张量分析与材料应力张量习题解答

练习题Ⅱ（金属所）

1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。

2. 证明

nk

nj ni mk mj mi lk

lj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈

3. 证明∈ijk ∈klm =(δil δjm -δim δjl )

4. 证明∈ijk ∈ikj =-6。

5. 证明∈ijk ∈mik =-2δjm 。

6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量

描述的物理性质也具有中心对称的特性。

7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明：

(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M }

8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ

9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。并验证主方向是相互正交

的。

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ

10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= -ax 2+bx 3，u 2=ax 1-cx 3，u 3= -bx 2+cx 3；其中a 、b 、c 皆为常数。求这个位移场的应变张量Γ。

11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=32222111216112226226)(x x x x x x x ij ε

12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。

练习题Ⅱ解答（金属所）

1. 用下标符号证明： C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。

解：

C

B A B

C A e e e e e C B C B A )()()(()()()(⋅-⋅=-==∈∈=∈=∈⨯=∈⨯⨯i i j j j i j i jl im jm il m l j i klm ijk m l j i

k m l klm j ijk i k j ijk c b a c b a )δ-δδδc b a c b a c b a a

2. 证明

nk

nj ni mk mj mi lk

lj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈

解：a ij 的行列式为

3332

3123222113

1211det a a a a a a a a a A =

当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有

A a a a a a a a a a lmn n n n m m m l l l det 3

21321

321

=∈ 任意换列后有

A a a a a a a a a a ijk k

j i k j i

k j i

det 333222111=∈ 因此，任意行与行、列与列交换后有

A a a a a a a a a a lmn ijk nk

mk ni nj mj mi

ni mi li

det ∈=∈ 令a ij =δij ，det A =1,则有

lmn ijk nk

nj ni mk mj mi lk

lj li ∈=∈δδδδδδδδδ

3. 证明∈ijk ∈klm =(δil δjm -δim δjl )

解：根据上题的结果，有

)()

3()3()

()(im jl mj li li mj mj li mi lj mj li mi lj jl im li kj mk ki mj lk mi lj kk mj li kk mi lk kj mk lj ki mk

mj mi lk

lj li kk

kj ki klm ijk δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=++-++=++-++==∈∈

4. 证明∈ijk ∈ikj =-6

解：∈ijk ∈ikj =-∈ijk ∈kij =-(δii δjj -δij δji )=-(3⨯3-δii )=-(9-3)=-6

5. 证明∈ijk ∈mik =-2δjm

解：∈ijk ∈mik =∈ijk ∈kmi =(δim δji -δii δjm )= (δjm -3δjm )=-2δjm

6．证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。

解：如果晶体具有中心对称，则必符合如下的对称变换：

)(1

000100

01ij T δ-=---=

若此晶体有一物理性质M （张量），根据对称的定义，经对称变换后物质的性质不变。即按如上的对称变换进行坐标变换后，M 仍然是M 。即：

m ’i 1 i 2⋯in =(-1)in δi 1 j 1δi 2 j 2 ……δin jn m j 1 j 2⋯jn = m i 1 i 2⋯in

当M 的阶数是偶次时，即(-1)in =1，上式m ’i 1 i 2⋯in = M i 1 i 2⋯in ，是正确的。当M 的阶数是奇次时，即(-1)in =-1，上式m ’i 1 i 2⋯in =-m i 1 i 2⋯in 。根据对称的要求，就有-m i 1 i 2⋯in =m i 1 i 2⋯in 的关系，只有M =0才符合这样的关系，即不存在这种物理性质。

7．B 为矢量，M 为二阶张量，证明：

(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M }

解：题给出的式子左端：

(div M )⋅B =(∇⋅M )⋅B =(∇i e i ⋅m jk e j e k )⋅b l e l =(m jk,i δij e k )⋅b l e l =m jk,i b l δij e k ⋅e l

= m jk,i b l δij δkl =m ik,i b k

题给出的式子右端：

div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M }

第一项：

div(M ⋅B )=∇⋅ (M ⋅B )= ∇i e i ⋅ (m jk e j e k ⋅b m e m )= ∇i e i ⋅ (m jk b m e j δkm )= ∇i e i ⋅ (m jk b k e j )

=(m jk b m ),i e i ⋅e j =(m jk b k ),i δij =(m jk b k ),j =m jk ,j b k + m jk b k ,j

第一项：

{ (B ∇) M ∶}={ (b i ∇j e i e j )∶m kl e k e l }=b i,j m kl e i e j ∶e k e l = b i,j m kl (e i ⋅e l )(e j ⋅e k )

= b i,j m kl δil δjk = b i,j m ji

右端两项之和为m jk ,j b k + m jk b k ,j - b i,j m ji = m jk ,j b k 。故题给出的式子的左右端相等。

8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的应力矢量、正应力、切应力。