2.7.2 二次根式(第2课时)
2.7.2二次根式
① 2 4
② 5 9
2 ③ 4
2 2
3 5
2 2
教师精讲
例1 化简：
① 50
5 2
② 48 3 ③ 5
3 3
1 5
4 5 5
小老师讲解
1 化简： ① 8 8 ② 27
2 4
2 6 9
2 3
③ 2 6
随堂练习
① 18
化简： 3 2
-2 3
②3 3 75
41 7 7
当堂检测
① 2 10 3 30
1 ② 5 16
-60 3
9 4
5 2
③ 8 18
④3 6(3 2 15)
18 3-9 10
⑤(5 6)(5 2 2 3)
解：原式=25 2-10 3+10 3-6 2 =19 2
作业布置
完成《全品学练考》 （课时作业）
③ 2 7
14 7
归纳提升
最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式 是整式②被开方数中不含开得尽方的因数或因式. （1）当被开方数是整数时，应先将它分解因数， 再进行开方运算 （2）当被开方数是小数或带分数时，应先将小 数化为分数的形式，或者将带分数化为假分数的 形式，再进行开方运算.
每日一题 1 化简2 28+ - 700 7
第二章
二次根式（二）
北大附中河南分校
学习目标
1.公式
a b
a b a b（a≥0，b≥0），
a b （a≥0，b＞0）从右往左的运用．
2.了解含根号的数的化简，利用化简对实 数进行简单的四则运算． 3.灵活运用两个法则进行有关实数的四则 运算．
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计（新版北师大版）一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。
这一节的内容主要包括二次根式的加减乘除运算，以及如何化简二次根式。
通过这一节的学习，学生能够进一步理解和掌握二次根式的运算规则，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式有一定的了解。
但是在实际操作中，部分学生可能会对二次根式的化简和运算规则理解不深，导致在解决问题时出现困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况进行讲解，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握二次根式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行二次根式的运算。
2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，学生能够掌握二次根式的化简方法，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生能够积极主动地参与数学学习。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减乘除运算规则。
2.难点：二次根式的化简方法。
五. 教学方法采用讲解法、引导法、练习法进行教学。
通过实例分析，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则，通过练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式运算的教学课件，用于辅助教学。
2.练习题：准备一些有关二次根式运算的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。
例如：一个正方形的对角线长为8cm，求这个正方形的面积。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算规则，并通过实例进行分析。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些变式练习，巩固学生对二次根式运算规则的理解。
5.拓展（5分钟）讲解二次根式的化简方法，并进行一些化简练习。
北师版八上数学2.7 二次根式(第二课时)(课件)
1
1
3 ＋（6－ － ）×
2
2
3
3 ＋5 2 .
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数学 八年级上册 BS版
③原式＝2 ab
5
＝
2
3 －
2
3 ＋ ab
3 ＝（2 ab － ＋ ab ）
2
3
3 .
【点拨】关于二次根式的运算，关键是正确理解二次根式、最
简二次根式和同类二次根式的概念及加减乘除的运算法则，并
（2）两个二次根式相除，把被开方数 相除 ，根指数 不
变 ，即
＝
（ a ≥0， b ＞0）.
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数学 八年级上册 BS版
2. 同类二次根式.
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果
被开方数
相
同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
3. 二次根式相加减的步骤.
（1）将各个二次根式化成最简二次根式；
③ 40 －
2
＋2
5
0.1 ；④2 12 －4
1
＋3
27
48 .
【思路导航】①②利用二次根式的乘除法计算即可；③④先将
各个二次根式化成最简二次根式，再利用二次根式的加减法法
则合并同类二次根式即可.
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数学 八年级上册 BS版
解：①原式＝3×（－2）× 5 × 10 ＝－6 25 × 2 ＝－6×5 2
2× 6
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数学 八年级上册 BS版
解：（1）原式＝ 12 × 3 ＝ 36 ＝6.
（2）原式＝ 125 ×
（3）原式＝
2
÷
3
2.7.2二次根式(第2课时)
2 2 25 10 （3） 5 5 5 5 5
．
二次根式也可以进行加减运算，这 时，以前学过的实数运算法则、运算律 仍然适用。如果运算结果中出现某些项， 它们化简后被开方数相同，那么应将这 些项合并。
解： （ 1 ） 3 2 2 3 3 2 2 3 6 6
（2）12 3 5 12 3 5 6 5 1
知识小结
（1）一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽 方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式 . （2）公式
a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0） b b
从左往右或从右往左在化简中能灵活运用．
课堂检测
• 课本随堂练习：第1题的8个小题
作业：习题 2.10 补充作业：
2 2 3 4 3 4 3 4 3 8 3 ；
化简： （1） 128 ; （2） 9000 ；（3）2 12 48 ；
2 1 3 2 （4） 50 32 ； （5） 3 20 45 ；（6） ． 9 5 2 3 2 2 解： 50 32 （4） 25 2 16 2 9 9
还记得吗?
a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0）． b b
新的用法!
（a≥0，b≥0）， a b a b
a a （a≥0，b＞0）． b b
练一练
例3 计算：
2 解： （ 1 ）6 3
2 6 4 2 3 6 3 63 63 （2） 93 2 2 2
2 （ 13） 32
13 9 4
解：（ 1 ）（ 48 3） 16 3 3 16 3 3 4 3 3 5 3 1 5 4 （2） 5 5 5 5 5 5
校八年级数学上册2.7二次根式（第2课时）教案（新版）北师大版
校八年级数学上册2.7二次根式（第2课时）教案（新版）北师大版2.7．二次根式一．教学目标：1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。
2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题．通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．4.在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法．根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点．二、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识巩固；第三环节：问题解决；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置.第一环节：复习引入内容：（1）最简二次根式的概念；（2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？（3）上节课课后作业：若，，，求．你是怎样解决的？第二环节：知识巩固1.巩固提升例1 计算：（1）；（2）；（3）．解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝；（3）＝＝＝＝＝＝．注意：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见．2.交流收集第（3）小题有多少种解决方法．让学生说说想法．3.反思以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？4.练习化简：（1）；（2）；（3）．解：（1）＝＝＝；（2）＝＝＝；（3）＝＝＝＝＝＝10．第三环节：问题解决如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积，你有哪些方法，与同伴交流．1.交流让学生充分发表意见．2.答案（1）直接求法．过点D作AB边上的高DE，可发现边AB，DC及DE都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得AB＝， CD＝，DE＝，面积梯形ABCD的面积是＝18.（2）间接求法．将梯形ABCD补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD的面积是＝18．第四环节：知识提升1.知识探索问题：（）等于多少？根据算术平方根的定义，可知（）．2.知识运用例5 化简：（1）（，）；（2）（）；（3）（，）．解：（1）＝＝＝；（2）＝＝；（3）＝＝＝．3.课堂练习1.当，时化简：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝；（3）＝＝＝＝；（4）＝＝＝＝＝＝＝．2. 求代数式的值，其中，．解：由题知，．＝＝＝＝．当，时，＝．第五环节：课堂小结（1）二次根式的化简：二次根式的化简一定要化成最简二次根式．（2）利用式子（）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．第六环节：课后作业习题 2．11 1， 3补充作业：化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．五、教学反思拓展练习1．长方形的长和宽分别为，，这个长方形的面积是．2．三角形的三边长分别是，，，这个三角形的周长是．3．直角三角形的两直角边分别是，，这个直角三角形的斜边是．4．已知，，求的值．5．化简．6．解下列方程：（1）；（2）．7．化简：（1）；（2）。
2.7.2二次根式第2课时
32 16 2 16 2 4 2
2 23 6 3 33 3
2、计算（1） 10 27（2） 15 12 2 45
解（1）：方法1： 10 27 10 27 10 3 32 3 30
方法2： 10 27 10 3 3 3 30
解（2）：方法1：15 12 2 45 15 12 45 15 22 3532
2 45 45
2 45
15 2 3 15 15 2 45
方法2：15 12 2 45 15 2 3 5 3 15
23 5 5
课堂小结：
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数中的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3）分母中不含根号。
8
9
42 3
4 3
2
2 3
2
ห้องสมุดไป่ตู้
22 3
；
（5） 125
125
25 5
25
5 5
5 5
5 ．
16 16
4
4
4
4
根号里面的数有一部分移到了根号 外面， 具体来说是能开得尽方的因数，开 方后写到了根号外面
• 被开方数若有开得尽的因数，必须进行 化简
• 被开方数含有分母，需化简，使被开方 数不含分母
练一练
化简：(1) 45 ；（2） 27 ；（3） 54 ；（4） 8 ；（5） 125 ．
9
16
解：（1） 45 = 9 5= 9 5= 3 5 = 3 5 ；
（2） 27 9 3 9 3 3 3 3 3 ； （3） 54 9 6 9 6 3 6 3 6 ；
2.7 二次根式(第2课时)
B．4
C． 10
D．2 2
2. 一个长方形的长和宽分别为 10和 2 2 ，则这个长方
形的面积为___4___5___．
课堂检测
基础巩固题
2.7 二次根式
1.化简 18 2 的结果是（ B ）
A．9
B．3
C．3 2 D．2 3
2.下面计算结果正确的是 ( D )
A. 4 5 2 5 8 5
C. 4 3 3 2 7 5
（6）（ 15+ 20） 5 =___3_+_2_
课堂检测
基础巩固题
2.7 二次根式
4. 计算：
（1） 18- 1 2
（2） 18 + 32- 1 50
3
5
解：（1）原式= 9 2- 1 =3 2- 2 = 5 2
2
22
（2）原式= 9 2 + 16 2- 1 25 2 = 3 2 +4 2- 1 5 2
2.7 二次根式
二次根
整式加
式性质 分配律 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则. 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
连接中考
2.7 二次根式
1. 2 8 ＝（ B ）
A．4 2
文字叙述: 算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除
以单项式法则，易得 m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
探究新知
2.7 二次根式
素养考点 1 利用二次根式的除法进行计算
2.7.2二次根式第2课时
布置作业： 课本P45 习题 2.10 第1题
补充练习：
1.化简：（1） 128 ；（2） 9000 ；（3） 2 12 48 ；
（4） 2 9
50
32
（；5）3
20
45
1 ；（6） 5
3 2
2 3
．
2.化简：（1） 2 10 3 30 ;（2） 5 1 ；
16
（3） 8 18 ; （4）3 6(3 2 15) ； （5） (5 6)(5 2 2 3) ．
忆一忆
1、二次根式的概念 2、怎样化简为最简二次根式？
48, 18 , 1 . 25 45
还记得吗?二次根式的性质：
a b a b（a≥0，b≥0），
a a（a≥0，b＞0）． bb
新的用法!
a b a b（a≥0，b≥0），
a
a
（a≥0，b＞0）．
bb
练一练
例3 计算：
（1） 6 2 ; （2） 6 3 ; （3）
例4 计算：
2
(1)3 2 2 3; (2) 12 3 5; (3) 5 1 ;
(4) 13 3 13 3 ;
(5) 12
1 3
3;
8 18
(6)
.
2
解 ： （1）3 2 2 3 3 2 2 3 6 6
乘法交换律
乘法法则
（2） 12 3 5 12 3 5 36 5 6 5 1
2
22
分配律、除法法则
巧用运算法则、律，能简化运算过程，提高速度。
随堂练习
1、计算：
(3) 1 32 3;
2
(4) 2 3 1 ;
(5)
27
1 3
北师大版八年级数学上册2.7 二次根式 第2课时 二次根式的四则运算
＋ 2
1 4＋
＋…＋ 3
1 100＋
； 99
(2)若 a＝ 21－1，求 4a2－8a＋1 的值．
解：(1)原式＝9.
(2)因为 a＝
21－1＝（
2＋1
＝
2－1）（ 2＋1）
2＋1，
所以 a－1＝ 2.所以(a－1)2＝2，即 a2－2a＋1＝2.所以
a2－2a＝1.所以 4a2－8a＋1＝4(a2－2a)＋1＝4×1＋1＝
2
形的面积为 S＝ p（p－a）（p－b）（p－c）.如图，在
△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别记为 a，b，c，
若 a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC 的面积为( A )
A．6 6
B．6 3
C．18
D.129
15.
小明在解决问题：已知 a＝2＋1
，求 2a2－8a 3
＋1 的值，他是这样分析与解答的：
5.
3. 计算：
(1) 3× 15；(2) 6× 12；
(3) 14；(4)3 42. 6 56
解：(1)原式＝3 5；
(2)原式＝6 2；
(3)原式＝
21； 3
(4)原式＝35 7.
知识点 二次根式的加减
4. (中考·兰州)计算： 12－ 3＝( A )
A. 3
B．2 3
C．3
D．4 3
5. 计算 4 12＋3 A. 3＋ 2 C. 3
A. 18－
8＝7 93
2
B. 2＋2＝2 2
3
3
C. 8＋ 18＝ 4＋ 9＝5 2
D.
1 3＋
＝ 2
3－
2
9. 下列说法正确的有( D )
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(3)2 12 48
1 3 2 (5)3 20 45 (6) 5 2 3
解:
(1) 128 64 2 64 2 8 2
(2) 9000 900 10 900 10
30 10 30 10
(3)2 12 48 2 4 3 16 3 2 4 3 16 3
问题:
下面正方形的边长分别是多少？
面积8
面积2
边长 8
边长 2
82 2
8 根据什么法则化成 2 2 ?
还记得吗?
a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0）． b b
新的用法!
（a≥0，b≥0）， a b a b
a a （a≥0，b＞0）． b b
6 5 6 3 6达 标1. Nhomakorabea算： ①
21 7 3
②
27 3 4
4 3 9 3 2 8
③ (1 5 )( 5 2) ④ ①7 ② 5
③ 3 5 ④ 1
知识小结 (1) 一般地，被开方数不含分母，也不 含能开得尽方的因数或因式，这样的二次 根式，叫做最简二次根式 .
练一练
例3 （ 1） 计算：
2 6 3
（ 2）
6 3 2
2 （ 3） 5
(1) 2
(2) 3 (3)
10 5
例4 计算： (1) 3 2 2 3 (3) ( 5 1) 2 (2)
12 3 5
(4) ( 13 3)( 13 3)
1 (5) ( 12 ) 3 (6) 3
（2）公式
a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0） b b
从左往右或从右往左在化简中能灵活运用.
拓
展
1.化简：
3 2 2
50 2 2 0.02
2 1
2.化简：
30
3.探索题
2 (1) 2 3 3 ( 2) 3 8 4 ( 3) 4 15
2 ;2 3 3 ;3 8 4 ;4 15
5 根据规律请写出 5 24 再写出两个等式？
；
补充练习：
化简:
(1) 2 10 3 30 (3) 8 18
1 (2) 5 16
(4)3 6 (3 2 15 )
(5)(5 6 )(5 2 2 3 )
9 (1)60 3 , (2) , (3)5 2 , (4)18 3 9 10 , (5)19 2 4
(1) 6 6
(2) 1
8 18 2 (3) 6 2 5
(4) 4
(5) 1
(6) 5
例5 计算：
(1) 48 3
(2)
1 5 5
4 (3) ( 3) 6 3
(1) 5 3
4 5 (2) 5
(3) 5 2
练一练
化简：
(1) 128
(2) 9000
2 (4) 50 32 9
第二章
实数
2.7二次根式（第2课时）
学习目标：
1、掌握并探究二次根式的性质和二次 根式的运算法则。
2、会进行二次根式的简单四则运算。
重点：利用二次根式的运算法则、运
算规律进行运算。
难点：探索二次根式的运算法则和运
算律的推导过程。
忆一忆 算术平方根的概念
若一个正数x的平方等于a，即x2=a， 那么正数 x 叫做 a 的算术平方根．记 作 a . 特别地，规定 0 的算术平方根是 0， 即 0 0 .
2 2 2 4 3 4 3 4 3 8 3
2 2 (4) 50 32 25 2 16 2 9 9
2 2 4 25 2 16 2 5 2 4 2 2 3 3 3
1 (5)3 20 45 3 45 5 5 3 4 5 9 5 6 5 3 25 3 2 6 6 6 (6) 2 3 4 9 2 5 95 25 5 14 5 5 5 5