【数学】辽宁省沈阳市第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试(理)

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2016-2017学年辽宁省沈阳二中高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年辽宁省沈阳二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|x≤2}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[1，2]B．[0，2]C．（1，2]D．[﹣1，0）2．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=25，则a3的值为（）A．2 B．5 C．10 D．153．（5分）已知=（2，1），=（3，m），若⊥（﹣），则|+|等于（）A．3 B．4 C．5 D．94．（5分）下列关于函数y=ln|x|的叙述正确的是（）A．是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数B．是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数C．是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数D．是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与直线y=﹣1所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为（）A． B．C． D．6．（5分）设向量，，满足||=||=1，•=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．B．1 C．2 D．7．（5分）若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．508．（5分）已知函数f（x）=2cos（ωx﹣φ）（ω＞0，φ∈[0，π]）的部分图象如图所示，若A（，），B（，）．则下列说法错误的是（）A．φ=B．函数f（x）的一条对称轴为x=C．为了得到函数y=f（x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象向右平移个单位D．函数f（x）的一个单调减区间为[，]9．（5分）若x、y、z均为正实数，则的最大值为（）A．B．C． D．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）满足：f（+x）=﹣f（﹣x），且f（+x）=f（﹣x），则ω的一个可能取值是（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5分）抛物线C：y2=4x的焦点为F，斜率为k的直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为a（a＞0），n=|MF|+|NF|，则2a﹣n等于（）A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））等于．14．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于．15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（4a﹣3c）cosB=3bcosC，若a，b，c成等差数列，则sinA+sinC=．16．（5分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD上的两点，已知∠CAD=θ，∠CED=2θ，∠CFD=4θ，AE=600，EF=200，则CD=．三、解答题（本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=．（1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；（2）若a=2，2sin2A+sinAsinC=sin2C，求b及c的长．18．（12分）设f（x）=（log2x）2﹣2alog2x+b（x＞0）．当x=时，f（x）有最小值﹣1．（1）求a与b的值；（2）求满足f（x）＜0的x的取值范围．19．（12分）已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）=•的最大值为6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．20．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1=的正整数n的值．21．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，其上下顶点分别为C1，C2，点A（1，0），B（3，2），AC1⊥AC2．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）点P的坐标为（m，n）（m≠3），过点A任意作直线l与椭圆E相交于点M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由．22．（12分）已知x∈（1，+∞），函数f（x）=e x+2ax（a∈R），函数g（x）=|﹣lnx|+lnx，其中e为自然对数的底数．（1）若a=﹣，求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当a∈（2，+∞）时，f′（x﹣1）＞g（x）+a．2016-2017学年辽宁省沈阳二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2016秋•沈河区校级期中）设集合A={x|x≤2}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[1，2]B．[0，2]C．（1，2]D．[﹣1，0）【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中y=，得到，即x＞1，∴B=（1，+∞），∵A=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016秋•沈河区校级期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=25，则a3的值为（）A．2 B．5 C．10 D．15【分析】利用等差数列{a n}的前n项和公式及其性质即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的前n项和公式及其性质：∵S5=25，∴∴=25，∴a3=5．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）（2016秋•沈河区校级期中）已知=（2，1），=（3，m），若⊥（﹣），则|+|等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量的数量积公式列出方程求出m，再根据向量模的定义即可求出．【解答】解：∵=（2，1），=（3，m），∴﹣=（﹣1，1﹣m），∵⊥（﹣），∴•（﹣）=﹣2+1﹣m=0，解得，m=﹣1，∴+=（5，0），∴|+|=5故选：C【点评】本题考查向量垂直的充要条件、向量的数量积公式，向量的模，属于基础题．4．（5分）（2016秋•沈河区校级期中）下列关于函数y=ln|x|的叙述正确的是（）A．是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数B．是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数C．是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数D．是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，∵f（﹣x）=ln|﹣x|=ln|x|=f（x），∴函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=lnx为增函数，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性的定义以及对数函数的大小的性质是解决本题的关键．比较基础．5．（5分）（2016秋•沈河区校级期中）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与直线y=﹣1所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为（）A． B．C． D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，令y=﹣1可得两交点的横坐标，再由三角形的面积公式可得b=4a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线C：﹣=1的两条渐近线方程为y=±x，令y=﹣1可得x=±，由渐近线与直线y=﹣1所围成的三角形的面积为4，可得•1•=4，即有b=4a，则c==a，即有e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程，同时考查三角形的面积的计算，属于基础题．6．（5分）（2016春•梁园区校级期末）设向量，，满足||=||=1，•=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．B．1 C．2 D．【分析】由已知利用向量的数量积求出的夹角，利用向量的运算法则作出图形，结合图形可知O，B，C，A四点共圆．通过正弦定理求出外接圆的直径，求出||最大值．【解答】解：∵，且=，∴的夹角为120°，设，则，如图所示，则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠AOC=180°∴A，O，B，C四点共圆，∵，∴=3，∴||=．由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=，当OC为直径时，||最大，最大为2．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理等知识，属中档题．7．（5分）（2016•郑州三模）若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC==．区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，不等式与平面区域，作出平面区域计算两区域的公共面积是解题关键．8．（5分）（2016秋•沈河区校级期中）已知函数f（x）=2cos（ωx﹣φ）（ω＞0，φ∈[0，π]）的部分图象如图所示，若A（，），B（，）．则下列说法错误的是（）A．φ=B．函数f（x）的一条对称轴为x=C．为了得到函数y=f（x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象向右平移个单位D．函数f（x）的一个单调减区间为[，]【分析】观察函数图形，求得周期T=π，ω=2，将点A代入，求得φ，求出函数的解析式，再求函数的对称轴和单调递减区间．【解答】解：对于A：由函数图形T=丨﹣丨=π，，∴ω=2，将A点（，）代入f（x）=2cos（2x﹣φ），∴=2cos（π﹣φ），cosφ=﹣，φ∈[0，π]），φ=，故A正确；f（x）=2cos（2x﹣），对于：B，由f（x）=2cos（2x﹣），将x=，求得2﹣=3π，故B正确；C选项，将y=2sin2x向右平移个单位，得y=2sin（2x﹣）=cos（2x﹣）=2cos（2x﹣）=f（x）故C正确；对于D，f（x）=2cos（2x﹣），2x﹣∈[2kπ，2kπ+π]k∈Z，x∈[kπ+，kπ+]k∈Z，∴选项D错误，故答案选：D．【点评】本题考查求正弦函数解析式，对称轴、单调区间及函数图象变换，属于中档题．9．（5分）（2010秋•皇姑区校级期末）若x、y、z均为正实数，则的最大值为（）A．B．C． D．【分析】法1、根据题意，设出函数的最大值，列出不等式恒成立；将不等式变形，经过配方，要是不等式恒成立，需要，求出a的范围，其倒数为最大值的范围．法2、利用基本不等式对进行化简，注意对原式进行配凑为．【解答】解：法1、设恒成立，此不等式可化为x2+y2+z2﹣axy﹣ayz≥0即恒成立由于，故于是有≤故恒成立．法2、===，当且仅当当且仅当x=z=y，等号成立，∴的最大值为故选A【点评】本题考查将函数的最值问题转化为不等式恒成立问题，体现了转化的数学思想、同时考查对二次函数配方的处理方法以及运算能力．属难题10．（5分）（2016春•信阳期末）函数f（x）=Asin（ωx+φ）满足：f（+x）=﹣f（﹣x），且f（+x）=f（﹣x），则ω的一个可能取值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据题意，得出函数f（x）的图象关于（，0）对称，也关于x=对称；由此求出函数的周期T的可能取值，从而得出ω的可能取值．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）满足：f（+x）=﹣f（﹣x），所以函数f（x）的图象关于（，0）对称，又f（+x）=f（﹣x），所以函数f（x）的图象关于x=对称；所以=﹣=，k∈Z，所以T=，即=，解得ω=3（2k﹣1），k∈Z；当k=1时，ω=3，所以ω的一个可能取值是3．故选：B．【点评】本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．11．（5分）（2016秋•沈河区校级期中）抛物线C：y2=4x的焦点为F，斜率为k的直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为a（a＞0），n=|MF|+|NF|，则2a﹣n等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】确定抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，利用n=|MF|+|NF|，由抛物线的定义可得n=x M+1+x N+1=2x0+2，求出线段MN的垂直平分线方程，确定线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标a，即可得出结论．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1．设MN的中点坐标为（x0，y0），则∵n=|MF|+|NF|，∴由抛物线的定义可得n=x M+1+x N+1=2x0+2．线段MN的垂直平分线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0），令y=0，x=ky0+x0=a又由点差法可得y0=，∴ky0=2，∴a=2+x0，∴2a﹣n=2．故选：A．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）（2016秋•沈河区校级期中）已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0【分析】利用导数与函数的单调性关系判断g（x）的单调性求出g（x）在[1，4]上的最大值b，对a进行讨论判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，令f min（x）≥b解出a的范围．【解答】解：g′（x）=﹣3x2+5x+2，令g′（x）=0得x=2或x=﹣．当1≤x＜2时，g′（x）＞0，当2＜x＜4时，g′（x）＜0，∴g（x）在[1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减，∴b=g（2）=0．∴f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，f′（x）=2x﹣a﹣=，令h（x）=2x2﹣ax﹣a，△=a2+8a．（1）若△=a2+8a≤0，即﹣8≤a≤0，则h（x）≥0恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴﹣8≤a≤0．（2）若△=a2+8a＞0，即a＜﹣8或a＞0．令f′（x）=0得h（x）=0，解得x=（舍）或x=．若a＜﹣8，则＜0，则h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴a＜﹣8．若0＜≤1，即0＜a≤1，则h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴0＜a≤1．若＞1，即a＞1时，则1≤x＜时，h（x）＜0，当x＞时，h（x）＞0．∴1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0．∴f（x）在[1，]上单调递减，在（，+∞）上单调递增．此时f min（x）＜f（1）=1﹣a＜0，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016秋•沈河区校级期中）已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））等于2．【分析】利用分段函数的性质先求出f（﹣1）的值，再计算f（f（﹣1））．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=log2（1+1）=1，f（f（﹣1））=f（1）=1﹣3+4=2．故答案为：2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14．（5分）（2015春•肇庆期末）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于4．【分析】由等比数列的性质可得a1•a8=a2•a7=…a4•a5=10，由对数的运算性质，整体代入计算可得．【解答】解：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，∴a4•a5=2×5=10，∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4=4lg（a4•a5）=4lg10=4故答案为：4．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．15．（5分）（2016秋•沈河区校级期中）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（4a﹣3c）cosB=3bcosC，若a，b，c成等差数列，则sinA+sinC=．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得4sinAcosB=3sinA，结合sinA≠0，可得：cosB=，从而可求sinB，由2b=a+c，利用正弦定理即可计算得解．【解答】解：在△ABC中，∵（4a﹣3c）cosB=3bcosC，∴4sinAcosB﹣3sinCcosB=3sinBcosC，可得：4sinAcosB=3sin（B+C）=3sinA，∵sinA≠0，可得：cosB=，∴sinB==，∵a，b，c成等差数列，2b=a+c，∴2sinB=sinA+sinC=2×=．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．（5分）（2016秋•沈河区校级期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD上的两点，已知∠CAD=θ，∠CED=2θ，∠CFD=4θ，AE=600，EF=200，则CD=300．【分析】设DF=m，CD=n，则由题意，tanθ=，tan2θ=，tan4θ=，即可求出CD．【解答】解：设DF=m，CD=n，则由题意，tanθ=，tan2θ=，tan4θ=，利用二倍角正切公式，代入计算解得θ=15°，m=100，n=300．故答案为：300．【点评】本题考查二倍角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2016秋•沈河区校级期中）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=．（1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；（2）若a=2，2sin2A+sinAsinC=sin2C，求b及c的长．【分析】（1）利用基本不等式得出ab的最大值，得出面积的最大值；（2）利用正弦定理得出a，c的关系，列方程解出c，使用正弦定理解得sinA，利用余弦定理解出b．【解答】解：（1）∵a+b=5，∴ab≤（）2=．∴S△ABC=sinC=≤=．（2）∵2sin2A+sinAsinC=sin2C，∴2a2+ac=c2．即8+2c=c2，解得c=4．由正弦定理得，即，解得sinA=．∴cosA=．由余弦定理得cosA==．即．解得b=．【点评】本题考查了基本不等式，正余弦定理，属于中档题．18．（12分）（2016秋•沈河区校级期中）设f（x）=（log2x）2﹣2alog2x+b（x＞0）．当x=时，f（x）有最小值﹣1．（1）求a与b的值；（2）求满足f（x）＜0的x的取值范围．【分析】（1）利用配方法，结合x=时，f（x）有最小值﹣1，建立方程组，即可求a与b的值；（2）f（x）＜0即（log2x）2+4log2x+3＜0，即可求出x的范围．【解答】解：（1）f（x）=（log2x）2﹣2alog2x+b=+b﹣a2（x＞0），当x=时，f（x）有最小值﹣1，∴，解得：；（2）由（1）得：f（x）=（log2x）2+4log2x+3，f（x）＜0即（log2x+3）（log2x+1）＜0，解得：＜x＜．【点评】本题考查函数的最值，考查学生解不等式的能力，确定函数的解析式是关键．19．（12分）（2012•山东）已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）=•的最大值为6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求A；（Ⅱ）通过函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x）的表达式，通过x∈[0，]求出函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=•=Asinxcosx+cos2x=Asin2x+cos2x=A（sin2x+cos2x）=Asin（2x+）．因为A＞0，由题意可知A=6．（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+）．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后得到，y=6sin[2（x+）+]=6sin（2x+）的图象．再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=6sin（4x+）的图象．因此g（x）=6sin（4x+）．因为x∈[0，]，所以4x+∈[，]，4x+=时取得最大值6，4x+=时函数取得最小值﹣3．故g（x）在[0，]上的值域为[﹣3，6]．【点评】本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力．20．（12分）（2016秋•沈河区校级期中）已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1=的正整数n的值．【分析】（1）由a2+1，a4+1，a8+1成等比数列，建立关于d的方程，解出d，即可求数列{a n}的通项公式；（2）表示出b n，利用裂项相消法求出b1b2+b2b3+…+b n b n+1，建立关于n的方程，求解即可【解答】解：（1）设公差为为d，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列，∴（a4+1）2=（a2+1）（a8+1），∴（3d+3）2=（3+d）（3+7d），解得d=3，∴a n=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1；（2）∵数列{b n}满足b n=，∴b n=，∴b n b n+1=•=3（﹣）∴b1b2+b2b3+…+b n b n+1=3（﹣+﹣+••+﹣）=3（﹣）=，即=，解得n=10，故正整数n的值为10．【点评】本题考查等比数列和等差数列的概念与性质，以及裂项相消法求和，属于中档题21．（12分）（2016秋•沈河区校级期中）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，其上下顶点分别为C1，C2，点A（1，0），B（3，2），AC1⊥AC2．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）点P的坐标为（m，n）（m≠3），过点A任意作直线l与椭圆E相交于点M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由．【分析】（1）由AC1⊥AC2，可得•=1﹣b2=0，又2c=2，a2=b2+c2，即可得出．（2）m，n之间满足数量关系m=n+1．下面给出证明：①当取M，N时，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列即可证明．②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=x．M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（t2+3）y2+2ty﹣2=0，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列、根与系数的关系化简即可证明．【解答】解：（1）∵AC1⊥AC2，C1（0，b），C2（0，﹣b），A（1，0），∴•=1﹣b2=0，∴b2=1．∵2c=2，解得c=，∴a2=b2+c2=3．∴椭圆E的方程为=1．离心率e===．（2）m，n之间满足数量关系m=n+1．下面给出证明：①当取M，N时，k MB=，k BP=，k NB=，∵直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，∴2×=+，化为：m=n+1．②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=x．M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（t2+3）y2+2ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=．k MB=，k BP=，k NB=，∵直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，∴2×=+，由于+===2，∴=1，化为：m=n+1．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）（2016秋•沈河区校级期中）已知x∈（1，+∞），函数f（x）=e x+2ax（a∈R），函数g（x）=|﹣lnx|+lnx，其中e为自然对数的底数．（1）若a=﹣，求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当a∈（2，+∞）时，f′（x﹣1）＞g（x）+a．【分析】（1）把a=﹣代入函数解析式，求出函数的导函数由导函数的符号求得函数的单调区间；（2）求出f′（x﹣1）的表达式以及g（x）的分段函数，通过讨论1＜x＜e和x≥e的范围分别证明得答案．【解答】解：（1）当a=﹣，f（x）=e x﹣e2x，x∈（1，+∞），f′（x）=e x﹣e2，当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增；证明：（2）x∈（1，+∞），f′（x﹣1）=e x﹣1+2a，g（x）=|﹣lnx|+lnx=，①1＜x＜e时，证明当a∈（2，+∞）时，f′（x﹣1）＞g（x）+a，即证明：e x﹣1+2a＞+a，a＞2，即a＞﹣e x﹣1，只需证明h（x）=﹣e x﹣1≤2在（1，e）恒成立即可，h′（x）=﹣﹣e x﹣1＜0，h（x）在（1，e）递减，h（x）最大值=h（1）=e﹣1＜2，∴a＞﹣e x﹣1，∴1＜x＜e时，当a∈（2，+∞）时，f′（x﹣1）＞g（x）+a；②x≥e时，证明当a∈（2，+∞）时，f′（x﹣1）＞g（x）+a，即证明：e x﹣1+2a＞2lnx﹣+a，a＞2，令m（x）=e x﹣1﹣2lnx++a，（a＞0，x≥e），m′（x）=﹣﹣+e x﹣1，显然m′（x）在[e，+∞）递增，而m′（e）=≈0，m′（3）≈6，近似看成m（x）在[e，+∞）递增，∴m（x）＞m（x0）≈m（e）=e e﹣1+a﹣1＞e e﹣1+1＞0，综上，当a∈（2，+∞）时，f′（x﹣1）＞g（x）+a．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，是压轴题．。

辽宁省沈阳二中2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理科) 含答案

沈阳二中2015——2016学年度高二（17届）下学期期中考试数学（理科)试卷命题:高二数学备课组说明：1、测试时间:120分钟总分：150分2、客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷(60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．已知集合,，则（）A． B．C．D．2．函数的定义域是（）A．B．C．D．3．如果函数上是单调递增的，则实数a的取值范围是（)A．B．C．D．4．已知,“”是“函数的图像恒在轴上方”的（)A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件5．以下区间中，一定存在函数的零点的是（）A．[-1，0] B．[0,1] C．[1，2］D．[2，3]6．设,则使是奇函数且在上是单调递减的的值的个数是 ( ）A．1 B．2 C．3 D．47．下列各组函数表示同一函数的是( )A。

B.C.D。

8．设,则a,b,c的大小关系是（A)a>c>b （B)a〉b>c （C）c〉a〉b (D）b>c>a9．定义在R上的函数,在(—∞,a)上是增函数，且函数是偶函数，当,且时,有（）A.B。

C。

D.10．已知函数，R，则，,的大小关系为（）A.B。

C。

D.11．是定义在R上的函数,为其导函数，对于任意的,总有，则（）（A）（B)（C)(D）．12．定义在R上的函数且当时，.则等于( )A。

B. C.D.第Ⅱ卷(90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“,”的否定是_________________________.14．计算____________。

15．过点(1，1）作曲线y=x3的切线，则切线方程为___________________________．16．已知函数的最大值是_________。

三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17．（本小题满分10分),命题q:关已知命题p：关于的方程有两个不相等的负根．．于的方程无实根,若为真，为假，求的取值范围。

【全国百强校】辽宁省沈阳市第二中学2015-2016学年高二12月月考理数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则MN =（）A ． (1,2)B ． [1,2)C ． (1,2]D ．[1,2] 【答案】C 【解析】试题分析：集合{|1}M x x =>，{|22}N x x =-≤≤，所以{|12}M N x x ⋂=<≤，故选C. 考点：集合的运算.2.复数)()2(2为虚数单位i ii z -=，则=||z （）A ．25B ．C ．5D ．【答案】C 【解析】试题分析：先化简复数244134(34)43i i i iz i i i i----====--，所以||5z ==. 考点：复数的运算.3.已知2log 3log a =+2log 9log b =-，3log 2c =，则的大小关系是（）A ． a b c =<B ．a b c =>C ．a b c <<D ． a b c >> 【答案】B考点：1、对数式的运算；2、对数式的比较大小.【方法点睛】纵观历年数学高考试题，几乎每套题都有指数式和对数式大小比较的客观题目，结合近年来的数学高考试题，总结归纳指数式和对数式比较大小的六种解题方法.（1）单调函数法同底的指数式和对数式比较大小，就是利用指数函数和对数函数的单调性来比较；（2）中间桥梁法底不同的指数式和对数式比较大小，如果不能直接利用指数函数和对数函数的单调性来比较，可利用特殊数值（如0 或1）作为中间桥梁，进而可比较出大小；（3）特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题，可在这个区间上取满足条件的特殊值，代入后通过计算简化或避免复杂的变形与讨论，使问题简捷获解；（4）估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段，准确、迅速地选出答案；（5）数形结合法画出指数函数和对数函数的图象，利用直观的图象往往能得到更简捷的解法. 特征构造法对于含有几何背景的指数式和对数式的大小问题，可根据题目特点，构造函数或利用其他几何特征进行解题. 4.已知直线l 、m ，平面α，且m ⊂α，则l ∥m 是l ∥α的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件. 5.已知A 、B 、C 是圆O ： x 2＋y 2＝r 2上三点，且，则等于（）A ．0 B.12 C.32 D ．－32【答案】A 【解析】试题分析：由A B C ，，是圆222x y r ＋＝上不同的三个点，可得 ||||||OA OB OC r ===，又由OA OB OC +=及加法的平行四边形法则得平行四边形C OA B 为菱形，则其对角线互相垂直，即AB OC ⊥，所以0AB OC =.考点：平面向量的运算法则.6.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1 的解集为（）A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1}【答案】A考点：1、求导法则；2、导数在解决函数性质中的应用(单调性).7.函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 【答案】C 【解析】试题分析：求得函数的导数()'1f x =，函数()f x x =-在[]1,4x ∈上单调递减，()'0f x ∴≤即10-≤，对任意的[]1,4x ∈成立，a ∴≥对任意的[]1,4x ∈成立，得a 4≥，因此a 的最小值是4，故选C.考点：函数的单调性与导数的关系.8.已知等比数列{a n }的公比q ＝2，它的前9项的平均值等于5113，若从中去掉一项a m ，剩下的8项的平均值等于14378，则m 等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：数列{}n a 前9项的和为9511915333S ⨯＝＝，即91(12)153312a -=-，解得13a ＝.又知 914378968m a S ⨯＝－＝，而132m m a -=，即13296m -=，解得6m =. 考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前n 项和公式.9.存在两条直线x ＝±m 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于A 、B 、C 、D 四点，若四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞) 【答案】C考点：双曲线的简单性质.10.已知数列{}n a 的各项均为正数，如图给出程序框图，当5k ＝时，输出的511S ＝，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．21n a n ＝－B ． 2n a n ＝C ．21n a n ＝＋D ．23n a n ＝－【答案】A考点：1、程序框图；2、数列求和（裂项相消法）.11.若抛物线24y x ＝的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 和()4,4M 且与l 相切的圆共有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】试题分析：抛物线2y =4x 的参数p=2，所以()1,0F ，准线x=-1，即x+1=0，设经过点()()441,0F M ，、，且与直线l 相切的圆的圆心为()a Q ，b ，则半径为到l 的距离为1+a ，所以圆的方程为()()()222+y-b 1x a a -=+，将M 、F 的坐标代入得：()()()2224-a +4-b =1+a ①，()()2221-a 1b a +=+②，由①②得：2b -8b+1=10a ，③，2b =4a ，④，由③④得：23b +16b-2=0，解得：21b b =，将12b b ， ④分别代入得1a 2a ，故圆的个数为2个.考点：抛物线的简单性质.【思路点睛】根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线的方程，设出所求圆的圆心，表示出半径，则圆的方程可得，把M ，F 点的坐标代入整理求得圆心坐标，则圆的方程可求，有几个解就有几个圆．12.已知双曲线221916x y -=，过其右焦点F 的直线交双曲线于,P Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则MF PQ的值为（）A ．53 B ．56 C ．54 D ．58【答案】B而PQ PF QF |=+，P 到其同侧准线的距离1d 为：19x 5-，Q 到同侧准线的距离2d 为：29x 5-，由双曲线的定义可知：12PF QF 5e d d 3===，所以12518PQ PF QF x x 35⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以MP 5PQ 6=.考点：双曲线的几何性质.【方法点睛】在高考中圆锥曲线这一章的是必考的一个知识点，一般至少一小一大，考查的主要是它们的标准方程以及直线与它们相交的有关问题，考虑到直线与双曲线相交的问题比较复杂，所以高考一般常以椭圆或抛物线为大题的考查背景，那么双曲线自然就成了小题中考查的主要题型，一般也是压轴性客观题，内容仍然是双曲线的标准方程中三个量之间的关系的相互转化，离心率与渐近线方程，直线与双曲线相交的问题．考试时同时注意是否有更方便快捷的方法．本题考查了过焦点的直线与双曲线相交的情形，题中是求MF PQ的值，所以需要求出MF 和PQ |的值，要求MF 的长，需要求出M 的坐标，而M 是PQ 的垂直平分线交与x 轴的交点，所以需要求出PQ 的垂直平分线的方程，这需要借助直线PQ 的方程，所以本题应该从设PQ 的方程开始．对于PQ 可以借助双曲线的第二定义求得．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．【答案】2 【解析】试题分析：∵2m x 1x x --（）＞的解集为{x |1x 2}＜＜，∴1，2是方程式2m x 1x x -=-（）的两个根，将x 2=代入得m 2=，故答案为：2. 考点：一元二次不等式及其解法. 14.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a t ＝7at，(a 、t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、t 的值，a ＋t ＝________. 【答案】55 【解析】则a=n ，2t=a -1，2a+t=n +n 1∴-，故答案为27+7-1=55.考点：归纳推理.【方法点睛】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，在做本题中要弄清楚当n 变化时，对应的式子所出现的规律，可以得到对应的通式，从而将n=7代入即可．15.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．【答案】(1考点：1、导数与函数的单调性的关系；2、函数的单调性；3、函数的奇偶性；4、解不等式.【思路点睛】本题主要考察导数在研究函数性质的应用，以及函数的性质．做好本题首先要清楚在某个区间内，若函数的导数值始终大于0，则函数在该区间上为增函数，反之为减函数。

辽宁省沈阳二中高二数学上学期期中试题文

沈阳二中2015——2016学年度上学期期中考试高二（17届）数学（文科）试题说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1|≤-=a x x A ，{}045|2≥+-=x x x B ，若φ=B A ,则实数a 的取值范围是（）[]3,2.A ()3,2.B .[2,)C +∞ .(,3]D -∞2.设R a ∈,则“1=a ”是“直线012:1=-+y ax l 与直线04)1(:2=+++y a x l 平行”的（）A ．必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．()x f 在0x 处可导,a 为常数,则()()=∆∆--∆+→∆xx a x f x a x f x 000lim（）A ．()0'x fB . ()0'2x afC ．()0'x afD ． 04.已知实数y x ,满足()10<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是（）33.y x A > y x B sin sin .> ()()1ln 1ln .22+>+y x C 1111.22+>+y x D5.如果执行如图所示的程序，那么输出的值k =（） A.3 B.4 C.5 D.66.若函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －a 恰好有两个不同零点，则a 可能为( )A ．4B ．6C ．7D ．8 7.若定义在区间（-2，-1）的函数)2(log )()32(+=-x x f a 满足0)(<x f ，则实数a 的取值范围（）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,23.A ()+∞,2.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,23.C ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1.D 5题图8. 下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确．．．．．的序号是( )A．①② B．③④ C．①③ D．②④9.设等差数列{}n a的前n项和为n S,若1≤5a≤4，2≤6a≤3，则6S的取值范围是( )A.[]3,33- B.[]15,39- C.[]12,42- D.[]15,42-10.抛物线)0(21:21>=pxpyC的焦点与双曲线222:13xC y-=的右焦点的连线交1C于第一象限的点M,若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近线,则p=（）A．163B．83C．332D．33411. ()xf是定义在()∞+，0上的非负可导函数，且满足()()0'≤-xfxxf，对任意正数baba<若,,，则必有（）()abfbafA≤)(.()bafabfB≤)(.()bbfaafC≤)(.()aafbbfD≤)(.12.下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则 ( ) A．e1＞e2＞e3B． e1＜e2＜e3C． e1＝e3＜e2D．e1＝e3＞e2第Ⅱ卷（90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知方程221xym+=表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为12的椭圆，则m=14.定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上单调递增，则不等式()()213f x f -<的解集为15.已知x x f x x f -+=2'3)32()(，则)(x f 的图像在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛32,32f 处的切线斜率是 16.已知()()12212,,,)1()(,)(x g x f R x x a x x g xe x f x ≤∈∃++-==使得若成立，则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()x kx x x k x f 2322342+--=，是否存在实数k ，使函数在()2,1上递减，在()+∞,2上递增？若存在，求出所有k 值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分12分）设锐角三角形ABC 的内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a A b a sin 2= （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求C A sin cos +的取值范围。

辽宁省沈阳二中2015-2016学年高二上学期期中化学试卷含解析

2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中化学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题意）1．下列说法正确的是（）A．CO(g）的燃烧热为283.0 kJ•mol﹣1，则2CO2(g）═2CO（g)+O2(g)反应的△H=2×(﹣283。

0）kJ•mol﹣1B．含20.0g NaOH的稀溶液与稀盐酸完全中和，放出28。

7 kJ的热量，则该反应中和热的热化学方程式为:NaOH（aq）+HCl(aq)═NaCl(aq）+H2O（l）；△H=﹣57。

4 kJ/mol C．FeSO4、Na2CO3、FeCl3、Mg（NO3）2溶液加热蒸发结晶都得不到相应的溶质D．由△G=△H﹣T△S可知，△H＞0且△S＜0的反应肯定不能发生2．化学反应4A（s)+3B（g）⇌2C（g）+D(g）,经2min，B的浓度减少0。

6mol/L．对此反应速率的表示正确的是(）A．用A表示的反应速率是0.4 mol•(L•min）﹣1B．分别用B、C、D表示的反应速率其比值是3：2：1C．2 min末的反应速率用B表示是0。

3 mol•（L•min）﹣1D．2 min内，v正（B）和v逆（C）表示的反应速率的值都是逐渐减小的3．在两个恒温、恒容的密闭容器中进行下列两个可逆反应:（甲)2X（g）⇌Y（g）(乙）A （s）+2B（g）⇌C（g）+D（g），当下列物理量不再发生变化时，其中能表明（甲)、（乙）达到化学平衡状态有（）①混合气体的密度②反应容器中生成物的百分含量③反应物的消耗速率与生成物的消耗速率之比等于系数之比④混合气体的压强⑤混合气体的平均相对分子质量⑥混合气体的总物质的量．A．①②③⑤B．①③⑤⑥C．②③⑤ D．②③④4．将一定量A、B装入容积为1L的恒温密闭容器中,发生反应：2A（g）+m B（g）⇌n C （g）,1min时达到平衡，C的浓度为x mol/L．若保持温度不变，将密闭容器的容积压缩为原来的1/2，达到新的平衡时C的浓度为1。

【全国百强校】辽宁省沈阳市第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试物理试题(原卷版)

辽宁省沈阳市第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试物理试题一．选择题（本题共48分，每小题4分，第5、6、9题为多选题）1．如图所示，三条长直导线都通以垂直纸面向外的电流，且I 1=I 2=I 3，则距三条导线等距离的A 点处磁场方向为（）A ．向上B ．向右C ．向左D ．向下2．如图所示，一弓形线圈通以逆时针方向的电流，在其圆弧的圆心处，垂直于纸面放置一直导线，当直导线通有指向纸内的电流时，线圈将（）A ．a 端向纸内、b 端向纸外转动，且靠近导线B ．a 端向纸内、b 端向纸外转动，且远离导线C ．a 端向纸外、b 端向纸内转动，且靠近导线粒子从a 点沿ab 方向射入磁场，也经时间t 飞出磁场，则其速度大小为（）A ．v 21 B ．v 32 C ．v 23 D ．v 235．（多选题）如图所示，带异种电荷的粒子a 、b 以相同的动能同时从O 点射入宽度为d 的有界匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，且同时到达与O 点在同一水平面的P 点．则a 、b 两粒子的质量之比和电量之比分别为（）A ． 4:3B ．3:4C ．3:2D ．2:36．（多选题）如图所示，以直角三角形AOC 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B ，∠A=60°， AO=L ，在O 点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子（不计重力作用），粒子的比荷为 m q ，发射速度大小都为v 0，且满足mqBL v 0．粒子发射方向与OC 边的夹角为θ，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是（）A ．粒子有可能打到A 点B ．以θ=60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短C ．以θ＜30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等D ．在AC 边界上只有一半区域有粒子射出7．如图所示，一粒子源位于一边长为a 的正三角形ABC 的中点O 处，可以在三角形所在的平面内向各个方向发射出速度大小为v 、质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，整个三角形位于垂直于△ABC 的匀强磁场中，若使任意方向射出的带电粒子均不能射出三角形区域，则磁感应强度的最小值为（）A ．qa mvB ．qa mv 2C ．qa mv 32D ．qa mv 34 8．如图所示.它的核心部分是两个D 形金属盒，两盒相距很近，分别和高频交流电源相连接，两盒间的窄缝中形成匀强电场，使带电粒子每次通过窄缝都得到加速．两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，带电粒子在磁场中做圆周运动，通过两盒间的窄缝时反复被加速，直到达到最大圆周半径时通过特殊装置被引出．如果用同一回旋加速器分别加速氚核（H 31）和α粒子（e H 42）比较它们所加的高频交流电源的周期和获得的最大动能的大小，有（）A ．加速氚核的交流电源的周期较大，氚核获得的最大动能也较大B ．加速氚核的交流电源的周期较大，氚核获得的最大动能较小C ．加速氚核的交流电源的周期较小，氚核获得的最大动能也较小D ．加速氚核的交流电源的周期较小，氚核获得的最大动能较大9．（多选题）在一绝缘、粗糙且足够长的水平管道中有一带电量为q 、质量为m 的带电球体，管道半径略大于球体半径．整个管道处于磁感应强度为B 的水平匀强磁场中，磁感应强度方向与管道垂直．现给带电球体一个水平速度v 0，则在整个运动过程中，带电球体克服摩擦力所做的功可能为（）A ．0B ． 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛qB mg mC ．2021mvD ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22021qB mg v m10．如图所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向水平（垂直纸面向里），一带电油滴P 恰好处于静止状态，则下列说法正确的是（）A ．若仅撤去电场，油滴P 可能做匀加速直线运动B ．若仅撤去磁场，油滴P 可能做匀加速直线运动C ．若给油滴P 一初速度，油滴P 不可能做匀速直线运动D ．若给油滴P 一初速度，油滴P 可能做匀速圆周运动11．将等量的正、负电荷分别放在正方形的四个顶点上（如图所示）．O 点为该正方形对角线的交点，直线段AB 通过O 点且垂直于该正方形，OA>OB ，以下对A 、B 两点的电势和场强的判断正确的是（）A ．A 点场强小于B 点场强 B ．A 点场强大于B 点场强C ．A 点电势等于B 点电势D ．A 点电势高于B 点电势12．如图所示，真空中同一平面内MN直线上固定电荷量分别为－9Q和+Q的两个点电荷，两者相距为L，以+Q电荷为圆心，半径为L/2画圆，a、b、c、d是圆周上四点，其中a、b在MN直线上，c、d两点连线垂直于MN，一电荷量为+q的试探电荷在圆周上运动，则下列判断错误的是（）A．电荷+q在a处所受的电场力最大B．电荷+q在a处的电势能最大C．电荷+q在b处的电势能最大D．电荷+q在c、d两处的电势能相等二．填空题（本题共2小题，每空2分，16分）13．在“描绘小电珠的伏安特性曲线”的实验中，用导线a、b、c、d、e、f、g和h按图甲所示方式连接好电路，电路中所有元器件都完好，且电压表和电流表已调零．闭合开关后，发现电压表的示数为2V，电流表的示数为零，小灯泡不亮，则判断断路的导线为；若电压表的示数为零，电流表的示数为0.3A，小灯泡亮，则断路的导线为；若反复调节滑动变阻器，小灯泡亮度发生变化，但电压表、电流表的示数总不能为零，则断路的导线为．14．在电流表扩大量程的实验中，要将量程为200 μA的电流表G改装成量程为0.2A的电流表，需先用如图1所示的电路即“半偏法”测出此电流表的内电阻R g．（1）在测量R g的实验中，滑动变阻器有如下的规格供选择：A．滑动变阻器（阻值范围0～10Ω）B．滑动变阻器（阻值范围0～1500Ω）为了便于实验的调节操作，减小误差，滑动变阻器R滑应选用．（填入选用器材的字母代号）（2）当电阻箱的阻值为R1时，调节滑动变阻器滑动头P的位置，使电流表G满偏；保持滑动头P的位置不动，调整电阻箱接入电路的阻值，当电阻箱的阻值为R2时，电流表G恰好半偏．则电流表G的内电阻R g= ．（3）若测得R g=500Ω，为完成上述改装，需要用一个约为Ω的电阻与电流表并联．（4）用改装成的电流表，按图2所示的电路测量未知电阻R x．若量未知电阻R x时，电压表的示数为1.2V，而改装后的电流表的表头（刻度盘仍为原电流表的刻度）示数如图3所示，那么R x的测量值为Ω．（5）如果测量与操作均正确，那么R x的测量值将（选填“大于”或“小于”）R x的真实值．三．计算题（本题共36分，其中15题11分，16题10分，17题15分，要求有必要文字说明、公式和解答过程）15．（11分）如图所示，在x轴下方的区域内存在+y方向的匀强电场，电场强度为E．在x轴上方以原点O 为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xoy平面向外，磁感应强度为B．﹣y轴上的A点与O点的距离为d，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点由静止释放，经电场加速后从O点射入磁场，不计粒子的重力．（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径r；（2）要使粒子进人磁场之后不再经过x轴，求电场强度的取值范围；（3）改变电场强度，使得粒子经过x轴时与x轴成θ=30°的夹角，求此时粒子在磁场中的运动时间t及经过x轴的位置坐标值x0．16．（10分）如图所示，甲、乙两电路中电源电动势均为E=12V，内阻均为r=3Ω，电阻R0=1Ω，直流电动机内阻R0’=1Ω，调节滑动变阻器R1、R2使甲、乙两电路的电源输出功率均为最大，且此时电动机刚好正常工作．已知电动机的额定功率为6W，求：（1）电动机的焦耳热功率P热；（2）此时滑动变阻器R1、R2连入电路部分的阻值．17．（15分）如图（a ）所示，平行金属板A 和B 间的距离为d ，现在A 、B 板上加上如图（b ）所示的方波形电压，t =0时A 板比B 板的电势高，电压的正向值为U 0，反向值也为U 0，现有由质量为m 的带正电且电荷量为q 的粒子组成的粒子束，从AB 的中点O 以平行于金属板方向OO ＇的速度v 0=dmT qU 30不断射入，所有粒子在AB 间的飞行时间均为T ，不计重力影响．试求：（1）粒子打出电场时位置离O ＇点的距离范围；（2）若要使打出电场的粒子经某一垂直纸面的圆形区域匀强磁场偏转后，都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感强度是多大？：。

辽宁省沈阳市第二中学2016届高三上学期期中考试理数试题Word版含解析

说明：1.测试时间：120分钟总分：150分.2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷（60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1. 数列2,5,11,20, ,47,…中,的值等于( )A.28B.32C.33D.27【答案】B考点：1.等差数列的定义；2.合情推理.2. 已知集合，，若,则实数的所有可能取值的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当即时，符合题意；当时，或，当时，；当时，.所以实数的所有可能取值的集合为，故选D.考点：1.集合间的关系；2.空集的意义.【易错点睛】本题主要考查集合间的关系与空集的意义，属容易题；集合关系有两种情况：与.本题解题时，容易忽略的情况，即方程无解的情况而导致错误.3. 下列函数中，最小值为4的是（）A. B.C. D.【答案】C考点：基本不等式.【易错点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属容易题.在应用基本不等式求最值时应注意：一正，即均为正数；二定，即和或积为定值；三等，即能取到等号.函数容易忽略均为正数，导互导致错误，与容易忽略取等号的条件导到错误.4．设，，，则( )A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：因为；又，所以；，所以，所以，故选A.考点：1.指数函数性质；2.对数函数性质；3.余弦函数性质;4.不等式性质.5. 下列叙述中，正确的个数是（）①命题：“”的否定形式为：“”；②是△ABC所在平面上一点，若，则是△ABC的垂心；③“M＞N”是“”的充分不必要条件；④命题“若，则”的逆否命题为“若，则”．A.1B.2C.3D.4【答案】C考点：1.逻辑联结词与命题；2.向量运算的几何意义;3.指数函数的性质.6. 四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA 所成的角等于( )A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】试题分析：取的中点，连接，则，，所以就是异面直线与所成的角，又因为四面体是正四面体，所以，所以，即为等腰直角三角形，所以，故选C.考点：异面直线所成的角.7. 已知是等差数列的前项和，若，则( )A．B．C． D．【答案】A考点：1.等差数列的定义与性质；2.等差差数列的求和公式.8. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体ABCDFE，可以将该几何体分割为四棱锥与三棱锥两个几何体求其体积，所以所求几何体的体积为，故选B.考点：1.三视图；2.多面体体积.9. 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则( )A. B.C. D.【答案】C考点：向量加法的几何意义.【方法点睛】本题主要考查向量的加法运算的几何意义及向量夹角的定义，属中档题.向量加减法运算通常有两种算法：1.基底思想：即用已知向量表示未知向量，通过已知条件求未知的参数；2.几何思想：即根据向量加减法的几何意义作出图形，再根据图形特点求解.本题解法采用是第二种方法.10. 定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为( )A． B． C． D．【答案】B考点：1.函数与方程；2.数形结合；3.对数函数性质；4.绝对值的意义. 11．如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为( )A. B. C. D.【答案】C考点：1.诱导公式；2.函数与方程；3.零点存在定理.【名师点睛】本题主要考查零点存在定理、函数与方程思想以用诱导公式，属难题.求方程解所在区间通常转化为求函数零点所在区间问题求解，解决函数零点所在区间是通过零点存在定理来实现的，需要注意的是零点存在定理只能解决变号零点的问题.本题由求一个数的了以值区间问题转化为求一个方程的近似解的问题，进一步转化为求函数零点所在区间，体现数学中的转化转化思想.12．已知，对，使得，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：令，则, ,所以，令考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数的最值；3.数形结合.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．由直线，，与曲线所围成的图形的面积等于 .【答案】【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为.考点：定积分的几何意义.14．已知变量满足,则的取值范围是．【答案】【解析】考点：1.线性规划；2.斜率的几何意义.【名师点睛】本题主要考查线性规划以及斜率的几何意义，属中档题.线性规划是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离；也可能是给出目标函数的最值，求约束条件中的参数的值，解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键. 15．如图，在棱柱的侧棱上各有一个动点，且满足，是棱上的动点，则的最大值是．【答案】考点：1.多面体体积；2.函数单调性.16．设首项不为零的等差数列前项之和是，若不等式对任意和正整数恒成立，则实数的最大值为 .【答案】【解析】考点：1.等差数列的定义与性质；2.二次函数的性质；3.不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义与性质、二次函数、不等式恒成立问题，属难题.解决不等式恒成立求参数的取值范围常用方法之一就是分离参数，即把参数放在不等式的一边，求另一边的最值问题.而求最值问题通常是构造函数，利用函数单调性求函数最值，或通过构造基本不等式求最值，是高考题常考题型之一.三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）已知函数．（I）求函数的单调递增区间；（II）内角的对边长分别为，若,且试求和.【答案】（I）;（II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）将函数中的两角差余弦先展开，再合并同类项，利用和角公式化简求出函数解析式，由三角函数性质即可求函数的单调递增区间；（Ⅱ）将代入函数解析式可得，可求，再由正弦定理求出，求得或,再求，且，舍去不符合题意的解即可.考点：1.两角和与差公式；2.三解函数的单调性；3.正、余弦定理.18. （本小题满分12分）设数列的前项和为，且.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知关系式，将增加得，两式相减得到数列的递推关系式，在这个递推公式两边同加即可证数列为等比数列；（Ⅱ）写出数列的通项公式，先利用分组求和分为两组，设数列的前项和为,求应用错位相减法求之即可；另一组为等差数列，应用等差数列的求和公式直接求之，再求两组之和即可.试题解析：（Ⅰ）因为，所以有成立.两式相减得：. …………1分考点：1.等比数列的定义与性质；2.数列的递推公式；3.等差数列的求和公式；4.错位相减法.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC//平面BDE；（Ⅱ）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．【答案】（1）（2）均见解析.【解析】考点：1.线面平行的判定与性质；2.面面垂直的判定；3.线面垂直的判定.【方法点晴】本题主要考查的是线面平行和面面垂直，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形或利用线面平行的性质、面面平行的性质．求线面垂直通常是构造线面垂直，即在一个平面内构造一条直线垂直睛另一个平面即可，也可用空间向量求证．20．（本小题满分12分）“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地PABC DE（第19题图）面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2. 为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年．．向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将．．消耗的水费之和．(Ⅰ) 试解释的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；(Ⅱ) 当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？【答案】(Ⅰ)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元,;(Ⅱ) 当为平方米时，取得最小值万元.考点：1.函数建模；2.基本不等式.21．（本小题满分12分）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立.（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）证明：，所以.因为,…………10分所以()22211111111144423233412241n n n n n ⎡⎤⎛⎫+++>-+-++-=⎢⎥ ⎪+++⎝⎭+⎢⎥⎣⎦…11分所以成立…………12分考点：1.函数的奇偶性；2.二次函数的性质；3.裂项相消法求和；4.不等式的证明.22．（本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若为的极值点，求实数的值；（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，方程有实根，求实数的最大值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）的最大值为.（Ⅱ）因为在区间上为增函数，所以在区间上恒成立．………4分①当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故符合题意．…………………………………………5分②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，考点：1.导数与函数的极值；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式；4.函数与方程. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数求函数的单调性的方法是：首先确定函数的定义域；求函数导数；求使的区间，从而得到函数递增区间；求使的区间，得到函数递减区间．。

辽宁省沈阳二中高二上学期期中考试数学理试题

沈阳二中2014-2015学年度上学期期中考试高二（16届）数学试题(理科)命题人：高二数学组审校人：高二数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷（60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．命题“”的否定是（） A ． B.C. D.2．设,且,则（）A ．B ．C ．D ．3．若数列的通项公式是，则( )A ．15B ．12C ．－12D ．－154．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是( )A .y 225＋x 2＝1 B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上均不正确 5．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x 、y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；③若“A ∪B ＝B ，则A ⊇B ”的逆否命题．其中的真命题有( )个。

A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．已知椭圆x y m2251+=的离心率e=105，则m 的值为 ( ) A.3 B.3或253 C.15 D ．15或5315 7．已知命题2:,0p x R x x ∀∈+>“”,命题:q a c b d a b c d +>+>>“是且的充分不必要条件”，则下列结论正确的是（） A ．命题“”是真命题B. 命题“（”是真命题C. 命题“”是真命题D. 命题“”是假命题8．设F 1、F 2分别是椭圆E ： (0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为( )A.23 B ．1 C.43 D.539．已知2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的3倍，则的值是（）A ．B ．C ．D ．10．已知F 1、F 2是椭圆C ：的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，如果△PF 1F 2是直角三角形，这样的点P 有（）个。

2015-2016年辽宁省沈阳二中高二上学期期中数学试卷及答案(理科)

2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3） C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|﹣+2|等于（）A．5 B．C．6 D．4．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞5．（5分）如果执行如图所示的程序，那么输出的值k=（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）若，是同一个平面α内的两个向量，则（）A．平面α内任一向量，都有=λ+μ（λ，μ∈R）B．若存在实数λ1，λ2，使λ1+λ2=0，则λ1=λ2=0C．若，不共线，则空间任一向量，都有=λ+μ（λ，μ∈R）D．若，不共线，则平面任一向量，都有=λ+μ（λ，μ∈R）7．（5分）若定义域为区间（﹣2，﹣1）的函数f（x）=log（2a﹣3）（x+2），满足f （x）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（，2）B．（2，+∞）C．（，+∞）D．（1，）8．（5分）已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是（）A．[﹣3，33]B．[﹣15，39]C．[﹣12，42]D．[﹣15，42]10．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为（）A．90°B．75°C．60°D．45°11．（5分）下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e212．（5分）已知抛物线M：y2=4x，圆N：（x﹣1）2+y2=r2（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是（）A．r∈（0，1]B．r∈（1，2]C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则m=．14．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x﹣1）＜f（3）的解为．15．（5分）设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是．16．（5分）若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cosθ等于．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD=．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）求点F到平面PCE的距离；（Ⅲ）求直线FC平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1的长度．20．（12分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA|•|PB|cos2θ=1．（P不在线段AB上）（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设（Ⅰ）中轨迹C与y轴正半轴的交点为D点，过D点作互相垂直的两条直线分别交轨迹C于另外一点M、N，试问直线MN是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．21．（12分）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D 两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．选做题（共1小题，满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l是过点P（﹣1，2），方向向量为=（﹣1，）的直线，圆方程ρ=2cos（θ+）（1）求直线l的参数方程（2）设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．【选修4-5：不等式选讲】23．选修4﹣5：不等式选讲设f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）解不等式f（x）≤3x+4；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围．2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．[2，3]B．（2，3） C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]【解答】解：∵集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，∴A={x|a﹣1≤x≤a+1}B={x|x≥4或x≤1}，∵A∩B=∅，∴解得2＜a＜3，故选：B．2．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，显然平行；而由两直线平行可得：a（a+1）﹣2=0，解得a=1，或a=﹣2，故不能推出“a=1”，由充要条件的定义可得：“a=1”是“直线l1：ax+2x﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|﹣+2|等于（）A．5 B．C．6 D．【解答】解：已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则有===1，且===1×1×cos60°=，∴|﹣+2|====，故选：B．4．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．5．（5分）如果执行如图所示的程序，那么输出的值k=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜100，S=0+1=1，k=1满足条件S＜100，S=1+2=3，k=2满足条件S＜100，S=3+8=11，k=3满足条件S＜100，S=11+211=2059，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故选：B．6．（5分）若，是同一个平面α内的两个向量，则（）A．平面α内任一向量，都有=λ+μ（λ，μ∈R）B．若存在实数λ1，λ2，使λ1+λ2=0，则λ1=λ2=0C．若，不共线，则空间任一向量，都有=λ+μ（λ，μ∈R）D．若，不共线，则平面任一向量，都有=λ+μ（λ，μ∈R）【解答】解：A．只有不共线时，才有，∴该选项错误；B．若，则由得到λ1+λ2=0，λ1，λ2可以不为0，∴该选项错误；C．根据平面向量基本定理，不共线时，只能表示平面α内任意的一个向量，而不能表示空间的任一向量；∴该选项错误，D正确．故选：D．7．（5分）若定义域为区间（﹣2，﹣1）的函数f（x）=log（2a﹣3）（x+2），满足f （x）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（，2）B．（2，+∞）C．（，+∞）D．（1，）（x+2），【解答】解：∵定义域为区间（﹣2，﹣1）的函数f（x）=log（2a﹣3）∴﹣2＜x＜﹣1，0＜x+2＜1，要使f（x）＜0，则2a﹣3＞1，即a＞2，故实数a的取值范围是（2，+∞）故选：B．8．（5分）已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=【解答】解：q=a n﹣a n﹣1﹣3，所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选：B．9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是（）A．[﹣3，33]B．[﹣15，39]C．[﹣12，42]D．[﹣15，42]【解答】解：a5=a1+4d，a6=a1+5d，所以1≤a1+4d≤4，2≤a1+5d≤3，S6==3（a1+a6）=6a1+15d分析可得，6a1+15d=15（a1+4d）﹣9（a1+5d），故﹣12≤S6≤42．故选：C．10．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为（）A．90°B．75°C．60°D．45°【解答】解：设AD=1，则BC=2，过A作AE∥CD，则AD=CE，过E作EF∥PB，则∠AEF为所求，如图过F作FG∥CD，连接AG，则四边形AEFG是梯形，其中FG∥AE，EF=PB=，AG=，AE＞FG，过G作GH∥EF，则∠GHA=∠AEF，在△GHA中，GH=EF=，AH=AE﹣FG=﹣=，AG=，AG2=GH2+AH2，所以∠AEF=90°，故选：A．11．（5分）下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e2【解答】解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（，），∵（，）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为（﹣1，0）和（1，0），且过点（）．∵点（）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．③设正六边形的边长为2，以F1F1所在直线为x轴，以F1F1的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0），且过点（1，），∵点（1，）到两个焦点（﹣2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，∴a=﹣1，c=2，∴．所以e1=e3＞e2．故选D．12．（5分）已知抛物线M：y2=4x，圆N：（x﹣1）2+y2=r2（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是（）A．r∈（0，1]B．r∈（1，2]C．D．【解答】解：x=1与抛物线交于（1，土2），与圆交于（1，土r），满足题设．设直线l：x=my+1，（1）代入y2=4x，得y2﹣4my﹣4=0，△=16（m2+1），把（1）代入（x﹣1）2+y2=r2得y2=设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），|AC|=|BD|即y1﹣y3=y2﹣y4，即y1﹣y2=y3﹣y4，即4=即r=2（m2+1）＞2，即r＞2时，l仅有三条．考查四个选项，只有D中的区间包含了（2，+∞）即是直线l只有三条的必要条件故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆，则m=．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆方程+y2=1的离心率为，则a=＞1，b=1，c=，∴=，解得m=．则m的值是．故答案为：．14．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x﹣1）＜f（3）的解为（﹣1，2）．【解答】解：∵在R上的偶函数y=f（x），在[0，+∞）上单调递增，∴不等式f（2x﹣1）＜f（3）等价为f（|2x﹣1|）＜f（3），即|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）15．（5分）设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是18．【解答】解：由，得，所以，∴x+y=，则，当且仅当时，的最小值为18．故答案为：1816．（5分）若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cosθ等于．【解答】解：因为棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，所以平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面．设棱长为：1，∴sinθ==，∴cosθ=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD=．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）求点F到平面PCE的距离；（Ⅲ）求直线FC平面PCE所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设G为PC的中点，连接EG，FG∵FG为△PCD的中位线，∴FG∥CD∥AE又∵E为AB的中点，∴AE=FG∴AEGF为平行四边形，∴AF∥EG∵AF⊄平面PCE，EG⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）解：设F到平面PEC的距离为h∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥EA又∵ABCD为矩形，∴EA⊥AD∵PA∩AD=A，∴EA⊥平面PAD，∴AEGF为矩形∵△PAD为等腰直角三角形，∴PF是棱锥P﹣AEGF的高∴四棱锥P﹣AEGF的体积=•PF•FG•AF==∵PE=EC=，PC=2，∴由余弦定理可得cos∠PEC=﹣，∴sin∠PEC=∴S=3；△PEC∵四棱锥P﹣AEGF的体积=三棱锥F﹣PEG体积的2倍=三棱锥F﹣PEC体积∴•3h=，∴h=∴F点到平面PEC的距离为；（Ⅲ）解：在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE∴∠FCH是FC与平面PCE所成的角在△FCH中，FH=，FC=，∴sin∠FCH=∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为19．（12分）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1的长度．【解答】解：（1）取BC中点M，连接B1M，则B1M⊥面ABC，∴面BB1C1C⊥面ABC，∵BC=面BB1C1C∩面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥面BB1C1C，∵AC⊂面ACC1A1∴面ACC1A1⊥面BCC1B1（2）取BC的中点为M，AB的中点M，连接OM，MB1，以MC为x轴，MO为y轴，MB1为z轴，建立空间直角坐标系．AC=BC=2，AB=2，设B1M=t，则A（1，2，0），B（﹣1，0，0），C（1，0，0），B1（0，0，t），C1（2，0，t），则=（﹣1，﹣2，t），=（﹣2，﹣2，0），=（2，0，0），设平面AB1C1法向量，∴，即，取=．同理可得面AB1B法向量=（1，﹣1，﹣）．∵==，t4+29t2﹣96=0，∴t=，∴BB1=2．∴斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1=BB1=2．20．（12分）已知点A（﹣1，0）、B（1，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA|•|PB|cos2θ=1．（P不在线段AB上）（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设（Ⅰ）中轨迹C与y轴正半轴的交点为D点，过D点作互相垂直的两条直线分别交轨迹C于另外一点M、N，试问直线MN是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．【解答】解：（1）①当点P在x轴上且在线段AB外时，θ=0，设P（p，0），由|PA|•|PB|cos2θ=1，得（p+1）（p﹣1）=1，∴p=±，则P（，0）；②当点P不在x轴上时，在△PAB中，由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2﹣2|PA|•|PB|cos2θ，∴4=（|PA|+|PB|）2﹣2|PA|•|PB|（1+cos2θ）=（|PA|+|PB|）2﹣4|PA|•|PB|cos2θ=（|PA|+|PB|）2﹣4；∴|PA|+|PB|=2＞2=|AB|，即动点P在以A、B为两焦点的椭圆上，方程为：+y2=1（）；综和①②可知：动点P的轨迹C的方程为：+y2=1；（2）显然，两直线斜率存在，设DM：y=kx+1，代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kx=0，解得点M，同理得N，直线MN：，化简得，令x=0，得y=﹣，∴直线MN过定点（0，）．21．（12分）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：+=1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D 两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2=3：77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…（2分）代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2=8x…（4分）（Ⅱ）存在直线l：x±11y﹣4=0符合条件解：显然直线l不垂直于y轴，故直线l的方程可设为x=my+4，与y2=8x联立得y2﹣8my﹣32=0．设C（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=8m，y1•y2=﹣32∴=．…（6分）由直线OC的斜率为，故直线OC的方程为，与联立得，同理，所以…（8分）可得要使，只需…（10分）即121+48m2=49×121解得m=±11，所以存在直线l：x±11y﹣4=0符合条件…（12分）选做题（共1小题，满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l是过点P（﹣1，2），方向向量为=（﹣1，）的直线，圆方程ρ=2cos（θ+）（1）求直线l的参数方程（2）设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．【解答】解：（1）∵，∴直线的倾斜角α=，∴直线的参数方程为，（t为参数）即（t为参数）（2）∵ρ=2（cosθ﹣sinθ）=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴x2+y2﹣x+y=0，将直线的参数方程代入得t2+（2+3）t+6+2=0，∴|t 1t2|=6+2．【选修4-5：不等式选讲】23．选修4﹣5：不等式选讲设f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）解不等式f（x）≤3x+4；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围．【解答】选修4﹣5：不等式选讲解：（1）因为f（x）=|x+1|+|x﹣3|．所以，所以原不等式f（x）≤3x+4；等价于①或②或③，解得①无解，②0≤x≤3，③x＞3，因此不等式的解集为：{x|x≥0}．（2）由于不等式f（x）≥m的解集为R，所以f（x）min≥m，又f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1+3﹣x|=4，即f（x）min=4，所以m≤4，即m的取值范围为（﹣∞，4]．第23页（共23页）。

辽宁省沈阳市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)(有答案)AwwnPM

2015-2016学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10） B．[4，10]C．（6，8）D．[6，8]2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 C．∃x∉N+，2x＜2 D．∃x∈N+，2x＜23．双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．315．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（）A．B．C． D．6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．58．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，b n＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（）A．a5≥b5B．a5≤b5C．a5＞b5D．a5＜b59．已知曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=1，S6=9，则的值为（）A．8 B．4 C．2 D．111．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设=，=，=，且=，则x，y，z的值分别为（）A．B．C．D．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=sin﹣kn，数列{a n}的前n项和为S n，且{S n}为递减数列，则实数k 的取值范围为（）A．k＞1 B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．14．已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．16．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a=．三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．18．（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．20．已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．2015-2016学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10） B．[4，10]C．（6，8）D．[6，8]【考点】不等关系与不等式．【分析】直接利用不等式的简单性质计算即可．【解答】解：4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b∈[4，10]．故选：B．2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 C．∃x∉N+，2x＜2 D．∃x∈N+，2x＜2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为：∃x∈N+，2x ＜2．故选：D．3．双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】化方程为标准方程，可得a，b，代入y=可得渐近线方程．【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A4．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．31【考点】数列递推式．【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解（法三）构造可得a n+1=2（a n﹣1+1），从而可得数列{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n+1，进而可求a n，把n=5代入可求【解答】解：（法一）∵a n=2a n﹣1+1，a1=1a2=2a1+1=3a3=2a2+1=7a4=2a3+1=15a5=2a4+1=31（法二）∵a n=2a n﹣1+1∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31（法三）∴a n+1=2（a n﹣1+1）∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n﹣1=2n∴a n=2n﹣1∴a5=25﹣1=31故选：D5．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（）A．B．C． D．【考点】余弦定理．【分析】把已知条件移项变形得到a2+b2﹣c2=ab，然后利用余弦定理表示出cosC的式子，把变形得到的式子代入即可求出cosC的值，然后根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由a2+b2﹣ab=c2，可得：a2+b2﹣c2=ab，根据余弦定理得：cosC===，又C∈（0，π），所以C=．故选：B．6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选C．7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线x2=8y的焦点坐标（0，2），抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，可得P的纵坐标为：3，故选：B．8．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，b n＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（）A．a5≥b5B．a5≤b5C．a5＞b5D．a5＜b5【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设公差为d，公比为q，作差比较，运用因式分解，即可得出结论．【解答】解：设公差为d，公比为q，则∵a2=b2，a8=b8，∴a2+6d=a2q6，∴d=a2（q6﹣1）∴a5﹣b5=a2+3d﹣a2q3=a2（1﹣q3）+a2（q6﹣1）=a2（q3﹣1）2，∵a2＞0，（q3﹣1）2≥0，∴a2（q3﹣1）2≥0，即有a5≥b5，故选：A．9．已知曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．即可判断出结论．【解答】解：曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．∴“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的充分不必要条件，故选：A．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=1，S6=9，则的值为（）A．8 B．4 C．2 D．1【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的前n项和公式列出方程组求出首项和公比，由此利用经数列前n项和公式能求出的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=1，S6=9，∴，解得a1=，q=2，∴===2．故选：C．11．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设=，=，=，且=，则x，y，z的值分别为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可画出图形，根据条件及向量加法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算便可得到，这样根据平面向量基本定理便可得出x，y，z的值．【解答】解：如图，根据条件，====；又；∴．故选A．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=sin﹣kn，数列{a n}的前n项和为S n，且{S n}为递减数列，则实数k的取值范围为（）A．k＞1 B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】可通过前n项的和，结合单调递减，解不等式可得k的范围，再讨论n为4的倍数，4的倍数余1，4的倍数余2，4的倍数余3，结合等差数列的求和公式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：a n=sin﹣kn，可得a1=1﹣k，a2=﹣2k，a3=﹣1﹣3k，a4=﹣4k，a5=1﹣5k，a6=﹣6k，a7=﹣1﹣7k，a8=﹣8k，即有S1=1﹣k，S2=1﹣3k，S3=﹣6k，S4=﹣10k，S5=1﹣15k，S6=1﹣21k，S7=﹣28k，S8=﹣36k，由{S n}为递减数列，可得S1＞S2＞S3＞S4＞S5＞S6＞S7＞S8，即为1﹣k＞1﹣3k＞﹣6k＞﹣10k＞1﹣15k＞1﹣21k＞﹣28k＞﹣36k，解得k＞，当n为4的倍数时，S n=﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞，显然≤；当n为4的倍数加1时，S n=1﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0；当n为4的倍数加2时，S n=1﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0；当n为4的倍数加3时，S n=﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得﹣n（n+1）k＞﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0．综上可得k的范围是k＞．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的标准方程分别求出a，c，由此能求出该椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为=1，∴a==2，=，∴该椭圆的离心率为e==．故答案为：．14．已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为1．【考点】四种命题．【分析】根据四种命题之间的关系分别进行判断即可【解答】解：若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题．逆命题为：若a＞b，则ac2＞bc2．当c=0时，ac2＞bc2．不成立，∴逆命题为假命题，则否命题也为假命题．故逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有1个．故答案为：1．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与A1D所成的角的余弦值．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A（0，0，0），E（1，0，2），A1（0，0，2），D（0，2，0），=（1，0，2），=（0，2，﹣2），设异面直线AE与A1D所成的角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．故答案为：．16．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a=．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】构造函数y1=3ax﹣2，y2=x2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2），函数y2=x2﹣ax﹣2，显然过点M （，0），计算即可得到答案．【解答】解：构造函数y1=3ax﹣2，y2=x2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2），考查函数y1=3ax﹣2，令y=0，得M（，0），∴a＞0；考查函数y2=x2﹣ax﹣2，显然过点M（，0），代入得：﹣﹣2=0，解之得：a=，或a=﹣（舍去）．故答案为：三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知等式，利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，即可得解△ABC为等腰三角形．（Ⅱ）由已知可求C=120°，BD=1，利用余弦定理可求AB，在△ABD中，利用余弦定理可求AD的值．【解答】解：（Ⅰ）∵asinC=csinB．∴利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，∴△ABC为等腰三角形．（Ⅱ）如图所示：∵BC=AC，B=30°，BC=2，∴C=120°，BD=1，∴AB===2，∴△ABD中，AD===．18．（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）先求出x2﹣2x﹣3＞0，由此能求出关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集．（Ⅱ）由当2a＞4，即a＞2，2a＜4，即a＜2，2a=4，即a=2三种情况进行分类讨论，由此能求出关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵x（x﹣2）﹣3＞0，∴x2﹣2x﹣3＞0，解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3，∴关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}．（Ⅱ）∵（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R），∴（x﹣4）（x﹣2a）=0的解为x1=4，x2=2a，∴当2a＞4，即a＞2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|4＜x＜2a}；当2a＜4，即a＜2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|2a＜x＜4}；当2a=4，即a=2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为∅．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）把定点坐标代入抛物线方程，求得p，则抛物线方程可求；（Ⅱ）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），代入点（1，2），可得p=2，∴抛物线的标准方程y2=4x；（Ⅱ）抛物线焦点坐标为F（1，0），∴直线l：y=k（x﹣1）．设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l：y=k（x﹣1）与y2=4x，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则由韦达定理有：x1+x2=2+，x1x2=1．则弦长|AB|=•=4+，∵k∈[1，2]，∴∈[1，4]，∴弦长|AB|的取值范围是[5，8]．20．已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，”是真命题．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；（Ⅱ）求得==（﹣），运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=3，a5=9，可得a1+d=3，a1+4d=9，解得a1=1，d=2，则a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1；前n项和S n=n（1+2n﹣1）=n2；（Ⅱ）证明：==（﹣），即有++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣﹣）＜，则命题“∀n∈N+，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面A1BD．（Ⅱ）求出平面A1DF的法向量和平面A1BD的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），B（2，2，0），D（0，0，0），=（﹣2，2，1），=（2，0，4），=（2，2，0），•=0，=0，∴AE⊥DA1，AE⊥DB，又DA1∩DB=D，∴AE⊥平面A1BD．解：（Ⅱ）F（0，1，4），=（2，0，4），=（0，1，4），=（2，2，0），设平面A1DF的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（8，﹣4，1），设平面A1BD的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（﹣2，2，1），设二面角F﹣A1D﹣B的平面角为θ，cosθ===．∴二面角F﹣A1D﹣B的余弦值为．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由离心率公式和四边形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m），AM的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，运用韦达定理，求得P的坐标，同理可得Q的坐标，运用向量AP，AQ的坐标，运用数量积的坐标表示，由符号即可得到A与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，•2a•2b=12，a2﹣b2=c2，解得c=1，a=3，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m），AM的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，可得（32+m2）x2+6m2x+9m2﹣288=0，由﹣3x P=，解得x P=，y P=，m≠0，BM的方程为y=（x﹣3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，可得x2﹣6m2x+9m2﹣1152=0，由3x Q=，解得x Q=，y Q=，由=（，），=（，），即有•==＜0，即有∠PAQ为钝角，即点A在以PQ为直径的圆C的内部．2016年7月30日。

辽宁省沈阳二中2016届高三数学上学期期中试题理

沈阳二中2015—2016学年度上学期期中考试高三（16届）数学（理科）试题说明：1.测试时间：120分钟总分：150分.2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷（60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1.数列2,5,11,20,x ,47,…中,x 的值等于( )A.28B.32C.33D.27 2.已知集合{}1,1A =-，{}|20B x ax =+=，若B A ⊆,则实数a 的所有可能取值的集合为（）A. {}2-B. {}2C. {}2,2-D. {}2,0,2- 3. 下列函数中，最小值为4的是（） A.x x y 4+=B. 2y =C. 4x x y e e -=+D. 4sin sin y x x =+()0x π<<4．设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<5. 下列叙述中，正确的个数是（）①命题p ：“220x x ∃∈-R ，≥”的否定形式为p ⌝：“220x x R ，∀∈-<”； ②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 是△ABC 的垂心；③“M＞N”是“22()()33M N >”的充分不必要条件；④命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”．A.1B.2C.3D.46.四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于( )A. 90°B. 60°C. 45°D. 30° 7. 已知是等差数列的前项和，若739a a =，则95S S = ( )A ．B ．C ．D ．8. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( ) A. 4B.203C. 263D. 89.如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC的夹角为30︒，且3||2,||,||2OA OB OC === (,)OC OA OB λμλμ=+∈R，则( )A. 4,2λμ==B. 83,32λμ==C. 42,3λμ==D. 34,23λμ==10.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[)13log (1),0,2()14,2,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为( )A ．31a -B ．13a -C ．31a --D ．13a--11．如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在ABC ∆中用余弦定理解得AC Rt ACH ∆中解得1cos 72AC =，据此可得cos 72的值所在区间为( )A. ()0.1,0.2B. ()0.2,0.3C. ()0.3,0.4D. ()0.4,0.512．已知212+==x x g e x f xln )(,)(，对R ,(0,)a b ∀∈∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（）A. 11ln 22+B. 11ln 22-12 D. 2124e -（第9题图）（第8题图）（第11题图）第Ⅱ卷（90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．由直线0x =， 23x π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于 . 14．已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩,则32x y x +++的取值范围是．15．如图，在棱柱111ABC A B C -的侧棱11A A B B 和上各有一个动点,P Q ，且满足1A P BQ =，M 是棱CA 上的动点，则111M ABQPABC A B C M ABQPV V V ----的最大值是．16．设首项不为零的等差数列{}n a 前n 项之和是n S ，若不等式22212n n S a a nλ+≥对任意{}n a 和正整数n 恒成立，则实数λ的最大值为 .三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）已知函数(x R ∈)．（I ）求函数的单调递增区间；（II）内角的对边长分别为，若且试求B 和C.18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n a S n =++()n *∈N .（Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n n a ⋅的前n 项和n T .1AP BCAQ 1CM1B（第15题图）19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC//平面BDE ；（Ⅱ）若PC ⊥PA ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面PAB ．20．（本小题满分12分）“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2. 为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年．．向自来水厂缴纳的水费 C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是()50250kC x x =+(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将．．消耗的水费之和． (Ⅰ) 试解释 (0)C 的实际意义，请建立y 关于x 的函数关系式并化简； (Ⅱ) 当x 为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？21．（本小题满分12分）设函数3211()(,,,0)32f x ax bx cx a b c a =++∈≠R 的图象在点 (),()x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数.若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立.（Ⅰ）求函数()k x 的表达式；（Ⅱ）求证：1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+ ()n *∈N .22．（本题满分12分）已知函数32()ln(21)2()3x f x ax x ax a R =++--∈．（Ⅰ）若2x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当12a =-时，方程()31(1)3x b f x x--=+有实根，求实数b 的最大值.P A BC D E（第19题图）沈阳二中2015—2016学年度上学期期中考试高三（16届）数学（理科）试题参考答案及评分标准1-5：BDCAC 6-10：CABCB 11-12：CA13.3 14. 55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦15. 12 16. 1517．解：（Ⅰ）∵…2分∴故函数的递增区间为(Z) ………………4分（Ⅱ），∴．∵，∴，∴，即． ………6分由正弦定理得：，∴，∵，∴或．………8分当时，；当时，．（舍）所以,. …………10分18.解：（Ⅰ）因为221n n a S n =++，所以有11223n n a S n ++=++成立. 两式相减得：11222n n n a a a ++-=+. …………1分所以122n n a a +=+()n *∈N ，即122(2)n n a a ++=+. …………3分所以数列{}2n a +是以125a +=为首项，公比为2的等比数列. ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：1252n n a -+=⨯，即1522n n a -=⨯-()n *∈N .则1522n n na n n -=⋅-()n *∈N . ……………7分设数列{}152n n -⋅的前n 项和为n P ,则01221512522532...5(1)252n n n P n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⋅+⨯⋅，所以12312512522532...5(1)252n n n P n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅，所以1215(122 (2))52n n n P n --=++++-⋅，即(55)25n n P n =-⋅+()n *∈N . ……………11分所以数列{}n n a ⋅的前n 项和n T =(1)(55)2522nn n n +-⋅+-⨯，整理得，2(55)25n n T n n n =-⋅--+()n *∈N .……………12分19．证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ．因为ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ．……………………………………………2分因为E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ．………………………………………………4分因为PC / 平面BDE ，OE 平面BDE ，所以PC //平面BDE ．……………………………6分（2）因为E 为PA 中点，PD ＝AD ，所以PA ⊥DE ．……………………………………8分因为PC ⊥PA ，OE ∥PC ，所以PA ⊥OE ．因为OE 平面BDE ，DE 平面BDE ，OE ∩DE ＝E ，所以PA ⊥平面BDE ．………………………………10分因为PA 平面PAB ，所以平面BDE ⊥平面PAB ．……………12分20. (Ⅰ) (0)C 表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元 …………2分(0)4250kC ==，1000k ∴=；…………3分 5802.042505010002.0++=⨯++=x x x x y （x≥0）﹒…………5分(Ⅱ) 711621580)5(2.0=-≥-+++=x x y …………8分当4580)5(2.0=+=+x x 时，即15x =时有最小值，最小值为min 7y = …………11分 ∴当x 为15平方米时，y 取得最小值7万元 …………12分21.（Ⅰ）解：由已知得：2()()k x f x ax bx c '==++. …………1分由21()2g x ax bx c x =++-为偶函数，有12b =. …………2分 PABCD EO又(1)0k -=，所以0a b c -+=，即12a c +=. …………3分因为211()22k x x ≤+对一切实数x 恒成立，即对一切实数x ，不等式2111()0222a x x c -++-≤恒成立. 当12a =时，不符合题意. …………4分当12a ≠时，10,21114()()0.422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎪∆=---≤⎪⎩ 12a c += ，得14a c ==.所以2111()424k x x x =++. ……………6分（Ⅱ）证明：2221(1)()44n n n k n +++==，所以214()(1)k n n =+. 因为21111(1)(1)(2)12n n n n n >=-+++++,…………10分所以()22211111111144423233412241n n n n n ⎡⎤⎛⎫+++>-+-++-=⎢⎥ ⎪+++⎝⎭+⎢⎥⎣⎦…11分所以1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+ 成立…………12分22. 解：（Ⅰ）2222(14)(42)2'()222121x ax a x a a f x x x a ax ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+--=++．……1分因为2x =为()f x 的极值点，所以'(2)0f =．即22041aa a -=+，解得0a =．……2分又当0a =时，'()(2)f x x x =-，从而2x =为()f x 的极值点成立．…………3分（Ⅱ）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，所以222(14)(42)'()021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦=≥+在区间[)3,+∞上恒成立．………4分①当0a =时，'()(2)0f x x x =-≥在[)3,+∞上恒成立，所以()f x 在[)3,+∞上为增函数，故0a =符合题意．…………………………………………5分②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有210ax +>对3x ≥恒成立，故只能0a >，所以222(14)(42)0ax a x a +--+≥在[)3,+∞上恒成立． ………………6分令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a=-，因为0a >所以1114a-<，从而()0g x ≥在[)3,+∞上恒成立，只要(3)0g ≥即可，因为2(3)4610g a a =-++≥，解得3344a ≤≤．………………………………7分因为0a >，所以304a <≤．综上所述，a 的取值范围为⎡⎢⎣⎦．………………………8分（Ⅲ）若12a =-时，方程()31(1)3x b f x x--=+可化为2ln (1)(1)b x x x x --+-=．问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解，即求函数23()ln g x x x x x =+-的值域．…………………………9分因为2()(ln )g x x x x x =+-，令2()ln h x x x x =+-，则1(21)(1)'()12x x h x x x x+-=+-=，…………………………10分所以当01x <<时'()0h x >，从而()h x 在()0,1上为增函数，当1x >时'()0h x <，从而()h x 在()1,+∞上为减函数，……………11分因此()(1)0h x h ≤=．而0x >，故()0b x h x =⋅≤，因此当1x =时，b 取得最大值0．…………………………………12分。

辽宁省沈阳二中2015-2016学年高二上学期10月月考数学试卷

沈阳二中2015—2016学年度上学期10月份小班化学习成果阶段验收高二（17届）数学试题命题人：高二数学组审校人：高二数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题（每题5分，共40分）1.已知集合A=，则A．(1,3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)2.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.已知平面向量满足,且,则向量与的夹角为（）A．B．C．D．4.下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．5.已知函数 (,且)的图象恒过定点,若点在一次函数的图象上,其中,则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．46.已知实数满足,是关于的方程的两个实根,则不等式成立的概率为（）A．B．C．D．7.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,则,点A在椭圆上且,则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8.若P点是以A（-3，0）、B（3，0）为焦点，实轴长为的双曲线与圆的一个交点，则=（）A．B．C．D．9.设函数,则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．10.已知直线与抛物线相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则实数k的值为（）A．B．C．D．11.执行如图的程序框图,若,则输出的（）A．B．C．D．12.如图,设为内的两点,且,＝＋,则的面积与的面积之比为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（满分90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在中，，则＝_________14.已知c是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的半焦距，则b＋ca的取值范围是________．15.设x,y满足约束条件,则的取值范围是___________.16.数列中，则=_______________三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知中,角的对边分别为, ,向量,,且.(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)当取得最大值时,求角的大小.18.设数列的前项和为，已知（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，数列的前项和为.求19.如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积20.已知二次函数 (为常数且)满足且方程有等根.(1)求的解析式;(2)设的反函数为若对恒成立,求实数的取值范围.21.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．22.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（I）求椭圆的离心率；（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．沈阳二中2015—2016学年度上学期10月份小班化学习成果阶段验收高二（17届）数学答案命题人：高二数学组审校人：高二数学组1-5CBCCD 6-10ADCAD 11-12DB13、 14、(1，2] 15、16、 17、(1)因为,所以即,因为,所以所以(2)由,故73sin cos()sin cos()sin )12626B C B B B B B πππ+-=+-=+=+ 由,故最大值时,18、（Ⅰ）由可得，而，则（Ⅱ）由及可得.19、(1)证明：连接AB ′，AC ′，由题意知，ABB ′A ′为平行四边形，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)连接BN ，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，∴A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC . 又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16.21、解法一：（I ）由抛物线的定义得．因为，即，解得，所以抛物线的方程为．（II ）因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设．由，可得直线的方程为．由，得，解得或，从而．又，所以，，所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．解法二：（I）同解法一．（II）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设．由，可得直线的方程为．由，得，解得或，从而．又，故直线的方程为，从而．又直线的方程为，所以点到直线的距离．这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．22、（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，则原点O到直线的距离，由，得，解得离心率.(II)解法一：由（I）知，椭圆E的方程为. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得设则由，得解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆E的方程为.解法二：由（I）知，椭圆E的方程为. (2)依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且.设则，，两式相减并结合得.易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率因此AB直线方程为，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故椭圆E的方程为.。

辽宁省沈阳二中2015-2016学年高二上学期10月月考数学试卷Word版含解析

2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）10月月考数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=( )A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分不要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知平面向量，满足•（+）=3，且||=2，||=1，则向量与的夹角为( ) A．B．C．D．4．下列不等式一定成立的是( )A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）5．已知函数y=a x﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，若点在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n＞0，则+的最小值为( )A．4 B．C．2 D．16．已知实数a，b满足，x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+b﹣a+3=O的两个实根，则不等式0＜x1＜1＜x2成立的概率是( )A．B．C．D．7．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|=2c，点A在椭圆上，，，则椭圆的离心率e=( )A．B．C．D．8．若P点是以A（﹣3，0）、B（3，0）为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2+y2=9的一个交点，则|PA|+|PB|=( )A．4B．2C．2D．39．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是( )A．（，1）B．∪（1，+∞）C．（） D．（﹣∞，，+∞）10．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=( )A．B．C．D．11．执行如图的程序框图，若p=9，则输出的S=( )A．B．C．D．12．如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，=+，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为( )A．B．C．D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，（1+tanA）（1+tanB）=2，则log2sinC=__________．14．已知c是椭圆（a＞b＞0）的半焦距，则的取值范围是__________．15．设x，y满足约束条件的取值范围是__________．16．数列{a n}中，a1=1，a n+1=3a n+2，则通项a n=__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=，向量=（﹣1，1），=（cosBcosC，sinBsinC﹣），且⊥．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）当sinB+cos（﹣C）取得最大值时，求角B的大小．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log3a n，数列{b n}的前n项和为T n．求|T n﹣|．19．如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B 和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）20．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数且a≠0）满足f（1﹣x）=f（1+x），且方程f（x）=x有等根．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=1﹣2f（x）（x＞1）的反函数为g﹣1（x），若g﹣1（22x）＞m（3﹣2x）对x∈恒成立，求实数m的取值范围．21．已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3，（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．22．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二（上）10月月考数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=( )A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分不要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．3．已知平面向量，满足•（+）=3，且||=2，||=1，则向量与的夹角为( ) A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的性质，得到=2=4，代入已知等式得•=﹣1．设与的夹角为α，结合向量数量积的定义和=2，=1，算出cosα=﹣，最后根据两个向量夹角的范围，可得与夹角的大小．【解答】解：∵=2，∴=4又∵•（+）=3，∴+•=4+•=3，得•=﹣1，设与的夹角为α，则•=cosα=﹣1，即2×1×cosα=﹣1，得cosα=﹣∵α∈，∴α=故选C【点评】本题给出两个向量的模，并且在已知它们的和向量与其中一个向量数量积的情况下，求两个向量的夹角．着重考查了平面向量数量积的运算和两个向量夹角等知识，属于基础题．4．下列不等式一定成立的是( )A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）【考点】不等式比较大小．【专题】探究型．【分析】由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可【解答】解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等；B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2；C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）⇔（|x|﹣1）2≥0；D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．综上，C选项是正确的．故选：C．【点评】本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解题的关键5．已知函数y=a x﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，若点在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n＞0，则+的最小值为( )A．4 B．C．2 D．1【考点】基本不等式．【分析】根据指数函数的性质，可以求出定点，把定点坐标代入一次函数y=mx+n，得出m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．【解答】解：∵函数y=a x﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，可得定点坐标（1，1），∵定点在一次函数y=mx+n的图象上，∴m+n=1，∵m，n＞0，∴m+n=1≥2，∴mn≤，∴+==≥4（当且仅当n=m=时等号成立），∴+的最小值为4，故选A；【点评】此题主要考查的指数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的均值不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型6．已知实数a，b满足，x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+b﹣a+3=O的两个实根，则不等式0＜x1＜1＜x2成立的概率是( )A．B．C．D．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；几何概型．【专题】不等式的解法及应用．【分析】构造函数，利用0＜x1＜1＜x2，可得a，b的范围，作出图形，计算面积，可得概率．【解答】解：构造函数f（x）=x2﹣2x+b﹣a+3，则∵0＜x1＜1＜x2，∴，∴，作出可行域，如图所示，阴影部分的面积为正方形的面积为4×4=16∴不等式0＜x1＜1＜x2成立的概率是=故选A．【点评】本题考查方程根的研究，考查几何概型，正确计算面积是关键．7．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|=2c，点A在椭圆上，，，则椭圆的离心率e=( )A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及椭圆的简单性质，由，，我们将两式相减后得到AF1的长度，再根据椭圆的定义，即可找到a与c之间的数量关系，进而求出离心率e．【解答】解：∵∴AF1⊥F1F2即A点的横坐标与左焦点相同又∵A在椭圆上，∴A（﹣C，±）又∴=c2即=2=c2即AF1=c则2a=c+ c∴e=故选C【点评】求椭圆的离心率，即是在找a与c之间的关系，我们只要根据已知中的其它条件，构造方程（组），或者进行转化，转化为一个关于e的方程，解方程（组），易得e值．8．若P点是以A（﹣3，0）、B（3，0）为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2+y2=9的一个交点，则|PA|+|PB|=( )A．4B．2C．2D．3【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意，AP⊥BP，由勾股定理和双曲线的定义，结合完全平方公式，计算即可得到．【解答】解：由题意，AP⊥BP，即有|PA|2+|PB|2=|AB|2=36，①由双曲线的定义可得||PA|﹣|PB||=2a=2，②②两边平方可得|PA|2+|PB|2﹣2|PA|•|PB|=20，即有2|PA|•|PB|=36﹣20=16，再由①，可得（|PA|+|PB|）2=36+16=52，则|PA|+|PB|=2．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义和性质，用好双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，是解本题的关键．9．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是( )A．（，1）B．∪（1，+∞）C．（） D．（﹣∞，，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【专题】开放型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，化简（）2，结合椭圆的性质，可得其取值范围；进而可得答案．【解答】解：根据题意，，即1＜（）2≤2解可得，1＜≤；故答案为（1，]．【点评】本题考查椭圆的性质，涉及不等式的有关性质，解题时，要注意椭圆的参数a、b、c 之间的关系及运用．15．设x，y满足约束条件的取值范围是．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题，求出斜率的取值范围，从而求出目标函数的取值范围．【解答】解：由z==1+2×=1+2×，考虑到斜率以及由x，y满足约束条件所确定的可行域．而z表示可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率的2倍加1．数形结合可得，在可行域内取点A（0，4）时，z有最大值11，在可行域内取点B（3，0）时，z有最小值，所以≤z≤11．故答案为：．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与（﹣1，﹣1）的斜率，属于线性规划中的延伸题，解题的关键是对目标函数的几何意义的理解．16．数列{a n}中，a1=1，a n+1=3a n+2，则通项a n=2×3n﹣1﹣1．【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想．【分析】由题意知a n+1+1=3（a n+1），所以 {a n+1}是一个以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，由此可知an=2×3n﹣1﹣1．【解答】解：设a n+1+k=3（a n+k），得a n+1=3a n+2k，与a n+1=3a n+2比较得k=1，∴原递推式可变为a n+1+1=3（a n+1），∴，∴{a n+1}是一个以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，∴an+1=2×3n﹣1，∴an=2×3n﹣1﹣1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=，向量=（﹣1，1），=（cosBcosC，sinBsinC﹣），且⊥．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）当sinB+cos（﹣C）取得最大值时，求角B的大小．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；函数思想；向量法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）利用已知向量的坐标结合⊥列式，再结合三角形内角和定理求得A的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的A值，把sinB+cos（﹣C）化为仅含有B的三角函数式，可得当sinB+cos（﹣C）取得最大值时角B的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵⊥，∴，即，∵A+B+C=π，∴cos（B+C）=﹣cosA，∴cosA=，A=；（Ⅱ）由，故=．由，故取最大值时，．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，是基础的计算题．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n b n=log3a n，数列{b n}的前n项和为T n．求|T n﹣|．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；方程思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，通过a n=S n﹣S n﹣1计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）、利用对数性质可知数列{b n}的通项公式，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=3n+3，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（3n+3）﹣（3n﹣1+3）=3n﹣1，又∵a1=S1=（3+3）=3不满足上式，∴a n=；（Ⅱ）由（I）可知b n==，∴T n=+++…+，∴T n=+++…++，两式错位相减得：T n=+﹣+++…+﹣=﹣+（+++…+）﹣=+﹣=﹣，∴T n=﹣，∴|T n﹣|=．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法计算即得结论，注意解题方法的积累，属于中档题．19．如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B 和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）【考点】直线与平面平行的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）证法一，连接AB′，AC′，通过证明MN∥AC′证明MN∥平面A′ACC′．证法二，通过证出MP∥AA′，PN∥A′C′．证出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，即能证明平面MPN∥平面A′ACC′后证明MN∥平面A′ACC′．（Ⅱ）解法一，连接BN，则V A′﹣MNC=V N﹣A′MC=V N﹣A′BC=V A′﹣NBC=．解法二，V A′﹣MNC=V A′﹣NBC﹣V M﹣NBC=V A′﹣NBC=．【解答】（Ⅰ）（证法一）连接AB′，AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点，又因为N为B′C′中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；（证法二）取A′B′中点，连接MP，NP．而M，N分别为AB′，B′C′中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′．所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′；又MP∩PN=P，所以平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）（解法一）连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，所以A′N⊥平面NBC，又A′N=B′C′=1，故V A′﹣MNC=V N﹣A′MC=V N﹣A′BC=V A′﹣NBC=．（解法二）V A′﹣MNC=V A′﹣NBC﹣V M﹣NBC=V A′﹣NBC=．【点评】本题考查线面关系，体积求解，考查空间想象能力、思维能力、推理论证能力、转化、计算等能力．20．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数且a≠0）满足f（1﹣x）=f（1+x），且方程f（x）=x有等根．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=1﹣2f（x）（x＞1）的反函数为g﹣1（x），若g﹣1（22x）＞m（3﹣2x）对x∈恒成立，求实数m的取值范围．【考点】反函数；二次函数的性质．【分析】（1）先由f（1﹣x）=f（1+x）得函数对称轴，再由方程f（x）=x有等根，得方程f（x）=x的判别式等于零，最后解方程即可；（2）由（1）得出g（x）的解析式，再将x用y表示，最后交换x、y，即可求出反函数的解析式，从而得1+2x＞m（3﹣2x）对x∈恒成立，t=2x，转化成关于t的一次函数恒成立问题，根据函数在上的单调性建立不等式，从而求出所求．【解答】解：（1）∵f（1﹣x）=f（1+x），∴函数的对称轴为x=1，即=1∵方程f（x）=x有等根，∴△=（b﹣1）2=0∴b=1，a=﹣∴．（2）由（1）得g（x）=x2﹣2x+1，当x＞1时，y=（x﹣1）2＞0⇒x=1+⇒g﹣1（x）=1+（x＞0），∵g﹣1（22x）＞m（3﹣2x）对x∈恒成立，即1+2x＞m（3﹣2x）对x∈恒成立，令t=2x，则（m+1）t+1﹣3m＞0，对t∈恒成立，∴⇒﹣5＜m＜3．【点评】本题考查了二次函数解析式的求法，解题时要熟练掌握二次函数的图象特征，还考查了反函数，以及反函数与原函数的之间的关系，同时考查了恒成立问题和最值问题，是一道综合题．21．已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3，（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p．即可得出抛物线E的方程．（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B．又G（﹣1，0），计算k GA，k GB，可得k GA+k GB=0，∠AGF=∠BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．解法二：（I）同解法一．（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B．又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F（1，0）到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．【解答】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p=2．∴抛物线E的方程为y2=4x；（II）证明：∵点A（2，m）在抛物线E上，∴m2=4×2，解得m=，不妨取A，F（1，0），∴直线AF的方程：y=2（x﹣1），联立，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，B．又G（﹣1，0），∴k GA=．k GB==﹣，∴k GA+k GB=0，∴∠AGF=∠BGF，∴x轴平分∠AGB，因此点F到直线GA，GB的距离相等，∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．解法二：（I）同解法一．（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，∴m2=4×2，解得m=，不妨取A，F（1，0），∴直线AF的方程：y=2（x﹣1），联立，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，B．又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程分别为：x﹣3y+2=0，=0，点F（1，0）到直线GA的距离d==，同理可得点F（1，0）到直线GA的距离=．因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．22．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．。

辽宁省沈阳市第二中学2016届高三数学第一次模拟考试试题理(含解析)

沈阳二中2015－2016学年度下学期第一次模拟考试高三（16届）数学（理）试题说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合22{|1,},{|3,}M y y x x R N x y x x R ==-∈==-∈，则M N 等于( )A.[3,3]-B.[1,3]-C.∅D.(1,3⎤-⎦【知识点】函数的定义域与值域集合的运算【试题解析】因为所以，故答案为：B【答案】B2. 设i 是虚数单位，若复数ia --417（R a ∈）是纯虚数，则实数a 的值为（） A.－4 B.－1 C.4 D.1 【知识点】复数综合运算【试题解析】因为是纯虚数，所以，故答案为：C【答案】C3. 某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程ˆy＝0.66x +1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（） A. 83% B. 72% C. 67% D. 66%【知识点】变量相关【试题解析】因为所以，故答案为：A【答案】A4. 下列叙述中正确的是（）A ．若,,a b c R ∈，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B ．若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”D ．l 是一条直线，,αβ是两个平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ 【知识点】全称量词与存在性量词充分条件与必要条件【试题解析】因为A 的条件需再加上，B 的条件需加上，C 最后应为，D 是一个定理。

辽宁省沈阳二中2015-2016学年高二上学期12月月考试卷数学(理)Word版含答案

沈阳二中2015—2016学年度上学期12月月考高二（17届）数学试题（理科）命题人：高二数学组审校人：高二数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2. 复数,则（） A ．25 B ． C ．5D ．3. 已知，，则的大小关系是A ．B ．C ．D ．（）4. 已知直线l 、m ，平面α，且m ⊂α，则l ∥m 是l ∥α的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知A 、B 、C 是圆O ： x 2＋y 2＝r 2上三点，且，则等于（）A ．0 B.12 C.32 D ．－326. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为（）A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1}7. 函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．58.已知等比数列{a n }的公比q ＝2，它的前9项的平均值等于5113，若从中去掉一项a m ，剩下的8项的平均值等于14378，则m 等于（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．89. 存在两条直线x ＝±m 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于A 、B 、C 、D 四点，若四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)10.已知数列{a n }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝511，则数列{a n }的通项公式为（）A ．a n ＝2n －1B ． a n ＝2nC．a n＝2n＋1 D．a n＝2n－311.若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F和M(4,4)且与l相切的圆共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个12.已知双曲线，过其右焦点的直线交双曲线于两点，的垂直平分线交轴于点，则的值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________．14.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋at＝7at，(a、t均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、t的值，a＋t＝________.15.已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cos x，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________．16.已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）若函数的图象与直线（m>0）相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列。

辽宁省沈阳二中高二上学期期中考试数学(文)

沈阳二中2015——2016学年度上学期期中考试高二（17届）数学（文科）试题命题人：高二数学组审校人：高二数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，{}045|2≥+-=x x x B ，若,则实数的取值范围是（）2.设,则“”是“直线与直线04)1(:2=+++y a x l 平行”的（）A ．必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．在处可导,为常数,则()()=∆∆--∆+→∆xx a x f x a x f x 000lim（）A ．B .C ．D ． 04.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（） ()()1ln 1ln .22+>+y x C5.如果执行如图所示的程序，那么输出的值=（） A.3 B.4 C.5 D.66.若函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －a 恰好有两个不同零点，则a 可能为( )A ．4B ．6C ．7D ．87.若定义在区间（-2，-1）的函数)2(log )()32(+=-x x f a 满足，则实数的取值范围（）8. 下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确．．．．．的序号是 ( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④9.设等差数列的前项和为,若≤≤，≤≤，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M,若在点M 处的切线平行于的一条渐近线,则=（） A ． B ． C ． D ． 11.是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，则必有（）12.下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的F 1、F 2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则 ( ) A ．e1＞e 2＞e 3B ． e 1＜e 2＜e 3C ． e 1＝e 3＜e 2D ．e 1＝e 3＞e 2第Ⅱ卷（90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知方程表示的曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，则14.定义在R 上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为 15.已知x x f x x f -+=2'3)32()(，则的图像在点处的切线斜率是16.已知()()12212,,,)1()(,)(x g x f R x x a x x g xe x f x≤∈∃++-==使得若成立，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知函数()x kx x x k x f 2322342+--=，是否存在实数，使函数在上递减，在上递增？若存在，求出所有值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分12分）设锐角三角形的内角的对边分别为（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求的取值范围。

《首发》辽宁省沈阳二中2016届高三上学期12月月考试题数学(理)Word版含答案

沈阳二中2015-2016学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高三（16届）数学试题(理科)命题人：高三数学组审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷（60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设{|{|ln(1)}A x y B y y x ====+，则AB = （）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x ≤C ．{|11}x x -<≤D ．∅ 2. 已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n(n ≥2)，则x n 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n C.n ＋12 D.2n ＋13．下列四个结论：①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“若sin 0,0x x x -==则”的逆否命题为“若0sin 0x x x ≠-≠，则”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”.其中正确结论的个数是 ( ) A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知函数()f x 的图像是连续不断的，有如下的x ，()f x 的对应表则函数f x 存在零点的区间有 ( ) A ．区间[][]1,22,3和 B ．区间[][]2,33,4和C ．区间[][][]2,33,44,5、和D ．区间[][][]3,44,55,6、和5.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β C ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β6.已知cos cos tan sin sin ααααα+=+则的值为（） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．12D ．27 .已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋ax n ≥n ＋1 (n ∈N *)，则a 等于 ( ) A.nB.2nC.n 2D.n n8.6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有( ) A.40种B.48种C.60种D.68种9.设平面区域D 是由双曲线y 2﹣=1的两条渐近线和抛物线y 2=﹣8x 的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x ，y ）∈D ，则的取值范围是（）A ．[﹣1，]B ．[﹣1，1]C ．[0，]D ．[0，]10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（A.11.如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.4B.7C.332 D.312. 设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若(6)()1860f m f m m ---+≥，则实数m 的取值范围为（）A ． [3,3]-B ． [3,)+∞C ． [2,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________． 14. 等比数列{a n }中，a 3=9前三项和为S 3=3x 2dx ，则公比q 的值是________．15.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为2，则直三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为．16．已知椭圆（a ＞b ＞0），圆O ：x 2+y 2=b 2，过椭圆上任一与顶点不重合的点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，则=_____三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n －1＋2n (n ∈N *，n ≥2). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n .18．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12，且c ＝3.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值. 19．（本小题满分12分）某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:时).(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率;(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附χ2=P(χ2>k) 0.05 0.010k3.841 6.63520．（本小题满分12分）如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为．21．（本小题满分12分）已知椭圆M 的左、右焦点分别为F 1(－3，0)、F 2(3，0)，且抛物线x 2＝4y 的焦点为椭圆M 的顶点，过点P (0,2)的直线l 与椭圆M 交于不同的两点A 、B . (1)求椭圆M 的方程； (2)求△OAB 面积的取值范围；(3)若S △OAB ＝45，是否存在大于1的常数m ，使得椭圆M 上存在点Q ，满足OQ →＝m (OA →＋OB →)？若存在，试求出m 的值；若不存在，试说明理由.22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=lnx ，g （x ）=+bx （a ≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x ）=e 2x +be x，x ∈[0，ln2]，求函数φ（x ）的最小值；（Ⅲ）设函数f （x ）的图象C 1与函数g （x ）的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．数学试题答案(理科)1-----12 BDCCA DDBBA BB 13.12 14. 1或﹣ 15. 4π 16.17.解 (1)∵a 1＝2，a n ＝a n －1＋2n (n ∈N *，n ≥2)，∴a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝6，a 4－a 3＝8，……，a n －a n －1＝2n ，以上各式相加得a n ＝a 2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1)，当n ＝1时，a 1＝2也适合上式，∴a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *).--------------------------------5分 (2)由(1)得a n ＝n (n ＋1)， ∴1a n＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1.---------------10分 18.解 (1)∵3sin C cos C －cos 2C ＝12，∴32sin 2C －12cos 2C ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，∵0<C <π，∴2C －π6＝π2，解得C ＝π3.----------------6分(2)∵m 与n 共线， ∴sin B －2sin A ＝0，由正弦定理a sin A ＝bsin B得b ＝2a .①∵c ＝3，由余弦定理得9＝a 2＋b 2－2ab cos π3，②联立方程①②得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2 3.------------------------------12分19.解:(1)300×=90,---------------------------------2分所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率的估计值为0.75.---4分(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4时,75人的每周平均体育运动时间不超过4时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.结合列联表可算得χ2=≈4.762>3.841.所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.---12分20.解答：（Ⅰ）证明：如图，∵DC=BC=1，DC⊥BC，∴BD=，又∵AD=，AB=2，∴AD2+BD2=AB2，则∠ADB=90°，∴AD⊥BD．又∵面ADEF⊥面ABCD，ED⊥AD，面ADEF∩面ABCD=AD，∴ED⊥面ABCD，则BD⊥ED，又∵AD∩DE=D，∴BD⊥面ADEF，又BD⊂面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF；----------------------------------------------4分（Ⅱ）在面DAB内过D作DN⊥AB，垂足为N，∵AB∥CD，∴DN⊥CD，又∵ED⊥面ABCD，∴DN⊥ED，∴以D为坐标原点，DN所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，∴B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，），N（1，0，0），设M（x0，y0，z0），由，得，∴x 0=0，，则M（0，λ，），设平面BDM的法向量，则，∴，令x=1，得．∵平面ABF的法向量，∴，解得：．∴M （0，），∴点M 的位置在线段CE 的三等分点且靠近C 处．-------------------------12分21.解 (1)由题意得抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1).所以椭圆M 的一个顶点为(0,1)，又其焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0). 故c ＝3，b ＝1，a ＝2.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2＝1.--------------2分(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 即为y 轴，此时A 、B 为椭圆M 短轴的两个端点，A 、B 、O 三点共线，显然不符合题意.当直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，代入消去y 整理得(4k 2＋1)x 2＋16kx ＋12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由一元二次方程根与系数的关系可得，x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1，(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 4k 2＋12－4×124k 2＋1 ＝14k 2＋12[(－16k )2－48(4k 2＋1)]＝164k 2－34k 2＋12，故|x 1－x 2|＝44k 2－34k 2＋1， |AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 2·4k 2－34k 2＋1.而点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2，所以△OAB 的面积S ＝12·|AB |·d ＝12·41＋k 2·4k 2－34k 2＋1·21＋k 2＝44k 2－34k 2＋1. 设t ＝4k 2－3>0，故k 2＝t 2＋34，所以S ＝4t 4·t 2＋34＋1＝4t t 2＋4＝4t ＋4t ，因为t >0，所以t ＋4t≥2t ·4t＝4，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取得等号，此时k 2＝74，解得k ＝±72，S 取得最大值1.故△OAB 面积的取值范围为(0,1].----------------------------------8分 (3)由(2)可知，△OAB 的面积S ＝44k 2－34k 2＋1＝45，即54k 2－3＝4k 2＋1，两边平方整理得4k 4－23k 2＋19＝0，解得k 2＝1或k 2＝194.设Q (x 0，y 0)，由OQ →＝m (OA →＋OB →)，解得x 0＝m (x 1＋x 2)＝－16km4k 2＋1，y 0＝m (y 1＋y 2)＝m (kx 1＋2＋kx 2＋2)＝m [k (x 1＋x 2)＋4]＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 24k 2＋1＋4＝4m 4k 2＋1.故Q ⎝⎛⎭⎪⎫－16km 4k 2＋1，4m 4k 2＋1，由点Q 在椭圆M 上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－16km 4k 2＋124＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4m 4k 2＋12＝1，整理得64k 2m 2＋16m 2＝(4k 2＋1)2，解得m 2＝4k 2＋116，故m 2＝516或m 2＝54.因为m >1，故m ＝52.---------------------------------------------12分所以存在实数m ＝52，使得椭圆M 上存在点Q ，满足OQ →＝m (OA →＋OB →). 22. 解：（I ）依题意：h （x ）=lnx+x 2﹣bx ． ∵h （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴对x ∈（0，+∞）恒成立，∴，∵x ＞0，则．--------------------------------------2分∴b 的取值范围是．（II）设t=e x，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．∵．∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，y min=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，当t=2时，y min=4+2b．综上所述：----------------------------6分（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．则点M、N 的横坐标为．C1在点M 处的切线斜率为．C2在点N 处的切线斜率为．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．．则即∴设，则，（1）令，则，∵u＞1，∴r′（u）＞0，所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！----------------12分。