初中几何一线三等角模型

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初中数学58种模型之一线三等角模型

初中数学58种模型之

一线三等角模型

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。

“一线三等角”的起源

DE 绕A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.

下面分几种类型讨论：

一、直角形“一线三等角”——“一线三直角”

结论：△ADB ∽△CEA

二、锐角形“一线三等角

结论：△ADB∽△CEA∽△CAB

三、钝角形“一线三等角

结论：△ADB∽△CEA∽△CAB

下面总结几种常考类型：

类型一三角齐见，模型自现

类型一概述

以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的起点．两道题虽涉及不同的图形变换，但

解法本质一致，均为利用模型构建比例式解决问题．两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想．

类型二隐藏局部，小修小补

类型二概述

上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显: 均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模型．两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查，提升了学生思维的层次性和灵活性．

类型三一角独处，两侧添补

类型三概述

上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴知识技能、思想方法、数学模型于图形之中．题中的“特殊角”是解题的关键，也是搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来源与“脚手架”．这几道题实质上都是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况．

初中几何一线三等角模型

一、一线三等角的起源

上面这个图是一线三等角的老祖宗了，旋转一下又会有所变化，如下图。

旋转到更特殊的位置，如下图。（其实这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。）

“一线三等角”模型一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，义乌通常称为“K 形图”，哈尔滨通常称为“M 形图”，以下统称为“一线三等角”。

二、一线三等角的两种基本类型

1．三等角都在直线的同侧

2．三等角分居直线的两侧

三、一线三等角的性质

1．一般情况下，由∠1＝∠2＝∠3，易得△AEC∽△BDE. 2．当等角所对的边相等时，两个三角形全等。

如图，当CE＝ED时，易得△AEC≌△BDE.

3．“中点型一线三等角”的特殊性质

如图，当∠1＝∠2＝∠3且D 是BC 的中点时，△BDE ∽△CFD ∽△DFE .

如图，加画两条垂线．．．．．．

，“一线三等角”就与“四边形中的半角模型”联系在一起了。

半角模型：EF ＝EM ＋FN . 4．“中点型一线三等角”的变式如图，当∠1＝∠2且∠AOC ＝90°＋

∠BAC 时，点O 是△ABC 的内心.

易证∠4＝∠5＝∠6，以下就省略了。

四、一线三等角的常用构图

下面以等腰三角形为例说明一线三等角的常见构图。

由于角顶点位置的改变，或角绕顶点旋转会产生各种各样的变式，但万变不离其宗：构造相似三角形列比例式解决问题。当然，特殊情况下也可能是全等。

五、一线三等角的应用

1．一线三等角应用的三个层次

⑴初级阶段：图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

中考数学相似三角形重要模型一线三等角模型

相似三角形重要模型-一线三等角模型

相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角模型（相似模型）

【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．

1）一线三等角模型（同侧型）

（锐角型）（直角型）（钝角型）

条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.

2）一线三等角模型（异侧型）

条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.

3）一线三等角模型（变异型）

图1 图2 图3

①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.

②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.

③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.

例1．

（2023·山东东营·统考中考真题）如图，A B C为等边三角形，点D，E分别在边B C，A B上，60

A D E

∠=︒，若4

B D D C

=， 2.4

D E=，则A D的长为（）

A．1.8B．2.4C．3D．3.2

几何模型：一线三等角模型

一线三等角模子“一线三等角”是一个罕有的类似模子,指的是有三个等角的极点在统一条直线上组成的类似图形,这个角可所以直角,也可所以锐角或钝角.不合地区对此有不合的称呼, “K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”.

全等篇

同侧锐角直角

钝角

异侧

类似篇

同侧锐角直角

钝角

B A

异侧

三.“一线三等角”的性质

1.一般情形下,如图 3-1,由∠1=∠2=∠3,易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如图 3-1,若 CE=ED,则△AEC≌△BDE.

3.中点型“一线三等角”

如图 3-2,当∠1=∠2=∠3,且 D 是 BC 中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“中点型一线三等角“的变式(懂得)

如图 3-3,当∠1=∠2 且1

902BOC BAC

∠=︒+∠时,点 O 是△ABC 的

心坎.可以斟酌结构“一线三等角”.

如图 3-4“中点型一线三等角”平日与三角形的心坎或旁心相干,

902BOC BAC

∠=︒+∠这是心坎的性质,反之未必是心坎.

在图 3-4（右图）中,假如延伸 BE 与 CF,交于点 P,则点 D 是△PEF 的旁心.

5.“一线三等角”的各类变式（图 3-5,以等腰三角形为例进行解释）

图 3-5

其实这个第 4 图,延伸 DC 反而好懂得.相当于两侧型的,不延伸懂得,认为是一种新型的,同侧穿越型？不管怎么变,都是由三等角肯定类似三角形来进行解题

四.“一线三等角”的运用

1.“一线三等角”运用的三种情形.

a.图形中已经消失“一线三等角”,直策运用模子解题;

几何模型：一线三等角模型 (最终版)

初中几何模型之“一线三等角模型”

一.【一线三等角概念】

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.【一线三等角的分类】

2.1 全等篇_同侧

A P

锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧

锐角直角钝角

2.3 相似篇_同侧

A B

锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧

锐角直角钝角

三、【性质】

1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α

2=α3易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。

3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟

如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解)

如图 3-3，当∠1=∠2 且1902

BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）

图 3-5

四、【“一线三等角”的应用】

1.应用的三种情况.

a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；

c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.

注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.

几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型

一.一线三等角概念

二.一线三等角的分类

全等篇

同侧锐角直角钝角

异侧相似篇

同侧锐角直角钝角

异侧

三、“一线三等角”的性质

1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE.

3.中点型“一线三等角”

如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1

902

BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.

如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，

902

BOC BAC ∠=︒+∠这是内心的性质，反之未必是内心.

在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）

图 3-5

其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题

四、“一线三等角”的应用

1.“一线三等角”应用的三种情况.

一线三等角模型知识点总结

一、基本概念

1.1 一线三等角模型的定义

一线三等角模型是指在一个等腰三角形中，以等腰腰为底边的代表线和等腰角的代表角为模型，利用这一模型可以推导出等腰三角形各边的关系，以及解决相关的几何问题。

1.2 一线三等角模型的特点

一线三等角模型是一个简单而重要的几何模型，它可以帮助我们快速理解和解决等腰三角形的各种问题。通过运用这一模型，我们可以建立等腰三角形各边之间的关系，并进一步推导出相关的定理和公式。

二、基本公式

在一线三等角模型中，我们可以得到以下基本公式：

2.1 等腰三角形的边长关系

设等腰三角形的底边为a，等腰腰为b，顶角为A，则根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：

sinA = b/2R

cosA = a/2R

其中R为等腰三角形的外接圆半径。

2.2 一线三等角的关系

在一线三等角模型中，等腰三角形的底边、等腰腰和顶角之间有如下关系：

a/sinA = b/sin(180-2A) = 2R

其中a、b和A分别表示等腰三角形的底边、等腰腰和顶角，R为等腰三角形的外接圆半径。

2.3 其他相关公式

在一线三等角模型中，还可以得到一些其他相关的公式，如等腰三角形的高、底角和腰角之间的关系等。

三、模型的应用

3.1 求解等腰三角形的各边长

通过一线三等角模型，我们可以快速地求解等腰三角形的各边长。例如，已知等腰三角形

的底边和顶角，可以利用模型中的公式来计算等腰腰的长度，或者利用正弦定理和余弦定

理来计算等腰三角形的底角和腰角。

3.2 证明等腰三角形的性质

通过一线三等角模型，我们可以轻易地证明等腰三角形的一些性质，比如底角相等、底边

中考数学“一线三等角”模型解析

一、“一线三等角”模型定义

两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角型”相似三角形 .

二、“一线三等角”模型类型

（1）点P 在线段AB 上，则有△ACP∽△BPD .

①锐角一线三等角

锐角一线三等角模型

②直角一线三等角

直角一线三等角模型

③钝角一线三等角

钝角一线三等角模型

（2）点P 在线段AB 的延长线上，则有△ACP∽△BPD .

①锐角一线三等角

锐角一线三等角模型

②直角一线三等角

直角一线三等角模型

③钝角一线三等角

钝角一线三等角模型

三、“一线三等角”模型常出现的题型

1、等腰三角形中，在底边上作一角与底角相等；

2、等腰梯形中上（下）底作一角与上（下）底角相等；

3、矩形（正方形）；

4、矩形和正方形的翻折（简称：一线三直角）；

5、等边三角形的翻折；

6、坐标系中的一线三直角包括已知相似比求点的坐标或直角三角形的讨论性问题 .

四、典例解析

（一）一线三等角模型——等腰三角形

【例题1】如图，已知：在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4 , 点M 是边AB 的中点，点E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，∠EMG = 45°，AC 与MG 的延长线相交于点F，（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；

（2）连接EG，当AE = 3 时，求EG 的长 .

几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型

一.一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。二.一线三等角的分类

全等篇

同

侧锐角直角

钝角

异侧相似篇

同

侧

锐角直角钝角

异侧

三、“一线三等角”的性质

1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.

3.中点型“一线三等角”

如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.

如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，

902

BOC BAC

∠=︒+∠这是内心

的性质，反之未必是内心.

在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）

图 3-5

中考数学几何专题——一线三等角模型

一线三等角模型

模型识别:

条件：左图：N ABC=N ACE=N CDE=90°

中图：N ABC=N ACE=N CDE=60°

右图：N ABC=N ACE=N CDE=45° 结论：所有图形都存在的结论

①△ABCFCDE；② AB X DE=BC X CD

另外：一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。

题型一：三直角

1、如下左图，a ABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A,N D=N E=90°,则下列结论正确的是_______ .① CD=AE；②N1=N2；③N3=N4；④ AD=BE

2、如上右图，AB±BC, CD L BC,垂足分别为B、C, AB=BC, E为BC的中点，且AE±BD 于F,若CD=4cm,则U AB的长度为.

3、如下左图，已知图中4条直线互相平行，相邻两条平行线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cos =.

4、如上右图，AE X AB且AE=AB, BC±CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围城的面积S是_____ .

5、如图，正方形ABCD的边长为25,内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为____ .

6、如图，^ABC中，N ABC=90°, AB=BC,m角形的顶点在相互平行的三条直线11, 12> 13 上，且11,12之间的距离为1,12、13之间的距离为3

(1)求AC的长

(2)点B到AC的距离

7、如图，在^ABC中，以AB、AC为直角边，分别向外作等腰Rt A ABE和等腰Rt^ACF,连接EF,过点A作AD L BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M,证明：EM=FM.

几何模型一线三等角模型

实用标准

一线三等角模型

一 .一线三等角概念

“一线三等角” 是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二 .一线三等角的分类

全等篇

D C C

A P B

A P

B A

同侧

锐角D 直角

钝角

B P A

相似篇

A P

锐角

C C

A P

B A

直角

异侧

P B同侧

钝角

B C P

异侧

三、“一线三等角”的性质

1.一般情况下，如图 3-1 ，由∠ 1=∠ 2=∠ 3，易得△ AEC∽△ BDE.

2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如图 3-1 ，若 CE=ED，则△ AEC≌△ BDE.

3.中点型“一线三等角”

如图 3-2，当∠ 1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△ BDE∽△ CFD∽△ DFE.

4. “中点型一线三等角“的变式(了解)

如图 3-3，当∠ 1=∠2 且BOC 901

BAC 时，点O是△ABC的内心.可以考虑构2

造“一线三等角”.

如图 3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，

BOC901

BAC 这是内心的性质，反之未必是内心.

在图 3-4

BE 与 CF，交于点 P ，则点 D 是△ PEF 的旁心 .（右图）中，如果延长

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明）

图 3-5

其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题

2023年中考数学常见几何模型之一线三等角模型

专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）

【模型解读】

在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】

同侧型一线三等角（常见）：

锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角

条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE

证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅V V

异侧型一线三等角：

锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角

条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等

证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅V V

1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC V 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过

点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．

(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；

(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；

初中数学几何模型(五)一线三等角模型

初中数学几何模型（五）一线三等角模型

一线三等角模型：指有三个相等角的顶点在同一直线上构成的相似或全等（相等角所对的边相等）图形，相等的角可以是锐角，也可以是直角或钝角。

（一）全等

1、相等的三个角和全等三角形在直线同侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD≌△BEC。

证明：∵∠BCD=∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。

2、相等的三个角和全等三角形在直线异侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD ≌△BEC。

证明：∵∠2=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠2=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠2=∠1，∴∠DAC=∠CBE，

∵CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。

一线三等角结论1：当等角所对边相等时，则两个三角形全等。

（二）相似

1、相等的三个角和相似三角形在直线同侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。证明：∵∠BCD+∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴△ACD∽△BEC。

2、相等的三个角和相似三角形在直线异侧。

已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。证明：∵∠1=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠CBE，∴△ACD∽△BEC。

(完整版)几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型

一。一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼,“K形图",“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二. 一线三等角的分类

全等篇

三、“一线三等角”的性质

1。一般情况下，如图3—1,由N 仁Z2=Z3，易得△AECs^BDEo

2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图

3.中点型“一线三等角如图3—2,当Z1=Z2=Z3,且D 是BC 中点时，△BDEs^CFDs^DFE 。

4。“中

点型一

线三等

角“的

如图3—4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，ZBOC 二90。+A BAC 这是内心的

^2 性质，反之未必是内心.

在图3-4（右图）中，如果延长BE 与CF ，交于点P,则点D 是APEF 的旁心.

图3—5

其实这个第4图，延长DC 反而好理解•相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题

四、“一线三等角”的应用

1•“一线三等角”应用的三种情况.

图3-1

图3-3图3-4+J

a。图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

b。图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；

c・图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题。

体会:感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.

全等模型 —“一线三等角”

全等模型—“一线三等角”

一线三等角模型，顾名思议，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型贯穿初中

几何的始终，在相似三角形这个章节中是很重要的知识点，下面来具体分析一下。

1，等腰直角三角形一线三等角模型

口诀：多个垂直先倒角相等，互余角少不了

分析1：已知△OAB是等腰直角三角形，过点O作直线CD且AD⊥CD，BC⊥CD，由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形

∴∠BOA=90°OB=OA

即∠COB＋∠AOD=90°

又因为AD⊥CD，BC⊥CD

所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）

∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）

因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）

则有∠COB=∠DAO∠CBO=∠AOD

综上结论，则有

在△BCO和△ODA中

∠COB=∠DAO

OB=OA（角边角）

∠CBO=∠AOD

因此△BCO≌△ODA

分析2，已知△OAB是等腰直角三角形，做一条直线穿过∠BOA，AD⊥CD，BC⊥CD，如下图所示：

由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形

∴∠BOA=90°OB=OA

即∠COB＋∠AOD=90°

又因为AD⊥CD，BC⊥CD

所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）

∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）

因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）

则有∠COB=∠DAO，∠CBO=∠AOD

综上结论，则有

在△BCO和△ODA中，∠COB=∠DAO，OB=OA，∠CBO=∠AOD

因此△BCO≌△ODA

“一线三等角”全等模型——适用于直角的情况

条件：∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA,结论：△ACE≌△BAF.

初中数学“一线三等角”模型的解析

初中数学“一线三等角”模型的解析一线三等角是初中数学中一个重要的几何模型，它涉及到线段、角度和等边三角形的关系。本文将对一线三等角模型的定义、性质以及应用进行深入解析。

一、一线三等角模型的定义

一线三等角模型是由一个线段和两个相等的角组成的几何模型。在该模型中，线段是一条直线段，两个角分别位于线段的两侧，且两个角的度数相等。这两个角与线段构成了一个等边三角形，同时这个等边三角形的边长等于线段的长度。

二、一线三等角模型的性质

1. 线段与等边三角形的关系：线段的长度等于等边三角形的边长。

2. 角的性质：线段两侧的两个角度数相等。由于等边三角形的三个内角都是60°，所以两个角的度数都是60°。

3. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都是60°。

4. 线段的性质：线段可以作为等边三角形的一条边，也可以作为两个相等角的边。

三、一线三等角模型的应用

1. 解题方法：在解决与一线三等角模型相关的问题时，我们可以利

用线段的长度、角的性质和等边三角形的性质来分析和推导。通过观

察图像，找出线段、角和三角形之间的关系，从而找到解题的突破口。

2. 题型一：求线段的长度

在一线三等角模型中，当已知一个等边三角形的边长时，可以通过

等边三角形的性质求出线段的长度。根据等边三角形的定义，三条边

相等，因此线段的长度等于等边三角形的边长。

3. 题型二：求角的度数

在一线三等角模型中，当已知线段的长度时，可以通过角的性质求

出角的度数。由于线段两侧的两个角度数相等，且等于60°。因此可以

根据线段的长度推导出角的度数。

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