2014-2015学年江苏省宿迁市三校联考高三(下)3月月考数学试卷

徐州、连云港、宿迁三市2015届高三第三次模拟数学与答案(WORD)

、、宿迁三市2015届高三第三次模拟数学Ⅰ参考公式：棱柱的体积公式：,Sh V =其中S 是棱柱的底面积，h 是高.一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1.已知复数i i i z )(43(+=是虚数单位），则z 的模为 ▲ . 2.已知集合},4,2{],3,1(=-=B A 则=B A ▲ .3.如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图. 根据国家标准，污染指数在区间)51,0[，空气质量为优；在区间)101,51[，空气质量为良；在区间)151,101[，空气质量为轻微污染；. 由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有 ▲ 天.4.执行如图所示的算法流程图，则输出k 的值是 ▲ .5.已知集合},4,3,2{},1,0{==B A 若从B A ,中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为 ▲ .6.设等差数列}{n a 的前n 项为,28,26,453==+S a a S n 则10a 的值为 ▲ .7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,4,0,log )(2x x x x f x ，则))1((-f f 的值为 ▲ .8.已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线y x 82=的焦点，则双曲线C 的标准方程为 ▲ .9.已知函数),20)(6sin()(<<+=ωπωx x f 若,1)32(=πf 则函数)(x f y =的最小正周期为 ▲ .10.在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 平面,1,111=AA C AB 底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为 ▲ .注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项与各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

江苏省宿迁市三校2014-2015学年高二数学下学期第二次质量检测试题

宿迁市三校2014-2015学年第二学期第二次质量检测高二数学试题一、填空题〔5′×14=70′〕1．}1|{},1|{2+==+==x y y B x y x A ，如此=B A _____________． 2．函数123--=Xxy 的定义域为_______________． 3．给出如下各对函数：①22)()(,)(x x g x x f ==，②12)(,12)(-=+=x x g x x f ，③11)(-⋅+=x x x f 1)(,2-=x x g ，④x x x g x f )21()(,2)(==-，其中是同一函数的是______________〔写出所有符合要求的函数序号〕4．假设1)12(2+=+x x f ，如此=)0(f _______________．5．1>x ，如此x x c b x a )32(,)23(,log 132===-从大到小的排列应为________________． 6．函数x x x f ++=12)(的值域是_______________．7．5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中a 、b 、c 、d 为常数，假设7)7(-=-f ，如此=)7(f ______________．8．函数)32(log 221-+=x x y 的单调递减区间是_____________．9．“不等式012>+-ax ax 对一切实数x 都成立〞的充要条件是_____________． 10．假设ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，其内切圆的半径为r ，如此=∆ABC S r c b a )(21++，类比平几中的这一结论，写出立几中的一个结论为____________________．11．i z +=1，如此=++211z z _______________． 12．假设C z ∈，且1|22|=-+i z ，如此|22|i z --的最小值是________________．13．假设)2(log ax y a -=在]3,0[上是x 的增函数，如此a 的取值范围是______________．14．实数t s x ,,满足s t x =+98，且s x ->，如此tx st x t s x +++++1)(2的最小值为_______________．二、解答题〔90′〕15．〔14′〕}02|{},1,1{2=+-=-=b ax x x B A ，假设φ≠B ，且A B A = ，求a 、b 的值．16．〔14′〕设命题p ：函数x c y =在R 上单调递减，命题q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，假设q p ∨为真，q p ∧为假，求实数c 的取值范围．17．〔15′〕在函数)1(log >=a x y a 的图象上有A 、B 、C 三点，横坐标分别为,4,2,++m m m 其中1>m ．⑴求ABC ∆的面积)(m f S =的表达式；⑵求)(m f S =的值域．18．〔15′〕某上市股票在30天内每股的交易价格P 〔元〕与时间t 〔天〕所组成的有序数对),(P t 落在如下图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q 〔万股〕与时间t 〔天〕的局部数据如下表所示．第t 天 4 10 16 22⑴根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P 〔元〕与时间t 〔天〕所满足的函数关系式； ⑵根据表中数据确定日交易量Q 〔万股〕与时间t 〔天〕的一次函数关系式；⑶用y 〔万元〕表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？19．〔16′〕函数)1(52)(2>+-=a ax x x f⑴假设)(x f 的定义域和值域均是],1[a ，求实数a 的值；⑵假设)(x f 在]2,(-∞上是减函数，且对任意的]1,1[,21+∈a x x ，总有|)()(|21x f x f -≤4，求实数a 的取值范围．20．〔16′〕函数)(x f 的定义域为}0|{≠=x x D ，且满足对于任意D x x ∈21,，有)()()(2121x f x f x x f +=．⑴求)1(f 的值；⑵判断)(x f 的奇偶性并证明；Q 〔万股〕 36 30 24 18⑶如果)62()13(,1)4(-++=x f x f f ≤3，且)(x f 在),0(+∞上是增函数，求x 的取值范围．高二数学〔文科〕质量检测试卷参考答案1．}1|{≥x x ； 2．]3,0(； 3．④； 4．45； 5．a c b >>； 6．),2[+∞- 7．17； 8．),1(+∞ 9．40<≤a10．假设三棱锥BCD A -四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，其内切球的半径为r ，如此 r S S S S V BCD A )(314321+++=- 11．i -； 12．3； 13．)32,0(； 14．6； 15．⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==101111b a b a b a 或或16．21:,10:><<c q c p ，综上),1[]21,0(+∞ ⑴p 真q 假如此210≤<c⑵p 假q 真如此1≥c17．⑴)1(4)2(log 22>++=m mm m S a ⑵)441(log 2mm S a ++=，∵1>a ，∴S 在),1(+∞ 5954144112=+<++<mm ，∴59log 0a S <<，值域)59log ,0(a 18．⑴*∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+=N t t t t t P ,3020810200251⑵*∈≤<+-=N t t t Q ,300,40 ⑶*∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<++-=N t t t t t t t y ,302032012101,2008065122，当15=t 时，125max =y 万元，1203202012400101=+⨯-⨯<y ，∴第15天日交易额最大为125万元． 19．对称轴a x =，∵]2,(-∞∴2≥a ，∵1)1(=-+a a ，02)1(1≤-=--a a 11≥-a ，∴在]1,1[+a ，a a f x f 26521)1()(max -=+-==5)()(2min +-==a a f x f ，∴412)5()26(22≤+-=+---a a a a0322≤--⇒a a 31≤≤-⇒a ，又2≥a ，∴32≤≤a20．⑴0 ⑵令121-==x x ，如此0)1(2)1()1()1(=-⇒-+-=f f f f 0)1(=-⇒f ， 021 x =aa+1 1 0 1 2再令,11-=x x x =2，如此)()()1()(x f x f f x f =+-=-，偶 ⑶),0()64()]62)(13[(+∞≤-+f x x f )0,(-∞ 64)}62)(13([|≤-+⇒x x 64616664[2≤--≤-⇒x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠-≤≤-⇒≤--∈⇒≥+-⇒7333151532035830298322x x x x x R x x x 且 ∴]5,3()3,31()31,37[ ---。

2015届江苏省宿迁市重点中学高三下学期期初开学联考理科数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015届江苏省宿迁市重点中学高三下学期期初开学联考理科数学试卷（带解析）考试范围：xxx ；考试时间：120分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）试卷第2页，共17页第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、已知集合，则．【答案】【解析】试题分析：考点：集合交集 2、已知，那么复数.【答案】【解析】试题分析：考点：复数运算 3、从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为．【答案】【解析】试题分析：利用枚举法可知：从这五个数中任取两个数共有10种基本事件，其中和为奇数包含6种基本事件，故概率为考点：古典概型概率4、．为了解宿迁市高三学生的身体发育情况，抽查了宿迁市100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是．【答案】40 【解析】试题分析：区间[56.5，64.5）的频率为，因此人数为考点：频率分布直方图5、如图所示的流程图，最后输出的n 的值是．【答案】4 【解析】试题分析：第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，结束循环，输出考点：循环结构流程图试卷第4页，共17页6、已知向量a ，b ，满足|a|＝1，| b |＝，a ＋b ＝(，1)，则向量a ＋b 与向量a －b的夹角是．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，故，因此，所求夹角是考点：向量数量积7、如图，正三棱锥P －ABC 的所有棱长都为4．点D ，E ，F 分别在棱PA ，PB ，PC 上，满足PD ＝PF ＝1，PE ＝2，则三棱锥P –DEF 的体积是．【答案】【解析】试题分析：考点：等体积法求三棱锥体积 8、在中，，点是内心，且，则．【答案】【解析】试题分析：由题意得，为直角三角形，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则有,因此考点：向量坐标表示9、已知锐角A ，B 满足tan(A ＋B)＝2tanA ，则tanB 的最大值是．【答案】【解析】试题分析：由题意得：，当且仅当取等号考点：基本不等式求最值10、如图，点分别是椭圆的上顶点和右焦点，直线与椭圆交于另一点，过中心作直线的平行线交椭圆于两点，若则椭圆的离心率为 .【答案】【解析】试题分析：由直线方程与椭圆方程联立方程组解得试卷第6页，共17页，由直线方程与椭圆方程联立方程组解得，所以考点：直线与椭圆位置关系 11、已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是 .【答案】【解析】试题分析：设则，当且仅当取等号，因此长度的最大值是考点：直线与圆位置关系12、已知函数，若存在实数，满足，其中，则取值范围是．【答案】（21,24）【解析】试题分析：结合图像知，且，因此考点：13、设实数a ，x ，y ，满足则xy 的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：由题意得解得，又，所以xy 的取值范围是考点：直线与圆位置关系，二次函数最值二、解答题（题型注释）14、已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于．【答案】【解析】试题分析：由题意得：，所以试卷第8页，共17页考点：等比数列与等差数列综合 15、（本小题满分14分）设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知C ＝，acosA=bcosB ．（1）求角A 的大小；（2）如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使得PC ＝2．过点P 分别作直线CA 、CD 的垂线PM 、PN ，垂足分别是M 、N ．设∠PCA ＝α，求PM ＋PN 的最大值及此时α的取值．【答案】（1）（2）α＝时，PM ＋PN 取得最大值2．【解析】试题分析：（1）解三角形，就是利用正余弦定理将边角统一，本题求角，应利用正弦定理将边化为角：sinAcosA ＝sinBcosB ，再根据二倍角公式及诱导公式求角：sin2A ＝sin2B ， A ＝B 或A ＋B ＝．因为C ＝，所以A ＝B ，A ＝．（2）求PM ＋PN 的最大值，首先建立函数关系式，取自变量为角：PM ＋PN ＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋).再根据基本三角函数求其最值：因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，从而有sin(α＋)∈(，1]，因此当α＋＝，即α＝时，PM＋PN 取得最大值2．试题解析：（1）由acosA ＝bcosB 及正弦定理可得sinAcosA ＝sinBcosB ，即sin2A ＝sin2B ，又A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，所以有A ＝B 或A ＋B ＝． 2分又因为C ＝，得A ＋B ＝，与A ＋B ＝矛盾，所以A ＝B ，因此A ＝． 4分（2）由题设，得在Rt △PMC 中，PM ＝PC·sin ∠PCM ＝2sinα；在Rt △PNC 中，PN ＝PC·sin ∠PCN ＝ PC·sin(π－∠PCB) ＝2sin[π－(α＋)]＝2sin (α＋)，α∈(0，). 6分所以，PM ＋PN ＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋). 10分因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，从而有sin(α＋)∈(，1]，即2sin(α＋)∈(，2]．于是，当α＋＝，即α＝时，PM ＋PN 取得最大值2． 14分考点：正弦定理，三角函数性质 16、（本小题满分14分）在正三棱柱中，点是的中点，．（1）求证：∥平面；（2）试在棱上找一点，使．【答案】（1）详见解析（2）为的中点．试卷第10页，共17页【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理进行证明，即先从线线平行出发，这可利用三角形中位线性质进行证明：连接，交于点,则、分别是、的中点，所以∥．从而可证∥平面．（2）找一点目的是证线线垂直，故从垂直角度找：利用正方形性质，边的中点与对边顶点连线存在垂直关系，故取为的中点．再根据线面垂直判定及性质定理进行论证.试题解析：（1）证明：连接，交于点, 连接.∵、分别是、的中点，∴∥． 3分 ∵平面，平面，∴∥平面． 6分（2）为的中点． 7分证明如下： ∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形． ∵为的中点，是的中点，∴， 9分∴，．又∵，，∴． 11分∵是正三角形，是的中点，∴． ∵平面平面, 平面平面，平面，∴平面． ∵平面，∴． 13分∵，∴平面． ∵平面，∴． 14分考点：线面平行判定定理，线面垂直判定及性质定理 17、（本小题满分14分）如图，2015年春节，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度； (2)立柱的顶端有一长2米的彩杆绕中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．试卷第12页，共17页【答案】（1）水平距离为3米，立柱高为米（2）摄影者可以将彩杆全部摄入画面. 【解析】试题分析：（1）摄影者到立柱的水平距离为BA ，这可在中进行求解：由俯角为得而故BA="3," 立柱高为OB ，易得三角形OSB 为正三角形，故（2）由题意即需判断与的大小，由余弦定理得：,因此需求出的关系，这可利用两个三角形的关系：如得到，再根据基本不等式得到试题解析：：(1)不妨将摄影者眼部设为S 点,作SC 垂直OB 于C,又故在中,可求得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3米 3分由SC=3，在中,可求得又故即立柱高为米. 6分 (2) （注：若直接写当时，最大，并且此时，得2分）连结SM,SN, 在△SON 和△SOM 中分别用余弦定理,8分故摄影者可以将彩杆全部摄入画面. 10分考点：解三角形的实际应用；余弦定理 18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：（a ＞b ＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a ，b 的值．（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点．（ⅰ）若k ＝1，求△OAB 面积的最大值；（ⅱ）若PA 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，求k 的值．【答案】（1）＋y 2＝1．（2）（ⅰ）m ＝±时，S △OAB 取得最大值1．（ⅱ）±.【解析】试题分析：（1）由椭圆几何条件知上顶点到焦点的距离为半长轴长，即a ＝2，又e，所以c ＝，故b ＝1．（2）（ⅰ）求△OAB 面积的最大值，关键建立其函数关系式，这要用到点到直线距离公式来求高，利用两点间距离公式来求底边边长：设点P （m ，0）（－2≤m≤2），直线l 的方程为y ＝x －m ．则可求得∣AB|＝，高为，从而S △OAB ＝×|m|，利用基本不等式求最值（ⅱ）由题意先表示出PA 2＋PB 2，再按m 整理，最后根据与点P 的位置无关得到对应项系数为零，从而解出k 的值．试题解析：（1）由题设可知a ＝2，e ，所以c ＝，故b ＝1．因此，a ＝2，b ＝1． 2分（2）由（1）可得，椭圆C 的方程为＋y 2＝1．设点P （m ，0）（－2≤m≤2），点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2）． (ⅰ)若k ＝1，则直线l 的方程为y ＝x －m ．联立直线l 与椭圆C 的方程，即．将y 消去，化简得－2mx ＋m 2－1＝0．从而有x 1＋x 2＝，x 1· x 2＝，而y 1＝x 1－m ，y 2＝x 2－m ，试卷第14页，共17页因此，∣AB|＝点O 到直线l 的距离d ＝，所以，S △OAB ＝×|AB|×d ＝×|m|，因此，S 2△OAB ＝ ( 5－m 2)×m 2≤＝1．6分又－2≤m≤2，即m 2∈[0，4]．所以，当5－m 2＝m 2，即m 2＝， m ＝±时，S △OAB 取得最大值1．8分(ⅱ)设直线l 的方程为y ＝k(x －m).将直线l 与椭圆C 的方程联立，即．将y 消去，化简得(1＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4(k 2m 2－1)＝0，解此方程，可得，x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝． 10分所以，PA 2＋PB 2＝(x 1－m)2＋y 12＋(x 2－m)2＋y 22＝ (x 12＋x 22)－2m(x 1＋x 2)＋2m 2＋2＝（*）. 14分因为PA 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，即（*）式取值与m 无关，所以有－8k 4－6k 2＋2＝0，解得k ＝±．所以，k 的值为±. 16分考点：椭圆基本量，直线与椭圆位置关系 19、(本题满分16分) 设函数.（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立.【答案】（1）- 4.（2）（3）详见解析【解析】试题分析：（1）利用导数求开区间函数最值，先从导函数出发，探求极值点即为最值点，最后需列表验证：由得（2）函数在定义域上是单调函数，即导函数不变号，≥0或≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立. 即2x 2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立或2x 2 +2x+b≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立，利用变量分离及函数最值可得：实数b的取值范围是.（3）证明和项不等式，关键分析出和项与通项关系：即证当时,有f(x) ＜x 3.这可利用导数给予证明试题解析：（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞), 对x ∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f / (1) = 0,解得b=" -" 4. 经检验，列表（略），合题意；（2）∵又函数在定义域上是单调函数，∴ ≥0或≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2 +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,即b≥-2x 2 -2x = 恒成立,由此得b≥;若≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2 +2x+b≤0,即b≤- (2x 2+2x)恒成立，因-(2x 2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立.综上所述，实数b 的取值范围是.试卷第16页，共17页（3）当b=" -" 1时，函数f(x) = x 2 - ln(x+1)，令函数h(x)="f(x)" – x 3 = x 2 – ln(x+1) – x 3，则h /(x) =" -" 3x 2 +2x - ，∴当时，h /(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减.又h(0)=0，∴当时，恒有h(x) ＜h(0)=0,即x 2 – ln(x+1) ＜x 3恒成立.故当时,有f(x) ＜x 3..∵取则有∴,故结论成立。

江苏省宿迁市三校2014-2015学年高二下学期第二次质量检测化学 Word版含答案.pdf

宿迁市三校2014-2015学年第二学期第二次质量检测高二化学试题 2015年4月可能用到的相对原子质量： 23 O 16 Cl 35.5 选择题（共40分）单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意。

下列有关能量的判断或表示方法正确的是 A．从C石墨＝C(金刚石ΔH＝1.9 kJ·mol－1，可知金刚石比石墨更稳定 B．等质量的硫蒸气和硫固体分别完全燃烧，后者放出热量更多C．由H+aq)＋OH－aq)＝H2Ol) ΔH＝57.3kJ·mol－1，向含0.1 mol HCl的中加入 4.0 gNaO固体，放出热量等于.73 kJ D．2 gH2完全燃烧生成液态水放出285.8 kJ热量，则氢气燃烧的热化学方程式为： 2H2(g)＋O2g)＝2H2O(l) ΔH＝-571.6 kJ·mol－1 H++HS-和HS-H++S2-。

若向H2S溶液中A.滴加新制氯水,溶液pH减小B.通入过量SO2气体,溶液pH增大C.加水,溶液中氢离子浓度增大D.加入少量硫酸铜固体,所有离子浓度都减小 3.下列有关说法正确的是 A．Cl(s)＝NH3(g)+HCl(g)室温下不能自发进行，说明该反应的ΔH0 B．镀锌铁制品镀层损后，铁制品比受损前更容易生锈，而镀锡铁则相反 C．N2(g)+3H2(g)2NH3(g)，其他条件不变时压缩气体体积使压强增大，正反应和逆反应速率以及H2的平衡转化率均增大 D．100℃时水的离子积常数Kw为×10－1，说明水的电离是放热反应4.Mg-H2O2电池可用于驱动无人驾驶的潜航器。

该电池以海水为电解质溶液，示意图如下。

该电池工作时，下列说法正确的是 AMg电极是该电池的正极B.石墨电极附近溶液的pH增大 CH2O2在石墨电极上发生氧化反应 D溶液中Cl－向正极移动下列图示与对应的叙述相符的是 A．图I表示某吸热反应分别在有、无催化剂的情况下反应过程中的能量变化 B．图Ⅱ表示（n）（V） C．图Ⅲ表示KNO3的溶解度曲线，图中a点所示的溶液是80℃时KNO3的不饱和溶液 D．图Ⅳ表示某可逆反应生成物的物质的量随反应时间变化的曲线，t反应最大 NA个电子 7.下列说法不正确的是 A．NH3·H2O NH4+＋H-达到平衡后，升高温度平衡正向移动 B．在海轮的外壳上镶入锌块，可减缓船体的腐蚀速率 C．明矾水解生成Al(OH)3胶体，可用作净水剂 D．如图1所示的反应过程中A＋B→X的△H＜0，X→C的△H＞0 MgSO4(s)+CO(g)MgO(s)+CO2(g)+SO2(g) ΔH>0 该反应在恒容的密闭容器中达到平衡后,若仅改变图中横坐标x的值,重新达到平衡后,纵坐标y随x变化趋势合理的是选项xyA温度容器内混合气体的密度BCO的物质的量CO2与CO的物质的量之比CSO2的浓度平衡常数KDMgSO4的质量(忽略体积)CO的转化率 9.室温下,对于0.10 mol·L-1的氨水,下列判断正确的是 A.与AlCl3溶液发生反应的离子方程式为Al3++3OH-Al(OH)3↓ B.其溶液的pH=13 C.用适量水稀释后,NH3·H2O电离度和溶液pH都增大 D.加水稀释后,溶液中c(NH4 +)·c(OH-)变小 10.一定温度下，在4个容积均为1 L的容器中分别进行反应(各容器中A都足量) A(s)+B(g) C(g)+D(g) ΔH=+100 kJ·mol-1，某时刻测得部分数据如下表：容器编号n(B)/moln(C)/moln(D)/mol反应时间/min反应速率Ⅰ0.060.600.10t1v(正)=v(逆)Ⅱ0.121.200.20t2Ⅲ0.321.000Ⅳ0.120.30v(正)=v(逆)下列说法正确的是 A．容器Ⅰ中平均反应速率v(B)=0.04/t1 mol·L-1·min-1 B．t2时容器Ⅱ中v(正)＞v(逆) C．容器Ⅲ中反应至平衡时吸热20 kJD．容器Ⅳ中c(D)=0.4 mol·L-1 不定项选择题：本题包括5小题，每小题4分，共计20分。

江苏省宿迁市三校高三下学期3月质量检测——数学数学

江苏省宿迁市三校2015届高三下学期3月质量检测数学试题注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、考试号、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

3、考试结束，考生将本试卷和答题卡一并交回。

否则不予计分。

参考公式：样本数据的方差，其中.一、填空题：(每题5分，共计70分)1、已知{}{}1,0,2,1,1,A B =-=-则 ▲ .2、已知复数，(i 为虚数单位)则复数的实部为 ▲ .3、写出命题:“若x =3，则x 2-2x -3=0”的否命题: ▲ ．4、一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的“茎叶图”如图，则他在这5场比赛中得分的方差为 ▲ .5、如图所示的流程图，输出的 ▲ .6、已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为▲ .7、若实数满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则的最大值为 ▲ ．8、已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为▲ .9、在等差数列中，为其前n 项的和，若则▲ .10、将的图像向右平移单位（），使得平移后的图像过点则的最小值为▲ ．11、若直线：被圆截得的弦长为2，则a= ▲ .12、已知函数f(x)= 22,0,3,0x ax x bx x x ⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为 ▲13、在三角形ABC 中，已知AB=3，A=,的面积为，则的值= ▲ .14、设点P,M,N分别在函数22,3y x y y x =+==+的图象上，且,则点P 横坐标的取值范围为 ▲ .二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15、（本小题满分14分）已知，（1）若，求的最大值及对应的x 的值.（2）若，，求tanx 的值.16、（本小题满分14分）已知三棱锥中，平面ABC,，D 为PB 中点，E 为的中点，（1）求证：平面；（2）求证:平面平面.17、（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25-x 万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润．．．．．最大？（利润=累计收入+销售收入-总支出）18、（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程;（2）若点B 在椭圆上，点D 在y 轴上，且，求直线AB 方程.19、已知数列满足，数列满足（1）若为等比数列，求的前n 项的和；（2）若，求数列的通项公式；（3）若，求证：121113na a a +++>20、已知函数，（1）求证： ;(2)设,求证：存在唯一的使得g(x)图象在点A()处的切线与y=f(x)图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得成立.参考答案一、填空、(每题5分，满分70分)1、，2、1,3、“若则”，4、2,5、4,6、，7、6,8、，9、40, 10、， 11、-2, 12、，13、， 14、。

数学_2014年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷(含答案)

2014年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．1. 已知集合M={3, 2a}，N={a, b}．若M∩N={4}，则M∪N=________．2. 已知复数z=3−i1+i（i是虚数单位），则z的虚部是________．3. 一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为________．4. 从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130, 140)内的学生人数为________．5. 执行如图所示算法的伪代码，则输出S的值为________．6. 已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．7. 已知点P(1, 0)到双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线的距离为12，则双曲线C的离心率为________．8. 在等比数列{a n}中，已知a1=1，a4=8．设S3n为该数列的前3n项和，T n为数列{a n3}的前n项和．若S3n=tT n，则实数t的值为________．9. 已知实数x，y满足条件{x−y≥0x+y≥0x≤1，则y−(12)x的最大值为________．10. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=1与函数y=3sinπ2x(0≤x≤10)的图象所有交点的横坐标之和为________．11. 已知P1(x1, x2)，P2(x2, y2)是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin(θ+π4)=35，则的x1x2+y1y2值为________．12. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=−x2−3x，则不等式f(x−1)>−x+4的解集是________．13. 如图，在△ABC中，已知∠BAC=π3，AB=2，AC=3，DC→=2BD→，AE →=3ED →，则|BE →|=________． 14. 已知函数f(x)=1e x−ax(a ∈R)．若存在实数m ，n ，使得f(x)≥0的解集恰为[m, n]，则a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在△ABC 中，已知C =π6，向量m →=(sinA, 1)，n →=(1, cosB)，且m →⊥n →．（1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD →=BC →，AD →=√13，求△ABC 的面积．16. 如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，AD // BC ，∠BAD =60∘AB =2，DE =EF =1．（1）求证：BC // EF ；（2）求三棱锥B −DEF 的体积．17. 根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率P 与日产量x（件）之间近似地满足关系式P ={215−x ，1≤x ≤9，x ∈N ∗x 2+60540，10≤x ≤20，x ∈N∗（日产品废品率=日废品量日产量×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润Y =日正品赢利额-日废品亏损额）（1）将该车间日利润y （千元）表示为日产x （件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？18.如图，已知A 1，A 2，B 1，B 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个顶点，△A 1B 1B 2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M ．（1）求椭圆C 及圆M 的方程；（2）若点D 是圆M 劣弧A 1B 2̂上一动点（点D 异于端点A 1，B 2），直线B 1D 分别交线段A 1B 2，椭圆C 于点E ，G ，直线B 2G 与A 1B 1交于点F ．(I)求GB1EB1的最大值；(II)试问：E，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19. 已知数列{a n}，{b n}满足a1=3，a n b n=2，b n+1=a n(b n−21+a n)，n∈N∗．（1）求证：数列{1b n}是等差数列，并求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=2a n−5，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数q，r(p<q<r)，使得1c p ，1c q，1c r成等差数列？若存在，试用p表示q，r；若不存在，说明理由．20. 已知函数f(x)=ax2+(1−2a)x−lnx(a∈R)．（1）当a>0时，求函数f(x)的单调增区间；（2）当a<0时，求函数f(x)在区间[12, 1]上的最小值；（3）记函数y=f(x)图象为曲线C，设点A(x1, x2)，B(x2, y2)是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．三、附加题选做题，本题包括21-24四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修4-1：几何证明选讲21. 如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．选修4-2：矩阵与变换22. 已知矩阵A=[12c d]（c，d为实数）．若矩阵A属于特征值2，3的一个特征向量分别为[2 1]，[11]，求矩阵A的逆矩阵A−1．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在极坐标系中，已知圆A的圆心为(4, 0)，半径为4，点M为圆A上异于极点O的动点，求弦OM中点的轨迹的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24. 已知x，y，z∈R，且x+2y+3z+8=0．求证：(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2≥14．四、【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知CA=CB=1，AA1=2，∠BCA=90∘．（1）求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；（2）求二面角B−AB1−C平面角的余弦值．26. 在数列{a n}中，已知a1=20，a2=30，a n+1=3a n−a n−1(n∈N∗, n≥2)．（1）当n=2，3时，分别求a n2−a n−1a n+1的值，判断a n2−a n−1a n+1是否为定值，并给出证明；（2）求出所有的正整数n，使得5a n+1a n+1为完全平方数．2014年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷答案1. {2, 3, 4}2. −23. 134. 305. 166. 6π7. 2√338. 79. 1210. 3011. −√21012. (4, +∞)13. √134)14. (0, 1e15. 解：（1）∵ m→=(sinA, 1)，n→=(1, cosB)，且m→⊥n→，∴ sinA+cosB=0，又C =π6，A +B +C =π，∴ sinA +cos(5π6−A)=0，即sinA −√32cosA +12sinA =sin(A −π6)=0，又0<A <5π6，∴ A −π6∈(−π6, 2π3)， ∴ A −π6=0，即A =π6；（2）设|BD →|=x ，由3BD →=BC →，得|BC →|=3x ，由（1）知A =C =π6， ∴ |BA →|=3x ，B =2π3，在△ABD 中，由余弦定理，得13=9x 2+x 2+3x 2，解得：x =1， ∴ AB =BC =3，则S △ABC =12BA ⋅BC ⋅sinB =12×3×3×sin2π3=9√34．16. （1）证明：因为AD // BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，所以BC // 平面ADEF ，…又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF ∩平面ADEF =EF ，所以BC // EF ． …（2）解：在平面ABCD 内作BH ⊥AD 于点H ，因为DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BH ，又AD ，DE ⊂平面ADEF ，AD ∩DE =D ，所以BH ⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥B −DEF 的高． …在直角三角形ABH 中，∠BAD =60∘，AB =2，所以BH =√3，因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AD ，又由（1）知，BC // EF ，且AD // BC ，所以AD // EF ，所以DE ⊥EF ，… 所以三棱锥B −DEF 的体积V =13×S △DEF ×BH =√36． … 17. 当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是1009千元．18. 解：（1）由题意知，B 2(0, 1)，A 1(−√3,0)， ∴ b =1，a =√3，∴ 椭圆C 的方程为x 23+y 2=1，…圆心M(−√33, 0)，半径A 1M =2√33， ∴ 圆M 的方程为(x +√33)2+y 2=43．…(2)(I)设直线B 1D 的方程为y =kx −1，k <−√33，与直线A 1B 2的方程y =√33x +1联立，解得点E(√3√3k−1√3k+1√3k−1)，… 联立{y =kx −1x 23+y 2=1，消去y 并整理得，(1+3k 2)x 2−6kx =0，解得点G(6k3k 2+1, 3k 2−13k 2+1)，…GB 1EB 1=|x G ||x E |=|6k3k 2+1|2√3√3k −1=3k 2−√3k 3k 2+1 =1−√3k +13k 2+1=1+1−(√3k +1)2−(√3k +1)+2≤12√2+2=√2+12，当且仅当k =−√6+√33时，取“=”， ∴GB 1EB 1的最大值为√2+12．… (II)直线B 2G 的方程为y =3k 2−13k 2+1−16k 3k 2+1x +1=−13k x +1，与直线A 1B 1的方程y =−√33x −1联立，解得点F(√3k−1, √3k+1√3k−1)，… ∴ E 、F 两点的横坐标之和为√3√3k−1√3k−1=−2√3．故E 、F 两点的横坐标之和为定值，该定值为−2√3．… 19. （1）证明：∵ a n b n =2，∴ a n =2b n，则b n+1=a n b n −2a n 1+a n=2−4b n1+2b n =2−4b n +2=2b nbn +2，… ∴ 1bn+1=1b n+12，又a 1=3，∴ b 1=23，∴ {1b n}是首项为32，公差为12的等差数列，…即1b n=32+(n −1)×12=n+22，∴ b n =2n+2．…（2）解：由（1）知a n =n +2，∴ c n =2a n −5=2n −1， ∵ 1c p，1c q，1c r成等差数列，则22q−1=12p−1+12r−1，∴ 12r−1=22q−1−12p−1=4p−2q−1(2p−1)(2q−1)，即2r −1=(2p−1)(2q−1)4q−2p−1，∴ r =2pq+p−2q 4p−2q−1，…欲满足题设条件，只需q =2p −1，此时r =4p 2−5p +2，…∵ 对于任意给定的正整数p ，存在正整数q ，r(p <q <r)，使得1c p，1c q，1c r成等差数列，∴ q =2p −1>p ，r −q =4p 2−7p +3=4(p −1)2+p −1>0，即r >q ．且p >1．…综上所述，当p >2时，存在q =2p −1，r =4p 2−5p +2，满足题设条件．… 20. 解：（1）∵ f(x)=ax 2+(1−2a)x −lnx ， ∴ f ′(x)=2ax +(1−2a)−1x =2ax 2+(1−2a)x−1x=(2ax+1)(x−1)x，∵ a >0，x >0，∴ 2ax +1>0，解f′(x)>0，得x >1， ∴ f(x)的单调增区间为(1, +∞)；（2）当a <0时，由f′(x)=0，得x 1=−12a ，x 2=1， ①当−12a >1，即−12<a <0时，f(x)在(0, 1)上是减函数， ∴ f(x)在[12,1]上的最小值为f(1)=1−a ．②当12≤−12a ≤1，即−1≤a ≤−12时，f(x)在[12，−12a ]上是减函数，在[−12a ，1]上是增函数， ∴ f(x)的最小值为f(−12a )=1−14a +ln(−2a)． ③当−12a <12，即a <−1时，f(x)在[12，1]上是增函数，∴ f(x)的最小值为f(12)=12−34a +ln2．综上，函数f(x)在区间[12，1]上的最小值为：f(x)min={12−34a +ln2a <−11−14a +ln(−2a)−1≤a ≤−121−a −12<a <0（3）设M(x 0, y 0)，则点N 的横坐标为x 0=x 1+x 22，直线AB 的斜率k 1=y 1−y2x 1−x 2=1x 1−x 2[a(x 12−x 22)+(1−2a)(x 1−x 2)+lnx 2−lnx 1]=a(x 1+x 2)+(1−2a)+lnx 2−lnx 1x 1−x 2，曲线C 在点N 处的切线斜率k 2=f ′(x 0)=2ax 0+(1−2a)−1x 0=a(x 1+x 2)+(1−2a)−2x1+x 2，假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则k 1=k 2，即lnx 2−lnx 1x 1−x 2=−2x1+x 2，∴ ln x 2x 1=2(x 2−x 1)x 1+x 2=2(x 2x 1−1)1+x 2x 1，不妨设x 1<x 2，x2x 1=t >1，则lnt =2(t−1)1+t ，令g(t)=lnt −2(t−1)1+t(t >1)，则g ′(t)=1t−4(1+t)2=(t−1)2t(1+t)2>0，∴ g(t)在(1, +∞)上是增函数，又g(1)=0， ∴ g(t)>0，即lnt =2(t−1)1+t不成立，∴ 曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB ． 21. 证明：∵ AE =AC ，∠CDE =∠AOC ，又∠CDE =∠P +∠PDF ，∠AOC =∠P +∠OCP ，从而∠PDF =∠OCP ．在△PDF 与△POC 中，∠P =∠P ，∠PDF =∠OCP ，故△PDF ∽△POC ．22. 解：由题意知，[12c d ][21]=2[21]，[12c d ][11]=3[11]，所以{2c +d =2c +d =3，解得{c =−1d =4 …所以A =[12−14]，所以A −1=[23−131616]． …23. 解：由题意知，圆A 的极坐标方程为ρ=8cosθ，设弦OM 中点为N(ρ, θ)，则M(2ρ, θ)，因为点M 在圆A 上，所以2ρ=8cosθ，即 ρ=4cosθ，又点M 异于极点O ，所以ρ≠0，所以弦OM 中点的轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ (ρ≠0)．24. 证明：因为：[(x −1)2+(y +2)2+(z −3)2](12+22+32)≥[(x −1)+(y +2)+(z −3)]2=(x +2y +3z −6)2=142，… 当且仅当x−11=y+22=z−33，即x =z =0，y =−4时，取等号，所以：(x −1)2+(y +2)2+(z −3)2≥14． …25. 解：（1）建立如下图所示的空间直角坐标系．∵ CA =CB =1，AA 1=2，∴ A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，A 1(1, 0.2)，B 1(0, 1, 2)， ∴ CB 1→=(0, 1, 2)，BA 1→=(1, −1, 2)，设异面直线BA 1与CB 1夹角为θ，则cosθ=|CB 1→|⋅|BA 1→|˙=3√6×√5=√3010… （2）由（1）得：AB →=(−1, 1, 0)，AB 1→=(−1, 1, 2)，设平面AB 1C 的法向量为m →=(x, y, z)，则{m →⋅CB 1→=0˙，即{−x +y +2z =0y +2z =0，取y =2，则平面AB 1C 的一个法向量为m →=(0, 2, −1)；设平面BAB 1的法向量为n →=(r, s, t)，则{n →⋅AB →=0˙，即{−r +s +2t =0−r +s =0，取r =1，则平面BAB 1的一个法向量为n →=(1, 1, 0)；设二面角B −AB 1−C 平面角的平面角为α，则cosα=|m →|⋅|n →|˙=√5×√2=√105所以二面角B −AB 1−C 平面角的余弦值为√105． … 26. 解：（1）由已知得a 3=70，a 4=180．所以n =2时，a n 2−a n−1a n+1=−500；当n =3时，a n 2−a n−1a n+1=−500．…猜想：a n 2−a n−1a n+1=−500(n ≥2)． … 下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，结论成立．②假设当n =k(k ≥2, k ∈N ∗)时，结论成立，即a k 2−a k−1a k+1=−500，将a k−1=3a k −a k+1，代入上式，可得a k 2−3a k a k+1+a k+12=−500．则当n =k +1时，a k+12−a k+1a k+2=a k+12−a k (3a k+1−a k )=a k+12−3a k a k+1+a k 2=−500．故当n =k +1结论成立，根据①，②可得，a n 2−a n−1a n+1=−500(n ≥2)成立．…（2）将a n−1=3a n −a n+1代入a n 2−a n−1a n+1=−500，得a n 2−3a n a n+1+a n+12=−500，则5a n−1a n+1=(a n +a n+1)2+500，5a n−1a n+1+1=(a n +a n+1)2+501，设5a n−1a n+1+1=t 2(t ∈N ∗)，则t 2−(a n +a n+1)2+501，即[t −(a n +a n+1)][t +(a n +a n+1)]=501，… 又a n +a n+1∈N ，且501=1×501=3×167，故{a n +a n+1−t =−1a n +a n+1+t =501 或{a n +a n+1−t =−3a n +a n+1+t =167所以{t =251a n +a n+1=250 或{t =85a n +a n+1=82由a n +a n+1=250解得n =3；由a n +a n+1=82得n 无整数解．所以当n =3时，满足条件． …。

江苏省宿迁市三校2014-2015学年高一下学期4月月考数学试卷含解析

江苏省宿迁市三校2014-2015学年高一下学期4月月考数学试卷一、填空题（共14小题）1.不等式的解集为_________2.在中，，，，则__________3.已知等差数列中，已知，，则_________4.已知三个数成等比数列，该数列公比_________5.在中,，，，则=__________6.已知等差数列中，已知，，则_________7.在等比数列中，，，则_________8。

若点在直线的下方，则的取值范围是__________9。

在中,角、、的对边分别为，，，若,则________10。

已知等差数列的前n项和为,，则数列的前100项和为_________11。

在中，若,则的形状为_________12.设关于的不等式的解集中整数的个数为，数列的前项和为，则_________13.在等比数列中,若，则_________14。

数列的前项和为__________二、解答题（共6小题）15.解关于的不等式.16。

已知,,分别为三个内角、、的对边,. （1)求；（2)若,的面积为,求。

17。

在等差数列中，。

（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和,求的值。

18.某地今年年初有居民住房面积为m2，其中需要拆除的旧房面积占了一半，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10％的住房增长率建设新住房，同时每年拆除m2的旧住房,又知该地区人口年增长率为4.9‰．(1)如果10年后该地区的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积是多少？（2)依照(1）拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧房？下列数据供计算时参考：19。

已知数列满足，.（1)令，证明：是等比数列；（2）求的通项公式.20。

已知数列的前项和与通项满足.(1)求数列的通项公式;(2）设，求；（3）若，求的前项和.答案部分1。

考点:一元二次不等式试题解析：由得,即,所以解集为答案：2.考点:正弦定理试题解析:因为,，所以，由正弦定理得答案：13.考点：等差数列试题解析：答案：34。

2014年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷

2014年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合M={3，2a}，N={a，b}．若M∩N={4}，则M∪N= ______ ．【答案】{2，3，4}【解析】解：∵M={3，2a}，N=（a，b），且M∩N={4}，∴2a=4，且a=4或b=4，解得：a=2，b=4，∴M={3，4}，N={2，4}，则M∪N={2，3，4}．故答案为：{2，3，4}根据M与N的交集，得到4属于M，属于N，进而确定出a与b的值，即可求出两集合的并集．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.已知复数z=（i是虚数单位），则z的虚部是______ ．【答案】-2【解析】解：∵z==，∴z的虚部是-2．故答案为：-2．直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z的虚部可求．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为______ ．【答案】【解析】解：一共投掷可能性有6×6=36种．和为5的必须一次为2，一次为3，共有2=12种，则概率P==．故答案为：．古典概型，可用列举法列举出所有可能，然后找出数字之和为5的或者去掉数字之和不是5的事件．本题考查古典概型，必须注意保证每个基本事件的概率相等．4.从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140）内的学生人数为______ ．【答案】30【解析】解：由频率分布直方图得：数据不在[130，140]之间的学生频率为（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.7，∴数据在[130，140]之间的学生的频率为：1-0.7=0.3，∴成绩在[130，140）内的学生人数为0.3×100=30．故答案为：30由频率分布直方图得数据不在[130，140]之间的学生频率，再求出数据在[130，140]之间的学生的频率，得到成绩在[130，140）内的学生人数．本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．5.执行如图所示算法的伪代码，则输出S的值为______ ．【答案】16【解析】解：由算法语句知：S=0+1；S=1+3；S=1+3+5；S=1+3+5+7=16．∴输出S=16．故答案为：16．根据算法语句的含义，依次计算S的值，可得答案．本题考查了顺序结构的算法语句，读懂语句的含义是关键．6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为______ ．【答案】6π【解析】解：∵圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，故圆柱的母线l=2，故圆柱的表面积S=2πr（r+l）=6π，故答案为：6π根据已知求出圆柱的母线长，代入圆柱表面积公式S=2πr（r+l）可得答案．本题考查的知识点是旋转体，圆柱的表面积，熟练掌握圆柱的表面积公式，是解答的关键．7.已知点P（1，0）到双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为______ ．【答案】【解析】解：∵双曲线的渐近线为bx±ay=0，∴点P（1，0）到bx±ay=0的距离d==，∴c=2b，∴a=b，∴e==．故答案为：．先求出双曲线的渐近线，再由点P（1，0）到bx±ay=0的距离d==，得到a=b，由此求解．本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．8.在等比数列{a n}中，已知a1=1，a4=8．设S3n为该数列的前3n项和，T n为数列{a n3}的前n项和．若S3n=t T n，则实数t的值为______ ．【答案】7【解析】解：∵等比数列{a n}中a1=1，a4=8．∴等比数列{a n}的公比q==2，∴S3n===8n-1，又可得数列{a n3}是1为首项8为公比的等比数列，∴其前n项和T n==（8n-1）由S3n=t T n可得8n-1=t×（8n-1），解得t=7故答案为：7由题意可得等比数列{a n}的公比，可求S3n，可判数列{a n3}是1为首项8为公比的等比数列，可得T n，代入已知可解t值．本题考查等比数列的求和公式，属基础题．9.已知实数x，y满足条件，则y-（）x的最大值为______ ．【答案】【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=y-（）x，则y=（）x+z，平移曲线y=（）x+z，当曲线y=（）x+z经过点A时，z取得最大值，由，解得，即A（1，1），此时z=1-（）1=，故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，设z=y-（）x，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及指数函数的图象是解决本题的关键．10.在平面直角坐标系x O y中，直线y=1与函数y=3sin x（0≤x≤10）的图象所有交点的横坐标之和为______ ．【答案】30【解析】解：∵y=3sin x的周期T==4，∴当0≤x≤10时，其图象如下：由图知，直线y=1与正弦曲线y=3sin x（0≤x≤10）相交于A、B、C、D、E、F6个点，其横坐标如图所示，则x1+x2=2，x3+x4=10，x5+x6=18，∴所有交点的横坐标之和为2+10+18=30．故答案为：30．依题意，易求y=3sin x的周期为4，作出当0≤x≤10时的函数图象，从而可得线y=1与函数y=3sin x（0≤x≤10）的图象所有交点的横坐标之和．本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查其周期性，作图是关键，也是难点，属于中档题．11.已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin（）=，则的x1x2+y1y2值为______ ．【答案】-【解析】解：由题意可得＜θ＜π，sin（）=＞0，∴还是钝角，∴cos（）=-，∴，∴cosθ=-．∴•=x1•x2+y1•y2=||•||cosθ=1×1×（-）=-，故答案为：-．由条件求得cos（）的值，可得cosθ的值，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得x1x2+y1y2的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式，属于基础题．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=-x2-3x，则不等式f （x-1）＞-x+4的解集是______ ．【答案】（4，+∞）【解析】解：∵函数f（x）是奇函数，令x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=-（-x）2+3x=-x2+3x=-f（x），∴f（x）=x2-3x，∴，当x-1≤0，即x≤1，f（x-1）=-（x-1）2-3（x-1）=-x2-x+2，∵f（x-1）＞-x+4，∴x2＜-2（舍去）当x-1＞0，即x＞1，f（x-1）=（x-1）2-3（x-1）=x2-5x+4，∵f（x-1）＞-x+4∴x2-4x＞0∴x＜0或x＞4，又x＞1，∴x＞4．故答案为：（4，+∞）．首先，根据函数f（x）是奇函数，求解当x＞0时，函数的解析式，然后，分别令x-1≤0和x-1＞0两种情形进行讨论，求解不等式的解集．本题重点考察了函数为奇函数，且解析式为分段函数问题，不等式的性质等知识，考查比较综合，属于中档题．13.如图，在△ABC中，已知∠BAC=，AB=2，AC=3，=2，=3，则||= ______ ．【答案】【解析】解：∵=2，=3，∴=，=，∴=-=-=（）-=+=+×=+×（-）=∴====∴||=故答案为：．由向量的运算用向量和表示向量，可得的值，由模长公式可得．本题考查平面向量数量积的运算，涉及平面向量基本定理和模长公式，属中档题．14.已知函数f（x）=（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是______ ．【答案】（0，）【解析】解：当a=0时，f（x）==＞0，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＜0时，f（x）=＞0，此时函数f（x）单调递减，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＞0时，由f（x）≥0得，当x＜0，＞0，＜，此时（x）=＞0，则f（x）≥0的解集为（-∞，0），不满足条件，当x＞0时，不等式等价为a，设g（x）=，则g，当x＞1时，g （x）＜0，当0＜x＜1时，g （x）＞0，即当x=1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）=，∴若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则必有a＜，即0＜a＜，故答案为：（0，）分别讨论a的取值范围，利用参数分离法，结合导数研究函数的最值即可得到结论．本题主要考查导数的综合应用，考查分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．二、解答题(本大题共12小题，共154.0分)15.在△ABC中，已知C=，向量=（sin A，1），=（1，cos B），且．（1）求A的值；（2）若点D在边BC上，且3=，=，求△ABC的面积．【答案】解：（1）∵=（sin A，1），=（1，cos B），且⊥，∴sin A+cos B=0，又C=，A+B+C=π，∴sin A+cos（-A）=0，即sin A-cos A+sin A=sin（A-）=0，又0＜A＜，∴A-∈（-，），∴A-=0，即A=；（2）设||=x，由3=，得||=3x，由（1）知A=C=，∴||=3x，B=，在△ABD中，由余弦定理，得13=9x2+x2+3x2，解得：x=1，∴AB=BC=3，则S△ABC=BA•BC•sin B=×3×3×sin=．【解析】（1）由两向量的坐标及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，根据C的度数，利用内角和定理表示出B，代入得出的关系式中计算即可求出A的度数；（2）设||=x，由3=，得||=3x，由A的度数与C度数相等，可得出||=3x，B=，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC 的长，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16.如图，在五面体ABCDEF中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=60°AB=2，DE=EF=1．（1）求证：BC∥EF；（2）求三棱锥B-DEF的体积．【答案】（1）证明：因为AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，…（3分）又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，所以BC∥EF．…（6分）（2）解：在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，因为DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以DE⊥BH，又AD，DE⊂平面ADEF，AD∩DE=D，所以BH⊥平面ADEF，所以BH是三棱锥B-DEF的高．…（9分）在直角三角形ABH中，∠BAD=60°，AB=2，所以BH=，因为DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以DE⊥AD，又由（1）知，BC∥EF，且AD∥BC，所以AD∥EF，所以DE⊥EF，…（12分）所以三棱锥B-DEF的体积V=×S△DEF×BH=．…（14分）【解析】（1）先证明BC∥平面ADEF，再利用线面平行的性质，证明BC∥EF；（2）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，证明BH是三棱锥B-DEF的高，即可求三棱锥B-DEF的体积．本题考查线面平行的判定与性质，考查三棱锥B-DEF的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率P与日产量x（件）之间近似地满足关系式P=，，，，（日产品废品率=日废品量日产量×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润Y=日正品赢利额-日废品亏损额）（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产x（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？【答案】解：（1）由题意可知，y=2x（1-p）-px=，，，（2）考虑函数f（x）=px=，，，当1≤x≤9时，f （x）=2-，令f （x）=0，解得x=15-3，当1≤x＜15-3时，f （x）＞0，函数f（x）在[1，15-3）上单调递增，当15-3＜x≤9时，f （x）＜0，函数f（x）在（15-3，9]上单调递减，所以当x=15-3时，f（x）取得极大值，也是最大值，又x是整数，f（8）=，f（9）=9，所以当x=8时，f（x）有最大值．当10≤x≤20时，f （x）==≤0，所以函数f（x）在[10，20]上单调减，所以当x=10时，f（x）取得极大值，也是最大值．由于＞，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．【解析】（1）由题意可知y=2x（1-p）-px，然后把p代入即可．（2）由于所得函数是分段函数，需要分段讨论，利用导数来求最值，最后确定最大日利润本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查函数模型的建立，考查利用函数思想解决实际问题，关键是实际问题向数学问题的转化，即建模，同时又用来解决实际问题．18.如图，已知A1，A2，B1，B2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的四个顶点，△A1B1B2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M．（1）求椭圆C及圆M的方程；（2）若点D是圆M劣弧上一动点（点D异于端点A1，B2），直线B1D分别交线段A1B2，椭圆C于点E，G，直线B2G与A1B1交于点F．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）试问：E，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】解：（1）由题意知，B2（0，1），，，∴b=1，a=，∴椭圆C的方程为，…（2分）圆心M（-，0），半径，∴圆M的方程为（x+）2+y2=．…（4分）（2）（Ⅰ）设直线B1D的方程为y=kx-1，k＜-，与直线A1B2的方程y=联立，解得点E（，），…（6分）联立，消去y并整理得，（1+3k2）x2-6kx=0，解得点G（，），…（9分）====1-=1+≤1+=，当且仅当k=-时，取“=”，∴的最大值为．…（12分）（Ⅱ）直线B2G的方程为y==-，与直线A1B1的方程y=-联立，解得点F（，），…（14分）∴E、F两点的横坐标之和为．故E、F两点的横坐标之和为定值，该定值为-2．…（16分）【解析】（1）由已知条件求出椭圆C的方程为，由此能求出圆M的方程．（2）（Ⅰ）设直线B1D的方程为y=kx-1，与直线A1B2的方程y=联立，解得点E（，），联立，解得点G（，，由此能求出的最大值．（Ⅱ）直线B2G的方程为y=-，与直线A1B1的方程y=-联立，解得点F （，），由此能求出E、F两点的横坐标之和为定值为-2．本题考查椭圆方程及圆的方程的求法，考查两条线段比值的最大值的求法，考查两点横坐标之各为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．19.已知数列{a n}，{b n}满足a1=3，a n b n=2，b n+1=a n（b n-），n∈N*．（1）求证：数列{}是等差数列，并求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=2a n-5，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数q，r（p＜q ＜r），使得，，成等差数列？若存在，试用p表示q，r；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：∵a n b n=2，∴，则b n+1=a n b n-=2-=2-=，…（2分）∴，又a1=3，∴，∴{}是首项为，公差为的等差数列，…（4分）即=，∴．…（6分）（2）解：由（1）知a n=n+2，∴c n=2a n-5=2n-1，∵，，成等差数列，则=，∴=，即2r-1=，∴r=，…（10分）欲满足题设条件，只需q=2p-1，此时r=4p2-5p+2，…（12分）∵对于任意给定的正整数p，存在正整数q，r（p＜q＜r），使得，，成等差数列，∴q=2p-1＞p，r-q=4p2-7p+3=4（p-1）2+p-1＞0，即r＞q．且p＞1．…（14分）综上所述，当p＞2时，存在q=2p-1，r=4p2-5p+2，满足题设条件．…（16分）【解析】（1）由已知条件推导出b n+1=a n b n-=，由此能证明{}是等差数列，并能求出数列{b n}的通项公式．（2）由a n=n+2，得c n=2a n-5=2n-1，由此推导出当p＞1时，存在q=2p-1，r=4p2-5p+2，满足题设条件．本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查使得数列为等差数列的正20.已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当a＜0时，求函数f（x）在区间[，1]上的最小值；（3）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x1，x2），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．试问：曲线C 在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．【答案】解：（1）∵f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx，∴=，∵a＞0，x＞0，∴2ax+1＞0，解f （x）＞0，得x＞1，∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）；（2）当a＜0时，由f （x）=0，得，x2=1，①当＞1，即＜＜时，f（x）在（0，1）上是减函数，∴f（x）在[，]上的最小值为f（1）=1-a．②当，即-1时，f（x）在，上是减函数，在，上是增函数，∴f（x）的最小值为．③当＜，即a＜-1时，f（x）在，上是增函数，∴f（x）的最小值为．综上，函数f（x）在区间，上的最小值为：＜＜＜（3）设M（x0，y0），则点N的横坐标为，直线AB的斜率==，曲线C在点N处的切线斜率=，假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，即，∴，不妨设x1＜x2，＞，则，令＞，则＞，∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，∴g（t）＞0，即不成立，∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．【解析】（1）求出函数f（x）的导函数，由a＞0，定义域为（0，+∞），再由f （x）＞0求得函数f（x）的单调增区间；（2）当a＜0时，求出导函数的零点，，分＞1，，＜讨论函数f（x）在区间[，1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a的分段函数；（3）设出线段AB的中点M的坐标，得到N的坐标，由两点式求出AB的斜率，再由导数得到曲线C过N点的切线的斜率，由斜率相等得到，令后构造函数＞由导数证明不成立．本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题，特别是对于（3）的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题．21.如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．【答案】证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，从而∠PDF=∠OCP．在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，故△PDF∽△POC．【解析】要证明△PDF∽△POC，由于已知两个三角形有个公共角∠P，而题目中未给出与线段对应成比例的条件，故可根据判断定理一来证明三角形相似，故我们还需要再找到一个相等的角．证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似．（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．22.已知矩阵A=（c，d为实数）．若矩阵A属于特征值2，3的一个特征向量分别为，，求矩阵A的逆矩阵A-1．【答案】解：由题意知，=2，=3，所以，解得…（5分）所以A=，所以A-1=．…（10分）【解析】根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立等式关系，求出矩阵A，即可求出逆矩阵A-1．．本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．23.在极坐标系中，已知圆A的圆心为（4，0），半径为4，点M为圆A上异于极点O 的动点，求弦OM中点的轨迹的极坐标方程．【答案】解：由题意知，圆A的极坐标方程为ρ=8cosθ，设弦OM中点为N（ρ，θ），则M（2ρ，θ），因为点M在圆A上，所以2ρ=8cosθ，即ρ=4cosθ，又点M异于极点O，所以ρ≠0，所以弦OM中点的轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ（ρ≠0）．【解析】由题意知，圆A的极坐标方程为ρ=8cosθ，设弦OM中点为N（ρ，θ），则M（2ρ，θ），根据点M在圆A上，建立关于ρ、θ的等式，即为所求．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，求点的轨迹方程的方法，属于基础题．24.已知x，y，z∈R，且x+2y+3z+8=0．求证：（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2≥14．【答案】证明：因为：[（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2]（12+22+32）≥[（x-1）+（y+2）+（z-3）]2 =（x+2y+3z-6）2=142，…（8分）当且仅当，即x=z=0，y=-4时，取等号，所以：（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2≥14．…（10分）【解析】由柯西不等式，可得：[（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2]（12+22+32）≥[（x-1）+（y+2）+（z-3）]2=（x+2y+3z-6）2，即可得出结论．此题主要考查一般形式的柯西不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力．25.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知CA=CB=1，AA1=2，∠BCA=90°．（1）求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；（2）求二面角B-AB1-C平面角的余弦值．【答案】解：（1）建立如下图所示的空间直角坐标系．2），∴=（0，1，2），=（1，-1，2），设异面直线BA1与CB1夹角为θ，则cosθ===…（4分）（2）由（1）得：=（-1，1，0），=（-1，1，2），设平面AB1C的法向量为=（x，y，z），则，即，取y=2，则平面AB1C的一个法向量为=（0，2，-1）；设平面BAB1的法向量为=（r，s，t），则，即，取r=1，则平面BAB1的一个法向量为=（1，1，0）；设二面角B-AB1-C平面角的平面角为α，则cosα===所以二面角B-AB1-C平面角的余弦值为．…（10分）【解析】（1）建立空间直角坐标系，求出异面直线BA1与CB1的方向向量，代入向量夹角公式，可得异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；（2）求出平面AB1C的法向量和平面BAB1的一个法向量，代入向量夹角公式，可得二面角B-AB1-C平面角的余弦值．本题考查的知识点是直线与直线的夹角，二面角的平面角，建立空间坐标系，将空间夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．26.在数列{a n}中，已知a1=20，a2=30，a n+1=3a n-a n-1（n∈N*，n≥2）．（1）当n=2，3时，分别求a n2-a n-1a n+1的值，判断a n2-a n-1a n+1是否为定值，并给出证明；（2）求出所有的正整数n，使得5a n+1a n+1为完全平方数．【答案】解：（1）由已知得a3=70，a4=180．所以n=2时，a n2-a n-1a n+1=-500；当n=3时，a n2-a n-1a n+1=-500．…（2分）猜想：a n2-a n-1a n+1=-500（n≥2）．…（3分）下面用数学归纳法证明：①当n=2时，结论成立．②假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，结论成立，即a k2-a k-1a k+1=-500，将a k-1=3a k-a k+1，代入上式，可得a k2-3a k a k+1+a k+12=-500．则当n=k+1时，a k+12-a k+1a k+2=a k+12-a k（3a k+1-a k）=a k+12-3a k a k+1+a k2=-500．（2）将a n-1=3a n-a n+1代入a n2-a n-1a n+1=-500，得a n2-3a n a n+1+a n+12=-500，则5a n-1a n+1=（a n+a n+1）2+500，5a n-1a n+1+1=（a n+a n+1）2+501，设5a n-1a n+1+1=t2（t∈N*），则t2-（a n+a n+1）2+501，即[t-（a n+a n+1）][t+（a n+a n+1）]=501，…（7分）又a n+a n+1∈N，且501=1×501=3×167，故或所以或由a n+a n+1=250解得n=3；由a n+a n+1=82得n无整数解．所以当n=3时，满足条件．…（10分）【解析】（1）求出结果判断是否为定值，然后利用数学归纳法证明即可．（2）利用（1）化简求解a n+a n+1的值，通过5a n+1a n+1为完全平方数，求出所有的正整数n，即可．本题考查数列的综合运用，解题时要注意数学归纳法的证明技巧．。

江苏省宿迁市重点中学高三数学下学期期初试卷(含解析)

江苏省宿迁市重点中学2015届高三下学期期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=．2．（5分）已知（1+i）•z=﹣2i，那么复数z=．3．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为．（结果用数值表示）4．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于．5．（5分）为了解某地区2015届高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名2015届高三男生的体重．根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是．6．（5分）如图所示的流程图，最后输出的n的值是．7．（5分）已知向量，，满足||=1，||=，+=（，1），则向量+与向量﹣的夹角是．8．（5分）如图，正三棱锥P﹣ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足PD=PF=1，PE=2，则三棱锥P﹣DEF的体积是．9．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且，则λ1+λ2=10．（5分）已知锐角A，B满足tan（A+B）=2tanA，则tanB的最大值为．11．（5分）如图，点A，F分别是椭圆（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，直线AF与椭圆交于另一点B，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C，D两点，若=，则椭圆的离心率为．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是．14．（5分）设实数a，x，y，满足，则xy的取值范围是．二、解答题：15．（14分）设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，BC=BB1．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1．17．（14分）如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k=1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值．19．（16分）设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（1）若x=1时，函数f（x）取最小值，求实数b的值；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（3）若b=﹣1，证明对任意正整数n，不等式f（）＜1+++…+都成立．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：S n2=3n2a n+S n﹣12，a n≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a n}是递增数列．江苏省宿迁市重点中学2015届高三下学期期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．分析：根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，由交集的意义可得答案．解答：解：根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，故A∩B={1}．点评：本题考查交集的运算，解题时应认真分析集合的元素特征与集合间的关系，答案注意写成集合的形式．2．（5分）已知（1+i）•z=﹣2i，那么复数z=﹣1﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据（1+i）•z=﹣2i，可得复数z====﹣1﹣i，从而得到答案．解答：解：∵（1+i）•z=﹣2i，∴复数z====﹣1﹣i，故答案为﹣1﹣i．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．3．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为．（结果用数值表示）考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：根据题意，将这5个数分为奇数与偶数两个组，奇数组3个数，偶数组2个数；分析可得，若取出的2个数的和为奇数，则取出的2个数必有1个奇1个奇数；求出这种情况下的取法情况数，相加可得两个数的和是奇数的种数，最后再除以总数即得答案．解答：解：根据题意，将这5个数分为奇数与偶数两个组，奇数组3个数，偶数组2个数；若取出的2个数的和为奇数，则取出的2个数必有1个奇数和1个偶数；有C31•C21=6种取法，符合题意的总数共C52=10种取法；这两个数的和是奇数的概率为故答案为．点评：本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据所给的三项成等差数列，写出关系式，得到公比的值，把要求的代数式整理成只含有首项和公比的形式，约分化简得到结果．解答：解：成等差数列，∴a3=a1+2a2，∴q2﹣2q﹣1=0，∴q=1+，q=1﹣（舍去）∴===q2=3+2故答案为：3+2点评：本题考查数列的基本量的运算，本题解题的关键是根据条件得到首项和公比之间的关系，为后面在约分整理提供依据．5．（5分）为了解某地区2015届高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名2015届高三男生的体重．根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是40．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由频率分布直方图，得出体重值在区间[56.5，64.5）的频率，从而求出对应的频数．解答：解：根据频率分布直方图，得：体重值在区间[56.5，64.5）的频率是：（0.03+0.05+0.050.07）×2=0.40；∴体重值在区间[56.5，64.5）的频数是：100×0.40=40．故答案为：40．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应从图形求出题目中所需要的数据，进行解答，是基础题．6．（5分）如图所示的流程图，最后输出的n的值是4．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求满足P=++…+≥0.7的最小的正整数n+1的值，利用裂项相消法求得P，通过解不等式确定n+1的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=++…+≥0.7的最小的正整数n+1的值，又P=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∵≥0.7⇒n≥，∴输出的n=3+1=4．故答案为：4．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能和确定输出的n 值是解答本题的关键．7．（5分）已知向量，，满足||=1，||=，+=（，1），则向量+与向量﹣的夹角是π．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，先求出|+|与|﹣|的值，再由（+）•（﹣）=|+|×|﹣|cosθ，求出夹角θ的值．解答：解：设向量+与向量﹣的夹角是θ，θ∈[0，π]；∵||=1，||=，+=（，1），∴|+|==2，∴•=0，∴|﹣|==2；又∵（+）•（﹣）=|+|×|﹣|cosθ，∴1﹣3=2×2cosθ，即cosθ=﹣，∴θ=π．故答案为：π．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据向量的数量积的概念以及向量的运算法则，进行计算即可，是基础题．8．（5分）如图，正三棱锥P﹣ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足PD=PF=1，PE=2，则三棱锥P﹣DEF的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：过顶点P作PO⊥底面ABC，垂直为O，则点O是底面的中心．在正△ABC中，先由重心定理求出AO的长，进而在Rt△PAO中求出高PO，底面正△ABC的面积易求，再根据三棱锥的体积公式V三棱锥P﹣ABC，再求出三棱锥P﹣DEF的体积．解答：解：如图所示：过顶点P作PO⊥底面ABC，垂足为O，则点O是底面的中心．∵点O是底面的中心，即为△ABC的重心，∴OA=．在Rt△PAO中，由勾股定理得PO=．又∵S△ABC==4，∴V三棱锥P﹣ABC=•=．∵PD=PF=1，PE=2，∴三棱锥P﹣DEF的体积是•=．故答案为：．点评：理解正三棱锥的定义及体积的计算方法是解题的关键．9．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且，则λ1+λ2=考点：相等向量与相反向量．专题：计算题．分析：根据三角形是直角三角形，得到它的内心的位置，从而表示出向量，根据向量之间的加减关系，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．解答：解：∵由题意可知==，∴，∴两个数字之和是，故答案为：．点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的10．（5分）已知锐角A，B满足tan（A+B）=2tanA，则tanB的最大值为．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：先利用两角和的公式把tanB=tan（A+B﹣A）展开，把tan（A+B）=2tanA代入，整理后利用基本不等式求得tanB的最大值，进而根据等号成立的条件求得tanB的值，即可得出结果．解答：解：∵tanB=tan（A+B﹣A）====∵A为锐角，∴tanA＞0≥2当且仅当2tanA=时取“=”号，即tanA=∴0＜tanB≤∴tanB最大值是故答案为：．点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数和运用基本不等式求最值的问题．考查了学生对基础知识的综合运用和基本的运算能力．11．（5分）如图，点A，F分别是椭圆（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，直线AF与椭圆交于另一点B，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C，D两点，若=，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：设出AB，CD的方程，分别与椭圆方程联立，求导|CD|，|AB|，利用=，即可求得椭圆的离心率．解答：解：由题意，设AB的方程为：，则CD的方程为AB的方程与椭圆方程联立可得（a2+c2）x2﹣2a2cx=0，∴x=0或x=∴|AB|=×=CD的方程与椭圆方程联立可得（a2+c2）x2=a2c2，∴x=±∴|CD|=×=∵=∴∴∴故答案为．点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出|CD|，|AB|，属于中档题．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是+1．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质．专题：综合题．分析：设正方形边长为a，∠OBA=θ，从而在△OBC中，计算OC的长，利用三角函数，可求OC的最大值．解答：解：如图，设正方形边长为a，∠OBA=θ，则cosθ=，θ∈[0，）．在△OBC中，a2+1﹣2acos（+θ）=OC2，∴OC2=（2cosθ）2+1+2•2cosθ•sinθ=4cos2θ+1+2sin2θ=2cos2θ+2sin2θ+3=2sin（2θ+）+3，∵θ∈[0，），∴2θ+∈[，），∴2θ+=时，OC2的最大值为2+3∴线段OC长度的最大值是+1故答案为：+1点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数的化简，解题的关键是构建OC关于θ的三角函数，属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（21，24）．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得 log3（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24．由此求得abcd的范围．解答：解：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有 21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．点评：本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题．14．（5分）设实数a，x，y，满足，则xy的取值范围是[﹣，+]．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：通过已知条件化简求出xy的表达式，然后利用圆心与直线的距离小于等于半径，求出a的范围，利用二次函数的最值，求出xy最值即可．解答：解：实数a，x，y，满足，①2﹣②解得：2xy=3a2﹣6a+4，∵a2+2a﹣3≥0，∴a≥1或a≤﹣3．又，可得，综上令g（x）=（3a2﹣6a+4），对称轴为a=1，1∉，∴a=是g（x）最小：﹣，∴a=是g（x）最大：+．xy∈[﹣，+]；故答案为：[﹣，+]；点评：本题考查函数与方程的综合应用，直线与圆的位置关系，二次函数闭区间是的最值的应用，是中档题．二、解答题：15．（14分）设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，结合C=，可求角A的大小；（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+），即可求PM+PN的最大值及此时α的取值．解答：解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），所以有A=B或A+B=．…3分又因为C=，得A+B=，与A+B=矛盾，所以A=B，因此A=．…6分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM=PC•sin∠PCM=2sinα；在Rt△PNC中，PN=PC•sin∠PCN=PC•sin（π﹣∠PCB）=2sin[π﹣（α+）]=2sin （α+），α∈（0，）．…8分所以，PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+）．…12分因为α∈（0，），所以α+∈（，），从而有sin（α+）∈（，1]，即2sin（α+）∈（，2]．于是，当α+=，即α=时，PM+PN取得最大值2．…16分．点评：本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，确定PM+PN 是关键．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，BC=BB1．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；探究型．分析：（1）证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD．因为O、D分别是A1B、BC的中点，所以A1C∥OD．所以A1C∥平面AB1D．（2）由题意得：四边形BCC1B1是正方形．因为M为CC1的中点，D是BC的中点，所以△B1BD≌△BCM，所以∠BB1D=∠CBM，∠BDB1=∠CMB．所以BM⊥B1D．因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为AD⊥平面BB1C1C．且BM⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BM．利用线面垂直的判定定理可得BM⊥平面AB1D．解答：证明：（1）连接A1B，交AB1于点O，连接OD．∵O、D分别是A1B、BC的中点，∴A1C∥OD．∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（2）M为CC1的中点．证明如下：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=BB1，∴四边形BCC1B1是正方形．∵M为CC1的中点，D是BC的中点，∴△B1BD≌△BCM，∴∠BB1D=∠CBM，∠BDB1=∠CMB．又∵，，∴BM⊥B1D．∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C．∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM．∵AD∩B1D=D，∴BM⊥平面AB1D．∵AB1⊂平面AB1D，∴MB⊥AB1．点评：证明线面平行关键是在面内找到与已知直线平行的直线即可，解决探索性找点问题一般用检验的方法先检验线段的端点与中点再证明即可，也可以利用空间向量来解决这种探索性问题．17．（14分）如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosθ﹣3，sinθ+），=（﹣cosθ﹣3，﹣sinθ+），∴•=（cosθ﹣3）（﹣cosθ﹣3）+（sinθ﹣）（﹣sinθ﹣）=11（10分）||•||=×=×==由θ∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k=1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题设知a=2，e==，由此能求出a=2，b=1．（2）（i）由（1）得，椭圆C的方程为+y2=1．设点P（m，0）（﹣2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若k=1，则直线l的方程为y=x﹣m．联立直线l与椭圆C的方程，得x2﹣2mx+m2﹣1=0．|AB|=•，点O到直线l的距离d=，由此求出S△OAB取得最大值1．（ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣m）．将直线l与椭圆方程联立，得（1+4k2）x2﹣8mk2x+4（k2m2﹣1）=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出k的．解答：（本小题满分16分）解：（1）由题设知a=2，e==，所以c=，故b2=4﹣3=1．因此，a=2，b=1．…（2分）（2）（i）由（1）可得，椭圆C的方程为+y2=1．设点P（m，0）（﹣2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若k=1，则直线l的方程为y=x﹣m．联立直线l与椭圆C的方程，即．将y消去，化简得x2﹣2mx+m2﹣1=0．解得x1=，x2=，从而有，x1+x2=，x1•x2=，而y1=x1﹣m，y2=x2﹣m，因此，|AB|===•=•，点O到直线l的距离d=，所以，S△OAB=×|AB|×d=×|m|，因此，S2△OAB=（ 5﹣m2）×m2≤•（）2=1．…（6分）又﹣2≤m≤2，即m2∈[0，4]．所以，当5﹣m2=m2，即m2=，m=±时，S△OAB取得最大值1．…（8分）（ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣m）．将直线l与椭圆C的方程联立，即．将y消去，化简得（1+4k2）x2﹣8mk2x+4（k2m2﹣1）=0，解得，x1+x2=，x1•x2=．…（10分）所以PA2+PB2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=（x12+x22）﹣2m（x1+x2）+2m2+2=（*）．…（14分）因为PA2+PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有﹣8k4﹣6k2+2=0，解得k=±．所以，k的值为±．…（16分）点评：本题考查椭圆方程中的参数的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．19．（16分）设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（1）若x=1时，函数f（x）取最小值，求实数b的值；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（3）若b=﹣1，证明对任意正整数n，不等式f（）＜1+++…+都成立．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义及函数最值的意义得出f′（1）=0，求得b值；（2）由函数f（x）在定义域上是单调函数，可得f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立，转化为利用导数求函数的最值问题解决即可；（3）构造函数h（x）=f（x）﹣x3，利用导数判断且单调性，得出f（x）＜x3取x=x=，则有f（）＜（k∈N+），即得结论成立．解答：解：（1）由x+1＞0得x＞﹣1，∴f（x）的定义域为（﹣1，+∞），对x∈（﹣1，+∞），都有f（x）≥f（1），∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0，f′（x）=2x+，∴2+=0，解得b=﹣4．经检验，合题意；（2）∵f′（x）=2x+=，又函数f（x）在定义域上是单调函数，∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．若f′（x）≥0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，即b≥﹣2x2﹣2x=﹣2+恒成立，由此得b≥；若f′（x）≤0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≤0，即b≤﹣（2x2+2x）恒成立，因﹣（2x2+2x）在（﹣1，+∞）上没有最小值，∴不存在实数b使f（x）≤0恒成立．综上所述，实数b的取值范围是[，+∞）．（3）当b=﹣1时，函数f（x）=x2﹣ln（x+1），令函数h（x）=f（x）﹣x3=x2﹣ln（x+1）﹣x3，则h′（x）=﹣3x2+2x﹣=﹣，∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＜0所以函数h（x）在x∈[0，+∞）上是单调递减．又h（0）=0，∴当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＜h（0）=0，即x2﹣ln（x+1）＜x3恒成立．故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．∵k∈N+∴∈（0，+∞），取x=，则有f（）＜，∴f（）＜1+++…+，故结论成立．点评：本题考查了导数的几何意义及函数的最值意义以及利用导数判断函数的单调性及求最值等知识，考查不等式恒成立的条件等价转化思想、分类讨论思想的．综合应用较强，属难题．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：S n2=3n2a n+S n﹣12，a n≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a n}是递增数列．考点：等差关系的确定；数列的函数特性；数列的应用．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）分别令n=2，n=3，及a1=a，结合已知可由a表示a2，a3，结合等差数列的性质可求a，（2）由=3n2a n+，得﹣=3n2a n，两式相减整理可得所以S n+S n﹣1=3n2，进而有S n+1+S n=3（n+1）2，两式相减可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，结合数列的单调性可求a解答：解：（1）在=3n2a n+中分别令n=2，n=3，及a1=a得（a+a2）2=12a2+a2，（a+a2+a3）2=27a3+（a+a2）2，因为a n≠0，所以a2=12﹣2a，a3=3+2a．…（2分）因为数列{a n}是等差数列，所以a1+a3=2a2，即2（12﹣2a）=a+3+2a，解得a=3．…（4分）经检验a=3时，a n=3n，S n=，S n﹣1=满足=3n2a n+．（2）由=3n2a n+，得﹣=3n2a n，即（S n+S n﹣1）（S n﹣S n﹣1）=3n2a n，即（S n+S n﹣1）a n=3n2a n，因为a n≠0，所以S n+S n﹣1=3n2，（n≥2），①…（6分）所以S n+1+S n=3（n+1）2，②②﹣①，得a n+1+a n=6n+3，（n≥2）．③…（8分）所以a n+2+a n+1=6n+9，④④﹣③，得a n+2﹣a n=6，（n≥2）即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，…（10分）因为a2=12﹣2a，a3=3+2a．∴a n=…（12分）要使数列{a n}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，a n＜a n+1，且当n为偶数时，a n＜a n+1，即a＜12﹣2a，3n+2a﹣6＜3（n+1）﹣2a+6（n为大于或等于3的奇数），3n﹣2a+6＜3（n+1）+2a﹣6（n为偶数），解得＜a＜．所以M=（，），当a∈M时，数列{a n}是递增数列．…（16分）点评：本题主要考查了等差数列的性质的应用，数列的单调性的应用，属于知识的综合应用．。

江苏省宿迁市重点中学高三数学下学期期初试卷(含解析)

江苏省宿迁市重点中学2015届高三下学期期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=．2．（5分）已知（1+i）•z=﹣2i，那么复数z=．3．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为．（结果用数值表示）4．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于．5．（5分）为了解某地区2015届高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名2015届高三男生的体重．根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是．6．（5分）如图所示的流程图，最后输出的n的值是．7．（5分）已知向量，，满足||=1，||=，+=（，1），则向量+与向量﹣的夹角是．8．（5分）如图，正三棱锥P﹣ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足PD=PF=1，PE=2，则三棱锥P﹣DEF的体积是．9．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且，则λ1+λ2=10．（5分）已知锐角A，B满足tan（A+B）=2tanA，则tanB的最大值为．11．（5分）如图，点A，F分别是椭圆（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，直线AF与椭圆交于另一点B，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C，D两点，若=，则椭圆的离心率为．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是．14．（5分）设实数a，x，y，满足，则xy的取值范围是．二、解答题：15．（14分）设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，BC=BB1．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1．17．（14分）如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k=1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值．19．（16分）设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（1）若x=1时，函数f（x）取最小值，求实数b的值；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（3）若b=﹣1，证明对任意正整数n，不等式f（）＜1+++…+都成立．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：S n2=3n2a n+S n﹣12，a n≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a n}是递增数列．江苏省宿迁市重点中学2015届高三下学期期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．分析：根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，由交集的意义可得答案．解答：解：根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，故A∩B={1}．点评：本题考查交集的运算，解题时应认真分析集合的元素特征与集合间的关系，答案注意写成集合的形式．2．（5分）已知（1+i）•z=﹣2i，那么复数z=﹣1﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据（1+i）•z=﹣2i，可得复数z====﹣1﹣i，从而得到答案．解答：解：∵（1+i）•z=﹣2i，∴复数z====﹣1﹣i，故答案为﹣1﹣i．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．3．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为．（结果用数值表示）考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：根据题意，将这5个数分为奇数与偶数两个组，奇数组3个数，偶数组2个数；分析可得，若取出的2个数的和为奇数，则取出的2个数必有1个奇1个奇数；求出这种情况下的取法情况数，相加可得两个数的和是奇数的种数，最后再除以总数即得答案．解答：解：根据题意，将这5个数分为奇数与偶数两个组，奇数组3个数，偶数组2个数；若取出的2个数的和为奇数，则取出的2个数必有1个奇数和1个偶数；有C31•C21=6种取法，符合题意的总数共C52=10种取法；这两个数的和是奇数的概率为故答案为．点评：本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据所给的三项成等差数列，写出关系式，得到公比的值，把要求的代数式整理成只含有首项和公比的形式，约分化简得到结果．解答：解：成等差数列，∴a3=a1+2a2，∴q2﹣2q﹣1=0，∴q=1+，q=1﹣（舍去）∴===q2=3+2故答案为：3+2点评：本题考查数列的基本量的运算，本题解题的关键是根据条件得到首项和公比之间的关系，为后面在约分整理提供依据．5．（5分）为了解某地区2015届高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名2015届高三男生的体重．根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是40．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由频率分布直方图，得出体重值在区间[56.5，64.5）的频率，从而求出对应的频数．解答：解：根据频率分布直方图，得：体重值在区间[56.5，64.5）的频率是：（0.03+0.05+0.050.07）×2=0.40；∴体重值在区间[56.5，64.5）的频数是：100×0.40=40．故答案为：40．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应从图形求出题目中所需要的数据，进行解答，是基础题．6．（5分）如图所示的流程图，最后输出的n的值是4．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求满足P=++…+≥0.7的最小的正整数n+1的值，利用裂项相消法求得P，通过解不等式确定n+1的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=++…+≥0.7的最小的正整数n+1的值，又P=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∵≥0.7⇒n≥，∴输出的n=3+1=4．故答案为：4．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能和确定输出的n 值是解答本题的关键．7．（5分）已知向量，，满足||=1，||=，+=（，1），则向量+与向量﹣的夹角是π．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，先求出|+|与|﹣|的值，再由（+）•（﹣）=|+|×|﹣|cosθ，求出夹角θ的值．解答：解：设向量+与向量﹣的夹角是θ，θ∈[0，π]；∵||=1，||=，+=（，1），∴|+|==2，∴•=0，∴|﹣|==2；又∵（+）•（﹣）=|+|×|﹣|cosθ，∴1﹣3=2×2cosθ，即cosθ=﹣，∴θ=π．故答案为：π．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据向量的数量积的概念以及向量的运算法则，进行计算即可，是基础题．8．（5分）如图，正三棱锥P﹣ABC的所有棱长都为4．点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足PD=PF=1，PE=2，则三棱锥P﹣DEF的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：过顶点P作PO⊥底面ABC，垂直为O，则点O是底面的中心．在正△ABC中，先由重心定理求出AO的长，进而在Rt△PAO中求出高PO，底面正△ABC的面积易求，再根据三棱锥的体积公式V三棱锥P﹣ABC，再求出三棱锥P﹣DEF的体积．解答：解：如图所示：过顶点P作PO⊥底面ABC，垂足为O，则点O是底面的中心．∵点O是底面的中心，即为△ABC的重心，∴OA=．在Rt△PAO中，由勾股定理得PO=．又∵S△ABC==4，∴V三棱锥P﹣ABC=•=．∵PD=PF=1，PE=2，∴三棱锥P﹣DEF的体积是•=．故答案为：．点评：理解正三棱锥的定义及体积的计算方法是解题的关键．9．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且，则λ1+λ2=考点：相等向量与相反向量．专题：计算题．分析：根据三角形是直角三角形，得到它的内心的位置，从而表示出向量，根据向量之间的加减关系，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．解答：解：∵由题意可知==，∴，∴两个数字之和是，故答案为：．点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的10．（5分）已知锐角A，B满足tan（A+B）=2tanA，则tanB的最大值为．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：先利用两角和的公式把tanB=tan（A+B﹣A）展开，把tan（A+B）=2tanA代入，整理后利用基本不等式求得tanB的最大值，进而根据等号成立的条件求得tanB的值，即可得出结果．解答：解：∵tanB=tan（A+B﹣A）====∵A为锐角，∴tanA＞0≥2当且仅当2tanA=时取“=”号，即tanA=∴0＜tanB≤∴tanB最大值是故答案为：．点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数和运用基本不等式求最值的问题．考查了学生对基础知识的综合运用和基本的运算能力．11．（5分）如图，点A，F分别是椭圆（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，直线AF与椭圆交于另一点B，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C，D两点，若=，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：设出AB，CD的方程，分别与椭圆方程联立，求导|CD|，|AB|，利用=，即可求得椭圆的离心率．解答：解：由题意，设AB的方程为：，则CD的方程为AB的方程与椭圆方程联立可得（a2+c2）x2﹣2a2cx=0，∴x=0或x=∴|AB|=×=CD的方程与椭圆方程联立可得（a2+c2）x2=a2c2，∴x=±∴|CD|=×=∵=∴∴∴故答案为．点评：本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出|CD|，|AB|，属于中档题．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是+1．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质．专题：综合题．分析：设正方形边长为a，∠OBA=θ，从而在△OBC中，计算OC的长，利用三角函数，可求OC的最大值．解答：解：如图，设正方形边长为a，∠OBA=θ，则cosθ=，θ∈[0，）．在△OBC中，a2+1﹣2acos（+θ）=OC2，∴OC2=（2cosθ）2+1+2•2cosθ•sinθ=4cos2θ+1+2sin2θ=2cos2θ+2sin2θ+3=2sin（2θ+）+3，∵θ∈[0，），∴2θ+∈[，），∴2θ+=时，OC2的最大值为2+3∴线段OC长度的最大值是+1故答案为：+1点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数的化简，解题的关键是构建OC关于θ的三角函数，属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（21，24）．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得 log3（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24．由此求得abcd的范围．解答：解：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有 21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．点评：本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题．14．（5分）设实数a，x，y，满足，则xy的取值范围是[﹣，+]．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：通过已知条件化简求出xy的表达式，然后利用圆心与直线的距离小于等于半径，求出a的范围，利用二次函数的最值，求出xy最值即可．解答：解：实数a，x，y，满足，①2﹣②解得：2xy=3a2﹣6a+4，∵a2+2a﹣3≥0，∴a≥1或a≤﹣3．又，可得，综上令g（x）=（3a2﹣6a+4），对称轴为a=1，1∉，∴a=是g（x）最小：﹣，∴a=是g（x）最大：+．xy∈[﹣，+]；故答案为：[﹣，+]；点评：本题考查函数与方程的综合应用，直线与圆的位置关系，二次函数闭区间是的最值的应用，是中档题．二、解答题：15．（14分）设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，结合C=，可求角A的大小；（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+），即可求PM+PN的最大值及此时α的取值．解答：解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），所以有A=B或A+B=．…3分又因为C=，得A+B=，与A+B=矛盾，所以A=B，因此A=．…6分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM=PC•sin∠PCM=2sinα；在Rt△PNC中，PN=PC•sin∠PCN=PC•sin（π﹣∠PCB）=2sin[π﹣（α+）]=2sin （α+），α∈（0，）．…8分所以，PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+）．…12分因为α∈（0，），所以α+∈（，），从而有sin（α+）∈（，1]，即2sin（α+）∈（，2]．于是，当α+=，即α=时，PM+PN取得最大值2．…16分．点评：本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，确定PM+PN 是关键．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点，BC=BB1．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；探究型．分析：（1）证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD．因为O、D分别是A1B、BC的中点，所以A1C∥OD．所以A1C∥平面AB1D．（2）由题意得：四边形BCC1B1是正方形．因为M为CC1的中点，D是BC的中点，所以△B1BD≌△BCM，所以∠BB1D=∠CBM，∠BDB1=∠CMB．所以BM⊥B1D．因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为AD⊥平面BB1C1C．且BM⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BM．利用线面垂直的判定定理可得BM⊥平面AB1D．解答：证明：（1）连接A1B，交AB1于点O，连接OD．∵O、D分别是A1B、BC的中点，∴A1C∥OD．∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（2）M为CC1的中点．证明如下：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=BB1，∴四边形BCC1B1是正方形．∵M为CC1的中点，D是BC的中点，∴△B1BD≌△BCM，∴∠BB1D=∠CBM，∠BDB1=∠CMB．又∵，，∴BM⊥B1D．∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C．∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM．∵AD∩B1D=D，∴BM⊥平面AB1D．∵AB1⊂平面AB1D，∴MB⊥AB1．点评：证明线面平行关键是在面内找到与已知直线平行的直线即可，解决探索性找点问题一般用检验的方法先检验线段的端点与中点再证明即可，也可以利用空间向量来解决这种探索性问题．17．（14分）如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosθ﹣3，sinθ+），=（﹣cosθ﹣3，﹣sinθ+），∴•=（cosθ﹣3）（﹣cosθ﹣3）+（sinθ﹣）（﹣sinθ﹣）=11（10分）||•||=×=×==由θ∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k=1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题设知a=2，e==，由此能求出a=2，b=1．（2）（i）由（1）得，椭圆C的方程为+y2=1．设点P（m，0）（﹣2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若k=1，则直线l的方程为y=x﹣m．联立直线l与椭圆C的方程，得x2﹣2mx+m2﹣1=0．|AB|=•，点O到直线l的距离d=，由此求出S△OAB取得最大值1．（ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣m）．将直线l与椭圆方程联立，得（1+4k2）x2﹣8mk2x+4（k2m2﹣1）=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出k的．解答：（本小题满分16分）解：（1）由题设知a=2，e==，所以c=，故b2=4﹣3=1．因此，a=2，b=1．…（2分）（2）（i）由（1）可得，椭圆C的方程为+y2=1．设点P（m，0）（﹣2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若k=1，则直线l的方程为y=x﹣m．联立直线l与椭圆C的方程，即．将y消去，化简得x2﹣2mx+m2﹣1=0．解得x1=，x2=，从而有，x1+x2=，x1•x2=，而y1=x1﹣m，y2=x2﹣m，因此，|AB|===•=•，点O到直线l的距离d=，所以，S△OAB=×|AB|×d=×|m|，因此，S2△OAB=（ 5﹣m2）×m2≤•（）2=1．…（6分）又﹣2≤m≤2，即m2∈[0，4]．所以，当5﹣m2=m2，即m2=，m=±时，S△OAB取得最大值1．…（8分）（ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣m）．将直线l与椭圆C的方程联立，即．将y消去，化简得（1+4k2）x2﹣8mk2x+4（k2m2﹣1）=0，解得，x1+x2=，x1•x2=．…（10分）所以PA2+PB2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=（x12+x22）﹣2m（x1+x2）+2m2+2=（*）．…（14分）因为PA2+PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有﹣8k4﹣6k2+2=0，解得k=±．所以，k的值为±．…（16分）点评：本题考查椭圆方程中的参数的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．19．（16分）设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（1）若x=1时，函数f（x）取最小值，求实数b的值；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（3）若b=﹣1，证明对任意正整数n，不等式f（）＜1+++…+都成立．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义及函数最值的意义得出f′（1）=0，求得b值；（2）由函数f（x）在定义域上是单调函数，可得f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立，转化为利用导数求函数的最值问题解决即可；（3）构造函数h（x）=f（x）﹣x3，利用导数判断且单调性，得出f（x）＜x3取x=x=，则有f（）＜（k∈N+），即得结论成立．解答：解：（1）由x+1＞0得x＞﹣1，∴f（x）的定义域为（﹣1，+∞），对x∈（﹣1，+∞），都有f（x）≥f（1），∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0，f′（x）=2x+，∴2+=0，解得b=﹣4．经检验，合题意；（2）∵f′（x）=2x+=，又函数f（x）在定义域上是单调函数，∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．若f′（x）≥0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，即b≥﹣2x2﹣2x=﹣2+恒成立，由此得b≥；若f′（x）≤0，∵x+1＞0，∴2x2+2x+b≤0，即b≤﹣（2x2+2x）恒成立，因﹣（2x2+2x）在（﹣1，+∞）上没有最小值，∴不存在实数b使f（x）≤0恒成立．综上所述，实数b的取值范围是[，+∞）．（3）当b=﹣1时，函数f（x）=x2﹣ln（x+1），令函数h（x）=f（x）﹣x3=x2﹣ln（x+1）﹣x3，则h′（x）=﹣3x2+2x﹣=﹣，∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＜0所以函数h（x）在x∈[0，+∞）上是单调递减．又h（0）=0，∴当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＜h（0）=0，即x2﹣ln（x+1）＜x3恒成立．故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．∵k∈N+∴∈（0，+∞），取x=，则有f（）＜，∴f（）＜1+++…+，故结论成立．点评：本题考查了导数的几何意义及函数的最值意义以及利用导数判断函数的单调性及求最值等知识，考查不等式恒成立的条件等价转化思想、分类讨论思想的．综合应用较强，属难题．20．（16分）已知数列{a n}的首项a1=a，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：S n2=3n2a n+S n﹣12，a n≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{a n}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a n}是递增数列．考点：等差关系的确定；数列的函数特性；数列的应用．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）分别令n=2，n=3，及a1=a，结合已知可由a表示a2，a3，结合等差数列的性质可求a，（2）由=3n2a n+，得﹣=3n2a n，两式相减整理可得所以S n+S n﹣1=3n2，进而有S n+1+S n=3（n+1）2，两式相减可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，结合数列的单调性可求a解答：解：（1）在=3n2a n+中分别令n=2，n=3，及a1=a得（a+a2）2=12a2+a2，（a+a2+a3）2=27a3+（a+a2）2，因为a n≠0，所以a2=12﹣2a，a3=3+2a．…（2分）因为数列{a n}是等差数列，所以a1+a3=2a2，即2（12﹣2a）=a+3+2a，解得a=3．…（4分）经检验a=3时，a n=3n，S n=，S n﹣1=满足=3n2a n+．（2）由=3n2a n+，得﹣=3n2a n，即（S n+S n﹣1）（S n﹣S n﹣1）=3n2a n，即（S n+S n﹣1）a n=3n2a n，因为a n≠0，所以S n+S n﹣1=3n2，（n≥2），①…（6分）所以S n+1+S n=3（n+1）2，②②﹣①，得a n+1+a n=6n+3，（n≥2）．③…（8分）所以a n+2+a n+1=6n+9，④④﹣③，得a n+2﹣a n=6，（n≥2）即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，…（10分）因为a2=12﹣2a，a3=3+2a．∴a n=…（12分）要使数列{a n}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，a n＜a n+1，且当n为偶数时，a n＜a n+1，即a＜12﹣2a，3n+2a﹣6＜3（n+1）﹣2a+6（n为大于或等于3的奇数），3n﹣2a+6＜3（n+1）+2a﹣6（n为偶数），解得＜a＜．所以M=（，），当a∈M时，数列{a n}是递增数列．…（16分）点评：本题主要考查了等差数列的性质的应用，数列的单调性的应用，属于知识的综合应用．。

江苏省宿迁市三校2015届高三3月质量检测数学试题Word版含解析

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.已知{}{}1,0,2,1,1,A B =-=-则A B = ▲ .【答案】{-1,0,1,2} 【解析】试题分析：{}{}{}1,0,21,1=1,10,2AB =---，考点：集合并集 2.已知复数21iz i=+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 ▲ . 【答案】1 【解析】试题分析：22(1)=112i i i z i i -==++，所以实部为1 考点：复数概念3.写出命题:“若=3x ，则223=0x x --”的否命题: ▲ ．【答案】“若3x ≠则2230x x --≠” 【解析】试题分析：“若P ，则Q ”的否命题为“若⌝P ，则⌝Q ”，所以“若=3x ，则223=0x x --”的否命题为“若3x ≠则2230x x --≠” 考点：否命题4.一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的“茎叶图”如图，则他在这5场比赛中得分的方差为 ▲ . 0891012【答案】2 【解析】试题分析：5场比赛中得分的平均值为10，所以方差为222221[21012] 2.5++++= 考点：方差5.如图所示的流程图，输出的n = ▲ .【答案】4考点：循环结构流程图6.已知抛物线28y x =的焦点是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .【答案】y = 【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以2232,1a a +==，因此双曲线的渐近线方程为y = 考点：双曲线的渐近线7.若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．【答案】6 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,0),(0,1),(2,2)A B C ,所以直线2z x y =+过点(2,2)C 时取最大值6.考点：线性规划求最值8.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 ▲ . 【答案】6π 【解析】试题分析：由题意得22,2r h ==，所以圆柱的表面积为22+26.r rh πππ= 考点：圆柱的表面积9.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，若338,20,a S ==则5S = ▲ . 【答案】40 【解析】试题分析：5355840.S a ==⨯= 考点：等差数列性质10.将x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位（0>ϕ），使得平移后的图像过点),23,3(π则ϕ的最小值为 ▲ ．【答案】6π 【解析】试题分析：x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位得sin 2()y x ϕ=-，所以sin 2()32πϕ-=，因此2()233k ππϕπ-=+或22()2()33k k Z ππϕπ-=+∈，，即6k πϕπ=-或k ϕπ=-()k Z ∈，所以ϕ的最小值为6π考点：三角函数求角11.若直线l ： y x a =+被圆()2221x y -+=截得的弦长为2，则a = ▲ .【答案】-2 【解析】试题分析：由题意得直线过圆心，即02, 2.a a =+=- 考点：直线与圆位置关系12.已知函数22,0(),3,0x ax x f x bx x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩为奇函数，则不等式()4f x <的解集为 ▲【答案】-4∞（，）【解析】试题分析：由函数22,0(),3,0x ax x f x bx x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩为奇函数，得()(),f x f x -=-而22,0(),3,0x ax x f x bx x x ⎧-<⎪-=⎨+≥⎪⎩因此3,1a b =-=-，223,0(),3,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩当0x ≥时，234x x -<，解得04x ≤<；当0x <时，234x x --<，解得0x <；所以不等式()4f x <的解集为-4∞（，）考点：奇函数性质，解不等式13.在三角形ABC 中，已知AB=3，A=0120,ABC ∆的面积为4，则BC BA 的值= ▲ . 【答案】332【解析】试题分析：1sin 1542bc A bc =⇒=，又AB=3，所以3,5c b ==，由余弦定理得2222cos 2591549a b c bc A =+-=++=，所以22233cos 22a cb BC BA ac B +-=== 考点：余弦定理，向量数量积14.设点P,M,N 分别在函数22,3y x y y x =+==+的图象上，且2MN PN =,则点P 横坐标的取值范围为 ▲ .【答案】53[,]22-考点：利用导数求函数值域二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知()sin cos f x x a x =+，（1）若a =()f x 的最大值及对应的x 的值. （2）若04f π⎛⎫=⎪⎝⎭， ()1(0)5f x x π=<<，求tanx 的值. 【答案】（1）2()6x k k z ππ=+∈时()f x 取最大值2（2）43【解析】试题分析：（1）先根据配角公式将函数化为基本三角函数()sin 2sin()3f x x x x π==+，再根据三角函数性质求其最值：当2()32x k k z πππ+=+∈即2()6x k k z ππ=+∈时()f x 有最大值2（2）由04f π⎛⎫=⎪⎝⎭确定1a =-，从而得到1sin cos 5x x -=，再根据同角三角函数关系求出34cos sin 55x x ==，，即得4tan 3x =试题解析：（1）()sin 2sin()3f x x x x π=+=+………………………………（2分）当sin()12()332x x k k z ππππ+=⇒+=+∈2()6x k k z ππ⇒=+∈时()f x 有最大值2; ……………………………………………（6分）(2) 014f a π⎛⎫=⇒=-⎪⎝⎭………………………………………………………………(8分） 1sin cos 5x x -=21(in cos )25s x x ∴-=12sin cos 25x x ∴= 2112(cos )cos 25cos 5cos 120525x x x x ∴+=⇒+-=3cos 54sin 5x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(0,)x π∈3cos 54sin 5x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴4tan 3x =…………………………………………………（14分）考点：配角公式，同角三角函数关系16.（本小题满分14分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC , AB BC ⊥，D 为PB 中点，E 为PC 的中点，（1）求证：BC 平面ADE ；（2）求证:平面AED ⊥平面PAB .【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，这由中位线性质可得到：//DE BC ，再结合线面平行判定定理条件即可论证，（2）证明面面垂直，一般利用其判定定理，即需证线面垂直：因为AB BC ⊥，又由PA ⊥平面ABC 可得PA BC ⊥，因此BC PAB ⊥平面，最后结合面面垂直判定定理即可论证.试题解析：（1）证明： ////PE EC DE BC PD DB DE ADE BC ADE BC ADE=⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面………………………(7分）（2）PA ABC PA BC BC ABC BC ABPA AB A BC PA ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊂⎭⎪⎪⊥⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⎪⊂⎪⎪⎭平面平面平面PAB 平面PABAB 平面PAB………………………(12分）//DE BC DE ∴⊥平面PAB ,又DE ADE ⊂平面ADE ∴⊥平面平面PAB (14分)考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理17.（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润．．．．．最大？（利润=累计收入+销售收入-总支出）【答案】（1）3（2）5 【解析】试题分析：（1）先分别列运输累计收入为25x ，总支出为1[6(1)2]502x x x +-⋅+，再列不等式，解一元二次不等式即可（2）先列利润：25x 1[6(1)2]502x x x -+-⋅+(25)x +-，平均利润为125[6(1)2]50(25)2x x x x x x-+-⋅++-，再利用基本不等式求最值即可试题解析：（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则25[6(1)]50,(0<10)y x x x x x x =-+--∈≤，N ，由-x2+20x-50＞0，可得10-5＜x ＜10+5∵2＜10-5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入-总支出， ∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19-（x+）≤19-10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当再第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．考点：函数实际应用，基本不等式求最值 18.（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程;（2）若点B 在椭圆上，点D 在y 轴上，且2BD DA =，求直线AB 方程.【答案】（1）22143x y +=（2）112y x =+【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，一般利用待定系数法，列两个独立条件即可：12c e a ==，221314a b +=，解得12,c a b ===，2）从点的坐标揭示等量关系：设00(,)B x y =(0,)D m =,则由2BD DA =得002,33x y m =-=-，又点B 在椭圆上，所以24(33)143m -+=，解得1m =(0,1),(2,0)D B ∴-因而直线AB 方程为112y x =+.试题解析：（1）122c e a c a ==∴=…………………………………………………（2分） 22223b a c c ∴=-=设椭圆方程为：2222143x y c c+=，22131144c c c ∴+=∴=设椭圆方程为：22143x y +=…………………………………………………………(7分）（2）设00(,)B x y =(0,)D m =,则00(,)BD x m y =--，3(1,)2DA m =-002,32x m y m ∴-=-=-，即002,33x y m =-=-代入椭圆方程得1m =(0,1)D ∴…(14分） 1:12AB l y x ∴=+………………………………………………………………………(16分）考点：直线与椭圆位置关系19.已知数列{}n a 满足121,0a a a ==>，数列{}n b 满足1n n n b a a += （1）若{}n a 为等比数列，求{}n b 的前n 项的和n S ；（2）若3n n b =，求数列{}n a 的通项公式；（3）若2n b n =+，求证：121113na a a +++> 【答案】（1）当=1a 时n S n =，当1a ≠时，22(1)1n n a a S a -=-（2）12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪=⎨⎪=⎩（3）详见解析【解析】试题分析：（1）先确定{}n a 通项公式，从而得{}n b 通项公式，再根据通项公式特点，进行分类讨论：当=1a 时1n b =，则n s n =；当1a ≠时，{}n b 为公比不为1的等比数列，其和为22(1)1n n a a s a -=-（2）由3n n b =得13nn n a a +=，因此113(2,)n n a n n N a +-=≥∈，即{}n a 隔项成等比数列12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪∴=⎨⎪=⎩（3）由12,n n a a n +=+得11111)1(2)n n n n n n a a a a a n a +-+--=∴-=≥（，从而利用裂项相消法得1231111na a a a ++++=112111+3n n n n a a a aa a a +++--=+-再由基本不等式122n n a a n ++>=+得证，本题也可利用数学归纳法证明试题解析：（1）1121,n n n n n n a a b a a a ---=∴==…………………… (2分）当=1a 时1n b =，则n s n =………………………………………… (3分）当1a ≠时，22(1)1n n a a s a-=-………………………………………… (5分）（2）13n n n a a +=113(2,)n n n a a n n N --∴=≥∈113(2,)n n a n n N a +-∴=≥∈………………………………………………………………(7分）当*21,()n k k N =+∈时，*11222223()3=a3k k k k ka k N a a a --+∴=∈∴= 当*2,()n k k N =∈时， *121212-13()3k k k k a k N a a -+-∴=∈∴= 12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪∴=⎨⎪=⎩………………………………………………………………(11分）（3）12,n n a a n +=+①，121,3a a =∴=11n n a a n -∴=+(2)n ≥②①－②得11111)1(2)n n n n n na a a a a n a +-+--=∴-=≥（ 23111na a a ∴+++314211()()()n n a a a a a a +-=-+-++-=112n n a a a a ++--1231111n a a a a ∴++++=112111+3n n n n a a a a a a a +++--=+- 11222n n n n a a a a n +++>=+1231111na a a a ∴++++＞3．…….(16分) 考点：等比数列求和，裂项相消法证不等式 20.已知函数(),()ln xf x eg x x ==，（1）求证：()1f x x ≥+ ;（2）设01x >,求证：存在唯一的0x 使得g(x)图象在点A(00,()x g x )处的切线l 与y=f(x)图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得()1|1|f x a x--<成立. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题分析：（1）构造函数()1,xF x e x =--转化为证明其最小值等于零，利用导数求函数最小值即可（2）先列出0x 所满足的等量关系，这从公切线出发即可：0001ln 01x x x +-=-再证函数()()1ln 11x G x x x x +=->-有且仅有一解，这可利用导数研究其单调性，并结合零点存在定理证明（3）先将命题等价转化为：当0a >时不等式1x e x ax --<即10x e ax x ---<在()0,+∞上有解. 令()1x H x e ax x =---，即证()min 0H x <，利用二次求导可证试题解析：（1）令()1,xF x e x =--x R ∈， ()'10x F x e =-=得0x =,∴当0x >时()()'0,;F x F x >当0x <时()()'0,;F x F x <()()min 00F x F ∴==，由最小值定义得()()min 0F x F x ≥=即1x e x ≥+…………………………………（4分）（2）()g x 在0x x =处切线方程为001ln 1y x x x =+- ① 设直线l 与x y e =图像相切于点()11,x x e ，则:l ()1111x x y e x e x =+- ②……(6分) ③ 由①②得 ④0001ln 01x x x +∴-=- ⑤ 下证0x 在()1,+∞上存在且唯一.令()()1ln 11x G x x x x +=->-，()()221'01x G x x x +=>- ()110011ln 1x x e x x e x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩()G x ∴在()1,+∞上.又()()222230,0,11e G e G e e e --=<=>--()G x 图像连续，∴存在唯一0x ∈ ()1,+∞使⑤式成立，从而由③④可确立1x .故得证……………………………………………………（10分）由（1）知()110f x x-->即证当0a >时不等式1x e x ax --<即10x e ax x ---<在()0,+∞上有解.令()1xH x e ax x =---，即证()min 0H x <………………………………………（12分）由()'10xH x e a =--=得()ln 10x a =+>. 当()0ln 1x a <<+时，()()'0,H x H x <，当()ln 1x a >+时，()()'0,H x H x >. ()()()min ln 1H x H a ∴=+()()1ln 1ln 11a a a a =+-+-+-.令()ln 1V x x x x =--，其中11x a =+>则()()'11ln ln 0V x x x =-+=-<，()V x ∴()()10V x V ∴<=.综上得证…………………………………………………………………………………(16分) 考点：构造函数证不等式，利用导数求函数单调性，利用导数求函数性质。

江苏省宿迁市三校2015届高三下学期3月质量检测英语试题及答案

宿迁市三校2015届高三下学期质量检测英语试卷本试卷共120分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、考试号、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

3、考试结束，考生将本试卷和答题卡一并交回。

否则不予计分。

第一部分听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What is the weather like now?A.Sunny.B.Cloudy.C.Rainy.2.What can we learn from the conversation?A.John won’t be back this evening.B.The woman lent John her bicycle.C.The man will ask John to be back quickly.3.How does the man feel about his driving to work?A.It takes him too much time.B.The distance is a little long.C.He feels that it’s not bad.4.What’s wrong with the radio?A.It can’t be turned on.B.It can’t be turned off.C.It doesn’t work.5.Where does the conversation most probably take place?A.At a restaurant.B.At a cinema.C.At a hotel.第二节（共15小题；每小题1分，满15分）听下面5段对话或独白。

江苏省宿迁市三校2015届高三3月质量检测数学试题

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.已知{}{}1,0,2,1,1,A B =-=-则A B = ▲ . 【答案】{-1,0,1,2} 【解析】试题分析：{}{}{}1,0,21,1=1,10,2A B =--- ，考点：集合并集 2.已知复数21iz i=+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 ▲ . 【答案】1 【解析】试题分析：22(1)=112i i i z i i -==++，所以实部为1 考点：复数概念3.写出命题:“若=3x ，则223=0x x --”的否命题: ▲ ．【答案】“若3x ≠则2230x x --≠” 【解析】试题分析：“若P ，则Q ”的否命题为“若⌝P ，则⌝Q ”，所以“若=3x ，则223=0x x --”的否命题为“若3x ≠则2230x x --≠” 考点：否命题4.一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的“茎叶图”如图，则他在这5场比赛中得分的方差为 ▲ . 0891012【答案】2 【解析】试题分析：5场比赛中得分的平均值为10，所以方差为222221[21012] 2.5++++= 考点：方差5.如图所示的流程图，输出的n = ▲ .【答案】4考点：循环结构流程图6.已知抛物线28y x =的焦点是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .【答案】y = 【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以2232,1a a +==，因此双曲线的渐近线方程为y = 考点：双曲线的渐近线7.若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．【答案】6 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,0),(0,1),(2,2)A B C ,所以直线2z x y =+过点(2,2)C 时取最大值6.考点：线性规划求最值8.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 ▲ . 【答案】6π 【解析】试题分析：由题意得22,2r h ==，所以圆柱的表面积为22+26.r rh πππ= 考点：圆柱的表面积9.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，若338,20,a S ==则5S = ▲ . 【答案】40 【解析】试题分析：5355840.S a ==⨯= 考点：等差数列性质10.将x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位（0>ϕ），使得平移后的图像过点),23,3(π则ϕ的最小值为 ▲ ．【答案】6π 【解析】试题分析：x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位得sin 2()y x ϕ=-，所以sin 2()32πϕ-=，因此2()233k ππϕπ-=+或22()2()33k k Z ππϕπ-=+∈，，即6k πϕπ=-或k ϕπ=-()k Z ∈，所以ϕ的最小值为6π考点：三角函数求角11.若直线l ： y x a =+被圆()2221x y -+=截得的弦长为2，则a = ▲ .【答案】-2 【解析】试题分析：由题意得直线过圆心，即02, 2.a a =+=- 考点：直线与圆位置关系12.已知函数22,0(),3,0x ax x f x bx x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩为奇函数，则不等式()4f x <的解集为 ▲【答案】-4∞（，）【解析】试题分析：由函数22,0(),3,0x ax x f x bx x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩为奇函数，得()(),f x f x -=-而22,0(),3,0x ax x f x bx x x ⎧-<⎪-=⎨+≥⎪⎩因此3,1a b =-=-，223,0(),3,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩当0x ≥时，234x x -<，解得04x ≤<；当0x <时，234x x --<，解得0x <；所以不等式()4f x <的解集为-4∞（，）考点：奇函数性质，解不等式13.在三角形ABC 中，已知AB=3，A=0120,ABC ∆的面积为4，则BC BA 的值= ▲ .【答案】332【解析】试题分析：1sin 1542bc A bc =⇒=，又AB=3，所以3,5c b ==，由余弦定理得2222cos 2591549a b c bc A =+-=++=，所以22233cos 22a cb BC BA ac B +-=== 考点：余弦定理，向量数量积14.设点P,M,N 分别在函数22,3y x y y x =+==+的图象上，且2MN PN =,则点P 横坐标的取值范围为 ▲ .【答案】53[,]22-考点：利用导数求函数值域二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知()sin cos f x x a x =+，（1）若a =()f x 的最大值及对应的x 的值. （2）若04f π⎛⎫=⎪⎝⎭， ()1(0)5f x x π=<<，求tanx 的值. 【答案】（1）2()6x k k z ππ=+∈时()f x 取最大值2（2）43【解析】试题分析：（1）先根据配角公式将函数化为基本三角函数()sin 2sin()3f x x x x π==+，再根据三角函数性质求其最值：当2()32x k k z πππ+=+∈即2()6x k k z ππ=+∈时()f x 有最大值2（2）由04f π⎛⎫=⎪⎝⎭确定1a =-，从而得到1sin cos 5x x -=，再根据同角三角函数关系求出34cos sin 55x x ==，，即得4tan 3x =试题解析：（1）()sin 2sin()3f x x x x π=+=+………………………………（2分）当sin()12()332x x k k z ππππ+=⇒+=+∈2()6x k k z ππ⇒=+∈时()f x 有最大值2; ……………………………………………（6分）(2) 014f a π⎛⎫=⇒=-⎪⎝⎭………………………………………………………………(8分） 1sin cos 5x x -=21(in cos )25s x x ∴-=12sin cos 25x x ∴= 2112(cos )cos 25cos 5cos 120525x x x x ∴+=⇒+-=3cos 54sin 5x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(0,)x π∈ 3cos 54sin 5x x ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴4tan 3x =…………………………………………………（14分）考点：配角公式，同角三角函数关系16.（本小题满分14分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC , AB BC ⊥，D 为PB 中点，E 为PC 的中点，（1）求证：BC 平面ADE ；（2）求证:平面AED ⊥平面PAB.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，这由中位线性质可得到：//DE BC ，再结合线面平行判定定理条件即可论证，（2）证明面面垂直，一般利用其判定定理，即需证线面垂直：因为AB BC ⊥，又由PA ⊥平面ABC 可得PA BC ⊥，因此BC PAB ⊥平面，最后结合面面垂直判定定理即可论证.试题解析：（1）证明： ////PE EC DE BC PD DB DE ADE BC ADE BC ADE=⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面………………………(7分）（2）PA ABC PA BC BC ABC BC ABPA AB A BC PA ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊂⎭⎪⎪⊥⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⎪⊂⎪⎪⎭ 平面平面平面PAB 平面PABAB 平面PAB………………………(12分）//DE BC DE ∴⊥ 平面PAB ,又DE ADE ⊂ 平面ADE ∴⊥平面平面PAB (14分)考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理17.（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润．．．．．最大？（利润=累计收入+销售收入-总支出）【答案】（1）3（2）5 【解析】试题分析：（1）先分别列运输累计收入为25x ，总支出为1[6(1)2]502x x x +-⋅+，再列不等式，解一元二次不等式即可（2）先列利润：25x 1[6(1)2]502x x x -+-⋅+(25)x +-，平均利润为125[6(1)2]50(25)2x x x x x x-+-⋅++-，再利用基本不等式求最值即可试题解析：（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则25[6(1)]50,(0<10)y x x x x x x =-+--∈≤，N ，由-x2+20x-50＞0，可得10-5＜x ＜10+5∵2＜10-5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入-总支出， ∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19-（x+）≤19-10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当再第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．考点：函数实际应用，基本不等式求最值 18.（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程;（2）若点B 在椭圆上，点D 在y 轴上，且2BD DA =，求直线AB 方程. 【答案】（1）22143x y +=（2）112y x =+【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，一般利用待定系数法，列两个独立条件即可：12c e a ==，221314a b +=，解得12,c a b ===，2）从点的坐标揭示等量关系：设00(,)B x y =(0,)D m =,则由2BD DA =得002,33x y m =-=-，又点B 在椭圆上，所以24(33)143m -+=，解得1m =(0,1),(2,0)D B ∴-因而直线AB 方程为112y x =+.试题解析：（1）122c e a c a ==∴= …………………………………………………（2分） 22223b a c c ∴=-=设椭圆方程为：2222143x y c c+=，22131144c c c ∴+=∴=设椭圆方程为：22143x y +=…………………………………………………………(7分）（2）设00(,)B x y =(0,)D m =,则00(,)BD x m y =-- ，3(1,)2DA m =-002,32x m y m ∴-=-=-，即002,33x y m =-=-代入椭圆方程得1m =(0,1)D ∴…(14分） 1:12AB l y x ∴=+………………………………………………………………………(16分）考点：直线与椭圆位置关系19.已知数列{}n a 满足121,0a a a ==>，数列{}n b 满足1n n n b a a += （1）若{}n a 为等比数列，求{}n b 的前n 项的和n S ；（2）若3n n b =，求数列{}n a 的通项公式；（3）若2n b n =+，求证：121113na a a +++> 【答案】（1）当=1a 时n S n =，当1a ≠时，22(1)1n n a a S a -=-（2）12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪=⎨⎪=⎩（3）详见解析【解析】试题分析：（1）先确定{}n a 通项公式，从而得{}n b 通项公式，再根据通项公式特点，进行分类讨论：当=1a 时1n b =，则n s n =；当1a ≠时，{}n b 为公比不为1的等比数列，其和为22(1)1n n a a s a -=-（2）由3n n b =得13nn n a a += ，因此113(2,)n n a n n N a +-=≥∈，即{}n a 隔项成等比数列12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪∴=⎨⎪=⎩（3）由12,n n a a n +=+得11111)1(2)n n n n n n a a a a a n a +-+--=∴-=≥（，从而利用裂项相消法得1231111na a a a ++++ =112111+3n n n n a a a a a a a +++--=+-再由基本不等式1n n a a ++>=得证，本题也可利用数学归纳法证明试题解析：（1）1121,n n n n n n a ab a a a ---=∴== …………………… (2分）当=1a 时1n b =，则n s n =………………………………………… (3分）当1a ≠时，22(1)1n n a a s a-=-………………………………………… (5分）（2）13n n n a a +=113(2,)n n n a a n n N --∴=≥∈113(2,)n n a n n N a +-∴=≥∈………………………………………………………………(7分）当*21,()n k k N =+∈时，*11222223()3=a3k k k k ka k N a a a --+∴=∈∴= 当*2,()n k k N =∈时， *121212-13()3k k k k a k N a a -+-∴=∈∴= 12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪∴=⎨⎪=⎩………………………………………………………………(11分）（3）12,n n a a n +=+ ①，121,3a a =∴= 11n n a a n -∴=+(2)n ≥② ①－②得11111)1(2)n n n n n na a a a a n a +-+--=∴-=≥（ 23111n a a a ∴+++ 314211()()()n n a a a a a a +-=-+-++- =112n n a a a a ++-- 1231111n a a a a ∴++++ =112111+3n n n n a a a a a a a +++--=+-1n n a a ++>= 1231111na a a a ++++＞3．…….(16分) 考点：等比数列求和，裂项相消法证不等式 20.已知函数(),()ln xf x eg x x ==，（1）求证：()1f x x ≥+ ;（2）设01x >,求证：存在唯一的0x 使得g(x)图象在点A(00,()x g x )处的切线l 与y=f(x)图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得()1|1|f x a x--<成立. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题分析：（1）构造函数()1,xF x e x =--转化为证明其最小值等于零，利用导数求函数最小值即可（2）先列出0x 所满足的等量关系，这从公切线出发即可：0001ln 01x x x +-=-再证函数()()1ln 11x G x x x x +=->-有且仅有一解，这可利用导数研究其单调性，并结合零点存在定理证明（3）先将命题等价转化为：当0a >时不等式1x e x ax --<即10x e ax x ---<在()0,+∞上有解. 令()1x H x e ax x =---，即证()min 0H x <，利用二次求导可证试题解析：（1）令()1,xF x e x =--x R ∈， ()'10x F x e =-= 得0x =,∴当0x >时()()'0,;F x F x > 当0x <时()()'0,;F x F x <()()min 00F x F ∴==，由最小值定义得()()min 0F x F x ≥=即1x e x ≥+…………………………………（4分）（2）()g x 在0x x =处切线方程为001ln 1y x x x =+- ① 设直线l 与x y e =图像相切于点()11,x x e ，则:l ()1111x x y e x e x =+- ②……(6分) ③ 由①②得 ④0001ln 01x x x +∴-=- ⑤ 下证0x 在()1,+∞上存在且唯一.令()()1ln 11x G x x x x +=->-，()()221'01x G x x x +=>- ()110011ln 1x x e x x e x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩()G x ∴在()1,+∞上 .又()()222230,0,11e G e G e e e --=<=>--()G x 图像连续，∴存在唯一0x ∈ ()1,+∞使⑤式成立，从而由③④可确立1x .故得证……………………………………………………（10分）由（1）知()110f x x-->即证当0a >时不等式1x e x ax --<即10x e ax x ---<在()0,+∞上有解.令()1xH x e ax x =---，即证()min 0H x <………………………………………（12分）由()'10xH x e a =--=得()ln 10x a =+>. 当()0ln 1x a <<+时，()()'0,H x H x < ，当()ln 1x a >+时，()()'0,H x H x > .()()()min ln 1H x H a ∴=+()()1ln 1ln 11a a a a =+-+-+-.令()ln 1V x x x x =--，其中11x a =+>则()()'11ln ln 0V x x x =-+=-<，()V x ∴ ()()10V x V ∴<=.综上得证…………………………………………………………………………………(16分) 考点：构造函数证不等式，利用导数求函数单调性，利用导数求函数性质。

江苏省宿迁市三校2014_2015学年高一数学下学期3月月考试卷(含解析)

2014-2015学年江苏省宿迁市三校联考高一（下）3月月考数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）（2015春•宿迁月考）cos165°=﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：cos165°=cos（180°﹣15°）=﹣cos15°=﹣cos（45°﹣30°）=﹣cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）（2015春•宿迁月考）函数y=cos2x的最小正周期为π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，求得函数y=cos2x 的最小正周期．解答：解：函数y=cos2x=，故它的周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．3．（5分）（2012•沭阳县校级模拟）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= 49 ．考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．分析：由等差数列的性质求得a1+a7，再用前n项和公式求得．解答：解：∵a2+a6=a1+a7∴故答案是49点评：本题考查等差数列的性质和等差数列前n项和公式．4．（5分）（2015春•宿迁月考）已知数列{a n}是等差数列，a1=﹣9，S3=S7，那么使其前n项和S n最小的n是5 ．考点：等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：根据S3=S7，得到S7﹣S3等于0，利用等差数列的前n项和的定义可知S7﹣S3等于数列的第4项加到第7项，利用等差数列的通项公式分别表示出第4项到第7项，相加等于0列出首项与公差的方程，把首项的值代入即可求出公差d的值，然后根据首项和公差写出等差数列的通项公式，要使前n项和最小，即要找出此数列从哪项开始变为非负数，所以令通项公式小于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的最大正整数解为5，求出第5项发现其值小于0，求出第6项发现其值大于0，所以此数列的前5项为负数，从第6项开始变为正数，即可得到此数列的前5项之和最小．解答：解：由S3=S7，得到：S7﹣S3=a4+a5+a6+a7=4a1+18d=0，又a1=﹣9，代入得：d=2，则a n=﹣9+2（n﹣1）=2n﹣11，令2n﹣11≤0，解得n≤5.5，所以a5=﹣1＜0，a6=1＞0，则使其前n项和S n最小的n是5．故答案为：5点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，本题的突破点是令通项公式小于等于0列出关于n的不等式．5．（5分）（2014春•夏津县校级期末）若α∈（，π），tan（α+）=，则sinα= ．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由条件求得tanα=﹣=，再根据sin2α+cos2α=1，求得sinα的值．解答：解：若α∈（，π），tan（α+）=，则有=，求得 tanα=﹣=．再根据sin2α+cos2α=1，求得sinα=，故答案为：．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式，属于中档题．6．（5分）（2015春•宿迁月考）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC= 1或2 ．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由已知数据和余弦定理可得AC的方程，解方程可得．解答：解：∵△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，∴由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcosA，代入数据可得1=3+AC2﹣2AC•，∴AC2﹣3AC+2=0，∴（AC﹣1）（AC﹣2）=0，解得AC=1或AC=2故答案为：1或2点评：本题考查余弦定理，属基础题．7．（5分）（2013•成都一模）已知角α，β，γ，构成公差为的等差数列．若cosβ=﹣，则cosα+cosγ= ﹣．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列；三角函数的求值．分析：由已知中角α，β，γ，构成公差为的等差数列，可得α=β﹣，γ=β+，根据和差角公式，代入可得cosα+cosγ的值．解答：解：∵角α，β，γ，构成公差为的等差数列∴α=β﹣，γ=β+故cosα+cosγ=cos（β﹣）+cos（β+）=2cosβcos=cosβ=﹣故答案为：﹣点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，和差角公式，其中根据已知得到α=β﹣，γ=β+，是解答的关键．8．（5分）（2014•浙江模拟）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α= ﹣．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用二倍角公式求得cosα+sinα=，平方可得sin2α的值．解答：解：∵α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），∴3（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=（cosα﹣sinα），∴co sα+sinα=，平方可得1+sin2α=，∴sin2α=﹣，故答案为：．点评：本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．9．（5分）（2015春•宿迁月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，cosB﹣cos2B=0，a2+c2=b﹣ac+2，则b= 2 ．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用二倍角公式求得cosB的值，可得B的值，从而求得C的值，由余弦定理可得得b2=a2+c2 +ac，再结合a2+c2=b﹣ac+2，求得b的值．解答：解：在△ABC中，∵cosB﹣cos2B=cosB﹣2cos2B+1=0，∴cosB=1或cosB=﹣，∴B=0（舍去），或B=．由B=，A=，可得C=．由余弦定理可得b2=a2+c2 ﹣2ac•cosB=a2+c2 +ac．再由a2+c2=b﹣ac+2，可得b2=b+2，解得 b=2，或b=﹣1（舍去）．故答案为：2．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，二倍角公式，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．10．（5分）（2015春•宿迁月考）已知数列{a n}满足关系式a n+2=|a n+1﹣a n|（n∈N*），且a998=3，a1000=1，则a2012+a2013+a2014= 2 ．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据递推数列分别求出数列的规律即可得到结论．解答：解：∵数列{a n}满足关系式a n+2=|a n+1﹣a n|（n∈N*），且a998=3，a1000=1，∴当n=998时，a1000=|a999﹣a998|，即1=|a999﹣3|，解得a999=4，或a999=2，若a999=2，a1000=1，a1001=1，a1002=0，a1003=1，a1004=1，a1005=0，…，若a999=4，a1000=1，a1001=3，a1002=2，a1003=1，a1004=1，a1005=0，…，即当n＞1003时，a n的值具备循环性，相邻三个数分别为1，1，0，即a2012+a2013+a2014=2，故答案为：2点评：本题主要考查递推数列的应用，根据条件得到当n＞1003时，a n的值具备循环性是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．11．（5分）（2015春•宿迁月考）在锐角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A﹣B）=，则tan2B= 0 ．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．专题：解三角形．分析：由题意可得 A+B＞90°，A﹣B＜90°，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣，cos （A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=．由此求得tan（A+B）和tan（A﹣B）的值，从而求得tan2B=tan[（A+B）﹣（A﹣B）]的值．解答：解：∵锐角△ABC中，sin（A+B）=sinC=，sin（A﹣B）=，∴A+B＞90°，A﹣B＜90°．再由条件可得cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣，cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=．∴tan（A+B）=﹣，tan（A﹣B）=，∴tan2B=tan[（A+B）﹣（A﹣B）]===﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．12．（5分）（2015春•宿迁月考）在△ABC中，•=2•=3•，则tanA：tanB：tanC= 3：1：2 ．考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，结合正弦定理化简可得结论．解答：解：设||=c，||=a，||=b，∵•=2•=3•，∴accosB=2abcosC=3bccosA，根据正弦定理即，∴accosB=2abcosC=3bccosA，∴==，∴tanA：tanB：tanC=3：1：2．故答案为：3：1：2．点评：本题考查向量的数量积公式，考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．13．（5分）（2012•盐城二模）在等差数列{a n}中，a2=5，a6=21，记数列的前n项和为S n，若对n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为 5 ．考点：等差数列的通项公式；数列与不等式的综合．专题：综合题．分析：由题干中的等式变形得出数列{a n}是首项为1，公差为4的等差数列，得出{}的通项公式，证明数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，得出数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大项，再由S2n+1﹣S n≤，求出正整数得m的最小值．解答：解：在等差数列{a n}中，∵a2=5，a6=21，∴，解得a1=1，d=4，∴==，∵（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）=（++…+）﹣（++…+）=﹣﹣=﹣﹣=（﹣）+（﹣）＞0，∴数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大项为S3﹣S1=+=，∵≤，∴m≥，又∵m是正整数，∴m的最小值为5．故答案为：5．点评：本题考查数列与不等式的结合问题，难度之一为结合已知和要求的式子，观察出数列是等差或等比数列；难度之二求数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大值，证数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，证明方法：（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）＞0．是解题的关键．14．（5分）（2014春•赣榆县校级期末）设y=f（x）是定义在区间D上的函数，对于区间D的非空子集I，若存在常数m∈R，满足：对任意的x1∈I，都存在x2∈I，使得=m，则称常数m是函数f（x）在I上的“和谐数”．若函数f（x）=sinx+cosx，x∈R，则函数f（x）在区间[0，π]上的“和谐数”是．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：根据x的范围，可得f（x）=sin（x+）∈[﹣1，]，由此根据题意可得m 的值．解答：解：∵x∈[0，π]，∴函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+），故当x=时，函数f（x）取得最大值为；当x=π时，函数f（x）取得最小值为﹣×=﹣1，根据题意可得 m=，故答案为：．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（12分）（2015春•宿迁月考）化简求值：（1）；（2）已知cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos的值．考点：两角和与差的余弦函数；三角函数的化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用cos10°=sin80°=sin（60°+20°），利用两角和的正弦公式展开，合并即可．（2）求出α﹣的正弦函数值，﹣β的余弦函数值，然后利用=（α﹣）﹣（﹣β）通过两角和与差的三角函数求解所求表达式的值即可．解答：解：（1）∵2cos10°=2sin80°=2sin（60°+20°）=2（cos20°+sin20°）=cos20°+sin20°，∴==．（2）cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且＜α＜π，0＜β＜，∴α﹣∈（），∴sin（α﹣）==．﹣β∈，cos（﹣β）==．∴cos=cos[（α﹣）﹣（﹣β）]=cos（α﹣）cos（﹣β）+sin（α﹣）sin（﹣β）==．点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，角的变换，以及“2cos10°=2sin80°=2sin（60°+20°）”的思考与转化，属于中档题．16．（12分）（2015•衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：解三角形．分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣A），由于函数在处取得最大值．令，其中k∈z，解得A的值，（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由△ABC的面积等于，算出即可．解答：解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在处取得最大值．∴，其中k∈z，即，其中k∈z，（1）∵A∈（0，π），∴A=∵，∴2x﹣A∴，即函数f（x）的值域为：（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，即，∴b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即49=169﹣3bc，∴bc=40故△ABC的面积为：S=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．17．（12分）（2010春•建湖县期末）已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3•a4=117，a2+a5=22．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若数列{b n}是等差数列，且，求非零常数c．考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：（1）利用等差数列的性质可得，联立方程可得a3，a4，代入等差数列的通项公式可求a n（2）代入等差数列的前n和公式可求s n，进一步可得b n，然后结合等差数列的定义可得2b2=b1+b3，从而可求c解答：解：（1）a n为等差数列，a3•a4=117，a2+a5=22又a2+a5=a3+a4=22∴a3，a4是方程x2﹣22x+117=0的两个根，d＞0∴a3=9，a4=13∴∴d=4，a1=1∴a n=1+（n﹣1）×4=4n﹣3（2）由（1）知，∵∴，，，∵b n是等差数列，∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0，∴（c=0舍去）点评：本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的综合运用，以及构造法的运用，是一道综合性很好的试题．18．（14分）（2015春•宿迁月考）已知数列{a n}满足，且当n＞1，n∈N*时，有，（1）求证：数列为等差数列；（2）试问a1•a2是否是数列{a n}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据数列的递推关系，利用构造法结合等差数列即可证明数列为等差数列；（2）先求出数列的通项公式以及a1•a2的值，然后进行判断即可．解答：（1）证明：∵当n＞1，n∈N*时，，∴a n﹣1﹣2a n a n﹣1=2a n a n﹣1+a n，又∵a n≠0，∴，∴数列为等差数列；（2）∵，∴，∴，∴，又∵，若，得n=11，∴a1a2是数列{a n}的第11项．点评：本题主要考查数列递推公式的应用，利用构造法以及等差数列的定义是解决本题的关键．19．（14分）（2013•江苏模拟）某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）设（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB 算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF•h表示成关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF的最大值；（2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．解答：解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．∴cosB=，可得B=60°∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°设（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，∵C到AB的距离为BC=百米，∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米可得S△DEF=EF•h=λ（1﹣λ）百米2∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当时等号成立∴当时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为百米2（2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α则CF=a•sinα，AF=﹣a•sinα设∠EDB=∠1，可得∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α在△ADF中，=即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]=∴a===（其中φ是满足tanφ=的锐角）∴△DEF边长最小值为．点评：本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．20．（16分）（2015春•宿迁月考）已知数列{a n}满足a2=3a1，S n是数列{a n}的前n项和，且有S n+1+S n+S n﹣1=3n2+2（n≥2，n∈N*）（1）若数列{a n}为等差数列，求通项a n；（2）若对于任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，求a1的取值范围．考点：数列递推式；等差数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据数列的递推关系，结合等差数列的定义，即可求出数列{a n}的通项a n；（2）利用数列a n＜a n+1恒成立，得到数列为递增数列，利用递增数列的性质即可得到结论．解答：解：（1）∵，∴S3+S2+S1=14，即a3+2a2+3a1=14，又∵a2=3a1，∴a3=14﹣9a1∵数列{a n}为等差数列，∴2a2=a1+a3，解得a1=1，∴d=a2﹣a1=2，∴a n=2n﹣1．（2）∵，∴两式作差得∴可求得若任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，∴a1＜a2且a3k﹣1＜a3k＜a3k+1＜a3k+2∴，解得即a1的取值范围为．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及递推数列的应用，考查学生的推理能力．。

江苏省宿迁市三校2014-2015学年高一下学期4月月考试题数学 Word版含答案

宿迁市三校2014-2015学年下学期4月月考高一数学试题一、填空题（每小题5分，共70分）1．不等式21x <的解集为________________.2．在△ABC 中，A=30°，B=105°，2，则a =_____________.3．已知等差数列{}n a 中，已知117,2a d ==-，则8a =________________.4．已知三个数3,,12x --成等比数列，该数列公比q = ___________.5．在△ABC 中，3,1b c ==，A=60°，则a =_____________.6．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S =________________.7．在等比数列{}n a 中，264,64a a ==，则4a =_____________.8．若点(2,3)t 在直线260x y -+=的下方，则t 的取值X 围是_____________.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若222()tan 3a c b B ac +-=，则B=___________.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，555,15a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为_________.11．在△ABC 中，若cos cos a A b B =，则△ABC 的形状为_____________.12．设关于x 的不等式22(*)x x nx n N -<∈ 的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S =________________.13．在等比数列{}n a 中，若141,42a a ==-，则12||||...||n a a a +++=____________. 14．数列{}11(12)(124)...(12...2)n -++++++++++的前n 项和为_____________.二、解答题15．（14分）解关于x 的不等式2(12)1ax -<.16．（14分）已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，cos sin 0a c c b c --=.⑴求A ；⑵若2a =，△ABC ，求,b c .17．（14分）在等差数列{}n a中，131,3==-.a a⑴求数列{}n a的通项公式；⑵若数列{}n a的前m项和35S=-，求m的值.m18．（16分）某地今年年初有居民住房面积为a m 2，其中需要拆除的旧房面积占了一半，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m 2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰．⑴如果10年后该地区的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x 是多少？⑵依照⑴拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧房？下列数据供计算时参考：19．（16分）已知数列{}n a 满足121,2a a ==，12,*2n n n a a a n N +++=∈. ⑴令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；⑵求{}n a 的通项公式.20．（16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足1122n n S a =-. ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设31212111()log ,()()...(),...n n n nf x x b f a f a f a T b b b ==+++=+++，求2014T ； ⑶若()n n n c a f a =⋅，求{}n c 的前n 项和n U .高一数学试卷参考答案一、填空题（每小题5分，共70分）1．不等式21x <的解集为{}|11x x -<<.2．在△ABC 中，A=30°，B=105°，，则a = 1 .3．已知等差数列{}n a 中，已知117,2a d ==-，则8a = 3 .4．已知三个数3,,12x --成等比数列，该数列公比q = ±2 .5．在△ABC 中，3,1b c ==，A=60°，则a .6．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S = 54 .7．在等比数列{}n a 中，264,64a a ==，则4a = 16 .8．若点(2,3)t 在直线260x y -+=的下方，则t 的取值X 围是{}10|3t t <.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若222()tan a c b B +-=，则B=60°或120°.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，555,15a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为100101. 11．在△ABC 中，若cos cos a A b B =，则△ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形12．设关于x 的不等式22(*)x x nx n N -<∈ 的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S = 10100 .13．在等比数列{}n a 中，若141,42a a ==-，则12||||...||n a a a +++=1122n -. 14．数列{}11(12)(124)...(12...2)n -++++++++++的前n 项和为22522n n n ++-. 二、解答题15．（14分）解关于x 的不等式2(12)1ax -<.解：法一：224411a x ax -+<，22440a x ax -<，220a x ax -<，2()0x a x a -<……7分 i. 0a =不符题意…………………………………………………………………………10分ii. 10,()0a x x a >-<，10x a<<……………………………………………………………………13分 iii. 10,0a x a<<< 综上所述a>0时，不等式的解集为{x|0<x<1a} a<0时，不等式的解集为｛x|1a<x<0｝…………………………………………………………………………14分法二：|21|1ax -<，1211ax -<-<，022,01ax ax <<<<.i.0a =(舍) ii. 0a >时，1(0,)x a∈ iii. 0a <时，1(,0)x a ∈ 综上所述a>0时，不等式的解集为{x|0<x<1a } a<0时，不等式的解集为｛x|1a<x<0｝ 16．（14分）已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，cos sin 0a c c b c --=.⑴求A ；⑵若2a =，△ABC ，求,b c .解•2RsinAsinC-2RsinB-2Rsinc=0cos )sin sin A A C C ∴-⋅=又(0,)C π∈ sinAsinC －sin(A+C)－sinC=0……………………………………………………………3分∴sinA －cosA)=0sin(A －6π)=12 ∴A －6π=6π A=3π………………………………………………………………………………7分(2) 12bcsin 3π,bc=4…………………………………………………………………………10分又4=b 2+c 2－2bc cos3π∴ b 2+c 2=8………………………………………………………………13分 ∴(b －c)2=0…………………………………………………………………………………………14分 ∴b=c=217．（14分）在等差数列{}n a 中，131,3a a ==-.⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n a 的前m 项和35m S =-，求m 的值.解：(1)d=3131a a --=42-=－2…………………………………………………………3分 a n =1+（n －1）(－2)=3－2n ……………………………………………7分(2)S m =－35,1322m +-·m=－35………………………………………10分 m －m 2+35=0，m 2－m －35=0(m+5)(m －7)=0∴m=7………………………………………………………14分18．（16分）某地今年年初有居民住房面积为a m 2，其中需要拆除的旧房面积占了一半，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m 2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰．⑴如果10年后该地区的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x 是多少？⑵依照⑴拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧房？下列数据供计算时参考：b(1+4.9‰)10=1.05b ………………………………3分1年后的住房面积为a ×(1+10%)－x=1.1a －x2年后的住房面积为(1.1a －x)×(1+10%)－x=1.12a －1.1x －x=1.12a －x(1+1.1) 3年后的住房面积为(1.12a －1.1x －x)×(1+10%)－x=1.13a －x(1+1.1+1.12)10年后的住房面积a ×1.110－x(1+1.1+1.12+…1.19)=2.6a －x ·101(1 1.1)1 1.1⨯-- =2.6a －16x …………………………………………………………………8分∴2.61621.05a x a b b-=⨯……………………………………………………………12分 ∴x=32a …………………………………………………………………………13分 (2)全部拆除旧房还需116232a a ÷=年…………………………………16分答：略19．（16分）已知数列{}n a 满足121,2a a ==，12,*2n n n a a a n N +++=∈. ⑴令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；⑵求{}n a 的通项公式. (1)证明b 1=a 2－a 1=1…………………………………………………………2分 a ≥2时，b n =a n+1－a n =12n n a a -+－a n =12n n a a -+=－12(a n －a n-1)=－12b n －1 ………………………………………6分 ∴{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列………………………………………8分 (2)b n = (－12)n-1 ∴a n+1－a n =(－12)n-1………………………………………………………10分 ∴a 2－a 1=(－12)0 a 3－a 2=(－12)1 a n －a n-1=(－12) n-2…………………………………………………………………12分 ∴a n =a 1+(－12)0+(－12)1+…+(－12)n-2 =1+23[1－(12)n-1]= 53－23 (－12)n-1……………………………………………16分20．（16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足1122n n S a =-. ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设31212111()log ,()()...(),...n n n n f x x b f a f a f a T b b b ==+++=+++，求2014T ； ⑶若()n n n c a f a =⋅，求{}n c 的前n 项和n U . 解：(1)当n=1时，a 1=13…………………………………………………2分当n ≥2时，an=s n －s n-1又S n =12－12a n ∴a n =13a n-1∴a n =(13)n ……………………………………4分 (2)f(a n )=log 3(13)n =－n ，则b n =－1－2－3－…－n=－(1)2n n +……………………6分故1n b =－2(111n n -+) 又T n =－2[(1－12)+(12－13)+…+(1n －11n +)] =－2(1－11n +)………………………………………………………9分 ∴T 2014=－40282015………………………………………………10分 (3)=(－n)(13)n ………………………………………………………12分 ∴U n =C 1+C 2+…=－[1×(13)1+2×(13)2+…+n ·(13)n ] 又13U n =－[1×(13)2+2×(13)3+…+n(13)n+1] ∴23 U n =－[(13)1+(13)2+…－n(13)n+1] =－12+12(13)n +n(13)n+1∴U n=－34+34（13）n+32n·(13)n+1………………………………16分。

徐州、宿迁、连云港三市2015届高三第三次调研考试(三模)数学答案

1
1 1 ,即 tan 时取等号, 2 tan 8 故当 AE=1km,BF=8km 时，△PAE 与△PFB 的面积之和最小. ……………………………………………6 分 8 (2)在 Rt△PAE 中，由题意可知 APE ，则 PE ． cos 1 同理在 Rt△PBF 中， PEB ，则 PF ． sin 8 1 令 f ( ) PE PF ， 0 ， …………………………………………………………8 分 cos sin 2 3 3 8sin cos 8sin cos 则 f ( ) ， ……………………………………………………………10 分 cos2 sin 2 sin 2 cos2 1 1 令 f ( ) 0 ，得 tan ，记 tan 0 ， 0 0 ， 2 2 2 (0, ) f ( ) 0 f ( ) 当，单调递减； 0 时，当 (0 , ) 时， f ( ) 0 ， f ( ) 单调递增． 2 1 所以 tan 时， f ( ) 取得最小值， ……………………………………………………………………12 分 2 1 BP 2．此时 AE AP tan 8 4 ， BF 2 tan 所以当 AE 为 4km，且 BF 为 2km 时，PE+PF 的值最小．…………………………………………………14 分 c 3 2a 2 8 3 18.（1）由题意，解得 a 2, c 3 ， , a 2 c 3 x2 b 1 ，椭圆方程为 y 2 1 · ………………………………………………………………………4 分 4 1 （2）解法一 : STBC BC t t …………………………………………………………………………6 分 2 x2 y2 1 1 8t 4 直线 TB 方程为： y x 1 ，联立，得 xE 2 t t 4 y 1 x 1 t 当且仅当 32 tan 所以 E

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