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第二讲常用逻辑用语复习题(解析版)

第2讲常用逻辑用语复习题I本章知识思维导图 2 II典型例题 3题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 3题型二：全称量词命题与存在量词命题 4题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围) 6题型四：充要条件的证明或探求 9题型五：命题的否定 11题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题 12 III模块三：数学思想方法 15①分类讨论思想 15②转化与化归思想 17③方程思想 181本章知识思维导图I23II 典型例题题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用【例1】(天津市和平区2023-2024学年高二期末质量调查数学试卷)已知a ∈R ，则“1a≥1”是“0≤a ≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】不等式1a≥1⇔0<a ≤1，显然(0,1]Ü[0,1]，所以“1a ≥1”是“0≤a ≤1”的充分不必要条件.故选：A【例2】(重庆市主城四区2023-2024学年高二期末高中学生学业质量调研测试数学试题)若xy ≠0，则“x +2y =0”是“x y +y x =-52”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x +2y =0时，x y +y x =-2y y +y -2y =-2-12=-52，当x y +y x =-52时，即2x 2+5xy +2y 2=0，即x +2y 2x +y =0，则有x +2y =0或2x +y =0，故“x +2y =0”是“x y +y x =-52”的充分不必要条件.故选：B .【例3】(2024·江苏扬州·模拟预测)已知集合A =0,a 2 ,B =1,a +1,a -1 ，则“a =1”是“A ⊆B ”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a =1时，A ={0,1},B ={0,1,2}，则A ⊆B ；反之，当A ⊆B 时，a +1=0或a -1=0，解得a =-1或a =1，若a =-1，A ={0,1},B ={0,1,-2}，满足A ⊆B ，若a =1，显然满足A ⊆B ，因此a =-1或a =1，所以“a =1”是“A ⊆B ”的充分不必要条件.故选：B【例4】(2024·天津河北·二模)设x ∈R ，则“1<x <2”是“x -2 <1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x-2<1可得-1<x-2<1，解得1<x<3，所以由1<x<2推得出x-2<1，故充分性成立；由x-2<1推不出1<x<2，故必要性不成立，所以“1<x<2”是“x-2<1”的充分不必要条件.故选：A【例5】(2024·高一·江苏连云港·开学考试)若不等式x <a的一个充分条件为0<x<1，则实数a的取值范围是()A.0,1B.0,1C.1,+∞D.1,+∞【答案】C【解析】由x <a，得到-a<x<a，又不等式x <a的一个充分条件为0<x<1，所以a≥1，故选：C.【例6】(2024·高一·江苏无锡·阶段练习)不等式x2-x-m>0在x∈R上恒成立的一个必要不充分条件是()A.m≤-14 B.m<-14 C.m<-12 D.-1<m<-12【答案】A【解析】不等式x2-x-m>0在R上恒成立，即一元二次方程x2-x-m=0在R上无实数解∴Δ=-12-4×-m<0，解得：m<-1 4，易见B选项是充要条件，不成立；A选项中，m<-14可推导m≤-14，且m≤-14不可推导m<-14，故m≤-14是m<-14的必要不充分条件，A正确；C选项中，m<-14不可推导出m<-12，C错误；D选项中，m<-14不可推导-1<m<-12，D错误，故选：A.题型二：全称量词命题与存在量词命题【例7】(2024·高一·河南安阳·阶段练习)下列命题是真命题的是()A.∀x∈R,x2=xB.∃x∈Q,x2=3C.∀x∈Z,|x|∈ND.∃x∈R,x2-2x+3=0【答案】C【解析】当x=-1时，x2≠x.故选项A判断错误；由x2=3可得，x=± 3.故选项B判断错误；∀x∈Z,|x|∈N.故选项C判断正确；由x2-2x+3>0，可得选项D判断错误.故选：C4【例8】(2024·高一·广东广州·阶段练习)下列命题中真命题的个数是()①∃x∈R,x2≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∀x∈{x|x是无理数}，x是无理数．A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】对于①，当x=0时，x2=0≤0，故①正确；对于②，由1是整数，且它既不是合数，也不是素数，故②正确；对于③，假设∀x∈{x|x是无理数}，x是有理数，则可设x=pq,p,q∈Z，则x=p2q2，p2,q2∈Z，故x为有理数，而与题设矛盾，故③正确，故选：D.【例9】(2024·高一·北京通州·期中)给出下面四个命题：①∀x∈R，x +1≥1；②∀x∈R，x +x≥0；③∃x∈R，x2的个位数字等于3；④∃x∈R，x2-x+1=0.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】对于①，因为x ≥0，所以∀x∈R，x +1≥1，所以①对；对于②，当x≥0时，x +x=2x≥0，当x<0时，x +x=0≥0，所以∀x∈R，x +x≥0成立，所以②对；对于③，设x=10a+b，b∈0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，x2=1010a2+2ab+b2，x2的个位数字等于b2的个位数字，所以x2的个位数字都不等于3，所以③错；对于④，因数Δ=-12-4×1×1=-3<0，所以方程x2-x+1=0无实数解，所以④错.故选：B.【例10】(2024·高一·全国·课后作业)以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x，使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x，使x2≤0【答案】B【解析】逐一考查所给的命题：A选项为全称量词命题，且所给的命题为假命题；B选项为存在量词命题，且所给的命题为真命题；C选项为全称量词命题，取x1=2+3,x2=2-3，则x1+x2=4为有理数，所给的命题为假命题；D选项为存在量词命题，若x<0，则x2>0，所给的命题为假命题.故选B.【例11】(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是()A.至少有一个x∈Z，使得x2<3成立B.菱形的两条对角线长度相等56C.∃x ∈R ，x 2=xD.对任意a ，b ∈R ，都有a 2+b 2≥2(a +b -1)【答案】D【解析】AC 为存在量词命题，BD 为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，B 选项错误，对任意a ，b ∈R ，都有a 2+b 2-2(a +b -1)=a 2-2a +1+b 2-2b +1=(a -1)2+(b -1)2≥0，即a 2+b 2≥2(a +b -1)，D 选项正确.故选：D【例12】(2024·高一·河北·阶段练习)下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是()A.每一个命题都能判断真假B.存在一条直线与两条相交直线都平行C.对任意实数a ,b ，若a <b ，则a 2<b 2D.存在x ∈R ，使x 2-x +1=0【答案】A【解析】对于A ，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假，A 是真命题，符合题意；对于B ，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意；对于C ，该命题是全称量词命题，当a =-2,b =-1时，a 2>b 2，C 中命题是假命题，不符合题意；对于D ，该命题是存在量词命题，不符合题意，故选：A .题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)【例13】(2024·高一·海南海口·阶段练习)若“|x |>2”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为．【答案】-2【解析】x >2，得x >2或x <-2，若“|x |>2”是“x <a ”的必要不充分条件，得x x <a Ü{x x >2 或x <-2}，所以a ≤-2，即a 的最大值为-2.故答案为：-2【例14】(2024·高一·河北石家庄·阶段练习)已知p :4x -m ≤0,q :1≤3-x ≤4，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为.【答案】m ≥8【解析】由p :4x -m ≤0,q :1≤3-x ≤4，得p :x ≤m4,q :-1≤x ≤2，因为p 是q 的一个必要不充分条件，则p 不能推出q ，但q 能推出p ，则2≤m4，即m ≥8.故答案为：m ≥8【例15】(2024·高一·江西南昌·期末)在①A ∩B =B ；②“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件；③B ∩∁R A =∅这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．间题：已知集合A ={x ∈R ∣(x -1)(x +2)>0},B ={x ∈R ∣y =x +a ,y ∈R }．(1)当a =1时，求A ∩∁R B ；(2)若，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由不等式(x -1)(x +2)>0，解得x <-2或x >1，可得A ={x |x <-2或x >1}，当a =1时，可得B ={x ∈R ∣y =x +1,y ∈R }={x |x ≥-1}，7则∁R B ={x ∣x <-1}，所以A ∩∁R B ={x ∣x <-2}．(2)由集合A ={x |x <-2或x >1}和B ={x |x ≥-a }，若选择①：由A ∩B =B ，即B ⊆A ，可得-a >1，解得a <-1，所以实数a 的取值范围为(-∞,-1)；若选择②：由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，可得B ⊆A ，可得-a >1，解得a <-1，所以实数a 的取值范围为(-∞,-1)；若选择③：由A ={x |x <-2或x >1}，可得∁R A ={x |-2≤x ≤1}，要使得B ∩∁R A =∅，则-a >1，解得a <-1，所以实数a 的取值范围为(-∞,-1).【例16】(2024·高一·山东菏泽·期中)设全集U =R ，集合A =x -2<x ≤3 ，B =x m -1≤x ≤2m ．(1)若m =3，求集合∁U A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】(1)当m =3时，B =x 2≤x ≤6 ，又∁U A =x x ≤-2 或x >3 ，所以∁U A ∩B =x 3<x ≤6 ．(2)“x ∈A ”是“x ∈B ”必要条件，故B ⊆A ．当B =∅时，m -1>2m ，所以m <-1，符合题意；当B ≠∅时，需满足m -1≤2m-2<m -12m ≤3，解得-1<m ≤32，综上所述，m 的取值范围为m <-1或-1<m ≤32．【例17】(2024·高一·福建莆田·期中)已知p ：关于x 的方程x 2-2ax +a 2+a -1=0有实数根，q ：2m -1≤a≤m +2．(1)若命题¬p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为命题是¬p 真命题，则命题p 是假命题，即关于的方程x 2-2ax +a 2+a -1=0无实数根，因此，Δ=4a 2-4a 2+a -1 <0，解得a >1，所以实数的取值范围是1,+∞ ，(2)由(1)知，命题p 是真命题，即p :a ≤1，因为命题p 是q 的必要不充分条件，则a 2m -1≤a ≤m +2 Üa a ≤1 ，当2m -1>m +2即m >3时，a 2m -1≤a ≤m +2 =∅，满足题意，当2m -1≤m +2即m ≤3时，则m ≤3m +2≤1⇒m ≤-1，所以实数m 的取值范围是{m m ≤-1或m >3}．【例18】(2024·高一·河北保定·期中)已知集合A =x 2m -1≤x ≤m +1 ，B =x 12≤x <2 ．(1)若m =12，求A ∩∁R B ；(2)若x ∈B 是x ∈A 的必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由B=x12≤x<2，则∁R B={x|x<12或x≥2}，若m=12，则A=x0≤x≤32，所以A∩∁R B=x0≤x<1 2．(2)若x∈B是x∈A的必要条件，则A⊆B．当2m-1>m+1时，即m>2时，A=∅，符合题意；当2m-1≤m+1时，即m≤2时，A≠∅，要满足A⊆B，可得12≤2m-1≤m+1<2，解得34≤m<1；综上，实数m的取值范围为34≤m<1或m>2．【例19】(2024·高一·湖北襄阳·期中)已知集合A=x|-2≤x≤5，B=x|m+1≤x≤2m-1．(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围；(2)若x∈A是x∈B的必要条件，且集合B不为空集，求实数m的取值范围.【解析】(1)当B=∅时，由m+1>2m-1，得m<2，符合题意；当B≠∅时，可得2m-1≥m+12m-1<-2或2m-1≥m+1m+1>5，解得m>4．综上，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}．(2)由题意可知B⊆A且B≠∅.可得2m-1≥m+1，m+1≥-2，2m-1≤5，解得2≤m≤3，综上，实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}．.【例20】(2024·高一·云南红河·阶段练习)已知命题p：方程x2+tx+t=0没有实数根，若p是真命题，实数t 的取值集合为A．(1)求实数t的取值集合A；(2)集合B=t1-a<t<2a-1，若t∈B是t∈A的必要条件，求a的取值范围．【解析】(1)若p是真命题，则t2-4t<0，解得0<t<4，所以A=t|0<t<4；(2)若t∈B是t∈A的必要条件，则A⊆B，又A=t|0<t<4，所以B≠∅，所以2a-1≥41-a≤02a-1>1-a，解得a≥52.【例21】(2024·高一·辽宁·阶段练习)已知集合A=x|-2≤x-1≤5，B=x|m+1≤x≤2m-1.(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围；(2)设p:x∈A;q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为A={x∣-2≤x-1≤5}，所以A={x∣-1≤x≤6}，又A∩B=∅，分类讨论如下：①当B=∅时，m+1>2m-1解得m<2;8②当B=∅时，m+1≤2m-1 m+1>6或m+1≤2m-12m-1<-1，解得m>5；综上所述：实数m的取值范围为{m∣m<2或m>5}.(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的真子集，①当B=Æ时，m+1>2m-1，解得m<2;②当B¹Æ时，m+1≤2m-1 m+1≥-12m-1≤6(等号不能同时成立)，解得2≤m≤7 2；综上所述：实数m的取值范围为m∣m≤7 2.题型四：充要条件的证明或探求【例22】(2024·高二·全国·专题练习)已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0，两方程的根都是整数的充要条件为．【答案】m=1【解析】因为mx2-4x+4=0是一元二次方程，所以m≠0．又另一方程为x2-4mx+4m2-4m-5=0，且两方程都要有实根，所以Δ1=16-16m≥0,Δ2=16m2-44m2-4m-5≥0，解得m∈-54,1．因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以4m∈Z4m∈Z4m2-4m-5∈Z，所以m为4的约数．又m∈-54,1，所以m=-1或1．当m=-1时，第一个方程x2+4x-4=0的根为非整数；而当m=1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是m=1．【例23】设n∈N+，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=【答案】3或4【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．x=4±16-4n2=2±4-n，因为x是整数，即2±4-n为整数，所以4-n为整数，且n≤4，又因为n∈N+，取n=1,2,3,4，验证可知n=3,4符合题意；反之n=3,4时，可推出一元二次方程有整数根．【例24】(2024·高一·广东珠海·阶段练习)设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.【解析】证明：①充分性：即证明关于x的方程ax2+bx+c=0的系数满足a-b+c=0⇒方程有一个根为-1；由a-b+c=0，得b=a+c，代入方程得ax2+a+cx+c=0，得ax+cx+1=0，所以，x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根.②必要性：即证明若x=-1是方程ax2+bx+c=0的根⇒a-b+c=0；910将x =-1代入方程ax 2+bx +c =0，即有a -b +c =0.综上由①②可知，故关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一个根为-1的充要条件是a -b +c =0.【例25】(2024·高一·全国·专题练习)当m ,n ∈Z 时，定义运算⊗：当m ,n >0时，m ⊗n =m +n ；当m ,n <0时，m ⊗n =m ⋅n ；当m >0,n <0或m <0,n >0时，m ⊗n =m +n ；当m =0时，m ⊗n =n ；当n =0时，m ⊗n =m ．(1)计算-2 ⊗-3 ⊗-7 ；(2)证明，“a =0,b =-2或a =-2,b =0”是“a ⊗b =-2”的充要条件．【解析】(1)-2 ⊗-3 ⊗-7 =6⊗-7 =6-7 =1.(2)先证充分性：当a =0,b =-2或a =-2,b =0时，则a ⊗b =-2，即a =0,b =-2或a =-2,b =0是a ⊗b =-2的充分条件；再证必要性：当a ⊗b =-2时，显然当ab >0时，a ⊗b >0，当ab <0时，a ⊗b ≥0，即ab >0与ab <0均不合题意，当a =0时，由a ⊗b =-2，则b =-2，当b =0时，由a ⊗b =-2，则a =-2，即“a =0,b =-2或a =-2,b =0”是“a ⊗b =-2”的必要条件，综上，命题得证．【例26】(2024·高一·江苏苏州·阶段练习)求证：方程mx 2-2x +3=0m ≠0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.【解析】先证明充分性：若0<m <13，设方程的两个实根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2m >0，x 1⋅x 2=3m>0，Δ=4-12m >0，故方程mx 2-2x +3=0(m ≠0)有两个同号且不相等的实根；再证明必要性：若方程mx 2-2x +3=0(m ≠0)有两个同号且不相等的实根，令y =mx 2-2x +3(m ≠0)，当m >0时，其图象是开口方向朝上，且以x =1m为对称轴的抛物线若关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的正根，则函数f (x )=mx 2-2x +3，有两个正零点，则2m >03m >0Δ=4-12m >0，解得0<m <13；当m <0时，其图象是开口方向朝下，且以x =1m为对称轴的抛物线若关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的负根，则函数y =mx 2-2x +3，有两个负零点，则2m <03m >0Δ=4-12m >0，无解；故关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根，则m 的取值范围是0<m <13；∴方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<13．【例27】(2024·高一·湖北武汉·阶段练习)设a，b，c分别是三角形ABC的三条边长，且a≤b≤c，请利用边长a，b，c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明之．【解析】a2+b2>c2.证明如下：充分性：∵a2+b2>c2，∴ △ABC不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形，∵a≤b≤c，∴ ∠C最大，即∠B<90°，∠C>90°，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D，由勾股定理，得c2=AD2+BD2=AD2+(CD+a)2=AD2+CD2+a2+2⋅CD⋅a=AC2+a2+2⋅CD⋅a=b2+a2+2⋅CD⋅a>a2+b2，与已知a2+b2>c2矛盾，∴△ABC为锐角三角形.必要性：∵△ABC为锐角三角形，∴∠B<90°，∠C<90°°，过点A作BC的垂线，垂足为D，由勾股定理知，得c2=AD2+BD2=AD2+(a-CD)2=AD2+CD2+a2-2⋅CD⋅a=b2+a2-2⋅CD⋅a<a2+b2.综上，△ABC为锐角三角形的一个充要条件为a2+b2>c2.题型五：命题的否定【例28】(2024·高一·云南昆明·期末)命题p:∀x∈Z,x2+x>0的否定是()A.∀x∈Z,x2+x≤0B.∃x0∈Z,x02+x0>0C.∀x∈Z,x2+x=0D.∃x0∈Z,x02+x0≤0【答案】D【解析】命题p:∀x∈Z,x2+x>0的否定是“∃x0∈Z,x20+x0≤0”.故选：D.【例29】(2024·高一·江苏·假期作业)命题“∃x0∈R,2x0≤0”的否定是()A.不存在x0∈R,2x>0B.∃x0∈R,2x0≥0C.∀x∈R,2x≤0D.∀x∈R,2x>0【答案】D【解析】命题“∃x 0∈R ,2x 0≤0”为存在量词命题，其否定为“∀x ∈R ,2x >0”.故选：D .【例30】(2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习)命题“∃x ≤0,2x 2<5x -1”的否定是()A.∀x >0,2x 2<5x -1B.∃x >0,2x 2≥5x -1C.∀x ≤0,2x 2≥5x -1D.∃x ≤0,2x 2>5x -1【答案】C【解析】命题“∃x ≤0,2x 2<5x -1”的否定是“∀x ≤0,2x 2≥5x -1”.故选：C【例31】(2024·高一·四川成都·阶段练习)命题“∀x ∈0,1 ，x 3<x 2”的否定是()A.∀x ∈0,1 ，x 3>x 2B.∀x ∉0,1 ，x 3≥x 2C.∃x 0∈0,1 ，x 30≥x 20D.∃x 0∉0,1 ，x 30≥x 20【答案】C【解析】命题“∀x ∈0,1 ，x 3<x 2”的否定是∃x 0∈0,1 ，x 30≥x 20.故选：C .【例32】(2024·高三·湖北黄冈·期末)若p ：所有实数的平方都是正数，则¬p 为()A.所有实数的平方都不是正数B.至少有一个实数的平方不是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.有的实数的平方是正数【答案】B【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“所有实数的平方都是正数”的否定为：“至少有一个实数的平方不是正数”．故选：B题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题【例33】(2024·高一·湖北·期中)已知集合A =x -2≤x ≤5 ，B =x m +1≤x ≤2m -1 ．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)命题q ：∃x ∈A ，x ∈B 是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】(1)当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2；当B ≠∅时，m +1≤2m -1m +1≥-22m -1≤5，解得2≤m ≤3.综上，实数m 的取值范围为-∞,3(2)由题意A ∩B ≠∅，所以B ≠∅即m ≥2，此时m +1≥3.为使A ∩B ≠∅，需有m +1≤5，即m ≤4.故实数m 的取值范围为2,4【例34】(2024·高一·山东淄博·阶段练习)设全集U =R ，集合A =x 1≤x ≤5 ，集合B =x -1-2a ≤x ≤a -2 ．(1)若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围；(2)若命题“∀x ∈B ，则x ∈A ”是真命题，求实数a 的取值范围．【解析】(1)因为A ∩B =A ，所以A ⊆B ，所以a -2≥-1-2a a -2≥5-1-2a ≤1，即a ≥7，所以实数a 的取值范围是a |a ≥7 .(2)命题“∀x ∈B ，则x ∈A ”是真命题，所以B ⊆A .当B =∅时，-1-2a >a -2，解得a <13；当B ≠∅时，-1-2a ≥1a -2≤5-1-2a ≤a -2，解得a ≤-1a ≤7a ≥13，所以a ∈∅.综上所述，实数a 的取值范围是a a <13.【例35】(2024·高一·河北石家庄·阶段练习)已知集合A =x -2≤x ≤5 ，B =x m +1≤x ≤2m -1 .(1)若“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围.(2)“命题q ：∃x ∈A ，x ∈B ”是假命题，求m 的取值范围.【解析】(1)因为命题p :∀x ∈B ,x ∈A 是真命题，所以B ⊆A ，当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2，当B ≠∅时，则m +1≤2m -1m +1≥-22m -1≤5，解得2≤m ≤3，综上m 的取值范围为-∞,3 ；(2)因为“命题q ：∃x ∈A ，x ∈B ”是假命题，所以A ∩B =∅，当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2，当B ≠∅时，则m +1≤2m -1m +1>5或m +1≤2m -12m -1<-2 ，解得m >4，综上m 的取值范围为-∞,2 ∪4,+∞ .【例36】(2024·高一·山东菏泽·阶段练习)已知命题p :∀x ∈R ，ax 2-4x -4≠0，若p 为假命题，求a 的取值范围.【解析】由题意p 为假命题，即∃x ∈R ，ax 2-4x -4=0，即方程ax 2-4x -4=0有解，(1)当a =0时，-4x -4=0有解x =-1成立；(2)当a ≠0时，Δ=16+16a ≥0，即a ≥-1且a ≠0；综上a ≥-1.【例37】(2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习)已知集合A =x -2≤x ≤5 ，B =x m -1≤x ≤2m -3 ．(1)若命题p :∀x ∈B ，x ∈A 是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题q :∃x ∈A ，x ∈B 是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为命题p :∀x ∈B ，x ∈A 是真命题，所以B ⊆A ．当B =∅时，满足B ⊆A ，此时m -1>2m -3，解得m <2；当B ≠∅时，由B ⊆A ，可得m -1≤2m -3m -1≥-22m -3≤5，解得2≤m ≤4．综上，实数m 的取值范围为(-∞,4]．(2)因为q :∃x ∈A ，x ∈B 是真命题，所以A ∩B ≠∅，所以B ≠∅，则m -1≤2m -3即m ≥2，所以m -1≥1，要使A ∩B ≠∅，仍需满足m -1≤5，即m ≤6．综上，实数m 的取值范围为[2,6]．【例38】(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)已知集合A =x -3≤x <1 ，B =x 2m -1≤x ≤m +1 ．(1)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．(2)命题“r ：∃x ∈A ，使得x ∈B ”是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】(1)①当B 为空集时，m +1<2m -1，即m >2，原命题成立；②当B 不是空集时，∵B 是A 的真子集，所以2m -1≥-3m +1<1m ≤2，解得-1≤m <0；综上①②，m 的取值范围为-1≤m <0或m >2.(2)∃x ∈A ，使得x ∈B ，∴B 为非空集合且A ∩B ≠∅，所以m +1≥2m -1，即m ≤2，当A ∩B =∅时2m -1≥1m ≤2 或m +1<-3m ≤2，所以1≤m ≤2或m <-4，∴m 的取值范围为[-4,1)．【例39】(2024·高一·吉林长春·阶段练习)已知集合A ={x ∣2≤x ≤7},B ={x ∣-3m +4≤x ≤2m -1}，且B ≠∅.(1)若q :“∃x ∈B ,x ∈A ”是真命题，求实数m 的取值范围.【解析】B ≠∅，则-3m +4≤2m -1，解得m ≥1，“∃x ∈B ,x ∈A ”是真命题，则A ∩B ≠∅，若A ∩B =∅，则2m -1<2或-3m +4>7，解得m <32，因为m ≥1，所以1≤m <32，所以当A ∩B ≠∅，m ≥32，综上所述m ≥32.III 数学思想方法①分类讨论思想【例40】(2024·高一·江苏南通·期中)已知集合A =x x 2-4= 0 ，B =x ax -2=0 ，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为．【答案】-1,0,1【解析】依题意，A =x |x 2-4=0 =2,-2 ，若a =0，则B =∅，满足x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件.当a ≠0时，B =x x =2a，由于x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，所以2a =2或2a=-2，解得a =1或a =-1，综上所述，a 的所有可能取值构成的集合为-1,0,1 .故答案为：-1,0,1【例41】(2024·高一·江西南昌·期中)已知集合A =x |x 2-ax -2a 2<0 ，集合B =x x -3 ≤1 ．(1)若a =1，求∁R A ∪B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求a 的取值范围．【解析】(1)A =x |x 2-ax -2a 2<0 ，可得x -2a x +a <0，当a =1时x -2 x +1 <0解得-1<x <2，则A =-1,2 ，可得∁R A =-∞,-1 ∪2,+∞ ，又B =x x -3 ≤1 ，x -3 ≤1可得-1≤x -3≤1，即2≤x ≤4，可得B =2,4 ，所以∁R A ∪B =-∞,-1 ∪2,+∞ ，(2)因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件所以B ⊂≠A ,集合A 中x -2a x +a <0，当a >0时解为-a <x <2a ，又B ÜA ，可得-a <22a >4 解得a >2，当a <0时解为2a <x <-a ，又B ÜA ，可得-a >42a <2解得a <-4，当a =0时无解，集合A 为空集，又B ÜA ，所以不合题意舍去，综上可得：a <-4或a >2.【例42】已知集合A ={x |a 2-1≤x ≤2a +6}，B ={x |0≤x ≤4}，全集U =R .(1)当a =1时，求A ∩(∁U B ):(2)若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a =1时，集合A ={x |0≤x ≤8}，∁U B ={x |x <0或x >4}，故A ∩(∁U B )={x |4<x ≤8};(2)由题知：B⊊A，即B⊆A且B≠A，当B⊆A时，a2-1≤0 2a+6≥4，解得-1≤a≤1；当B=A时，a2-1=0 2a+6=4，解得a=-1，由B≠A得，a≠-1，综上所述：实数a的取值范围为(-1,1].【例43】设集合A=x|x2+4x=0，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若-1∈B，求a的值；(2)设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若q是p的充分条件，求a的取值范围．【解析】(1)∵-1∈B，∴1-2a-2+a2-1=0，解得a=1±3；(2)∵A=0,-4，依题意B⊆A，①若B=∅,∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,∴a<-1；②若B=0 或B=-4时，∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，∴a=-1，此时B=0 ,B≠-4；③若B=0,-4Δ>00+(-4)=-2a-20×(-4)=a2-1，解得a=1，综上：a的取值范围是(-∞,-1]∪1 .【例44】已知集合A={x|a-1≤x≤2a+1}，B={x|-2≤x≤4}.在①A∪B=B;②"x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．(1)当a=3时，求∁R(A∩B);(2)若，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a=3时，A={x|2≤x≤7}，而B={x|-2≤x≤4}，所以A∩B={x|2≤x≤4}，∁R(A∩B)={x|x<2或x>4}(2)选①，由A∪B=B可知：A⊆B，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A⊆B，则a<-2，当A≠∅时，a≥-2，由A⊆B得：a-1≥-2 2a+1≤4，解得-1≤a≤32，综上所述，实数a的取值范围为a<-2或-1≤a≤3 2选②，因“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⊊B，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A⊊B，则a<-2，当A≠∅时，a≥-2，由A⊊B得：a-1≥-2 2a+1≤4，且不能同时取等号，解得-1≤a≤32.综上所述，实数a的取值范围为a<-2或-1≤a≤3 2选③，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A∩B=∅，则a<-2，当A≠∅时，a≥-2由A∩B=∅得：2a+1<-2或a-1>4，解得a<-32或a>5，又a≥-2，所以-2≤a<-32或a>5.综上所述，实数a 的取值范围为a <-32或a >5②转化与化归思想【例45】(2024·高三·全国·竞赛)设a ,b ∈R ，集合A =a ,a 2+1 ,B =b ,b 2+1 ．则“A =B ”是“a =b ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为A =a ,a 2+1 ,B =b ,b 2+1 ，当A =B 时，则有a =b a 2+1=b 2+1 ，或a =b 2+1a 2+1=b ，若a =ba 2+1=b 2+1，显然解得a =b ；若a =b 2+1a 2+1=b ，则b 2+1 2+1=b ，整理得b 2-b +1 b 2+b +2 =0，因为b 2-b +1=b -12 2+34>0，b 2+b +2=b +12 2+74>0，所以b 2-b +1 b 2+b +2 =0无解；综上，a =b ，即充分性成立；当a =b 时，显然A =B ，即必要性成立；所以“A =B ”是“a =b ”的充分必要条件.故选：C .【例46】(2024·高一·江西景德镇·期中)已知p :3x -1>512<x <8 ，q :x ≥3k +1或x ≤3k -3．(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围；(2)若p 是¬q 的必要不充分条件，求实数k 的最大值．【解析】(1)∵p ：3x -1>512<x <8 ，故p ：2<x <8，又因为p 是q 的充分不必要条件，所以3k +1≤2或3k -3≥8，解得k ≤13或k ≥113，故实数k 的取值范围为k k ≤13 或k ≥113.(2)¬q :3k -3<x <3k +1，又p 是¬q 的必要不充分条件，因为3k -3<3k +1，所以¬q 对应的集合不是空集，所以3k -3≥23k +1≤8，解得53≤k ≤73，故实数k 的最大值为73.【例47】(2024·高一·全国·课后作业)已知M =x ,y y 2=2x ，N =x ,y x -a 2+y 2=9 ，求M ∩N ≠∅的充要条件.【解析】M ∩N ≠∅的充要条件是方程组y 2=2xx -a 2+y 2=9 至少有一组实数解，即方程x 2+21-a x +a 2-9=0至少有一个非负根，方程有根则Δ=41-a 2-4a 2-9 ≥0，解得a ≤5.上述方程有两个负根的充要条件是x 1+x 2<0且x 1x 2>0，即-21-a <0a 2-9>0 ，∴a <-3.于是这个方程至少有一个非负根的a 的取值范围是-3≤a ≤5.故M ∩N ≠∅的充要条件为-3≤a ≤5.③方程思想【例48】已知p :∀x ∈R ，m <x 2-1，q :∃x ∈R ，x 2+2x -m -1=0，若p ，q 都是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】p :∀x ∈R ，m <x 2-1，若p 真，可得m <(x 2-1)min ，而y =x 2-1≥-1，x =0时，取得最小值-1，则m <-1；q :∃x ∈R ，x 2+2x -m -1=0，若q 真，可得Δ=4+4(m +1)≥0，解得m ≥-2.若p ，q 都是真命题，可得m <-1m ≥-2，则-2≤m <-1.故实数m 的取值范围是-2≤m <-1.【例49】已知，命题p :∀x ∈R ,2x +a +2≥0，命题q :∃x ∈-3,-12，x 2-a +1=0.(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵命题为真命题，即a ≥-2x -2，又-2x -2≤-2，∴实数a 的取值范围为a ≥-2;(2)∵命题q :∃x ∈-3,-12，x 2-a +1=0为真命题，即x 2-a +1=0亦即x 2+1=a 在-3,-12上有解，又当x ∈-3,-12 求得二次函数的范围54≤x 2+1≤10，即二次函数y =x 2+1最大值为10，最小值是54，∴实数a 的取值范围为：54,10 .【例50】已知m ∈Z ，关于x 的一元二次方程①mx 2-4x +4=0和②x 2-4mx +4m 2-4m -5=0，求方程①和②的根都是整数的充要条件．【解析】解∵mx 2-4x +4=0是一元二次方程，∴m ≠0.另一方程为x 2-4mx +4m 2-4m -5=0，两方程都要有实根，∴Δ1=16(1-m )≥0,Δ2=16m 2-4(4m 2-4m -5)≥0,解得m ∈-54,1.∵两根为整数，故和与积也为整数，∴4m∈Z4m∈Z4m2-4m-5∈Z，∴m为4的约数，∴m=-1或1，当m=-1时，第一个方程x2+4x-4=0的根为非整数，不符合题意；而当m=1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m=1.【例51】已知m∈R，命题p:存在x∈[0,1]，不等式2x-2≥m2-3m成立，若p为真命题，求m的取值范围．【解析】∵存在x∈[0,1]，不等式2x-2≥m2-3m成立，∴(2x-2)max≥m2-3m，又函数y=2x-2在x∈[0,1]时的最大值为0，即m2-3m≤0.解得0≤m≤3.因此，若p为真命题时，m的取值范围是0,3.。

第二讲复数的模及其几何意义

第二讲复数的模及其几何意义（一）复数模的运算复数()R b a bi a ∈+,的模：z = ；例1. 已知84z z i +=-，求复数z 。

例2. 已知复数12cos ,sin z i z i θθ=-=+，求12z z ⋅的最值。

运算律：；；；例1：已知()()()2321331i i i z --+=，则—z =例2：复数()()()223321i a i a i z ---=，则32=z ，则a =（二）复数的几何意义1. 复数加法，减法的运算的几何意义满足；2. 21z z -表示复平面上；例1：复平面内，说出下列复数z 对应的点的集合构成的图形；（1）1z = （2）1z i -+=（3）4z i z i ++-= （4）|1|||z z i +=-例2：（1）若2=z ，则i z +-1的取值范围为。

（2）已知C z ∈，且132=--i z ，求cos sin z i θθ--⋅的最大值和最小值。

（3）若622=-++i z i z ，则i z 5-的取值范围为。

（4）复平面内，曲线11=+-i z 关于直线x y =的对称曲线方程为。

例3：已知1z =，设21u z i =-+，求u 的取值范围。

例4：已知123,5z z ==，126z z +=，求12z z -的值。

（三）综合问题例1. 已知复数z 的实部大于零，且满足)()cos sin z i R θθθ=+∈，2z 的虚部为2．（1）求复数z ；（2）设22z z z z -、、在复平面上的对应点分别为,,A B C ，求AB AC ⋅的值．课后练习：1.= ；2. 已知()()()2444331001i i ai --=-，则a = 。

3. 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（）A ．(15)，B ．(13)， C ．(1D ．(14. 复数Z 与点Z 对应，21,Z Z 为两个给定的复数，21Z Z ≠，则21Z Z Z Z -=-决定的Z 的轨迹是（）A ．过21,Z Z 的直线 B. 线段21Z Z 的中垂线C. 双曲线的一支D. 以Z 21,Z 为端点的圆5. 设复数z 满足条件,1=z 那么i z ++22的最大值是。

5.5交大附中2017届第一轮复习20-复数第2讲-复数的几何意义与复数方程

复数第2讲复数的几何意义与复数方程【知识点归纳】 1、复数的几何形式：复数集与平面上的点集一一对应，可用平面上的点来表示复数，一般地，可用(,)Z a b 表示复数(,)a bi a b R +∈，或用向量OZ 表示复数(,)a bi a b R +∈。

特别提醒：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数z 对应点的轨迹及相应的复数方程①两点间的距离公式：12d z z =-； ②线段的中垂线：12z z z z -=-； ③圆的方程：z p r -=（以点p 为圆心，r 为半径）；④椭圆：122z z z z a -+-=（2a 为正常数，122a z z >-）； ⑤双曲线：122z z z z a ---=（2a 为正常数，122a z z <-）； ⑥圆的内部：z p r -<（以点p 为圆心，r 为半径）；⑦闭圆环：12r z p r -≤≤（以点p 为圆心，12rr ，为半径）。

3、复系数一元二次方程及性质：（1）实系数一元二次方程20(ax bx c a b c ++=∈R ，，且0)a ≠及性质①0∆≥时，方程有实根：12x =，0∆<时，在复数集C 中，方程有一对共轭虚数根12x =，②根与系数的关系：无论0∆≥还是0∆<，总有112b c x x x x a a+=-=，. ③虚根成对出现的性质：当∆＜0时，12x x =且221212c x x x x a===. （2）虚系数一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，至少有一个为虚数）及性质 ①求根公式122b x a-+∆=，的平方根适用；②韦达定理仍适用；③判别式判断实根情况失效；④虚根成对出现的性质失效.如x 2-ix-2=0，△=7>0，但该方程并无实根。

但韦达定理以及求根公式仍适用。

【例题讲解】例1、已知z 为复数，z ＋2i 和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位．（1）求复数z ；（2）若复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：（1）设复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），由题意，22(2)z i a bi i a b i +=++=++∈R ，∴b ＋2＝0，即b＝－2．又()(2)222555z a bi i a b b a i i ++-+==+∈-R ，∴2b ＋a ＝0，即a ＝－2b ＝4． ∴42z i =-．（2）由（1）可知42z i =-，∵2222()(42)[4(2)]16(2)8(2)z ai i ai a i a a i +=-+=+-=--+-对应的点在复平面的第一象限，∴216(2)0,8(2)0,a a ⎧-->⎨->⎩解得a 的取值范围为26a <<．例2、（1）根据复数的几何意义及向量表示，在复平面内以),(b a 为圆心，以r 为半径的圆的复数方程是______________； r bi a z =--||（2）△ABC 三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|=|z －z 2|=|z －z 3|，则z 所对应的点是△ABC 的_____________(填内心、外心、重心、垂心等) 外心；（3）已知复数z 满足2|43|=++i z ，则||z 的最大值是_______ 7 （4）已知1=z ，则i z 43-+的最大值是________ 6（5）若复数z 满足|z-4-3i|≤3，则|z|的取值范围是_______________ ]8,2[（6）已知虚数(2)(,)x yi x y R -+∈，则yx的取值范围是__________ 解：z 在圆22(2)3(0)x y y -+=≠上，y x 表示圆上的点与原点连线斜率，y x∈[⋃。

复数第二讲

复数第二讲 1. 2. 讲解例题例1 计算 (1+2I)÷(3--4I)此例可由学生自己做,教师巡视.如果有学生得出i 21+-这一结果,说明学生把公式“2z z z =-”误记成了“z z z =-”，教师应即使指出这种错误。

例2 已知iiz z +=-22，求z 解：i i i i i i i i 5452542)2)(2()2(222+=+=-+-=+ 设=-+=z z yi x z 则,yix y x --+22,原方程化为i yi x y x 545222+=--+ 根据复数相等的定义，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-+54,5222y x y x i z 5453-=∴例3 已知,31,5221i z i z -=+=设,324134z z z =，求z讲例题前，指出求出z 再求z 较困难，在引导学生得出复数的模的三条性质（暂时不要求学生证明）。

解：)5(221+=Z =3，222)3(1-+=Z =2227233434343432413241=⋅=⋅==∴z z z z z 例4 已知R b a i z ∈+=,,1)(I 若,432-+=z z ω求ω)(∏若i z z baz z -=+-++1122，求b a ,的值。

分析：第)(I 题，将i z +=1代入432-+=-z z ω，求出ω后用复数的模的计算公式求ω；第（）题，若进行除法计算较麻烦，可将已知等式变形为)1)(1(22+-+=++z z i b az z ，这样，就避免了除法运算，相对来说要简单些。

解：（I ）,1i z +=∴4322-+=z z ω=4)1(3)1(2--++i i =i --12)1()1(22=-+-=∴ω)( )1)(1(2z z z -+- =[])1(1)1()1(2i i i -++-+=)1(i i -=1+i又b az z ++2,)2()()1()1(2i a b a b i a i +++=++++=由题设及复数相等的定义，得⎩⎨⎧=+=+12,1a b a 2,1=-=∴b a例5 已知复数z 满足,422R zz z ∈+=-及求z 分析：设这个复数为题设的两个条件，根据),,(R y x yi x z ∈+=可列出关于y x ,的方程组，解这个方程可求出z 。

1-1-2第二讲复数、平面向量、程序框图与推理

点E为BC的中点，点F在边CD上，若 ________． · ＝，则 · 的值是
[解析] (1)利用平面向量的数量积概念、
模的概念求解． ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，山东金太阳书业有限公司
∴a· b＝|a|· |b|cos 45° ＝
2
2 |b|， 2
2 |2a－b| ＝4－4× |b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3 2. 2
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高考新课标专题复习 ·数学（理）
研热点聚焦突破
析典题预测高考重演练素能提升
已知A(－3，0)、B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|
＝2，且∠AOC＝
A．1 C.
，设＝
λ
B. D.
＋
(λ∈R)，则λ的值为(
＝ · 4ML2· 2－（ML2＋NL2－MN2）2 . NL ∵OM2＋ON2＝MN2， OM2＋OL2＝ML2， OL2＋ON2＝LN2， 1 ∴S4＝ OM2· 2＋OL2· 2＋OM2· 2 ， ON ON OL 2 ∴ S2＋S2＋S2＝S2 . 1 2 3 4 山东金太阳书业有限公司
(2012年南昌市一中月考)在平面上，我们如果用一条直线去截正
方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a，b，c，则由勾股定理有：a2＋b2＝c2.设想把正方形换成
正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两
垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．山东金太阳书业有限公司

第二讲复合命题

不相容选言命题：断定事物若干种可能情况中有且只有一种情况存在的命题。（选言肢不具有并存关系）eg中②
选言命题
• 相容选言命题的一般公式：p或者q • （其中，“或者”为联结词，p、q为选言肢）
• “或者”用符号“∨”表示，读作“析取”
• 日常语言中，表达相容选言命题的联接词有： • “······或······”、“或者····或者······”、“也许······也许······”、 “可能······可能······”
_____ _ _ （德·摩根律）P∨Q = P∧Q
选言命题
eg1:并非蔡经理负责研发或者负责销售工作。如果上述陈述为真，以下哪项陈述一定为真？ A.蔡经理既不负责研发也不负责销售 B.蔡经理负责销售但不负责研发 C.蔡经理负责研发但不负责销售 D.如果蔡经理不符而销售，那么他负责研发 E.如果蔡经理负责销售，那么他不负责研发
联言命题和选言命题的数字表示
0,表示PQ都不发生 1,表示P、Q中发生一个 2,表示P、Q都发生判断数字表示对应负判断数字表示
P且Q P或Q
要么P，要么Q
2 1；2
1
非P或者非Q 非P且非Q P且Q；非P且非Q
1；0 0
2；0
选言命题
习题
1.并非本届世界服装节既成功又节俭。如果上述断定是真的，则以下哪项一定为真？ A.本届世界服装节成功但不节俭。 B.本届世界服装节节俭但不成功。 C.本届世界服装节既不成功也不节俭。 D.如果本届世界服装节不节俭，则一定成功。 E.如果本届世界服装节节俭，则一定不成功。
选言命题
相容选言命题真假关系: • 相容选言命题与选言肢之间的真假关系： • 只要有一个选言肢是真时,一个相容选言命题为真。 • 只有当全部选言肢都为假时。一个相容选言命题为假。

自主招生数学复数第二讲(枣庄八中陈文)

复数方法第二讲(枣庄八中陈文2013-12-11)考点一：复数语平面图形的旋转1. 一般地，设曲线C ：F （x,y ）=0绕原点按逆时针方向旋转θ角得到曲线τ。

设曲线上任意一点P （x ，y ）是有曲线C 上某点P ’（x ’，y ’）旋转得到，则x+yi=（x ’+iy ’）(cos θ+isin θ).2. 例题：.将复数5z (sin80sin10)i =︒+︒所对应的向量逆时针旋转010后，所得向量对应的复数为（）A.122-+B. 122-+C. 122-D. 122+ （2013年复旦大学）3.针对性训练：（1）复数11)z i =+顺时针旋转15︒后所得复数的辐角主值是多少？（2）平面坐标系逆时针旋转θ，求原坐标中点P(x,y)在新坐标系下的坐标'(',')P x y 。

(2008年中国科技大学)考点二：单位根及应用1、对于方程*10(,2)n x n N n -=∈≥，由复数的开方法则可以得到它的n 个根22cossin (0,1,2,....,1)n k k k i k n nππε=+=-它们显然是1的n 次单位根。

利用复数棣莫弗公式，有122(cos sin )k k k i n n ππεε=+=。

这说明n 个n 次单位根可以表示为1，1ε，21ε，………, 11n ε-.2.对于n 次方根有如下一些性质：（1）|k ε|=1（k N ∈）；（2）j εk ε=j k ε+（,j k N ∈）；（3）1+1ε+21ε+………+11n ε-=0（2n ≥）.（4）设m 是正整数，则1231,n 1..........0m n m m m m n n m εεεε-⎧+++++=⎨⎩当是的倍数时，当不是的倍数时。

3.例题：1P ，2P ，………，7P 为单位圆内接正七边形顺次7个顶点，则|1P 2P |2+|1P 3P |2+….+|1P 4P |2= . (2012年南开大学数学试题)4.针对性训练：（1）求2(1)sin sin (i)nn n nπππ-的值. (2011年清华大学金秋夏令营)5.变式训练：求2cos cos......cos212121nn n nπππ+++的值.。

第二讲正确使用并列句与复合句

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增分句型 (二)
定语从句的正确使用能够比较明显地反映出考生对于语返回言具有较高的掌握能力，所以建议考生一定要在写作中至少使用一个恰到好处的定语从句。
(一)定语从句的类型
1．关系代词引导的定语从句关系代词 who, whom, whose, that, which, as 引导的定语从句是写作的一大重点，尤其是 which 和 as 引导的非限制性定语从句在高考范文中更是屡见不鲜。 ①(2018·北京高考书面表达)Last week, we took the foreign students to experience the authentic tea culture, which turned out to be extremely rewarding.上周，我们带领外国学生体验了正宗的茶文化，结果证明非常值得。
not ...but ...
因果关系 because, as, for, so, therefore, thus, due to
对比关系 while
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①Half of the girls choose film and TV stars as their idols, while 48% of the boys favor sports stars. 一半的女孩选择电影和电视明星作为她们的偶像，而 48% 的男孩更喜欢体育明星。
了解中国民间艺术作品，而且也可以帮助你获得一些剪纸
技巧。
The exhibition can not only help you have a better understanding of Chinese folk art works, but can also help you acquire some paper-cutting skills.

第二讲、代数式—整式与因式分解复习讲义

一、知识点归纳 ★整式部分（1）代数式的分类⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式（2）概念：①代数式：用______把数与表示数的字母连接而成的式子叫___________．注：单独一个_____或一个_____也是代数式．②代数式的值：用_____代替代数式的字母计算后所得的_____，叫代数式的________． ③整式：分母中不含有________的_______式叫整式． ④同类项：条件是 _______________，_____________________.⑤单项式：是数与字母的______．注：★不含_____运算，★★单独的一个_____或____也是单项式．⑥多项式：是几个单项式的______．（3）运算：整式的加减：（实质是去括号，合并同类项）①合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变； ②去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里面各项都不变；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都变号．③添括号法则：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号．整式的乘除：①单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，在把所得的积相加．mc mb ma c b a m ++=++)(．③多项式与多项式相乘：方法★bn bm an am n m b a +++=++))((方法★★乘法公式（用于多项式乘法的简便运算）平方差公式：__________))((=-+b a b a ；完全平方公式：___________)(2=+b a ；___________)(2=-b a ．④单项式相除：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的因式．⑤多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． ⑥幂的运算性质（m 、n 为正整数）____=⋅n m a a ； ____=÷n m a a （0≠a ）； _____)(=n m a ；____)(=n ab ．10=a )0(≠a ，)0(1≠=-a aa n n ． ★分解因式部分：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解．（2）常用分解因式方法： ①提取公因式法：_____________=++mc mb ma ．其分解步骤为：★确定多项式的公因式：公因式＝各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；★★将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． ②运用公式法：__________22=-b a ；__________222=+±b ab a ．注意：★如果多项式中各项含有公因式，应该先提取公因式，再考虑运用公式法；★★公式中的字母，即可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式． ③分组分解法．多项式四项及以上的考虑用这种方法．（3）分解因式的一般步骤：一提二套三分组，二次三项想十字．注：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．（4）整式乘法与分解因式的区别和联系：互为逆变形．多项式整式的积因式分解方法 1. 提取公因式法：例：将2x 3n -20x 2n y 3+50x n y 6分解因式. 解：原式=2x n (x 2n -10x n y 3+25y 6) =2x n (x n -5y 3)2 2. 公式法：a 2-b 2=(a -b )(a +b ) a 2±2ab +b 2=(a ±b )2 a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b )2 a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)例：64x 6-y 12解：原式=(8x 3+y 6)(8x 3-y 6)=(2x +y 2)(4x 2-2xy 2+y 4)(2x -y 2)(4x 2+2xy 2+y 4) 3. 分组分解法：例：(am +bn )2+(an -bm )2+c 2m 2+c 2n 2解：原式=a 2m 2+b 2n 2+2abmn +a 2n 2+b 2m 2-2abmn +c 2m 2+c 2n 2=a 2m 2+b 2n 2+a 2n 2+b 2m 2+c 2(m 2+n 2) =(m 2+n 2)(a 2+b 2+c 2) 4.十字相乘法：例：12x 2+10xy -12x +5y -9 解：原式=12x 2+(10y -12)x +5y -9 2x 16x 5y -9∴ 原式=(2x +1)(6x +5y -9) 5.配方法:例：将x 4+y 4+z 4-2x 2y 2-2x 2z 2-2y 2z 2分解因式。

第二讲古代中国经济高考复习教案

第二章古代中国的经济◆考纲要求：1．理解和掌握本专题的一些重要概念：如精耕细作、自然经济、土地制度、租佃制、官营手工业、私营手工业等。

2．知道古代中国农业的主要耕作方式和土地制度，了解古代中国农业经济的基本特点。

3．列举古代中国手工业发展的史实，认识古代中国手工业发展的特征。

4．概述古代中国商业发展的状况，了解古代中国商业发展的特点。

5．了解“重农抑商”“海禁”等政策及其影响，分析中国资本主义萌芽发展缓慢的原因。

6．掌握中国古代赋税制度发展变化的基本史实，总结规律和经验。

◆课标要求：1．知道古代中国农业的主要耕作方式和土地制度，了解古代中国农业经济的基本特点。

2．列举古代中国手工业发展的基本史实，认识古代中国手工业发展的特征。

3．概述古代中国商业发展的概貌，了解古代中国商业发展的特点。

4．了解“重农抑商”“海禁”等政策及其影响，分析中国资本主义萌芽发展缓慢的原因。

◆专题学习进度：3课时◆考点解析：一、精耕细作农业生产模式的形成（一）农业的起源：1．原始农业的产生：原始农业是从采集经济向种植经济发展而来的；2．南稻北粟：中国农耕经济最早在黄河流域和长江流域形成规模，在发展初期就已显露出地域的差别，即北方以旱地的粟麦生产为主，南方以水田稻作生产为代表，并在各自的扩展、传播中相互交融。

3．农业和家畜饲养业的结合：以种植业为主、家畜饲养业为辅是中国古代农业经济的特点之一。

（二）生产工具、农耕技术、灌溉工具、水利技术的进步：1．生产工具的进步：原始农业的耕作方式是刀耕火种，主要劳动工具是石斧、石铲、木耒、骨耜、石镰等；进入文明时代，主要农业生产工具仍然是耒、耜，但是也出现了青铜农具；春秋战国时期，人们掌握了冶炼铁的技术，使铁农具逐渐代替了过去的石制、骨制等笨重易损的农具。

这一变化大大提高了当时的农业生产效率。

2．农耕技术的发展：借用牛力耕田和不断改良生产工具、生产技术，使精耕细作的农业生产模式日益完善，也是古代中国农业经济的特点之一。

复变函数第二讲

几何意义复变函数是一个映射(变换)
在复变函数中,用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量 u,v 与 x,y之间的对应关系,以便在研究和理解复变函数问题时,可借助于几何直观.
以下不再区分函数与映射(变换).
例3 研究 w z 所构成的映射 . 解设 z r (cos i sin ) re i
(z) z G w f w G *
一个 (或几个 ) z G ) z (w
w G
*
则称z= (w)为w=f (z)的反函数(逆映射).
显然有 w f [ ( w )] w G * 当反函数单值时 z [ f ( z )] z G (一般z [ f ( z )])
当函数 (映射 ) w f ( z )和其反函数 ( 逆映射 ) z ( w )都是单值的,则称函数 (映射 ) w f ( z ) 是一一的.也称集合 G 与集合 G 是一一对应的.
?几何意义复变函数是一个映射变换所构成的映射研究sincos关于实轴对称的一个映射见图1112旋转变换映射sinsinsincossincos实常数所构成的映射研究reresinsinsincos图11图12所构成的映射研究反函数或逆映射例如设zw为多值函数2支
第二讲复变函数与解析函数
§5 复变函数
若 z 一个 w 值,称 f ( z )是单值函数;
z 多个 w 值,称 f ( z )是多值函数.
G — f (z )的定义集合,常常是平面区域(定义域)
G * { w w f ( z ) , z G } — 函数值集合
z x iy ( x , y ); w u iv ( u , v ) w f ( z ) f ( x iy ) u ( x , y ) iv ( x , y )

第二讲复合命题及其推理

• （1）北京是中国的首都，并且是中国的文化中心。 • 其形式结构是：p并且q。 • （2）亚里士多德是哲学家，逻辑学家，并且是工具论的作者。 • 其形式结构是：p并且q并且r。 • （3）如果患了感冒，就要发烧。 • （4）如果物体被摩擦，那么它们会发热。 • 其形式结构是：如果p，那么q。 • （5）明天或者下雨或者晴天。 • （6）或者中国队出线，或者古巴队出线。 • 其形式结构是：p或者q。
• 表示相容选言的逻辑联结词用数理逻辑符号表示为“”，读作 “析取”。
相容选言联结词的真值表定义
p q pq
T
T F F
T
F T F
T
T T F
不相容选言命题
• 2.2不相容选言命题：选言肢之间是相互排斥的，即如果其中的一个为真，则其余的不可能为真。 • （1）明天要么下雨，要么晴天。 • （2）今年的农业生产或者丰收，或者减产，或者与去年持平。 • （3）这幅画或者是宋代的，或者是唐代的。 • （4）十元钱可以点一份沙拉或一份甜点。
• 3.2从结论的可靠性角度来分： • 必然推理：前提真则结论必然真的推理，它是保真性推理. • 或然推理：前提真，结论不一定真；前提只为结论提供一定程度的支持。
• 所有哺乳动物都有肺， • 所有鲸鱼都是哺乳动物， • 所以，所有鲸鱼都有肺。 • 大部分公司法律顾问是保守主义者， • 安吉拉· 帕尔默瑞是一个公司法律顾问， • 所以，安吉拉· 帕尔墨瑞很可能是保守主义者。
四、假言命题及其推理
• 1、假言命题：是断定一事物情况是另一事物情况存在的条件的命题。 • （1）如果明天晴天，那么我们去游磨山。 • （2）只有辛勤耕耘，才能获得丰收。 • （3）一个三角形是等边三角形，当且仅当它是等角三角形。 • 假言命题都是表示条件的复合命题。每一个假言命题包括两个肢命题，其中表示条件的肢命题叫“前件”，表示依赖条件而成立的另一个命题叫“后件”。 • 联结前、后件这两个肢命题的语词叫“假言联结词”。通常有： “如果，那么”；“只有，才”，“当且仅当”等等。

第二讲复合句

板块三句法提升表达升级第二讲复合句考点一关系代词引导的定语从句一、关系代词that与which的用法辨析1.用that不用which的情况；（1）现行词是all, something, everything, anything, nothing, little, much, few等不定代词；All that can be done has been done.能做的都已经做了。

He will tell you everything that he heard about it.他将告诉你他所听到的关于这件事的一切。

（2）先行词被all, any, every, no, little, much, some, only等词修饰；The only thing that could be done is to find our way home.唯一能做的事情就是要找到回家的路。

This is all that I want to say at the meeting.这就是我在会上要说的。

（3）先行词被序数词、形容词最高级修饰或先行词本身是序数词；This is the first film that I have seen since I came here.这是我到这里后所看的第一场电影。

This is the best place that I’ve ever visited.这是我曾参观过的最好的地方。

（4）先行词被the only, the very（正是，恰是）, the last修饰；This is the very book that I am looking for.这正是我一直在寻找的那本书。

Wang is the only person in our school that will attend the meeting.王是我们学校唯一会出席会议的人。

（5）先行词中既有人也有物。

2《数学物理方法》第二讲复数的运算&复变函数

z z0
相当于 x x 0 ， y y 0 因而，有关复数的极限可归结为
一对实数的极限，，因而，关于实数的和差积商的极限定理，关于实数
的极限存在的判据，全部都适用与复数。
二、复变函数
2、1 复变函数的定义：若在复平面（或复数球）上存在一个点集E（复数的集合），对于E 的每一点（每一个z值），按照一定的规律，有一个或多个复数值
实现方法：测地投影；最后结果：（1）、有限远点和球面上的点一一对应（坐标原点与南极重合），
引入复数球（Riemman空间）
目的：使平面上的点与球面上的点一一对应；
（2）、无限远点和北极对应。
------《数学物理方法》第二讲------
1、5
复数与实数之间的联系：由 z x iy 和 z 0 x 0 iy 0 可知：
(cos 隶莫弗公式： n i sin n ) cos i sin
------《数学物理方法》第二讲------
n
开方：n z 是个多值函数，共有n个不同的复根。
n
z
n
e
i

n
e
i

n

i
n
(co s

n
i sin

n
)
说明产生n个根的原因：
z e
数学物理方法第二讲
复数的运算&复变函数（2学时）
一、复数与运算
1、1 复数的概念：
定义：表达式 z x iy 叫做复数（或叫做复数的代数式），其中：i 叫做虚数单位。
性质： i 2 1
i
2 ( 2 k 1)
i i
3
i 1

专业技术人员职业发展政策法规学习第二讲试卷和复习资料

单选题第 1 题收藏广州市对于专业科目的认定，原则上要求参加（）以上继续教育基地或市级以上行业主管部门组织的相应专业科目的学习。

（2分）••••单选题第 2 题收藏《广东省人力资源和社会保障厅关于专业技术人员继续教育证书的管理办法》规定：专业技术人员接受继续教育的时间，其中，专业课不少于（）天或（）学时。

（2分）••••单选题第 3 题收藏从（）年起继续教育验证工作全部在“专业技术人员继续教育管理系统”中完成。

（2分）••••单选题第 4 题收藏专业技术人员是指按照国家规定取得专业技术资格或者初级以上专业技术职务任职资格的（）人员以及专业技术类公务员。

（2分）••••单选题第 5 题收藏在职参加学历学位教育，若与从事专业、晋升职称密切相关的，且在验证周期内，提供证明材料，当年最多计算（）个专业科目学时。

（2分）••••单选题第 6 题收藏“十二五”期间，2013年推出的公需科目（公修课）有《网络信息技术最新应用与网络安全》、《专业技术人员职业发展政策法规学习》和（）。

（2分）••••单选题第 7 题收藏从2013年开始，年度验证结果和（）挂钩。

（2分）••••单选题第 8 题收藏6月30日后申请继续教育周期验证的，验证周期年度计算到（）年。

（2分）••••单选题第 9 题收藏周期验证的验证周期以实际任现职资格年限为验证周期，超过五年的只验最近（）年。

（2分）••••单选题第 10 题收藏2013年后的学时证明，必须注明（）。

（2分）••••多选题第 11 题收藏专业技术人员继续教育工作是专业技术人才队伍建设的（）工作。

（4分）••••多选题第 12 题收藏附件证明材料（学时证明）属于无效证明的有（）。

（4分）••••多选题第 13 题收藏关于《关于加强专业技术人员继续教育工作的意见》的通知（国人部发〔2007〕96号）是由（）印发的。

（4分）••••多选题第 14 题收藏下面属于继续教育的目的是（）。

第二讲氧化还原反应及其应用（高三复习学案、教案与习题大全）

第⼆讲氧化还原反应及其应⽤（⾼三复习学案、教案与习题⼤全）第⼆讲氧化还原反应及其应⽤主讲⼈车琳⾼考考点1，理解氧化还原反应，了解氧化剂和还原剂等概念2，掌握重要氧化剂、还原剂之间的常见反应3，熟练掌握氧化性和还原性强弱4，能判断氧化还原反应中电⼦转移的⽅向和数⽬，并能配平反应⽅程式5，能运⽤元素守恒、电⼦守恒、电荷守恒，进⾏氧化还原反应计算6、掌握原电池、电解池原理，能熟练书写电极反应式和电池总反应式。

7、理解化学腐蚀和电化腐蚀原理。

本讲序列【阅读议点】⼀、氧化还原反应的基本概念（请研读教材，梳理以下概念）1、什么是氧化还原反应？2、什么是氧化剂？什么是还原剂？什么是氧化产物？什么是还原产物？3、氧化还原的实质是：4、氧化还原反应的特征是：5、电⼦转移的表⽰⽅法有：⼆、如何⽐较氧化性和还原性的相对强弱？⒈同⼀氧化还原反应中，氧化性：氧化剂>氧化产物（当然的，氧化剂>还原剂）还原性：还原剂>还原产物（当然的，还原剂>氧化剂）⒉根据元素周期表，同周期元素的单质（或原⼦）从左到右还原性渐弱，氧化性渐强（稀有⽓体元素除外），同主族元素单质（或原⼦）从上到下还原性渐强，氧化性渐弱。

例如，氧化性：F2>Cl2>Br2>I2>S（含常识性知识）还原性：Na相应简单离⼦的还原性：F-K+>Rb+>Cs+⒊根据⾦属活动顺序：K Ca Na Mg Al Zn Fe Sn Pb（H）Cu Hg Ag Pt Au还原性渐弱K+ Ca2+ Na+ Mg2+ Al3+ Zn2+ Fe2+ Sn2+Pb2+（H+）Cu2+ Fe3+ Ag+氧化性渐强⒋据原电池电极：负极⾦属⼀般⽐正极⾦属活泼（还原性强）。

思考：有没有例外情况？请举例，并画出装置图？⒌同种元素价态越⾼，氧化性越强（如Fe3+>Fe2+），但例外地，氧化性：HClO>HClO2>HClO3>HClO4，元素化合价处于最⾼价态时只有氧化性；价态越低，还原性越强（如S2->S>SO2），最低价态只有还原性；中间价态兼具氧化性和还原性。

第二讲复二部曲式

• 4.单二与单三的组合，即： AB＋CDC • 5.单二与单二的组合，即：＋CC1 • 7.（复）乐段与单三的组合，即：AA1 ＋BCB • 8. （复）乐段与单二的组合，即：AA1 ＋BC
• 二、音乐听辨 • 1.莫扎特歌剧《唐璜》中的“鞭打我吧”
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• 乐谱见167页，结构图示：见169页
• 三、作业 • 1.复三部曲式中插部与三声中部的区别何在？ • 2.分析乐曲一首：贝多芬《第4钢琴奏鸣曲》三乐章 • 写作要求：写出曲式结构图式，并作必要的作曲技术分析
第二讲复二部曲式建立在两大部并列结构基础上的多月段结构两个部分中根据音乐材料与调式调性布局的特点划分为以下几种组合方式
第二讲复二部曲式
• 一、基本原理 • 建立在两大部并列结构基础上的多月段结构，两个部分中根据音乐材料与调式调性布局的特点，划分为以下几种组合方式： • 1.单三与单三的组合，即： ABA＋CDC • 2.单三与单二的组合，即： ABA＋CD • 3.单三与（复）乐段的组合，即： ABA＋CC1

高中数学第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法2.2.5投影变换教案新人教A版选修4-2

2.2.5 投影变换
教学目标
1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换．
2．掌握投影变换的几何意义及其矩阵表示．
教学重点、难点投影变换的几何意义及其矩阵表示
教学过程：
一、问题情境
问题1：研究直线y =x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 和矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡0101对应的变换作用下得到的图形．
归纳：
问题2：研究线段AB 在矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--212
12121作用下变换的图形，其中A （0，0），B （1，2）
二、例题精讲例1 研究直线y =mx +1（x ∈R ）在矩阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-0101对应的变换作用下得到的图形．
例2、求圆x 2+(y -2)2=1在矩阵⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡0101对应的变换作用下得到的曲线方程．
三．课堂精练 1. 说明矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-0101的变换作用，哪些变换是一一映射？
2. 若曲线y = sin x 在矩阵M 对应的投影变换作用下变成直线y = 0，试求矩阵M ．
3. 矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡0101把椭圆142
2=+y x 变成了什么图形?其方程是什么?
4. 一种线性变换对应的矩阵为1010⎡⎤⎢⎥-⎣⎦。

①若点A 在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A 的坐标；②解释该线性变换的几何意义
四、回顾小结
1.我已掌握的知识
2.我已掌握的方法
五、课后作业
1.求曲线y 2 = x 在矩阵1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到的图形．
2.已知变换T 是将平面内的图形沿y 轴方向投影到直线y = 2x 上的变换，试求它的变换矩阵M ．
3.研究矩阵0101⎡⎤⎢⎥⎣⎦所确定的变换．。

第二讲 - 复件

第二讲 常用逻辑用语复习题(解析版)

第二讲 复数的模及其几何意义