13.3.1等腰三角形(第1课时)课件ppt
13.3.1等腰三角形(第1课时)课件ppt
（简写成等边对等角） 性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合 （简写成三线合一）
几何语言：
性质 1 在△ABC中， ∵ AB=AC
∴
∠ C ∠B ____ ________= ____
性质 2 ( 1 ) ∵ AB=AC，AD是角平分线， CD ； BD =________ AD ⊥______ BC ，________ ∴______ ( 2 ) ∵ AB=AC ，AD是中线， CAD ； ∴ AD ⊥ BC ，∠ BAD = ∠____ ( 3 ) ∵ AB=AC ，AD⊥BC， CD BD CAD ，_____=______ BAD ∴∠_____= ∠______
A
等腰三角形的两个底角相等
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=C
B
D
C
分析：1.如何证明两个角相等？ 2.如何构造两个全等的三角形？
如何证明两个三角形全等?
作BC边上的高AD 幻灯片 13
作BC边上的中线AD 幻灯片 14
作顶角的平分线 AD 幻灯片 15
等腰三角形
常见辅助线 幻灯片 16
A
B
A
D C
等腰三角形是轴对称图形吗？
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
重合的线段
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
重合的角
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝ ∠ADC
B
A
D
C
大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
猜想与论证
当堂检测
（1）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =36°, 则∠B = 72° ； （2）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =3 ∠B, 则∠A = 108° ； （3）等腰三角形一个角为40°,它的另外两个 70°,70°或40°,100° 角为___________________ A A
13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
A．BD＝CE C．DA＝DE
图 13-3-8 B．AD＝AE D．BE＝CD
6．[2017·天津]如图 13-3-9，在△ABC 中，AB＝AC，AD，CE 是△ABC 的两
条中线，P 是 AD 上的一个动点，则下列线段的长等于 BP＋EP 最小值的是( B )
A．BCBΒιβλιοθήκη CEC．ADD．AC
图 13-3-9
类型之二 运用方程思想进行等腰三角形的角度计算 如图 13-3-1，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，AD＝BD，AB＝AC＝
CD，求∠BAC 的度数．
图 13-3-1
解：∵AD＝BD，∴设∠BAD＝∠DBA＝x°. ∵AB＝AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝∠BAD＋∠DBA＝2x°， ∠C＝∠DBA＝x°，∴∠BAC＝3x°. ∵∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∴5x°＝180°， 解得 x°＝36°， ∴∠BAC＝3x°＝108°. 【点悟】 根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，得到各角之间的关 系式，再列方程求解，是解决等腰三角形的角度计算问题的基本方法．
2．运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题．
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开， 得到的△ABC 有什么特点？
1．等腰三角形的概念
知识管 理
定 义：有 两边相等的三角形叫做等腰三角形．
相关定义：(1)相等的两条边叫做等腰三角形的 腰 ，另一条边叫做 底边；
(2)两腰所夹的角叫做等腰三角形的 顶角 ，底边与腰的夹角叫做 底角 ．
9．如图 13-3-12，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E.求证：∠CBE＝∠BAD.
图 13-3-12
13.3.1等腰三角形(1)课件2024—2025学年人教版数学八年级上册
13.3.1 等腰三角形（1）
人教版八年级(上)
复习回顾：
1.三角形全等的判定方法：
(1)
;(2)
;(3)
;(4)
;(5)
。
2. 我们学习三角形分类时，按边分可以把三角形分成哪几类？
3.等腰三角形的有关概念：
，叫做等腰三角形,
相等的两条边叫做
，另一条边叫做
，
两腰所夹的角叫做
，底边与腰的夹角叫做
(2) 如图(2)是屋架的一种形式，在△ABC 中，AB = AC，点 B，C 在横梁 MN 上，现有一把等腰直角三 角形尺(底边的中点处有一颗钉子)一个端点挂有铅锤 的线绳(足够长)、一卷皮尺(足够长)，如果要判断横 梁 MN 是否水平，你会选择哪两个工具?如何使用?请 用数学知识解释你的方法(忽略测量人员的人数).
在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中，
AB＝AC (已知)，
B
D
C
AD＝AD (公共边)， ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL). ∴∠B＝∠C.
方法3：作顶角的角平分线 AD.
A
∵ AD 是 ∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
在 △ABD 与 △ACD 中，
AB＝AC (已知)，
底边上的中线、高线、顶角角平分线有什么特点？
完全重合.
A
A
A
B
D
CB
D
CB
D
C
任务三：猜一猜 猜想2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = DC，求证
AD⊥BC，DA 平分∠BAC.
A
13. 等腰三角形的性质 PPT课件(华师大版)
等腰三角 形的顶角平分线AD，然
后证明△ABD≌ △ACD.
证明：画∠ABC的平分线AD. 在 △ABD和 △ACD中， ∵ AB＝AC (已知）， ∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义）， AD =AD (公共边）， ∴ △ABD≌ △ACD(S.A.S.). ∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）•
2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相 等、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题 时， 尝试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
例4 如图 13.3.4，在△ABC中， AB＝AC ，D是BC 边上的中点， ∠B =30°．求 ：
（1）∠ADC的大小； （2）∠1的大小. 解： （1）∵ AB＝AC ，BD＝DC （已知），
3 (中考·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30° ，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平 分线交于点D，则∠D的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
知识点 2 等腰三角形的轴对称性：三线合一
探索
由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请 写 出你的发现：
例2 已知：在△ABC中， AB＝AC ， ∠B =80°．求 ∠C和∠A的大小.
解： ∵ AB＝AC （已知）， ∴ ∠C＝∠B ＝ 80°（等边对等角）. 又∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的内角和 等于 180 °）， ∴ ∠A ＝ 180 °－ ∠B － ∠C (等式的性质） ＝ 180°－ 80°－ 80°＝ 20°.
做
一
做
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角 形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2,把纸片对折，让
13.等腰三角形的判定PPT课件(华师大版)
1 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC 是等腰三角形的是( ) A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝40° C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝60°
2 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则 图中的等腰三角形有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3 在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分 成两个小等腰三角形的是( )
等腰三角形的两种判定方法： (1)当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相 等的三角形是等腰三角形”来判定． (2)当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个 三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相 等” 来证明．
例2 如图13.3-10，在△ABC中，∠ABC，∠CAB 的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别 交BC，AC于点D，E. 求证：DE＝BD＋AE.
图13.3-10
导引：要证： DE＝BD＋AE ，而由图13.3-10知 DE＝DP＋PE.因此只需证： BD＋AE＝DP＋PE即可． 即需证BD＝DP，AE＝PE， 而要证这两边相等，只需证明它们所对的角 相等；因此我们可以从证角相等作为切入口 进行证明．
性质
等边
等角．
判定
例3 如图13.3-11，在△ABC中，AB＝AC，EF交 AB
于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且
BE＝CF. 求证：DE＝DF.
导引：要证DE＝DF，可构造以DE
和DF为对应边的全等三角形，
不妨过点E作EG∥AC交BC于
点G，则只要证明△EDG≌
△FDC即可，缺少的条件可
3 (中考·陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB ＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取 BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
人教版八年级上册数学课件 第十三章轴对称 等腰三角形 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 (2)
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
(2)若∠BAD＝35°，则∠C的度数为( C )
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．(4分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD ＝4，则△ABC的周长是__2_0_．
8．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB. (1)求证：∠BAD＝∠BDE； (2)若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．
16．(15分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是射线BC上一点，E是射 线AC上一点，且AD＝AE.
(212).如5°图 ① ， 若 ∠ BAC ＝ 90° ， D 是 BC 中 点 ， 则 ∠ EDC 的 度 数 为 _________；
(2)如图②，当点D在线段BC上时，若∠BAD＝40°，求∠EDC的度数； (3)如图③，当点D在线段BC延长线上时，试判断∠BAD和∠EDC的数 量关系，并证明．
13．(易错题)(青海中考)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内 角的度数分别为____5_5_°__，__5_5_°__或__7_0_°__，__4_0_°____________________．
【变式】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三
角形的底角的度数为___6_3_°__或__2_7_°________．
人教版数学八年级上册13.3.1等腰三角形(一)-课件
B DC
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三：作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边的高线AD，则
(3) ∵AD是角平分线，∴_A__D_ ⊥__B_C_ ，__B_D__ =__C_D__.
知一线得二线
A
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
B
DC
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为4_0__°___.
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 7_0_°__,_4_0_°__或____5_5_°__,5_5.°
A
B
D
C
性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分
线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是
等腰三角形的对称轴。
1. 根据等腰三角形性质2填空, 在△ABC中， AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A__D_ = ∠__C_A__D，_B_D__=C__D__.
(2) ∵AD是中线，∴_A_D__⊥_B__C_ ，∠__B_A_D_ =∠__C_A__D.
DF⊥AC于F
E
F 求证：DE＝DF
BD C
(2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,
∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对
称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪
些相等的线段？
活动5:反馈练习
练习1:小试牛刀
13.3等腰三角形(第1课时)
将一把等腰三角尺和一个重锤如图放置，就能检查 一根横梁是否水平，你知道怎么检查吗？
A
B
D
C
学习 目标
1.经历剪纸、折纸等活动，进一步认识 等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形 2.经历探索等腰三角形性质的过程， 掌握等腰三角形的性质
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
符号语言： ∵ AB=AC
∴ ∠B=C
A
B
C
注意： 在同一个三角形中,等边对等角。
性质2: 符号语言：
A
⌒⌒
12
B 1D
C
(“三线合一”)
一般三角形是否具备三线合一的性质呢？ “三线合一”是等腰三角形所特有的性质。
将一把等腰三角尺和一个重锤如图放置，就能检查 一根横梁是否水平，你知道怎么检查吗？
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明： 作底边的高线AD，则 ∠BDA=∠CDA=90°
在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB=AC ( 已知 )
B DC
AD=AD (公共边) ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD (HL). ∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
⌒
⌒
x
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
⌒⌒
x
2x B
⌒
D 2x
2x C
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°，∴2x=72° ∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°。
4：在△ ABC中，AB=AD=DC， ∠BAD=16°，求∠ B和∠ C的度数
等腰三角形的性质 课件 公开课一等奖课件
C
底边上的中线，底边上的高互相重合 A 在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
1、∵AD ⊥ BC 1 2 BD DC 。 ∴∠ 1 = ∠ ，____= 2、∵AD是中线， 1 1 2 2 AD BC 1 2 ∴ ⊥ ，∠ =∠ 。 3、∵AD是角平分线， B BD AD DC BC ∴ ⊥ ， = 。 D 等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的 中线(顶角平分线,底边上的高)所在直线
• 活动2:探索等腰三角形性质
• 上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗? • 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折,找出其中相等的线 段和角,填入下表
B
重合的线段
A C D
重合的角
AB 和 AC
∠B和 ∠C
和
和
和
和
你能发现等腰三角形有什么性质吗?说一
说你的猜想.
性质1：等腰三角形的 两底角相等。（简写成 “等边对等角” ）
C
活动3:等腰三角形性质定理的证明
证明性质1:等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角) 。
提问:这性质的条件和结论是什么?用数学符号如何 表达条件和结论?
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C 分析：1.如何证明两个角相等？ 2.如何构造两个全等的三角形？ 证明:在△ABC中,AB=AC,作底边 BC的中线AD, 在 △ BAD 与△ CAD 中 ∵ AB=___ AC CD BD=___ AD AD=___ B ∴ △ BAD ≌△ CAD( SSS ) ∠C ∠B= ___
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
13.3.1第1课时等腰三角形的性质知识点1等腰三角形的性质(等边对等角)图13－3－11．如图13－3－1，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝125°，则∠C的度数是() A．55°B．45°C．35°D．65°2．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为()A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°3．如图13－3－2，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为()图13－3－2A．35°B．40°C．45°D．50°4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，则∠B＝________°.5．如图13－3－3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________°.图13－3－36．如图13－3－4，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内的一点，且BD＝CD.求证：∠ABD＝∠ACD.图13－3－47．如图13－3－5，在△ABC中，AB＝AC，∠CAD是外角，AE是∠CAD的平分线．求证：AE∥BC.图13－3－5知识点2等腰三角形的性质(三线合一)8．如图13－3－6，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，下列结论中不正确的是()图13－3－6A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．AD平分∠BAC D．AB＝2BD9．如图13－3－7，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC 的周长是________．图13－3－710．如图13－3－8所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，P是AD上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.求证：PE＝PF.图13－3－811．2018·凉山州如图13－3－9，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连接AD.若AD ＝AC ，∠B ＝25°，则∠C 的度数为( )图13－3－9A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°12．如图13－3－10，在△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC ＝CD ＝BD ＝BE ，∠A ＝50°，则∠CDE 的度数为( )图13－3－10A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°13．如图13－3－11，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于()图13－3－11A．60°B．70°C．75°D．90°14．已知：如图13－3－12，AB＝AC，D是BC的中点，AD＝AE，AE⊥BE，垂足为E.AB平分∠DAE吗？请说明理由．图13－3－1215．如图13－3－13所示，已知AB＝AC，AD＝AE，求证：BE＝CD.(要求：请用两种不同的方法证明)图13－3－1316．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F.(1)如图13－3－14①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明你的结论．(2)如图②，过点C作AB边上的高CG，则DE，DF，CG之间存在怎样的等量关系？并加以证明．图13－3－14教师详解详析1．A[解析] ∵DE∥BC，∠1＝125°，∴∠B＝180°－125°＝55°. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝55°.2．C[解析] 如图所示，在△ABC中，AB＝AC.有两种情况：①顶角∠A＝50°；②若底角是50°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－50°－50°＝80°.∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°.3．A4．405．18[解析] 由AB＝AC，∠A＝36°得∠C＝180°－36°2＝72°.所以在Rt△BCD中，∠CBD＝90°－∠C＝90°－72°＝18°，故填18.6．证明：如图．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD＝CD，∴∠1＝∠2.∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠ABD＝∠ACD.7．证明：由三角形外角与内角的关系知∠CAD＝∠B＋∠C.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．∵AE是∠CAD的平分线，∴∠DAE＝∠CAE(角平分线的定义)．∵∠CAD＝∠DAE＋∠CAE＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠B.∴AE∥BC.8．D[解析] 由“等边对等角”可得∠B＝∠C，故选项A正确；由等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，故选项B，C都正确；只有选项D不能得出，故选D.9．20[解析] ∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．又∵AD⊥BC于点D，∴BD＝CD.∵AB＝6，CD＝4，∴△ABC的周长＝6＋4＋4＋6＝20.10．证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF.11．C [解析] 由作图可知MN 为线段AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD.∴∠DAB ＝∠B ＝25°.∵∠CDA 为△ABD 的一个外角， ∴∠CDA ＝ ∠DAB ＋∠B ＝50°.∵AD ＝AC ，∴∠C ＝∠CDA ＝50°.故选C. 12．D [解析] ∵AC ＝CD ， ∴∠ADC ＝∠A ＝50°. ∵CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD.又∵∠ADC ＝∠B ＋∠BCD ，∴∠B ＝25°. ∵BD ＝BE ，∴∠BDE ＝∠BED ＝12(180°－∠B)＝12×(180°－25°)＝77.5°.∵∠ADC ＋∠CDE ＋∠BDE ＝180°， ∴∠CDE ＝180°－50°－77.5°＝52.5°. 13．A [解析] ∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ，∴∠A ＝∠ACB ，∠CBD ＝∠CDB ，∠DCE ＝∠CED ，∠EDF ＝∠EFD. ∵∠A ＝15°，∴∠ACB ＝15°.∴∠CDB ＝∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝30°.∴∠CED ＝∠DCE ＝∠A ＋∠ADC ＝15°＋30°＝45°.∴∠EFD ＝∠EDF ＝∠CED ＋∠A ＝45°＋15°＝60°.∴∠DEF ＝180°－∠EDF －∠EFD ＝60°.14．解：AB 平分∠DAE.理由：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC.又AE ⊥BE ，∴∠E ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ABE 和Rt △ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，AB ＝AB ， ∴Rt △ABE ≌Rt △ABD(HL)．∴∠EAB ＝∠DAB ，即AB 平分∠DAE.15．证明：(证法一)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∴∠ADB ＝∠AEC. 又∵AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，∴△ABD ≌△ACE.∴BD ＝CE.∴BE ＝CD.(证法二)如图所示，过点A 作AF ⊥BC 于点F. ∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF.∵AD ＝AE ，∴DF ＝EF.∵BE ＝BF ＋EF ，CD ＝CF ＋DF ，∴BE ＝CD.(方法不唯一)16．解：(1)当D 为BC 的中点时，DE ＝DF. 证明：连接AD.∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD平分∠BAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.(2)CG＝DE＋DF.证明：连接AD. ∵S△ABC＝S△ADB＋S△ADC，∴12AB·CG＝12AB·DE＋12AC·DF.∵AB＝AC，∴CG＝DE＋DF.。
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轴对称图形 两个底角相等，简称“等边对等角” 顶角平分线、底边上的中线、和底边上 的高互相重合，简称“三线合一”
2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三 角形的周长或角度或证线段、角相等。
当堂检测
（1）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =36°, 则∠B = 72° ； （2）如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平 分线交AC于D，则∠DBC的度数为 30° 。 （3）如图，在△ABC中，AB=AC，D点是底边 BC的中点，且∠B＝70°,则∠BAD=____ 20 度 ．
C
E B
F
(2)如果CE、BF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,
∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对 称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪 些相等的线段？
利用类似的方法,你还可以得到等腰三角形 中哪些线段相等?
A
A
E
F B
E
F
B
的中线相等
C
C
等腰三角形两腰上
等腰三角形两底角
A
A
(1)等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗? 如图,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.将等腰三角 形ABC沿对称轴AD翻折,观察DE与DF的关系.
DE=DF
已知：在△ABC中，
E B D F (E) C B
AB=AC.D为BC中点， DE⊥AB于E,DF⊥AC于F 求证：DE＝DF
谈谈你的收获！
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
⌒ x D 2x C
例题：如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D 在AC 上，且BD=BC=AD. 求△ABC各内角 的度数. 解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
证明: 作BC边上 的高AD
B C
D
则∠ADB＝∠ADC ＝90º 在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB＝AC AD＝AD ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD ∴ ∠B＝∠C
性质 1 等腰三角形的两个底角相等
A
（简写成等边对等角）
几何语言 在△ABC中， ∵ AB=AC
∠B ∠C ∴ ________= ____ ____
八年级
上册
定义:有两边相等的三角形是等腰三角形
A
腰
顶 角
腰
B
底角
底角
C
底边
等腰三角形中， 相等的两边都叫 做腰，另一边叫 做底边，两腰的 夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角 叫做底角.
A
B
AB=CB 腰： AB，CB B A， C
C
底边： AC 顶角： 底角：
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并 剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么 特点？
平分线相等
B
A
D C
等腰三角形是轴对称图形吗？
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
重合的线段
AB＝ AC
重合的角
∠B＝ ∠C
∠BAD＝ ∠CAD ∠ADB＝∠ADC
B
A
BD＝ CD AD＝ AD
D
C
大胆猜想(一)
等腰三角形两个底角 相等
A
猜想与论证
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=C
尝试运用
1.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角 70°,40°或55°,55° 为___________________ ；
2.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个 35°,35° 角为______ __。
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
2x B
设∠A=x,则∠ABD=x,
B
C
大胆猜想(二)
由刚才证明的△ABD≌ △ACD，除了能 得到∠B＝∠C,你还能发现什么?
重合的线段 AB＝AC 重合的角
A
∠ B ＝ ∠ C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC=90°
B D C
BD＝CD
AD＝AD
性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底
边上的中线、底边上的高互相重合 （简写成三线合一）
A
C B 第1题图
第2题图
第3题图
必做 ： P77题3、P82题4
选做： P82题6
拓展提高
(1)猜想一下，等腰三角形两腰上的高相等吗？如 图将等腰三角形ABC沿对称轴折叠，观察DE与DF的关 系，并证明你的结论。
A
已知：在△ABC中，
AB=AC.CE⊥AB于E, BF⊥AC于F 求证：CE＝BF
几何语言： ( 1 ) ∵ AB=AC，AD是角平分线， CD ； BD =________ AD ⊥______ BC ，________ ∴______ ( 2 ) ∵ AB=AC ，AD是中线， ∴ AD ⊥ BC ，∠ BAD = ∠____ CAD ； ( 3 ) ∵ AB=AC ，AD⊥BC， CD BD ∴∠_____= ∠______ CAD ，_____=______ BAD