05-06-3期末高数(B)试卷A
2005-2006(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
2、计算积分值 u(s,t) (s,t) xdx ydy 。
(1,0) x2 y2
第 1 页(共 1 页)
zdxdydz ，其中 由曲面 z x2 y2 及平面 z 4 所围成的闭区域。
5、(1) 求变力 F (2x 3y x 2 y, x 2 y xy 2) 将圆周 L ： x2 y2 2 上的质点沿顺时针方
向移动一周所做的功。(6 分)
(2) 利 用 高 斯 公 式 计 算 (x 2 y)dydz (3y z)dzdx (3x 2z)dxdy ， 其 中 是 由 x 0, y 0, z 0 及 x y z 1在第一卦限所围成的立体的表面外侧。（6 分） 123
。
5、设 L 为连接(3, 0) 和(0,3) 两点的直线段，则 (x y)ds ＝
。
L
6、lim sin(xy) ＝
。
x y3
x
7、函数 u x2 y2 z2 在点 (1,1,1) 处沿方向 l 的方向导数是
度
。（其中l 的方向角为60o , 45o , 6
设
f
(x,
y)
( x 2
y2 ) sin
x2
1
y2
0
x2 y2 0 x2 y2 0
，试讨论在点(0, 0) 处：
1、 f (x, y) 是否连续？ 2、 f (x, y) 的偏导数是否存在？ 3、 f (x, y) 是否可微？
五、证明题（5 分×2＝10 分）
1、证明曲线积分 xdx ydy 与路径无关，其中 L 为不通过原点的任一曲线。
一、填空题（2 分 7＝14 分）
1、以 a {2, 1,1} 和b {1, 2, 3} 为边的平行四边形的面积等于
武汉大学大一高数下五年期末考试试题
[ey f (y) + y − x] dσ ≥ (e − 1)
பைடு நூலகம்
1 0
f (y) dy. 其中 D = {( x, y)|0 ≤
x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
3
武汉大学 2007 – 2008 学年第二学期
《 高等数学B 》 试题
一. (36 分) 试解下列各题 ⎧ ⎪ ⎪ 2x + y = 0 x y z ⎨ 1. (6 分) 求通过直线 ⎪ 且平行于直线 = = 的平面方程. ⎪ ⎩ 4 x + 2y + 3z = 6 1 2 4
x2 y2 z2 + + 在点 M (1, 2, 3) 处的梯度及方向导数的最大值. 6 12 18
x2 + y2 在点 (0, 0) 处的连续性, 偏导数的存在性.
4. 已知以 2π 为周期的连续函数 f ( x) 的傅里叶系数为 a0 , an , bn (n = 1, 2, · · · ), 求函数 f (− x) 的傅里叶系数.
D
∂2 z . ∂ x ∂y
xy d x dy, 其中 D = {( x, y)| x2 + y2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0}.
0 −1
6. (6 分) 交换积分次序
dx
1− x 2 x +1
√
f ( x, y) dy.
二. (10 分) 求函数 z = x + y +
1 ( x > 0, y > 0) 的极值. xy
x2 + y2 = 0
性. 三. (10 分) 验证变换 x = et 可将微分方程 x2 微分方程
d2 y dy −3 + 2y = tet 的通解. dt dt2
2005-2006第一学期随机数学(A)B卷答案
页脚内容12005----2006学年第一学期《随机数学(A)》期末考试试卷（B ）答案一、本题满分30分，每小题5分1． 设 A 、B 、C 为三个随机事件，若4.0)(,2.0)(,3.0)(===C P B P A P , 且它们两两互不相容，计算概率（1）)(C B A P Y Y ，（2）)(B A P -。
解：,9.0)()()()(=++=C P B P A P C B A P Y Y3.003.0)()()(=-=-=-AB P A P B A P2． 在100张奖卷中，有一等奖的奖卷2张．现有100人抽奖，每人抽一张，抽后不放回．求（1）第一个人中一等奖的概率，（2）第二个人中一等奖的概率。
设2,1=i i A i 个人抽到一等奖，表示第 2,150/1)(==i A P i ，3.若P (A )=0.3 ,P (B )=0.2 ,P (B |A )=0.4 ,求 P (AB ), P (A |B ).解：,12.04.03.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P.6.02.0/12.0)(/)()|(===B P AB P B A P4. 设随机变量X 服从泊松（Poisson ）分布，且{}{}21===X P X P ，试求{}4=X P 。
页脚内容2解：{}{}21===X P X P Θ ,22λλλλ--=∴e e解得 )(0,2舍去==λλ{}.32424224--===∴e e X P ！ 5.若 X N (1,2) ,设Y = 2X -1,求概率P {Y >1}。
解：),8,1(~12N X Y -=5.0)0(1}1{=Φ-=>Y P6．设随机变量X 与Y 满足：()2=X E ，()3=Y E ，1),(=Y X COV ，()1=X D ，()4=Y D ．计算().2Y X E - 解： ()2222EY EXY EX Y X E +-=- 22)(]),([2)(EY DY EXEY Y X Cov EX DX +++-+=4947*241=++-+=.二、本题满分40分，每小题8分7．一袋中有4个编号分别为1，2，3，4，的乒乓球，从中任意地取出两个，以X 表示取出的两个球中的最大号码，写出X 的分布率和X 的分布函数。
东南大学考试卷(A)2005-2006学年高等数学期末试卷(后附答案)
共 6 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）（共4页第1页）课程名称高等数学（B ）期末考试学期 05-06-3得分适用专业 选学高数（B ）的各专业 考试形式 闭卷考试时间长度 150分钟一、 填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1．设函数(,)z z x y =由方程e y zz x =确定，则d z = ；2．曲线23,,x t y t z t ===在对应于1t =-的点处的切线方程是 ；3．曲面e 3zz xy ++=在点(2,1,0)M 处的切平面方程为 ； 4．交换积分次序101d (,)d x x f x y y -=⎰ ；5．向量场22223342x yz xy z xyz =++A i j k 在点(2,1,1)处的散度div =A ；6．()221sin d d x y x x y x y +≤+=⎰⎰；7．空间区域Ω为2222x y z R ++≤，则V Ω的值为 ；8．已知曲线积分()()3ecos ()d e sin d xx Ly yf x x x y y ++-⎰与路径无关，则()f x = ； 9．已知()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z = 。
二．计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，满分32分） 10．设()20,e d x ytz f t t =⎰，其中f 具有一阶连续偏导数，求zx ∂∂及2z x y∂∂∂。
共 6 页 第 2 页第2页 11．计算二次积分：110d d x yx y ⎰12．问通过两直线223112x y z -+-==-和111121x y z -+-==-能否决定一平面？若能，则求此平面的方程。
13．设半球体:02z Ω≤-≤z μ=，试求半球体Ω的质量。
共 6 页 第 3 页三．（14）（本题满分10分）设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其面积记为S ，试求该三角形内一点到三边距离之乘积的最大值。
05-06高数期末(下)试题(A)
中国农业大学2005 ~2006 学年 第 二 学期 高等数学（A 、B ） 课程考试试题 (A 卷)试 题（2006/6）一、 填空题 （满分15分，每小题3分，共5道小题），请将答案写在横线上.1．函数yz x u 2=在点)1,1,1(P 处沿(2,2,1)方向的方向导数为_____________.2．函数xy z =在条件1=+y x 下的极大值=___________.3．设L 为圆周922=+y x ，取逆时针方向，则曲线积分⎰-+-L dy x x dx y xy )2()32(2=__________.4．设⎩⎨⎧<≤+<≤--=ππx x x x f 0101)(2，且以π2为周期，则)(x f 的傅里叶级数在点π=x 处收敛于_____________.5．微分方程0)(=++dx y x xdy 的通解为__________________.二、选择题 （满分15分，每小题3分，共5道小题），请将合适选项填在括号内.1. 设有直线L :21211-=+=-z y x 和平面0224:=-+-∏z y x ,则L 与∏ （ ） (A) 垂直； (B) L 在∏上 ； (C) 平行； (D) 斜交.2．下列命题不正确的是（ ）(A)),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在该点连续；(B)),(y x f 在点),(00y x 的偏导数存在，则),(y x f 在该点连续；(C)),(y x f 的偏导数在点),(00y x 连续，则),(y x f 在该点可微；(D)),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在该点的偏导数存在.3．设∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分⎰⎰∑ydS 的值是（ ） (A) 334 ； (B) 0； (C) 34； (D) π.4．设α为常数，则级数∑∞=-13]1sin [n nn n α（ ） (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛； (C) 敛散性与α有关； (D) 发散.5．若21,y y 是二阶齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解，21,C C 为两个任意常数，则2211y C y C y +=（ ）(A ) 是该方程的解； (B ) 是该方程的特解；(C ) 是该方程的通解； (D ) 不一定是该方程的解.三、（10分）求过点)2,1,3(0-P 且通过直线12354:z y x l =+=-的平面方程.四、（10分）设函数),(y x z z =由方程)(22z x yf z x -=+确定，其中f 为可微函数， 证明：x y z y x z z =∂∂+∂∂.五、（10分）计算积分：⎰⎰⎰⎰+x x x dy y x dx dy y x dx 242212sin 2sin ππ.六、（11分）设)(x f 具有二阶连续导数，1)0(',0)0(==f f ，曲线积分dy y x x f dx y x f xy y x L ])('[])([222++-+⎰与路径无关，求)(x f .解：由xQ y P ∂∂=∂∂，整理得)(x f 满足微分方程2)()(x x f x f =+''七、（12分）求幂级数∑∞=-1121n n n x n 的收敛域，并求其和函数.八、（12分）计算曲面积分⎰⎰∑++++212222)()(z y x dxdy a z axdydz ，其中∑为222y x a z ---=的上侧，a 为大于零的常数.九、（5分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(='=f f ， 证明级数∑∞=1)1(n n f 绝对收敛.。
微积分期末试卷及答案
院系:班级: 学生: 学号: 成绩:
试卷名称:2005-2006学年度上学期期末考试
《高等数学B(一)》试卷
(A卷共8页)
适用范围:经院、管院2005级 各专业本科学生
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、已知 , ,且 ,则 .
答案： 王丽君
解： , , .
2、已知 为常数, ,则 .
(4)列表如下：
+
0
-
0
+
凹
拐点
凸
拐点
凹
(5)曲线的拐点为 、 ．
(6)曲线在区间 和 是凹的,在区间 是凸的．(6分)
8、计算 ．
答案： 俞诗秋
解： (3分)
．
．(6分)
9、计算 ．
答案： 俞诗秋
解： (3分)
,
．(6分)
10、设某商品的需求函数为 ,其中 分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.
答案： ,当总收益达到最大时,价格上涨 ,需求则相应减少 .俞诗秋
解：总收益函数为 ,
令 ,得 ,而 ,
可见,当 时,总收益达到最大.(3分)
此时需求弹性 ,(5分)
说明,当总收益达到最大时,价格上涨 ,需求则相应减少 .(6分)
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、证明方程 在区间 内有且只有一个实根.孙仁斌,俞诗秋
(D) 在 处的左导数与右导数必有一个不存在.
答案：B江美英
4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
答案：D俞诗秋
5、若函数 存在原函数,下列错误的等式是：
2005-2006下文高数B
武汉大学2005—2006学年第二学期 备用《高等数学》（总学时72）考试试题一、试解下列各题（每小题5分，共50分）：1、在曲线t x =, 2t y =, 3t z =上求一点, 使得在该点的切线平行于平面42=++z y x 2、设函数)(x f 在]1,0[上连续，并且⎰=1)(A dx x f ，求⎰⎰101)()(xdy y f x f dx3、找出下列级数中绝对收敛的级数并说明理由。
(A) ∑∞=+-111)1(n nn 、(B) ∑∞=+-1211)1(n n n (C) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211)1(n n n n 、(D) ∑∞=++-122261)1(n n n n 4、设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，求(1,0)dz5、 求幂级数∑∞=---112)12(2)1(n n n n n x 的收敛域。
6、交换积分次序21(,)xe dxf x y dy ⎰⎰7、求解微分方程x e y y y =+'-''22 8、设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，试比较123,,I I I 的大小。
9、求级数∑∞=+1)2(n nxn n 在收敛区间内的和函数。
10、设，zyy x x z 1=++求,x y z z 二、（8分）设),(),(y x y x y x f ϕ-=, 其中),(y x ϕ在点)0,0(的邻域内连续,(1) ),(y x ϕ满足什么条件, 偏导数)0,0(x f ', )0,0(y f '存在?(2) ),(y x ϕ满足什么条件, ),(y x f 在点)0,0(可微? 三、（8分）某饼干厂生产梳打饼及甜饼，梳打饼每斤纯利6角，甜饼每斤纯利4角，制造x 斤梳打饼及y 斤甜饼的成本函数为y x x y x C +++=600010000),(2，而该厂每月的制造预算是20000元, 问应如何分配梳打饼及甜饼的生产, 才能使利润最大? 四、（8分）计算⎰⎰+Dny x dxdy 222)(，其中n 为正整数，}.),{(2222b y x a y x D ≤+≤=五、（8分）设)(22y x f u +=在第一象限内有二阶连续的偏导数，且02222=∂∂+∂∂yux u ，21)(lim 1=-→x x f x ，试求()f x 的表达式。
05 06 3高等数学A期末试卷参考答案及评分标
05 06 3高等数学A期末试卷参考答案及评分标05-06-3高等数学a期末试卷参考答案及评分标05-06-3高等数学期末考试参考答案和评分标准06。
6.二十三一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1（3）．阿迪？021y20f（x，y）dx？？阿迪？122y？y20.404f（x，y）dx2.x？2岁？2z？43（1）（6）．3x5．x3?y3?x2y?c6（4）．37（9）．?二.计算下列各题(本题共4小题，满分33分)10．（本题满分7分）2xdx?2ydy??dx?38．2?i9（7）．ak?12xy??dz?xz??dy（3分）y2（2x？？）y2y3？xz z（2x？？）Yz2y3？xz？？（1+1）DZ？dx？Dy（2分）？，？十、xy xx yxy？？11.（这个问题的满分是7分）ln2x？十、2.自然对数？1.（x？1）21N（x？1）2n（2+4点）n?1?0?x?2（1分）N3nn？11? 1nn？这道题的满分是10分？？十、十、3x3倍？（2分）3n?1n?1n?1n?1n?1?113x21x1??x?ln(1?3x)??ln(1?3x)（2+3分）??x?（1分）331? 3x31？3x3n？3.8.1.4s？4.LN2（2点）3.4.N1n？1.4.13.（这道题的满分是9分）取C（2,0）分，L、BC和Ca之间的区域记为D（1分）nilbccaxx2y2dxyxx2y2dyy24y2dyx2dx（2分）01?? 1.2.ydxdy？1.d175555？8.5（4+2分）33123？？2辛克森？12n？1sin2n？2xn，Lim三（14）（该问题的满分为9分）？？林？n2nn？？一nn？12sinxn2？2sinx（3分）何时2sinx？1，即何时3?5??x?时，原级数绝对收敛，（2分）当44?3?5?3?3?5?,?x?,2sin2x?1时，即当?x?时，原级数发散，（2分）当x?时，244原系列变成(1)n1n11，此时该级数条件收敛。
2005-2006第一学期工商学院高数期末试卷A(8学分)答案
2 x 1 2
](1
2 2 ) e 2x 1
1
(cot x) ln x . 2．求极限 lim
x 0 1 ln x
(cot x) 解： lim
x 0
e ＝ lim
x 0
1 ln cot x ln x
e 1
1 ( csc 2 x) ln cot x x cot x 其中 lim lim lim ( ) 1 . x 0 x 0 x 0 1 ln x sin x cos x x
Q
50 Q 10Q 200 2
1 Q 2 15Q 200 2
L(Q) Q 15 ，所以，当 Q 15 时， L(Q) 0 .
当 Q 15 时，工厂日总利润 L 最大.
6
九、(７分)某工厂生产某产品,日总成本为 C 元, 其中固定成本为 200 元, 每多生产一单位产品, 成本增加 10 元. 该商品的需求函数为 Q 50 2 P ,求 Q 为多少时工厂日总利润 L 最大?
得分
解： L(Q) R(Q) C (Q)
Q P (10Q 200)
1 1 ( , ) ，下凸区间为 ( ,1), (1, ) ，极小值为 f (0) 1 . 2 2
x 2 , x 1 七、 （５分）确定常数 a 、 b 的值，使函数 f ( x) 在其定义域内可导． ax b , x 1
得分
解：显然函数 f ( x) 在 x 1 及 x 1 时是可导的， x 1 处，
得分
五、证明题（每题５分，共 1０分）
得分
１．函数 f ( x) 和 g ( x) 都在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导， f (1) g (1) ，且对所有 x (0, 1) 有
高等数学B期末考试试卷 A 参考答案及评分标准
3. 已知两条直线 x −1 = y + 2 = z −1 与 x = y = 3z 相交， m = 1 ；
1 2m
9
1
1− x2
0
y +1
1
1− y2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4. 交换积分次序 dx
f (x, y)dy = dy f (x, y)dx + dy
f (x, y)dx ；
0
x−1
−1
0
解 ∂z (1+ z)ez = ey + yex ，（2 分） ∂z = ey−z + yex−z ，（2 分） ∂z = ex−z + xe y−z （3 分）
∂x
∂x 1+ z
∂y 1+ z
共3页
第1页
∫∫ { } 11．计算二重积分 ydxdy ，其中 D = (x, y) x2 + y2 ≥ 2, x2 + y2 ≤ 2 y . D
0
0
2
0
{ } 解 D = (x, y) x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y ，（1 分）
∫∫ ∫ ∫ ( ) 原式 = e−(x2+y2 )dxdy = D
π
2 π
dθ
4
e2 −ρ2 ρdρ = π
0
8
1− e−4
（1+3+2 分）
∫∫∫ 13. 计算三重积分 eydxdydz ，其中 Ω 由曲面 x2 − y2 + z2 = 1, y = 0, y = 2 所围成. Ω
0 9 - 1 0 - 3 高数 B 期末试卷（A）参考答案及评分标准 10.6.29
最新人力资源05级《高级数学b》试题课件PPT
1．求曲线
x
ln
1 t2,
在t
3 处的切线方程及法
线方程. y arctan t.
解：因
dx t ,dy 1 dt 1t2 dt 1t2
,所以:
dy 1 1
dxt 3 t t 3
3
t 3 所对应的直角坐标点为 ( ln 2 , ) 3
故切线方程)
a
a
f(x)dx [f(x)f(x)]dx
a
0
，并利用上结果计算
4
1 dx
4 1 sin x
证：因为 f(x)g(x)h(x),
其中g(x) 1[ f (x) f (x)]为偶函数, 2
h(x) 1[ f (x) f (x)]为奇函数 2
17
a
a
所以
f(x)dx [f(x)f(x)]dx
lifm (x ) li(x m 3 )x b 4 li1 m (x 4 )x 1 4 b e b .
x 4
x 4
x 4
由 limf(x)limf(知x)
x 4
x 4
b ln 4 3
10
从而 af(4)lim f(x)4.
x 4
3
三、计算题（二）（每小题7分，共21分）
1 (sin2
xcos12
)dx(cot x
xtanx)C.
2．求
解：
e2 x dx.
e2 xdx令2 xt 1 tetdt 1 tdet
2
2
12tet etdt12 xe x e xC
3．求 2 x(x 1)4dx. 1
解：
2x(x1)4dx
1
(t
1)t4dt
05高数B1期末 (A)答案
东莞理工学院（本科）试卷（A 卷）（答案）2005 -2006 学年第一学期开课单位： 数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场科目：__高等数学Ⅱ___班级： 姓名： 学号：1.函数32)(2++-=x x x x f 的间断点的个数是:( D );(A) 1个; (B) 2个; (C) 3个; (D) 0个; 2.函数)(x f 在点0x x =有定义是)(lim 0x f x x →存在的( D );(A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件; 3.下列各式中正确的是( C ); (A) ;1sin lim=∞→x x x (B) ;1sin lim 2=→x xx π (C) ;11sin lim =∞→x x x (D) ;11sin lim 0=→x x x4.当0→x 时,与2x 等价的无穷小是( D );(A) x sin (B) x 2 (C) 1-x e (D) x cos 22-;5.设函数)(x f 在),(b a 内存在二阶导数，且其图象是单调上升且为凹的，则在),(b a 内必有（ B ）；（A ） ;0)(,0)('''<>x f x f （B ）;0)(,0)('''>>x f x f （C ）;0)(,0)('''><x f x f （D ）;0)(,0)('''<<x f x f 6．⎰=xdx 2sin （ A ）；（A ）C x +-2cos 21（B ）C x +2sin（C ）C x +2cos 21 （D ）C x +-2sin 21二.填空题（本题满分15分，每小题3分）１．函数)1ln(21)(2x x x f -+-=的定义域为: （1,1-）； ２. 设函数00,cos ,1sin )(≤>⎩⎨⎧++=x x k x x x x f 在定义域内连续，则=k （ 0 ）；３．设函数)(x f 在0=x 处可导，且2)0('=f ，则xf x f x )0()3(lim-→＝（ 6 ）；４．设x e x f 2)(-=，则=)()(x f n （ x n e 2)2(-- ）；５．曲线12+=x x y 的斜渐近线为：（ 1-=x y ）；三．求下列极限：（本题满分18分，每小题3分）１．121023lim 33++-∞→n n n n 33212110123lim nn n n +⋅+⋅-=∞→23= 2．132lim 321--+→x x x x )1)(1()1)(3(lim21++--+=→x x x x x x 13lim 21+++=→x x x x 34= 3．x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→121lim x x x x x ⋅--∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1221121lim x x x e⋅-∞→=12lim 12lim-∞→=x x x e2e =4．()x q x p x x -++∞→))((lim xq x p x pq x q p x +++++=∞→))(()(lim 1)1)(1()(lim +++++=∞→xq x p x pqq p x q p +=5．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x x x x ln )1()1(ln lim 1xx x x x x x 1)1(ln 11ln lim1⋅-+-⋅+=→11ln ln lim 1+-=→x x x x 21111limxx x x +=→1lim1+=→x x x 21= 6．x x x x x sin sin lim +-∞→xxx xx sin 1sin 1lim +-=∞→1= 四．求下列函数的导数（n 阶导数）（本题满分12分，每小题3分）1．,22xxxy +-= 求'y ；解：))2ln()2(ln(21ln ln x x x y +--+=),21)1(21(211x x x y y +---+=' 'y ∴=x x x +-22)421(2xx -- 2．y xe y y arctan 1++=，求'y ；解：,11)(2y y y xe e y yy'⋅++'⋅+=' yy ey x y y e y )1()1(222'+-+=∴ 3．212arctan xx y -=，求 'y ； 解：)12()12(11222'--+='x x x x y 22222)1()2(2)1(2)12(11x x x x xx ----⋅-+=222)1()1(2x x ++=212x += 4．)1ln(x y -= ，求)(n y ; 解：,11x y --=',)1(12x y --='',,)1(213 x y -⋅-='''.)1()!1()(nn x n y ---= 五.求下列不定积分（本题满分12分，每小题3分）1.x xx x d 2322⎰++ x x x x d )2(216123⎰++=C x x x +++=--21652126123 2. dx e e x x⎰+1)1(d 11++=⎰x x e e C e x ++=)1ln(3. x x e x d cos ⎰x e x d cos ⎰=x e x e x x x d sin cos ⎰+⋅=x x e x e x d sin cos ⎰+⋅=x x e x e x ⋅+⋅=sin cos x x e x d cos ⎰- x x e x d cos ⎰∴C e x x x++=2)sin (cos4.⎰--62x x dx ⎰+-=)2)(3(d x x x x x x )d 2131(51⎰+--=C x x ++-=23ln 51 六．证明题（本题满分12分，每小题6分）1．设)2,2(,21ππ-∈x x ，试证：1212tan tan x x x x -≥-证明：设,tan )(x x f =),2,2(,21ππ-∈∀x x则函数)(x f 在],[21x x 上满足拉格朗日定理，有)(sec tan tan 12212x x x x -=-ξ)(s e c t a n t a n12212x x x x -=-ξ12x x -≥ 2．函数00,,01sin )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x f 在00=x 连续但不可导. 解：),0(01sinlim )(lim 00f xx x f x x ===→→所以函数在00=x 连续。
2005-2006学年第一学期期末考试《高等数学》(A)评分标准及标准答案
e y + (xe y − e−y + ye−y ) y′ = 2x
Байду номын сангаас∴ y′ = 2x − e y
(1′)
xey − e−y + ye−y
x=0⇒ y=0
(1′)
∴ y′ x=0 = 1
(1′)
∫ ∫ 5、
x+
3
x
dx
( 2′)
==
(
x
+
−1
x6
) dx =
2
3
x2
+
6
5
x6
+
c
(3′) ；
x
35
∫ ∫ ∫ 6、
x→ 0
x→ 0
(1′)；
∫ 3、 f ′ ( x) = 2x x ln tdt + x2ln x, (3′) ∴ f′ ( e) = e2 (2′) ； e
4、方程两边同时对 x 求导（ y 是 x 的函数），得
e y + xey y′− y′e− y − ye− y (− y′) = 2x
(2′)
0
0
0
0
(1′)
∫ ∫ =
1
e
f(
x) dx
+
xe
f
( x)
0
1 0
−
1 e f (x)dx
0
(2′)
= e f (1)
(1′)
四、解答题
1、①定义域： (−∞, +∞) ；
② y′ = 6x2 −12x −18 = 0,⇒ x = −1, x = 3;
③列表
x (−∞, −1)
2005-2006高二数学(理科B)答案 (2)
珠海市2005-2006学年度质量检测试卷高二数学（理科B 卷） 参考答案及评分标准考试用时120分钟，共150分．本次考试允许使用函数计算器，不得相互借用．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将所选答案标号填入下表：1．等差数列}{n a 中,a 3=7, a 9=19,则a 5=（A ）10 （B ）11 （C ） 12 （D ）132．数列}{n a 满足：n n n a a a +=++12, a 1=1,a 2=2,则该数列前5项之和为 （A ）11 （B ）18 （C ）19 （D ）31 3． 在ΔABC 中，a=5，B=30°，A=45°，则b= （A ）225 （B ）335 （C ）265 （D ）254．不等式0)2(>-x x 的解集是（A ）（-∞，2） （B ）（0，2） （C ）（-∞，0） （D ）（-∞，0）∪（2，+∞）5．已知两正数ａ、ｂ满足：1622=+b a ，则ab 的最大值是 （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）166．已知q 是r 的必要不充分条件，s 是r 的充分且必要条件，那么s 是q 成立的（A ）必要不充分条件 （B ）充要条件（C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7． 双曲线1422=-y x 的一个焦点坐标是（A ）)0,5(- （B ）)5,0( （C ）)3,0( （D ）)0,3(- 8．抛物线的顶点在原点，准线是x=4，它的标准方程是（A ）x y 162-= （B ）y x 162-= （C ）x y 82-= （D ）y x 82= 9．椭圆上116922=+y x 一动点P 到两焦点距离之和为（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）不确定 10．已知空间两点A （4，a ，-b ），B （a ，a ，2），则向量AB = （A ）（a-4，0，2+b ） （B ）（4-a ，0，-b-2） （C ）（0，a-4，2+b ） （D ）（a-4，0，-b-2） 11．向量a =（0，1，2），b =（1，0，-1），则数量积a •b=（A ）（1，1，1） （B ）0 （C ）-2 （D ）（0，0，-2）12．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，1123OM xOA OB OC =++，则x 的值是（A ）0 （B ）1/2 （C ）1/3 （D ）1/6二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 13．在ΔABC 中，ab c b a -=+222，则角C=120°(或32π)． 14．已知点P(x,y)满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≥-0,020y x y x y x ，则y x z +=21可取得的最大值为３／２． 15．命题“x ∈R ，x 2- x ≥0.”的否定是0,2<-∈∃x x R x .16．椭圆的两个焦点恰好将长轴三等分,则椭圆的离心率是_1/3_． 17．斜率为1的直线与抛物线x y =2只有一个公共点，这条直线的方程是41+=x y ． （其它形式如0144,041=+-=+-y x y x 等均给满分） 18．在三棱锥P-ABC 中,三侧棱两两垂直,且PB=PC=2PA,PO 垂直于面ABC,O是垂足,如果设=PA a =PB b =c ,请用a 、b 、c 表示P ：c b a616132++．得分 评卷人三、解答题:本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19．(本小题满分10分)在下面是电路图（1）、（2）中，分别简述闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件？解：在图（１）中，闭合开关Ａ是灯泡Ｂ亮的充分但不必要条件．（２分）当开并Ａ闭合时，灯泡Ｂ一定亮，但灯泡Ｂ亮时，开关Ａ不一定闭合（只要此时开关Ｃ闭合即可）．（５分）在图（２）中，闭合开关Ａ是灯泡Ｂ亮的必要但不充分条件．（７分）当开并Ａ闭合时，灯泡Ｂ不一定亮（如果此时开关Ｃ没有闭合的话），但灯泡Ｂ亮时，开关Ａ一定闭合（只要此时开关Ｃ闭合即可）．（10分）(注:如果只说出一半,则按一半计分.没有理由,扣理由分)20．(本小题满分12分) 三个数成等比数列，且它们的和为21，积是64．求这三个数．图(1)图(2)解:设这三个数依次为a/q,a,aq (2分) 根据题意,有 a/q+a+aq=21(4分)和64=⋅⋅aq a qa ,(6分)解得:a=4,(8分)q=4或1/4(10分) 这三个数依次为1,4,16或16,4,1(12分)21．(本小题满分12分)求与椭圆1244922=+y x 有公共焦点，且一条渐近线为x y 34=的双曲线的方程． 解:由椭圆标准方程1244922=+y x 可得的两者公共焦点为(-5,0)和(5,0),(2分)设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ,(4分)其渐近线为x a by ±=,(6分)现已知双曲线的一条渐近线为x y 34=,得34=a b ,(7分)又双曲线中2225=+b a ,(8分)解得4,3==b a ,(10分)∴双曲线的方程为1432222=-y x (12分)22．(本小题满分12分)已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是2，求点M 的轨迹方程，并说明曲线的类型． 解:设M(x,y),则),0(0)1(),0(01≠---=≠--=x x y k x x y k AM BM (4分),t k k AM BM -=⋅(5分))0(0)1(01≠-=---⋅--x t x y x y ,(7分)整理得)0(1122≠=+x tx y (10分,少了限制扣1分)(1) 当t ∈(0,1)时,M 的轨迹为椭圆(除去A 和B 两点);(12分)(2) 当t=1时,M 的轨迹为圆(除去A 和B 两点).(14分,多了两点扣2分))23．(本小题满分14分)已知抛物线方程为212x y =，直线l 过其焦点，交抛物线于A 、B 两点，|AB|＝１６．１）求抛物线的焦点坐标和准线方程；２）求Ａ、Ｂ中点的纵坐标．解：1）由抛物线方程为212x y =，对比标准方程)0(22>=p py x 可得2P=12，P=6得焦点F （0，3），准线方程为：3-=y ．(4分)２）（解法一）设直线l 的斜率为k,设),(),,(2211y x B y x A ,A 、B 的中点M ),(00y x ． 直线的方程：ｙ＝ｋｘ＋３，联立方程组得：(5分)⎩⎨⎧=+=yx kx y 1232，(7分)消去ｙ，整理得：036122=--kx x (9分) 方程中，0144144)36(4)12(22>+=---=∆k k ，有两个不同的根． 由根与系数的关系得：36,122121-==+x x k x x (10分)由|AB|＝１６得：16)4))((1(||21212=-++=x x x x k AB ，(11分) 代入，整理得：916)1(22=+k ，得312=k ．(12分) M ),(00y x 在直线l 上，有：300+=kx y ，36322210+=++⋅=k x x k y （１３分）∴50=y ，即Ａ、Ｂ中点的纵坐标为5．（１４分）（解法二）：设直线l 的斜率为k,设),(),,(2211y x B y x A ,A 、B 的中点M ),(00y x ， 过Ａ、Ｂ分别作准线的垂线，垂足分别为Ｐ、Ｑ，焦点F 在弦AB 上，（5分）|FA|+|FB|=|AB|=16，（6分）由抛物线定义，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，（8分） 而|AP|=3211+=+y p y ，（9分） |BP|=3222+=+y py ，（10分） 163321=+++y y ，1021=+y y ，（12分） 52210=+=y y y （13分） 即Ａ、Ｂ中点的纵坐标为5．（１４分）以上答案和评分标准仅供参考。
2005-2006高数期末B卷
1. 当 x 0 时， _____ C ____ 与 x 是等价无穷小量 . sin x ( A) ( B) ln(1 x) (C ) 1 x 1 x x
2．曲线 y
( D)
x 2 ( x 1)
2 ln x 上对应于点 x 1 处的切线方程为________. x
（ B） y 3x 1
四、经济应用题（9 分） ： 设某商品需求量 Q 是价格 P 的单调减少函数：Q=Q（P） ，其需求弹性 （１） 设 R 为总收益函数，证明
2P2 0. 192 P 2
dR Q(1 ). dP
（２） 求 P=6 时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。
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e 1 e 1
1 x
1 x
, 则 f ( x) 的间断点为 _ x 0 __, 属于第 __1___ 类间断点.
4. 设 f ( x) 有连续导数，且 f '(0) 0,lim
x 0
f '( x) 1 ，则 f ( x) 在 x 0 的某个邻域内单调 x2
____增加____。
x y
（B） d f ( x)dx f ( x)dx （D） d f ( x)dx f ( x) c dx
5．设方程 e e xy 确定 y 是 x 的函数，则 y ' (0) ________. （A） e
y
（B）1
（C）
1 y ey
（D）0
6.
( sin
（A）
x
1 x x e 2．求极限 lim
x 0
1
x
1 x 解 lim
x 0
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东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）（共4页第1页）
课程名称 高等数学（B）期末 考试学期05-06-3 得分 适用专业 选学高数（B）的各专业考试形式闭卷 考试时间长度 150分钟 题号 一 二 三 四 五 六 得分 一、 填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．设函数由方程(,)z z x y =e y z z x =确定，则d z = ； 2．曲线2,,3x t y t z t ===在对应于1t
=−的点处的切线方程是 ；3．曲面在点处的切平面方程为 e 3z z xy ++=(2,1,0)M ；4．交换积分次序101d (,)d x x f x y y −=∫ ；5．向量场22223342x yz xy z xyz =+
+A i j k 在点处的散度di (2,1,1)v =A ；6．()221sin d d x y x x y x y +≤+=∫∫ ； 7．空间区域为Ω2222x y z R ++≤，则V Ω的值为 ； 8．已知曲线积分()()3e cos ()d e sin d x x L y yf x x x y y ++−∫与路径无关，则()f x = ；9．已知()()222d 23d 3d z xy x x x y =+++y ，则z = 。
二．计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，满分32分） 10．设，其中()2
0,e d x y t z f t =∫t f 具有一阶连续偏导数，求z x ∂∂及2z
x y ∂∂∂。
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11．计算二次积分：
110d d x y x y ∫
12．问通过两直线223x 共 4 页 第 2 页 112
y z −+−==−和x 111121y z −+−==−能否决定一平面？若能，则求此平面的方程。
13．
设半球体:02z Ω≤−≤的密度函数为z μ=，试求半球体的质量。
Ω
三．（14）（本题满分10分）设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其面积记为，试求该三角形内一点到三边距离之乘积的最大值。
S
四．（15）（本题满分10分）计算第二型曲线积分(d L I x y x y =++
∫
，其中L 是从点沿曲线(2,1)A y =
的一段。
(1,0)B
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五．（16）（本题满分6分）计算第二型曲面积分：
()()()(,,)d d (,,)d d 2(,,)d d S
yf x y z x y z xf x y z y z x xyf x y z z x y +∧++∧++∧∫∫，其中是曲面S (2212
z x y =+)介于平面2z =与平面8z =之间的部分，取上侧， (,,)f x y z 为连续函数。
六．（17）（本题满分6分）设函数()f x 在区间[,上连续，且]a b ()0,
()d b a f x f x x >=∫A ，试证： ()1()e d d ()()()
b
b f x a a f x x x b a b a f x ≥−−+∫∫A
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