河北省衡水中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(文)试题_扫描版含答案

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[精品]2014-2015年河北省衡水中学高一下学期期末数学试卷及解析答案word版(文科)

2014-2015学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+（y﹣2）2=4的位置关系是（）A．相交B．相离C．外切D．内切2．（5分）若圆关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l 的斜率是（）A．6 B．C．D．3．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或04．（5分）过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=6，BC=8，AC=10，则球的表面积是（）A．100πB．300πC．πD．π5．（5分）某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为1），则该几何体的表面积为（）A．6+2B．4+4C．2+4+2D．4+26．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α7．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．9．（5分）已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B． C．3 D．410．（5分）设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直11．（5分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（5分）曲线C1：x2+（y﹣4）2=1，曲线C2：x2=2y，EF是曲线C1的任意一条直径，P是曲线C2上任一点，则•的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为．14．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=．15．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．16．（5分）过点P（4，2）作圆O：x2+y2=42的弦AB，设弦AB的中点为M，令M的坐标为（x，y），则x和y满足的关系式为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=．（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2（1）若F为PC的中点，求证：EF⊥平面PAC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．19．（12分）已知两点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3）．（Ⅰ）求过A、B两点的直线方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（Ⅲ）若圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上，求圆C的方程．20．（12分）已知动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍．（1）求动点A的轨迹C的方程；（2）若直线y=kx﹣5与轨迹C没有公共点，求k的取值范围；（3）求直线x+y﹣4=0被轨迹C截得的弦长．21．（12分）已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，试问，直线AB是否过定点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．2014-2015学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+（y﹣2）2=4的位置关系是（）A．相交B．相离C．外切D．内切【解答】解：已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1；圆C2：x2+（y﹣2）2=4，则圆C1（1，0），C 2（0，2），r2=2两圆的圆心距C1C2==，由，故两圆相交，故选：A．2．（5分）若圆关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l 的斜率是（）A．6 B．C．D．【解答】解：圆关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线通过圆心（3，﹣3），故3a﹣12﹣6=0，∴a=6，∴直线l的斜率k=﹣，故选：C．3．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或0【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得a=，综合可得，a=，故选：A．4．（5分）过球面上三点A 、B 、C 的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=6，BC=8，AC=10，则球的表面积是（） A ．100πB ．300πC ．πD ．π【解答】解：根据题意△ABC 是RT △，且斜边上的中线为5，又∵球心的射影为斜边的中点，设球的半径为r ，则有∴∴故选：D ．5．（5分）某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为1），则该几何体的表面积为（）A ．6+2B ．4+4C ．2+4+2D ．4+2【解答】解：由三视图知，该几何体是一个三棱锥，该三棱锥中，侧棱PA ⊥底面ABC ，底面△ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=90°，如图所示；∴S △PAB =•AB•PB=×2×2=2 S △ABC =•AB•AC=×2×2=2 S △PBC =•PB•BC=×2×=2 S △PAC =•PA•AC=××2=2∴的表面积是S=S △PAB +S △ABC +S △PBC +S △PAC =2+2+2+2=4+4，故选：B ．6．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【解答】解：A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m⊄α，所以m∥α．故选：D．7．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图连接C1D，则C1D∥AB1，∴∠BC1D就是异面直线AB1与BC1所成的角．AB=BC=2，AA1=1，在△BC1D中，BD=，BC1=DC1=，∴cosBC1D==．∴异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为：．故选：A．8．（5分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵直线过原点且倾斜角为60°，∴直线的方程为：y=x，即x﹣y=0，由（x﹣2）2+y2=4，得圆心（2，0），且r=2，∵圆心（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==，∴直线被圆截得的弦长为2=2，故选：B．9．（5分）已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B． C．3 D．4【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．10．（5分）设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直【解答】解：由题意可得直线sinA•x+ay+c=0的斜率，bx﹣sinB•y+sinC=0的斜率∵k1k2===﹣1则直线si nA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0垂直故选：C．11．（5分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故选：C．12．（5分）曲线C1：x2+（y﹣4）2=1，曲线C2：x2=2y，EF是曲线C1的任意一条直径，P是曲线C2上任一点，则•的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：①当EF的斜率不存在时，对于曲线C1：x2+（y﹣4）2=1，令x=0，得（y﹣4）2=1，解得y=3或5．取E（0，3），F（0，5），设P，则===≥6，当且仅当m2=6，即m=时取等号．此时P．②当EF的斜率存在时，设直线EF的斜率为k，则方程为y=kx+4．联立，化为，取E，F．设P．则=•=+=≥6．当且仅当m2=6，即m=时取等号．此时P．综上可知：•的最小值为6．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为8．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个四棱锥如图，由正视图知三棱锥的高为2，由俯视图与侧视图知底面为直角梯形，且直角梯形的高为4，上、下底边长分别为2、4．∴其体积V=××4×2=8．故答案是8．14．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=．【解答】解：由题意知，点A在圆上，切线斜率为==﹣，用点斜式可直接求出切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x+2y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以，所求面积为．15．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．16．（5分）过点P（4，2）作圆O：x2+y2=42的弦AB，设弦AB的中点为M，令M的坐标为（x，y），则x和y满足的关系式为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【解答】解：由题意，P在圆O内，∵弦AB的中点为M，∴OM⊥AB，∴M的轨迹是以OP为直径的圆，方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=．（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．【解答】解：（I）∵（2分）由正弦定理得．∴．（5分）（II）∵，∴．∴c=5（7分）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，∴（10分）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2（1）若F为PC的中点，求证：EF⊥平面PAC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．又AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．∵E、F分别为PD、PC中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面PAC；（2）解：在Rt△BAC中，∠ABC═90°，∠BAC=60°，AB=1，∴BC=，AC=2；在Rt△DAC中，∠ACD═90°，∠CAD=60°，AC=2，∴CD=2，AD=4；故底面ABCD的面积为S=×1×+×2×2=∴V P=×S×PA=××2=．﹣ABCD19．（12分）已知两点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3）．（Ⅰ）求过A、B两点的直线方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（Ⅲ）若圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上，求圆C的方程．【解答】解：（I）∵点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3），∴k AB==1，∴过A、B两点的直线方程为y+1=x﹣1，即x﹣y﹣2=0…（4分）（II）线段AB的中点坐标（0．﹣2），k AB=1，则所求直线的斜率为﹣1，故所求的直线方程是x+y+2=0…（8分）（III）设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0由题意可知，解得D=3，E=1，F=﹣4所求的圆的方程是x2+y2+3x+y﹣4=0．…（14分）20．（12分）已知动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍．（1）求动点A的轨迹C的方程；（2）若直线y=kx﹣5与轨迹C没有公共点，求k的取值范围；（3）求直线x+y﹣4=0被轨迹C截得的弦长．【解答】解：（1）∵动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍，∴=2，∴x2+y2=16；（2）直线y=kx﹣5与x2+y2=16联立，可得（1+k2）x2﹣10kx+9=0，∵直线y=kx﹣5与轨迹C没有公共点，∴△=100k2﹣36（1+k2）＜0，∴﹣＜k＜；（3）圆心（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离为2，∴直线x+y﹣4=0被轨迹C截得的弦长为2=4．21．（12分）已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，试问，直线AB是否过定点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）依题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，∴r=d==2，﹣﹣﹣（2分）∴圆C的方程为x2+y2=24①；﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）连接OA，OB，∵PA，PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴A，B在以OP为直径的圆上，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设点P的坐标为（8，b），b∈R，则线段OP的中点坐标为（4，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴以OP为直径的圆方程为（x﹣4）+（y﹣）2=16+，②﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵AB为两圆的公共弦，∴①﹣②得：直线AB的方程为8x+by=24，b∈R，即8（x﹣3）+by=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）则直线AB恒过定点（3，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a ﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2014-2015衡水中学高一(下)期末数学试卷

2014-2015学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+（y﹣2）2=4的位置关系是（）A．相交B．相离C．外切D．内切2．若圆关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（）A．6 B．C．D．3．直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或04．过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=6，BC=8，AC=10，则球的表面积是（）A．100πB．300πC．π D．π5．某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为1），则该几何体的表面积为（）A．6+2B．4+4C．2+4+2D．4+26．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．过原点且倾斜角为60°的直线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．9．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．410．设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直11．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．曲线C1：x2+（y﹣4）2=1，曲线C2：x2=2y，EF是曲线C1的任意一条直径，P是曲线C2上任一点，则•的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.13．某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为．14．已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=．15．圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．16．过点P（4，2）作圆O：x2+y2=42的弦AB，设弦AB的中点为M，令M的坐标为（x，y），则x和y 满足的关系式为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，17．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，．（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点，PA=2AB=2（1）若F为PC的中点，求证：EF⊥平面PAC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．19．已知两点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3）．（Ⅰ）求过A、B两点的直线方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（Ⅲ）若圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上，求圆C的方程．20．已知动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍．（1）求动点A的轨迹C的方程；（2）若直线y=kx﹣5与轨迹C没有公共点，求k的取值范围；（3）求直线x+y﹣4=0被轨迹C截得的弦长．21．已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，试问，直线AB是否过定点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．2014-2015学年河北省衡水中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，1．圆C1：（x﹣1）2+y2=1与圆C2：x2+（y﹣2）2=4的位置关系是（）A．相交B．相离C．外切D．内切【分析】根据两圆的标准方程求出这两个圆的圆心和半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距C1C2与半径和与差的关系，得出结论．【解答】解：已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1；圆C2：x2+（y﹣2）2=4，则圆C1（1，0），C2（0，2），r2=2两圆的圆心距C1C2==，由，故两圆相交，故选：A．【点评】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，属于中档题．2．若圆关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（）A．6 B．C．D．【分析】由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a的值，然后求出直线的斜率．【解答】解：圆关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线通过圆心（3，﹣3），故3a﹣12﹣6=0，∴a=6，∴直线l的斜率k=﹣，故选：C．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查对称知识、计算能力．3．直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A．B．或0 C．0 D．﹣2或0【分析】当a=0时，检验两直线是否平行，当a≠0时，由一次项系数之比相等但不等于常数项之比，求出a的值．【解答】解：当a=0时，两直线平行；当a≠0时，由，得a=，综合可得，a=或0，故选B．【点评】本题考查两直线平行的性质，体现了分类讨论的数学思想．4．过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=6，BC=8，AC=10，则球的表面积是（）A．100πB．300πC．π D．π【分析】根据边长知△ABC是RT△，则球心的身影为斜边的中点，再由勾股定理求得．【解答】解：根据题意△ABC是RT△，且斜边上的中线为5，又∵球心的射影为斜边的中点，设球的半径为r，则有∴∴故选D．【点评】本题主要考查直角三角形中线定理及球的基本性质．5．某几何体的三视图如图所示（网格中的小正方形边长为1），则该几何体的表面积为（）A．6+2B．4+4C．2+4+2D．4+2【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么，由此求出表面积．【解答】解：由三视图知，该几何体是一个三棱锥，该三棱锥中，侧棱PA⊥底面ABC，底面△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，如图所示；∴S△PAB=•AB•PB=×2×2=2S△ABC=•AB•AC=×2×2=2S△PBC=•PB•BC=×2×=2S△PAC=•PA•AC=××2=2∴的表面积是S=S△PAB+S△ABC+S△PBC+S△PAC=2+2+2+2=4+4，故选：B．【点评】本题考查了几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．6．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【分析】由题意知，用平行和垂直的定理进行判断，对简单的可在长方体中找反例．【解答】解：A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m⊄α，所以m∥α．故选D．【点评】本题为基础题，考查了空间线面的平行和垂直关系，借助具体的事物培养空间想象力．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由异面直线所成的角的定义，先作出这个异面直线所成的角的平面角，即连接B1C，再证明∠AB1C 就是异面直线AB1与A1D所成的角，最后在△AB1C中计算此角的余弦值即可．【解答】解：如图连接C1D，则C1D∥AB1，∴∠BC1D就是异面直线AB1与BC1所成的角．AB=BC=2，AA1=1，在△BC1D中，BD=，BC1=DC1=，∴cosBC1D==．∴异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为：．故选：A．【点评】本题考查了异面直线所成的角的定义和求法，先作再证后计算，将空间角转化为平面角的思想．8．过原点且倾斜角为60°的直线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．【分析】由题意求出直线方程，再把圆的方程化为一般式，求出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出截得的弦长．【解答】解：∵直线过原点且倾斜角为60°，∴直线的方程为：y=x，即x﹣y=0，由（x﹣2）2+y2=4，得圆心（2，0），且r=2，∵圆心（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==，∴直线被圆截得的弦长为2=2，故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，以及勾股定理，熟练运用垂径定理及勾股定理是解本题的关键．9．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．4【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x≥0，y≥0），由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题．10．设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直【分析】要寻求直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可．【解答】解：由题意可得直线sinA•x+ay+c=0的斜率，bx﹣sinB•y+sinC=0的斜率∵k1k2===﹣1则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0垂直故选C．【点评】本题主要考察了两直线的位置关系中的垂直关系的判断，主要是通过直线的斜率关系进行判断，解题中要注意正弦定理的应用．11．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．【解答】解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故答案为：3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．12．曲线C1：x2+（y﹣4）2=1，曲线C2：x2=2y，EF是曲线C1的任意一条直径，P是曲线C2上任一点，则•的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】①当EF的斜率不存在时，对于曲线C1：x2+（y﹣4）2=1，令x=0，解得点E，F的坐标．设P，利用及二次函数的单调性即可得出．②当EF的斜率存在时，设直线EF的斜率为k，则方程为y=kx+4．与圆的方程联立解得点E，F的坐标．设P，即可得出，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：①当EF的斜率不存在时，对于曲线C1：x2+（y﹣4）2=1，令x=0，得（y﹣4）2=1，解得y=3或5．取E（0，3），F（0，5），设P，则===≥6，当且仅当m2=6，即m=时取等号．此时P．②当EF的斜率存在时，设直线EF的斜率为k，则方程为y=kx+4．联立，化为，取E，F．设P．则=•=+=≥6．当且仅当m2=6，即m=时取等号．此时P．综上可知：•的最小值为6．故选B．【点评】本题考查了直线与圆相交转化为方程联立得到方程组、抛物线的标准方程、分类讨论、向量的数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.13．某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为8．【分析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，画出其直观图，判断几何体的高，底面梯形的底边长和高，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个四棱锥如图，由正视图知三棱锥的高为2，由俯视图与侧视图知底面为直角梯形，且直角梯形的高为4，上、下底边长分别为2、4．∴其体积V=××4×2=8．故答案是8．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．14．已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=．【分析】判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：由题意知，点A在圆上，切线斜率为==﹣，用点斜式可直接求出切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x+2y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以，所求面积为．【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积．15．圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【分析】由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．16．过点P（4，2）作圆O：x2+y2=42的弦AB，设弦AB的中点为M，令M的坐标为（x，y），则x和y 满足的关系式为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【分析】由题意，P在圆O内，弦AB的中点为M，可得OM⊥AB，M的轨迹是以OP为直径的圆，即可得出结论．【解答】解：由题意，P在圆O内，∵弦AB的中点为M，∴OM⊥AB，∴M的轨迹是以OP为直径的圆，方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，．（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．【分析】本题考查的知识点是正弦定理与余弦定理，（1）由，我们易求出B的正弦值，再结合a=2，b=4，由正弦定理易求sinA的值；（2）由△ABC的面积S=4，我们可以求出c值，再由余弦定理可求出b值．【解答】解：（I）∵（2分）由正弦定理得．∴．（5分）（II）∵，∴．∴c=5（7分）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，∴（10分）【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．而余弦定理在使用时一般要求两边有平方和的形式．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点，PA=2AB=2（1）若F为PC的中点，求证：EF⊥平面PAC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．【分析】（1）先证CD⊥平面PAC，由三角形中位线的性质得EF∥CD，得到EF⊥平面PAC；（2）把四边形面积分成2个直角三角形面积之和，代入棱锥体积公式进行计算．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．又AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．∵E、F分别为PD、PC中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面PAC；（2）解：在Rt△BAC中，∠ABC═90°，∠BAC=60°，AB=1，∴BC=，AC=2；在Rt△DAC中，∠ACD═90°，∠CAD=60°，AC=2，∴CD=2，AD=4；故底面ABCD的面积为S=×1×+×2×2=∴V P﹣ABCD=×S×PA=××2=．【点评】本题考查用分割法求出棱锥的底面积，直线与平面垂直的判定，考查了学生的空间想象力及计算能力，属于中档题．19．已知两点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3）．（Ⅰ）求过A、B两点的直线方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（Ⅲ）若圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上，求圆C的方程．【分析】（Ⅰ）求出斜率，利用点斜式求过A、B两点的直线方程；（Ⅱ）求出线段AB的中点坐标，即可求线段AB的垂直平分线l的直线方程；（Ⅲ）圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上，利用待定系数法求圆C的方程．【解答】解：（I）∵点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣3），∴k AB==1，∴过A、B两点的直线方程为y+1=x﹣1，即x﹣y﹣2=0…（4分）（II）线段AB的中点坐标（0．﹣2），k AB=1，则所求直线的斜率为﹣1，故所求的直线方程是x+y+2=0…（8分）（III）设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0由题意可知，解得D=3，E=1，F=﹣4所求的圆的方程是x2+y2+3x+y﹣4=0．…（14分）【点评】本题考查直线与圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．20．已知动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍．（1）求动点A的轨迹C的方程；（2）若直线y=kx﹣5与轨迹C没有公共点，求k的取值范围；（3）求直线x+y﹣4=0被轨迹C截得的弦长．【分析】（1）利用动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍，建立方程，化简，可得动点A的轨迹C的方程；（2）直线y=kx﹣5与x2+y2=16联立，直线y=kx﹣5与轨迹C没有公共点，△=100k2﹣36（1+k2）＜0，即可求k的取值范围；（3）求出圆心（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离，即可求直线x+y﹣4=0被轨迹C截得的弦长．【解答】解：（1）∵动点A（x，y）到点（8，0）的距离定于A到点（2，0）的距离的2倍，∴=2，∴x2+y2=16；（2）直线y=kx﹣5与x2+y2=16联立，可得（1+k2）x2﹣10kx+9=0，∵直线y=kx﹣5与轨迹C没有公共点，∴△=100k2﹣36（1+k2）＜0，∴﹣＜k＜；（3）圆心（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离为2，∴直线x+y﹣4=0被轨迹C截得的弦长为2=4．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，确定轨迹方程是关键．21．已知圆C的圆心为原点O，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，试问，直线AB是否过定点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由．【分析】（1）由圆C与直线相切，得到圆心到直线的距离d=r，故利用点到直线的距离公式求出d的值，即为圆C的半径，又圆心为原点，写出圆C的方程即可；（2）由PA，PB为圆O的两条切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，根据90°圆周角所对的弦为直径可得A，B在以OP为直径的圆上，设出P的坐标为（8，b），由P和O的坐标，利用线段中点坐标公式求出OP中点坐标，即为以OP为直径的圆的圆心坐标，利用两点间的距离公式求出OP的长，即为半径，写出以OP为直径的圆方程，整理后，由AB为两圆的公共弦，两圆方程相减消去平方项，得到弦AB所在直线的方程，可得出此直线方程过（3，0），得证．【解答】解：（1）依题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，∴r=d==2，﹣﹣﹣（2分）∴圆C的方程为x2+y2=24①；﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）连接OA，OB，∵PA，PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴A，B在以OP为直径的圆上，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设点P的坐标为（8，b），b∈R，则线段OP的中点坐标为（4，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴以OP为直径的圆方程为（x﹣4）+（y﹣）2=16+，②﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵AB为两圆的公共弦，∴①﹣②得：直线AB的方程为8x+by=24，b∈R，即8（x﹣3）+by=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）则直线AB恒过定点（3，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，切线的性质，圆周角定理，线段中点坐标公式，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两圆公共弦的性质，以及恒过定点的直线方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=r，熟练掌握此性质是解本题第一问的关键．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．。

河北省衡水中学高一下学期一调考试数学文试题 Word版含答案.pdf

2013～2014学年度下学期高一一调考试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷共150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.设全集I是实数集R. 都是I的子集（如图所示，则阴影部分所表示的集合为：（） A.B. C.D. 2．过点且与直线的直线方程是 A. B. C. D. 3．直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围（） A．B． C．D．与圆相切，且与直线平行，则直线的方程是( ) A． B．或 C． D． 5．直线和直线平行，则（） A． B．．．在区间上恒为正值，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 7．函数的零点所在区间是（） A． B． C． D． 8．将圆平分且不通过第四象限，则的斜率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 9. 侧棱长都为的三棱锥的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则球的表面积为（） A． B． C． D．上总存在两个点到原点的距离为则实数a的取值范围是 A． B． C．[-1，1] D． 11.如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 A． B． C． D．函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调函数；②存在[a，b]上的值域为，那么就称函数为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则t的取值范围为（） B. C.D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 . 14.设在上的最大值为p，最小值为q，则p+q= 15.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是______________. 16、已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线被圆C所截得的弦长为为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分。

河北省石家庄市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷(扫描版)

2015年高一第二学期期末一、选择题题号 123456789101112 普通12 示范选项DCBABBCDCDBBC二、填空题：（13）. x y 2 或1-- x y（14）. 32 （15）. 10 （16）【普通】：等腰或直角三角形【示范】：16 三、解答题（17）解：设数列公比为q ，显然1 q ，有题意知：615131141q a q a a q a 解之得2 q 或21q ………… 2分当2 q 时，得11a 4213 q a a ………… 4分当21q 时，得161 a 4213 q a a ………… 6分当2 q 时，311)1(15qq a S n ………… 8分当21 q 时，315S ………… 10分（18）（Ⅰ）证明：在1DAD 中，因为G 、F 分别是边DA 、1DD 的中点，所以 FG //1D A 又FG 面1AD E故FG // 面1AD E ………… 2分在该长方体中，又因为E 是1BB 中点，所以1//D F EB 且1D F EB所以四边形1D FBE 为平行四边形所以1//BF D E又BF 面1AD E 故B F // 面1AD E ………… 4分又因为FG 、BF 为两条相交线所以平面1//AD E 平面BGF ………… 6分（Ⅱ）证明：在该长方体中，有直角1Rt ADD 则222211125AD AD DD在Rt ABE 中，222112AE AB BE侧棱1BB 面1111A B C D 连接11D B ， 11D B 面1111A B C D 所以1BB 11D B （ 2221111112D B A D A B ）在11Rt D B E 中，2221111213D E D B B E由上述关系知：22211AD AE D E所以1AED 为直角三角形，所以1D E AE ………… 8分同理可证1D E CE ………… 10分又AE 与CE 相交于E所以1D E 平面AEC ………… 12分（19）（Ⅰ）解：因为)0(53cosA A 所以54cos 1sin 2A A ………… 2分由正弦定理：BbA a sin sin o 60,1B a ………… 4分解得：835b ………… 6分（Ⅱ）三角形面积公式 4sin 21A bc S 解得： 10 ………… 8分由余弦定理：A bc c b a cos 2222=A bc bc c b cos 22)(2………… 10分解得：b c ………… 12分（20）（Ⅰ）解：当0 a ，联立直线1l 和2l ：01202y y x 解得交点)21,41( M联立直线1l 和3l ：0202y x y x 解得交点)4,2( N联立直线2l 和3l ：02012y x y 解得交点)21,25( P ………… 3分显然，直线PM 平行x 轴，49)25(41PM ………… 4分点N 到直线PM 的距离为29)4(21 ………… 5分故所求封闭图形为PMN , 面积为：1681294921S …………6分（Ⅱ）有已知得直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为：21k 22ak 13 k 当1l //2l 时，由21k k 得 4 a当3l //2l 时，由23k k 得 2 a 显然直线1l 和3l 不平行………8分当三条直线相交于一点时: 联立直线1l 和3l ：2020x y a x y解得交点坐标(2,4)a a ，代入2l ： (2)2(4)10a a a解得：3a ………… 10分综上所述，当三条直线构成三角形时: a 为实数且3a 且4a 且2a …… 12分（21）解：（Ⅰ）由题意: 21(1)4(1)2a x x 20a23(1)4(1)2a x x因为数列 n a 为等差数列，所以有：1322a a a …………2分即2(1)4(1)2x x2(1)4(1)20x x 解得：121,3x x…………4分当1x 时，12a (舍，因为数列 n a 为递减数列) 所以3x 此时解得：132,2a a………… 6分（Ⅱ）由上问得：数列 n a 的公差2d ，所以1(1)42n a a n d n设所求数列前n 项和为S ,则211120(42)222n S n2311111120(62)(42)22222n n S n n ………… 8分两式做差：2311111112()(42)22222n n S n 1111(1())114212()(42)12212n n S n………… 10分化简得：12n nS ………… 12分（22）解：（Ⅰ）二次函数 ()f x 图像的对称轴为：2x 二次项系数大于零，函数图像开口向上，故 ()f x 在[2,) 上为增函数，………… 2分有题意得：(2)2()f f m m 即：2232232433(2)4n m m m n m解得：5n 103m或2m (因为2m ，故舍去) ………… 4分所以，5n103m ………… 6分（Ⅱ）由题意知，关于x 的不等式23344x x a对于一切x R 恒成立，…8分从而关于x 的不等式23344x x b 的解集为[,]a b ，于是，,a b 是关于x 的一元二次方程23344x x b 的两个实根，据二次方程根与系数关系式得：关于x 的不等式334434a b b ab()a b ………… 10分解之，得04a b 或8343a b （因为a b ，故舍去）所以，0,4a b………… 12分。

2014-2015学年河北省衡水中学高三(下)期中数学试卷(文科)

2014-2015学年河北省衡水中学高三（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知为虚数单位，则复数A. B.C. D.2. 已知集合，，则A.B.C.D.3. 命题：若，则；命题，下列命题为假命题的是（）A.或B.且C. D.￢4. 设函数为偶函数，当时，，则A.B.C.D.5. 已知，，，则A.B.C.D.6. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（）A.B.C.D.7. 执行下面的程序框图，如果输入的依次是，，，，则输出的为（）A. B.C. D.8. 在棱长为的正方体中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.与点的位置有关9. 已知、、三地在同一水平面内，地在地正东方向处，地在地正北方向处，某测绘队员在、之间的直线公路上任选一点作为测绘点，用测绘仪进行测绘，地为一磁场，距离其不超过的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A.B.C.D.10. 已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B.C. D.12. 已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围为（）A.B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．．1. 已知平面向量，的夹角为，，，则________．2. 已知等差数列是递增数列，是的前项和，若，是方程的两个根，则的值为________．3. 若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数的范围是________．4. 设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1. 设数列的前项和为，，，且、、为等差数列的前三项．求数列、的通项公式；求数列的前项和．2. 某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润元（1）若商店一天购进该商品件，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：件，）的函数解析式（2）商店记录了天该商品的日需求量（单位：件）整理得表：3. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，．（1）试在棱上确定一个点，使得平面，并求出此时的值；（2）当时，求证：平面．4. 在平面直角坐标系中，以动圆经过点且与直线相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知点，倾斜角为的直线与线段相交（不经过点或点）且与曲线交于、两点，求面积的最大值，及此时直线的方程．5. 已知函数，（1）若函数在定义域内为单调函数，求实数的取值范围；（2）证明：若，则对于任意，，，有．四.请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．1. 如图，已知和相交于、两点，为的直径，直线交于点，点为弧中点，连接分别交、于点、连接．（1）求证：；（2）求证：．2. 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．分别写出的普通方程，的直角坐标方程．已知、分别为曲线的上、下顶点，点为曲线上任意一点，求的最大值．3. 已知函数的定义域为．求实数的取值范围．若的最大值为，当正数、满足时，求的最小值．参考答案与试题解析2014-2015学年河北省衡水中学高三（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：，故选：．2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】求出中的范围确定出，找出与的交集即可．【解答】解：∵集合，，∴，故选：．3.【答案】B【考点】复合命题的真假【解析】根据正弦函数的图象即可判断出时，不一定得到，所以说命题是假命题，而根据基本不等式即可判断出命题为真命题，然后根据￢，或，且的真假和，真假的关系即可找出正确选项．【解答】解：，，满足，但；∴命题是假命题；，这是基本不等式；∴命题是真命题；∴或为真命题，且为假命题，是真命题，￢是真命题；∴是假命题的是．故选．4. 【答案】B【考点】函数奇偶性的性质求函数的值【解析】根据为偶函数，以及时的解析式即可得到．【解答】解：为偶函数；∴又时，；∴；即．故选．5.【答案】A【考点】同角三角函数基本关系的运用运用诱导公式化简求值【解析】由已知及同角三角函数基本关系的运用可求，从而由诱导公式即可得解．【解答】解：∵，，，∴，∴．故选：．6.【答案】D【考点】正切函数的图象【解析】根据条件求出函数的周期和，即可得到结论．【解答】解：∵的图象的相邻两支截直线所得线段长为，∴函数的周期，即，则，则则，故选：7.【答案】B【考点】程序框图【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时，不满足条件，退出循环，输出的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，不满足条件，退出循环，输出的值为．故选：．8.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积【解析】如图所示，连接，取，可得，，由于平面，可得平面，利用三棱锥的体积即可得出．【解答】解：如图所示，连接，取，则，，，∵平面，∴平面，即是三棱锥的高．∴．故选：．9.【答案】A【考点】解三角形的实际应用【解析】作出图形，以长度为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，是直角三角形，，所以，地为一磁场，距离其不超过的范围为个圆，与相交于，两点，作，则，所以，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是．故选：．10.【答案】C【考点】双曲线的性质【解析】先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把代入整理得等式两边同除以，得到关于离心率的方程，进而可求得．【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点∴两条曲线交点为，代入双曲线方程得，又代入化简得∴∴∴故选：．11.【答案】B【考点】由三视图求面积、体积【解析】由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为．分别求体积，再相加即可【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为，体积为，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为．体积，故该几何体的体积是．故选．12.【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】题中原方程有个不同实数解，即要求对应于某个常数，有个不同的，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到个与之对应，就出现了个不同实数解，故先根据题意作出的简图，由图可知，只有满足条件的在开区间时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．【解答】解：根据题意作出的简图：由图象可得当时，有四个不同的与对应．再结合题中“方程有个不同实数解”，可以分解为形如关于的方程有两个不同的实数根、，且和均为大于且小于等于的实数．列式如下：，化简得，此不等式组表示的区域如图：令，则在处，在处，所以的取值范围为.故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．．1.【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】运用数量积的定义求解得出，结合向量的运算，与模的运算转化：，代入数据求解即可．【解答】解：∵平面向量，的夹角为，，，∴，∴，即．故答案为：．2.【答案】【考点】等差数列的性质【解析】由一元二次方程的根与系数关系求得，，进一步求出公差和首项，则答案可求．【解答】解：由，是方程的两个根，得，由已知得，∴解得，，∴，则，∴．故答案为：．3.【答案】【考点】简单线性规划【解析】由题意作出其平面区域，求出的临界值，从而结合图象写出实数的取值范围．【解答】解：由题意作出其平面区域，当直线与重合时，，是直角三角形，当直线与重合时，，是直角三角形；故若区域为一个锐角三角形及其内部，则；故答案为：．4.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导函数，进一步求得，再求出的导函数的范围，然后把过曲线上任意一点的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得转化为集合间的关系求解．【解答】解：由，得，∵，∴，由，得，又，∴，要使过曲线上任意一点的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则，解得．即的取值范围为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1.【答案】解：∵，∴当时，，∴，即，又，，∴数列为以为首项，公比为的等比数列，∴，∵、、为等差数列的前三项．∴，整理得，解得．∴，．，∴数列的前项和，，∴，∴．【考点】数列的求和数列递推式【解析】由，当时，，可得，利用等比数列的通项公式可得，再利用等差数列的通项公式即可得出；利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可得出．【解答】解：∵，∴当时，，∴，即，又，，∴数列为以为首项，公比为的等比数列，∴，∵、、为等差数列的前三项．∴，整理得，解得．∴，．，∴数列的前项和，，∴，∴．2.【答案】解：（1）当时，，当时，，所以函数解析式，（2）∵日需求量为，频数天，利润为，日需求量为，频数天，利润为，日需求量为，频数，利润为，日需求量为，频数，利润为，∴当天的利润在区间有天，故当天的利润在区间的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率频率分布表【解析】（1）根据题意分段求解得出当时，，当时，，（2）运用表格的数据求解：频数天，；频数天，；频数，；频数，，得出当天的利润在区间有天，即可求解概率．【解答】解：（1）当时，，当时，，所以函数解析式，（2）∵日需求量为，频数天，利润为，日需求量为，频数天，利润为，日需求量为，频数，利润为，日需求量为，频数，利润为，∴当天的利润在区间有天，故当天的利润在区间的概率为．3.【答案】解：（1）连接，，相交于，过作，与交于，如图，则平面，此时；（2）当时，和都是等边三角形，，过作，则为的中点，所以，，所以，所以，所以，所以平面，所以，过作，则，，所以，所以，所以，，所以平面．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）连接，，相交于，过作，与交于，如图，则平面；（2）当时，和都是等边三角形，，过作，则为的中点，利用勾股定理可以判断线线垂直，进一步判断线面垂直．【解答】解：（1）连接，，相交于，过作，与交于，如图，则平面，此时；（2）当时，和都是等边三角形，，过作，则为的中点，所以，，所以，所以，所以，所以平面，所以，过作，则，，所以，所以，所以，，所以平面．4.【答案】解：（1）由题意得圆心到的距离等于直线的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程为：．（2）由题意，可设的方程为，其中，．由方程组，消去，得，①当时，方程①的判别式成立．设，，则，∴又∵点到直线的距离为∴令，，∴函数在上单调递增，在上单调递减．当时，有最大值，故当直线的方程为时，的最大面积为【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】（1）由抛物线的定义求得抛物线方程．（2）直线和圆锥曲线联立方程组，构造关于的函数，利用导数求得最大值．【解答】解：（1）由题意得圆心到的距离等于直线的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程为：．（2）由题意，可设的方程为，其中，．由方程组，消去，得，①当时，方程①的判别式成立．设，，则，∴又∵点到直线的距离为∴令，，∴函数在上单调递增，在上单调递减．当时，有最大值，故当直线的方程为时，的最大面积为5.【答案】解：（1）函数的定义域是，∴，∵函数在定义域内为单调函数，∴或在上恒成立，则或在上恒成立，①当时，则有恒成立，函数在上为增函数；②当时，函数在上为减函数，∴只要，即时满足成立，此时无解；③当时，函数在上为增函数，∴只要，即时满足成立，此时；综上可得，实数的取值范围是；证明：（2）在单调递增，∵，，不妨设，∴，∴等价于，则，设，则，∵，∴，∴，当且仅当时取等号，∴，∵，∴，即，∴在上单调递增，满足，即若，则对于任意，，，有成立．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求出函数的定义域和，将条件利用导数与函数的单调性的关系，转化成或在上恒成立，对分类讨论，分别根据一次函数的图象与性质，求出实数的取值范围；（2）利用二次函数的单调性判断出的单调性，不妨设把结论进行等价转化，变形构造恰当的函数，求出并根据的范围判断出的符号，得到函数的单调性，即可证明结论．【解答】解：（1）函数的定义域是，∴，∵函数在定义域内为单调函数，∴或在上恒成立，则或在上恒成立，①当时，则有恒成立，函数在上为增函数；②当时，函数在上为减函数，∴只要，即时满足成立，此时无解；③当时，函数在上为增函数，∴只要，即时满足成立，此时；综上可得，实数的取值范围是；证明：（2）在单调递增，∵，，不妨设，∴，∴等价于，则，设，则，∵，∴，∴，当且仅当时取等号，∴，∵，∴，即，∴在上单调递增，满足，即若，则对于任意，，，有成立．四.请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．1.【答案】证明：（1）连接，，∵为的直径，∴，∴为的直径，∴，∵，∴，∵为弧中点，∴，∴，∴，∴，∴（2）由（1）知，，∴，∴，由（1）知，∴．【考点】圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段【解析】（1）要证明我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得，又由公共角，故，易得，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．【解答】证明：（1）连接，，∵为的直径，∴，∴为的直径，∴，∵，∴，∵为弧中点，∴，∴，∴，∴，∴（2）由（1）知，，∴，∴，由（1）知，∴．2.【答案】解：因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程为，…由曲线的极坐标方程为得，曲线的普通方程为；…法一：由曲线，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知，．因此…则．所以当时，有最大值，…因此的最大值为．…法二：设点坐标为，则，由题意可知，．因此…则．所以当时，有最大值，…因此的最大值为．…【考点】参数方程化成普通方程【解析】根据题意和平方关系求出曲线的普通方程，由和题意求出的直角坐标方程；法一：求出曲线参数方程，设点的参数坐标，求出点、的坐标，利用两点间的距离公式求出并化简，再化简，利用正弦函数的最值求出的最值，即可求出的最大值；法二：设点坐标为，则，求出点、的坐标，利用两点间的距离公式求出并化简，再化简，再求出的最值，即可求出的最大值．【解答】解：因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程为，…由曲线的极坐标方程为得，曲线的普通方程为；…法一：由曲线，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知，．因此…则．所以当时，有最大值，…因此的最大值为．…法二：设点坐标为，则，由题意可知，．因此…则．所以当时，有最大值，…因此的最大值为．…3. 【答案】解：∵函数定义域为，∴恒成立，设函数，则不大于函数的最小值，又，即的最小值为，∴．由知，∴，当且仅当，即时取等号．∴的最小值为．【考点】基本不等式函数的定义域及其求法【解析】由函数定义域为，可得恒成立，设函数，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；由知，变形，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵函数定义域为，∴恒成立，设函数，则不大于函数的最小值，又，即的最小值为，∴．由知，∴，当且仅当，即时取等号．∴的最小值为．。

河北省衡水中学2014届高三下学期一调考试数学文试题含答案

2013~2014学年度下学期一调考试高三年级数学(文科)试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：(本题共12个小题，每小题5分,共60分,在四个选项中，只有一项是符合要求的）1、已知20<<a ，复数z 的实部为a ，虚部为1，则||z 的取值范围是（ )A ．(1，5)B ．(1，3)C ．)5,1(D ．)3,1(2、设集合}0)3)(1(|{},06|{2≤--=<-+∈=x x x P x xN x M ，则=⋂P M ( ）A ．)2,1[B ．[1，2]C ． }2,1{D ． }1{3、已知命题p ：“若直线01=++y ax 与直线01=++ay x 垂直，则1-=a ”；命题q ：“3131ba >是b a >的充要条件"，则( )A ．q ⌝真B ．p ⌝真C ．q p ∧真D ．q p ∨假4、在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见,在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力（）A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率5、等差数列}{na 中，18,269371=+=+a a a a，则数列}{n a 的前9项和为（）A ．66B ．99C ．144D ．2976、定义在R 上图像为连续不断的函数y=f(x ）满足f(－x)＝－f(x ＋4)，当x 〉2时,f(x ）单调递增,如果x 1＋x 2〈4，且（x 1－2)(x 2－2)<0,则f （x 1)＋f(x 2）的值 ( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负7、如图给出的是计算20141...614121++++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A.2014i ≤ B 。