设出“关键点”的坐标,“量化”函数中的几何图形
专业基础知识点
专业基础知识点一、知识概述《函数的基础知识点》①基本定义: 函数呢，就好比是一个机器，你给它一个输入的值（这个叫自变量），它就按照一定的规则给你一个输出的值（这个叫因变量）。
比如说，有个函数是y = 2x，x就是自变量，当你给x一个数，像x = 3的时候，按照规则（乘以2），y就等于6了。
②重要程度: 在数学学科里，函数就像一根线，贯穿了好多知识板块。
代数里有它，用来建立数量关系；几何里也会用到，比如描述图形的变化规律。
可以说不懂函数，数学的好多事儿都不好整。
③前置知识: 要理解函数，得先把基本的数的运算整明白，像加法、乘法啥的，还有变量的概念得清楚，知道一个数可以用字母代替来代表不同的值。
④应用价值: 在生活中可有用了呢。
就拿买东西来说，假如苹果每斤5元钱，设买的斤数是x，总价y就是函数y = 5x。
根据这个函数，你就能知道买不同斤数时的总价了。
二、知识体系①知识图谱: 在数学里，函数可是个很基础但很庞大的概念。
它和代数式、方程啥的都有关系。
它上面能延伸出各种各样的函数类型，像一次函数、二次函数，下面又有常量、变量这些概念作为支撑。
②关联知识: 跟方程就有联系，方程有时候就是函数的一种特殊情况，当函数的输出值被规定的时候就成了方程，比如函数y = 2x，让y = 6，那就成了方程2x = 6了。
与几何图形的联系也不少，像函数可以描述直线的斜度等。
③重难点分析: 掌握难度挺高的。
关键点在于理解自变量和因变量的关系，还有函数的定义域和值域这些概念。
函数的图像也比较难搞明白，因为得有想象空间。
④考点分析: 在考试里超级重要。
会考查函数的定义，像给你个关系，让你判断是不是函数；还会考查函数的求值，包括已知自变量求因变量，或者相反；甚至还考函数的图像，让你画图或者根据图像回答问题。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析: 函数就是两个集合（自变量的集合和因变量的集合）之间的一种对应关系，每一个自变量只能对应一个因变量，但一个因变量可以对应多个自变量。
中考数学复习专题八二次函数的综合探究(压轴题)
第二部分 专题综合强化
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1 ． (2017 潍 坊 ) 如 图 1 ， 抛 物 线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 经 过 平 行 四 边 形 ABCD 的 顶 点 A(0,3)，B(－1,0)，D(2,3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l，将平行四 边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线 上一动点，设点P的横坐标为t.
第二部分 专题综合强化
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如答图 1，作 PH⊥x 轴，交 l 于点 M，作 FN⊥PH，
∵P 点横坐标为 t，
∴P(t，－t2＋2t＋3)，M(t，－35t＋95)，
∴PM＝－t2＋2t＋3－(－35t＋95)＝－t2＋153t＋65，
答图1
∴S△PEF＝S△PFM＋S△PEM＝12PM·FN＋12PM·EH＝12PM·(FN＋EH)＝12(－t2＋153t＋
答图3
∴APKQ＝KPQE，即－t2＋t2t＋3＝－3t2－＋t2t，即 t2－t－1＝0，解得 t＝1＋2 5或 t＝1－2 5
＜－52(舍去)，
综上，可知存在满足条件的点 P，t 的值为 1 或1＋2
5 .
第二部分 专题综合强化
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类型2 二次函数与规律探究性问题 特征与方法：抛物线中的规律探究性问题通常在题中字母的下标出现字母n或年 份，题目新颖，考查的知识点较多，有很浓的初高中衔接的味道，成为江西省中考 数学试题的一道主菜．解决此类问题应遵循从特殊到一般的思维方法，也就是从简 单情况出发探究抛物线上关键点满足的规律，然后归纳出一般情况．
第二部分 专题综合强化
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【例2】 (2018原创)在平面直角坐标系中，有一组有规律的点：
数形结合思想在函数中的应用_2
数形结合思想在函数中的应用（江苏省泰州市海军中学杨金宝 225300）数形结合是数学研究的重要方法之一，是转化的数学思想的重要体现。
数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方面，前者初中阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。
本文从两方面探讨数形结合思想在初中数学中的应用。
（一）数形结合的简介中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
（二）函数数形结合的应用1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。
不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。
例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。
假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。
请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。
函数图像高考知识点总结
函数图像高考知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个重要概念，函数的概念在高中数学中有着很重要的地位。
函数的概念是传递和扩展我们数学知识，从而推广了我们对数学问题的认识，为我们更好地探求数学规律打下了坚实的基础。
函数的概念最早来源于19世纪的数学家勒贝格的研究成果，函数的概念对于我们学习数学中的其他知识将会起到很大的帮助。
下面来详细介绍一下函数的概念。
1、函数的定义函数是一种特殊的关系，他只有一个自变量，并且每个自变量都对应唯一一个因变量。
函数符号y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)为函数。
函数的符号表示是：y=f(x)或y=y(x)，这里y表示因变量，x表示自变量，f表示函数名称，称为函数符号。
在函数y=f(x)中，x的取值范围称为定义域，y的所有可能取值构成的s称为值域，定义域与值域构成一个对应关系称为函数的定义域和值域。
定义域和值域的关系对函数的研究非常重要，这是我们学习函数的一个关键点。
只有知道了函数的定义域和值域，我们才能更好的对函数进行研究。
2、函数的图像函数的图像是指函数的自变量和因变量之间的关系所表现出来的几何图形。
函数的图像是我们理解函数的重要手段之一，通过函数的图像我们可以直观地了解函数的性质和特点。
函数的图像在我们学习函数的时候起重要的作用，通过函数图像我们可以更好的理解函数的性质。
二、函数图像的性质函数图像有很多重要的性质，这些性质对于我们理解函数图像具有非常重要的作用。
下面我们来详细介绍一下函数图像的性质。
1、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称还是关于原点对称。
如果函数的图像关于y轴对称，那么函数是偶函数；如果函数的图像关于原点对称，那么函数是奇函数。
通过函数的奇偶性，我们可以更好的理解函数的性质。
2、函数的周期性函数的周期性是指函数的图像在一定范围内具有重复的规律性。
如果函数的图像在一个固定的范围内有重复的特点，那么这个函数就具有周期性。
geometry函数
geometry函数一、介绍geometry函数是一个用于处理几何图形的函数，它可以实现一系列几何图形的计算和操作。
几何图形是指二维或三维空间中的点、线、面等物体，是数学和物理学中重要的研究对象。
geometry函数可以帮助我们在程序中轻松地处理各种几何图形，包括计算它们的面积、周长、体积等。
二、基本概念在使用geometry函数之前，我们需要了解一些基本概念：1. 点：在二维平面上表示为(x,y)，在三维空间中表示为(x,y,z)。
2. 直线：由两个点确定，在二维平面上通常用斜率截距式表示为y=kx+b，在三维空间中通常用参数方程表示为x=x0+t*a,y=y0+t*b,z=z0+t*c。
3. 圆：由一个圆心和半径确定，在二维平面上通常用标准式表示为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，在三维空间中通常用参数方程表示为x=a+r*cos(t), y=b+r*sin(t), z=c。
4. 矩形：由四个顶点确定，在二维平面上通常用左下角坐标和右上角坐标表示为(x1,y1,x2,y2)，在三维空间中通常用六个面的坐标表示为(x1,y1,z1,x2,y2,z2)。
5. 三角形：由三个点确定，在二维平面上通常用三个顶点坐标表示为(x1,y1,x2,y2,x3,y3)，在三维空间中通常用三个顶点坐标表示为(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3)。
6. 多边形：由多个点确定，在二维平面上通常用顶点坐标数组表示，每个顶点的坐标为(x[i],y[i])，在三维空间中通常用顶点坐标数组表示，每个顶点的坐标为(x[i],y[i],z[i])。
7. 立体图形：包括球体、立方体、圆柱、圆锥等，在三维空间中通常用各自的参数方程表示。
三、函数列表geometry函数包含以下几种类型的函数：1. 点相关函数：包括计算两点之间距离、计算两点之间的中点、判断一个点是否在某条直线上等。
2. 直线相关函数：包括计算两条直线之间的夹角、计算两条直线是否相交、计算一条直线与一个矩形是否相交等。
fme 对几何顶点坐标进行计算
fme 对几何顶点坐标进行计算计算几何顶点坐标是计算机图形学和计算机视觉的基本问题之一。
在这篇文章中，我们将介绍一种常用的技术，即特征匹配和极线约束，来计算两幅图像之间的几何变换，从而计算出目标物体的3D坐标。
首先，让我们来了解一下几何顶点坐标计算的一些基本概念。
在计算机图形学中，一个物体的3D坐标通常用一个三维向量表示，即(x, y, z)。
在计算机视觉中，一个物体的2D坐标通常用一个二维向量表示，即(u, v)。
几何顶点坐标计算的目标是将一个物体在3D空间中的坐标转换为在图像中的坐标。
在计算几何顶点坐标之前，我们首先需要进行特征匹配。
特征匹配是一种在两幅图像中找到相似特征点的技术。
常用的方法是使用SIFT或SURF算法来提取图像的特征点，然后使用描述子向量来描述每个特征点。
接下来，我们可以使用特征点的描述子向量来计算两幅图像之间的相似度，进而找到相似的特征点对。
特征匹配后，我们可以使用极线约束来计算几何变换。
极线约束是指两幅图像中相似特征点构成的线在另一幅图像中的对应线的投影。
通常情况下，我们假设两幅图像的相机是均匀的，即成像平面与相机光心的距离相同。
在这种情况下，两幅图像中的相似特征点的对应线会经过一个固定的点，这个点称为极点。
通过计算两幅图像中相似特征点对应线的极线，我们可以得到极线的方程。
然后，我们可以使用极线方程来计算两幅图像之间的相似性。
在计算了极线约束之后，我们可以使用三角化来计算几何顶点坐标。
三角化是指根据两幅图像之间的特征点对和它们之间的几何约束来计算3D点的坐标。
常用的方法是使用线性三角化算法，通过计算两幅图像中相似特征点对应线的交点来计算3D点的坐标。
需要注意的是，几何顶点坐标的计算是一个迭代的过程。
首先，我们可以通过计算两幅图像之间的特征点对来得到几个粗略的3D点。
然后，我们可以使用迭代算法来优化这些3D点的坐标，使其满足几何约束。
常用的迭代算法是最小二乘法或非线性优化算法。
反比例函数与几何综合(一)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：思考反比例函数与几何综合的处理思路是什么？问题2：什么是关键点？问题3：将函数特征与几何特征联系起来的桥梁是什么？问题4：围绕关键点以及横平竖直线段长将几何特征与函数特征结合分析时有几种方式？分别是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：思考反比例函数与几何综合的处理思路是什么？答：反比例函数与几何综合的处理思路：①从关键点入手．通过关键点坐标和横平竖直线段长的互相转化可将函数特征和几何特征综合在一起进行研究．②对函数特征和几何特征进行转化、组合，列方程求解．若借助反比例函数模型，能快速将函数特征转化为几何特征．问题2：什么是关键点？答：关键点是几何图形与函数图象的交点，在处理反比例函数与几何综合的问题时从关键点入手分析．问题3：将函数特征与几何特征联系起来的桥梁是什么？答：通过关键点坐标与横平竖直线段长的相互转化，可将函数特征与几何特征综合起来一起进行研究．问题4：围绕关键点以及横平竖直线段长将几何特征与函数特征结合分析时有几种方式？分别是什么？答：可以采用两种方式：①根据函数特征设出坐标，表达线段长，利用几何特征建等式；②根据几何特征设出线段长，表达坐标，代入函数建立等式．反比例函数与几何综合（一）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，直线与双曲线在第一象限内的交点为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积之比为4：1，则k的值为( )A. B.C.2D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合2.如图，均是等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，斜边都在x轴上，则点的坐标是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合3.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A(3，0)，B(0，6)分别在x 轴，y轴上，反比例函数（x＞0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为( )A.(1，14)B.(2，8)C.(2，7)D.(1，16)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合4.如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数（x<0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为( )A.-6B.-8C.-9D.-12答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合5.如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为( )A.2B.4C.6D.8答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合6.如图，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA=3BC，则k的值为( )A.3B.6C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合7.如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于( )A.60B.80C.30D.40答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合8.直线y=-2x-2与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，过点B作x 轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为( )A.-1B.-2C.-4D.-8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合。
2022高考数学立体几何—空间中的动点问题
立体几何—空间中的动点问题专题综述空间中的动点问题是指在一定的约束条件下，点的位置发生变化，在变化过程中找出规律，将动点问题转化为“定点”问题、将空间问题转化为平面问题、将立体几何的问题转化为解析几何的问题等,目的是把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中去.立体几何中考查动点问题，往往题目难度较大，渗透化归与转化思想，对学生的逻辑推理能力要求较高.一般考查动点轨迹、动点的存在性、定值、范围、最值等问题，除了利用化动为定、空间问题平面化等方法，在几何体中由动点的变化过程推理出结果以外，也可以通过建系，坐标法构建函数，求得结果.专题探究探究1：坐标法解决动点问题建立空间直角坐标系，使几何元素的关系数量化，借助空间向量求解，省去中间繁琐的推理过程.解题步骤与空间向量解决立体几何问题一致，建立适当的空间直角坐标系由动点的位置关系，如在棱上或面内，转化为向量的关系，用参数表示动点的坐标通过空间向量的坐标运算表示出待求的量若求最值或取值范围，转化为函数问题，但要注意自变量的取值范围.一般坐标法用于解决动点的存在性问题、求最值、求范围问题.说明：对于求最值、范围问题，也可以直接通过几何体中的某个变量，构建函数，求最值或范围.(2022湖北省宜昌市模拟) （多选）在正方体1111ABCD A B C D -中，点为线段1AD 上一动点，则（ ）A. 对任意的点，都有1B D CQ ⊥B. 三棱锥1B B CQ -的体积为定值C. 当为1AD 中点时，异面直线1B Q 与所成的角最小D. 当为1AD 中点时，直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角最大【审题视点】以正方体为载体考查定点的定值、最值问题，正方体便于建立空间直角坐标系，可选择用坐标法解决.【思维引导】选项，可以用几何知识证明；选项，设出点坐标，用坐标表示出异面直线成角的余弦值或线面角的正弦值，求最值，得出点位置.【规范解析】解：对于：连接，1.CD因为在正方体1111ABCD A B C D -中， 1B D ⊥平面1ACD ，CQ ⊂平面1ACD ， 1B D CQ ⊥，故正确； 对于：平面11//ADD A 平面11BCC B ，平面11ADD A 与平面11BCC B 的距离为正方体棱长，1123111326B B CQ Q BCB V V a a a --==⨯⋅=，为定值，故正确； 对于：以为坐标原点，直线分别轴，建立空间直角坐标系如下图：用一个参数表示动点的坐标，并求出参数范围，即为函数定义域设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，()[](),0,20,2Q x x x -∈，则1(2,2,2)B ， ()2,2,0B ， (0,2,0)C ， 因此()12,2,B Q x x =---， ()2,0,0BC =-， 设异面直线1B Q 与所成的角为θ，则当时，，当时，当时，故当与1D 重合时，异面直线1B Q 与所成的角最小，故不正确；对于： ()12,2,B Q x x =---， 又是平面11BCC B 的一个法向量，设直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角为α，则，所以当1x =时，sin α取得最大值63，而0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因此α取得最大值，即当为1AD 中点时，直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角最大， 故正确. 故选.ABD【探究总结】典例1是一道典型的研究动点问题的多选题，难度中等，但能够反映出坐标法研究最值范围问题的思路.建系设坐标，写出参数范围 根据向量运算构造函数求最值.转化为函数求最值，求出当函数取最值时的x 的值(2021安徽省蚌埠市联考) 已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面绕着轴1OO 逆时针旋转(0)θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点.P（1）求曲线Γ长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面的距离；（3）证明：不存在(0)θθπ<<，使得二面角D AB P --的大小为.4π 探究2：化动为定点的位置在变化的过程中，有些量或位置关系是不变的，比如点到平面的距离不变，从而使几何体的体积不变；动点与另外一定点的连线与某条直线始终垂直，与某个平面始终平行.在证明体积为定值、证明位置关系时，要动中寻定，将动态的问题静态化：将动点转化为定点，寻找动直线所在的确定平面，从而解决问题.答题思路：1.动点到平面的距离为定值：证明平面，动点到平面的距离即为定点到平面的距离；2.为动点，为定点，证明：证明所在平面与垂直；3.为动点，为定点，证明平面：证明所在平面与平面平行.(2021湖南省四校联考) 在正三棱柱中，,，分别为的中点，P 是线段DF 上的一点．有下列三个结论：①平面；②;③三棱锥的体积时定值，其中所有正确结论的编号是 A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【审题视点】求证关于动直线的线面平行或线线垂直，三棱锥的体积为定值问题，要化动为定.【思维引导】证明动直线所在平面与已知平面平行；证明定直线与动直线所在平面垂直；寻找过点与平面平行的直线，即得出点到平面的距离.【规范解析】解：如图，对于①，在正三棱柱中，，分别为的中点，平面平面，由平面，得平面，故①正确；对于②，在正三棱柱中，平面平面，平面平面平面，，平面平面,故②正确；对于③，平面平面，平面到平面的距离为定值，而有为定值，故是定值,故③正确．故选D．【探究总结】线面平行，转化为面面平行异面直线垂直，转化为线面垂直体积的定值问题，转化点到平面的距离是定值，即通过线面平行或面面平行，得出动点到平面距离为定值立体几何证明中经常出现，求证关于动直线的线面平行与线线垂直问题，其思路是转化为证明动直线所在的定平面与其他平面或直线的位置关系.关键是分析动点,动线或动面间的联系,在移动变化的同时寻求规律.(2021云南省曲靖市联考) 如图所示的几何体中，111ABC A B C -为直三棱柱，四边形为平行四边形，2CD AD =，60ADC ∠=︒，1.AA AC =（1）证明：，1C ，1B 四点共面，且11A C DC ⊥；（2）若1AD =，点是上一点，求四棱锥的体积，并判断点到平面11ADC B 的距离是否为定值？请说明理由．探究3： 巧用极端位置由于点位置连续变化，使研究的图形发生连续的变化，利用点的位置变化“极端”位置，避开抽象及复杂的运算，得到结论.常见题型：1.定值问题：几何体中存在动点，但所求结果是确定的，即随着动点位置的改变不会影响所求的量，故可以考虑动点在极端位置的情况，优化解题过程.2.范围问题：几何体中存在动点，结果会随着动点位置改变而改变，当动点从一侧极端位置移动到令一个极端位置的过程中，所求量在增大、或减小、或先增后减、或先减后增，通过求出极端位置处的值，及最值，从而得出范围；3.探究问题：探究满足条件的点是否存在，也可以转化为求出范围，从而得出结论.(2021湖南省株洲市模拟) 在正四面体中, 为棱的中点, 为直线上的动点,则平面与平面夹角的正弦值的取值范围是 .【审题视点】本例可用极端位置法分析，也可以建系，用坐标法解决.【思维引导】借助极端位置分析，不难看出经过和底边中线的平面与平面垂直，点在移动的过程中，存在一个位置使平面与经过和底边中线的平面平行，即平面平面，此时两平面所成角为，角最大；当点移动到无穷远时，平面平面,此时两平面所成角最小.【规范解析】解：由下左图 设为的中心，为的中点， 则在正四面体中平面， 为中点，为的中点，，故平面连接，并延长交于点， 连接，并延长交于点， 则过点的平面交直线于点. 则平面平面 即平面与平面的夹角的正弦值为1，点从取最值的位置处移动至直线的无穷远处的过程中， 平面与平面的夹角逐渐减小，即当点在无穷远处时，看作， 如下右图 故平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角，求出其正弦值为. 综上可知:面与面的夹角的正弦值的取值范围为.【探究总结】借助极端位置解决典例3中的问题，首先利用几何知识，明确点在移动的过程中 ，所求量的变化情况，若在极端位置处取“最值”，问题就简化为求出极端位置处的值.(2021浙江省杭州市高三模拟)高为1的正三棱锥的底面边长为，二面角与二面角A PB C --之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化情况是（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大专题升华几何体中研究动点问题往往难度较大，开放性强，技巧性高.总体思路是：用几何知识，经过逻辑推理，证明位置关系或求出表示出所求量；或者建立空间直角坐标系，将几何问题代结合几何知识，两平面成角的变化过程，即动点从一个极端位置变化到另一极端位置时，夹角大小的增减情况在极端位置处取“最值”，直接求出点该处时的夹角的正弦值，即为范围区间的一个端点数化，用空间向量研究动点问题，省去了繁杂的推理环节，但计算量较大.解决动点问题的策略不局限与上述方法，常用的的方法还有：运用条件直接推算，借助条件将几何体还原到长方体中去；构造函数，数形结合；还将空间问题转化为平面几何解决，如化折为直、利用解析几何的知识解决. 但只要我们熟练掌握这些基本方法,并灵活加以应用,不仅能化繁为简,化难为易,而且还可以得到简捷巧妙的解法.【答案详解】 变式训练1【解答】解：（1）在侧面展开图中为的长，其中AB AD π==，∴曲线Γ的长为2;π（2）当2πθ=时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,1,0A -、()0,1,0B 、1,0,2P π⎛⎫- ⎪⎝⎭、()11,0,C π-， 、(1,1,)2AP π=-、1(1,0,)OC π=-设平面的法向量为(,,)n x y z =，则2002n AB y n AP x y z π⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 取2z =得(,0,2)n π=，所以点1C 到平面的距离为12||||4OC n d n ππ⋅==+； （3）假设存在满足要求的(0)θθπ<<， 在（2）的坐标系中，()sin ,cos ,P θθθ-，，设平面的法向量为111(,,)m x y z =，则111120sin (cos 1)0y x y z θθθ=⎧⎨-+++=⎩， 取11x =得sin (1,0,)m θθ=，又平面的法向量为(1,0,0)k =，由二面角D AB P --的大小为4π， 则|cos ⟨,m k ⟩2212|sin .21sin θθθθ==⇒=+ sin (0)2πθθθ<<<，0θπ∴<<时，均有sin θθ<，与上式矛盾．所以不存在(0)θθπ<<使得二面角D AB P --的大小为.4π 变式训练2【解答】（1）证明：因为111ABC A B C -为直三棱柱， 所以，且，又四边形为平行四边形，//BC AD ，且BC AD =，，且，四边形为平行四边形，，1B 四点共面；，又1AA ⊥平面，AC ⊂平面，，四边形11A ACC 为正方形，连接1AC 交1A C 于，，在ADC ∆中，2CD AD =，，由余弦定理得，，所以，AD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，1AA AD ⊥，，1AA ⊂平面11A ACC ，，AD ⊥平面11A ACC ，1AC ⊂平面11A ACC ，所以，又，平面，1A C ⊥平面， 1DC ⊂平面，（2）解：由（1）知：1A C ⊥平面，在Rt DAC 中，由已知得3AC =，，四棱锥的体积，//BC AD ，点到平面的距离为定值，即为点到平面的距离变式训练3【解析】解：设二面角为，二面角A PB C --为，当时，正三棱锥趋向于变为正三棱柱，；当时，正三棱锥趋向变为平面，.当正三棱锥为正四面体时，且，，故.当从小变大时，要经过从变为小于的角，然后变为的过程， 故只有选项符合. 故选：.床前明月光，疑是地上霜。
初中数学“函数”概念的难点在哪里？
初中数学“函数”概念的难点在哪里？初中函数的理解，大多与其他考点结合，以压轴题的出场方式与大家见面，可谓＂气势汹汹＂，但是不用害怕，知道它的难点和出题方向，有的放矢，攻破它不难。
下面我谈一下＂函数＂的难点在哪里？如何解决？一、一次函数的题型分析与解题技巧二、掌握函数的最值问题大多是以双动点为载体，探求函数最值问题。
因动点产生的最值问题与一般最值问题一样，主要是两种模型：1、利用一次函数的单调性和二次函数的对称性及增减确定一定范围内函数的最大或最小值；2、（1）两点之间连线中线段最短，凡求变动的两线段之和的最小值皆属此类问题；（2）三角形两边之差小于第三边，凡求变动的两线段之差的最大值皆属此类问题。
三、函数概念与不等式及方程的联合中考中函数、不等式与方程常联合出现在应用题中，通过这些思想、方法解决一些实际问题，一般题目难度都不会太大，所以这些分值必须抓住，分享一道道常规中考题。
【1】甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距离y与时刻t的对应关系，如图所示： (1)A、B两城之间的距离是多少千米？(2)求乙车出发后几小时追上甲车；(3)直接写出甲车出发后多长时间，两车相距20千米．四、函数与几何图形的结合在中考中，函数与几何图形综合探究题常作压轴题，题型难度较大，分享一道湖北的中考题，各位认真做一下，体会一下出题思路和解题方法。
【题目】如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋1经过点A(4，－3)，顶点为B.点P为抛物线上的一个动点，l是经过点(0，2)且垂直于y轴的直线，过点P作PH⊥l，垂足为点H，连接PO.(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；(2)①当点P运动到点A处时，计算：PO＝5，PH＝5，由此发现PO＝PH(填“＜”“＞”或“＝”)；②当点P在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；(3)如图2，设点C(1，－2)，问是否存在点P，使得以点P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．五、反比例函数与动点等结合有很多家长或学生反应反比函数是不是主要就是考其在图形面积求解这一块，感觉反比例函数很简单，中考也会这样出题出的这么简单？其实，除了几何面积外，与一次函数联合出题、动点问题等都是常考点，题目难度都不是很大，但也不算太简单。
探究高中数学中的解析几何中的点和直线的位置关系
探究高中数学中的解析几何中的点和直线的位置关系解析几何是数学中一个非常重要的分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质和关系。
而其中，点和直线的位置关系更是解析几何中的基本概念之一。
本文将深入探究高中数学中解析几何中的点和直线的位置关系。
首先，让我们来了解点和直线在坐标系中的表示方法。
在平面直角坐标系中，我们用有序实数对 (x, y) 表示平面上的一个点。
其中 x 表示该点在 x 轴上的横坐标，y 表示该点在 y 轴上的纵坐标。
通过这种表示方法，我们可以明确点在坐标系中的位置。
接下来，我们探讨直线在坐标系中的表示方法。
一条直线可以由一个方程来描述，这个方程通常是线性方程。
直线的方程有多种形式，最常见的是一般式方程、点斜式方程和截距式方程。
以一般式方程 Ax + By + C = 0 为例，A、B、C 是给定的实数常数，x 和 y 是变量。
通过这个方程，我们可以确定直线在坐标系中的位置和性质。
在点和直线的位置关系中，最常见的情况是点是否在直线上。
对于一条直线和一个点，我们可以通过代入点的坐标到直线的方程中来判断点是否在直线上。
如果代入后等式成立，则说明点在直线上；如果不成立，则说明点不在直线上。
这种方法也可以推广到判断一个点是否在两条直线的交点上。
在解析几何中，还有一种重要的位置关系是点和直线的相对位置。
当一个点与一条直线相交时，我们关心的是点和直线相对位置的几个重要性质：1. 点在直线上方还是下方：考虑直线的一般式方程 Ax + By + C = 0，对于一个给定的点 (x0, y0)，将其坐标代入方程中，得到 Ax0 + By0 + C 的值。
如果这个值大于0，则说明点在直线的上方；如果这个值小于0，则说明点在直线的下方；如果这个值等于0，则说明点在直线上。
2. 点在直线的左侧还是右侧：同样考虑直线的一般式方程 Ax + By + C = 0，对于一个给定的点 (x0, y0)，将其坐标代入方程中，得到 Ax0 + By0 + C 的值。
北师大版九年级下册数学《二次函数的应用》二次函数教学说课复习课件
探究活动
解：设少年宫人数为x人,营业额为y元,则 营业额 = 人数 x 票价 y=x[800-10(x-20)] =x[800-10x+200] =800x-10x2+200x =-10(x-50)2+25000答：当少年宫的人数为 50人时，少年宫可以获得最大的营业额。
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典例精析
例1 写出下列抛物线的最值.（1）y=x2-4x-5;
解：(1)∵a=1＞0，对称轴为x=2,顶点坐标为（2，-9）, ∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)y=-x2-3x+4.
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x= ,顶点坐标为（ ， ）, ∴当x= 时，y取最大值，最大值为 ;
最大利润问题
问题分析
总利润=每件商品利润×销售数量每件商品利润=售价-进价
【解析】 (1) 设：每件商品的售价为x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元。上涨后每件利润：(50+x-40)=(x+10)元，销售量为(210-10x)件商品（2) 根据题意可知y=(50+x-40)(210-10x)=(10+x)(210-10x) =-10(x-5.5)2+2402.5, 当x=5.5时，y有最大值, ymax = 2402.5（3) 设y=2200,解得x的值。然后分情况讨论解决
-3
(-2,-2) ●
● (2,-2)
4米
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解：建立如图所示坐标系,
由抛物线经过点（2，-2），可得
● (2,-2)
设二次函数解析式为
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知识要点
解决拱桥问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
python 关键点拟合曲线
python 关键点拟合曲线在Python中，进行关键点拟合曲线的常用方法是使用多项式拟合或样条插值。
多项式拟合：多项式拟合是通过将一组数据拟合到一个多项式函数来逼近原始数据。
在Python中，使用NumPy库中的polyfit函数可以进行多项式拟合。
以下是一个示例：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 原始数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([3, 5, 4, 6, 8])# 进行多项式拟合degree = 2 # 多项式的次数coeffs = np.polyfit(x, y, degree) # 拟合多项式的系数# 创建拟合函数poly_func = np.poly1d(coeffs)# 绘制原始数据和拟合曲线plt.scatter(x, y, label='原始数据')plt.plot(x, poly_func(x), label='拟合曲线')plt.legend()plt.show()在上述示例中，我们通过polyfit函数进行二次多项式拟合，得到拟合的系数。
然后使用poly1d函数创建拟合函数，并通过绘图函数将原始数据和拟合曲线显示出来。
样条插值：样条插值是一种通过连接一组控制点来生成平滑曲线的方法。
在Python中，使用SciPy库中的interpolate模块可以进行样条插值。
以下是一个示例：from scipy import interpolateimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 原始数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([3, 5, 4, 6, 8])# 进行样条插值spline = interpolate.splrep(x, y) # 计算样条曲线的参数# 生成插值曲线的数据点x_interp = np.linspace(x.min(), x.max(), 100) # 在原始数据的范围内生成等间距的点y_interp = interpolate.splev(x_interp, spline) # 计算插值曲线在生成点上的值# 绘制原始数据和插值曲线plt.scatter(x, y, label='原始数据')plt.plot(x_interp, y_interp, label='插值曲线')plt.legend()plt.show()在上述示例中，我们使用splrep函数计算样条曲线的参数，然后使用splev函数生成插值曲线的数据点。
中考数学：例析反比例函数的四个模型及其应用
例析反比例函数的四个模型及其应用近年来各省市中考都有考查反比例函数的难题，一般都放在选择题最后一题或填空题最后两个题的位置，属于中档偏上的题型.由于此类型的题目不仅要考察反比例函数的相关性质，而且常与其它几何图形相互结合考察几何图形特征，因此考察面较广又比较复杂，学生常常找不到解题突破口.笔者认为，这类题型解题方法是有章可循的.解决反比例函数的常用方法有:关键点法、模型法、设而不解法、面积不变性等.其中模型法的应用常常能让问题简单化，甚至能直接看出答案.下面笔者主要谈谈反比例函数的四个模型及其应用，供参考.一、反比例函数的四个模型(证明略)模型1(1)ABOC S k =矩形;(2)2ACO ABO ACN OBM kS S S S ∆∆∆∆====.图1图2模型2ABO AMNBS S ∆=梯形(1)(2)图3模型3AM BN =.模型4AM //BN .图4注以上四个模型中点A 、B 都是反比例函数上的任一点.二、模型的应用例1如图5，一次函数y ax b =+的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与反比例函数k y x=的图象交于C 、D 两点，过C 、D 两点分别作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E 、F ，连接,CF DE .有下列四个结论:①DEF ∆与CEF ∆的面积相等;②AOB ∆∽FOE ∆;③DCE ∆≌CDF ∆;④AC BD =.其中正确的结论是(填写序号).图5解析此题主要考察模型1,3.对结论①，,,,22DEF CEF DEF CEF kkS S S S ∆∆∆∆==∴=∴ ①正确;对结论②， DEF CEF S S ∆∆=，且两三角形同底，∴两三角形EF 边上的高相等，AB ∴∥,EF AOB ∴∆∽,FOE ∆∴②正确;结论③中， 找不到全等条件，∴③错误;对于结论④，直接运用模型3可得AC DB =,∴④正确.例2已知反比例函数(0)k y k x=>的图象与一次函数6y x =-+相交与第一象限的A 、B 两点，如图6所示，过A 、B 两点分别作x 、y 轴的垂线，线段AC 、BD 相交与P .给出以下结论:①OA OB =;②OAM ∆∽OBN ∆;③若ABP ∆的面积是8，则5k =;④P 点一定在直线y x =上.其中正确的结论是(填写序号).图6解析对于结论①，先求出直线6y x =-+与两坐标轴的交点坐标，可得出OEF ∆是等腰直角三角形，由模型3可得AE BF =，即OAE ∆≌OBF ∆，所以OA OB =，故①正确;对于结论②，AM OE ⊥,BN OF ⊥，且由①AOM BON ∠=∠，知OAM ∆∽OBN ∆，故②正确;对于③，设A (x ,6一x )，则B (6一x ,x )，P (x ,6一2x ).再由三角形的面积公式求出x 的值，故可得出A 点坐标.再根据点A 在反比例函数的图象上即可求出反比例函数的解析式.故③正确;对于④，由②得AM BN =，所以PD PC =.又因为,AC OF BD OE ⊥⊥，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以点P 在直线y x =上，故④正确.例3如图7，反比例函数(0)k y k x =>的图象与矩形ABCO 的两边相交于E 、F 两点，若E 是AB 的中点，2BEF S ∆=，则k 的值为.图7解析由模型4，可得EF //AC ，所以BEF ∆∽BAC ∆.又因为E 是AB 的中点，2BEF S ∆=,即:1:4,16BEF BAC AOCB S S S ∆∆==矩形,所以182AOME AOCB S k S ===矩形矩形,即8k =.例4(2013年重庆中考题)如图8，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，反比例函数(0)k y k x=>的图象与正方形的两边AB 、BC 分别交于点M 、N ,ND x ⊥轴，垂足为D ，连结OM 、ON 、MN .下列结论:①OAM ∆≌OCN ∆;②四边形DAMN 与MON ∆面积相等;③若45,2MON MN ∠=︒=，则点C 的坐标为2+1).其中正确的结论是(填写序号)图8解析对于①，由模型1可得2ONC OMA kS S ∆∆==,而OC OA =，则NC AM =;再根据“SAS ”可判断OCN ∆≌OAM ∆,故①正确;对于②，由模型2可得OMN DAMN S S ∆=四边形,故②正确;对于③，作NE OM ⊥于E 点，则ONE ∆为等腰直角三角形.设NE x =，则2OM ON x ==,221)EM x x x =-=.在Rt NEM ∆中，利用勾股定理，可求出222x =+,所以222)42ON x ==+易得BMN ∆为等腰直角三角形，得到222BN MN ==.设正方形ABCO 的边长为a ，在Rt OCN ∆中，利用勾股定理，可求出a 的值为21+,从而得到C 点坐标为2+1).故③正确.总之，利用反比例函数的以上4个模型，是处理反比例函数问题的重要方法之一，我们在教学中应该重视这些几何模型的掌握和应用.。
解析几何篇
解析几何篇本文介绍了在几何学教学中使用几何画板进行辅助制作的实例教程。
通过几何画板的使用，学生可以更直观地理解几何概念、观察几何现象，并进行实际操作和实践。
准备材料在进行几何画板教学辅助制作前，需要准备以下材料：1. 直尺2. 量角器3. 铅笔4. 色彩工具（例如绘图铅笔、彩色铅笔等）5. 纸张或几何画板制作步骤第一步：绘制几何图形1. 使用直尺和铅笔，在纸张或几何画板上绘制所需的几何图形。
2. 注意保持图形的准确性和比例。
第二步：标注关键点和线段1. 使用图形的关键点，标注出需要关注的点。
2. 使用直尺和铅笔，连接关键点，绘制出图形的线段。
第三步：填充色彩1. 使用色彩工具，在绘制的图形中进行填充色彩，以区分不同的部分。
2. 可以选择不同的颜色或纹理来表示不同的几何元素。
第四步：添加文字说明1. 使用铅笔或彩色铅笔，在绘制的图形旁边添加文字说明。
2. 文字说明可以包括图形的名称、关键点的坐标、线段的长度等相关信息。
第五步：展示和讲解1. 准备好制作完成的几何图形。
2. 在教学过程中，展示几何图形，并结合文字说明进行讲解。
3. 强调图形的特点、性质和应用。
注意事项- 制作几何图形时，要保持准确和规范，尽量使用专业的几何工具。
- 在讲解时，要清晰地表达几何概念，确保学生能够理解和跟随。
通过以上步骤，使用几何画板进行辅助制作可以帮助学生更好地理解几何概念，并提升他们的实践能力和观察力。
教师在教学过程中可以根据学生的理解程度进行适当的引导和讲解，加深学生对几何学的认识和兴趣。
例谈初中数学的数形结合解题策略
例谈初中数学的数形结合解题策略发表时间：2018-01-30T15:11:47.203Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2017年9月下作者：张怡红[导读] 数与形是数学中两个最基本的研究对象，数形结合就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来。
摘要：数与形是数学中两个最基本的研究对象，数形结合就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来。
这主要包括两方面的内容：一是“以形助数”，即数量关系借助于图形及其性质使之直观化、形象化，从而获得解题方法；二是“用数解形”，即将几何图形的问题经过数量化描述，借助代数计算获得解题方法。
关键词：数形结合；以形助数；用数解形数形结合思想在新课程背景下，有其广阔的应用空间。
“数”与“形”是数学中两个最基本的研究对象，每一个“形”中，即每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系，而“数”中又常常可以通过几何图形做出直观的描述和反映。
“数无形少直观，形无数难入微”，数形结合就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来。
就初中数学而言，数轴建立起实数与数轴上点之间的一一对应关系，使得一元代数式与一元方程、不等式有了直观的几何意义；平面直角坐标系建立起有序实数对与平面上的点之间的一一对应的关系，使任何一个二元方程或不等式都与平面曲线或平面区域相对应，函数及其图像诠释了这种对应关系；另外线段的长度、平面图形的面积、角的大小以三角函数度量等又从另一角度勾勒了数与形有机结合。
在数与形转换的理论基础上自然地产生了数形结合的解题策略：一是“以形助数”，即数量关系借助于图形及其性质使之直观化、形象化，从而获得解题方法；二是“用数解形”，即将几何图形的问题经过数量化描述，借助代数计算获得解题方法。
一、以形助数“以形助数”，即将代数问题转化成几何图形问题，由图形性质的启示抓住问题的本质，以达到解决问题的目的，从而提高分析问题、解决问题的能力。
1.利用数轴将代数问题转化成几何图形问题在初中阶段所学过的数的最大范围是实数，而点是最简单的几何图形，数轴恰好把这两个不同的事物有机地结合起来，使它们建立一一对应关系，数轴是解数形结合问题的强有力工具之一。
泰安中考数学 专题三 最值与定值(可编辑ppt)
出租车收费为15.5元,那么x的最大值是 ( B )
A.11
B.8
C.7
D.5
解析 由题意知8+1.5(x-3)≤15.5,解得x≤8,即他乘此出租车从
甲地到乙地行驶的路程不超过8千米.
方法技巧 (1)偶次方或偶次方根的最小值为0;(2)根据不等式 的解集确定不等式的最大或最小值;(3)根据函数自变量的取值范 围及函数的增减性确定函数值的取值范围,结合变量关系或者函 数图象,从而确定函数值的最大或最小值.
命题方向1 线段最值问题
例2 (2017泰安)如图,∠BAC=30°,M为AC上一点,AM=2,点P是AB 上的一动点,PQ⊥AC,垂足为点Q,则PM+PQ的最小值为 3 .
解析 作点M关于AB的对称点N,作NQ⊥AC于Q,交AB于P,
则NQ的长即为PM+PQ的最小值. 连接MN交AB于点D, 则MD⊥AB,DM=DN. ∵∠NPB=∠APQ, ∴∠N=∠BAC=30°.
2.将一张宽为4 cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形, 重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是( B )
8
A. 3 3
cm2
C.1 6
3
3
cm2
B.8 cm2 D.16 cm2
解析 如图,画出折叠前的长方形纸片,可知∠1=∠2=∠3,∴AB= AC,根据“垂线段最短”的性质可知,当AC⊥AB时,AC最短,为4
所以第10分钟时,学生的接受能力为59.
(3)第几分钟时,学生的接受能力最强?
解析 (3)当x=13时,y取得最大值,
所以在第13分钟时,学生的接受能力最强.
变式1-1 东营市出租车的收费标准:起步价8元(即行驶距离不超
西湖初中数学讲解
西湖初中数学讲解
标题：《深入浅出解析西湖初中数学重点知识点》
数学，作为基础学科之一，对于初中生来说更是培养逻辑思维、抽象思考能力的重要课程。
本文针对西湖地区初中数学教学大纲，对一些重点知识点进行深入浅出的讲解，希望对学生们理解和掌握数学知识有所帮助。
一、方程与不等式
方程与不等式是初中数学的基础内容。
在西湖初中的数学教学中，一元一次方程、一元二次方程以及不等式组是重点。
学生们需要掌握以下要点：
1.一元一次方程的解法：移项、合并同类项、系数化为1。
2.一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法。
3.不等式组的解法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了。
二、函数
函数是初中数学的核心内容，西湖初中的数学教学注重一次函数、二次函数以及反比例函数的学习。
以下是学习函数的关键点：
1.一次函数：斜率k、截距b的理解与应用。
2.二次函数：开口方向、顶点坐标、对称轴的判定。
3.反比例函数：k值对图像的影响。
三、几何图形
几何图形是初中数学的重要组成部分，西湖初中数学教学强调以下内容：
1.三角形：三角形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定。
2.四边形：平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质。
3.圆：圆的性质、弦、弧、圆周角、圆的内接四边形。
四、概率与统计
概率与统计是初中数学的应用部分，西湖初中数学教学注重以下知识点：
1.概率：随机事件、必然事件、不可能事件的概念，以及概率的计算方法。
2.统计：平均数、中位数、众数的概念与应用。
drawkeypoints()用法
drawkeypoints()用法在计算机视觉和图像处理领域，特征检测和描述符提取是图像处理中的重要技术，用于描述图像中的关键点。
OpenCV库中的drawkeypoints()函数，能够有效地将检测到的关键点在图像上进行绘制，使得这些关键点得以可视化。
本文将详细介绍drawkeypoints()函数的用法。
一、函数概述drawkeypoints()函数是OpenCV库中的一个函数，用于在图像上绘制关键点。
它接受两个主要参数：输入图像和关键点集合。
通过这些参数，函数可以在图像上标记出关键点的位置，以便于后续的特征匹配和识别。
二、函数参数1. 输入图像：需要绘制的图像，通常以矩阵形式传入。
2. 关键点集合：一个包含关键点坐标和相关信息的集合，通常由其他算法（如SIFT、SURF等）检测得到。
三、函数返回值函数返回一个布尔值，表示是否成功绘制关键点。
如果绘制成功，返回true；否则返回false。
四、使用示例以下是一个简单的使用示例：```pythonimport cv2# 读取图像image = cv2.imread('example.jpg')# 检测关键点（此处省略具体算法实现）keypoints = detect_keypoints(image)# 绘制关键点drawn_keypoints = cv2.drawKeypoints(image, keypoints, None)# 显示图像cv2.imshow('Image with Keypoints', drawn_keypoints)cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()```上述代码中，首先读取一张图像，然后使用检测算法检测出关键点，将关键点存储在keypoints变量中。
接着，调用drawKeypoints()函数将关键点绘制在图像上，并将结果显示出来。
五、注意事项在使用drawkeypoints()函数时，需要注意以下几点：1. 图像尺寸必须一致：drawkeypoints()函数要求输入的图像尺寸必须一致，否则会导致绘制失败。
平面几何中的作图问题
平面几何中的作图技巧
利用几何定理进行作图
勾股定理：利用勾股定理进 行作图
三角形全等：利用三角形全 等定理进行作图
平行线性质：利用平行线性 质进行作图
角度关系：利用角度关系进 行作图
利用代数方法进行作图
代数方法的定义：利用代数方程来表示几何图形，通过解方程来找到图形的关键点或线段。
代数方法的优势：可以处理更复杂的几何问题，特别是那些难以用传统几何方法解决的问题。
代数方法的常见应用：例如，通过解方程来找到圆的中心或切线，或者通过解方程组来找到两条直线的交点。 代数方法的使用技巧：需要熟练掌握代数和几何之间的转换，以及如何将几何问题转化为代数问题。
利用坐标系进行作图
定义坐标系：确定原点和坐标轴， 为图形中的点确定坐标。
在实际生活中的应用
建筑设计：利用平面几何作图确定建筑物的位置、角度和距离 机械制造：在机械零件制造中，利用平面几何作图确定零件的尺寸和形状 电子工程：在电路板设计中，利用平面几何作图确定元件的位置和连接方式 艺术创作：在绘画和设计中，利用平面几何作图创造出具有美感和比例的作品
在工程设计中的应用
机械设计：通过几何作图优 化机械零件的形状和尺寸
三角形垂心作图问题
定义：三角形垂心作图问题是平面几何中一类复杂的作图问题，要求通过给定的 条件和工具，画出三角形的垂心。
解决方法：通常需要利用三角形的性质和几何定理，通过一系列的推理和计算， 才能准确地画出三角形的垂心。
难度：三角形垂心作图问题难度较大，需要较高的平面几何知识和推理能力。
应用：三角形垂心作图问题在数学竞赛、数学教育和数学研究中有着广泛的应用， 是检验学生数学综合素质的重要手段之一。
专题七 代数与几何综合
代数与几何综合（一）【考点解析】代数与几何的大型综合题通常可分为以下类型： 一、在几何图形背景下建立函数或方程：这类问题通常要建立等式（函数和方程）来解决，在建立等式时常用到以下方式：一是运用有关计算公式（如各类图形的面积公式）；二是运用勾股定理、三角函数或相似三角形等知识建立起等式（函数和方程），由此得到函数或方程．后者是大家学习和掌握的重点． 二、坐标系下的几何图形：这类问题的解决，关键点有二：一是求点的坐标，要熟练掌握求点的坐标的方法,尤其是方程法；二是点的坐标与线段长的互化，要善于将已知条件转化为线段长，继而转化为点的坐标，同样当已知点的坐标后，可能还需将之转化为有关线段的长，从而与几何图形联系起来．【典型例题】例1．（2009清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？MNCBEF AA 1例2．（2011宿迁）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，设DQ ＝t （0≤t ≤2），线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，过Q 作QE ⊥AB 于点E ，过M 作MF ⊥BC 于点F ． （1）当t ≠1时，求证：△PEQ ≌△NFM ；（2）顺次连接P 、M 、Q 、N ，设四边形PMQN 的面积为S ，求出S 与自变量t 之间的函数关系式，并求S 的最小值．Q PNM FE D C B A2.坐标系下的几何图形：例3．（2009桂林）如图，已知直线3:34l y x=+，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．（1）求点A、点B的坐标；（2）设F是x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F （不写作法和证明，保留作图痕迹）；（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x y，），求y与x的函数关系式；（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线l相切于点B，若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】对于（2），关键是找出圆心；对于（3），由于∣y∣和∣x∣都与垂线段有关，故易于从图中找到有关的直角三角形，从而利用勾股定理列出∣y∣和∣x∣的关系，继而得到y与x的函数关系式对于（4），可用方程思想去分析解决．cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．这类综合题的特点是：先求函数解析式，然后利用解析式确定有关点的坐标，再由点的坐标确定有关线段的长，最后利用图形的几何性质解决问题（注意：到此已经与函数图像无关了，也就是说，解到这里，已经剥离开函数的“外衣”,变成一个纯几何问题了）当然，这种几何问题是一种动态题，常常需要讨论．【典型例题】3．函数图象与几何图形相结合的问题 例5．在平面直角坐标系中，直线621+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点． （1）直接写出B 、C 两点的坐标； （2）直线x y =与直线621+-=x y 交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒（即OP = t ）.过点P 作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ．① 若点P 在线段OA 上运动时（如图1），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值． ② 若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时，过P 、Q 、O 三点的圆与轴相切.图（1）备用图例6．（怀化）在矩形AOBC 中，OB=6，OA=4，分別以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AE•AO=BF•BO ； （2）若点E 的坐标为（2，4），求经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式；（3）是否存在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出此时的OF 的长：若不存在，请说明理由．例7.(2011济南)如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0)．抛物线y＝－49x2＋bx＋c经过点A、C，与AB交于点D．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y＝－49x2＋bx＋c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接．．写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．备用图例8.（2011凉山州）如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程24120x x --=的两个根。
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．
点 Ｐ 的 坐 标 为ｆ — Ｎ ／ ５ — － ＋ １ ． — Ｘ ／ ５ — － ＋ ｌ １ ．
＼ ２ ２ Ｉ
【 方 法点 拨 】 函数 图 像 上 点 的 设 法 ：
（ １ ）直 线 ＋ ６ 上 的点 可设 为 （ ， ｋ ｘ ＋ ｂ ） 。
Ｐ Ａ＝ Ｐ Ｃ， ． ‘ ． ２ ＋（ — ２ ＋ ２ ＋ １ — １ ） ２ ＝（ 一 １ ） ２ ＋
ｘ ＋ ＋１ ） ，
解得 ： 。 ： 了 １ ＋ ｘ ／ ３－
，
图像 的 交 点 ，或 函 数 与 几 何 图 形 的 交 点 ， 常 被 我们 作 为 待设 对 象 ． 当 ：
－
‘ ．
．
ａ ＝ ３ 代人① ， 可 求 得ｋ ＝ １ ２ ．
（ ２ ）设 点 Ｐ的 坐 标 为 （ ， 一 ２ ＋ ＋ １ ） ．
’
． ‘
【 方法点拨 】 解 决 函数 图 像 中的 几 何 图
形 问题 ， 常考 虑设 点 的坐标 ， 选 择 设 哪个 点 的 坐 标 呢 ？ 一 些 关 键 位 置 的 点 ． 如 函 数
。
／ ＼
图 ２
（ ２ ） 双 曲 线 ＿ 坌 ＿ 上 的 点 可 设 为 ｆ 。 ， １ ．
＼ ０ ／
Ｃ ｌ
（ ３ ）抛 物 线 ’ ， ＝ ｚ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ 上 的 点 可 设 为 （ ， 似２ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ ） ．
（ 作 者单位 ： 江 苏 南 通 市 通 州 区育 才 中学 ）
坐标 为生 所以 点Ｂ 坐标为ｆ ２ 口 ， ＿ 坌 － １ ．
２ ａ，
＼
２ ａ／
因 为 △Ａｃ Ｐ 是 以 ＡＣ 为底 的等腰 三角形 ． 所
以 ＝ Ｐ Ｃ， 根 据 坐 标 平 面 内 两 点 间 的距 离
因为ｙ ＝ 经过 ， 所以 ： Ａ。 ； ① 公 式 可 得 Ｐ点 坐 标 ．
ｊ ０
，，
ｊ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【 解答过程 】
（ １ ）‘ ． ‘ 抛 物线ｙ ＝ ａ （ ｘ 一 ） ＋ 顶 点 坐 标 为
（ １ ， ２） ＇ ． ． ． ｙ ＝ ａ （ ｘ ， － １ ） ２ ＋ ２ ．
因 为 Ｂ ｃ ： ｙ ＝ 詈 一 ６ 经 过 点 Ｂ ， 所 以 ２ ａ ＝
以点４（ ３ ， ４ ） ， 所 以ｋ ＝ １ ２ ． （ 根 据 双 曲 线 上 所
的值 ． ）
Ｐ， 使 得 △Ａ 堤 以ＡＣ 为 底 的 等 腰 三 角形 ，
【 切入 点 】 讨 论等 腰三 角形 时 ． 可 设 出
示Ｐ Ａ和 Ｐ Ｃ的 长 ．
有 的 横 纵 坐标 的积 为 一 个 常 数 ， 求 出字 － ＠ａ 点 Ｐ的 坐 标 ． 用 两 点 之 间＿ 距 离 公 式 分 别 表
■Ｅ曩●
ＣＨ Ｕ ＺＨ ０ Ｎ Ｇ ＳＨ ＥＮ Ｇ Ｓ Ｈ ｌ ＪＩ Ｅ
由于点 、 点Ｂ 都在 双 曲线＿ ｙ ： 鱼（ ＞ ０ ）
（ １ ）求此 抛 物 线 的 解 析 式 ．
（ ２ ） 在 第 一 象 限 内的抛 物 线 上 求 一 点
上 ， 所 以 ÷ ＝ ｎ ＼ ２ ｌ ａ ＋ ９ ） ， 解 得 。 ＝ ３ ． 所 请 求 出此 时 点Ｐ的 坐标 ．
２
．
．
２ ＝
－
（ 舍去 ） ．
＋Ｉ
．
时
— Ｖ￣
—
例２ （ ２ ０ １ ３ ・ 梧 州， 有删 减 ） 如 图２。 抛
物线ｙ ＝ ａ （ ｘ — ｈ ） 。 经 过 点 Ａ（ ０ ， １ ） ， 且 顶 点 坐
２
标 为 （ １ ， ２ ） ， 它 的 对 称 轴 与 轴 交于点Ｃ ．
３ ３
Ｔ ｎ ｔ ｅ ｌ ｌ ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
Ｊ Ｉ － 一 慧 数攀
６ ． ②
・
．
‘
抛 物 线 经 过 点Ａ（ ０， １ ） ，
口（ ０ — １ ） ＋ ２ ＝１ ， ｃ ： 一ｌ ， ． ‘ ． ｙ ＝ 一（ 一１ ） ２ ＋ ２ ＝ 一 ＋ ２ ＋１ ．
・
① 代人② 得 ： ２
．
．
３ ＝
号 。 一 ６ ， 解 得 口 ＝ ３ ， 将
【 方 法二 】 根Ｂｙ ＝ Ａ （ ＞ ０ ） 设 点Ａ的坐
【 解 题思 路 】 （ １ ） 根据 已知求抛 物线解
析式是 基础 送分题 ． 相 信 大 家 只 要 认 真 仔
标为ｆ ０ ， 旦１ ， 利 用上文的 思路， 可得 点纵 细便 能得 分 ． （ ２ ）由 （ １ ） 可 知Ｃ 点 的 坐标 ， 点 （ ０ ， １ ） ，