北师大版选修2-2高中数学1.3《反证法》同步训练

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2020学年高中数学课时训练(三)反证法北师大版选修2-2(2021-2022学年)

课时跟踪检测（三) 反证法一、基本能力达标1.三人同行，一人道：“三人行,必有我师”，另一人想表示反对,他该怎么说?( )A.三人行,必无我师ﻩB.三人行,均为我师C.三人行,未尝有我师D.三人行,至多一人为我师解析:选C“必有＂意思为“一定有”,其否定应该是“不一定有”,故选C.2．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2+bx＋c＝０（a≠0)有有理根,那么a,b,ｃ中至少有一个是偶数"时，下列假设正确的是( )A.假设a,b,c都是偶数B．假设ａ，b,c都不是偶数Ｃ．假设a，b，c至多有一个是偶数D.假设a,ｂ,ｃ至少有两个是偶数解析:选B “a，b，c中至少有一个是偶数＂的反面是“a,b，c都不是偶数”，故应假设a,ｂ，c都不是偶数．故选B.3.若a，b,c是不全相等的正数,给出下列判断:①（a-ｂ)2+（b－c)2+(ｃ－ａ)2≠0;②a>b与a〈b及a=b中至少有一个成立;③a≠c，b≠ｃ,a≠b不能同时成立.其中判断正确的个数是（ )Ａ．０ﻩB．１C.2 D．３解析：选C 因为a,b，c不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a≠c，b≠c,ａ≠b可以同时成立,所以③错,故选C.4．已知x>０，y〉0，ｚ>0,a＝x＋错误!未定义书签。

，ｂ=y+错误!未定义书签。

,c=z+错误!未定义书签。

,则a，b，ｃ三个数（ )A．至少有一个不大于2 B．都小于2Ｃ.至少有一个不小于2 D．都大于2ﻬ解析：选Ｃ假设ａ,b，ｃ都小于2，则a＋ｂ＋c〈6．而事实上a+ｂ＋ｃ=ｘ+错误!+y+错误!未定义书签。

＋z+＼f（１，ｚ)≥2+２+2=6,与假设矛盾，所以a，b,c中至少有一个不小于２.5．用反证法证明命题“若ａ2＋b２=0，则a,b全为０(a,b为实数)”,其反设为______＿__＿_____＿__＿_.解析:“ａ，b全为0”即是“a＝0且b=0”,因此它的反设为“a≠０或ｂ≠0”，即a,b不全为0。

高二数学北师大版选修2-2同步精练1.3反证法 Word版含答案

.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角大于°”，下列假设中正确的是()．．假设三个内角都大于°．假设三个内角都不大于°．假设三个内角至多有一个大于°．假设三个内角至多有两个大于°．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两人说得正确，则获奖歌手是()．．甲．乙．丙．丁．反证法是()．．从结论的反面出发，推出矛盾的证法．对其否命题的证明．对其逆命题的证明．分析法的证明方法．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定应为()．．有两个内角是直角．有三个内角是直角．至少有两个内角是直角．没有一个内角是直角．如果两个数之和为正数，则这两个数()．．一个是正数，一个是负数．两个都是正数．至少有一个是正数．两个都是负数．如果要否定“自然数，，中恰有一个偶数”时，则下列假设中正确的是()．．，，都是奇数．，，都是偶数．，，中至少有两个偶数．，，都是奇数或至少有两个偶数．如果△的三个内角的余弦值分别等于△的三个内角的正弦值，则△为三角形，△为三角形(填“锐角”或“钝角”)．．设正实数，，满足＋＋＝，则，，中至少有一个数不小于．．求证：两条相交直线有且只有一个交点．．已知≠，证明：关于的方程＝有且只有一个根．参考答案.答案：解析：“至少有一个大于”的反面为“都不大于”．.答案：解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四人的话都是错的；同理，可推出乙、丙、丁获奖情况，最后可知获奖的歌手是丙．.答案：.答案：解析：“最多只有一个”的否定是“至少有两个”．.答案：解析：假设两个都为负数，则这两个数之和为负数与题设矛盾．两个数均为正数明显符合题意，若一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值，也符合题意，故选..答案：解析：“自然数，，中恰有一个偶数”的反面是“都是奇数或两个是偶数或三个都是偶数”．.答案：锐角钝角解析：由已知△的三个内角的余弦值均大于，则△为锐角三角形．若△是锐角三角形，由得∴＋＋＝与＋＋＝π矛盾，∴△是钝角三角形．.解析：假设，，都小于，即＜，＜，＜，则＋＋＜，与＋＋＝矛盾，所以假设不成立．.答案：证明：假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点．设两条直线为，.()若，无交点，那么∥或，是异面直线，与已知矛盾；()若，至少有两个交点，设两个交点为和，这样同时经过，就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．.证明：由于≠，因此方程至少有一个根＝.如果方程不是只有一个根，不妨设，是它的两个不同根，即＝，＝，。

高中数学第1章反证法同步练习北师大版选修22

反证法同步练习1. 证明：2不是方程012=+x 的根。

2. 求证：ABC ∆中不可能有两个角是直角。

3. 证明：2,3,1不能为同一等差数列的三项。

4. 若c b a ,,都是小于1的正数，求证：a c c b b a )1(,)1(,)1(---三个数不可能同时大于41。

5. 已知R b a ∈,，若1>+b a ，则b a ,中至少有一个不小于21。

6. 方程022,0)1(,03442222=-+=+-+=+-+a ax x a x a x a ax x 至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围。

7. 已知直线a 与b 不共面， a N c b M a c ,,==面C c B b A ===ααα ,,，求证：A 、B 、C 三点不共线。

8. 已知： m l m l //,,αα⊂⊄，求证：α//l9. 已知：ααββ//,//,,,b a P b a b a =⊂⊂ ，求证：αβ//10. 已知c b a ,,均为实数且62,32,22222πππ+-=+-=++=x z c z y b y x a ，求证：c b a ,,中至少有一个大于0 。

参考答案1. 证明：假设2 是方程的根，则0122=+⨯，但是5122=+⨯，产生矛盾，所以2不是次方程的根。

2. 证：假设ABC ∆中， 90=∠=∠B A ，则1809090>∠++=∠+∠+∠C C B A ，这与三角形内角和为 180相矛盾，所以假设错误，即三角形不可能有两个直角。

3. 证：假设2,3,1是同一等差数列的三项，则2132+=，但是2132+≠，所以假设错误，所以2,3,1不能为同一等差数列的三项。

4. 证1：假设a c c b b a )1(,)1(,)1(---同时大于41，由于c b a ,,都是小于1的正数，有 232)1(2)1(2)1()1()1()1(23=+-++-++-<-+-+-<a c c b b a a c c b b a 得出矛盾，故原命题成立。

数学北师大版选修2-2同步练习第一章§3反证法含解析

高手支招6体验成功基础巩固1.否定“自然数a、b、c恰有一个偶数”时正确反设为( )A.a、b、c都是奇数B.a、b、c都是偶数C.a、b、c中至少有两个偶数D.a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数答案：D思路分析：自然数a、b、c中奇数、偶数的可能情况有全为奇数,恰有一个偶数,恰有两个偶数,全为偶数.2.用反证法证明命题中,得出的矛盾可以是与下列哪些内容产生的( )①命题已知②数学定义③定理、公理④推理、演算的规律A.①B.①③C.②D.①②③④答案：D思路分析：①②③④全是矛盾可能产生的原因.3.用反证法证明命题“2+3是无理数”时,假设正确的是( )A.假设2是有理数Ｂ.假设3是有理数C.假设2或3是有理数D.假设2+3是有理数答案：D思路分析：根据反证法的基本步骤加以判断.4.已知a≠0,求证：关于x的方程ax=b有且只有一个根.答案：证明：假设方程ax=b(a≠0)至少存在一个实根不妨设其中的实根分别为x1,x2,且x1≠x2则ax1=b,ax2=b,ax1=ax2,ax1-ax2=0，∴a(x1-x2)=0.又∵x1≠x2,x1-x2≠0,所以a=0,这与已知a≠0矛盾,故假设不成立,原命题成立.思路分析：证明有且只有的问题,可考虑使用反证法加以证明.5.证明:1,3,2不能为同一等差数列的三项.答案：证明：假设1,3,2是某等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,则1=3-md,2=3+nd,(m,n为两正整数).由上面两式消去d得n+2m=(n+m) 3.因为n+2m为有理数,而(n+m)3为无理数,所以n+2m≠(n+m) 3.因此假设不成立.∴1,3,2不能为同一等差数列的三项.思路分析：通过分析可知,直接证比较困难,所以采用反证法.综合应用6.假设p、q都是奇数,求证:关于x的方程x2＋px＋q＝0无整数根.答案：证明:假设方程有整数根α,无论α是奇数还是偶数,都必有α2＋pα＋q为奇数,这与α2＋pα＋q＝0矛盾.故方程无整数根.思路分析：此题中含有否定词“无”,可考虑用反证法.7.如图所示,已知直线a与b不共面,直线c∩a=M,直线b∩c=N,又a∩平面α=A,b∩平面α=B,c∩平面α=C,求证:A 、B 、C 三点不共线.答案：证明:假设A 、B 、C 三点共线于直线l,∵A 、B 、C ∈α,∴l ⊂α.∵c∩l=C,∴c 与l 可确定一个平面β.∵c∩a=M,∴M ∈β,又A ∈l,∴a ⊂β,同理b ⊂β,∴直线a 与b 共面.这与已知矛盾.∴A 、B 、C 三点不共线.思路分析：此题属于否定形式的命题,所以应采用反证法，利用平面知识易证.8.已知函数f(x)=12+-+x x a x (a ＞1).证明方程f(x)=0没有负数根. 答案：证明:设存在x 0＜0(x 0≠-1)满足f(x 0)=0,则a x0=1200+--x x , ∵0＜a x0＜1,∴0＜1200+--x x ＜1, 即21＜x 0＜2,与假设x 0＜0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根. 思路分析：应根据题目的特征和要求选择证明方法,本题用反证法入手较为容易,先假定存在x 0＜0(x 0≠-1)满足f(x 0)=0,然后推得结果与假设x 0＜0矛盾.9.若0＜x,y,z ＜2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.答案：证法一:假设x(2-y)＞1,且y(2-z)＞1,且z(2-x)＞1均成立.则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)＞1①由于0＜x ＜2,∴0＜x(2-x)=-x 2+2x=-(x-1)2+1≤1.同理:0＜y(2-y)≤1,且0＜z(2-z)≤1.∴三式相乘得:0＜xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1.②②与①矛盾,故假设不成立.∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.证法二:假设x(2-y)＞1,且y(2-z)＞1,且z(2-x)＞1. ∴)2(y x -+)2(z y -+)2(x z -＞3.③ 而)2(y x -+)2(z y -+)2(x z -≤2)2(2)2(2)2(x z z y y x -++-++-+=3.④ ④与③矛盾,故假设不成立.∴原题设结论成立.思路分析：“不都大于1”即等价于“至少有1个小于或等于1”,由于涉及三个式子,它们出现的情况有很多类,此类问题常用的方法是考虑问题的反面,即“不都”的反面为“都”,可用反证法来处理.。

北师大版高中数学选修2-2反证法同步练习

反证法同步练习1. 证明：2不是方程012=+x 的根。

2.求证：ABC ∆中不可能有两个角是直角。

3.证明：2,3,1不能为同一等差数列的三项。

4.若c b a ,,都是小于1的正数，求证：a c c b b a )1(,)1(,)1(---三个数不可能同时大于41。

5.已知R b a ∈,，若1>+b a ，则b a ,中至少有一个不小于21。

6.方程022,0)1(,03442222=-+=+-+=+-+a ax x a x a x a ax x 至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围。

7.已知直线a 与b 不共面，I I I a N c b M a c ,,==面C c B b A ===αααI I ,,，求证：A 、B 、C 三点不共线。

8. 已知：m l m l //,,αα⊂⊄，求证：α//l9.已知：ααββ//,//,,,b a P b a b a =⊂⊂I ，求证：αβ//10.已知c b a ,,均为实数且62,32,22222πππ+-=+-=++=x z c z y b y x a ，求证：c b a ,,中至少有一个大于0。

参考答案1. 证明：假设2是方程的根，则0122=+⨯，但是5122=+⨯，产生矛盾，所以2不是次方程的根。

2.证：假设ABC ∆中，ο90=∠=∠B A ，则οοο1809090>∠++=∠+∠+∠C C B A ，这与三角形内角和为ο180相矛盾，所以假设错误，即三角形不可能有两个直角。

3.证：假设2,3,1是同一等差数列的三项，则2132+=，但是2132+≠，所以假设错误，所以2,3,1不能为同一等差数列的三项。

4.证1：假设a c c b b a )1(,)1(,)1(---同时大于41，由于c b a ,,都是小于1的正数，有232)1(2)1(2)1()1()1()1(23=+-++-++-<-+-+-<a c c b b a a c c b b a 得出矛盾，故原命题成立。

北师大版数学高二-(北师大)选修2-2 作业 1.3反证法

1．命题“关于x 的方程f (x )＝0有唯一解”的结论的否定是( )A ．无解B ．两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解答案：D2．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数解析：“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”的否定应为“a ，b ，c 都不是偶数”．答案：B3．下列命题错误的是( )A ．三角形中至少有一个内角不小于60°B ．四面体的三组对棱都是异面直线C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点D ．设a ，b ∈Z ，若a ，b 中至少有一个为奇数，则a ＋b 是奇数解析：a ＋b 为奇数⇔a ，b 中有一个为奇数，另一个为偶数．故D 错误．答案：D4．设a ，b ，c 为正实数，则3个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中( ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 解析：若三个数都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6，而⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，矛盾．答案：D5．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其反设为____________________．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”，即a ，b 不全为0.答案：a ，b 不全为06．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②7．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，证明：2b ＝1a ＋1c 不成立．证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2bac ，故b 2＝ac ，又b ＝a ＋c2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即(a －c )2＝0，a ＝c .这与a ，b ，c 两两不相等矛盾．因此2b ＝1a ＋1c 不成立．8．如图所示，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为BC 边上的高线，AM是BC 边上的中线．求证：点M 不在线段CD 上．证明：假设点M 在线段CD 上，则BD <BM ＝CM <CD .由已知，得AB 2＝BD 2＋AD 2，AC 2＝AD 2＋CD 2，∴AB 2＝BD 2＋AD 2<BM 2＋AD 2<CD 2＋AD 2＝AC 2，即AB 2<AC 2，∴AB <AC .这与AB >AC 矛盾．∴点M 不在线段CD 上．。

数学北师大版选修2-2教材基础第一章§3反证法含答案

§3 反证法反证法是一种间接证明的方法,它是通过证明原命题的否定的真实性来确立原论题的真实性的证明方法,在应用反证法证明问题的过程中以找它的逆否命题然后推出矛盾为根本.本节内容就开始学习反证法.高手支招1细品教材1.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法.反证法就是一种常用的间接证明方法.2.反证法(1)概念:假定命题结论的反面成立.在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这样的证明方法叫做反证法(有时也叫归谬法).(2)形式:由证明p⇒q转向证明:⌝q⇒r⇒…⇒t,t与假设或与某个真命题矛盾,⌝q为假,推出q为真.状元笔记反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图表示为:3.反证法的证题步骤包括以下三个步骤:(1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真;(2)逐步推理,导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;(3)否定假设,肯定结论(存真)——由矛盾结果,断定假设不真,从而肯定原结论成立.【示例】p＞0,q＞0,p3＋q3＝2.试用反证法证明:p＋q≤2.思路分析：此题直接由条件推证p＋q≤2是较困难的,由此用反证法证之.证明：假设p＋q＞2,∵p＞0,q＞0,∴(p＋q)3＝p3＋3p2q＋3pq2＋q3＞8.又∵p3＋q3＝2,代入上式得:3pq(p＋q)＞6,即pq(p＋q)＞2.①又由p3＋q3＝2,得(p＋q)(p2-pq＋q2)＝2.②由①②得pq(p＋q)＞(p＋q)(p2-pq＋q2),∵p＋q＞0.∴pq＞p2-pq＋q2⇒p2-2pq＋q2＜0⇒(p-q)2＜0.但这与(p-q)2≥0相矛盾.∴假设p＋q＞2不成立.故p＋q≤2.状元笔记归谬矛盾的几种情况:(1)与已知条件矛盾;(2)与已有公理、定理、定义矛盾;(3)自相矛盾;(4)与客观事实矛盾.4.反证法的适用情况(1)结论以否定形式出现;(2)结论以“至多……”“至少……”形式出现;(3)唯一性、存在性问题;(4)结论的反面是比原结论更具体，更容易研究的命题.高手支招2基础整理本节的内容主要讲述了反证法的概念、形式及其证明步骤.反证法作为间接证明的一种重要形式,为证明题的解决开辟了一条重要途径,提供了便利.本节的知识结构如下:。

北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件第一章 §3 反证法

故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.
1
1
1
(1-a)b>4,(1-b)c>4,(1-c)a>4.
∵0<a<1,0<b<1,∴1-a>0.
(1-)+
≥
2
(1-)+
同理,
2
∴
1
1
= .
4
2
1 (1-)+
1
,
> ,
2
2
2
(1-)· >
>
将这三个不等式相加,得
(1-)+ (1-)+ (1-)+
+ 2 + 2
2
3
3
即 > ,这显然不成立.
§3
反证法
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课标阐释
1.结合已经学习过的实例,理解反
证法的思维过程及思维方法.
2.掌握用反证法证题的步骤.
3.会用反证法证明一类命题.
思维脉络
自主预习
知识梳理
思考辨析
1.反证法的定义
(1)先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与
定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与
π
π
π
【例 2】若 a,b,c 均为实数,且 a=x2-2y+2,b=y2-2z+3,c=z2-2x+6.求
证:a,b,c 中至少有一个大于 0.
分析因为直接从条件推证,方向不明确,过程不可推测,所以可以采
用反证法.
证明:假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,
则a+b+c≤0.

高中数学 1.3 反证法课时作业北师大版选修22

§3反证法课时目标 1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.2.了解反证法的思考过程、特点.3.结合已经学过的数学实例，理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系．1．反证法在证明数学命题时，先假定________________成立，在这个前提下，若推出的结果与________________相矛盾，或与________________________相矛盾，或与________相矛盾，从而说明______________________不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．2. 反证法的证题步骤(1)________________________；(2)________________________；(3)________________________．一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( )①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．A．①② B．①③C．①③④ D．①②③④3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数4．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角5．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中都是奇数或至少有两个偶数6．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题7．用反证法证明：“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定为________．8．将“函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使f (c )>0”反设，所得命题为“__________________________”．9．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题10．已知a 是整数，a 2是偶数，求证：a 也是偶数．11.若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.能力提升12．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立．13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．2．反证法是间接证明的方法，对于直接证明有困难的问题非常奏效．答案知识梳理1．命题结论的反面定义、公理、定理命题中的已知条件假定命题结论的反面2. (1)作出否定结论的假设 (2)进行推理、导出矛盾(3)否定假设，肯定结论作业设计1．C 2.D 3.B 4.C5．D [恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．]6．B [∵c >d ，∴－c <－d ，a >b ，∴a －c 与b －d 的大小无法比较．可采用反证法，当a －c >b －d 成立时，假设a ≤b ，∵－c <－d ，∴a －c <b －d ，与题设矛盾，∴a >b .综上可知，“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要不充分条件．]7．a ≤b8．函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上恒小于等于09．a ≤－2或a ≥－1解析若方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0有实根，则(a －1)2－4a 2≥0，∴－1≤a ≤13. 若方程x 2＋2ax －2a ＝0有实根．则4a 2＋8a ≥0，∴a ≤－2或a ≥0，∴当两个方程至少有一个实根时，－1≤a ≤13或a ≤－2或a ≥0. 即a ≤－2或a ≥－1.10．证明假设a 不是偶数，则a 为奇数．设a ＝2m ＋1(m 为整数)，则a 2＝4m 2＋4m ＋1.因为4(m 2＋m )是偶数，所以4m 2＋4m ＋1为奇数，所以a 2为奇数，与已知矛盾，所以假设错误，所以原命题成立，即a 是偶数．11．证明设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，∴a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.∴a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.12．证明假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2>0.又(x ＋y 2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2>0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．13．(1)解设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。

高中数学北师大版选修2-2同步训练：(3)反证法

（3）反证法1、用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程20x ax b ++=没有实根B.方程20x ax b ++=至多有一个实根C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根2、用反证法证明命题“若220a b +=,则,a b 全为0”其反设正确的是( )A. ,a b 至少有一个不为0B. ,a b 至少有一个为0C. ,a b 全不为0D. ,a b 中只有一个为03、用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c 、、中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（）A.假设a b c 、、都是偶数B.假设a b c 、、都不是偶数C.假设a b c 、、至多有一个偶数D.假设a b c 、、至多有两个偶数4、用反证法证明命题:“若,Z,a b ab ∈能被5整除,则,a b 中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是( )A. ,a b 都能被5整除B. ,a b 都不能被5整除C. ,a b 有一个能被5整除D. ,a b 有一个不能被5整除5、用反证法证明“,,a b c 中至少有一个大于0”,下列假设正确的是( )A.假设,,a b c都小于0B.假设,,a b c都大于0C.假设,,a b c中至多有一个大于0 D.假设,,a b c中都不大于06、设x、y、z都是实数,1a xy=+,1b yz=+,1c zx=+,则,,a b c三个数( )A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于27、反证法是( )A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法B.对其否命题的证明C.对其逆命题的证明D.分析法的证明方法8、用反证法证明命题“自然数,,a b c,中恰有一个偶数”时,需假设( ) A.,,a b c都是奇数B.,,a b c都是偶数C.,,a b c都是奇数或至少有两个偶数D.,,a b c至少有两个偶数9、以下各数不能构成等比数列的是( )A.1,4,16B.C.3,6,9D.10、如果两个实数之和为正数,则这两个数( )A.一个是正数,一个是负数B.两个都是正数C.至少有一个是正数D.两个都是负数11、完成反证法证题的全过程.设127,,,a a a ⋯是1,2,,7⋯的一个排列,求证:乘积()()()127127p a a a =--⋯-为偶数.证明:假设p 为奇数,则1271,2,,7a a a --⋯-均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=__________=__________=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p 为偶数.12、用反证法证明命题“如果a b >,>,假设的内容是_________.13、用反证法证明命题:若整系数一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有有理数根,那么a ,b ,c 中至少有一个是偶数时,则假设的内容是__________.14、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于60°”时,正确的假设为__________.15、设函数()()20f x ax bx c a =++≠,,,a b c 均为整数,且()()0,1f f 均为奇数。

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套课时跟踪训练：(三) 反证法 Word版含解析

课时跟踪训练(三) 反证法1．三人同行，一人道：“三人行，必有我师”，另一人想表示反对，他该怎么说？( )A ．三人行，必无我师B ．三人行，均为我师C ．三人行，未尝有我师D ．三人行，至多一人为我师2．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．已知x >0，y >0，z >0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于25．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其反设为____________________．6．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．7．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，证明：2b ＝1a ＋1c不成立．8．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)． (1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．答案1．选C “必有”意思为“一定有”，其否定应该是“不一定有”，故选C.2．选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．3．选C 因为a ，b ，c 不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可以同时成立，所以③错，故选C.4．选C 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6.而事实上a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，所以a ，b ，c 中至少有一个不小于2.5．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”，即a ，b 不全为0.答案：a ，b 不全为06．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②7．证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac，故b 2＝ac ，又b ＝a ＋c 2，所以⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝ac ，即(a －c )2＝0，a ＝c . 这与a ，b ，c 两两不相等矛盾．因此2b ＝1a ＋1c不成立．8．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，由于a >1，故y ＝a x 为增函数，∴ax 1<ax 2，∴ax 2－ax 1>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，即f (x 2)>f (x 1)，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，即ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，当x 0<0时，0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0相矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．法二：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，而0<ax 0<1， ∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾．②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0,0<ax 0<1， ∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．。

北师大版数学高二1.3 反证法课后知能检测北师大版选修2-2

高中数学 1.3 反证法课后知能检测北师大版选修2-2一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )A ．三个内角中至少有一个钝角B ．三个内角中至少有两个钝角C ．三个内角都不是钝角D ．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】 “至多一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”，故选B.【答案】 B2．实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则正确的说法是( )A ．a ，b ，c 都是0B ．a ，b ，c 都不是0C ．a ，b ，c 中至少有一个0D ．a ，b ，c 不可能均为正数【解析】若a ，b ，c 均为正数，则a ＋b ＋c >0与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a ，b ，c 不可能均为正数．【答案】 D3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ＝c ，b ＝c ，a ＝b 不能同时成立．其中判断正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 “a ，b ，c 不全相等是a ，b ，c 全相等的否定”，故①②③均正确．【答案】 D4．设x 、y 、z >0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2【解析】假设a 、b 、c 都小于2，则a ＋b ＋c <6，而事实上：a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾， ∴a 、b 、c 中至少有一个不小于2.【答案】 C5．已知a ，b ∈N ，ab 可以被5整除，那么a ，b ( )A ．都能被5整除B ．最多有一个能被5整除C ．至少有一个能被5整除D ．都不能被5整除【解析】假设都不能被5整除，可设a ＝5m ＋1，b ＝5n ＋2(m ，n ∈N)，则ab ＝25mn ＋10m ＋5n ＋2显然不能被5整除，(其它情形同理可证)这与已知矛盾，故假设不成立，故C 正确．【答案】 C二、填空题6．将“函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使f (c )>0”反设，所得命题为______________________________________________________________________.【解析】 “至少存在一个”的反面为“不存在”，“不存在c ，使f (c )>0”即“f (x )≤0恒成立”．【答案】函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上恒有f (x )≤07．和异面直线AB 、CD 都相交的两条直线的位置关系是________．【解析】假设这两条直线平行，由空间几何知识可推出AB 、CD 共面，故假设错误，即这两条直线异面或相交．【答案】异面或相交8．完成下面的证明过程：设a 3＋b 3＝2.求证：a ＋b ≤2.证明：假设a ＋b >2，则有a >________，从而a 3>________，所以a 3＋b 3>________＝________≥________.所以a 3＋b 3>2，这与已知矛盾．所以原不等式成立．【答案】 2－b 8－12b ＋6b 2－b 3 6b 2－12b ＋8 6(b －1)2＋2 2三、解答题9．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14.【证明】假设三个式子同时大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，三式相乘，得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ＞143，① 又因为0＜a ＜1，所以0＜a (1－a )≤(a ＋1－a2)2＝14，同理，0＜b (1－b )≤14，0＜c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，② ①与②矛盾，假设不成立，所以原命题成立．10．已知数列{b n }的通项公式为b n ＝14(23)n －1.求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．【解】假设数列{b n }存在三项b r 、b s 、b t (r ＜s ＜t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b t <b s <b r ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋1423)t －1. 两边同乘3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s ，由于r ＜s ＜t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．11．求证：当x 2＋bx ＋c 2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc ≠0.【证明】假设bc ＝0，下面分情况进行讨论：(1)若b ＝0，c ＝0，则方程变为x 2＝0，此时方程有两个相等的实数根为x 1＝x 2＝0，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若b ＝0，c ≠0，则方程变为x 2＋c 2＝0，此时方程无实数根，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(3)若b ≠0，c ＝0，则方程变为x 2＋bx ＝0，此时方程的根为x 1＝0，x 2＝－b ，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．综上所述．假设错误．所以当x 2＋bx ＋c 2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc ≠0.。

北师大版数学选修2-2练习：第一章 §3 反证法

§3 反证法1.用反证法证明命题“若a ,b ,c>0,且关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根,则a ,b ,c 中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( )A.假设a ,b ,c 都是偶数B.假设a ,b ,c 都不是偶数C.假设a ,b ,c 至多有一个是偶数D.假设a ,b ,c 至多有两个是偶数解析:对“至少有一个”的否定应为“一个也没有”,故选B .答案:B2.已知α∩β=l ,a ⫋α,b ⫋β,若a ,b 为异面直线,则( )A.a ,b 都与l 相交B.a ,b 中至少有一条与l 相交C.a ,b 中至多有一条与l 相交D.a ,b 都不与l 相交答案:B3.“已知x 1>0,x 1≠1,且x n+1=x n ·(x n 2+3)3x n 2+1(n =1,2,…),试证在数列{xn}中,对任意的正整数n,都满足xn >xn +1”,当此题用反证法证明时,应假设() A.在数列{x n }中,对任意的正整数n ,有x n =x n+1B.在数列{x n }中,存在正整数n ,使得x n =x n+1C.在数列{x n }中,存在正整数n ,使得x n ≥x n+1D.在数列{x n }中,存在正整数n ,使得x n ≤x n+1解析:“任意”的否定词是“存在一个”.答案:D4.用反证法证明命题“若a,b是实数,且|a-1|+|b-1|=0,则a=b=1”时,应作的假设是.解析:结论“a=b=1”的含义是a=1且b=1,故其否定应为“a≠1或b≠1”.答案:a≠1或b≠15.完成反证法证题的全过程.题目:设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列.求证:乘积p=(a1-1)·(a2-2)·…·(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则均为奇数.因为奇数个奇数之和为奇数,所以有奇数===0.但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数.解析:乘积为奇数,则每一个正整数就为奇数,再利用求和、求差而得到结论.答案:a1-1,a2-2,...,a7-7(a1-1)+(a2-2)+...+(a7-7)(a1+a2+...+a7)-(1+2+ (7)6.已知△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1为三角形,△A2B2C2为三角形.(填“锐角”或“钝角”)解析:由已知得△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1为锐角三角形.若△A2B2C2是锐角三角形,由{sin A2=cos A1=sin(π2-A1), sin B2=cos B1=sin(π2-B1), sin C2=cos C1=sin(π2-C1),得{ A 2=π-A 1,B 2=π2-B 1,C 2=π2-C 1. 三式相加,得A 2+B 2+C 2=π2,与A 2+B 2+C 2=π矛盾,故△A 2B 2C 2是钝角三角形. 答案:锐角钝角7.已知a 1+a 2+a 3+a 4>100,求证:a 1,a 2,a 3,a 4中至少有一个数大于25.证明:假设a 1,a 2,a 3,a 4均不大于25,即a 1≤25,a 2≤25,a 3≤25,a 4≤25,则a 1+a 2+a 3+a 4≤25+25+25+25=100,这与已知a 1+a 2+a 3+a 4>100矛盾.故假设错误,所以a 1,a 2,a 3,a 4中至少有一个数大于25.8.如图,在△ABC 中,|AB|>|AC|,AD 为BC 边上的高.若AM 是BC 边上的中线,求证:点M 不在线段CD 上.证明:假设点M 在线段CD 上,则|BD|<|BM|=|CM|<|CD|.由已知,得|AB|2=|BD|2+|AD|2,|AC|2=|AD|2+|CD|2,故|AB|2=|BD|2+|AD|2<|BM|2+|AD|2<|CD|2+|AD|2=|AC|2,即|AB|2<|AC|2,所以|AB|<|AC|.这与|AB|>|AC|矛盾,故点M 不在线段CD 上.9.★已知函数y=f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续,且f (x )在[a ,b ]上单调,f (a )>0,f (b )<0.求证:函数y=f (x )在[a ,b ]上有且只有一个零点.证明:由于y=f (x )的图像在[a ,b ]上连续,又f(a)>0,f(b)<0,即f(a)·f(b)<0,故y=f(x)在区间[a,b]上一定存在零点x0.下面用反证法证明函数f(x)在区间[a,b]上只有一个零点x0.假设y=f(x)在[a,b]上还存在一个零点x1(x1≠x0),则f(x1)=0.由函数f(x)在[a,b]上单调,且f(a)>0,f(b)<0,知f(x)在[a,b]上是减少的.若x1>x0,则f(x1)<f(x0),即0<0,矛盾;若x1<x0,则f(x1)>f(x0),即0>0,矛盾.因此假设不成立,即f(x)在[a,b]上的零点是唯一的.10.★已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于14.证法一假设三式同时大于14,即(1-a)b>14,(1−b)c>14,(1−c)a>14,三式相乘,得(1-a)·a·(1-b)·b·(1-c)·c>164.∵(1-a)·a≤(1-a+a2)2=14,(1-b)·b≤14,(1−c)·c≤14,∴(1-a)·a·(1-b)·b·(1-c)·c≤164,当且仅当a=b=c=12时,等号成立.得出矛盾,因此假设不成立.故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于14.证法二假设三式同时大于14.∵0<a<1,∴1-a>0.∴(1-a)+b2≥√(1-a)·b>√14=12.同理,(1-b)+c2>12,(1-c)+a2>12.三式相加,得(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32,即32>32,矛盾.故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于14.由Ruize收集整理。

【创新设计】高中数学同步训练：1.3 反证法 (北师大选修2-2)

§3反证法双基达标(限时20分钟)1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()．①结论的假设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④解析考查反证法的基本思想．所以选C.答案 C2．下列命题不适合用反证法证明的是()．A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析A中命题条件较少，不足以正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含多个结论，而反设只有一个结论．答案 C3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()．A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．答案 B4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．答案③①②5．用反证法证明：“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．答案a≤b6．证明：1、3、2不能为同一等差数列的三项．证明假设1、3、2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则1＝3－md,2＝3＋nd，其中m、n为某两个正整数，由上面两式消去d，得n＋2m＝(n＋m) 3.因为n＋2m为有理数，而(n＋m)3为无理数，所以n ＋2m≠(n＋m)·3，因此假设不成立，所以1、3、2不能为同一等差数列的三项．综合提高(限时25分钟)7．下列命题错误的是()．A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数解析a＋b为奇数⇔a、b中有一个是奇数，另一个是偶数．答案 D8．设a、b、c都是正数，则三个数a＋1b、b＋1c、c＋1a()．A．都大于2B．至少有一个大于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2解析a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a＋⎝⎛⎭⎪⎫b＋1b＋⎝⎛⎭⎪⎫c＋1c≥6，故三个数中至少有一个不小于2.答案 D9．下列命题：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明；⑤反证法是直接证明．其中正确的命题有________．解析显然，分析法是直接证明，而不是间接证明，反证法是间接证明，而不是直接证明．答案①②③10．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．解析假设共面，则直线AB与CD也共面，与已知矛盾．答案异面11．求证：在一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.证明假设△ABC的三个内角都小于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则三式相加得∠A＋∠B＋∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A，∠B，∠C都小于60°的假设不能成立，从而在一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.12．(创新拓展)求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.证明假设bc＝0，则有三种情况出现：①若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0，x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的根，这与已知方程有两个不相等的实根矛盾．②若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但当c≠0时x2＋c2≠0，与x2＋c2＝0矛盾．③若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与已知条件“方程有两个非零实根”矛盾．综上所述，bc≠0.。

北师版数学高二-选修2-2课时作业1.3反证法

§3 反证法一、选择题1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾．其中正确的为( )A ．①②B ．①③C ．①③D ．①②③2．当否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )A ．a ，b ，c 都是偶数B ．a ，b ，c 都是奇数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数3．有下列叙述：①“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；②“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；③“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除5．①已知p 3＋q 3＝2，证明：p ＋q ≤2.用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②若a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①的假设正确；②的假设错误C ．①与②的假设都正确D ．①的假设错误；②的假设正确6．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2二、填空题7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是____________________________ ______________________________________________________．8．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设__________．9．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)10．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是________．三、解答题11．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个是大于0的．12．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，求证：方程f (x )＝0没有负数根．13.如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，证明：2b ＝1a ＋1c不成立．四、探究与拓展14．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是____________________．15．已知f (x )＝x 2＋px ＋q .(1)求证：f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.答案精析1．D 2.D 3.B 4.B 5.D 6.C7．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角8．x ＝a 或x ＝b 9.③ 10.甲11．证明假设a ，b ，c 都不大于0，则a ≤0，b ≤0，c ≤0，∴a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π6)＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，∴a ＋b ＋c >0.这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，∴假设不成立，故a ，b ，c 中至少有一个是大于0的．12．证明假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1，且ax 0＝－x 0－2x 0＋1， ∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．13．证明假设2b ＝1a ＋1c成立．则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac，故b 2＝ac .又b ＝a ＋c 2，所以(a ＋c 2)2＝ac ，即(a －c )2＝0，所以a ＝c .这与a ，b ，c 两两不相等矛盾．所以2b ＝1a ＋1c不成立． 14．(－∞，－2－1，＋∞)15．证明 (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2.(2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12不成立，则|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.因为|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )＝2，这与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2相矛盾，所以假设不成立，原命题成立，所以|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不少于12.。

北师大版选修2-2高中数学1.3《反证法》同步训练

2020学年高中数学课时训练(三)反证法北师大版选修2-2(2021-2022学年)

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高中数学 第1章 反证法同步练习 北师大版选修22

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