初中几何 一线三等角模型

一、一线三等角的起源

上面这个图是一线三等角的老祖宗了，旋转一下又会有所变化，如下图。

旋转到更特殊的位置，如下图。（其实这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。）

“一线三等角”模型一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，义乌通常称为“K 形图”，哈尔滨通常称为“M 形图”，以下统称为“一线三等角”。

二、一线三等角的两种基本类型

1．三等角都在直线的同侧

2．三等角分居直线的两侧

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三、一线三等角的性质

1．一般情况下，由∠1＝∠2＝∠3，易得△AEC∽△BDE. 2．当等角所对的边相等时，两个三角形全等。

如图，当CE＝ED时，易得△AEC≌△BDE.

3．“中点型一线三等角”的特殊性质

如图，当∠1＝∠2＝∠3且D 是BC 的中点时，△BDE ∽△CFD ∽△DFE .

如图，加画两条垂线．．．．．．

，“一线三等角”就与“四边形中的半角模型”联系在一起了。

半角模型：EF ＝EM ＋FN .

4．“中点型一线三等角”的变式

如图，当∠1＝∠2且∠AOC ＝90°＋2

1∠BAC 时，点O 是△ABC 的内心.

易证∠4＝∠5＝∠6，以下就省略了。

四、一线三等角的常用构图

下面以等腰三角形为例说明一线三等角的常见构图。

由于角顶点位置的改变，或角绕顶点旋转会产生各种各样的变式，但万变不离其宗：构造相似三角形列比例式解决问题。当然，特殊情况下也可能是全等。

五、一线三等角的应用

1．一线三等角应用的三个层次

⑴初级阶段：图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

⑵中级阶段：图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造此模型；

⑶高级阶段：图形中只有直线上的一个角，补上“二等角”构造此模型。

2．在张角问题中，构造“一线三等角”是基本手段之一。对坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造“一线三等角”是解决问题的关键。

3．构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似。