高三数学第二轮专题复习(4)三角函数
高三数学第四章《三角函数》题目汇编及详解
普通高等学校招生全国统一考试数学 第四章《三角函数》题目汇编及详解
一、选择题（共21题）
1.（安徽卷）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量
,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
平移：平移后的图象如图所示：则平移后的图象
所对应函数的解析式是 A ．sin()6
y x π
=+ B ．sin()6
y x π
=-
C ．sin(2)3y x π=+
D ．sin(2)3
y x π
=- 解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
平移：平移后的图象所对应的解析式
为sin ()6
y x π
ω=+
：由图象知：73(
)1262
πππω+=：所以2ω=：因此选C 。 2.（安徽卷）设0a >：对于函数()sin (0)sin x a
f x x x
π+=
<<：下列结论正确的是
A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值 解：令sin ,(0,1]t x t =∈：则函数()sin (0)sin x a
f x x x
π+=
<<的值域为函数
1,(0,1]a y t t =+∈的值域：又0a >：所以1,(0,1]a
y t t
=+∈是一个减函减：故选B 。
3.（北京卷）函数y =1+cos x 的图象 （A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称
（D ）关于直线x =
2
π
对称 解：函数y =1+cos 是偶函数：故选B 4.（福建卷）已知α∈(
2π,π)：sin α=53,则tan(4
高三数学二轮专题复习 三角函数
三角函数二轮复习建议
三角函数内容主要有两块；一是三角函数的图象和性质，二是三角恒等变换．近三年高考中基本上是一个小题（三角函数的图象与性质）、一个大题（三角恒等变换），大都是容易题和中等题，难度不大，容易得分，也是必须要得分的．
第1~2课时 三角函数的图象和性质
基本题型一：求三角函数的周期
例 1 函数f (x )＝3sin(2x ＋π3
)的最小正周期为 ；图象的对称中心是 ；对称轴方程是 ；当x ∈[0，π2
]时，函数的值域是 ． 说明：
1．函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图像与参数A ，w ，ϕ的关系；通过换元可将y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象转化为对y ＝A sin x 的图象的研究．
2．对于三角函数的图象与性质，周期性是最本质的内容，周期与一个最高点就可决定决定整个三角函数的图象．
3．此类问题呈现的形式有三种：①正面呈现，象例1的形式；②给出函数的一部分性质，如已知直线y ＝a (0＜a ＜A )与函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象的三个相邻交点的横坐标为2，4，8，写出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一个单调增区间；③以图象形式呈现，给出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一部分图象．
例2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．
说明：方法一 由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，从而2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6
三角函数专题复习-三角恒等变换导学案-2023届高三数学二轮专题复习
三角函数
第1课时 任意角和弧度制、三角函数的概念
【学习目标】
1.了解任意角的概念会用公式求扇形弧长、面积；
2.会用三角函数定义求值，能判断三角函数在各象限的符号. 【教学过程】 一、基础自测
1.下列与角9π
4
的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2k π＋45°(k ∈Z )
B.k ·360°＋9π4(k ∈Z )
C.k ·360°－315°(k ∈Z )
D.k π＋5π
4
(k ∈Z )
2.一扇形的圆心角α＝︒
60，半径R ＝10 cm ，该扇形的面积为 .
3.若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则sin α－cos α＋tan α＝________.
4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
[必备知识] 1.角的概念
(1)定义： .(2)分类： (3)终边相同的角： . 2.弧度制的定义和公式
(1)定义： .
(2)公式： . 3.设角α终边上异于原点的任意一点P (x ，y )，r ＝x 2＋y 2.
三角函数 定义 定义域
第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象
限符号
sin α
cos α
tan α
角度 ︒0 ︒30 ︒45 ︒60 ︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒
180
弧度 sin α
cos α tan α
二、典例精讲
例1（1）已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝
2m
4
，则cos α＝________，tan α＝________. （2）若α为第二象限角，则cos 2α，cos α2，1
高三二轮复习三角函数 图像和性质解答题专题2015.09.19
《三角函数》二轮复习 图像和性质解答题专题
【学习目标】 知识目标：通过对三角函数图象和性质的认识，能够熟练应用三角函数的性质解决相关问题； 能力目标：
1.通过对三角公式的理解，能够熟练应用公式对函数进行化简，特别是辅助角公式的灵活应用；
2.通过对三角函数图象的深刻理解，能够熟练进行三角函数图像变换；
3.通过对三角函数图象和性质的理解，利用数形结合的思想能够熟练求出三角函数的单调区间、最值、对称中心、对称轴等。 德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 【教学重点】化简整理，整体代换思想；
【教学难点】整体代换思想，数形结合思想的应用；
【模拟题练习】
1.（15年海淀一模理）（本小题满分13分）
已知函数2
π()sin ()4
f x x =+
. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程； （Ⅱ）求π
()3
f x -的单调递减区间.
2.．（15年西城一模理）（本小题满分13分）
设函数π()4cos sin()3
f x x x =-，x ∈R . （Ⅰ）当π[0,]2
x ∈时，求函数()f x 的值域；
（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1=y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离.
教师复备或学生笔记
3.（15年丰台一模理）（本小题共13分）
已知函数2
1
()cos
cos
2
2
2
2
x
x
x
f x ωωω=+-
(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．
4．（15年石景山一模理）（本小题满分13分）
2009年高考第二轮热点专题复习：三角函数
2009年高考第二轮热点专题复习：三角函数
第1课时 三角函数与三角变换
考纲指要：
主要考察三角函数的图象与性质，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明等三角变换的基本问题。
考点扫描：
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质； 2．函数y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ )的图象； 3．两角和与差的三角函数，二倍角公式。
考题先知：
例1.不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值
分析：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会
解法一 sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°
=
2
1 (1－cos40°)+
2
1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°
=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－
2
1cos40°+
2
1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)
+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－21cos40°－41cos40°－
4
3sin40°+
4
3sin40°－
2
3sin 220°
=1－
4
3cos40°－43
(1－cos40°)=
4
1
解法二 设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°
y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=
2
1，
x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =
2023年新高考数学创新题型微专题04 三角函数(新定义)(解析版)
专题04 三角函数（新定义）
一、单选题
1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角θ的面度数为2π3
，则角θ的正弦值为（ ） A
．
2
B ．1
2
C ．12
−
D
． 【答案】D
【分析】根据面度数的定义，可求得角θ的弧度数，继而求得答案. 【详解】设角θ所在的扇形的半径为r ，则2212π23
r r θ=， 所以4π
3
θ=
，
所以4ππsin sin sin 33θ==−=， 故选：D ．
2．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）定义:正割1sec cos αα=
，余割1
csc sin αα
=
.已知m 为正实数，且22csc tan 15m x x +≥对任意的实数,2x x k k Z ππ∈⎛⎫
≠+ ⎪⎝⎭
均成立，则m 的最小值为（ ）
A ．1
B ．4
C ．8
D ．9
【答案】D
【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题
【详解】由已知可得22
2
22sin csc tan 15sin cos x
x x x
m m x +=+≥，
即42
2sin 15sin cos x
x x
m ≥−
. 因为()2
x k k Z π
π≠+
∈，所以2cos (0,1]x ∈，
则42
2
sin 15sin cos x x x −()222
222(1-cos )1=151cos =17+16cos cos cos x x x x x −−−⎛⎫ ⎪⎝⎭ 21716cos 9x x
三角函数与解三角形大题备考强化练-高三数学二轮专题复习
冲刺高考二轮 三角函数与解三角形大题备考强化练
（原卷+答案）
1．在△ABC 中，sin 2C ＝3 sin C ． (1)求∠C ；
(2)若b ＝6，且△ABC 的面积为63 ，求△ABC 的周长．
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4a ＝5 c ，cos C ＝3
5
.
(1)求sin A 的值；
(2)若b ＝11，求△ABC 的面积．
3.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角
形的面积依次为S 1，S 2，S 3.已知S 1－S 2＋S 3＝32 ，sin B ＝1
3
.
(1)求△ABC 的面积．
(2)若sin A sin C ＝2
3
，求b .
4．记△ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin ∠ABC ＝a sin C .
(1)证明：BD ＝b ；
(2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC .
5．已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋π4 )(A >0，0<ω<1)，f (π4 )＝f (π2 )，且f (x )在(0，3π
4
)上的
最大值为2 .
(1)求f (x )的解析式；
(2)将函数f (x )图象上所有点的横坐标缩小为原来的1
3
，纵坐标不变，得到函数g (x )的图
象，若g (α2 )＝1
2 ，求sin 2α的值．
6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边AC 上，BM 平分∠ABC ，△ABM 的面积是△BCM 面积的2倍．
高三数学二轮复习专题 三角函数(公开课)
高三数学二轮复习专题 三角函数 第一讲 三角函数的概念及运算
学习目标：
1、了解任意角和弧度制的概念
2、理解三角函数个定义和同角三角函数基本关系式，并能灵活运用公式进行求值和化简
3、掌握两角和与差的正弦余弦正切公式、二倍角公式，运用公式进行简单的求值和化简问题
重点难点：
1、 三角函数的定义的运用，诱导公式的应用，
2、 三角函数的求值和化简
教学过程
【学情调查，情景导入】
知识清单检查（完成《五三》P72，P77知识清单）
【问题展示，合作探究】
探究一：三角函数概念‘
例1、若角α的终边经过点P (1,-2),则α2tan 的值为 . 【高考链接】
（全国新课标 7）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则α2cos = （A ）5
4-
（B ）53- （C ）54 （D ）53
探究二：同角三角函数基本关系式及诱导公式
例2、97cos tan()sin 2146πππ+-+的值为
__2______
例3、已知53sin +-=
m m θ，)2
(524cos πθπ
θ<<+-=
m m ，则θtan ＝____
【高考链接】
（福建 3）若3tan =α，则
α
α
2cos 2sin 的值等于
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
变式：若3tan =α，求α2sin 的值
探究三：三角函数的求值和化简 例4、（1）已知2tan()5αβ+=
，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（3
22
）；
（2）
求值sin50(1) （答：1）
(3)设ABC ∆
高三数学第二轮专题讲座复习：三角函数式在解三角形中的应用
高三数学第二轮专题讲座复习：三角函数式在解三角形中的
应用
高考要求
三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 重难点归纳
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘 典型题例示范讲解
例1在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观
察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的
B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的
C 处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？ 命题意图 本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力
知识依托主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系 错解分析考生对方位角识别不准，计算易出错
技巧与方法主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题
解 (1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米)
在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =3
3
(千米) 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°
)/(3026
1
330330
)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC
(2)∠DAC =90°－60°=30° sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =
2022届高三数学第四章 §4.4 三角函数的图象与性质
§4.4 三角函数的图象与性质
考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图
象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2上的性质．
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y ＝sinx ，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2，－1，
(2π，0)．
(2)在余弦函数y ＝cosx ，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2，0，
(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y ＝sinx
y ＝cosx
y ＝tanx
图象
定义域 R R 错误! 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2 [2kπ－π，
2kπ] ⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－π2，kπ＋π2 递减区间
错误!
[2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0) ⎝ ⎛⎭
⎪⎫kπ＋π2，0 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫kπ2，0
对称轴方程
x ＝kπ＋
π
2
x ＝kπ
微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？ 提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π
2014年高考数学二轮精品复习资料_专题-三角函数(学生版)
2012届高考数学二轮复习资料 专题四 三角函数（学生版）
【考纲解读】
1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出
2
πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公
式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2
x+cos 2
x=1,
sin tan cos x
x x
=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-
2π,2
π
)内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解
,,A ωϕ对函数图象变化的影响.
5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.
6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
【考点预测】
从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、
sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题
等.
预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.
高三数学二轮专题复习教案三角函数
2021届高三数学二轮专题复习教案――三角函数
一、本章学问构造：
二、重点学问回忆
1、终边一样角表示方法：但凡与终边α一样角，都可以表示成k ·3600
+α形式，特例，
终边在x 轴上角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上角集合{α|α=k ·1800+900
，k
∈Z}，终边在坐标轴上角集合{α|α=k ·900
，k ∈Z}。在三角函数值大小求角大小时，通常先确定角终边位置，然后再确定大小。
理解弧度意义，并能正确进展弧度和角度换算；
⑴角度制与弧度制互化：π弧度 180=，180
1π
= 弧度，1弧度 )180
(
π
='1857 ≈
⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 2
1
212==
θ。 2、随意角三角函数定义、三角函数符号规律、特别角三角函数值、同角三角函数关系
式、诱导公式：
〔1〕三角函数定义：角α中边上随意一点P 为),(y x ，设r OP =||那么：
,cos ,sin r x r y ==
ααx
y =αtan 〔2〕三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
〔3〕特别角三角函数值 α
6
π 4
π 3
π 2
π π
2
3π 2π
sin α 0 21 22 2
3 1
-1
cos α 1
2
3 2
2 2
1 0 -1 0 1
〔3〕同角三角函数根本关系：x x
x x tan cos ;1cos sin 22==+ 〔4〕诱导公式〔奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．
〕: sin(πα-)＝sin α,cos(πα-)＝－cos α,tan(πα-)＝－tan α sin(πα+)＝－sin α,cos(πα+)＝－cos α,tan(πα+)＝tan α sin(α-)＝－sin α,cos(α-)＝cos α,tan(α-)＝－tan α
2020届高三理科数学第二轮复习《三角函数与解三角形》学案含答案
三角函数与解三角形
1
．已知函数())cos()sin 244
f x x x x a π
π
=+
+++的最大值为1． （Ⅰ）求常数a 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）若将()f x 的图象向左平移6
π
个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[0,
]2
π
上的最大
值和最小值．
2．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了
部分数据，如下表：
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图 象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值.
3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 满足C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--
（Ⅰ） 求角A 的大小；
（Ⅱ） 若sinB=psinC ，且△ABC 是锐角三角形，求实数p 的取值范围．
4．如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0, ω>0) x ∈[0,4]的图象，且图象
的最高点为S(3，；赛道的后一部分为折线段MNP ，为
保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120o
（I ）求A , ω的值和M ，P 两点间的距离； （II ）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？
π
()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><()f x ()y f x =θ(0)θ>()y g x =()y g x =5π
高三数学第二轮专题复习 三角函数(有答案)
高三数学第二轮专题复习 三角函数 班级 姓名
1.cos300︒=( )
A.312 C .1
2
32.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）
A ．12
B 3
C ．
22
D 3
3.设0ω>,函数sin()23
y x π
ω=+
+的图像向右平移
43
π
个单位后与原图像重合，则ω的最小值是
A ．
23 B. 43 C . 3
2
D. 3 4.已知2
sin 3α=，则cos(2)x α-=
A.5- B .19- C.1
9
55.为了得到函数的图像，只需把函数的图像 A.向左平移
个长度单位 B .向右平移个长度单位
C.向左平移
个长度单位 D.向右平移个长度单位
6.下列函数中，周期为π，且在[,]42
ππ
上为减函数的是 A.sin(2)2y x π
=+
B.cos(2)2y x π=+
C.sin()2y x π=+
D.cos()2
y x π
=+ 7.已知函数
()sin (0,)
2y x π
ωϕωϕ=+><
的部分图象如题（6）
图所示，则
A. ω=1 ϕ= 6π
B. ω=1 ϕ=- 6π
C. ω=2 ϕ= 6π D . ω=2 ϕ= -6π
8.观察2'
()2x x =，4'
3
()4x x =，'
(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=( )
A.()f x
B.()f x -
C. ()g x D .()g x -
9.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若2
2023届新高考数学二轮复习：专题(三角函数的范围与最值)提分练习(附答案)
2023届新高考数学二轮复习：专题（三角函数的范围与最值）提分练习
【总结】
一、三角函数()sin()f x A x ωϕ=+中ω的大小及取值范围 1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即()2
T
k
k ∈Z ； 2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即()2
T
k k ∈Z ； 3、任意对称轴与对称中心之间的距离为
14周期加半周期的整数倍，即()42
T T
k k +∈Z ； 4、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内单调2
T
b a ⇒-…
且()2
2
k a b k k π
π
πωϕωϕπ-
+++
∈Z 剟?
5、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内不单调(,)a b ⇒内至少有一条对称轴，2
a k
b π
ωϕπωϕ++
+剟()k ∈Z
6、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内没有零点2
T
b a ⇒-…且(1)()k a b k k πωϕωϕπ+++∈Z 剟?
7、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内有n 个零点(1)()(1)()k a k k k n b k n πωϕπ
πωϕπ-+<⎧⇒∈⎨
+-<++⎩Z ……． 二、三角形范围与最值问题
1、坐标法：把动点转为为轨迹方程
2、几何法
3、引入角度，将边转化为角的关系
4、最值问题的求解，常用的方法有：
（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．
【典型例题】
例1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，7
高三数学课件：第四章 三角函数 解三角形 4-1
扇形面积．
[解] (1)设弧长为 l，则 α＝60°＝3π，R＝10，l＝π3×10＝130π(cm)． (2)解法一：扇形周长 C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝2＋C α，
∴S 扇＝12α·R2＝12α·2＋C α2 ＝C22α·4＋41α＋α2＝C22·4＋α1＋α4≤C162.当且仅当 α2＝4，即 α＝2 时，扇形面积有最大值C162.
.
[温馨提示] (1)1 弧度的角的大小与所取圆的半径大小无 关．在同一个式子中角度制和弧度制不能混用．
(2)弧长公式中 α 的单位是弧度，l 与 r 的单位要统一． 如：弧长为 3π，圆心角为 135°的扇形的半径为 4 ，面积为 6π .
3．任意角的三角函数 (1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，
涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧 度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用 前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S ＝12|α|R2＝12LR.在公式的选择上以简单、计算量小为原则，如本例 中解法二比解法一计算量小．
[跟踪演练]
已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周
当 0<α<π2时，tanα > α > sinα.
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高三数学第二轮专题复习系列(4)
三角函数
一、本章知识结构：
二、高考要求
1.理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
2.掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）
3.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
4.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A 、ω、 的物理意义。
5. 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示角。 三、热点分析
1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.
2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题。
3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.
4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 四、复习建议
应用
同角三角函数的基本关任意角的概念 任意角的三角诱导公式 三角函数的图象与计算与化简 证明恒等式 已知三角函数值求和角公式 倍角公式 差角公式 弧长与扇形面积公角度制与弧度应用
应用 应用
应用
本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：(1)首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能
力。
(2)对公式要抓住其特点进行记忆。有的公式运用一些顺口溜进行记忆。
(3)三角函数是中学阶段研究的一类初等函数。故对三角函数的性质研究应结合一般函数研
究方法进行对比学习。如定义域、值域、奇偶性、周期性、图象变换等。通过与函数这一章的对比学习，加深对函数性质的理解。但又要注意其个性特点，如周期性，通过对三角函数周期性的复习，类比到一般函数的周期性，再结合函数特点的研究类比到抽象函数，形成解决问题的能力。
(4)由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具，近几年高考往往考察知识网络交汇处的
知识，故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系。如平面向量、参数方程、换元法、解三角形等。（2003年高考应用题源于此）
5.重视数学思想方法的复习，如前所述本章试题都以选择、填空题形式出现，因此复习中要
重视选择、填空题的一些特殊解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法，待定系数法、排除法等.另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如：关于对称问题，要利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋（k∈Z），对称中心为（kπ，0），（k∈Z）等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征.在求三角函数值的问题中，要学会用勾股数解题的方法，因为高考试题一般不能查表，给出的数都较特殊，因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果.
6.加强三角函数应用意识的训练，1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生
对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法.
7.变为主线、抓好训练.变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变
换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律. 针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.
8.注意对三角形中问题的复习.由于教材的变动，有关三角形中的正、余弦定理.解三角形等
内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，从1996年和1998年的高考试题就可看出，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关.
9.在复习中，应立足基本公式，在解题时，注意在条件与结论之间建立联系，在变形过程中
不断寻找差异，讲究算理，才能立足基础，发展能力，适应高考.
在本章内容中，高考试题主要反映在以下三方面：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。
另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题。