高中语文 必修一 人教A版 基础初等函数(I) 能力深化提升 word版 含答案

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能力深化提升
类型一指数与对数的运算
【典例1】(2017·大庆高一检测)化简下列各式:
(1)[(0.06)-2.5--π0.
(2).
【解析】(1)原式=--1
=--1
=--1=0.
(2)原式=====1. 【方法总结】
1.指数、对数的运算应遵循的原则
(1)指数式的运算:
①注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算.
②若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.
(2)对数式的运算:
①注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价.
②熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
2.底数相同的对数式化简的常用方法
(1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).
【巩固训练】计算下列各式的值.
(1)(0.064-+[(-2)5+.
(2)lg 32-lg+lg.
【解析】(1)原式=0.4-1-1+(-2)-2+2-3=.
(2)原式=×5lg2-×lg2+lg 5
=(lg2+lg 5)=.
类型二数式的比较大小问题
【典例2】设a>0且a≠1,若P=log a(a3+1),Q=log a(a2+1),比较P,Q的大小.
【解析】当a>1时,a3+1>a2+1,又因为y=log a x是增函数,故log a(a3+1)>log a(a2+1),即P>Q.当0<a<1时,a3+1<a2+1,又因为y=log a x 是减函数,故log a(a3+1)> log a(a2+1),即P>Q,综上所述P>Q.
【方法总结】比较大小常用的方法与技巧
(1)常用方法:单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.
(2)常用技巧:
①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某
个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.
②当比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分内利用函数的性质比较.
【巩固训练】(2017·南昌高一检测)已知函数g(x)是f(x)=a x(a>0且a≠1)的反函数,且g(x)的图象过点.
(1)求f(x)与g(x)的解析式.
(2)比较f(0.3),g(0.2)与g(1.5)的大小.
【解析】(1)因为函数g(x)是f(x)=a x(a>0且a≠1)的反函数,
所以g(x)=log a x(a>0且a≠1).
因为g(x)的图象过点,所以log a2=,所以=2,解得a=2.
所以f(x)=2x,g(x)=log2x.
(2)因为f(0.3)=20.3>20=1,g(0.2)=log20.2<0,
又g(1.5)=log21.5<log22=1,且g(1.5)=log21.5>log21=0,
所以0<g(1.5)<1,
所以f(0.3)>g(1.5)>g(0.2).
类型三指数函数、对数函数的图象
【典例3】 (2017·大连高一检测)(1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=a x+b的图象是( )
(2)函数y=log a(x+1)-2(a>0且a≠1)的图象一定经过的点为__________.
【解析】(1)选A.由f(x)的图象知,0<a<1,b<-1,故g(x)=a x+b的图象为A.
(2)函数y=log a x的图象恒过定点(1,0),y=log a(x+1)-2的图象是由y=log a x的图象先向左平移一个单位,再向下平移2个单位长度得到,故其恒过定点(0,-2).
答案:(0,-2)
【延伸探究】本例(2)中,若将函数改为“y=a x+1-2”,其结论如何? 【解析】y=a x的图象恒过点(0,1),y=a x+1-2是由y=a x向左平移1个单位,向下平移2个单位得到,故该函数过定点(-1,-1).
答案:(-1,-1)
【方法总结】函数图象的画法
【巩固训练】1.(2017·合肥高一检测)设a>1,实数x,y 满足|x|-log a =0,则y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( )
【解题指南】先化简函数的解析式,函数中含有绝对值,故可去绝对值讨论,当x ≥0时,f(x)=,因为a>1,故为减函数,又因为f(x)为偶
函数,故可选出答案.
【解析】选B.|x|-log a =0,所以f(x)=
,当x ≥0时,f(x)=
,
因为a>1,故为减函数,又因为f(x)为偶函数,图象关于y 轴对称. 2.已知a>0且a ≠1,函数y=与y=3a 的图象有两个交点,则a
的取值范围是________.
【解析】函数y=的图象如图:
a>1时,y=3a>3,由图象知,不可能有两个交点,
0<a<1时,只需0<3a<2就可以有两个交点,
所以a∈.
答案:
类型四幂、指数、对数函数图象与性质的综合应用
【典例4】(2017·沈阳高一检测)已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并确定f(x)的解析式.
(2)若g(x)=log a[f(x)-2x](a>0且a≠1),求g(x)在(2,3]上的值域. 【解析】(1)因为f(3)<f(5),所以由幂函数的性质得,-2m2+m+3>0,解得-1<m<.
因为m∈Z,所以m=0或m=1.
当m=0时,f(x)=x3不是偶函数;
当m=1时,f(x)=x2是偶函数,
所以m=1,f(x)=x2.
(2)由(1)知g(x)=log a(x2-2x),
设t=x2-2x,x∈(2,3],则t∈(0,3],
此时g(x)在(2,3]上的值域,就是函数y=log a t,t∈(0,3]的值域.
当a>1时,y=log a t在区间(0,3]上是增函数,
所以y∈(-≦,log a3];
当0<a<1时,y=log a t在区间(0,3]上是减函数,所以y∈[log a3,+≦). 所以当a>1时,g(x)的值域为(-≦,log a3],
当0<a<1时,g(x)的值域为[log a3,+≦).
【方法总结】
1.指数函数与对数函数性质的对比
(1)相同点:指数函数与对数函数的图象和性质都与底数a的取值有关.当a变化时函数的图象与性质也随之改变.
(2)不同点:①指数函数的图象恒过定点(0,1),而对数函数的图象恒过定点(1,0);②指数函数与对数函数的定义域与值域均不同,但它们的定义域与值域正好互换.
(3)联系:
①指数函数y=a x(a>0且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数;
②两函数的图象关于直线y=x对称.
2.指数函数与幂函数的区别与联系
【巩固训练】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=lo(-x+1).
(1)求f(0),f(1).
(2)求函数f(x)的解析式.
(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为当x≤0时,f(x)=lo(-x+1),所以f(0)=0.又函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(1)=f(-1)=lo[-(-1)+1]=lo2=-1,
即f(1)=-1.
(2)令x>0,则-x<0,从而f(-x)=lo(x+1)=f(x),
所以x>0时,f(x)=lo(x+1).
所以函数f(x)的解析式为f(x)=
(3)设x1,x2是任意两个值,且x1<x2≤0,
则-x1>-x2≥0,
所以1-x1>1-x2>0.
因为f(x 2)-f(x1)=lo(-x2+1)-lo(-x1+1)
=lo>lo1=0,所以f(x 2)>f(x1),
所以f(x)=lo(-x+1)在(-≦,0]上为增函数.
又f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(x)在(0,+≦)上为减函数.
因为f(a-1)<-1=f(1),所以|a-1|>1,
解得a>2或a<0.
故实数a的取值范围为(-≦,0)∪(2,+≦).
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