高考数学难点突破_难点07__奇偶性与单调性(一)

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高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲

高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。

并统称具有上述情况的函数具有单调性。

注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。

（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。

（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。

（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。

（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。

如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴),1(+∞是函数)(2x f 的增区间令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴)0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。

高中数学函数的奇偶性与单调性复习

高中数学：函数的奇偶性与单调性复习一、函数奇偶性的复习函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它反映了函数在输入与输出之间的内在关系。

根据奇偶性的定义，我们可以将函数分为奇函数和偶函数。

奇函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)的函数；偶函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)的函数。

在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握奇偶性的定义，理解奇函数和偶函数的特性。

2、掌握奇偶性的判断方法，能够根据函数的图像和性质判断其奇偶性。

3、了解奇偶性在函数性质中的应用，如对称性、单调性等。

二、函数单调性的复习函数的单调性是函数变化的另一种重要性质，它描述了函数在输入增加或减少时输出的变化情况。

如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称函数在该区间上单调递增；如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称函数在该区间上单调递减。

在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握单调性的定义，理解单调递增和单调递减的含义。

2、掌握判断函数单调性的方法，能够根据函数的图像和性质判断其单调性。

3、了解单调性在函数性质中的应用，如最值、不等式等。

4、能够利用导数工具判断函数的单调性，并了解导数与单调性的关系。

三、总结函数的奇偶性和单调性是高中数学中重要的概念和性质，它们在函数的性质和应用中扮演着重要的角色。

通过复习，我们要能够深入理解奇偶性和单调性的定义和性质，掌握判断方法，并了解它们在解决实际问题中的应用。

我们还要能够利用导数工具判断函数的单调性，为后续的学习打下基础。

高中数学《函数的单调性》公开课一、教学背景分析函数的单调性是高中数学中非常重要的一部分，它不仅对于理解函数的概念有着关键性的作用，而且也是解决实际问题中常常需要用到的工具。

因此，通过对函数的单调性的学习，学生可以更好地理解函数的概念和性质，提高解决实际问题的能力。

函数的奇偶性和单调性1-课件

展示如何通过函数的单调性来确定函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的极值点和最值，以帮助解决实际问题。
利用单调性研究函数的增减性
解释如何使用函数的单调性来研究函数的增减性，以更好地理解函数的变化趋势和特性。
练习与答案
示例题目及解答
给出一些示例题目，并提供详细的解答和分析，以帮助学生实践和巩固所学的奇偶性和单调性知识。
讨论函数的极大值点和极小值点的特性，以便更好地理解函数的单调性。
函数单调性的判定方法
介绍判断函数单调性的方法和技巧，来帮助分析和确定函数的单调性。
奇偶性和单调性的应用
利用奇偶性证明函数对称性
示范如何使用函数的奇偶性来证明函数是否具有对称性，例如图像关于y轴的对称性。
利用单调性求函数的极值点和最值
函数的奇偶性和单调性1PPT课件
通过本课件，我们将深入讨论函数的奇偶性和单调性，并介绍其在数学中的重要性和应用。准备好迎接数学的奇妙世界吧！
奇偶性
定义奇偶性
介绍什么是奇函数和偶函数，以及如何判断函数的奇偶性。
奇函数和偶函数的图像特征
讲解奇函数和偶函数在坐标平面上的图像特点，以帮助理解和直观理解奇偶性。
告导数和微分的内容，激
忆。
学生能够更好地应用和运
发学生的兴趣和好奇心。
用所学的知识。
练习题目及详细解答
提供一系列练习题目，并附有详细的解答，供学生自我练习并检验自己的掌握程度。
总结
1 本章内容回顾
复习本章所学的奇偶性和
2 解决问题的思路和方
法总结
3 下一章节预告：导数
和微分
单调性的核心概念和要点，
总结解决奇偶性和单调性
引入下一章节的主题，预

高考复习-函数的单调性与奇偶性

函数的单调性与奇偶性知识集结知识元函数的单调性与奇偶性知识讲解1．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f （﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．例题精讲函数的单调性与奇偶性例1.下列函数为奇函数且值域为R的是（）A．y=x+B．y=xD．y=ln（x+）C．y=例2.下列函数，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=-（x-1）2B．C．f（x）=3|x|D．f（x）=cos x例3.已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则=（）A．2 B．D．C．当堂练习单选题练习1.已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．练习2.已知函数f（x）=（x2-2x）sin（x-1）+x+1在[-1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．4 B．2 C．1 D．0练习3.已知函数f（x）=，若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1<x2<x3<x4）时，不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则实数k的最小值为（）A．B．2-C．D．-练习4.若函数f（x）=单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）练习5.设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式>0的解集是（）A．（-2，0）∪（2，+∝）B．（-∝，-2）∪（0，2）C．（-2，0）∪（0，2）D．（-∝，-2）∪（2，+∝）填空题练习1.已知函数f（x）=那么不等式f（x）≥1的解集为_______________．练习2.函数的单调区间是_________________。

高考数学难点突破——函数运用

高考数学难点突破——函数运用函数是高考数学中的一个重要难点，在解题中经常需要运用函数的性质和相关的理论。

下面我将从函数的图像与性质、函数的应用以及函数方程的解法等方面进行详细讲解，以帮助你突破高考数学中的函数难题。

首先，要理解函数的图像与性质。

在高考中，常常会涉及到函数的图像特征、最值、奇偶性、周期性等性质。

对于一元函数，首先要掌握函数的图像画法以及与函数图像有关的性质，如函数与坐标轴的交点、函数的极值点等。

其次，要了解如何通过函数的图像来判断函数的单调性和奇偶性。

对于二元函数，要掌握如何画出函数的等值线图，以及如何根据等值线图来判断函数的最值点等性质。

这些知识点在解题中经常会出现，掌握好这些函数的图像与性质，能够帮助你更好地理解题意和解题思路。

其次，函数的应用也是高考数学中关于函数难点的重要内容。

函数的应用包括函数的实际意义、函数的模型建立和解决实际问题等。

在高考中，经常会出现通过给定的条件，建立函数模型并解决问题的情况。

在解决函数应用问题时，要先明确问题所涉及到的变量和条件，然后建立函数模型，最后通过函数模型进行运算计算出解答。

这里需要特别注意的是实际问题中的函数模型往往需要灵活运用数学知识来进行转化和抽象。

对于这一部分的难点，要多进行实际问题的应用练习，加强练习题的理解和解答，提高解决实际问题的能力。

最后，函数方程的解法也是高考数学中涉及到的一个重要难点。

对于函数方程的解法，要根据题意确定方程的求解方法，如利用函数的性质和图像解方程、利用函数的定义域和值域解方程等。

特别是在高等数学中，对于函数方程的求解方法要更加深入和复杂。

解决这一类问题，我们需要熟练掌握函数方程性质和运算法则，灵活运用函数的性质和等式的性质，确定方程的解的范围和具体的求解方法。

通过多进行函数方程的解一类题目的练习，能够帮助我们对函数方程的解法有更深入的理解。

综上，函数是高考数学中的一个难点，突破函数难题需要在函数的图像与性质、函数的应用以及函数方程的解法等方面进行系统的学习。

专题函数的单调性、奇偶性(教案)高考数学二轮重难点复习专题

函数的单调性1.增函数一般地，设函数f (x)的定义域为I，区间D ⊆ I；如果∀x1，x2∈D，当x1<x2，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增。

特别的，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。

2.减函数一般地，设函数f (x)的定义域为I，区间D⊆I；如果∀x1，x2∈D，当x1<x2，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。

特别的，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。

3.函数单调性性质增函数+增函数=增函数增函数-减函数=增函数减函数+减函数=减函数减函数-增函数=减函数注：当一个函数有多个单调区间时，不能用∪符号，应该用“和”或“，”连接。

函数的奇偶性判断奇偶性前提：“定义域关于原点对称”偶函数奇函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有x∈I，且f (-x) = f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数。

一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有x∈I，且f (-x) = -f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数。

定义域关于原点对称图象特征关于y轴轴对称函数奇偶性判断方法：1.判断定义域是否关于原点对称2.已知)(xf，计算)(xf-、)(xf-3.判断)(xf与)(xf-是否相等、)(xf与)(xf-是否相等4.若)()(xfxf-=，则)(xf为偶函数若)()(xfxf-=-，则)(xf为奇函数若)()(xfxf-≠，)()(xfxf-≠-，则)(xf为非奇非偶函数若)()(xfxf-=，)()(xfxf-=-，则)(xf为即奇又偶函数函数奇偶性性质奇函数性质：)()(x f x f -=-，)()(x f x f --=，若定义域内包括0，则0)0(=f ，奇函数图像关于原点对称。

奇函数在定义域内单调性相同。

高考数学考点总复习第讲函数的性质(一)——单调性、奇偶性

【解析】A 显然不正确；B 中没有指明自变量在定义域范围内，所以不正确；增函数未必存在最小值，所以 C 不正确．
一判断函数的单调性，求函数的单调区间
【例 1】(1)下列函数中，在区间(0,1)上单调递减的是 __________．
①f(x)＝sinx; ②f(x)＝x＋1x； ③f(x)＝log12(x＋3); ④f(x)＝|x＋1|. (2)形如 y＝x＋ax(a>0)的函数叫“特征函数”，在解题中有极大应用，请讨论 y＝x＋ax的单调性，并指出单调区间．
数或同是减函数，则f g x为增函数；若是一增一减，则f g x为减函数．
【要点指南】 ① ；② ；③增函数；④减函数； ⑤增(或减)函数图象上任意两点的连线斜率都大于(或小于)零；⑥同增异减
⑦对于函数定义域内任意一个x；⑧f (x) f x； ⑨f (x) f x；⑩原点；⑪中心；⑫0；⑬y轴； ⑭轴；⑮f (x) f x f | x |；⑯必要不充分；
(2)由于函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，且 f(－x)＝－f(x)，所以函数 f(x)为奇函数，因此可先讨论 f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
设 0<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2－xa2 ＝(x1－x2)(1－x1ax2)．
当 0<x1<x2≤ a时，恒有x1ax2>1，此时 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．所以 f(x)在(0， a]上是减函数．当 a≤x1<x2 时，恒有 0<x1ax2<1，此时 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)，所以 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上是增函数，在[－ a，0)和(0， a]上是减函数．

【名师精品】高考数学难点突破_难点07__奇偶性与单调性(一)

难点7 奇偶性与单调性(一)函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.●难点磁场(★★★★)设a >0,f (x )=x x eaa e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明： f (x )在(0，+∞)上是增函数.●案例探究［例1］已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点.证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy y x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21xxx --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)－f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0即f (x2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y =(21)132+-a a 的单调递减区间. 命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x 1<x 2,则－x 2<－x 1<0，∵f (x )在区间(－∞,0)内单调递增， ∴f (－x 2)<f (－x 1),∵f (x )为偶函数，∴f (－x 2)=f (x 2),f (－x 1)=f (x 1), ∴f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1)得：2a 2+a +1>3a 2－2a +1.解之，得0<a <3.又a 2－3a +1=(a －23)2－45.∴函数y =(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a <3,得函数y =(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3).●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )A.f (x )=(x －1)xx -+11B.f (x )=2|2|)1lg(22---x xC.f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x xD.f (x )=xx xx sin cos 1cos sin 1++-+2.(★★★★★)函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x =1对称二、填空题3.(★★★★)函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2),x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1). (1)证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证：(1)f (x )是奇函数.(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a .8.(★★★★★)已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且 f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x ∈R ,有f (x )=f (－x ),即x x x aee a a e 1=++ae x .整理，得(a －a 1) (e x －xe1)=0.因此，有a －a 1=0,即a 2=1,又a >0,∴a =1 (2)证法一：设0＜x 1＜x 2,则f (x 1)－f (x 2)=)11)((1121122121--=-+-+x x x x x x x x e e e e e e e 21211211)1(x x x x x x x e e ee ++---=由x 1>0,x 2>0,x 2>x 1,∴112--x x e >0,1－e 21x x +＜0,∴f (x 1)－f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2) ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数证法二：由f (x )=e x +e －x ，得f ′(x )=e x －e －x =e －x ·(e 2x －1).当x ∈(0,+∞)时，e －x >0,e 2x －1>0. 此时f ′(x )>0,所以f (x )在［0，+∞)上是增函数. 歼灭难点训练一、1.解析：f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+--<+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-->-)0( )()0( )()0( )0( 2222x x x x x x x x x x x x =－f (x )，故f (x )为奇函数.答案：C2.解析：f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减.答案：(－∞,－1]4.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0. 答案：(－∞,0）三、5.证明：(1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0, ∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根. 证法二：设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾，若x 0＜－1,则1200+-x x >0, 0x a >0，∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根. 6.证明：∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-, 设1＜x 1＜x 2＜+∞,则01111,11121222122>->-<<x x x x .2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2),f (x )在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x ).∴f (x )是奇函数.(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ).∵f (x +a )=f ［x －(－a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数.8.(1）证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数. (2)解：f (x )=2x +1.验证过程略.。

高考数学复习点拨有关函数单调性、奇偶性的综合应用

掉，化为普通的不等式，同时要注意函数的定义域对 x 的限制．
用心爱心专心
有关函数单调性、奇偶性的综合应用
函数的单调性是对于函数定义域内某个子区间而言的 “局部” 性质，它反映了函数 f ( x) 在区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质，主要讨论的是函数的对称性．作为函数的两个最重要的性质，我们往往将二者结合起来研究．本文将针对这一方面的综合应用举例说明．
1 = f ( x1) f ( x2 ) 的正负号． f ( x1 ) f ( x1) f (x2 )
【解析】任取 x1、 x2 ( ,0) ，且 x x2 x1 0 ，则有 x ( x2 ) ( x1) 0 ．
y f (x) 在 (0, ) 上是增函数，且 f ( x) 0 ，
f ( x1) f ( x2 ) 02
得
，定义域为 { x |1 x 2}
1 2x 3 1 1 x 2
不等式 f (1 x) f (2 x 3) 0 即可写为： f (1 x) [ f (2 x 3)] 0 ，
因为函数 y f ( x) 是偶函数，有 f (2 x 3) f (2 x 3) ，
原不等式就是 f (1 x) f (2 x 3) 0 ，已知函数是减函数，所以 x (1 x) (2 x 3) 0 ，即 x 4 ，
3 由于 x { x |1 x 2} ，所以原不等式解集为： { x |1 x 4} ．
3 【评析】利用函数的性质，将不等式 f (1 x) f (2 x 3) 0中函数符号 f 去
【评析】本题最容易发生的错误是一开始就在 (0, ) 内任取 x2 x1 ，展开证明，这样就不能保证 x1, x2 在 ( ,0) 内的任意性而导致错误．

高考数学复习：奇偶性与单调性

高考数学复习：奇偶性与单调性●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0.●案例探究［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得且x ≠0,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数， ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, ∴B =A ∪{x |1≤x ≤5}={x |1≤x <6},又g (x )=－3x 2+3x －4=－3(x －21)2－413知：g (x )在B 上为减函数，∴g (x )max =g (1)=－4.［例2］已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m ,使f (cos2θ－3)+f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有θ∈［0,2π］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f (x )是R 上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f (x )是R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为f (cos2θ－3)>f (2m cos θ－4m ),即cos2θ－3>2m cos θ－4m ,即cos 2θ－m cos θ+2m －2>0.设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t ) =t 2－mt +2m －2=(t －2m )2－42m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g (t )在［0，1］上的最小值为正.∴当2m<0,即m <0时，g (0)=2m －2>0⇒m >1与m <0不符；当0≤2m≤1时，即0≤m ≤2时，g (m )=－42m +2m －2>0⇒4－22<m <4+22, ∴4－22<m ≤2.当2m>1,即m >2时，g (1)=m －1>0⇒m >1.∴m >2 综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m >4－22. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0, 则a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系_________. 三、解答题5.(★★★★★)已知f (x )是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f (x )在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f (x )=xx a 2112+-⋅ (a ∈R )是R 上的奇函数， (1)求a 的值；(2)求f (x )的反函数f －1(x );(3)对任意给定的k ∈R +,解不等式f －1(x )>lgkx+1. 7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f (x )满足f (m －sin x )≤f (m 21+－47+cos 2x )对任意x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y =f (x )=c bx ax ++12 (a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<25.(1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f (2)=0,∴原不等式可化为f ［log 2(x 2+5x +4)］≥f (2). 又∵f (x )为偶函数，且f (x )在(0，+∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞,0）上为减函数且f (－2)=f (2)=0∴不等式可化为log 2(x 2+5x +4)≥2 ① 或log 2(x 2+5x +4)≤－2②由①得x 2+5x +4≥4 ∴x ≤－5或x ≥0③ 由②得0＜x 2+5x +4≤41得2105--≤x ＜－4或－1＜x ≤2105+-④由③④得原不等式的解集为 {x |x ≤－5或2105--≤x ≤－4或－1＜x ≤2105+-或x ≥0} 歼灭难点训练一、1.解析：f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)= f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f (x )是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0. ∴f (a －3)＜f (a 2－9).∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ∴a ∈(22,3). 答案：A二、3.解析：由题意可知：xf (x )＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或 ∴x ∈(－3,0)∪(0,3) 答案：(－3，0）∪(0，3） 4.解析：∵f (x )为R 上的奇函数 ∴f (31)=－f (－31),f (32)=－f (－32),f (1)=－f (－1),又f (x )在(－1，0)上是增函数且－31> －32>－1. ∴f (－31)>f (－32)>f (－1),∴f (31)＜f (32)＜f (1). 答案：f (31)＜f (32)＜f (1)三、5.解：函数f (x )在(－∞,0）上是增函数，设x 1＜x 2＜0,因为f (x )是偶函数，所以 f (－x 1)=f (x 1),f (－x 2)=f (x 2),由假设可知－x 1>－x 2>0,又已知f (x ) 在(0，+∞)上是减函数，于是有f (－x 1)＜f (－x 2),即f (x 1)＜f (x 2),由此可知，函数f (x )在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a =1.(2)f (x )=1212+-x x (x ∈R )⇒f －-1(x )=log 2xx -+11 (－1＜x ＜1).(3)由log 2xx -+11>log 2kx+1⇒log 2(1－x )＜log 2k ,∴当0＜k ＜2时，不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1};当k ≥2时，不等式解集为{x |－1＜x ＜1}.7.解：⎪⎩⎪⎨⎧++-≥++-≤-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+≥-≤+-+≤-1sin sin 4721sin 4 cos 4721sin 4cos 47214sin 222x x m m x m x m x m x m x m 即，对x ∈R 恒成立,⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤∴21233m m m 或∴m ∈［23,3］∪{21}. 8.解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )=－f (x ),即c bx c bx c bx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴f (x )=bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ，当且仅当x =a 1时等号成立，于是22b a =2,∴a =b 2,由f (1)＜25得ba 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2，又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴f (x )=x +x1. (2)设存在一点(x 0,y 0)在y =f (x )的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x 0,－y 0)也在y =f (x )图象上，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1yxx y x x消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =f (x )图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称.。

高考数学难点突破_难点07__奇偶性与单调性(一)

难点7 奇偶性与单调性(一)函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.●难点磁场(★★★★)设a >0,f (x )=xx e aa e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明： f (x )在(0，+∞)上是增函数.●案例探究［例1］已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点.证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x x x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)－f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y =(21)132+-a a 的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x 1<x 2,则－x 2<－x 1<0，∵f (x )在区间(－∞,0)内单调递增， ∴f (－x 2)<f (－x 1),∵f (x )为偶函数，∴f (－x 2)=f (x 2),f (－x 1)=f (x 1), ∴f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1)得：2a 2+a +1>3a 2－2a +1.解之，得0<a <3.又a 2－3a +1=(a －23)2－45.∴函数y =(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a <3,得函数y =(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3).●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数. (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )A.f (x )=(x －1)xx -+11B.f (x )=2|2|)1lg(22---x xC.f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x xD.f (x )=xx xx sin cos 1cos sin 1++-+2.(★★★★★)函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( ) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x =1对称二、填空题3.(★★★★)函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2),且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1). (1)证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证：(1)f (x )是奇函数.(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a .8.(★★★★★)已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且 f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x ∈R ,有f (x )=f (－x ),即x x x aee a a e 1=++ae x .整理，得(a －a 1) (e x －xe1)=0.因此，有a －a 1=0,即a 2=1,又a >0,∴a =1 (2)证法一：设0＜x 1＜x 2,则f (x 1)－f (x 2)=)11)((1121122121--=-+-+x x x x x x x x e e e e e e e 21211211)1(x x x x x x x e e ee ++---=由x 1>0,x 2>0,x 2>x 1,∴112--x x e >0,1－e 21x x +＜0,∴f (x 1)－f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2) ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数证法二：由f (x )=e x +e －x ，得f ′(x )=e x －e －x =e －x ·(e 2x －1).当x ∈(0,+∞)时，e －x >0,e 2x －1>0. 此时f ′(x )>0,所以f (x )在［0，+∞)上是增函数. 歼灭难点训练一、1.解析：f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+--<+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-->-)0( )()0( )()0( )0( 2222x x x x x x x x x x x x =－f (x )，故f (x )为奇函数.答案：C2.解析：f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称. 答案：C二、3.解析：令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减.答案：(－∞,－1]4.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0. 答案：(－∞,0）三、5.证明：(1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0, ∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根. 证法二：设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾，若x 0＜－1,则1200+-x x >0, 0x a >0，∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根.6.证明：∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-,设1＜x 1＜x 2＜+∞,则01111,11121222122>->-<<x x x x .2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2),故函数f (x )在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+ =－f (x 1－x 2)=－f (x ).∴f (x )是奇函数.(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ).∵f (x +a )=f ［x －(－a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数.8.(1）证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数.(2)解：f (x )=2x +1.验证过程略.Von Neumann 说过：In mathematics you don't understand thin gs .You just get used to them.掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。

高考数学重难点分析：函数的单调性与奇偶性(题型战法)(解析版)

第二章函数2.2.1函数的单调性与奇偶性（题型战法）知识梳理一函数的单调性1. 单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数。

2.单调性的注意事项1. 函数的单调性要针对区间而言，因此它是函数的局部性质；对于连续函数，单调区间可闭可开，即“单调区间不在一点处纠结”；单调区间不能搞并集。

2. 若函数()f x 满足1212()[()()]0x x f x f x -->，则函数在该区间单调递增；若满足1212()[()()]0x x f x f x --<，则函数在该区间单调递减。

3. 函数单调性的判断方法主要有：(1) 定义法：在定义域内的某个区间D 上任取12,x x 并使得12x x <，通过作差比较1()f x 与2()f x 的大小来判断单调性。

(2) 性质法：若函数()f x 为增函数，()g x 为增函数，()h x 为减函数，()x ϕ为减函数，则有①()()f x g x +为增函数，②()()f x h x -为增函数， ③()()h x x ϕ+为减函数，④()()h x g x -为减函数。

(3) 图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。

二函数的奇偶性一.函数奇偶性的定义：(1)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =- ⇔函数()f x 是偶函数； (2)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=- ⇔函数()f x 是奇函数。

函数的单调性、奇偶性经典难题复习巩固

函数的单调性与奇偶性成就与出身无关，与信心有关。

这个世界是用自信心创造出来的。

有自信，积极的面对自己所拥有的一切，这种积极和自信会帮助人登上成功的山顶。

一、知识点回顾：1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数当x1<x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D 上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间． 2．函数的最值前提设函数y ＝f(x)的定义域为I ，存在实数M 满足条件①对于任意x ∈I ，都有；②存在x0∈I ，使得 .①对于任意x ∈I ，都有；②存在x0∈I ，使得 .结论M 为最大值M 为最小值3．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有，那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称二、专题训练：专题一函数单调性的判断与证明已知函数f(x)＝x －2x ＋1，证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．变式训练：判断函数f(x)＝x ＋a x(a>0，x>0)的单调性．专题二求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间．(1) y ＝－x 2＋2|x|＋3； (2)y=︱x ︱(1-x)专题三利用函数的单调性求最值【例3】已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．当a ＝4时，求f(x)的最小值；变式训练：1、已知函数f(x)＝1a －1x(a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．2.f （x ）=x 2-2ax+2,x ∈[]1,1-,求函数最值.3、函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3.专题四函数奇偶性的判定【例4】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x 3－1x；(2)f(x)＝x 2－x 3；(3)y ＝2x －1＋1－2x ；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x>0)0(x ＝0)－x 2－2(x<0).变式训练：判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x 2＋x 2－3； (2)f(x)＝4－x 2|x ＋3|－3；(3)f(x)＝|x ＋a|－|x －a|(a ∈R)．专题五函数奇偶性的应用【例5】若f(x)是奇函数，当－2≤x ≤0时，f(x)＝1－x 2＋x ，当0<x ≤2时，求f(x)的解析式．变式训练：设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数取值范围．三．技法巧点总结：1．求函数的单调区间(1)利用已知函数的单调性．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间．2．求复合函数y ＝f[g(x)]的单调区间的步骤(1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：y ＝f(u)，u ＝g(x)． (3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y ＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”． 3．函数奇偶性的判断及相关性质判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0；若函数f(x)是奇函数，且在x ＝0处有定义，则f(0)＝0.四、巩固练习：一、选择题1．(2011·海淀模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数3．若奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，则f (x )在区间[－7，－3]上是( )A ．增函数且最小值是－5B ．增函数且最大值是－5C ．减函数且最大值是－5D ．减函数且最小值是－54、设函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则xf (x )<0的解集是 ( ) A ．{x |－3<x <0或x >3}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}二、填空题5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．6．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________. 7．(2011·银川模拟)已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如右图所示，那么不等式xf (x )<0的解集为________．三、解答题8．判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1)f (x )＝x 2－|x |＋1，x ∈[－1,4]；(2)f (x )＝(x －1) 1＋x1－x，x ∈(－1,1)；9．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (13)＝1.(1)求f (1)；(2)若f (x )＋f (2－x )<2，求x 的取值范围．当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1.(2010·全国新课标)设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x ≥0)，则{x|f(x －2)>0}＝ ( ) A ．{x|x<－2或x>4} B ．{x|x<0或x>4}C ．{x|x<0或x>6}D ．{x|x<－2或x>2}2.已知f(x)=⎩⎨⎧≥+-)1(log )1(4)13(x x x a x a a 是(-∞,+∞)上的减函数，那么a 的取值范围是A ．（0,1） B.(0,31) C.[71,31) D.[71,1)3.求出关于x 的方程︱x 2+2x-3︱=a 的实根个数。

2014年高考数学二轮复习精品资料-难点突破篇难点07 函数的性质综合运用问题(教学案)

函数性质的综合应用是高考的重点内容之一，考查的内容灵活多样，函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性可以单独命题，也可以将它们综合在一起进行考查，很多学生在做题时不能很准确的利用好各个性质的特征进行解题，从而导致正确率很低.同时试题中往往以抽象函数为题根，来考查考生对函数性质的理解和掌握，而抽象函数就是考生的弱点之一，因而这种类型的试题，难度较大.本文就高考中常见考查题型加以总结和方法的探讨. 1函数单调性的判断函数单调性判断的常用方法：(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果()f x 是以图象形式给出的，或者()f x 的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．例1【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】函数213()log (56)f x x x =-+的单调递增区间为．2 依据函数单调性求参数范围对于含参函数()f x 在给定区间[,]a b 内单调递减（以递减为例）求参数k 范围，可以根据具体的函数单调性考虑，也可以根据函数求导考虑，然后转化成恒成立问题. 常见的利用导数的方法有：（1）最值法：先对给定函数进行求导，则原题意转化为'()0f x ≤对于一切[,]x a b ∈恒成立，此时只需求出'()f x 在[,]a b 上的最大值max '()f x （max '()f x 是关于k 的表达式），再解不等式max '()0f x ≤，进行得到k 的取值范围.（2）子区间法：先解关于x 的不等式'()0f x ≤，得到用参数k 表示的函数()f x 的单调减区间U ，再令[,]a b U ⊆，从而可以得到关于k 的不等式或不等式组，进而得到k 的取值范围.（3）参数分离法：先对给定函数进行求导，则原题意转化为'()0f x ≤对于一切[,]x a b ∈恒成立，将参数k 分离到不等式的一边，而另一边是一个不含参数k 的函数()g x ，若参数分离后得到不等式()()g x h k ≥，则min ()()g x h k ≥（反之，max ()()g x h k ≤）.例2 【安徽省毫州市涡阳四中2014届高三上学期第二次月考数学（理）】已知,(1)()(4)2,(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（） A ．(1，＋∞) B ．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8)例3【安徽省合肥市2014届高三第一次质量检测数学（文）】已知函数()log (21)(0x a f x b a =+->且1)a ≠在R 上单调递增，且24a b +≤，则b a的取值范围为（） A.2[,2)3 B.2[,2]3 C.2(,2]3 D.2(,2)33 抽象函数奇偶性判断抽象函数是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质.这类问题往往具有抽象性、综合性、技巧性等特点.它既是教学的难点,又是近几年高考中的热点.这类问题常见的思路是根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求()f x -与()f x 的关系.几个抽象函数的奇偶性及函数模型如下：（1）若函数)(x f y =满足)()()(y f x f y x f +=+，则)(x f 是奇函数；（2）若函数)(x f y = 满足)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，则)(x f 是奇函数；（3）若函数)(x f y =满足)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，)0(f ≠0，则)(x f 是偶函数.例4函数()f x 的定义域为R ，若)1(+x f 与(1)f x -都是奇函数，则（）(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数(C) )2(+x f 是奇函数 (D) (3)f x +是奇函数例5 已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 014)＝________. 4 依据函数周期性与对称性（奇偶性）求值函数的周期性与对称性（或奇偶性）同时出现，需要能够快速发现他们之间的关系，从而能够准确的解题.他们之间的关系有：（1）若()yf x =关于点(,0),(,0)a b 中心对称（相邻），则()f x 是周期为2b a -的周期函数；()y f x =的图象关于直线,()x a x b a b ==≠周对称（相邻），则函数()y f x =是周期为2b a -的周期函数；（3）如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条相邻对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-.例 6 【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则(2012)(2013)(2014)f f f ++的值为（） A ． 2 B ． 4 C ． 6D ． 85 函数奇偶性与单调性综合解题函数单调性与奇偶性混合时，重在对函数图象的考查及函数性质的应用．此时可先从特殊点——定点，再从单调性——部分定形，最后从奇偶性——定图象，然后根据图象挖掘性质，比较大小或找准最值、单调区间等．例7【安徽省毫州市涡阳四中2014届高三上学期第二次月考数学（理）】若函数x．(3+=对任意的0)f3xxx∈x-ffm恒成立，则∈-mx)2+)(([<2,2],6.函数奇偶性、单调性、周期性综合解题单调性、奇偶性和周期性是函数最重要、最基本的性质．注意单调性是函数在定义域内局部区间上的性质(即函数可以在定义域的一部分上单调)，而奇偶性和周期性是函数在定义域上的整体性质(即对定义域内任意自变量都成立的性质)．例8 【山西省大同一中2013-2014学年上学期期中考试试题】已知定义域为R 的函数()f x 在区间(8, +∞)上为减函数，且函数(8)yf x =+为偶函数，则（） A. f (6)＞ f (7)B. f (6)＞ f (9)C. f (7)＞ f (9)D. f (7)＞ f (10)点评：本题考查的是函数的奇偶性与周期性，重点是要掌握(8)yf x =+是偶函数，应该是(8)(8)f x f x -+=+（关于8x =对称），而不是(8)(8)f x f x --=+（此时的情况是()f x 是偶函数）. 例9 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点.设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④函数()y f x =在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是 .。

专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)

专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（知识梳理）一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=∆x x x ，则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数。

2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。

此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

[多选]例1-1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )。

A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(-=x x h D 、12)(+=x x w【答案】BC【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数，|1|)(-=x x h 在]1(，-∞上是减函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数，则)(x g 和)(x h 在区间)10(，上单调递减的函数，选BC 。

(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。

函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。

但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。

高中数学+函数的奇偶性与单调性复习

x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数为单调增函数。
性质
单调增函数的图像是上升的，随着 $x$的增大，$y$的值也增大。
举例
正比例函数$y = kx$（$k > 0$）和指数函数$y = a^x$（$a > 1$）都是单调增函数。
单调减函数
定义
对于函数的定义域内任意两个数 $x_1$和$x_2$，如果$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数为单调减函数。
举例
二次函数$y = ax^2 + bx + c$、三角函数等都是非单调函数。
03
CATALOGUE
奇偶性与单调性的关系
奇函数单调性关系
奇函数在对称区间上的单调性相反
如果奇函数在区间$(a, b)$上单调递增，则一定在区间$(-b, -a)$上单调递减。
奇函数的图像关于原点对称
这意味着奇函数在正数和负数范围内的单调性是相反的。
偶函数单调性关系
偶函数在对称区间上的单调性相同
如果偶函数在区间$(a, b)$上单调递增，则一定在区间$(-b, -a)$上单调递增。
偶函数的图像关于y轴对称
这意味着偶函数在正数和负数范围内的单调性是相同的。
单调性与奇偶性综合应用
利用奇偶性判断单调性
01
如果一个函数在某个区间内单调递增，且该函数为奇函数，那
利用单调性分析图像趋势
增函数的图像从左到右上升，减函数的图像从左到右下降。
05
CATALOGUE
习题与解析
经典习题解析
总结词
这些题目是函数的奇偶性与单调性的基础题目，适合学生巩固基础知识。

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