几何辅助线添法种种--------中考数学专题研究

几何辅助线添法种种--------中考数学专题研究
一，补全图形
1.如图2，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝900，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 的延长线于E ，又AE ＝
2
1
BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线。

分析：∠ABC 的角平分线与AE 边上的高重合，故可作辅助线补全图形，构造出全等三角形（证明略）。

2（2012.深圳）如图6，Rt△ABC 中，C= 90o
，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交
于点D ，连接OC ，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC 的长为 ．
3. 如图1，已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 在BC 上，AE ＝AD ，AB ＝BC 。

求证：CE ＝CD 。

分析：作AF ⊥CD 的延长线（证明略）
4.如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝？
分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。

答案：
33
8 例1图
32E
D C
B
A
5、如图，四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝35-，CD ＝6，且∠ABC ＝1350，∠BCD ＝1200，你知道AD 的长吗？
分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。

略解：作AE ⊥CB 的延长线于E ，DF ⊥BC 的延长线于F ，再作AG ⊥DF 于G ∵∠ABC ＝1350，∴∠ABE ＝450
∴△ABE 是等腰直角三角形
又∵AB ＝6，∴AE ＝BE ＝3 ∵∠BCD ＝1200，∴∠FCD ＝600 ∴△DCF 是含300的直角三角形 ∵CD ＝6，CF ＝3，DF ＝33 ∴EF ＝3)35(3+-+＝8 由作图知四边形AGFE 是矩形 ∴AG ＝EF ＝8，FG ＝AE ＝3 从而DG ＝DF －FG ＝32 在△ADG 中，∠AGD ＝900
例2图
F E
D
C
B
A
例1图
F E D
C
B A 问题一图
G
D
∴AD ＝22DG AG +＝1264+＝76＝192
6. 如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =，BC =
，CD ＝
，则AD 边的
长为（ ）． （A ） （B ）
（C ）
（D ）
解：D
如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．
由已知可得
BE =AE =
，CF ＝，DF ＝2，
于是 EF ＝4＋
．
过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得
AD
＝．
勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法
二、截长补短法
1. 如图2，已知在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC ＋CD 。

分析：采用截长补短法，延长AC 至 E ，使AE ＝AB ，连结DE ；也可在AB 上截取AE ＝AC ，再证明EB ＝CD （证明略）。

三、构造特殊多边形
例2图
2
1E
D
C B
A
1. 如图，P 为△ABC 边BC 上一点，PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝450，∠APC ＝600，求∠ACB 的度数。

分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，而应综合运用条件PC ＝2PB 及∠APC ＝600
来构造出含300角的直角三角形。

这是解本题的关键。

答案：∠ACB ＝750（提示：过C 作CQ ⊥AP 于Q ，连结BQ ，则AQ ＝BQ ＝CQ ）
例2图
Q
P C
B A
2.如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

例题图1
F E
C B A
例题图2 G F E
C
B A
分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

3、已知如图，在△ABC 中，∠C ＝900，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 和BN 相交于P ，求∠BPM 的度数。

分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN 。

略证：过M 作ME ∥AN ，且ME ＝AN ，连结NE 、BE ，则四边形AMEN 是平行四边形，得NE ＝AM ，ME ∥AN ，AC ⊥BC
∴ME ⊥BC 在△BEM 和△AMC 中，
ME ＝CM ，∠EMB ＝∠MCA ＝900，BM ＝AC ∴△BEM ≌△AMC
∴BE ＝AM ＝NE ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900 ∴∠2＋∠4＝900
，且BE ＝NE
∴△BEN 是等腰直角三角形
∴∠BNE ＝450
∵AM ∥NE
∴∠BPM ＝∠BNE ＝450
探索与创新图
E N
A
4.若以三角形ABC 的边AB 、AC 为边向三角形外作正方形ABDE 、ACFG ， 求证：AEG S ∆=ABC S ∆。

5．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，中位线EF ＝7，对角线AC ⊥BD ，∠BDC ＝300，求梯形的
高AH 。

分析：根据对角线互相垂直，将对角线平移后可构造直角三角形求解。

略解：过A 作AM ∥BD 交CD 的延长线于M 。

∵AB ∥DC ，∴DM ＝AB ，∠AMC ＝∠BDC ＝300 又∵中位线EF ＝7
∴CM ＝CD ＋DM ＝CD ＋AB ＝2EF ＝14 又∵AC ⊥BD ， ∴AC ⊥AM ，AC ＝
2
1
CM ＝7 ∵AH ⊥CD ，∴∠ACD ＝600 ∴AH ＝0
60sin ⋅AC ＝
32
7 评注：平移梯形对角线、平移梯形的腰是解梯形问题时常用的辅助线。

例1图 M
H D C B
A
F
E
例2图 G H
D
C
B A
F
E
6．【例2】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∠B ＋∠C ＝900，AD
＝7，BC ＝15，求EF 的长。

分析：将AB 、CD 平移至E 点构成直角三角形即可。

答案：EF ＝4
7、如图：在四边形ABCD 中，△ABC 是等边三角形，∠ADC=30’，AD=3，BD=5，求CD 的长。

解：以AD 为边作等边三角形ADE ，连结EC ，则△ACE ≌△CBD ，则CE=BD=5.△CDE 是直角三角形，∠CDE=90’∴在Rt △CDE 中，CD=4
D
B
第7题
四、构造比例式
1.三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：
AC
AB
DC BD =。

分析：要证
AC
AB
DC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式
AC
AB
DC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明
AC
AB
DC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。

问题图
3
2
1E
D
C
B
A。