第四章-数值积分 ppt课件
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数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析课件第4章数值积分与数值微分
森(simpson)公式(又称为抛物形求积公式)，即
S b a [ f (a) 4 f (a b) f (b)].
6
2
上页 下页
n = 4 时的牛顿-柯特斯公式就特别称为柯特斯公 式. 其形式是
上页 下页
4.1.1 数值求积的基本思想
由积分中值定理, 对连续函数f(x), 在区间[a, b]
内至少存在一点，使
I
b
a
f
(x)d
x
(b
a)
f
(
)
只要对平均高度 f() 提供一种近似算法, 便可相应
地获得一种数值求积方法. 即所谓矩形公式.
几何图形见书p119.
上页 下页
例如, 用区间[a, b]两端点的函数值 f(a)与f(b)的
nn
(t j)dt
0 jk
(k=0,1,,n)
则 Ak (b a)Ck(n) , 于是得求积公式
n
In (b a) Ck(n) f ( xk )
k0
称为n 阶牛顿-柯特斯 (Newton-Cotes)公式, Ck(n) 称 为柯特斯系数。
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个 确定参数xk和Ak的代数问题.
上页 下页
4.1.3 插值型求积公式
设给定一组节点 a x0 x1 xn1 xn b
且已知f(x)在这些节点上的函数值 f(xk), 则可求得f(x)
的拉格朗日插值多项式(因为Ln(x)的原函数易求)
n
Ln ( x) f ( xk )lk ( x) 则 f (x)Ln(x)
k0
如果对任I给n( 小f )正 I数n(ε~f>)0， 只n 要Ak误[ f差( x|δkk)|充 ~f分k ]小就 ,有
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分
b
a
l j ( x)dx ( x x j -1 )( x x j 1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j xn )
dx
作变量代换， x a th ，则
n t (t 1) h (t j 1)(t j 1) (t n) 上式 dt b a 0 j ( j 1) 1(1) ( j n) 1 n t (t 1) (t j 1)(t j 1) (t n) dt n 0 j ( j 1) 1 (1) ( j n)
该积分仅与 n 有关，与 a, b, f ( x) 无关.
③ 设 n 1 个线性无关的次数 n 的多项式为 e0 ( x), 等距结点 x0 ,
过同样 , en ( x) ，
, xn , 对每一个 ei ( x) 利用 Newton Cotes 公式求积，且积分
余项均为零．即有
n b 1 b a a e0 ( x) dx c j e0 ( x j ) j 0 n 1 b e1 ( x)dx c j e( x j ) a （1） b a j 0 n b 1 b a a en ( x)dx c j en ( x j ) j 0
, n) ，
又设过该结点的次数 n 的 Lagrange插值多项式
P( x) f ( x j )l j ( x) ，
j 0
n
余项
f ( ) R( x) ( x) . (n 1)!
( n 1)
代数精确度
b n
定义 设求积公式 f ( x)dx A j f ( x j ) R(a, b, f ) ．
数值分析第四章数值积分与数值微分-PPT课件
Cotes系数只与 j 和 n 有关, 与 f x 和积分区间 a , b
无关， 且满足:
1 C k
n
n
C n k
n
(n) 2 C j 1 j0
2、截断误差
Newton-Cotes公式的误差为:
1 ) f (n ( ) R (f) w (x ) dx n 1 a ( n 1 )! b n 2 n n h (n 1 ) f ( ) ( tj) dt , ( a ,b ) ( n 1 )!0 0 j
n ( u j ) du 2
据此可断定 R f 0 ,因为上述被积函数是个奇函数.
4、数值稳定性
现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响. 设用公式 近似计算积分
( n ) I ( f ) ( b a ) C j f(xj) n j 0 n
I ( f ) f ( x)dx
a
b
0 , 1 ,2 , . . . n 时, 其中计算函数值 f x j 有误差 ，而 j j
计算 C
n
j
没有误差, 中间计算过程中的舍入误差也不考虑,
j
则在 I n ( f ) 的计算中,由
引起的误差为
( n ) e ( b a ) C f ( x ) ( b a ) C j) j (f(xj) n j j 0 ( n ) j j 0 ( n ) ( b a ) C j j n
x
f x
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
呵呵…这就需要积 原来通过原函数来计 分的数值方法来帮 算积分有它的局限性。 忙啦。 那…… 怎么办呢？
第四章 数值积分
1
3阶 精度
令它对于 f = 1, x, x 2 , x 3 准确成立，可列出方程 解：
λ0 + λ1 + λ2 + λ3 = 1 − λ0 − 1 λ1 + 1 λ2 + λ3 = 0 3 3 1 1 1 λ0 + 9 λ1 + 9 λ2 + λ3 = 3 − λ − 1 λ + 1 λ + λ = 0 3 0 27 1 27 2
（4-8）
∫
b
a
f ( x)dx ≈ ∑ ωi f ( xi )
i =0
n
（4-9）
定义4.2 求积系数由式（4-8）确定的求积公式（4-9） 称为插值型求积公式。
4.3 Newton-Cotes公式及其复合求积公式
设将求积区间[a,b]划分为n等分，选取等分点作 为求积节点构造形如下式的求积公式，如果公 式至少有n阶精度，则称之为n阶Newton-Cotes 公式。
0.5 − 0.1 S= (0.0001 + 0.0625 + 4 × 0.0081) = 0.00633 6
0 .5 − 0 .1 C= (0.0001× 7 + 0.0625 × 7 + 12 × 0.0081 + 32 × 0.0016 + 32 × 0.0256) 90 0.4 = (0.4382 + 0.0972 + 0.8704) = 0.006248 90
解：令它对于 ( x) = 1, x, x 2 准确成立，可列出方程 f
ω0 + ω1 + ω2 = 2 − ω 0 + ω 2 = 0 ω + ω = 2 / 3 2 0
3阶 精度
令它对于 f = 1, x, x 2 , x 3 准确成立，可列出方程 解：
λ0 + λ1 + λ2 + λ3 = 1 − λ0 − 1 λ1 + 1 λ2 + λ3 = 0 3 3 1 1 1 λ0 + 9 λ1 + 9 λ2 + λ3 = 3 − λ − 1 λ + 1 λ + λ = 0 3 0 27 1 27 2
（4-8）
∫
b
a
f ( x)dx ≈ ∑ ωi f ( xi )
i =0
n
（4-9）
定义4.2 求积系数由式（4-8）确定的求积公式（4-9） 称为插值型求积公式。
4.3 Newton-Cotes公式及其复合求积公式
设将求积区间[a,b]划分为n等分，选取等分点作 为求积节点构造形如下式的求积公式，如果公 式至少有n阶精度，则称之为n阶Newton-Cotes 公式。
0.5 − 0.1 S= (0.0001 + 0.0625 + 4 × 0.0081) = 0.00633 6
0 .5 − 0 .1 C= (0.0001× 7 + 0.0625 × 7 + 12 × 0.0081 + 32 × 0.0016 + 32 × 0.0256) 90 0.4 = (0.4382 + 0.0972 + 0.8704) = 0.006248 90
解：令它对于 ( x) = 1, x, x 2 准确成立，可列出方程 f
ω0 + ω1 + ω2 = 2 − ω 0 + ω 2 = 0 ω + ω = 2 / 3 2 0
计算方法数值积分插值型积分PPT课件
bn1 an1 n1
1
其系数
x
0
矩阵
x02
x
n 0
1 …
x1 …
x
2 1
…
…
x
n 1
…
1
x
n
x
2 n
当
xk (k 0,1,…, n)
互异时，有唯一
x
n n
解 {Ak }
定理4.1 n+1个节点的求积公式
插值型求积
b f(x)dx a
理得
R(f) b f(x) P(x)dx b f(n1)(ξ) ω(x)dx
a
a (n 1)!
其中 ξ [a, b]
注意：当f(x)是次数不高于n的多项式时， f(n1)(x) 0
R(f) 0 因此，求积公式(4.1)成为准确的等
式。
例1 给定插值节 为点定积分
home机械求积方法大家应该也有点累了稍作休息大家应该也有点累了稍作休息大家有疑问的可以询问和交流大家有疑问的可以询问和交流41数值积分概述图41数值积分的几何意义积分值的几何表示
计算方法 (Numerical Analysis)
第6次 数值积分-插值型积分-误差求积公式的收敛性与稳定性
第四章 数值积分
j0
(*)
lk (x)
(x - x0 )...(x (xk - x0 )...(xk
-
xk-1 )(x - xk1 )...(x - xn ) xk-1 )(xk - xk1 )...(xk - xn )
注意lk(xk ) 1, 而当j k的时候，lk(x j ) 0
数值积分和数值微分ppt课件
5.2.2 数值微分
设函数 f(x)在[a,b]上可导，已知 f(x)在 x j 的函数 值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b . 如果 f(x)的解析表达式未知，问如何近似计算 f(x)在 某点 x=c 处的导数？特别是如何近似计算 f(x)在 x0, x1,, xn 的导数？
y4
未 知 函 数 f(x)
y3
已知结点
线 性 插 值 函 数 S41(x)
y2
y1
y0
y
0
x0
x1
x2
x3
x4
x
图5.9 复化梯形求积公式示意图
5.2.1 数值积分
容易求得
b a
Sn1
(
x)dx
的值为
1 n
Tn 2 j1 x j x j1 y j1 y j
(5.2.1)
如果划分 a x0 x1 xn b 将区间[a,b] n 等分，
b]为n等分，分点为 xk x0 kh k = 0, 1, 2,…, n
2）在区间 [xk, xk+1]上使用以上求积公式求得Ik 3）取和值，作为整个区间上的积分近似值。 这种求积方法称为复化求积方法。
j
值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b ，
5.2.2 数值微分
先考虑简化的问题：设划分 a x0 x1 x2 b 将 区间[a,b]二等分，记 h (b a) 2 ，已知 f(x)在 x j 的函
数值 y j f (x j ) (j=0,1,2). 记
L2 (x) c1(x x1)2 c2 (x x1) c3 是由结点 (x j , y j ) (j=0,1,2)确定的至多二次插值多项
数值积分PPT讲稿
),
0,
只要
~ f ( xk ) fk
(k 0,1,, n)
构造求积公式，原则上是一个确定参数
xk
和 A的k 代数问题.
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk ),
k 0
11
例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度 达到最高。
1
f ( x)dx a f (1) bf (0) cf (1) 1
12
3. 插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
x
初等函数表示的原函数； （2）当 f是(x由) 测量或数值计算给出的一张数据表.
这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用. 因此有必要研究积分的数值计算问题. 由积分中值定理知，在积分区间 [a内, b存]在一点ξ，
成立
b
a f (x)dx (b a) f ( ),
3
就是说，底为 b 而a高为 f的(矩)形面积恰等于所求
曲边梯形的面积 I(图4-1).
图4-1
4
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f (的)值. 将 f 称(为) 区间
上[a的, b平]均高度.
这样，只要对平均高度 f提(供) 一种算法，相应地便
获得一种数值求积方法.
用两端点“高度“ f (a与) f的(b算) 术平均作为平均高度
j 0
15
注意到 lk (x j ) kj, 上式右端实际上等于 Ak , 因而
b
Ak a lk (x)dx
成立. 这样，有下面定理.
定理1
求积公式至少有 次代n数精度的
充分必要条件是，它是插值型的.
数值分析第四章数值积分-69页精选文档
x
m k
1 m 1
b m 1 a m 1
由上面代数精度条件确定求积公式可分两种情形：
1. 若事先给定求积节点xk(k=0,…,n),例如被积函数以表的形式 给出时xk确定，可令m=n,由上式确定n+1个系数Ak即可---待定系数法和插值法。
2. 若xk和Ak都可选择，令m=2n +1，确定xk和法Ak ---Gauss法
求积系数，与被
b
n
积函数无关
f (x)dx
a
Ak f(xk)
k0
求积节 点
像这样，将积分用若干节点上被积函数值的线性组合来表示
的数值积分公式称为机械求积公式。
求积误差
b
n
R[f] f(x)dx a
Akf(xk)
k0
机械型求积公式的构造归结为，确定求积节点xk和求积系
Case 1---方法1
Case 1---方法2 §1 插值型求积 公式
插值型积分公式
/*interpolatory quadrature*/
思 路
利用插值多项式
Pn(x)f(x)则积分易算。
在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值
n
多项式 Ln(x) f(xk)lk(x)，即得到 k0
数Ak，使在某种意义下精确度较高。总之，要解决三个问 题：
1. 精确度的度量标准；
2. 如何构造具体的求积公式；
3. 具体求积公式构造出来后，误差如何估计？
问题1
定义：代数精度
若某个求积公式对次数 m 阶的多项式准确成立，而对 m+1 阶 的 多 项 式 不 一 定 准 确 成 立 。 即 对 应 的 误 差 满 足 ： R[ Pk ]=0 对任意 k m 阶的多项式成立，且 R[ Pm+1 ] 0 对某 个 m+1 阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为 m 。
数值分析--数值积分与数值微分
n 1 ( x )
(a, b)
(2―2)
第4章 数值积分与数值微分
这里yi=f(xi),对式(2―1)两边积分得
《 数 值 分 析 》
b a
f ( x )dx
n
b a
pn ( x )dx
b n
b a
Rn ( x )dx dx ] yi
[
i0 a
x xk xi xk f
《 数 值 分 析 》
相当复杂。例如定积分
的被积函数
b a
dx 1 x
4
4
1 1 x
的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第4章 数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左
矩形公式
b a
《 数 值 分 析 》
f ( x )dx (b a ) f (a )
k 0 k i
第4章 数值积分与数值微分
称C(n)i为柯特斯求积系数。
很显然,当n=1时,可算得
C0
《 数 值 分 析 》
(1 )
1 0
( s 1) d s 1 2
ba 2
1 2
C1
(1 )
1 0
sd s
此时式(2―5)为
b a
f ( x )dx
[ f ( a ) f ( b )]
于是
b a
f ( x )dx
ba 6
[ f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b )]
(2―8)
第4章 数值积分与数值微分
数值积分实用PPT课件PPT课件
二simpson积分法抛物线积分法第20页共39页3几何意义第21页共39页4复合抛物线积分法分成n偶数个相等的小区间每个区间的长度第22页共39页计算公式几何意义第23页共39页5定步长抛物线积分抛物线积分较梯形积分更精确
微积分学中，积分计算是利用 Newton – Leibniz
公式：
来计算的。
例，某气体由温度 T1 加热到 T2 时所需热量 Q 可由下式表示：
Q
T1 T2
Cp
.mdT
Cp .m 该气体的摩尔定压热容
不知道该气体的 与CTp的.m函数关系式，而实验测得该气体的
系数据如下表所示。
C p .m
与 T 的关
T/℃
25 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800
32 k0
f
( x ) 12
k1
k0
4
f
( xk1 ) 2
n1
n1
32 f ( x ) 14 f ( x )
k0
k3 4
k 1
k
第27页/共39页
龙贝格算法
第28页/共39页
数值方法中常利用一序列{ F1、F2、…、Fk、…} 去逼近精确值，然后在理论上给出序列F的误差估计。
新思路：
能否在某种理论（截断误差估计）基础上，通过简单方法，在序列
值，而这些值又是成倍增加的，所以计算工作量较大。
第37页/共39页
程序例子：P207
作 业：
将P207的程序改为求解积分
eps=0.000001 结果（0.1115718）
1x
0 4 x2 dx
第38页/共39页
感谢您的观看。
微积分学中，积分计算是利用 Newton – Leibniz
公式：
来计算的。
例，某气体由温度 T1 加热到 T2 时所需热量 Q 可由下式表示：
Q
T1 T2
Cp
.mdT
Cp .m 该气体的摩尔定压热容
不知道该气体的 与CTp的.m函数关系式，而实验测得该气体的
系数据如下表所示。
C p .m
与 T 的关
T/℃
25 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800
32 k0
f
( x ) 12
k1
k0
4
f
( xk1 ) 2
n1
n1
32 f ( x ) 14 f ( x )
k0
k3 4
k 1
k
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龙贝格算法
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数值方法中常利用一序列{ F1、F2、…、Fk、…} 去逼近精确值，然后在理论上给出序列F的误差估计。
新思路：
能否在某种理论（截断误差估计）基础上，通过简单方法，在序列
值，而这些值又是成倍增加的，所以计算工作量较大。
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程序例子：P207
作 业：
将P207的程序改为求解积分
eps=0.000001 结果（0.1115718）
1x
0 4 x2 dx
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感谢您的观看。
数值分析讲义第四章数值积分
方法的选取
不同的数值积分方法具有不同 的收敛性和稳定性，应根据具 体问题选择合适的方法。
初值和边界条件
初值和边界条件对数值积分的 收敛性和稳定性也有影响，不 合理的初值和边界条件可能导 致数值积分发散或误差增大。
05
数值积分的应用实例
在物理模拟中的应用
01
流体动力学模拟
数值积分被广泛应用于流体动力 学模拟中，如计算流体速度、压 力、温度等的分布。
02
数值积分方法
矩形法
总结词：简单直观
详细描述：矩形法是一种基本的数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的矩形，然后求和近似计算积分值。由于计算 简单直观，适用于初学者理解数值积分的基本思想。
梯形法
总结词：易于理解
详细描述：梯形法是另一种数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求和近似计算 积分值。与矩形法相比，梯形法更接近于真实曲线下面积的形状，因此误差相对较小。
衍生品定价
通过数值积分方法，可以 对复杂的衍生品进行定价， 如期权、期货等。
蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟是一种基于 随机抽样的数值积分方法， 常用于估计预期收益和风 险。
在图像处理中的应用
图像滤波
通过数值积分方法，可以 对图像进行滤波处理，如 平滑、锐化等。
图像重建
在图像重建中，数值积分 常用于从部分图像数据中 恢复完整的图像。
辛普森法
总结词：精度较高
详细描述：辛普森法是数值积分的一种改进方法，它利用了被积 函数在积分区间的端点和中心点的函数值进行近似计算，因此精 度相对较高。辛普森法是数值积分中常用的方法之一。
高斯法
总结词：高精度
VS
详细描述：高斯法是一种基于高斯积 分的数值积分方法，它利用了被积函 数在积分区间内的高斯点的函数值进 行近似计算，具有很高的精度。高斯 法适用于需要高精度计算的情况，但 计算过程相对复杂。
数值积分方法课件
热力学分析
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
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n
b
In Akf(xk) (Ak alk(x)dx)
k0
取节点为等距分布：xkakh(k0,1 ,
,n),hba,由此构造的
n
插值型求积公式称为Newton-Cotes公式, 此时求积系数：
n
形如 In Ak f (xk ) 的求积公式至少有 n 次代数
精度
k 0
该公式为插值型（即：Ak
b
a lk (x)dx
）
n
推论 求积系数 A k 满足: Ak b a
ppt课件 k 0
15
§2 Newton-Cotes公式
一、Cotes系数与Newton-Cotes公式
插值型求积公式：
n
wn1(x) p(pxt课件 xk)
13
k0
于是有：abf(x)dxabLn(x)dxabRn(x)dxabLn(x)dx
b n
n
b
[ a
lk(x)f(xk)]dx
f(xk)alk(x)dx
k0
k0
令
n
In Ak f (xk ) k 0
——称为插值型 求积公式
Ak
三、插值型的求积公式
1、定义
在积分区间 a , b 上，取 n 1 个节点xk(k0,1, ,n)
作f x 的 n 次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:
n
Ln(x) lk(x)f (xk) k0
则有
f(x)L n(x)R n(x)
其中，
Rn(x)f((nn1)1()!)wn1(x) 为插值余项
4
16 12 6
ppt课件
4
3. f x 没有解析表达式，只有数表形式:
x
12 3
f x 4 4.5 6
45 8 8.5
原来通过原函数来 计算积分有它的局
限性。那…… 怎么办呢？
呵呵…这就需要积 分的数值方法来帮
忙啦。
ppt课件
5
一、数值积分的基本思想
1、定积分的几何意义
y
b
I f (x)dx a
果它满足如下两个条件: k0 (i) 对所有次数≤m次的多项式 Pm (x), 有 R[Pm ] 0
(ii) 存在m+1次多项式Pm1(x) , 使得 R[Pm1] 0
上述定义中的条件(i), (ii)等价于：
(i) R [xk]0 , (0km ) (ii) R[xm1]0
注：梯形公式与中矩形公式都ppt课只件具有1次代数精度。
第四章
数值积分
ppt课件
1
§1 引 言
【数值积分的必要性】
本章主要讨论如下形式的一元函数积分
b
I f (x)dx a
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
b
Iaf(x)dxF(b)F(a)
要求函数 f x 的原函数 F x
☞ 有解析表达式；
☞ 为初等函数．
ppt课件
2
实际问题
由初等函数表示的原函数:
s in x 2 , c o sx 2 , s in x , 1, 1 x 3 , e x 2
x ln x
ppt课件
3
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示, 但表 达式相当复杂, 计算极不方便.
例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂, 但它的原函数却十分复杂:
1 x 22 x 2 3 3 x2 x 2 3 9ln 2 x (2 x 2 3 )
b
alk(x)dx
bn a
i0
(xxi)dx (xk xi)
由 与
节点 决定，
f x 无关。
ik
ppt课件
14
2、截断误差（余项）
b
n
b
R[f] f(x)dx a
Ak f(xk) a[f(x)Ln(x)]dx
k0
b f(n1)( ) n
a
(n1)!
(xxk)dx
k0
3、代数精度
定理 1
高度 f(xk)|k0 ,1 , ,n ，通过加权平均的方法近似地得 出平均高度 f ，这类求积方法称为机械求积:
或写成: 机械求积公式
b
n
f(x)dx(ba)
a
kf(xk)
k0
b
n
f(x)dx
a
Ak f(xk)
k0
求积节点
求积系数
记求积公式为
n
In Ak f (xk ) k 0
余项为
11
一般若要使机械求积公式
b
a
f(x)d
x
n
具Ak有f(mxk)次代数
k0
精度，则只要使求积公式对 f(x) 1 ,x1,x2, ,xm 都准确成
立，即
n
Ak b a
k0
n
k0
Ak xk
1 2
b2 a2
n k0
Ak
xkm
1 m 1
b m 1 a m 1
ppt课件
12
可得一点求积公式如下：
y
f x
左矩形公式：I fa b a (f() f(a ))f a
O
a
y
中矩形公式：
I
f
a
2
b
b
a
f
a
2
b
( f ( ) f ( a b )) 2
O
a
y
f b
右矩形公式：I fb b a (f() f( b ))
bx
f x
ab
bx
2
f x
ppt课件
O
2、数值积分的理论依据
o
a
f x
b
x
依据积分中值定理, 对于连续函数 f x ,
在 a , b 内存在一点 , 使得
f ?
b
I f(x)dx(ba)f()
a
称 f 为 f x 在区间 a , b p上pt课的件 平均高度。
6
3、求积公式的构造
➢ 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则
1. f ( x ) 的原函数 F ( x )不能用初等函数表示。 例如求由函数 f(x)sinx 给定的曲线, 从 x 0 到 x 48 间的弧长L。
由微积分学我们知道, 所求的弧长可表示为:
L 48 1 (f'(x )2 ) d x48 1 (cx )o 2dsx
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分。类似的下列函数也不存在
a
7
bx
➢ 若取 a , b 两点，并令 f f af b，则可得梯形公
式（两点求积公式）
2
y
f x
f b
Ifafbba f a
2
O
a
bx
➢
若取三点，a, b, c
ab 2
并令 f fa4fcfb 6
则可得Simpson公式(三点求积公式)
Iba fa4fcfb
6 ppt课件
8
➢ 一般地 ，取区间 a , b 内 n 1 个点xk|k0,1, ,n处的
b
n
பைடு நூலகம்
R [f] I Ina ppft课(件x )d x k 0A kf(x k)
9
构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括:
(i)
确定求积系数
A
k
和求积节点x
；
k
(ii) 确定衡量求积公式好坏的标准；
(iii) 求积公式的误差估计和收敛性分析。
ppt课件
10
二、求积公式的代数精度
定义1 称求积公式 In n Ak f (xk ) 具有m次代数精度, 如