张量分析与材料应力张量习题解答
应力张量例题
= −ab
两个应力张量表示同一应力状态。
一、应力张量不变量及其应用
应力张量不变量问题小结
1、由应力张量的三个主不变量可确定应力张量状态特 、 征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向，由 征方程，从而确定应力张量的三个主应力及其方向， 此定义了应力的状态。 此定义了应力的状态。 2、判断两个应力的状态是否相同，可以通过判断对应 、判断两个应力的状态是否相同， 的三个主不变量是否相同来实现。 的三个主不变量是否相同来实现。
2 2
2
=±
5 14 3
二、几种重要应力的计算
等效应力
σ=
3 3 1 τ8 = ± 350 = 5 7 2 2 3
MPa
几种重要应力计算问题小 结
要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、 要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八 面体应力、等效应力的计算方法。 面体应力、等效应力的计算方法。
n3 = 0
τ max =
八面体应力
1 (σ max − σ min ) = 1 (10 − (−5) ) = 7.5 MPa 2 2
1 3
σ 8 = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = (10 + 0 − 5) = 1.67 MPa
τ8 = ±
1 3
1 3
(σ 1 − σ 2 ) + ( σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )
一、应力张量不变量及其应用
知识要点回顾 二阶张量的定义: 二阶张量的定义
Pkr = Pij lki lrj
( i, j =1,2,3; k,r =1′ ,2′,3′)
P 11 P 21 P31 P 12 P22 P32 P 13 P23 P33
《金属塑性成形基础原理》习题集标准答案
《金属塑性成形原理》习题答案一、填空题1. 衡量金属或合金的塑性变形能力的数量指标有伸长率和断面收缩率。
2. 所谓金属的再结晶是指冷变形金属加热到更高的温度后，在原来变形的金属中会重新形成新的无畸变的等轴晶，直至完全取代金属的冷变形组织的过程。
3. 金属热塑性变形机理主要有：晶内滑移、晶内孪生、晶界滑移和扩散蠕变等。
4. 请将以下应力张量分解为应力球张量和应力偏张量＝＋5. 对应变张量，请写出其八面体线变与八面体切应变的表达式。
＝；＝。
6.1864 年法国工程师屈雷斯加（H.Tresca ）根据库伦在土力学中研究成果，并从他自已所做的金属挤压试验，提出材料的屈服与最大切应力有关，如果采用数学的方式，屈雷斯加屈服条件可表述为。
7. 金属塑性成形过程中影响摩擦系数的因素有很多，归结起来主要有金属的种类和化学成分、工具的表面状态、接触面上的单位压力、变形温度、变形速度等几方面的因素。
8. 变形体处于塑性平面应变状态时，在塑性流动平面上滑移线上任一点的切线方向即为该点的最大切应力方向。
对于理想刚塑性材料处于平面应变状态下，塑性区内各点的应力状态不同其实质只是平均应力不同，而各点处的最大切应力为材料常数。
9. 在众多的静可容应力场和动可容速度场中，必然有一个应力场和与之对应的速度场，它们满足全部的静可容和动可容条件，此唯一的应力场和速度场，称之为真实应力场和真实速度场，由此导出的载荷，即为真实载荷，它是唯一的。
10. 设平面三角形单元内部任意点的位移采用如下的线性多项式来表示：，则单元内任一点外的应变可表示为＝。
11、金属塑性成形有如下特点：、、、。
12、按照成形的特点，一般将塑性成形分为和两大类，按照成形时工件的温度还可以分为、和三类。
13、金属的超塑性分为和两大类。
14、晶内变形的主要方式和单晶体一样分为和。
其中变形是主要的，而变形是次要的，一般仅起调节作用。
15、冷变形金属加热到更高的温度后，在原来变形的金属中会重新形成新的无畸变的等轴晶，直至完全取代金属的冷变形组织，这个过程称为金属的。
应力张量分量
应力张量分量引言应力张量分量是应力张量在一个特定的坐标系下的分量表示。
应力张量分量的理解对于材料科学和工程领域的应力分析具有重要意义。
在本文中，我们将了解应力张量的定义、表示方式、在不同坐标系下证明应力张量分量的变换规律以及一些应力分析方面的实际应用。
应力张量的定义应力张量是具有三个独立的分量的二阶张量，用于描述固体和液体中的应力状态。
应力可以理解为物体内部的力分布，因此应力张量可以表示为：σ = [σ11 σ12 σ13] [σ21 σ22σ23] [σ31σ32 σ33]其中，σ11、σ22 和σ33 表示沿着 x、y 和 z 轴的压力或拉力，σ12、σ13 和σ23 表示剪应力（或剪切应力）。
应力张量的表示方式为了确定应力张量的分量表示，我们需要选择一个参考坐标系。
在二维情况下，我们通常选择笛卡尔坐标系，其中坐标轴为 x 和 y。
在三维情况下，我们则使用三维笛卡尔坐标系，其中坐标轴为 x、y 和 z。
对于一个在一个给定坐标系下的应力张量，我们可以通过求解六个应力分量来表示它。
为了简化表示，通常使用下面的符号：σxx = σ11 σyy= σ22 σzz = σ33 σxy = σyx = σ12 σxz = σzx = σ13 σyz = σzy = σ23在这种表示方式下，σij 表示在 i 方向上对 j 方向的拉力或剪切力（也可以反过来表示）。
坐标系之间的转化当我们考虑不同的坐标系时，应力张量的表示会发生变化。
考虑两个不同的笛卡尔坐标系（原始坐标系和目标坐标系），它们的坐标轴可以写为以下矩阵的形式：[x'] [a11 a12 a13] [x] [y'] = [a21 a22 a23] [y] [z'] [a31 a32 a33] [z]其中，矩阵中的每个元素表示从目标坐标系中的一个坐标轴到原始坐标系中的相应坐标轴的投影。
为了推导出应力张量在不同坐标系下的表示，我们需要考虑以下事实：应力张量是下面这种形式的：σ = [ σxx σxy σxz] [ σxy σyyσyz] [ σxz σyz σzz]假设我们有一个 $n$ 维张量 $A$，其分量与坐标系之间的变换是 $A_{ij}^{'} = a_{ik} a_{jl} A_{kl}$。
第五章 应力张量 应变张量与应力应变关系
1、 2、 3是方程（5-7）的三个根，所
以，也可以将特征方程写成
( 1 )( 2 )( 3 ) 0
展开后有 3 ( 1 2 3 ) 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 1 2 3 0
与式（5-7）比较，得
I1 I2
方程（7）有三组解：
第一组是 m0, n0
第二组是 m0, n1/ 2
第三组是 m1/ 2, n0
有了m、n就可以从（4）中求得相应的l，并运用
（5）式得到相应的极值剪应力 ，由（2）式
得到极值剪应力面上的正应力 。 同理可从（3）和（4）中分别消去m和n，按上述 方法又可以得到六组解，但其中三组是重复的， 独立的解答一共六组，如表5-1所示。 表中前三组解答对应于主平面，其上剪应力为零； 而后三组解答对应于经过主轴之一而平分其他两 主轴夹角的平面，如图5-5示，其上剪应力为
1 和 2 的方向可取与 ν (3) 垂直平面上的任
意方向。即与ν (3) 垂直的方向都是主方向。
如果 123，则 ν (1)ν (2)、ν (2)ν (3)、
ν (3)ν (1)三者可以是零，也可以不是零，这
说明三个主方向可以相互垂直，也可以不垂 直，也就是说，任何方向都是主方向。
（3）主应力的极值性 命题1：最大（或最小）主应力是相应点处任 意截面上正应力的最大（或最小）值。
r r
这就是极坐标下的应力分量与直角坐标下应力 分量的转换公式。
反过来，取直角坐标系为新坐标系，极坐标系 旧坐标系，根据（5-2）式，用极坐标应力分量 表示直角坐标应力分量的关系为：
x xrxrr xx 2xrxr
cos2 r sin2 2sin cosr
张量分析第二章
x1
r t
(er3
)
面力:
t*e(1)S1
t*e(2)S2
t*
S e(3) 3
动平衡有(合外力为零):
t * ( n r ) S t * ( e r 1 ) S 1 t * ( e r 2 ) S 2 t * ( e r 3 ) S 3 b V a V 0(3)
体积
2.2 基本概念
2.2.1 均匀性与各向同性 均匀性，是指在所有的质点上都具有同样性质。具有
这样性质的物质称做均匀物质。 各向同性，是指在一个质点上在其所有的方向上物质
均具有同样的性质。这样的物质称为各向同性物质。 各向异性，是指在一点上在不同方向具有不同性质。
这样的物质称做各向异性物质。
2.2.2 质量密度
面力:作用在连续介质面元上的力, 面元可以是介质的 外表面，也可以是介质内部面，面力的大小方向都与 作用面的方向有关。压力和摩擦力都属于面力.
f
x3
bV
图中
r f
面力,
r b
为体力.
o
x2
x1
2.2.4 柯西应力法则和应力矢量
应力矢量:作用在物体内部单位截面上的力。特点:矢量,有方向
柯西应力法则：当 S 在 P点趋于零时，fr / S 趋于一定的
x1
正应力:垂直于坐标平面的应力分量 (两下标相同) 11,22,33
剪应力或切应力:与坐标平面相切的应力分量(两下标相异)
1 2, 2 1, 1 3, 3 1, 2 3, 3 2
i j 表示作用在其外法线平行于第i坐标轴的平面上,并
指向第j坐标轴向的分量.
2.3.2 应力张量与应力矢量间的关系
V1 6x1x2x31 3Sh
应力张量例题
2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为
？ 2
12l 2
2 2
m2
32n2
1l2 2m2 3n2
2
最大切应力计算公式
max
1 2
max min
二、几种重要应力的计算
2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某 一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。
应力状态特征方程 齐次线性应力平衡方程组
方向余弦条件
3 J1 2 J2 2 J3 0
x l yxm zxn 0
xyl y m zyn 0
二、几种重要应力的计算
例题解答 1) 画出该点的应力单元体 z
O x
5 -5 -5 5
-5 y
二、几种重要应力的计算
例题解答
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
计算应力张量的三个主不变量
J1 x y z 55 5 5
J2
x yx
xy y y zy
216m21 32n22
2 2
3
2
3
1
2
1 3
1
2
1 3
2
2
1 3
3
2
1 3
1
2
第二章-应力分析-例题-东北大学课件
2019年固体力学与岩石力学基础例题第二章 应力分析例题2.1 设某点的应力张量为012120201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭σ试求过该点平面12331x x x ++=上的应力矢量，并求正应力矢量和切应力矢量。
解：设该平面的法线矢量为：v =(l ，m ，n)由几何关系知：l 1=m 3=n 1联立方程：l 2+m 2+n 2=1于是解得：l =√1111，m =3√1111，n =√1111所以，该平面上的应力矢量的三个分量分别为：T x =σx l +τyx m +τzx n =0×√1111+1×3√1111+2×√1111=5√1111 T y =τyx l +σy m +τzy n =1×√1111+2×3√1111+0×√1111=7√1111 T z =τzx l +τzy m +σz n =2×√1111+0×3√1111+1×√1111=3√1111该平面的法向应力和切向应力为：σv =T x l +T y m +T z n =5√1111×√1111+7√1111×3√1111+3√1111×√1111=2911τv 2=T v 2−σv 2=8311−841121=72121τv =6√211解答完毕。
例题2.2 设有图2.1示三角形水坝，试列出OP 面（光滑面）的应力边界条件。
图2.1解：在OP 面上有应力边界条件：(σx1x2)x1=0=γx 2 (τx1x2)x1=0=0式中，γ为水的比重。
解答完毕。
例题2.3 已知一点的应力张量为2201211210σ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭过该点的一个作用面，作用面上的应力矢量=N 0，求： 1）22σ；2）作用面法线与坐标系的夹角余弦(,,)l m n 。
解：由于具有一个平面，使得在过改点的一个平面上，应力矢量为0，即：0×l +1×m +2×n =0 1×l +σ22×m +1×n =0 2×l +1×m +0×n =0又根据几何关系：l 2+m 2+n 2=1解得：σ22=12l =√66 m =−√63n =√66解答完毕。
一一点的应力状态与应力张量
一 一点的应力状态与应力张量二 主应力与应力不变量关于一样空间问题，一点的应力状态能够由九个应力分量表示，如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦如图1-1所示。
在固定受力情形下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有必然变换关系。
通常，咱们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。
式（1-1）确实是应力张量，它是二阶张量。
因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。
已知物体内某点P 的九个应力分量，那么可求过该点的任意倾斜面上的应力。
在P 点处掏出一无穷小四面体oabc (图1-2)它的三个面别离与x,y,z 三个轴相垂直。
另一方面即任意斜面，它的法线N ，其方向余弦为l,m,n 。
别离以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。
x y z dF ldF dF mdF dF ndF ⎫=⎪=⎬⎪=⎭（）在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc 上有合应力N P ,它可分解为正应力N σ及切向剪应力N τ，即222N N NP στ=+ N P 沿坐标轴方向分量为N x ,N y ，N z ，由平稳条件可得N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ⎫=++⎪=++⎬⎪=++⎭求出N x ，N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1-5而剪应力那么由式1-5得 2N τ=2N P -2N σ在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
张量分析第四章
Q ⋅ F ⋅ Q* = F (Q ⋅ A ⋅ Q*)
例3： 试证明：
ε=
1+υ υ σ − (trσ ) I E E
是各向同性函数。 证： 1+υ υ Q ⋅ ε ⋅ Q* = Q ⋅ σ ⋅ Q * −Q ⋅ (tr σ ) I ⋅ Q * ∵ E E
β i1Lir ≤ A i1Lir ≤ α i1Lir
设 P是 Pr张量空间的开集。按第一章第四节的标量积可以 定义A,B∈ P的标量积： 〈 A, B〉 = A⊙ B = Ai Li Bi Li ; (i1 ,L , ir = 1, 2,3) （4.1-1） 容易证明 〈 , 〉 具有下列性质： i）对称性： 〈 A, B〉 = 〈 B, A〉 ; A⊙ B = B ⊙ A , A, B ∈ P （4.1-2） ii）线性性： 〈 A, B + C 〉 = 〈 A, B〉 + 〈 A, C 〉 ; A ⊙ ( B + C ) = A ⊙ B + A⊙ C , A, B, C ∈ P （4.1-3） 4.1-3 iii）正定性： 〈 A, A〉 > 0 , ∀A ≠ 0 ; A⊙ A > 0 , ∀A ≠ 0 （4.1-4） 对任意Pr中的张量 A, B∈ P 。由（4.1-1）式可引入张量的 模和两张量之间的距离。其定义如下：
i i Q
AQ = ( Aij i i i j ) Q = Aij (Q ⋅ i i )(Q ⋅ i j ) = Q ⋅ A ⋅ Q *
F ( A) = F (Q ⋅ A ⋅ Q*)
∴ iii） ∵ ∴
FQ ( A) = ( Fij i i i j ) Q = Fij (Q ⋅ i i )(Q ⋅ i j ) = Q ⋅ F ⋅ Q *
张量分析与弹性力学：ch05-03-MainStress
Θ1、Θ2 和 Θ3 是三个与坐标选择无关的标量，称为应力张量的第一、第 二和第三不变量。它们分别是应力分量的一次、二次和三次齐次式，因而 是相互独立（线性无关）的。
特征方程（4）的三个特征根称为主应力，通常主应力按其代数值的大小 排列，称为第一主应力τ1、第二主应力τ2 和第三主应力τ3。它们是作用在 三个不同截面上的正应力，而不是某个应力矢量的三个分量。
Θ1 = τ11 + τ22 + τ33 = τii = σx + σy + σz
(5a)
是应力矩阵 [τij] 的主对角分量之和，称为应力张量 τ 的迹。
Θ2 = τ 11τ 22 + τ 22τ 33 + τ 33τ 11 − (τ 12)2 − (τ 23)2 − (τ 31)2
(5b)
是应力矩阵 [τij] 的二阶主子式之和。
Θ2 = τ 11τ 22 + τ 22τ 33 + τ 33τ 11 − (τ 12)2 − (τ 23)2 − (τ 31)2
(5b)
是应力矩阵 [τij] 的二阶主子式之和。
Θ3 = |τ ij|
(5c)
是应力矩阵的行列式，记作 detτ 。
张
(武汉大学)
张量分 与 性力学
2016 年 4 月 13 日 5 / 21
主应力是实数就意味着任何应力状态都存在主应力。
张
(武汉大学)
张量分 与 性力学
2016 年 4 月 13 日 7 / 21
主应力的重要性质——实数性
反证法，设主应力 τk 是复数，由式（2）得
τkξ(nk) = ξ(mk)τmn
பைடு நூலகம்
(6)
张量分析与材料应力张量习题解答
练习题Ⅱ（金属所）1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl )4. 证明ijk ikj =-6。
5. 证明ijkmik =-2δjm 。
6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。
并验证主方向是相互正交的。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1cx 3，u 3= bx 2+cx 3；其中a 、b 、c 皆为常数。
求这个位移场的应变张量Γ。
11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=32222111216112226226)(x x x x x x x ij ε12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
练习题Ⅱ解答（金属所）1. 用下标符号证明： C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
解：CB A BC A e e e e e C B C B A )()()(()()()(⋅-⋅=-==∈∈=∈=∈⨯=∈⨯⨯i i j j j i j i jl im jm il m l j i klm ijk m l j ik m l klm j ijk i k j ijk c b a c b a )δ-δδδc b a c b a c b a a 2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈解：a ij 的行列式为333231232221131211det a a a a a a a a a A = 当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有A a a a a a a a a a lmn n n n m m m l l l det 321321321=∈ 任意换列后有A a a a a a a a a a ijk kjik j i kj i det 333222111=∈ 因此，任意行与行、列与列交换后有A a a a a a a a a a lmn ijk nkmkninj mj mi nimi li det ∈=∈ 令a ij =δij ，det A =1,则有lmn ijk nknj ni mk mj mi lklj li ∈=∈δδδδδδδδδ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 解：根据上题的结果，有)()3()3()()(im jl mj li li mj mj li mi lj mj li mi lj jl im li kj mk ki mj lk mi lj kk mj li kk mi lk kj mk lj ki mkmj mi lklj li kkkj ki klm ijk δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=++-++=++-++==∈∈4. 证明ijk ikj =-6解：ijk ikj =-ijk kij =-(δii δjj -δij δji )=-(33-δii )=-(9-3)=-65. 证明ijk mik =-2δjm解：ijk mik =ijk kmi =(δim δji -δii δjm )= (δjm -3δjm )=-2δjm6．证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
张量和应力张量解析
ijlil j
i, j x, y, z
– 例2
Tx x l yx m zx n Ty xy l y m zy n Tz xz l yz m z n
Tj ij li
i, j x, y, z
1.2 求和约定
• 求和约定：如果在算式的某一项中有某个角 标重复出现，就表示要对该角标自1～n的所 有元素求和。 • 例
Ax By Cz p – 空间中的平面方程为： – 采用角标符号
• A、B、C→a1、a2、a3 → ai(i=1，2，3) • x，y，z → xi(i=1，2，3)
– 上式可写成：
a1 x1 a2 x2 a3 x3 ai xi p
i 1
3
– 采用求和约定则可简记为：ai xi p i 1,2,3
• 求和约定-合并例
– 例1
x l 2 y m 2 z n 2 2 xy lm yz mn z 1.1 角标符号
• 1.2 求和约定
• 1.3 张量的基本概念
• 1.4 张量的某些基本性质
1.1 角标符号
• 带有下角标的符号称为角标符号，可用来表 示成组的符号或数组。 • 例：
– 直角坐标系的三根轴
• x、y、z→x1、x2、x3 → xi(i=1，2，3)；
– 空间直线的方向余弦
y a11 x11 a12 x12 a13 x13 a21 x21 a22 x22 a23 x23 a31 x31 a32 x32 a33 x33
y1 a1 x11 a2 x12 a3 x13 y2 a1 x21 a2 x22 a3 x23 y3 a1 x31 a2 x32 a3 x33
(4-6)部分习题及其解答
1本教材习题和参考答案及部分习题解答第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为： 50x a σ=，0yσ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ=试求法线方向余弦为112n =，122n =，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和剪应力n τ。
解：应力矢量T 的三个分量为11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =-总应力111.8T a 。
正应力26.04n i i T n a σ==。
剪应力108.7n a τ。
4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12⋅=⋅T m T n 。
证：利用应力张量的对称性，可得12()()ij i j ji i j n m n m σσ⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅T m n σm m σn T n 。
证毕。
4.3某点的应力张量为01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。
解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ=即2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-=上式有两个解：20n =或1yσ=。
若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得1n =30n =，这是不可能的。
所以必有1y σ=。
将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，可求得=n4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量 22(arctg )x y xyA C x x yσ=--++ 22(arctg )yy xyA B x x yσ=-+++0z yz xz σττ===，222xy y A x y τ=-+满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A 、B 和C 。
用张量分析方法推导含偶应力弹性力学有限元理论
河 北 水 利 电 力 学 院 学 报JournalofHebeiUniversityof WaterResourcesandElectricEngineering2021 年3 月第31卷第1期Mar2021Vol31 No1文章编号：2096 — 5680(2021)01 — 0075 — 06用张量分析方法推导含偶应力弹性力学有限元理论孙晓勇1 2 ,宋兴海2,侯娜娜12,付建航2,刘立悦1,2(1.河北省数据中心相变热管理技术创新中心，河北省沧州市重庆路1号061001；2.河北水利电力学院土木工程学院，河北省沧州市重庆路1号061001)摘要：经典弹性力学理论用位移梯度表示无限小变形，不考虑旋转变形，把微元体的旋转视为刚体旋转。
含偶应力弹性力学理论将旋转变形以旋转张量表示，微元体旋转和微元体平动位移同量级，而旋转张量和应变张量同量级，旋转张量与旋转矢量一一对应，用旋转矢量的梯度表示旋转变形。
含偶应力弹性力学理论本构关系包括应力-应变关系和偶应力-曲率张量关 系，用等参变换方法离散单元位移到节点上，从虚功原理出发，增加罚函数项以降低有限元方程对高阶单元的需求，推导了拟 解决三维及二维问题的含偶应力弹性线力学有限元理论，可得三维及二维问题中位移、应力、应变等分布情况，对结构进行力 学评价。
关键词：偶应力；旋转变形；旋转张量；张量分析中图分类号：O343文献标识码:A DOI ： 10. 16046/j. cnki. issn2096-5680. 2021. 01. 0151经典线弹性理论与考虑偶应力线弹 性理论在经典弹塑性力学理论中，物体内任意一点的 应力状态只和应变或应变的历史有关，其基本变量为位移，对位移求梯度得到应变张量,用位移梯度描述无限小的变形，然后再由一点的应变张量分析得 到应力张量［1］。
含偶应力的线弹性力学理论认为, 物体内任意一点的微元体，除有各个方向的位移外,还有本身的旋转变形，而这种旋转变形并非单纯的 以旋转角表达，而是用和应变张量一个量级的旋转张量来表示［］。
弹性力学-第三章 应力张量 应变张量-1
上述方程为
的齐次线性方程组， 且常数项都为
零。因为：
，故
不能同时为零，
所以方程组的系数行列式应为零，即
将行列式展开，得到求解主应力 的三次方程，称为 应力张量 的特征方程。
式中
设特征方程的三个根为 展开后有
比较上两式，有
，则 （特征方程）
对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，
球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向 相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状 不变。
应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力 之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变 而形状改变。
静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到 很大值，材料也不产生塑性变形。 故：应力球形张量不产生材料的塑性变形； 应力偏量是产生塑性变形的真正原因。
对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与主平面成45°）的 平面，
设
，最大剪应力为：
（2）两主应力相等，设 由第二式，得
方程的解为
表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。
表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组 面上剪应力取最大值。
（3）三个主应力相等
空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面， 剪应力均为零。
应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。
用
表示。
式中：
问：是否存在一特定的斜截面，其上应力矢量T与截 面法线同向。即T为该截面上的正应力 ，
而剪应力为零。
设斜截面法线方向余弦为： 应力矢量T在坐标轴上的投影为：
由斜面应力(Cauchy)公式
故 或 将上式展开
当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应 力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正 应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向） 称为主方向。
金属塑性成形原理习题及答案07-03
解：
Hale Waihona Puke (1) aii = a11 + a22 + a33 = 1+ 2 + 3 = 6 (2) aijaij = 12 +12 + 0 +12 + 22 + 22 + 0 + 22 + 32 = 24
(3) a1 ja j2 = 1×1+1× 2 + 0× 2 = 3
2. 将下列各式按照求和约定写成展开形式 i 、 j 取值范围均为 1、2、3。
⎡0 1 2⎤ σ ij = ⎢⎢1 2 0⎥⎥
⎢⎣2 0 1⎥⎦
求作用在过该点法线方向为 n =
1 11
e1
+
3 11
e1
+
1 11
e1
的斜面上的应力矢
量及正应
力和
剪应力。
已知斜面应力公式为
7
S x = σ xl + τ yxm +τ zxn S y = τ xyl + σ y m +τ zyn S z = τ xzl + τ yz m +σ zn
Tx = σ xl +τ yxm +τ zx n Ty = τ xyl + σ ym +τ zy n Tz = τ xzl +τ yzm + σ z n 即应力边界条件表达式。
3. 写出应力平衡方程。 直接坐标系中质点的应力平衡微分方程式为
5
⎧ ⎪ ⎪
∂σ x ∂x
+ ∂τ yx ∂y
+ ∂τ zx ∂z
来描述一点应力状态的简图称为主应力图。为定性的说明变形体某点的应力状态，常采用主 应力图。主应力图能够用来衡量某一种材料在特定工艺条件下塑性的优劣和变形抗力的大小。 主应力图共有九种，如图所示，其中三向应力状态有四种，两向应力状态有三种，单向应力 状态有两种。
应力与应力张量二
面力边界条件描述弹性体表面的平衡， 平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。 这种平衡只是静力学可能的平衡。
真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足
变形连续条件。
位移边界条件 边界位移已知——位移边界Su
uu vu ww
位移边界条件就是弹性体表面的变形协调
弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等
混合边界条件 弹性体边界
t zx
t zy
s
z
s 31
s 32
s 33
•应该注意—— •应力分量是标量 •箭头仅是说明方向
二、 平衡微分方程
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
微分平行六面体单元
平衡微分方程
s x
x
t yx
y
t zx
z
Fbx
0
t xy
x
s y
y
t zy
z
Fby
0
t z
x
t yz
y
s z
z
Fbz
0
切应力互等定理
s ij s ji
s ij ,i Fbj 0
三、 应力状态
如果应力张量能够描述一点的应力状态，则 1.应力张量可以描述其它应力参数； 2. 坐标变换与应力张量关系； 3. 最大应力及其方位的确定。
•任意斜截面的应力
•转轴公式
s i` j` s ijnii`n jj`
•——应力分量满足张量变化规则
•应力张量为二阶对称张量
•转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分量 可通过原坐标系的应力分量确定。
材料成型原理——应力张量与主应力
变形： 形状的改变 + 体积的改变
应力偏张量
应力球张量
+ σ ij = ⎡⎢⎢τσxxyx
τ yx σ yy
τ τ
zx zy
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡σ ⎢
xx
−
σm
τ yx
⎢τ xy σ yy − σ m
τ
zx
⎤ ⎥
τ zy ⎥
⎢⎣τ xz
τ yz
σ
zz
⎥ ⎦
⎢⎣τ xz
τ yz
σ zz
−σm
⎥ ⎦
⎡σ m 0 0⎤ ⎢⎢0 σ m 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 σ m ⎥⎦
⎢⎣1 1 5⎥⎦ ⎢⎣1 1 4⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
z 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 z 存在张量不变量（张量分量的函数）
二、主应力和应力张量不变量
z 主平面： τ = 0 的微分面 z 主应力：主平面上作用的正应力 z 主平面上的法线方向则称为应力主方向或应力主轴
**任意一点的应力状态一定存在相互垂直的三个主方向、三个主平 面和三个主应力。这是应力张量的重要特征**
二、主应力和应力张量不变量
Sx = σl Sy =σm Sz = σn
Sx = σNl Sy =σNm Sz = σNn
代入
⎧S ⎪
x
= σ xl
+τ yxm
+τ zxn
⎨Sy = τ xyl + σ ym +τ zyn
⎪⎩Sz = τ xzl +τ yzm + σ zn
得到
⎧(σ ⎪
x
−σ
N
)l
二、主应力和应力张量不变量
σ x − σ N τ yx τ zx τ xy σ y − σ N τ zy = 0 τ xz τ yz σ z − σ N
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练习题Ⅱ（金属所）1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈3. 证明∈ijk ∈klm =(δil δjm -δim δjl )4. 证明∈ijk ∈ikj =-6。
5. 证明∈ijk ∈mik =-2δjm 。
6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M }8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。
并验证主方向是相互正交的。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= -ax 2+bx 3，u 2=ax 1-cx 3，u 3= -bx 2+cx 3；其中a 、b 、c 皆为常数。
求这个位移场的应变张量Γ。
11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=32222111216112226226)(x x x x x x x ij ε12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
练习题Ⅱ解答（金属所）1. 用下标符号证明： C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
解：CB A BC A e e e e e C B C B A )()()(()()()(⋅-⋅=-==∈∈=∈=∈⨯=∈⨯⨯i i j j j i j i jl im jm il m l j i klm ijk m l j ik m l klm j ijk i k j ijk c b a c b a )δ-δδδc b a c b a c b a a2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈解：a ij 的行列式为333231232221131211det a a a a a a a a a A =当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有A a a a a a a a a a lmn n n n m m m l l l det 321321321=∈ 任意换列后有A a a a a a a a a a ijk kj i k j ik j idet 333222111=∈ 因此，任意行与行、列与列交换后有A a a a a a a a a a lmn ijk nkmk ni nj mj mini mi lidet ∈=∈ 令a ij =δij ，det A =1,则有lmn ijk nknj ni mk mj mi lklj li ∈=∈δδδδδδδδδ3. 证明∈ijk ∈klm =(δil δjm -δim δjl )解：根据上题的结果，有)()3()3()()(im jl mj li li mj mj li mi lj mj li mi lj jl im li kj mk ki mj lk mi lj kk mj li kk mi lk kj mk lj ki mkmj mi lklj li kkkj ki klm ijk δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=++-++=++-++==∈∈4. 证明∈ijk ∈ikj =-6解：∈ijk ∈ikj =-∈ijk ∈kij =-(δii δjj -δij δji )=-(3⨯3-δii )=-(9-3)=-65. 证明∈ijk ∈mik =-2δjm解：∈ijk ∈mik =∈ijk ∈kmi =(δim δji -δii δjm )= (δjm -3δjm )=-2δjm6．证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
解：如果晶体具有中心对称，则必符合如下的对称变换：)(100010001ij T δ-=---=若此晶体有一物理性质M （张量），根据对称的定义，经对称变换后物质的性质不变。
即按如上的对称变换进行坐标变换后，M 仍然是M 。
即：m ’i 1 i 2⋯in =(-1)in δi 1 j 1δi 2 j 2 ……δin jn m j 1 j 2⋯jn = m i 1 i 2⋯in当M 的阶数是偶次时，即(-1)in =1，上式m ’i 1 i 2⋯in = M i 1 i 2⋯in ，是正确的。
当M 的阶数是奇次时，即(-1)in =-1，上式m ’i 1 i 2⋯in =-m i 1 i 2⋯in 。
根据对称的要求，就有-m i 1 i 2⋯in =m i 1 i 2⋯in 的关系，只有M =0才符合这样的关系，即不存在这种物理性质。
7．B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M }解：题给出的式子左端：(div M )⋅B =(∇⋅M )⋅B =(∇i e i ⋅m jk e j e k )⋅b l e l =(m jk,i δij e k )⋅b l e l =m jk,i b l δij e k ⋅e l= m jk,i b l δij δkl =m ik,i b k题给出的式子右端：div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M }第一项：div(M ⋅B )=∇⋅ (M ⋅B )= ∇i e i ⋅ (m jk e j e k ⋅b m e m )= ∇i e i ⋅ (m jk b m e j δkm )= ∇i e i ⋅ (m jk b k e j )=(m jk b m ),i e i ⋅e j =(m jk b k ),i δij =(m jk b k ),j =m jk ,j b k + m jk b k ,j第一项：{ (B ∇) M ∶}={ (b i ∇j e i e j )∶m kl e k e l }=b i,j m kl e i e j ∶e k e l = b i,j m kl (e i ⋅e l )(e j ⋅e k )= b i,j m kl δil δjk = b i,j m ji右端两项之和为m jk ,j b k + m jk b k ,j - b i,j m ji = m jk ,j b k 。
故题给出的式子的左右端相等。
8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的应力矢量、正应力、切应力。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ 解：法线方向为]221[的单位矢量n =]221[/3。
① 应力矢量为f (n )=n ⋅σ=n i σij e j =(n 1σ11+ n 2σ21+ n 3σ31)e 1+ (n 1σ12+ n 2σ22+ n 3σ32)e 2+( n 1σ13+ n 2σ23+ n 3σ33)e 3 = [(2⨯2-1⨯1-2⨯1)/3]e 1+[(-2⨯1+1⨯2+2⨯1)/3]e 2+[(2⨯1-1⨯1-2⨯2)/3]e 3=(1e 1+2e 2-3e 3)/3② 在法线方向为]221[的面的正应力是σnn =n ⋅σ⋅ n =n i n j σij= n 1n 1σ11+ n 1n 2σ12+ n 1n 3σ13+ n 2n 1σ21+ n 2n 2σ22+ n 2n 3σ23+ n 3n 1σ31+ n 3n 2σ32+ n 3n 3σ33 = (22⨯2-2⨯1⨯1-2⨯2⨯1-1⨯2⨯1+12⨯2+1⨯2⨯1-2⨯2⨯1+2⨯1⨯1+22⨯2)/9=10/9因为已知该面的应力矢量，也可以简单地作如下运算：σnn =n ⋅f (n )=n i (f (n ))i =(2⨯1)/3⨯3+(1⨯2)/3⨯3+([-2]⨯[-3])3⨯3=10/9③ 在法线方向为]221[的面的切应力σt 数值的平方应该等于应力矢量的模的平方减去正应力的平方：σt =[ (f (n ))2-(σnn )2]1/2=[(1e 1+2e 2-3e 3)⋅ (1e 1+2e 2-3e 3)/9-(10/9)2]1/2=0.5669. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。
并验证主方向是相互正交的。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ解：(1)知应变张量的本征方程是n ⋅σ=λn 。
其主方向n 不为0的充要条件是：0333231232221131211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---σλσσσσλσσσσλ 即 0I I I 32213=-+-σσσλλλ式中 σ1I =σii =σ11+ σ22+ σ33=7+7+7=21σ2I =(σii σjj -σij σji )/2=(σ11σ22+ σ22 σ33 +σ33σ11)/2-( σ12σ21+σ23σ32+ σ31σ13)/2=(7⨯7+7⨯7+7⨯7)/2-[(3)2+(0)2+(4)2]/2=122σ3I =det σ=168得 λ3-21λ2+122λ-168=0解上面λ的三次方程，得三个实根：λ1=2；λ2=7；λ3=12。
这三个实根就是三个主应力，即σ1=2；σ2=7；σ3=12。
(2)把三个根分别代入本征方程，求出主方向。
λ1=2时；求除第一个主方 向n (1)的各分量：)27(404)27(303)27()1(3)1(2)1(3)1(2)1(1)1(2)1(1=-+=+-+=+-n n n n n n n解方程得)1(1n =-3/5；)1(2n =1；)1(3n =-4/5。
即方向为]453[。
λ1=7时；求除第二个主方 向n (2)的各分量：)77(404)77(303)77()1(3)1(2)1(3)1(2)1(1)1(2)1(1=-+=+-+=+-n n n n n n n解方程得)1(1n =4；)1(2n =0；)1(3n =-3。
即方向为]340[。
λ1=12时；求除第三个主方 向n (3)的各分量：)127(404)127(303)127()1(3)1(2)1(3)1(2)1(1)1(2)1(1=-+=+-+=+-n n n n n n n解方程得)1(1n =3/5；)1(2n =1；)1(3n =4/5。