机械振动第6章非线性振动-1
机械振动谐波产生的原因
机械振动谐波产生的原因可以归结为系统的非线性特性和外部激励等因素。
下面是一些主要的原因：1. 非线性特性：当机械系统中存在非线性元件或非线性行为时，通常会导致振动谐波的产生。
例如，弹簧和摩擦等元件可能导致系统在特定频率下产生非线性响应，从而产生谐波。
2. 外部激励：外部激励是指来自于环境或其他系统的力、压力或振动等作用于机械系统上的作用力。
这些外部激励可能与系统的固有频率或谐波频率相匹配，从而引起谐波振动。
3. 共振现象：当外部激励的频率接近系统的固有频率或其倍频频率时，系统容易发生共振现象，即振幅大幅增加。
这种情况下，系统可能产生谐波振动。
4. 系统不稳定性：当机械系统存在不稳定性时，可能会导致振动的不断增长，从而产生谐波振动。
这种情况通常发生在系统的反馈环路中，如控制系统中的稳定性问题。
5. 机械松动或损坏：机械系统中的松动零件或损坏部件可能会引起振动的非线性响应，从而产生谐波振动。
6. 系统参数变化：机械系统的参数可能会随着时间、温度或其他环境因素的变化而发生变化。
这种参数变化可能导致系统的固有频率或振动特性发生变化，从而引起谐波振动。
7. 摩擦和阻尼：摩擦和阻尼是影响机械系统振动的重要因素。
当存在不稳定或非线性摩擦时，系统可能会在特定频率下产生谐波振动。
同时，阻尼的变化也可能影响振动的谐波特性。
8. 机械结构设计：机械结构的设计与布局可能会影响振动的传播路径和谐波的产生。
不合理的结构设计或布局可能会导致振动的聚集和谐波的产生。
9. 外部环境因素：外部环境因素如风、震动、地面振动等都可能作用于机械系统，引起系统振动。
这些外部环境因素与系统的固有频率或谐波频率相匹配时，可能会导致谐波振动的产生。
10. 系统的动态特性：机械系统的动态特性包括质量、刚度、阻尼等参数，这些参数影响着系统的振动响应。
当系统的动态特性发生变化或与外部激励匹配时，可能会产生谐波振动。
综上所述，机械振动谐波的产生涉及到多种因素的综合影响，包括系统的结构设计、非线性特性、外部激励、环境因素等。
机械结构的非线性振动分析与控制
机械结构的非线性振动分析与控制导言机械结构的振动问题一直是工程领域研究的热点之一。
在很多实际工程中，机械结构的非线性振动常常会导致系统的不稳定，严重影响系统的性能和寿命。
因此，对机械结构的非线性振动进行准确分析和有效控制具有重要意义。
本文将探讨机械结构的非线性振动分析与控制方法。
1. 非线性振动的特点非线性振动是指振动系统中存在非线性力学特性，无法用简谐运动描述的振动现象。
相比于线性振动，非线性振动具有以下几个主要特点：1.1 非线性受力关系：非线性振动系统的受力关系与位移和速度等参数呈现非线性特性，可能存在诸如摩擦力、硬度非线性等现象。
1.2 非线性固有频率：非线性振动系统的固有频率可能随着振幅的变化而发生变化，即频率可参量现象。
1.3 多周期运动：非线性振动系统的周期可以是整数倍的基频周期，即存在周期倍频振动。
2. 非线性振动分析方法为了准确地分析机械结构的非线性振动特性，研究者们提出了许多有效的方法。
下面介绍三种常用的非线性振动分析方法：2.1 广义多自由度方法：该方法基于插值函数（如模态函数或形态函数），将振动系统转化为有限多自由度系统。
通过求解广义动力学方程，可以得到系统的响应和频率响应曲线。
2.2 数值模拟方法：该方法通过建立机械结构的非线性数学模型，并采用数值计算方法（如有限元法）对方程进行求解。
数值模拟方法对于非线性振动系统的分析提供了一种直观、高精度的手段。
2.3 非线性正交函数方法：该方法利用正交函数展开法将非线性振动系统的运动方程转化为一组非线性代数方程。
通过求解非线性代数方程，可以得到系统的响应特性。
3. 非线性振动的控制方法针对机械结构的非线性振动问题，研究者们也提出了多种控制方法。
以下是两种常见的非线性振动控制方法：3.1 被动控制方法：被动控制方法通过改变机械结构的刚度、质量、阻尼等参数来降低非线性振动的影响。
例如，采用阻尼器、振动吸收器等装置来减小振动幅值，提高系统的稳定性。
机械系统的非线性振动分析与控制
机械系统的非线性振动分析与控制引言机械系统是现代工程中广泛应用的一种系统，其具有非线性特性。
非线性振动是机械系统中一个常见且复杂的问题，对于系统的可靠性与效果具有重要影响。
因此，对机械系统的非线性振动进行深入分析与控制具有重要的理论和实践价值。
一、机械系统的非线性振动特性1.1 线性振动与非线性振动的区别线性振动是指系统的响应与激励之间存在简单的比例关系，即满足叠加原理。
而非线性振动则不满足叠加原理，系统的响应与激励之间存在复杂的非线性关系。
非线性振动会导致系统的摆动幅度增大或者系统出现周期倍频振动。
1.2 非线性振动的原因机械系统中产生非线性振动的原因主要有两个方面：一是系统的非线性特性，例如刚度非线性、摩擦非线性等；二是系统的非线性激励，例如周期激励、随机激励等。
1.3 非线性振动的现象非线性振动的现象非常多样化，常见的有分岔现象、周期倍频共振现象、混沌现象等。
这些现象给机械系统带来了挑战，也为研究非线性振动提供了契机。
二、非线性振动的分析方法2.1 解析法解析法是一种基于数学模型的非线性振动分析方法。
通过建立机械系统的非线性微分方程，并应用数学工具进行求解，可以得到系统的解析解。
然而，由于非线性振动问题的复杂性，很多情况下无法得到解析解。
因此，需要借助于数值解法。
2.2 数值法数值法是一种基于数值计算的非线性振动分析方法。
通过将非线性微分方程转化为差分方程，采用逐步逼近的方法进行计算，可以得到系统的数值解。
常用的数值法有欧拉法、龙格-库塔法等。
数值法具有灵活性和广泛适用性，可以应对复杂的非线性振动问题。
三、非线性振动的控制方法3.1 被动控制被动控制是一种利用物理手段抑制非线性振动的方法。
例如，利用阻尼器、质量阻尼器等装置来减小系统的振动幅度，或者采用增加刚度、惯性等手段来改变系统的频率响应特性。
被动控制相对简单易行，但只能对系统进行抑制，无法从根本上解决非线性振动问题。
3.2 主动控制主动控制是一种利用外部激励来主动干预系统的振动行为的方法。
机械系统的非线性振动与失稳特性研究
机械系统的非线性振动与失稳特性研究引言：机械系统是工业和工程领域中常见的构件，涉及到振动问题。
研究机械系统的非线性振动和失稳特性对于提高系统的稳定性和性能至关重要。
本文将介绍机械系统的非线性振动和失稳特性的研究进展，探讨其对工程应用的意义。
一、机械系统的非线性振动非线性振动是机械系统中普遍存在的现象。
传统的线性振动理论只能适用于一些简单的情况，而当系统受到非线性力的作用时，振动特性会发生明显的变化。
非线性振动包括周期性振动、亚谐波振动、超谐波振动等，这些振动形式都与非线性力的作用有关。
非线性力来源于机械系统的各种耦合效应和部件间的摩擦、接触、撞击等物理现象。
当系统受到非线性力的作用时，振动幅值和频率会发生变化，甚至出现失稳现象。
因此，研究机械系统的非线性振动特性对于评估系统的性能和安全性具有重要意义。
二、机械系统的失稳特性失稳是机械系统中一种重要的现象，它表现为系统振动幅值的增长和频率的变化，最终导致系统的破坏。
失稳常见于高速旋转机械、桥梁、飞机和车辆等系统中。
研究机械系统的失稳特性有助于提前预警系统的故障，从而采取相应的措施避免危险的发生。
失稳现象的原因主要包括系统结构的不稳定性和非线性力的影响。
结构的不稳定性是指系统平衡态的不稳定性，例如杆件的屈曲、轴承的摩擦力小于激励力等。
非线性力的影响主要体现在弹性变形、摩擦、干涉等方面。
这些因素共同作用导致了机械系统的失稳。
三、机械系统的非线性振动与失稳研究方法研究机械系统的非线性振动与失稳特性有多种方法，其中常用的方法包括数值模拟、实验测试和理论分析。
数值模拟是一种常用的研究方法，通过建立机械系统的数学模型，利用计算机软件对系统进行仿真。
数值模拟可以模拟机械系统的振动和失稳过程，对系统的性能进行评估和优化设计。
实验测试是研究机械系统振动特性的重要手段。
通过在实验室或实际工程中搭建实验台架，采集振动信号并进行分析，可以获取系统的振动特性和失稳情况。
实验测试不仅可以验证数值模拟结果的准确性，还可以为实际工程提供参考。
非线性振动控制在机械系统中的应用
非线性振动控制在机械系统中的应用近年来，随着科技的不断发展，非线性振动控制技术在机械系统中的应用日益广泛。
非线性振动控制技术可以有效地解决机械系统中出现的振动问题，提高系统的性能和稳定性。
本文将从非线性振动控制的基本理论入手，探讨其在机械系统中的应用，并介绍一些实际案例。
一、非线性振动控制的基本理论非线性振动控制是指在机械系统中，当系统存在非线性特性时，通过控制手段减小或消除非线性振动带来的负面影响。
非线性振动控制的基本理论包括控制算法和控制器设计。
1.1 控制算法控制算法是非线性振动控制的核心，其目标是通过调整系统的输入信号，使得系统的输出信号稳定在期望值附近或达到某种理想性能。
常见的控制算法包括：滑模控制、自适应控制、鲁棒控制等。
这些算法能够有效地抑制系统的非线性振动，提高系统的稳定性和控制性能。
1.2 控制器设计控制器是非线性振动控制的实际执行者，其设计是为了实现所选择的控制算法。
控制器设计一般包括两个方面：模型建立和参数调节。
在模型建立中，需要分析系统的动力学特性和非线性特性，构建系统的数学模型。
在参数调节中，根据系统的实际情况，通过试验和仿真等手段确定控制器的参数，以实现对系统振动的控制。
二、非线性振动控制在机械系统中的应用非线性振动控制在机械系统中有广泛的应用，下面将介绍一些实际案例。
2.1 摆线传动机构摆线传动机构是一种具有非线性特性的重要机械传动装置，其主要应用于数控机床和机器人等高精密度系统。
传统的摆线传动机构存在振动问题，影响了机械系统的运动精度和寿命。
通过非线性振动控制技术，可以减小机构的振动幅值，提高系统的稳定性和定位精度。
2.2 风力发电机组风力发电机组是一种大型机械系统，其工作状态受到风速和风向等外界条件的影响，存在非线性振动问题。
非线性振动控制技术可以有效地抑制风力发电机组的振动，避免共振和破坏性振动，提高系统的能量转换效率和可靠性。
2.3 振动筛分装置振动筛分装置是一种常用的固体颗粒分离设备，广泛应用于矿山、冶金和化工等行业。
机械振动控制中的非线性动力学分析研究
机械振动控制中的非线性动力学分析研究摘要：机械振动控制是一门重要的学科，其研究对象是机械系统在运动过程中的震动行为。
在振动控制中，非线性动力学分析是一个关键的研究领域，它可以帮助我们理解和预测复杂机械系统的行为。
本文将从非线性动力学的基本概念入手，探讨非线性动力学在机械振动控制中的应用，并通过实例介绍其研究方法和技术。
一、引言随着科技的不断发展，各种机械设备在工业生产和日常生活中得到广泛应用。
然而，机械振动问题也随之而来。
机械系统的振动不仅会导致能量损失和寿命缩短，还可能引发严重的事故。
因此，控制机械振动是一项至关重要的任务。
二、非线性动力学的基本概念非线性动力学是研究非线性振动行为的学科，它与线性动力学相比更能描述复杂系统的振动特性。
在非线性动力学中，系统的行为不仅与外部作用力有关，还与系统自身的非线性特性密切相关。
三、非线性动力学在机械振动控制中的应用1. 非线性动力学对机械系统的建模和分析在机械振动控制中，准确建立机械系统的数学模型是非常重要的一步。
非线性动力学提供了一种有效的方法来描述和分析系统的振动行为。
通过非线性动力学的方法，可以获得更准确的模型，并对系统的稳定性和可控性进行评估。
2. 非线性动力学在振动控制算法中的应用振动控制算法是机械振动控制的核心部分。
传统的控制算法主要基于线性动力学，而非线性动力学为我们提供了更多的方法和技术来改进振动控制算法的性能。
例如，通过非线性动力学的相关理论和方法，可以设计出更稳定、更高效的控制算法，提高机械系统的振动控制效果。
3. 非线性动力学在系统参数优化中的应用机械振动控制中，系统参数的选择对振动控制效果有着重要的影响。
非线性动力学的理论和方法可以帮助我们在系统参数优化中进行更全面的考虑。
通过对系统的非线性特性进行分析，可以确定最佳的参数设置，从而提高振动控制的效果。
四、非线性动力学分析研究的实例1. 多自由度系统的分析多自由度系统是机械系统中常见的一种形式。
机械振动的分类
机械振动的分类机械振动是指机械系统中由于外界或内部因素引起的物体运动，它在机械工程中具有广泛的应用。
机械振动可以分为自由振动、强迫振动和阻尼振动等多种类型。
本文将对机械振动的分类进行详细介绍。
一、自由振动自由振动是指机械系统在没有外界干扰的情况下发生的振荡运动。
它是由于物体受到某种力的作用而偏离平衡位置后，又受到弹性力的作用而回到平衡位置，然后再次偏离平衡位置并回到平衡位置，如此反复进行。
自由振动不需要外部能量输入，其频率和幅值只与系统本身的特性有关。
二、强迫振动强迫振动是指机械系统在外界施加周期性力或随时间变化的力作用下发生的周期性运动。
它需要外部能量输入才能维持运动状态，并且其频率与施加力的频率相同或者是其倍数。
强迫振动可以通过改变施加力的频率和幅值来改变系统响应。
三、阻尼振动阻尼振动是指机械系统在运动过程中由于摩擦、空气阻力等因素的存在而逐渐减弱振幅，最终停止运动的一种振动。
阻尼振动可以分为过阻尼、临界阻尼和欠阻尼三种类型。
1. 过阻尼过阻尼是指机械系统在受到外界干扰后，由于摩擦、空气阻力等因素的作用，使得系统无法回到平衡位置，最终停止运动。
此时系统没有任何周期性运动。
2. 临界阻尼临界阻尼是指机械系统在受到外界干扰后，由于摩擦、空气阻力等因素的作用，使得系统回到平衡位置的速度最快。
此时系统不会发生周期性运动。
3. 欠阻尼欠阻尼是指机械系统在受到外界干扰后，由于摩擦、空气阻力等因素的作用，使得系统逐渐减弱振幅并最终停止运动。
此时系统会发生周期性运动，但其振幅会逐渐减小。
四、弹性振动弹性振动是指机械系统在受到外界干扰后，由于弹性力的作用而发生的振动。
弹性振动可以分为简谐振动和复合振动两种类型。
1. 简谐振动简谐振动是指机械系统在受到外界干扰后，由于弹性力的作用而发生的周期性运动。
简谐振动具有固定的频率和幅值，其运动状态可以用正弦函数或余弦函数来描述。
2. 复合振动复合振动是指机械系统在受到多个外界干扰作用下发生的非周期性运动。
非线性振动_绪论
0.5当前研究的主要问题与方向
• (1) 多自由度系统的非线性振动问题；
• (2) 连续体的非线性振动问题； • (3) 多频激励下非线性系统特性； • (4) 强非线性振动求解方法及解的性态； • (5) 分叉、突变、混沌特性和机理；
• (6) 工程非线性振动问题，如非线性振动系统的控制等
参考书目
Fge m R sin
2
z
R
Fgc 2mvr
不在分析平面上 质点相对运动微分方程：
2 2 ma m R sin cos mg sin r
ae
ar
mg
Fe
N
mR 2 m2 R 2 sin cos mg sin g sin 2 sin cos 0 这就是含惯性非线性项的非线性振动系统 R
(5) 非线性阻尼力
• 例0-4 干摩擦振动微分方程
f ( x) ( x ) m x
• 干摩擦阻尼力
) Nsign( x ) (x
1 ) sign( x 1 0 x 0 x
• -摩擦系数，N—正压力，Sign—符号函数
(6) 滞后（回）非线性-物理非线性
0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及 形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的 全局形态）
机械振动学基础知识振动系统的线性与非线性模拟
机械振动学基础知识振动系统的线性与非线性模拟机械振动学是力学的一个分支，主要研究物体在外力作用下的振动规律。
振动系统是机械振动学中的一个重要概念，它由质点（或刚体）、弹簧、阻尼器等元件组成。
振动系统可以分为线性和非线性两类，本文将从基础知识入手，探讨振动系统的线性和非线性模拟方法。
1.线性振动系统线性振动系统是指系统的运动方程为线性方程的振动系统。
“线性”即指系统的运动方程满足叠加原理，具有相对简单的动力学特性。
线性振动系统的模拟方法多为以二阶常微分方程为代表的系统状态空间方程，通过求解状态空间方程可以得到系统的时间响应和频率响应。
2.非线性振动系统非线性振动系统是指系统的运动方程为非线性方程的振动系统。
“非线性”即指系统的运动方程不能直接叠加或比例，并且系统的动力学特性较为复杂。
非线性振动系统的模拟方法相对复杂，通常需要采用数值模拟、仿真等方法进行分析。
3.模拟方法比较线性振动系统的模拟方法相对直观简单，在处理简单振动问题时具有一定的优势。
通过求解线性微分方程可以得到系统的精确解，便于分析系统的稳定性和响应特性。
而非线性振动系统的模拟方法更多依赖于数值计算，需要考虑系统的各种非线性因素，如摩擦、接触、非线性弹簧等，对于系统的建模和仿真要求较高。
4.实际应用在工程实践中，振动系统的模拟对于设计和分析振动系统具有重要意义。
在设计机械结构、振动降噪、控制系统等领域，振动系统的模拟可以帮助工程师预测系统的振动响应，指导系统的优化设计。
通过模拟线性和非线性振动系统，工程师可以更好地理解系统的动力学行为，提高设计效率和准确性。
5.结语通过对机械振动学基础知识振动系统的线性与非线性模拟的讨论，我们可以看到线性振动系统与非线性振动系统在模拟方法上的差异和优劣势。
在实际工程应用中，我们需要根据具体问题的要求选择合适的模拟方法，以实现系统的稳定性、准确性和性能优化。
振动系统的模拟研究将持续深入，为机械工程领域的发展和进步提供强有力的支持。
机械振动知识点总结
机械振动知识点总结机械振动是指机械系统在运动过程中由于受到外界激励或系统自身激励而产生的振动现象。
它是研究机械系统动态特性的重要内容之一，也是工程实践中常见的问题。
了解机械振动的知识点，有助于我们更好地设计、分析和改进机械系统，提高系统的稳定性和可靠性。
振动的基本概念。
振动是指物体围绕平衡位置作周期性的往复运动。
在机械系统中，振动可以分为自由振动和受迫振动两种。
自由振动是指系统在没有外界激励的情况下的振动现象，而受迫振动是指系统受到外界激励后的振动现象。
振动的基本参数包括振幅、频率、周期和相位等，这些参数描述了振动的特征和规律。
振动的分类。
根据振动的性质和特点，可以将机械振动分为线性振动和非线性振动。
线性振动是指系统的振动方程是线性的，振动的特性随时间不变；非线性振动是指系统的振动方程是非线性的，振动的特性随时间变化。
此外，振动还可以根据激励方式分为强迫振动和自激振动，根据系统的自身特性分为自由振动和阻尼振动等。
振动的原因。
机械系统产生振动的原因有很多，主要包括外界激励、系统失稳、系统结构设计缺陷、材料疲劳等。
外界激励是指系统受到外部力或扰动的作用，导致系统产生振动；系统失稳是指系统在特定条件下失去平衡，从而产生振动；系统结构设计缺陷和材料疲劳会导致系统在运行过程中出现振动问题。
振动的影响。
机械振动会对系统的性能和稳定性产生不利影响。
首先，振动会增加系统的能量损耗，降低系统的效率；其次，振动会导致系统的磨损加剧，缩短系统的使用寿命；最后，振动还会引起噪音和震动，影响设备的正常运行和人员的工作环境。
振动的控制。
为了减小振动对机械系统的影响，需要采取相应的振动控制措施。
常见的振动控制方法包括加阻尼、加质量、改变系统刚度、采用主动振动控制和半主动振动控制等。
这些方法可以有效地减小振动的幅值和频率，提高系统的稳定性和可靠性。
总结。
机械振动是机械系统中常见的动态现象，了解振动的基本概念、分类、原因、影响和控制方法对于工程实践具有重要意义。
机械动力学中的非线性振动研究
机械动力学中的非线性振动研究引言机械振动是自然界和工程实践中普遍存在的现象。
振动的研究不仅对于理解自然现象有重要意义，而且在机械设计、结构优化等领域中也起到关键的作用。
振动问题通常都涉及非线性因素，因此非线性振动的研究成为了机械动力学的重要分支。
非线性振动的定义和特点非线性振动是指系统在振动过程中，系统响应不遵循线性叠加原理的振动。
与线性振动相比，非线性振动具有以下几个特点。
首先，非线性振动的频率特性是复杂的。
在非线性系统中，自由振动的频谱通常会出现各种谐波以及倍频。
这些谐波和倍频的出现是非线性系统对外界激励的非线性响应。
其次，非线性振动的幅频特性也是非线性的。
在非线性系统中，系统的响应幅值随着激励幅值的增加会产生非线性变化，比如出现硬化或者软化的现象。
最后，非线性振动还可能具有一些特殊的现象，比如倍周期运动、混沌现象等。
这些现象是线性系统所不具备的，对于非线性系统的研究具有重要的意义。
非线性振动的数学描述非线性振动通常可以通过微分方程来描述。
一般来说，非线性振动微分方程可以分为两类，一类是简单非线性，另一类是复杂非线性。
简单非线性是指各个分量之间只存在乘积关系的非线性项，比如二次项、三次项等。
复杂非线性则是指不仅存在乘积关系的非线性项，还存在其他一些非线性函数关系，比如正弦函数、指数函数等。
对于非线性振动问题，目前常用的数学分析方法有多种，比如周期平均法、多尺度方法、能量法等。
这些方法的应用使得非线性振动的研究更加深入和全面。
非线性振动的应用非线性振动的应用十分广泛。
首先，在机械工程领域中，非线性振动的研究成果被广泛应用于机械系统的优化设计和故障诊断中。
比如在飞机结构设计中，非线性振动的研究对于提高结构的稳定性和可靠性具有重要意义。
其次，在物理学和工程学中，非线性振动的研究也被应用于能量传递和信息传输等领域。
比如在能量收集和储存领域，非线性振动可以通过能量的分散和传递，实现机械系统能量的高效利用。
非线性振动系统在机械工程中的应用研究
非线性振动系统在机械工程中的应用研究摘要：非线性振动系统在机械工程中扮演着重要角色。
本文系统探讨非线性振动系统的定义、分类、特性以及在机械工程中的应用研究。
首先介绍了非线性振动系统的基本概念和数学模型；随后，以机械受力分析为例，详细阐述了非线性振动系统的应用；最后，分析了非线性振动系统研究的挑战和前景。
一、引言非线性振动系统是指在振动过程中，系统的响应与激励不成线性关系的振动系统。
在机械工程中，非线性振动系统广泛应用于结构分析、动力学仿真以及信号处理等领域。
本文将探讨非线性振动系统的定义、分类、特性以及在机械工程中的应用研究。
二、非线性振动系统的定义和分类非线性振动系统是指在固体力学中，系统的响应与激励不成线性关系的振动系统。
根据系统的非线性特性可将非线性振动分为两类：几何非线性振动和力学非线性振动。
几何非线性振动是指由于系统运动引起的结构几何形状的非线性变化而导致的非线性振动；力学非线性振动是指由材料的非线性特性或非线性干摩擦耗散机制引起的非线性振动。
三、非线性振动系统的特性非线性振动系统具有以下几个特性：1. 非周期性：与线性振动系统不同，非线性振动系统的响应一般是非周期性的，包含多个频率分量。
2. 非谐波响应：非线性振动系统的响应中存在非谐波分量，例如亚谐波、超谐波等。
3. 储能机制多样化：非线性振动系统可以通过各种非线性机制实现能量的转换和储存，如硬摆动、软摆动等。
4. 激活新频率：非线性振动系统中，存在共振点以外的新频率响应，称为超共振现象。
这一特性对于机械工程中的设计优化和振动控制具有重要意义。
四、非线性振动系统在机械工程中的应用研究主要表现为以下几个方面：1. 结构分析与优化：利用非线性振动系统的特性，可以对机械结构进行精确的动力学分析和优化设计，以提高结构的稳定性和性能。
2. 动力学仿真：采用非线性振动系统理论，进行系统的动力学仿真，可以对机械系统的运动性能进行预测和优化。
3. 信号处理与故障诊断：非线性振动系统的特征频率和谱线变化对于机械系统的故障诊断具有重要意义，利用非线性振动系统的特性，可以进行故障检测和诊断。
非线性机械振动系统的分岔与混沌运动
非线性机械振动系统的分岔与混沌运动非线性机械振动系统的分岔与混沌运动引言随着科学技术的进步，非线性现象在自然界和工程领域中的重要性日益凸显。
非线性机械振动系统是一种典型的非线性动力学系统，它具有分岔和混沌等复杂行为，对于深入理解和应用振动现象具有重要意义。
本文将从非线性机械振动系统的定义、特征、分岔与混沌运动等方面进行探讨。
一、非线性机械振动系统的定义及特征1. 非线性机械振动系统的概念非线性机械振动系统是指在振动系统中，发生能量转换、物体变形等过程中，受到非线性因素的影响导致振动呈现非线性特性的一类系统。
在非线性振动系统中，振动物体会产生各种非线性现象，比如分岔和混沌现象。
2. 非线性机械振动系统的特征非线性机械振动系统具有以下几个特征：（1）非线性现象的普遍性：非线性现象在机械振动系统中普遍存在，其程度会随着系统参数的变化而变化。
（2）振动的频率可变性：非线性机械振动系统的振动频率会随着激励振幅和频率的变化而发生变化，表现出频率响应的非线性特性。
（3）非周期性：非线性机械振动系统不仅会产生周期性的振动，还会产生非周期性的振动。
这种非周期性的振动通常表现为混沌现象。
二、非线性机械振动系统的分岔现象1. 分岔的概念分岔是指在非线性系统参数变化过程中，系统的动力学性质发生突变的现象。
分岔可以使系统从一个稳定状态变为另一个稳定状态，也可以导致系统的振动变得无限混乱。
2. 非线性机械振动系统的分岔类型非线性机械振动系统的分岔类型有很多，其中较常见的有：（1）鞍点分岔：当系统参数处于临界值附近时，系统从一个平衡态突然发生转变，并变为另一个稳定的平衡态。
（2）超临界哈希特分岔：当系统参数变化时，系统从一个平衡态跳动到两个不同的稳定平衡态，然后再跳变为另一个平衡态。
（3）和谐振荡分岔：当振动系统的参数达到某个临界值时，系统会由无穷大周期振幅跳变为有限的周期振幅，并出现周期倍增的现象。
（4）分叉分岔：当系统参数改变时，系统由振动状态向另一种振动状态转变，通常伴随着频率的突变。
机械振动第6章非线性振动
F (t ) f1 n cos(n t ) f 2 n sin(n t )
其中,
1 T /2 f1 n T / 2 F (t ) cos (n t ) d t T 1 T /2 f 2 n T / 2 F (t ) sin (n t ) d t T
n 1
2 T
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，
第五章 非线性系统的振动
5.1 非线性振动概述
5.2 非线性振动问题的主要特点 5.3 非线性振动问题的研究方法 5.4 分叉与混沌的概念
王卫滨
5.1 非线性振动概述
不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成 正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。 工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线 性振动系统往往是对非线性系统进行性 恢复力
非线性 激振力
5.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关
线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程
• 对于非线性系统
d n x1 x2 d n x1 d n x2 n n dt dt dt n
非线性振动研究非线性系统振动的学科
非线性振动研究非线性系统振动的学科非线性振动研究：非线性系统振动的学科非线性振动研究是物理学、工程学和应用数学中一个重要的学科领域。
它涉及到非线性系统中的振动现象，对于理解和分析各种实际问题具有重要意义。
本文将基于该主题，介绍非线性振动研究的基本概念和方法，以及它在各个学科中的应用。
引言振动是自然界中广泛存在的物理现象，从机械振动到电磁振动，都是非常重要的。
然而，在实际问题中，线性系统往往无法完全揭示振动行为。
非线性系统中的振动特性往往更为复杂，涉及到非线性的力学、电磁学和流体力学等多个领域。
因此，非线性振动研究成为了一个独立的学科领域，其目的是研究非线性系统中的振动现象以及相关的动力学行为。
非线性振动的基本概念非线性振动是指系统在受到激励或扰动后，不呈线性关系的振动现象。
与线性振动相比，非线性振动的特点在于其振幅与激励信号之间的关系不再是比例关系。
常见的非线性振动现象包括剧烈摆动、混沌振动以及非周期振荡等。
非线性振动的研究方法研究非线性振动的方法包括理论分析和数值模拟两种主要途径。
1. 理论分析理论分析是非线性振动研究的基础。
常见的理论方法包括广义福克斯-普朗克方程、极限环理论和多尺度分析等。
通过建立系统的数学模型，可以通过解析推导的方式研究其振动行为，得到系统的稳定性条件和振动特性。
2. 数值模拟数值模拟是研究非线性振动的重要手段之一。
借助计算机的计算能力，可以模拟非线性系统的振动行为。
常见的数值方法有有限元法、有限差分法和谱方法等。
这些方法可以通过离散化系统的动力学方程，利用计算机进行数值求解，从而得到系统的振动特性和动态响应。
非线性振动的应用非线性振动研究不仅在学术领域具有重要意义，还在实际工程和科学研究中得到了广泛应用。
1. 结构动力学非线性振动理论在结构动力学中有广泛的应用。
对于高层建筑、大型桥梁和飞机等结构，非线性振动的研究可以更准确地预测其动态响应和受力情况。
这对结构的设计、安全评估和损伤检测具有重要意义。
非线性振动理论在机械系统中的研究与应用
非线性振动理论在机械系统中的研究与应用非线性振动理论是研究机械系统中的振动现象的重要学科，其应用广泛，并对机械系统的设计和优化具有重要影响。
本文将探讨非线性振动理论在机械系统中的研究与应用。
一、非线性振动理论简介非线性振动理论是振动力学领域的重要理论分支，研究机械系统在非线性条件下的振动现象。
所谓非线性振动，是指机械系统在振动过程中存在非线性力或非线性刚度的情况。
与线性振动相比，非线性振动更加复杂，包含更多的现象和特性。
二、非线性振动理论的研究进展近年来，随着计算机科学和数值计算技术的快速发展，非线性振动理论的研究取得了重要的进展。
研究人员利用数值模拟和实验方法，对非线性振动进行了深入研究，揭示了许多非线性振动现象的本质和规律。
1. 非线性振动的特性非线性振动具有丰富的特性，包括周期倍增、共振、混沌等。
周期倍增是指当外部激励达到一定阈值时，系统振动周期将发生倍增现象。
共振是指当外部激励频率接近系统的固有频率时，系统振幅增大的现象。
混沌是指系统的运动状态具有不可预测性和无序性。
2. 非线性振动的控制非线性振动的控制是研究的重点之一。
通过调节系统参数或引入控制策略，可以实现对非线性振动的控制和抑制，提高系统的工作性能。
其中，最常用的控制方法包括单参数控制、多参数控制和混沌控制等。
3. 非线性振动的应用非线性振动理论的应用广泛存在于机械系统中。
例如，风力发电机组、航天器、汽车引擎等机械系统都存在着非线性振动现象。
非线性振动的研究可以帮助解决这些系统中的振动问题，改善系统的工作性能。
三、非线性振动理论的应用案例以下是一些非线性振动理论在实际应用中的案例。
1. 风力发电机组振动控制风力发电机组在运行时往往会受到气动力的影响而发生振动。
通过应用非线性振动理论，可以对风力发电机组进行振动控制，提高发电效率和稳定性。
2. 航天器姿态控制航天器在太空中的运动过程中会受到多种非线性力的作用，如引力、气动力等。
非线性振动理论可以帮助设计航天器的姿态控制系统，使其在运行过程中能够保持稳定的姿态。
非线性振动特性在机械设计中的应用研究
非线性振动特性在机械设计中的应用研究一、引言随着科学技术的不断进步和人们对高效、精确机械设备的需求日益增加，非线性振动的研究和应用也成为了一个热门领域。
非线性振动是指振动系统在振幅较大的情况下，不再满足线性系统方程的运动规律，而产生复杂的动力学现象。
非线性振动不仅在自然界中普遍存在，如心脏的搏动、风声的吹拂等，而且在工程实践中也有着广泛的应用。
二、非线性振动的基本特性非线性振动具有多种复杂的特性，其中一些特性对于机械设计而言具有重要意义。
首先，非线性振动系统表现出多样化的振动模态，振动频率与振幅之间的关系并非简单的线性关系。
其次，非线性振动系统具有强非线性特性，即振动系统的响应不再与激励成正比，而可能出现倍频、和谐倍频等非线性现象。
此外，非线性振动系统还可能出现共振失效、扩展稳定性等特性，使得系统的设计与分析过程更加复杂。
三、非线性振动在机械设计中的应用3.1 振动减缓与控制非线性振动在机械设计中的一个重要应用是振动减缓与控制。
在某些振动系统中，尤其是高速机械设备中，由于磨损、偏心等因素的存在，系统可能会出现强烈的振动，进而影响其正常运行。
针对这一问题，可以通过在系统中引入合适的非线性装置，如摆线专用齿轮、液压阻尼器等，来抑制振动的增长，提高系统的稳定性和工作效率。
3.2 激振与共振增强与振动减缓相反，非线性振动也可以被用来实现激振与共振增强效应。
大部分机械系统在工作过程中都需要一定的激励力量，以实现其预期的工作效果。
而利用系统的非线性响应特性，可以通过适当的频率与振幅激励，来引发系统的共振现象，从而实现更高的工作效率。
3.3 动力学分析与故障检测非线性振动可以提供更多的动力学信息，为机械系统的分析与故障检测提供了新的手段。
通过分析系统的非线性振动响应，可以判断系统的工作状态以及其中可能存在的故障，例如松动、摩擦力变化等。
这对于提高机械系统的可靠性、延长设备的使用寿命具有重要意义。
3.4 结构优化与设计创新非线性振动在机械设计中的应用还可以促进结构的优化与设计创新。
机械振动知识点
机械振动知识点机械振动是指任何机械系统中由于外部或内部的激励产生的不规则运动或波动现象。
机械振动的发生会对机械系统的正常运行造成影响，从而导致机械系统的损坏甚至是失效。
因此，掌握机械振动的相关知识对于机械工程师来说非常重要。
1.机械振动的产生原因机械振动的产生原因有很多，其中一些常见的原因包括：1.1.强制激励：机械系统受到外部的激励，例如电机和泵等设备的运转会产生强制激励，从而引起机械振动。
1.2.自然频率：当机械系统的运动频率等于其自然频率时，会产生自由振动，这种振动是由系统自身的特性决定的。
1.3.非线性效应：当机械系统中存在非线性效应时，例如分段的弹簧和摩擦等，会引起机械振动。
2.机械振动的影响机械振动对机械系统的影响非常大，会导致许多问题，例如：2.1.噪音：机械振动会产生噪音，对于需要安静环境的生产或办公场所来说，这种噪音会带来不必要的干扰和影响。
2.2.机械损坏：当机械振动达到一定程度时，会导致机械系统的部件出现疲劳、断裂甚至是失效，严重时会造成设备损坏。
2.3.安全问题：机械振动会导致设备意外停机或部件松动等问题，这也会引起一定的安全问题。
3.机械振动的评价指标机械振动的评价指标主要有振动幅值、振动速度、振动加速度和频率等。
其中，振动幅值、振动速度和振动加速度是描述不同类型振动特性的量度。
3.1.振动幅值：振动幅值是指在某一时刻，振动系统的振动位移的最大值。
对于机械系统来说，振动幅值越大，系统的损坏和失效风险也就越高。
3.2.振动速度：振动速度是运动的速率，即在某一时刻机械系统的振动速度的值。
振动速度常常用于描述与轴承、齿轮等部件相关的振动。
3.4.频率：频率是指机械振动中振动周期的数量，通常以赫兹（Hz）为单位表示。
频率可以帮助我们分析机械振动的原因，例如分析自然频率和强制频率等。
4.机械振动的控制和减少掌握机械振动的控制和减少方法可以有效地保护机械系统，延长机器的寿命，节约成本。
机械系统中的非线性振动与控制研究
机械系统中的非线性振动与控制研究引言：机械系统是由多个相互作用的部件构成的复杂系统。
其中一种重要的动力学现象是振动，它对于机械系统的设计和性能具有重要影响。
传统研究主要集中在线性振动和控制上，但实际工程中的机械系统往往是非线性的。
因此，研究机械系统中的非线性振动与控制具有重要意义。
一、非线性振动的基本概念非线性振动是指机械系统在受到外界激励或内部能量转换的作用下，振动响应不符合线性叠加原理的现象。
与线性振动相比，非线性振动具有更加复杂的动力学行为。
一般来说，非线性振动会导致频谱分析的变形，产生频率倍增、混频等现象。
此外，非线性振动还可能引发周期运动、混沌运动等。
二、非线性振动的来源非线性振动的来源主要包括系统的刚性非线性、摩擦非线性、弹性非线性和流体力学非线性等。
系统的刚性非线性是指系统的刚度随着变形而变化；摩擦非线性是指系统中的摩擦力随速度的变化而变化；弹性非线性是指系统中的弹性力随位移的变化而变化；流体力学非线性是指系统中的流体力学效应导致的非线性行为。
三、非线性振动的控制方法为了解决非线性振动对机械系统造成的问题，研究人员提出了许多控制方法。
其中，最常用的方法包括线性化控制方法、非线性控制方法和自适应控制方法等。
线性化控制方法是将非线性系统线性化，然后设计线性控制器来控制振动。
这种方法适用于振动幅度较小的情况，但对于幅值较大的非线性振动，线性化控制方法可能出现失效的情况。
非线性控制方法是直接处理非线性振动，通过设计非线性控制器来实现振动的抑制或控制。
这种方法相对于线性化控制方法更加复杂，但可以应对更广泛的非线性振动情况。
自适应控制方法是一种基于系统参数变化的控制方法。
通过实时地估计系统的参数，并根据参数估计值进行控制，从而实现对非线性振动的控制。
这种方法具有强鲁棒性，但对于参数估计的准确性要求较高。
四、非线性振动的应用非线性振动的研究不仅仅是理论上的探索，还具有广泛的应用价值。
比如，在旋转机械中，非线性振动会导致机械的疲劳破坏和失效，因此需要对非线性振动进行控制，以延长机械的使用寿命。
非线性振动
α
1
x
F = F0 c o s ω t
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Phase modulation stiffness increase
& x
α
x
1 0.8 0.6
F = F0 c o s ω t
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -4
-2
0
2
4
6
8
10
∂P & & m && + cx + x = em ϕ 2 co s ϕ ∂x ∂P & && + cy + & my = em ϕ 2 sin ϕ ∂y
cs ks
kr
cr
m
e
ϕ
kr
ψ
ρ Or
cr
Os
ρ
Vibrating System
Driving System
cs
ks
Phase difference and vibration energy
线性与非线性机械振动的比较
机械振动的形成 ——惯性 惯性+ ——惯性+恢复力
维持系统的运动 运动状态 惯 性：维持系统的运动状态 恢复力：维持系统的平衡状态， 平衡状态 恢复力：维持系统的平衡状态，恒指向平衡位置
k1
m
k2
线性与非线性系统遵循同样的物理原理
2
线性系统具有简单的‘特征’ 线性系统具有简单的‘特征’简谐运动 运动微分方程的建立
2 && rθ + ( g sin ϕ − aω0 cos ϕ sin ω0t )sin θ = 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第6章单 非线性振动 非线性振动与线性振动的区别 线性振动 自由振动频率与初始条件无关 强迫振动频率与激励力频率相 等 稳定平衡位置附近的运动是稳 定的 强迫振动中每个激励频率 有一个对应的振幅 叠加原理成立
6.1 非线性振动概述
非线性振动 自由振动频率与振幅有关 强迫振动频率成分复杂，有时 与激励频率不相等的频率成分 突出 稳定平衡位置附近具有多种 稳定和不稳定运动 强迫振动中幅频与相频曲线 发生弯曲，产生多值性
非线性振动研究的基本内容之一就是建立对真实振动系统的计算方法， 改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。
非线性振动的研究方法
非线性振动研究的方法有：定性分析、定量分析和数值分析方法。 定性法
研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时 间历程。通常采用几何方法描述系统的运动特征。
定量法 通过一些渐近的解析方法研究系统运动的时间历程。 数值法 通过数值计算方法研究系统非线性振动的规律和现象。
材料非线性 几何非线性 非线性阻尼 负刚度负阻尼
非线性特性
振幅过大超出材 料线弹性范围 位移或变形过大使结 构几何形状显著变化 材料内摩擦阻尼、流体 阻尼等都是非线性阻尼 有些情况下会存在 负刚度和负阻尼
第6章 非线性振动 非线性振动研究的内容
6.1 非线性振动概述
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
u1 u2 从式 ln ln 可得到相轨迹方程 u 2 C u 1 u10 u20
u1 u10 el1t l2 t u2 u20 e
相轨迹为指数曲线族。 当 l1>0>l2 ，即两个本征 值异号时，<0，除了 u1=0的相迹趋向于原点外， 其余相迹都远离原点，根 据稳定性的定义，平衡点 为不稳定奇点，称为鞍点。 对应于负刚度的情况。
鞍点
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
当 > 0，即两个特征值同号时，奇点为结点。当 两个特征值都为负时，当 t → ∞时，所有的轨线趋向于 原点，因此，奇点是稳定结点，系统的运动是渐近稳定 的。而当特征值同为正时，奇点是不稳定结点。
u1 u10 el1t u2 u20 el2t
第6章 非线性振动 相轨迹方程为
6. 2 非线性振动的定性分析方法
u20 u2 u1 u10
相轨迹为直线族。 当 两个特征值小于零 时相迹的方向指向原 点，奇点为稳定节点； 当 两个特征值大于零 时相迹的方向远离原 点，奇点为不稳定节 点 。
u1 u10 e l 1 t l t u 2 u 20 e 1
线性变换后的方程 上式的解为
u1 l1u1 u 2 l 2 u 2
u1 u10 el1t l2 t u2 u20 e
l2 l
解的两边分别对时间求导，并消去时间t，可以得到
d u2 u2 d u1 u1
其中
1
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
两边对时间求导
将直角坐标变换成极坐标
u1 rei u2 rei
方程可写为
u1 rei i r ei 2 re i i r e i u
u1 ( i )re i 2 ( i )re i u
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
r r0 e t 0 t
记系数矩阵
( X 1 , X 2 ) a11 a12 A ( x1 , x2 ) a21 a22
其中
Xi ai j xj (i, j 1, 2)
xj 0
第6章 非线性振动 引入向量
6. 2 非线性振动的定性分析方法
x ( x1 , x2 )T
设e1和e2是在原点的领域中小到可以忽略，则可以用
u1 u10 el1t 改写成 t 1 ln u1 和 t 1 ln u2 或把解 l 1 u10 l 2 u20 l2 t u2 u20 e
则有 1 ln u1 1 ln u2
l1
u10
l2
u20
或
l2 u1 u2 ln ln l 1 u10 u20
u1 u2 ln 设 = l 2 / l 1 ，则有 ln u10 u20 u1 u2 或 ln ln u10 u20
下列线性化方程讨论非线性方程在原点附近的稳定性：
x Ax
作非奇异线性变换
xBu
则方程可以写为
u Ju
其中
J B 1 AB
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
选择合适的B，可使变换后的矩阵J 为若当标准型， 可以证明，矩阵J与矩阵A有相同的特征值。
下面讨论矩阵J 的特征值与奇点特性的关系。 l1 0 J 有不相等的实特征值l1和l2，则有 J 0 l2
稳定
若这个平凡解是Lyapunov稳定的， 稳定性的几何解释 而且 lim x (t ) 0 ，则解是渐近稳定的。
t
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
讨论一单自由度自治系统的自由振动，其动力学方程 的一般形式为：
q f (q, q) 设 q x1 ， q x2 和 x2 X1 ， f X 2 ，上式可以 写为状态变量的一阶微分方程组：
u2与u1相比是无穷大量。相迹 在原点与u2轴相切，所有相迹的方 向都指向原点，因此，奇点是稳定 结点。 当l1 > 0 时，奇点是不稳定结点。
（ < 0）
（ > 0）
稳定结点
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
若J 有共轭复根
则有
l1,2 i
0 i J 0 i
叠加原理不成立
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
设n自由度系统的运动微分方程为
qi (t ) fi (q1, q2 , ...; qn , q1, q2 , ..., qn; t )
(i 1, 2, ..., n)
其中， qi是广义坐标，fi是广义坐标和广义速度的非线性函数。 位形空间 由变量qi规定的n维笛卡儿空间称为位形空间。方程的解qi(t) 可用位形空间的n维矢量表示。
第6章 非线性振动 自治系统和非自治系统
6. 2 非线性振动的定性分析方法
Xi中没有一个显含时间t 时，系统称为自治系统， Xi中至 少有一个显含时间t 时，系统称为非自治系统。 普通点和奇异点
T 2 凡是{ X } { X } X i 0的点称为普通点、相点或正则 2n
点；而{X} ＝{ 0 }的点称为奇异点或平衡点。
相平面上个别的平衡点就是以下方程的解：
X1 ( x1 , x2 ) 0, X 2 ( x1 , x2 ) 0
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
不失一般性，将坐标原点移至奇点处，并将函数在奇 点（0，0）附近展开为泰勒级数，得到：
X 1 ( x1 , x2 ) a11 x1 a12 x2 e1 ( x1 , x2 ) X 2 ( x1 , x2 ) a21 x1 a22 x2 e 2 ( x1 , x2 )
振动理论及其应用
第6章 非线性振动
6.1 非线性振动概述
6.2 非线性振动的定性分析方法 6.3 非线性振动的近似解析方法 6.4 非线性振动的数值分析方法 6.5 分叉与混沌的概念
第6章 非线性振动
6.1 非线性振动概述
非线性系统
当真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或阻尼元 件的力与运动速度之间的关系不满足作线性关系时，系统的运动微分方程不 能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可 忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
u1 u10 e l 1 t l t u2 (u20 u10t ) e 1
上述两式相除，并消去时间 t可得
u1 u2 u20 ln u1 u10 l1 u10 当特征值l1 < 0 时， u20 0 u2 lim lim u t 0 t u t 1 10
因而 r r
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
r r
此方程的通解为
r r0 e t 0 t
此时的相轨迹为围绕奇点 的螺旋线，奇点为焦点。 当 < 0 时为稳定焦点，运动 是渐近稳定的， > 0 时是不稳定 焦点。 稳定焦点
方程可写为 xi (t ) X i ( x1 , x2 , ..., x2 n , t ) 或 {x} { X }
则矢量{x}可唯一表示系统在任一时刻t的状态。 相空间 由变量qi和 q i 规定的2n维空间称为状态空间或相空 间。
q 设 qi xi ， i xn i 和 xn i X i，fi X n i
设由 xi 规定的相空间的原点与平衡点重合，则系统的运 动幅度定义为原点到扰动解积分曲线上任何一点的距离：
1 T 2 2 x ({ x} {x}) xi i 1
2n
1 2
渐近稳定
Lyapunov稳定性定义
不稳定
若给定任意小的正数e，存在正数 d，对于一切受扰运动，只要其初始扰 动满足 x(t0 ) d，对于所有的 t t 0 均满足 x(t ) e ，则称平凡解是稳定 的。