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm ）如下表所示：队员1队员2 队员3 队员 4 队员5 甲队 177 176 175 172 175 乙队170175173174183设两队队员身高的平均数依次为x 甲, x 乙，身高的方差依次为 S 甲, S 2，则下列关系中完全正确的是A.焉=x 乙, S 甲 S 乙B. x 甲=x 乙 , S 甲：：S 乙C. x 甲 x 乙 , S 甲 S 乙D. x 甲：:x 乙，S 甲：：S 乙3A. 12.48 10 5B. 0.124 8 10543C. 1.248 10D. 1.248 103. 如图，在 △ ABC 中，点D 、E 分别在 AB AC 边上，DE II BC , 若AD: AB =3:4 , AE =6，贝V AC 等于A. 3B. 4C. 6D. 84. 若菱形两条对角线的长分别为6和8,则这个菱形的周长为A. 20B. 16C. 125.从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10这十个数中随机取出一个数，取出的数是 3的倍数的概率是 A.C.- 3D.美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线裁开, 用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求, 那么这个示意图是3 x 1.2x -4 x -2 2已知：如图，点 A 、B 、C 、D 在同一条直线上， EA_AD , FD_AD , AE =DF , AB =DC .求证： ACE = DBF •已知关于x 的一元二次方程 x 2-4x m -1 =0有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的根.8. 、9. 10. 11. 12. 三、 13. 14.15. 16.填空题（本题共 16分，每小题4分）若二次根式72x-1有意义，则x 的取值范围是 _______________ .分解因式： m 3_4m = ______________________. 如图，AB 为O O 的直径，弦 CD_AB ，垂足为点 E ，连结0C ,若 0C =5 , CD =8，贝U AE 二 ___________ • 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ,B ,C ,D •请你按图中箭头所指方向（即A — Br C — D — C —B — A > B>C 、…的方式）从A 开始数连续的正整数1, 2, 3, 4,…，当数到12时，对应的字母是 ______________ ;当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 __________ ;当字母C 第2n 1次出现时（n 为正整数）,恰好数到的数是 _______________ （用含n 的代数式表示）• 解答题（本题共 30分，每小题5分）计算:-2010°-4 3 -tan60 •解分式方程 B(1)有统计图中的信息可知，北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相比，增加最多的是 __________ 年，增加了 _______ 天；(2 )表1是根据《中国环境发展报告 (2010)》公布的数据绘制的2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表，请将表1中的空缺部17.列方程或方程组解应用题：2009年北京生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的 3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米.18.如图，直线y =2x 与x 轴交于点(1 )求A , B 两点的坐标； (2 )过B 点作直线BP 与x 轴交于点求厶ABP 的面积.四、解答题(本题共 20分，每小题5 分)19. 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD II BC , AB =DC =AD =2 , BC =4 .求乙B 的度数及AC的长.20. 已知：如图，在厶ABC 中，D 是AB 边上一点，O O 过D 、B 、三点，/DOC =2/ACD =90 • (1) 求证：直线AC 是O O 的切线；(2) 如果./ACB =75 , O O 的半径为2,求BD 的长.21•根据北京市统计局公布的 2006-2009年空气质量的相关数据，回执统计图如下:C2006 —2009年北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数统计图分补充完整(精确到1%);表 1 2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计表城市北京上海天津昆明杭州广州南京成都沈阳西宁百分比91% 84%100% 89%95% 86%86%90%77%(3)根据表1中的数据将十个城市划分为三组，百分比不低于95%的为A 组，不低于85%且低于95%的为B 组，低于85%的为C 组.按此标准，C 组城市数量在这十个城市中所占的百分比为 __________________ % ; 请你补全右边的扇形统计图.22. 阅读下列材料:小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD =8cm , AB =6cm .现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着与AB 边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着与BC 边夹角为45的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45的方向作直线运动，…，如图 1所径的总长是多少.小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形 ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形ABQD •由轴对称的知识，发现 P2B=P2E , RA = RE . 请你参考小贝的思路解决下列问题：(1) _____________________________________ P 点第一次与D 点重合前与边相碰次；P 点从A 点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路径地总长是 _________________ cm ;(2) 进一步探究：改变矩形 ABCD 中AD 、AB 的长，且满足 AD AB •动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上.若P 点第一次与B 点重合前与边相碰 7次，则AB: AD 的值为 ______________ .五、解答题(本题共 22分，第23题7分，第24题8分，第25题7 分)示•问P 点第一次与D 点重合前与边相碰几次, P 点第一次与D 点重合时所经过的路2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比分组统计图B 图 1 P1 C图223. 已知反比例函数y=k的图象经过点A _.3, 1 .x 7（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点0是坐标原点，将线段OA绕0点顺时针旋转30得到线段0B，判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m, J3m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜：0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M .若线段PM上存在一点Q ,使得△ OQM的面积是-，设Q2 点的纵坐标为n，求n2-2 . 3n • 9的值.24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = _d^x2•• m2「3m - 2与x轴的交点分别为4 4原点O和点A，点B 2 , n在这条抛物线上.（1 ）求B点的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED =PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）.①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）.过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F ,延长QF到点M，使得FM =QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）.若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值.25.问题：已知△ ABC中，• BAC=2・ ACB,点D是厶ABC内的一点，且AD=CD , BD=BA .探究Z DBC与ZABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1 ）当• BAC =90时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC得数量关系为 __________ ；当退出NDAC=15°时，可进一步推出ZDBC的度数为 ___________可得到N DBC与NABC度数的比值为__________ .（2）当• BAC=90时，请你画出图形，研究• DBC与.ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.2010年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1 •为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可.2 •若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3•评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A CDABDBB题号91011 12 答案 1x > —2+2 （ m -2） 2B6036n +313. （本小题满分5分）A 〒解：20100 | V 3|-tan60=3 -1 4 .3 - .3 ................................................................................. 4 分=2 3 3 . ............................................................................................ 5 分14. （本小题满分5分）解：去分母，得 3-2x =x -2 . ................................................................... 2分整理，得3x =5 .经检验，X 」是原方程的解.3 所以原方程的解是x 二315. （本小题满分5分）证明：••• AB =DC ,二 AC =DB ....................••• EA _ AD , FD _ AD ,A - - D =90° .. ........在厶EAC 与厶FDB 中， I EA ^FD ,A 二 D , AC =DB••• △ EAC FDB . ••…••• NACE ZDBF .……16 .（本小题满分5分）解：由题意可知厶=0 .内部使用用毕收回即(_4 j _4(m )=0 .解得m =5 . ............................................................................................. 3分当m =5时，原方程化为x 2「4x 亠4 =0 . 解得 x 1 =x 2 2 .所以原方程的根为论=x 2 =2 . ......................................................................... 5分17. （本小题满分5分）解法一：设生产运营用水x 亿立方米，则居民家庭用水 5.8 _x亿立方米.… 1分依题意，得 5.8_x=3x 0.6. .................................................................... 2分解得x =1.3. ..................................................................................... 3分5.8—x=5.8—1.3=4.5 . .................................................................... 4 分答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米 ............... 5分解法二：设生产运营用水 x 亿立方米，居民家庭用水 y 亿立方米. ............. 1分依题意，得 x •八5.8 ............................................................................ 2分y =3x +0.61^—1 3解这个方程组，得X 」.3，................................................................. 4分 |y =4.5.答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米. ............... 5分18. （本小题满分5分）解: （1）令 y =0，得令 x =0 ,得 y =3 .• B 点坐标为0,3 .…(2)设P 点坐标为x , 0 . 依题意，得x= 3 .• P 点坐标分别为 P(3 , 0 )或F2(—3 ,0).1 |'勺 \27• S A ABR33 =\/A /.\X 」.2虫,0.V 2丿A 点坐标为 27 ； 4 3=9 . 4••• △ ABP 的面积为27或9.…4 4△ ABR2 23 S A ABP , =_3 ——22 2四、解答题（本题共 20分，每小题5分）19 .（本小题满分5分）解法一：分别作 AF _ BC , DG _ BC , F 、G 是垂足 .... 1分O1 p、5分••• . AFB =/DGC =90° . ••• AD II BC ,•四边形AFGD 是矩形. • AF =DG . ••• AB =DC ,• Rt A AFB 也 Rt △ DGC . •- BF =CG .AD = 2 , BC =4 , • BF =1 .在 Rt A AFB 中，o BF 1-cos B _ ■ AB 2•/B =60° .••• BF =1 ,• AF 二 3 .••• AC =3 ,由勾股定理，得AC =2. 3 . •厶B=60° , AC=2V3 ...... .............解法二：过 A 点作AE II DC 交BC 于点E .••• AD II BC ,•四边形AECD 是平行四边形. • AD 二 EC , AE 二 DC .I AB = DC = AD = 2 , BC = 4 , • AE =BE =EC =AB .可证△BAC 是直角三角形， • Z BAC =90°, Z B=60° 在 Rt A ABC 中，AC =AB • Z B =60° , AC =2寸3 .20.(本小题满分5分)(1) 证明：••• OD =OC ，/DOC =90° ,• ZODC =NOCD =45°. ••• • DOC =2. ACD =90° , • ZACD=45° .• . ACD . OCD = OCA =90° . •••点C 在LI O 上，•直线AC 是LI O 的切线. .......(2) 解：••• OD =OC =2,可求CD =2 2 .••• /ACB =75° , • BCD =30° . 作DE _BC 于点 • ■ DEC =90° .• DE = DC sin30 ••• B =45° ,• DB =2 ...........△ ABE 是等边三角形. tan60°2 .3 . DOC =90° , /ACD =45° ,2分21.(本小题满分5分) 解：(1) 2008 ; 28; ................................................ 2 分 (2) 78% ; .................................................... 3 分(3) ................................................................................................................30; .......................................................... 4 分B组50%22.（本小题满分5分）解：（1）5, 24.2 ; ••…（2）4:5 ................解题思路示意图:五、23.A组20%C组30% .................................................................. 5 分解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7 分）本小题满分7分）解：（1）由题意得1 =k.解得k - - 3 .•••反比例函数的解析式为y = —一•x(2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C . 在Rt A AOC 中，OC , AC =1 .可得OA F OC2 AC2=2 ,.AOC =30°.由题意，ZAOB=30°, OB=OA = 2 ,•. BOC =60°.过点B作x轴的垂线交x轴于点D .在Rt A BOD 中，可得BD = .3 , OD =1 .• B点坐标为-1, .3 . ••…将x ~ -1代入y = -——中，得x•点B -1，•- 3在反比例函数洛一（3）由y = -——得xy - - 3xy」的图象上.x•••点P m, ■■ 3m 6在反比例函数y = -的图象上，其中m：：：0,x•- m L- 3m 6 = - 3 .• m2 2 .3m 1 =0 .•/ PQ _x 轴，• Q点的坐标为m , n .2 2T m ：：0 ,二 mn = _1 • ............................................................................ 6 分 m 2n 2 亠2 .. 3mn 2 亠 n 2 =0 . ••• n 2 一2 丿3n = -1 .••• n 2 -2 3n 9 =8 . ............................................................................ 7 分24.（本小题满分8分）解：（1）v 抛物线y =—匹!^2 •• m 2 —3m • 2经过原点, 44. 2…m —3m 亠2 =0 . 解得 m 1 =1 , m 2 = 2 . 由题意知m=1 , •- m =2.•抛物线的解析式为 y - 一1%2，5X .4 2•.•点 B 12 , n j 在抛物线 y - _1x ^H ，5 x 上， • n =4 .• B 点的坐标为 2 , 4 . ................................................................ 2分(2)①设直线OB 的解析式为y =k1X .求得直线OB 的解析式为y =：2x . ••• A 点是抛物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为10 , 0 .设P 点的坐标为 a , 0，则E 点的坐标为 a , 2a . 根据题意作等腰直角三角形 PCD ，如图1.可求得点C 的坐标为3a , 2a .由C 点在抛物线上，1 2 5得 2a 3a - 3a .4 2即—a —U a =0 .解得 a<i = 22 , a 2 =0 （舍去）. 4 2 9• OP 二229设直线AB 的解析式为y =k 2x b .由点A 10, 0，点B 2, 4，求得直线 AB 的解析式为y = -丄x • 5 .2当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上, 有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上，如图 2所示. 可证△ DPQ 为等腰直角三角形.此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位. • PQ =DP =4t .②依题意作等腰直角三角形 QMN . ••• △ OQM 的面积是1 ,2• 1 1••— OM QM 二一• DM 1N AQ1P x图2二t 4t 2t =10 •7第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示. 可证△ PQM为等腰直角三角形.此时OP、AQ的长可依次表示为•OQ =10 _2t .••• F点在直线AB上，•FQ =t .t、2t个单位.••• MQ =2t .••• PQ 二MQ 二CQ =2t .•- t 2t 2t =10 •• t =2 .第三种情况：点P、Q重合时，线上，如图4所示.此时OP、AQ的长可依次表示为•- t 2t =10 .10…t3 PD、QM在同一条直t、2t个单位.综上，符合题意的t值分别为1°7 ,2, 103•…8分25 .（本小题满分7分）解：(1)相等; ........................... 1分15° ................................................... 2 分1:3 . ................................................... 3 分(2)猜想：ZDBC与ZABC度数的比值与(1)中结论相同. 证明：如图2，作.KCA=/BAC,过B点作BK II AC交CK于点K，连结DK .v Z BAC 式90°,•四边形ABKC是等腰梯形.•CK =AB .v DC =DA,•. DCA = . DAC .v Z KCA ZBAC ,•KCD .•△KCD BAD .•2=/4 , KD =BD .•KD 二BD 二BA 二KC .v BK II AC ,•ACB 6 .v KCA =2 ACB ,• 5 = ACB .•5= 6 .•KC =KB .•KD 二BD =KB .•Z KBD =60°.CM ENA OBF1 Q P43y*DE1AQM QFN 1P••• . ACB=/6=60° 1 ,••• . BAC=2. ACB =120°_ 2 1 .••• . 1 60°/1 厂［120° -2. 1 . 2 =180°,• . 2=2 1.• . DBC与.ABC度数的比值为1:3 . ..................................................... 7分。

2010年北京普通高中会考数学真题及答案

2010年北京普通高中会考数学真题及答案参考公式：圆柱的侧面积S 圆柱侧 2Rh π=，其中R 是圆柱底面半径，h 为圆柱的高．圆柱的体积公式2V R h π=圆柱，其中R 是圆柱底面半径，h 为圆柱的高．球的表面积公式S 球 24R π=，其中R 是球半径．球的体积公式V 球 343R π=，其中R 是球半径．第一部分（选择题共60分）一、选择题（共20个小题，每小题3分，共60分）1.已知集合{}(2)(1)0A x x x =+-=，那么下列结论正确的是A ．2A -∈B ． 1A ∉C ． 2A ∈D ． 1A -∈ 2.如果直线210x y +-=和y kx =互相平行，则实数k 的值为A ．2B ．12 C ．2- D ．12- 3. 下列函数中，最小正周期为π的是A.cos 4y x =B.sin 2y x =C.sin 2x y =D.cos 4x y =4. 下列函数中，在区间(0，2π)上是减函数的是 A ． cos y x = B ． sin y x = C ．2y x = D ． 21y x =+5.函数y =A ．(,1)[3,)-∞-⋃+∞B ．(]-1, 3C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．[1,3]-6.实数329-3log 23·21log 4+lg4+2lg5的值为A ． 25B ． 28C ． 32D ． 33 7.设()lg 3f x x x =+-，用二分法求方程lg 30x x +-=在()2, 3内近似解的过程中得()()()2.250, 2.750, 2.50, (3)0,f f f f <><>则方程的根落在区间（）． A ．(2,2.25) B ．(2.25, 2.5) C ．(2.5, 2.75) D ．(2.75, 3) 8.函数y =3x为（）．A ．偶函数且在(0，+∞)上是减函数B ．偶函数且在(0，+∞)上是增函数C ．奇函数且在(-∞，0)上是减函数D ．奇函数且在(-∞，0)上是增函数9. 在空间中，a 、b 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列条件中可推出//a b 的是A ．,a b αα⊥⊥B ．//,a b αα⊂C ．,,//a b αβαβ⊂⊂D ．,a b αα⊥⊂ 10.如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 A.AB CD = B.AB AD BD -=C .AD AB AC += D.0AD BC +=11.从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是A ．61 B ． 41C ．31 D ． 2112. 数列{a n }中，如果12,n n a a +=(n ∈*N )，且112a =，那么数列{a n }的前5项的和5S 等于A ．314 B ． 312 C ．314- D ．-31213.圆心在点)1,2(-C ，并经过点)2,2(-A 的圆的方程是（） A ．5)1()2(22=++-y x B ．25)1()2(22=++-y x C ．5)1()2(22=-++y x D ．25)1()2(22=-++y x14．按照程序框图（如右图）执行，第3个输出的数是 A ．7 B ．6 C ．5 D ．415. 已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为A.24B .20C.16D.1216.已知向量a =(4,-2)，b =(cos α,sin α)，且a b ⊥，则tan 2α＝（）A .43-B.43C.45-D.4517.如图为函数log n y m x =+的图象，其中m 、n 为常数，则下列结论正确的是A.0m <，1n >.B.0m >，1n >.C. 0m >，01n <<.D. 0m <，01n <<.18. 已知棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，若在球内任取一点，则这一点q 恰在正方体内的概率为A ．34πB ． 32C ．233π D ．13π19.在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列.已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有（）A. 300个 B .320个 C.340个 D.360个Oxy12侧视图20.已知某种笔筒，其三视图如右图所示（单位：cm ）. 现要为100个这种相同规格的笔筒涂色（笔筒内外均．．．要涂色．．．，笔筒厚度忽略不计）. 如果每0.5 kg 涂料可以涂21 m ，那么为这批笔筒涂色约需涂料A.1.23 kgB.1.76 kgC.2.46 kg D ．3.52 kg第二部分（非选择题共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21.已知2,3==b a . 若3a b ⋅=，则a 与b夹角的大小为 . 22.一个社会调查机构要了解某地区8000名教师的月收入情况，从中随机抽取400名进行则该地区月收入在[20004000]，的教师估计有_________名.23.在R 上定义运算a bad bc c d =-.若3sin()5πθ-=-，则θθθθcos sin sin cos 的值是______________ ．24.已知圆C 的方程为08222=--+x y x ，写出一条与圆C 相切的直线的方程．（写出一个满足题意的直线方程即可）SC三、解答题（共3个小题，共28分） 25.（本小题满分8分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ,ABCD 为矩形，点E 为SB 的中点. （Ⅰ）求证：AB ⊥SC ;（Ⅱ）求证：SD ∥平面AEC .26. （本小题满分10分）在△ABC 中，已知3A π∠=，边BC =B x ∠=，△ABC 的周长为y .（Ⅰ）若4x π=，求边AC 的长；（Ⅱ）求函数()y f x =的解析式，并写出它的定义域；（Ⅲ）求函数()y f x =的值域.27.（本题满分10分）定义函数()y f x =：对于任意整数m ，当实数x 11(,22m m ∈-+）时，有()f x m =．（Ⅰ）设函数的定义域为D ，画出函数()f x 在[0,4]x D ∈上的图象；（Ⅱ）若数列2210()5nn a =+（*N n ∈），记()()()n 12n S f a +f a ++f a =，求n S ；（Ⅲ）若等比数列{}n b 的首项是11b =，公比为(0)q q >，又123()()()4f b f b f b ++=，求公比q 的取值范围．C数学参考答案二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21.3π22. 6400 23. 257 24.4x =（只要正确就可以）三、解答题（共3个小题，共28分） 25.（本小题满分8分）（I ）证明：,SB ABCD AB ABCDSB AB⊥⊂∴⊥平面平面…1分ABCD AB BC∴⊥平面是矩形，………………2分BC SB B BC SB SBC AB SBC⋂=⊂∴⊥，，平面平面AB SC ∴⊥……………………………4分（II ）证明：连接BD ⋂AC=O,连接OE ……….5分O BD ABCD ∴平面是矩形，点为中点E SB SBD 在中，为中点∴OE ∥SD ……………………………………………7分 ∵OE AEC ⊂平面，SD AEC ⊄平面∴SD ∥平面AEC …………………………………….8分26.（本小题满分10分）解：（I ）,,34A B BC ππ===,sinsin43AC BC ππ=sin4sin32BCACππ⋅∴===………………………3分(II)△ABC的内角和A+B+C=π，且,,03A B x Cπ==>，220,0.33C x xππ∴=-><<…………………4分,2sinsin sin()33b cx xπ==-即4sin24sin()3b xc xπ=⎧⎪⎨=-⎪⎩所以224sin4sin())33y x x xππ=+-+<<…………………..6分（没写定义域或写错扣1分）(III)由(II)知，224sin4sin())33y x x xππ=+-+<<6sin x x=++5))6666x xππππ=++<+<………..8分由正弦函数的图象知，当5666xπππ<+<时，有1sin()126xπ<+≤.于是，)6xπ<++≤所以，函数224sin4sin())33y x x xππ=+-+<<的值域是………………………………………………………………………………..10分27.（本题满分10分）(I)图象如图所示，…………….3分(II)由于2210(),5n n a =+⋅所以 6 14 2(),3 32 4n n n f a n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪≥⎩…………4分因此， 6 110 227 3n n S n n n =⎧⎪==⎨⎪+≥⎩；……………………………………6分(III)由123()()()4f b f b f b ++=，且11b =，得2()()3,f q f q += 当01q <≤时，则21q q ≤≤，所以2()()(1)1f q f q f ≤≤=，则2()()23,f q f q +≤<不合题意；当1q >时，则21q q >>，所以2()()(1)1f q f q f ≥≥=. 又2()()3,f q f q +=∴ 只可能是2()1,()2f q f q =⎧⎨=⎩即21322,3522q q ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩32q <<……….10分。

北京市会考数学试题

北京市会考数学试题一、选择题（每题3分，共30分）下列函数中，周期为π的是( )A. y = sin(2x)B. y = cos(x/2)C. y = tan(3x)D. y = sec(4x)若复数z 满足|z| = 2，且z^2 = -4，则z = ( )A. 2iB. -2iC. ±2iD. ±√2i已知直线l: y = kx + b 经过点(1, 2) 和(3, 0)，则直线l 的斜率为( )A. 1B. -1C. 2D. -2已知函数f(x) = 3x^2 - 6x + 1，则f(x) 在区间[0, 3] 上的最大值为( )A. 1B. 2C. 4D. 10下列关于等差数列{an} 的性质，正确的是( )A. 若a1 > 0，公差d < 0，则数列{an} 是递增数列B. 若a1 < 0，公差d > 0，则数列{an} 是递减数列C. 数列{an} 中，任意两项的和为常数D. 数列{an} 中，任意两项的积为常数若直线y = kx + b 与双曲线x^2 - y^2 = 1 相交于两点，则实数k 的取值范围为( )A. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)B. (-1, 1)C. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)D. 以上都不对设随机变量X 服从正态分布N(μ, σ^2)，且P(X < 3) = 0.7，则P(X > 3) = ( )A. 0.3B. 0.7C. 0.4D. 0.6已知平面内三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)，则ΔABC 的形状为( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 以上都不对下列命题中，真命题的个数为( )① 若a > b，则a^2 > b^2② 若a > b，c > d，则ac > bd③ 若a > b，c > 0，则a/c > b/c④ 若a < b < 0，则a^2 < ab < b^2A. 1B. 2C. 3D. 4设f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，若f(x) 有两个不同的极值点x1, x2，且f(x1) + f(x2) = -4/3，则a + b = ( )A. -4/3B. -2C. -8/3D. -4二、填空题（每题4分，共16分）已知函数y = log2(x - 1) 的定义域为_______．已知等比数列{an} 的前n 项和为Sn = 3^n + r，则a2 + r = _______．在ΔABC 中，内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c，若cos A = 1/3，则sin(2B + C) = _______．已知椭圆C: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/2，且过点(1, √3/2)，则椭圆C 的方程为_______．三、解答题（共54分）（本题12分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 1 有两个不同的极值点，求 a 的取值。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题 (文科)(详解版)(word版)

绝密使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题共140分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

⑴ 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M =（）(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}解析：{}0,1,2P =，[]3,3M =-，因此P M ={}0,1,2⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（）（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i 解：点A （6,5）与B （-2,3）的中点C 的坐标为（2,4），所以答C.⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（）（A ）45 (B)35 （C ）25(D)15解：总的等可能事件有15种，其中满足b>a 的有三种（1,2），（1,3），（2,3）所以所求事件的概率为 51153=，故答D⑷若a ,b 是非零向量，a ⊥b ，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（）（A ）一次函数且是奇函数（B ）一次函数但不是奇函数（C ）二次函数且是偶函数（D ）二次函数但不是偶函数解析：222()()()()()f x xa b xb a a b x b a x a b=+-=⋅+--⋅，如a ⊥b ，则有0a b ⋅=，如果同时有a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是一次函数，且为奇函数。

2010北京市高级中等学校招生考试答案及评分参考

内部使用用毕收回2010年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分． 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A B D B B 题号 9 10 11 12答案 12x ≥ ()()22m m m +- 2 B 603 63n +三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）解：1012010|43|tan 603-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭°31433=-+-…………………………………………………………4分233=+．……………………………………………………………… 5分14．（本小题满分5分）解：去分母，得322x x -=-．…………………………………………… 2分整理，得35x =．解得53x =．…………………………………………………………… 4分经检验，53x =是原方程的解．所以原方程的解是53x =．………………………………………………5分15．（本小题满分5分）证明：∵AB DC =，∴AC DB =．…………………………………………………………1分 ∵EA AD ⊥，FD AD ⊥，∴90A D ∠=∠=°．…………………………2分在EAC △与FDB △中， EA FD A D AC DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，， ∴EAC FDB △≌△．………………………4分∴ACE DBF ∠=∠．……………………… 5分FE16．（本小题满分5分）解：由题意可知0∆=．即()()24410m ---=．解得5m =．………………………………………………………………………3分当5m =时，原方程化为2440x x -+=．解得122x x ==．所以原方程的根为122x x ==．…………………………………………………5分17．（本小题满分5分）解法一：设生产运营用水x 亿立方米，则居民家庭用水()5.8x -亿立方米．… 1分依题意，得5.830.6x x -=+．………………………………………………2分解得 1.3x =．…………………………………………………………………3分 5.8 5.8 1.3 4.5x -=-=．…………………………………………………… 4分答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．…………………5分解法二：设生产运营用水x 亿立方米，居民家庭用水y 亿立方米．………………1分依题意，得 5.830.6x y y x +=⎧⎨=+⎩……………………………………………………2分解这个方程组，得 1.34.5.x y =⎧⎨=⎩，………………………………………………4分答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．…………………5分18．（本小题满分5分）解：（1）令0y =，得32x =-．∴A 点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，．…………………………………………………1分令0x =，得3y =．∴B 点坐标为()03，．……………………………………………………2分（2）设P 点坐标为()0x ，．依题意，得3x =±．∴P 点坐标分别为()130P ，或()230P -，．……………………………3分 ∴1132733224ABP S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭△；213933224ABP S ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭△．∴ABP △的面积为274或94．…………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）11P 2P 1OBA yx19．（本小题满分5分）解法一：分别作AF BC ⊥，DG BC ⊥，F 、G 是垂足．…………………1分∴90AFB DGC ∠=∠=°． ∵AD BC ∥，∴四边形AFGD 是矩形． ∴AF DG =． ∵AB DC =，∴Rt Rt AFB DGC △≌△． ∴BF CG =． ∵2AD =，4BC =， ∴1BF =．在Rt AFB △中，∵1cos 2BF B AB ==，∴60B ∠=°． ∵1BF =，∴3AF =． ∵3AC =，由勾股定理，得23AC =．∴60B ∠=°，23AC =．………………………5分解法二：过A 点作AE DC ∥交BC 于点E ．………………1分∵AD BC ∥，∴四边形AECD 是平行四边形． ∴AD EC =，AE DC =．∵2AB DC AD ===，4BC =， ∴AE BE EC AB ===．可证BAC △是直角三角形，ABE △是等边三角形． ∴90BAC ∠=°，60B ∠=°．在Rt ABC △中，tan 6023AC AB =⋅=°．∴60B ∠=°，23AC =．………………………………………5分20．（本小题满分5分）（1）证明：∵OD OC =，90DOC ∠=°，∴45ODC OCD ∠=∠=°． ∵290DOC ACD ∠=∠=°， ∴45ACD ∠=°．∴90ACD OCD OCA ∠+∠=∠=°． ∵点C 在O e 上，∴直线AC 是O e 的切线．………………2分（2）解：∵2OD OC ==，90DOC ∠=°，可求22CD =．∵75ACB ∠=°，45ACD ∠=°， ∴30BCD ∠=°．作DE BC ⊥于点E ． ∴90DEC ∠=°．∴sin302DE DC =⋅=° ∵45B ∠=°，∴2DB =．………………………………………………………5分21．（本小题满分5分）图1GF DB AC 图2E DBACE A BC DO解：（1）2008；28；…………………………………………………………2分（2）78%；………………………………………………………………3分（3）30；…………………………………………………………………4分C 组30%B 组50%A 组20%……………………………………5分22．（本小题满分5分）解：（1）5，242；…………………………………………………………3分（2）4:5．………………………………………………………………5分解题思路示意图：B 2A 2D 1C 1B 1A 1DCBA五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．（本小题满分7分）解：（1）由题意得13=-．解得3k =-．∴反比例函数的解析式为3y =．………………1分（2）过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ．在Rt AOC △中，3OC =，1AC =．可得222OA OC AC =+，30AOC ∠=°．…………………2分由题意，30AOB ∠=°，2OB OA ==， ∴60BOC ∠=°．过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点D ．在Rt BOD △中，可得3BD 1OD =．∴B 点坐标为(13-，．……………………………………………3分将1x =-代入3y =中，得3y = ∴点(13B -，在反比例函数3y =的图象上．………………4分（3）由3y =得3xy =-∵点()36P m m +，在反比例函数3y =的图象上，其中0m <，∴()363mm +=-5分11ODC BAy x∴22310m m ++=． ∵PQ x ⊥轴，∴Q 点的坐标为()m n ，． ∵OQM △的面积是12， ∴1122OM QM ⋅=． ∵0m <，∴1mn =-．………………………………………………………6分 ∴2222230m n mn n ++=． ∴2231n n -=-．∴22398n n -+=．……………………………………………7分24．（本小题满分8分）解：（1）∵抛物线22153244m my x x m m -=-++-+经过原点， ∴2320m m -+=．解得11m =，22m =．由题意知1m ≠， ∴2m =．∴抛物线的解析式为21542y x x =-+．∵点()2B n ，在抛物线21542y x x =-+上，∴4n =．∴B 点的坐标为()24，．……………………………………………2分（2）①设直线OB 的解析式为1y k x =．求得直线OB 的解析式为2y x =． ∵A 点是抛物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为()100，．设P 点的坐标为()0a ，，则E 点的坐标为()2a a ，．根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1．可求得点C 的坐标为()32a a ，．由C 点在抛物线上，得()21523342a a a =-⨯+⨯．即2911042a a -=．解得1229a =，20a =（舍去）． ∴229OP =．………………………………………………………………4分② 依题意作等腰直角三角形QMN ．设直线AB 的解析式为2y k x b =+．由点()100A ，，点()24B ，，求得直线AB 的解析式为152y x =-+．当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，图111D PECBAOyx有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上，如图2所示．可证DPQ △为等腰直角三角形．此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位． ∴4PQ DP t ==． ∴4210t t t ++=．∴107t =．第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上，如图3所示．可证PQM △为等腰直角三角形．此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位． ∴102OQ t =-．∵F 点在直线AB 上， ∴FQ t =． ∴2MQ t =．∴2PQ MQ CQ t ===． ∴2210t t t ++=． ∴2t =．第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 、QM 在同一条直线上，如图4所示．此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位． ∴210t t +=．∴103t =．综上，符合题意的t 值分别为107，2，103．…………………………8分25．（本小题满分7分）解：（1）相等；…………………………………1分15°；………………………………………2分1:3．………………………………………3分（2）猜想：DBC ∠与ABC ∠度数的比值与（1）中结论相同．证明：如图2，作KCA BAC ∠=∠，过B 点作BK AC ∥交CK 于点K ，连结DK ． ∵90BAC ∠≠°， ∴四边形ABKC 是等腰梯形． ∴CK AB =．∵DC DA =， ∴DCA DAC ∠=∠． ∵KCA BAC ∠=∠， ∴3KCD ∠=∠．∴KCD BAD △≌△． ∴24∠=∠，KD BD =． ∴KD BD BA KC ===． ∵BK AC ∥，图2图3图4图1D C BA 图2654321K A BC D∴6∠=∠．ACB∵2KCA ACB∠=∠，∴5ACB∠=∠．∴56∠=∠．∴KC KB=．∴KD BD KB==．∴60∠=°．KBD∵6601°，∠=∠=-∠ACB∴212021∠=∠=-∠°．BAC ACB∵()()∠+-∠+-∠+∠=°°°，1601120212180∴221∠=∠．∴DBC∠度数的比值为1:3．……………………………………7分∠与ABC。