如图,已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直,ab=af=1

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【高中数学】新教材1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系

1.4 空间向量的应用1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系基础过关练题组一空间中点、直线和平面的向量表示1.已知O(0,0,0),N(5,-1,2),A(4,2,-1),若ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点B 的坐标为( ) A.(-1,3,-3) B.(9,1,1) C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1)2.(2020北京一〇一中学高二上期中)若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l 上,则直线l 的一个方向向量为( ) A.(1,2,4) B.(1,4,2) C.(2,1,4)D.(4,2,1)3.已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( ) A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ B.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC⃗⃗⃗⃗⃗ C.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ D.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC⃗⃗⃗⃗⃗ 4.已知空间三点坐标分别为A(1,1,1),B(0,3,0),C(-2,-1,4),点P(-3,x,3)在平面ABC 内,则实数x 的值为( ) A.1 B.-2 C.0 D.-1 题组二平面的法向量5.已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4,x),平面α的一个法向量n=(1,y,3),若AB ⊥α,则( )A.x=6,y=2B.x=2,y=6C.3x+4y+2=0D.4x+3y+2=06.若已知两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2,1),则平面ABC 的一个法向量为( ) A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)7.已知直线l 的一个方向向量d=(2,3,5),平面α的一个法向量u=(-4,m,n),若l ⊥α,则m+n= .题组三空间中直线、平面的平行问题8.若直线l 的方向向量为m,平面α的法向量为n,则可能使l ∥α的是( ) A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.m=(1,3,5),n=(1,0,1) C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)9.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能10.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l 1,l 2的方向向量,若l 1∥l 2,则( ) A.x=6,y=15 B.x=3,y=15 C.x=83,y=103D.x=6,y=152题组四空间中直线、平面的垂直问题11.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m等于()A.1B.2C.3D.412.设u=(-2,2,t),v=(6,-4,5)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则实数t的值是()A.3B.4C.5D.613.(2019吉林长山二中高二期中)已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则实数z等于()A.3B.6C.-9D.914.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),x,z∈R,若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为()A.(1,0,-2)B.(1,0,2)C.(-1,0,2)D.(2,0,-1)15.(2020山东青岛高三上联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形,平面PAB⊥平面ABCD.证明:平面PAD⊥平面PBC.能力提升练题组一用空间向量研究平行问题1.()如图所示,在正方体A 1B1C1D1-ABCD中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC上的点,A1M=AN=√2a3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.斜交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C内2.(2020山东聊城高二期中,)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=√2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为()A.(1,1,1)B.(√23,√23,1)C.(√22,√22,1)D.(√24,√24,1)3.(2020河南郑州第一中学高三联考,)在长方体ABCD-A 1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=√3,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD(不含边界)内的动点,若直线D1P与平面EFG平行,求△BB1P的面积的最小值.4.(2020河南八市重点高中联盟高三联考,)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PA⊥PD,AD⊥CD,∠BAD=60°,M,N分别为AD,PA的中点,证明:平面BMN∥平面PCD.5.(2020黑龙江佳木斯第一中学高二上期中,)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,△ABD是边长为1的等边三角形,BC=3.问:线段BD上是否存在点N(不的值;若不存在,请说明理由.深度解包括端点),使得直线CE∥平面AFN?若存在,求出BNBD析题组二用空间向量研究垂直问题 6.(2020天津一中高二月考,)如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为4,P 是AA 1的中点,点M 在侧面AA 1B 1B(含边界)内,若D 1M ⊥CP,则△BCM 面积的最小值为( )A.8B.4C.8√2D.8√557.(2019河北辛集中学高二期末,)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,PA ⊥平面ABCD,AE ⊥PC 于E.给出下列四个结论:①AB ⊥AC;②AB ⊥平面PAC;③PC ⊥平面ABE;④PC ⊥BE,其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4 8.(多选)()已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1),则下列结论正确的有( ) A.AP ⊥AB B.AP ⊥ADC.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量D.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗9.()如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA 1=b,点E,F 分别在BB 1,CC 1上,且BE=13BB 1,C 1F=13CC 1.设λ=b a.若平面AEF ⊥平面A 1EF,求λ的值.10.(2020北京十一学校高二上期中,)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,PA ⊥底面ABCD,且PA=AD,F 是棱PD 的中点,E 是棱CD 的中点. (1)证明:EF ∥平面PAC; (2)证明:AF ⊥PC.11.()如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上(不含端点).(1)是否存在点E,使PC⊥平面BDE?(2)是否存在点E,使平面PCD⊥平面AED?深度解析答案全解全析基础过关练1.B 因为ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-1,2)+(4,2,-1)=(9,1,1).故选B.2.A 由已知得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A 中的向量与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故选A.3.B 由空间平面ABC 的向量表示式知,空间一点M 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x,y,使OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可以变形为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x-y)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,注意到OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的系数和为1,满足这个条件的只有选项B,故选B. 4.A BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-4,4),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,x-3,3),可设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =y BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +z BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (y,z ∈R),则{y -2z =−3,-2y -4z =x -3,y +4z =3⇒{z =1,y =−1,x =1.故选A. 5.A 因为AB ⊥α,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n,由21=4y =x 3,得x=6,y=2,3x+4y+2=28,4x+3y+2=32.故选A.6.A 设平面ABC 的法向量n=(x,y,z),由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n,得{x +2y +3z =0,3x +2y +z =0,所以{z =x,y =−2x,令x=-1,解得{y =2,z =−1,所以n=(-1,2,-1),故选A. 7.答案 -16解析 ∵l ⊥α,∴d ∥u,又d=(2,3,5),u=(-4,m,n),∴-42=m 3=n5,解得m=-6,n=-10,∴m+n=-16.8.D 因为l ∥α,所以m ⊥n,即m ·n=0,满足条件的只有选项D,故选D.9.A 因为n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ∩AC=A,所以n 1也是平面ABC 的法向量,又平面α与平面ABC 不重合,所以平面α与平面ABC 平行,故选A. 10.D 因为l 1∥l 2,所以a ∥b,得32=x 4=y5,解得x=6,y=152,故选D.11.B 因为l 1⊥l 2,所以a ⊥b,则a ·b=-2+6-2m=0,解得m=2,故选B.12.B 因为α⊥β,所以u ⊥v,则u ·v=-12-8+5t=0,解得t=4,故选B. 13.C 由题意可得u ⊥v,则u ·v=3+6+z=0,解得z=-9.故选C. 14.C AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1),PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,1,-z).∵PA ⊥平面ABC, ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{x -1+z =0,-2x -z =0,解得{x =−1,z =2,∴点P 的坐标为(-1,0,2).故选C.15.证明取AB 的中点O,CD 的中点M,连接OM,则OM ⊥AB,又平面PAB ⊥平面ABCD,平面PAB ∩平面ABCD=AB,∴OM ⊥平面PAB,又PA=PB,∴PO ⊥AB,∴以点O 为原点建立空间直角坐标系,如图.设AP=√2a,AD=b,则A(0,-a,0),B(0,a,0),P(a,0,0),C(0,a,b),D(0,-a,b), ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,b),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,0),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,b),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,-a,0). 设n 1=(x 1,y 1,z 1)是平面PAD 的法向量,n 2=(x 2,y 2,z 2)是平面PBC 的法向量, 则由n 1·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{bz 1=0,ax 1+ay 1=0,令x 1=1,则{y 1=−1,z 1=0,即n 1=(1,-1,0),同理,{bz 2=0,ax 2-ay 2=0,令x 2=1,可得{y 2=1,z 2=0,即n 2=(1,1,0).∵n 1·n 2=1-1=0,∴平面PAD ⊥平面PBC.能力提升练1.B 建立如图所示的空间直角坐标系,由于A 1M=AN=√2a3,所以M (a,2a 3,a 3),N (2a 3,2a3,a),所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a 3,0,2a 3).又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C,所以C 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量. 因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又MN ⊄平面BB 1C 1C, 所以MN ∥平面BB 1C 1C. 故选B.2.C 连接OE.设点M 的坐标为(x,y,1), 因为AC ∩BD=O, 所以O (√22,√22,0),又E(0,0,1),A(√√所以OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√22,-√22,1),AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-√2,y-√2,1), 因为AM ∥平面BDE,所以OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以{x -√2=−√22,y -√2=−√22⇒{x =√22,y =√22,所以M 点的坐标为(√22,√22,1).故选C.3.解析如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,√3,0),C(0,√3,0),D 1(0,0,1),C 1(0,√3,1),∴E (1,√32,0),F (12,√3,0),G (0,√3,12),∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,√32,0),FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,12).设n=(x,y,z)是平面EFG 的法向量,则n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,代入坐标计算得{-12x +√32y =0,-12x +12z =0,令x=√3,则y=1,z=√3, ∴n=(√3,1,√3).设P(m,s,0)(0<m<1,0<s<√3),则D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,s,-1), BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(m-1,s-√3,0), ∵D 1P ∥平面EFG, ∴n ⊥D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴n ·D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3m+s-√3=0, ∴s=√3-√3m, 易知BB 1=1, ∴S △BB 1P =12BB 1×BP=12×1×√(m -1)2+(s -√3)2=12√4m 2-2m +1=12√4(m -14)2+34. 当m=14时,S △BB 1P 取得最小值√34.4.证明连接BD,PM,∵AB=AD,∠BAD=60°,∴△ABD 是等边三角形,∴BM ⊥AD, 又PA=PD,M 为AD 的中点,∴PM ⊥AD,又∵平面PAD ⊥平面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD,∴PM ⊥平面ABCD, ∴以M 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=PD=2√2a,CD=b,则B(2√3a,0,0),C(b,2a,0),D(0,2a,0),P(0,0,2a),M(0,0,0),N(0,-a,a),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-a,a),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3a,0,0),PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(b,2a,-2a),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2a,-2a),设n 1=(x 1,y 1,z 1)是平面BMN 的法向量, n 2=(x 2,y 2,z 2)是平面PCD 的法向量, 则由MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,得{-ay 1+az 1=0,2√3ax 1=0,令y 1=1,则x 1=0,z 1=1, ∴n 1=(0,1,1)是平面BMN 的一个法向量,同理,由PC⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0,PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2=0,得{bx 2+2ay 2-2az 2=0,2ay 2-2az 2=0,令y 2=1,可得x 2=0,z 2=1,∴n 2=(0,1,1)是平面PCD 的一个法向量. ∵n 1=n 2,∴平面BMN ∥平面PCD. 5.解析存在.理由如下:∵平面ADEF ⊥平面ABCD,四边形ADEF 为正方形,∴AF ⊥平面ABCD. 过点D 作DG ⊥BC 于点G.如图,以点D 为原点,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B (12,√32,0),C (-52,√32,0),D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,0,1),∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(52,-√32,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,√32,0),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,-√32,0).设BN BD=λ,0<λ<1,则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12λ,-√32λ,0),则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12-12λ,√32-√32λ,0). 设n=(x,y,z)是平面AFN 的法向量,则{n ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{z =0,(-12-12λ)x +(√32-√32λ)y =0,∴{z =0,√3(1-λ)y =(1+λ)x, 取x=√3,则y=1+λ1−λ,∴n=(√3,1+λ1−λ,0)是平面AFN 的一个法向量.由n ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =5√32-√32×1+λ1−λ=0,得λ=23,符合题意,即存在点N,使得直线CE ∥平面AFN,此时BN BD=23.方法归纳利用向量法证明线面平行的一般步骤是先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.6.D 以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图,则P(4,0,2),C(0,4,0),D 1(0,0,4),B(4,4,0),设M(4,a,b)(a,b ∈[0,4]),则D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,a,b-4),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-4,2), ∵D 1M ⊥CP,∴D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =16-4a+2b-8=0,得b=2a-4, ∴M(4,a,2a-4),∴BM=√(4-4)2+(a -4)2+(2a -4)2 =√5(a -125)2+165,当a=125时,|BM|取最小值4√55,易知BC=4, ∴S △BCM 的最小值为4√55×4×12=8√55.故选D.7.D 由题意得,AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos 60°,∴AC=√1+4−2×1×2×12=√3,而AC 2+AB 2=BC 2,∴AB ⊥AC,①对;又PA ⊥平面ABCD,故以A 为原点建立空间直角坐标系,如图,设AP=a(a>0),则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,√3,0),P(0,0,a), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,-a). ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⊥PC,又AC ∩PC=C,∴AB ⊥平面PAC,②对; ∵AB ⊥PC,AE ⊥PC,AB ∩AE=A,∴PC ⊥平面ABE,③对;由③及BE ⊂平面ABE,得PC ⊥BE,④对. 故选D.8.ABC ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-2+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⊥AB,A 对; ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4+4+0=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⊥AD,B 对; ∵AP ⊥AB,AP ⊥AD,AB ∩AD=A,∴AP ⊥平面ABCD, ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量,C 对; BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3,4),设BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ ,即{2=−λ,3=2λ,4=−λ,方程组无解,D 错. 故选ABC.9.解析在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面ABC, 因为AB,AC ⊂平面ABC, 所以AA 1⊥AB,AA 1⊥AC, 又因为∠BAC=90°,所以AB,AC,AA 1两两垂直,分别以AB,AC,AA 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 则E (a,0,b3),F (0,a,2b3),A(0,0,0),A 1(0,0,b),∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,b 3),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,2b 3),A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,-2b 3),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,a,b3). 设平面AEF 的法向量为n 1=(x,y,z), 则n 1·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即ax+bz3=0,ay+2bz3=0.令z=1,则x=-b 3a,y=-2b3a.所以n 1=(-b 3a,-2b 3a,1)=-λ3,-2λ3,1.同理,n 2=(2b 3a ,b 3a,1)=(2λ3,λ3,1)是平面A 1EF 的一个法向量.因为平面AEF ⊥平面A 1EF,所以n 1·n 2=0,即-2λ29-2λ29+1=0,解得λ=32(负值舍去).所以当平面AEF ⊥平面A 1EF 时,λ=32.10.证明 (1)设PA=2,以A 为原点,AB,AD,AP 所在直线分别为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(1,2,0),F(0,1,1),所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),设平面PAC 的法向量为n=(x,y,z),则{2z =0,2x +2y =0,令x=1,则y=-1,z=0,即n=(1,-1,0),又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,1),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=0,所以EF ∥平面PAC. (2)由(1)得AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AF ⊥PC. 11.解析 ∵底面ABCD 为正方形,∴AB ⊥AD,又PA ⊥平面ABCD,∴以点A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=a,AP=c,a>0,c>0,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,c). (1)设PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,0<λ<1,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,a,0),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,-c),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,-c), BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ -PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ -PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(a,a,-c)-(a,0,-c)=(λa -a,λa,c -λc), 设n=(x,y,z)是平面BDE 的法向量, 得{-ax +ay =0,(λa -a)x +λay +(c -λc)z =0,令x=1,则y=1,z=a -2aλc -λc,∴n=(1,1,a -2aλc -λc)是平面BDE 的一个法向量,若PC ⊥平面BDE,则PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n, 得a 1=-ca -2aλc -λc,解得λ=c 2+a 22a 2+c 2,即存在点E 满足PE=c 2+a 22a 2+c 2PC,使得PC ⊥平面BDE.(2)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,-c),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,0),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,-c),设n 1=(x 1,y 1,z 1)是平面PCD 的法向量, 则{n 1·PC ⃗⃗⃗⃗ =ax 1+ay 1-cz 1=0,n 1·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax 1=0,令y 1=c,则x 1=0,z 1=a,∴n 1=(0,c,a)是平面PCD 的一个法向量,设PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,0<μ<1,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ -PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =μPC ⃗⃗⃗⃗⃗ -PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(μa,μa,c -μc),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,0).设n 2=(x 2,y 2,z 2)是平面AED 的法向量,则{n 2·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =μax 2+μay 2+cz 2-μcz 2=0,n 1·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ay 2=0,令x 2=-c,则y 2=0,z 2=μa 1−μ,∴n 2=(-c,0,μa 1−μ)是平面AED 的一个法向量.∵平面AED ⊥平面PCD, ∴n 1·n 2=0,即μa 21−μ=0,此方程无解,∴不存在点E,使n 1⊥n 2,∴不存在点E,使平面PCD ⊥平面AED.解题反思立体几何中的存在性问题的思维层次性较高,分析问题时应特别注意,本题考查线面垂直、面面垂直的逆用,由题意设出点的坐标,求出平面的法向量是解题的关键.。

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.8 共面与平行(含解析)1数学教案

3．8共面与平行[读教材·填要点]1．共面(1)如果若干个图形在同一个平面内，就称这些图形共面． (2)A ，B ，C ，D 共面⇔直线AD 在平面ABC 内⇔AD ―→⊥n (其中n 为平面ABC 的法向量)．2．直线与平面共面或平行的判定一般地，设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n ⇔l ∥α或l ⊂α.如果v ⊥n 且l 上至少有一点A ∈α，则l ⊂α. 如果v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.[小问题·大思维]若直线l 的方向向量为u ＝(－3,4,2)，平面α的一个法向量为v ＝(2,2，－1)，那l 与α的位置关系是什么？提示：∵u ·v ＝(－3,4,2)·(2,2，－1)＝－6＋8－2＝0， ∴u ⊥v .∴l ∥α或l ⊂α.四点共面问题判断A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)四点是否共面，并说明理由．[自主解答] ∵A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)， ∴AB ―→＝(3,4,5)，AC―→＝(1,2,2)设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB ―→＝0，且n ·AC―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＋5z ＝0，x ＋2y ＋2z ＝0，∴x ＋z ＝0.令x ＝1，则z ＝－1，y ＝12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1.又∵D (10,14,17)，∴AD―→＝(9,14,16)，∴AD ―→·n ＝(9,14,16)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1＝9×1＋14×12－16＝0，∴n ⊥AD ―→.又∵A ∈平面ABC ，∴AD ⊂平面ABC ，∴A ，B ，C ，D 四点共面．(1)A ，B ，C ，D 共面⇔直线AD 在平面ABC 内⇔AD ―→⊥n . (2)(共面向量定理)如果A ，B ，C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是，存在一对实数x ，y ，使向量表达式AM ―→＝x AB ―→＋y AC―→成立． 1．空间直角坐标系中，已知A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,2)，P (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点，试求x ，y ，z 满足的方程．解：∵A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,2)， ∴AB ―→＝(－3,4,0)，AC ―→＝(－3,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的一个法向量，则n ·AB ―→＝0，且n ·AC―→＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋4y 1＝0，－3x 1＋2z 1＝0，令x 1＝4，则y 1＝3，z 1＝6，即n ＝(4,3,6)．又∵P (x ，y ，z )在平面ABC 内，∴AP ―→·n ＝0，即(x －3，y ，z )·(4,3,6)＝0， ∴4x －12＋3y ＋6z ＝0，即4x ＋3y ＋6z ＝12.证明线面平行、面面平行已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[自主解答] 如图所示建立空间直角坐标系D xyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，E (2,2,1)，C 1(0,2,2)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1―→＝(0,2,1)，DA ―→＝(2,0,0)，AE ―→＝(0,2,1)．(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA ―→，n 1⊥AE ―→，即⎩⎨⎧n 1·DA ―→＝2x 1＝0，n 1·AE ―→＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1―→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1―→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)∵C 1B 1―→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．则n 2⊥FC 1―→，n 2⊥C 1B 1―→，即⎩⎨⎧n 2·FC 1―→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1―→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .(1)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．2.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ∥平面BDE .证明：建立如图所示的空间直角坐标系．设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，则点N ，E 的坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，22，0，(0,0,1)．∴NE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，1. 又点A ，M 的坐标分别是(2，2，0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，22，1， ∴AM ―→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，1. ∴NE ―→＝AM ―→，且A ∉NE ，∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，于是MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12， DA1―→＝(1,0,1)．得DA 1―→＝2MN ―→，又M ∉DA 1，∴DA 1∥MN . 而MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .法二：如法一中的坐标系，B (1,1,0)．设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1―→＝0，且n ·DB ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1. ∴n ＝(1，－1，－1)．又MN ―→·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN ―→⊥n .又MN ⊄平面A 1BD .∴MN ∥平面A 1BD .法三：∵MN ―→＝C 1N ―→－C 1M ―→＝12C 1B 1―→－12C 1C ―→＝12(D 1A 1―→－D 1D ―→)＝12DA 1―→， ∴MN ―→∥DA 1―→.而MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .[点评] 证明线面平行的方法很多，要根据题目的条件选取适合的方法，具体地有两种思维，思路一是利用线面平行的判定定理(向量共线)；思路二是证明直线与平面的法向量垂直(向量垂直)．1．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( )A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α解析：当a ·b ＝0时，l ⊂α或l ∥α.答案：D2．已知直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA ―→，OB―→，下列关系中能表示l ∥α的是( )A ．a ＝OA―→ B ．a ＝k OB ―→C ．a ＝p OA ―→＋λOB―→ D ．以上均不能解析：A 、B 、C 均能表示l ∥α或l ⊂α. 答案：D3．已知线段AB 的两端点的坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．xOy 和yOz 都平行解析：∵A ，B 两点横坐标相同，∴AB 与yOz 平面平行．答案：C4．已知直线l 的方向向量为ν＝(1，－1,2)，平面α的法向量为n ＝(2,4,1)，且l ⊄α，则l 与α的位置关系是________．解析：因为ν·n ＝2－4＋2＝0，所以ν⊥n . 又l ⊄α，所以l ∥α. 答案：l ∥α5．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(2,1,4)，则m ＝________.解析：∵l ∥α，∴2×2＋m ×1＋1×4＝0. ∴m ＝－8. 答案：－86．已知在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N 分别是BC ，AE ，CD 1的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a .求证：MN ∥平面ADD 1A 1.证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，B (a,2a,0)，C (0，2a,0)，D 1(0,0，a )，E⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，2a ，0. ∵M ，N 分别为AE ，CD 1的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，a ，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2.∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，0，a 2.取n ＝(0,1,0)，显然n ⊥平面ADD 1A 1，且MN ―→·n ＝0，∴MN ―→⊥n . 又MN ⊄平面ADD 1A 1， ∴MN ∥平面ADD 1A 1. 一、选择题1．下面关于空间向量的说法正确的是( ) A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行B ．若向量a ，b 所在直线是异面直线，则a ，b 不共面C ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则AB ―→，CD ―→不共面 D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则AB ―→，AC ―→，AD ―→不共面解析：通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B 、C 都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知A 不正确，可用反证法证明D 是正确的．答案：D2．已知直线l 的一个方向向量为a ＝(－2,0,1)，平面α的一个法向量为b ＝(2，－1,4)，则直线l 与平面α的位置关系是( )A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l 与α相交D ．l ∥α或l ⊂α解析：∵a ·b ＝(－2,0,1)·(2，－1,4)＝－4＋0＋4＝0， ∴a ⊥b ，∴l ∥α或l ⊂α. 答案：D3．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α∥β，则x 的值为( )A ．10B ．－10 C.12D ．－12解析：∵α∥β，∴a ∥b ， ∴x－1＝－12＝－24，∴x ＝12. 答案：C4.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|A 1B |＝|AC |＝2a ，所以A 1M ―→＝13A 1B ―→，AN ―→＝13AC ―→，所以MN ―→＝M A 1―→＋A 1A ―→＋AN ―→＝－13A 1B ―→＋A 1A ―→＋13AC ―→＝－13A 1A ―→－13AB ―→＋A 1A ―→＋13AD ―→＋13AB ―→＝23A 1A ―→＋13AD ―→＝23B 1B ―→＋13B 1C 1―→，所以MN ―→， B 1B ―→，B 1C 1―→共面，因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B 二、填空题5．直线l 不在平面ABC 内，且l 上两点C ，D 满足CD ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC―→，则直线l 与平面ABC 的位置关系是________．答案：平行6．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，ν＝(2,3,8)，则平面α，β的位置关系是________(填“平行”、“垂直”或“相交但不垂直”)．解析：∵u·ν＝(1,2，－1)·(2,3,8)＝1×2＋2×3－1×8＝0，∴u⊥ν，∴α⊥β.答案：垂直7．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为a＝(1,3，z)，向量b＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.解析：∵l⊥α，b∥α，∴a⊥b，∴a·b＝(1,3，z)·(3，－2,1)＝0，即3－6＋z＝0，则z＝3.答案：38．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心．则平面EFG与平面HMN的位置关系为________．解析：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2，1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)．―→＝(0，－1,1)，∴EF―→＝(1,0,1)，EGHM ―→＝(0,1，－1)， HN―→＝(－1,0，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 和HMN 的法向量．由⎩⎨⎧ m ·EF ―→＝0，m ·EG ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －y 1＋z 1＝0，x 1＋z 1＝0，令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)；由⎩⎨⎧n ·HM―→＝0，n ·HN ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－z 2＝0，－x 2－z 2＝0，令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)． ∵m ＝n .即m ∥n . ∴平面EFG ∥平面HMN . 答案：平行三、解答题9．在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：PA ∥平面EDB .证明：建立如图所示的空间直角坐标系，连接AC 交BD 于G ，连接EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0.∴PA ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2.故PA ―→＝2EG ―→，这表明PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB .10.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1B Q ∥平面PAO?解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O (1,1,0)，A (2,0,0)，P (0,0,1)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)．再设Q(0,2，c )∴OA ―→＝(1，－1,0)， OP―→＝(－1，－1，1)， B Q ―→＝(－2,0，c )， BD1―→＝(－2，－2,2)．设平面PAO 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1·OA―→＝0，n 1·OP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x －y ＋z ＝0.令x＝1，则y＝1，z＝2，∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．若平面D1B Q∥平面PAO，那么n1也是平面D1B Q的一个法向量．―→＝0，即－2＋2c＝0.∴n1·B Q∴c＝1，―→＝－2－2＋4＝0，这时n1·BD1故当Q为CC1的中点时，平面D1B Q∥平面PAO.。

2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第七节立体几何中的向量方法

第七节立体几何中的向量方法一、空间向量与平行关系【知识点11】直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量．注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一？【例1】如图3，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【反思】1.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.[练习1]正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图322所示的空间直角坐标系中，求：图322(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【知识点12】空间中平行关系的向量表示【类型一】用向量证明线线平行【例1】如图323所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．图323111111112EB1，BF＝2F A1.求证：EF∥AC1.【类型二】用向量证明线面平行【例2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．【练习2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD ＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.【类型三】利用向量证明面面平行【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.【练习3】如图329，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?图329二、空间向量与垂直关系【知识点13】空间中垂直关系的向量表示【类型一】用向量证明线面垂直【例1】如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．【练习1】如图3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.图3215【类型二】用向量法证明面面垂直【例2】如图3212所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E 为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA．三、空间向量与空间角【知识点14】空间角的向量求解方法【类型一】求两条异面直线所成的角【例1】如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB ＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．θ＝φθ＝π－φ点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？【类型二】求直线与平面所成的角【例2】如图，四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【练习2】如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AD⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ．(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．【类型三】求二面角【例3】如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A PB C 的余弦值.旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．图3224(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E AG C 的大小．【练习4】如图，在三棱锥PABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角DGHE的余弦值．四、空间向量与距离【知识点15】利用空间向量求距离(※)【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．【练习1】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝13DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．点到平面的距离：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长．如图，设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离：d＝|PP0→·n||n|＝|a(x0－x)＋b(y0－y)＋c(z0－z)|a2＋b2＋c2.注：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.。

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(同步检测)(附答案)高二上学期数学选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（同步检测）一、选择题1.若直线l的方向向量a＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，则直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．无法确定D．直线l与平面α相交但不垂直2.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于()A．3B．6C．－9 D．93.[多选]在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论正确的是()A.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)B.平面B1CD的一个法向量为(1,1，1)C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D.平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝23A1D，AF＝13AC，则()A.EF至多与A1D，AC之一垂直B.EF⊥A1D，EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定6.[多选]如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论正确的有()A.A1M∥D1PB.A1M∥B1QC.A1M∥平面DCC1D1D.A1M∥平面D1PQB1二、填空题7.已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．8.已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________9.如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点，点P 在棱AA 1上，且DP ∥平面B 1AE ，则AP 的长为________10.已知AB ―→＝(1,5，－2)，BC ―→＝(3,1，z)，若AB ―→⊥BC ―→，BP ―→＝(x －1，y ，－3)，且BP ―→⊥平面ABC ，则BP ―→＝________11.如图所示，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥平面B 1DE ，则AE ＝________三、解答题12.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF.13.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F.14.如图，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；(2)求证：EG与直线PG和BC都垂直．15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝12AD.(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：∵μ＝14a ，∴μ∥a ，∴l ⊥α.2.C 解析：∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋(－3)×(－2)＋z ×1＝0，∴z ＝－9.3.AC 解析：∵AD ―→＝(0,1,0)，AB ⊥AD ，AA 1⊥AD ，又AB ∩AA 1＝A ，∴AD ⊥平面ABB 1A 1，∴A 正确； ∵CD ―→＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·CD ―→＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B 1CD 的法向量，∴B 不正确； ∵B 1C ―→＝(0,1，－1)，CD 1―→＝(－1,0,1)，(1,1,1)·B 1C ―→＝0，(1,1,1)·CD 1―→＝0，B 1C ∩CD 1＝C ， ∴(1,1,1)是平面B 1CD 1的一个法向量，∴C 正确；∵BC 1―→＝(0,1,1)，而BC 1―→·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC 1D 1的法向量，即D 不正确．故选A 、C. 4.B 解析：建立分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则DA 1―→＝(1,0,1)，AC ―→＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫13，0，13，F ⎝⎛⎭⎫23，13，0，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13，BD 1―→＝(－1，－1,1)＝－3EF ―→.∴EF ―→·DA 1―→＝0，EF ―→·AC ―→＝0，∴EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，EF ∥BD 1. 5.B 解析：建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A 1(2,2,0)，C(0，0,2)，B(2,0,2)， ∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，∴MN ―→＝(－1,0,1)．又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴MN ―→⊥n ，∴MN ∥平面BB 1C 1C.6.ACD 解析：∵A 1M ―→＝A 1A ―→＋AM ―→＝A 1A ―→＋12AB ―→，D 1P ―→＝D 1D ―→＋DP ―→＝A 1A ―→＋12AB ―→，∴A 1M ―→∥D 1P ―→，从而A 1M ∥D 1P ，可得A 、C 、D 正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，故B 不正确．二、填空题7.答案：0 解析：∵a ·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a ·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b ·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直． 8.答案：－3解析：∵l ∥平面ABC ，∴存在实数x ，y ，使a ＝x AB ―→＋y AC ―→.∵AB ―→＝(1,0，－1)，AC ―→＝(0,1，－1)， ∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x ，y ，－x －y)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝x ，m ＝y ，1＝－x －y ，∴m ＝－3.9.答案：12解析：建立以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系(图略)，设AB ＝a ，点P 坐标为(0,0，b )，则B 1(a ,0,1)，D(0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，AB 1―→＝(a ,0,1)，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，DP ―→＝(0，－1，b )， ∵DP ∥平面B 1AE ，∴存在实数λ，μ，使DP ―→＝λAB 1―→＋μAE ―→，即(0，－1，b )＝λ(a ,0,1)＋μ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0＝⎝⎛⎭⎫λa ＋μa 2，μ，λ.∴⎩⎪⎨⎪⎧λa ＋μ2a ＝0，μ＝－1，λ＝b ，∴b ＝λ＝12，即AP ＝12.10.答案：⎝⎛⎭⎫337，－157，－3 解析：∵AB ―→⊥BC ―→，∴AB ―→·BC ―→＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.∵BP ―→＝(x －1，y ，－3)，且BP ―→⊥平面ABC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧BP ―→·AB ―→＝0，BP ―→·BC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157，故BP ―→＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3. 11.答案：a 或2a解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0,0,3a)，C(0，2a,0)，D⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，3a .设E(2a,0，z)(0≤z ≤3a)，则CE ―→＝()2a ，－2a ，z ，B 1E ――→＝(2a,0，z －3a)，B 1D ――→＝⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，0.又CE ―→·B 1D ――→＝a 2－a 2＋0＝0，故由题意得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a.故AE ＝a 或2a. 三、解答题12.证明：以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，2，0)，B(0，2，0)，D(2，0,0)，F(2，2，1)，M⎝⎛⎭⎫22，22，1.所以AM ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1，DF ―→＝(0，2，1)，BD ―→＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z)是平面BDF 的法向量，则n ⊥BD ―→，n ⊥DF ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD ―→＝2x －2y ＝0，n ·DF ―→＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－ 2.则n ＝(1,1，－2)．因为AM ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1，所以n ＝－ 2 AM ―→，得n 与AM ―→共线．所以AM ⊥平面BDF.13.证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C 1(0,1,2)，F(1,1,1)，E 1⎝⎛⎭⎫1，12，2. 设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，因为C 1E 1――→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，FC 1―→＝(－1,0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1――→＝0，n ·FC 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ，取n ＝(1,2,1)．因为CE ―→＝(1，－1,1)，n ·CE ―→＝1－2＋1＝0，所以CE ―→⊥n ，且CE ⊄平面C 1E 1F. 所以CE ∥平面C 1E 1F.14.证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Pxyz.则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0，0,0)．于是EF ―→＝(0，－1，－1)，EG ―→＝(1，－1，－1)．设平面GEF 的法向量是n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥EF ―→，n ⊥EG ―→，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0，可取n ＝(0,1，－1)．显然PA ―→＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·PA ―→＝0，∴n ⊥PA ―→，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直， ∴平面GEF ⊥平面PBC.(2)由(1)知，EG ―→＝(1，－1，－1)，PG ―→＝(1,1,0)，BC ―→＝(0，－3,3)，∴EG ―→·PG ―→＝0，EG ―→·BC ―→＝0， ∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ，∴EG 与直线PG 和BC 都垂直．15.解：因为∠PAD ＝90°，所以PA ⊥AD.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，所以PA ⊥底面ABCD.又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)． (1)证明：AP ―→＝(0,0,1)，AC ―→＝(1,1,0)，CD ―→＝(－1,1,0)，可得AP ―→·CD ―→＝0，AC ―→·CD ―→＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD.又因为AP ∩AC ＝A ，AP ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC. (2)设侧棱PA 的中点是E ，则E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12. 设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ―→＝0，n ·PD ―→＝0，因为CD ―→＝(－1,1,0)，PD ―→＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)．所以n ·BE ―→＝(1,1,2)·⎝⎛⎭⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE ―→. 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD. 综上所述，当E 为PA 的中点时，BE ∥平面PCD.。

用向量法求空间距离

用向量法求空间距离湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、求两点之间的距离用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点，DQ=41DB ，求P 、Q 两点间的距离.解如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则0)4141(Q )21021(，，、，，P ，所以)21－4141(－，，=.46=,即P 、Q 两点的距离为46. 二、求点到直线之间的距离已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d .则有><⋅=⋅cos ，所以cos >=<故><⋅=∠⋅==QP PQO PQ PO d sin sin=⋅==xa图2例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2).所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故d =13286213168=-= 所以点O 1到直线AC 的距离为132862. 三、求点到平面的距离如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d，所以d ==><⋅=cos .例3 如图5，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点，N 为AC 与BD 的交点，求点B 到平面CMN 的距离. 解如图5，以CE CB CD 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz.因为AB=2，AF=1，所以)12222(CM ，，=，)02222(CN ，，=)02(0CB ，，=设平面CMN 的法向量为)(x z y ，，=，则有图4yxx⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n CM 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++0222202222y x z y x 令x=1,得y=-1，z=0，所以)01(1，，-=.所以点B 到平面CMN的距离1==d .四、求异面直线间的距离如图6，假设a 、b 是异面直线，平移直线a 至a ′且交b 于点A ，那么直线a ′和b 确定平面α，且直线a ∥α，设n ⊥a ,n ⊥b ，即n 为异面直线a 、b 的公垂线的方向向量.所以异面直线a 的b 的距离等于直线a 上任意一点至平面α的距离.若F ∈a ，E ∈b ，则异面直线a 、b之间的距离d =⋅=><⋅=cos ，即为异面直线a 、b 之间的距离.例4 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1C 1与B 1C 的距离. 解如图7所示，以1DD DC DA 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则有1)01－(C B 0)11－(C A 111－，，，，，==.设B C A 111与的公垂线的方向向量为)(x z y ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0B 0111C n C A n 即⎩⎨⎧=--=+-00z x y x 令x=1,得y=1，z=-1，所以)11(1-=，，又)010(11，，=B A ，x所以A 1C 1与B 1C的距离3331===d . 五、求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到平面的距离，即运用d =求它们之间的距离.例5 如图8，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 、N 、E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1 C 1D 1的中点.求平行平面AMN 与平面EFDB 的距离. 解以1CC 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ，则0)0(1)121(0)1021(，，，，，，，，=-=-=.设平面EFDB 的法向量为)(x n z y ，，=，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-021021z y z x 取1=z ,则2==y x ，所以)12(2，，=，所以平行平面AMN 与平面EFDB的距离32==d .x。

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第13章空间向量与立体几何13.1空间向量及其运算教学案苏教版

请做针对训练3
本节所涉及到的高考题是理科生必做题，要求考生能类比平面向量的概念和运算，认识空间向量的概念和运算．对于空间任何三个不共面的向量都可作为空间向量的一组基底，只要基底确定，就可用基向量表示空间其他向量．在空间中，若存在三条两两互相垂直的直线，则可将空间向量进行正交分解，从而用坐标表示它们．充分掌握空间向量的共线与共面以及数量积的运算是解决有关空间问题的基础．
2．共线、共面向量定理及空间向量基本定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是__________________．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得__________________．
1．已知G是△ABC的重心，O是空间与G不重合的任意一点，若＋＋＝λ ，求λ的值．
2．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
3．平面图形ABB1A1C1C如图(1)所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝ .现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图(2)所示的空间图形．
请做针对训练1
二、空间向量的数量积
【例2】(安徽高考)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点，
(1)证明：BD⊥EC1；

空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案

空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-一．空间直角坐标系如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z 轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y 轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．二．空间直角坐标系中的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标[例1] 在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．[例2] 长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝a，|BC|＝b，|CC1|＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标．变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。

2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。

3. 在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；(2)写出棱PB的中点M的坐标．解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD.∴OA＝2＝PA2－OA2＝2a2－2a2＝2a.以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(2a,0,0)，B(0，2a,0)，C(－2 a,0,0)，D(0，－2a,0)，P(0,0，2a)．(2)∵M为棱PB的中点，∴由中点坐标公式，得M(0＋02，2a＋02，0＋2a2)，即M(0，22a，22a)．[例3] 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．变式：1.写出点P(6，－2，－7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P 关于各坐标平面对称的点的坐标．解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A′，B′，C′，由PA⊥平面xOy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，－2,0)，点B(0，－2，－7)，点C(6,0，－7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2，－7)．2.在棱长都为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC－A1B1C1各顶点的坐标．[正解] 取BC ，B 1C 1的中点分别为O ，O 1，连线OA ，OO 1，根据正三棱柱的几何性质，OA ，OB ，OO 1两两互相垂直，且 |OA |＝32×2＝3，以OA ，OB ，OO 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (0，－1,0)，A 1(3，0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(0，－1,2)．三．空间向量在立体几何中的应用1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量．(2) 如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时把向量n 叫做平面α的法向量．2. 线面关系的判定直线l 1的方向向量为e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线l 2的方向向量为e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平面α的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面β的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．(1) 如果l 1∥l 2，那么e 1∥e 2⇔e 2＝λe 1⇔a 2＝λa 1，b 2＝λb 1，c 2＝λc 1． (2) 如果l 1⊥l 2，那么e 1⊥e 2⇔e 1·e 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0． (3) 若l 1∥α，则e 1⊥n 1⇔e 1·n 1＝0⇔a 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0．(4) 若l 1⊥α，则e 1∥n 1⇔e 1＝k n 1⇔a 1＝kx 1，b 1＝ky 1，c 1＝kz 1． (5) 若α∥β，则n 1∥n 2⇔n 1＝k n 2⇔x 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2． (6) 若α⊥β，则n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0． 3. 利用空间向量求空间角 (1) 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.②向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|.(2) 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. ②向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|(3) 二面角①二面角的取值范围是[0，π]． ②二面角的向量求法：(ⅰ) 若AB 、CD 分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图①)．(ⅱ) 设n 1、n 2分别是二面角α-l-β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．题型1 空间向量的基本运算[例1]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1) 求a 和b 的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：∵A (－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →， ∴a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)∵cosθ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 和b 的夹角为arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010. (2)∵k a ＋b ＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，解得k ＝－52或2.题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1) AM∥平面BDE ；(2) AM⊥平面BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N ，连结NE.则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.∴ NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴ NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴ NE∥AM.∵ NE 平面BDE ，AM 平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE.(2) 由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴ DF→＝(0，2，1)，∴ AM →·DF →＝0，∴ AM ⊥DF.同理AM⊥BF. 又DF∩BF＝F ，∴ AM ⊥平面BDF. 题型3 空间的角的计算例3 (2013·苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.(1) 求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2) 求二面角F-OD-E 的正弦值．解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．设F(x 0，y 0，0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4，则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0，1，0)，∵ EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴ F(3，1，0)，EF →＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2，2)．设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2) 设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥OD →，n 1⊥OF →，即⎩⎨⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，32.设二面角F-OD-E 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77.∴ sin β＝427. （翻折问题）例4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．(1) 求证： DC⊥平面ABC ； (2) 求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； (3) 求二面角B －EF －A 的余弦值．解：(1) ∵ 平面ABD⊥平面BDC ，又∵ AB⊥BD，∴ AB ⊥平面BDC ，故AB⊥DC，又∵ ∠C＝90°，∴ DC ⊥BC ，BC ABC 平面ABC ，DC 平面ABC ，故DC⊥平面ABC.(2) 如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD ＝a ，则BD ＝AB ＝2a ，BC ＝3a ，AD ＝22a ，可得B(0，0，0)，D(2a ，0，0)，A(0，0，2a)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，F(a ，0，a)，∴ CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－32a ，0，BF →＝(a ，0，a)．设BF 与平面ABC 所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝CD →·BF →|CD →|·|BF →|＝12a 2a ·2a ＝24，∴ sin θ＝24.(3) 由(2)知 FE⊥平面ABC, 又∵ BE平面ABC ，AE平面ABC ，∴ FE⊥BE，FE⊥AE ，∴ ∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角 .在△AEB 中，AE ＝BE ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝72a ， ∴ cos ∠AEB ＝AE 2＋BE 2－AB 22AE ·BE ＝－17，即所求二面角B －EF －A 的余弦为－17.课后巩固练习：1.(2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1) 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2) 设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 2. (2013·新课标全国卷Ⅱ)如图所示，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB.(1) 证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2) 求二面角DA 1CE 的正弦值． (1) 证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF. 因为DF 平面A1CD ，BC 1平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2) 由AC ＝CB ＝22AB 得AC⊥BC. 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA ＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 为平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为63. 3. (2013·重庆)如图所示，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB.(1) 求PA 的长；(2) 求二面角B-AF-D 的正弦值．解：(1) 如图，连结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD，故AC⊥BD.以O 为坐标原点，OB →、OC →、AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，则OC ＝CDcos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CDsin π3＝3，故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．因为PA⊥底面ABCD ，可设P(0，－3，z)，由F 为PC 边中点，得F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2，又AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z)，因AF⊥PB，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA→|＝2 3.(2) 由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B-AF-D 的正弦值为378.4. (2013·连云港调研)在三棱锥SABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ；(2) 求二面角S-BC-A 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO＝45°，SO ＝(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．(1) 设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1＋λ)OB →＋λOS →＝(3(1＋λ)，0，3λ)，所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)．因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故SD DB ＝12时， CD ⊥AB. (2) 平面ACB 的法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·SB →＝0，n 2·SC →＝0，则⎩⎨⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝z ，y ＝3z ，取n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2·1＝55. 又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55. 5. 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱B 1B 、DA 的中点．(1) 求二面角D 1-AE-C 的大小； (2) 求证：直线BF∥平面AD 1E.(1) 解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则相应点的坐标分别为D 1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴ED1→＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，AE →＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)， AC →＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．设平面AED 1、平面AEC 的法向量分别为m ＝(a ，b ，1)，n ＝(c ，d ，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ED 1→·m ＝0，AE →·m ＝0⎩⎨⎧－a －b ＋1＝0，b ＋1＝0⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0⎩⎨⎧－c ＋d ＝0，d ＋1＝0⎩⎨⎧c ＝－1，d ＝－1，∴m ＝(2，－1，1)，n ＝(－1，－1，1)，∴cos m ，n ＝m·n |m |·|n |＝－2＋1＋16×3＝0，∴二面角D 1AEC 的大小为90°.(2) 证明：取DD 1的中点G ，连结GB 、GF.∵E 、F 分别是棱BB 1、AD 的中点，∴GF ∥AD 1，BE ∥D 1G 且BE ＝D 1G ，∴四边形BED 1G 为平行四边形，∴D 1E ∥BG. 又D1E 、D 1A 平面AD 1E ，BG 、GF 平面AD 1E ， ∴BG ∥平面AD 1E ，GF ∥平面AD 1E.∵GF 、GB 平面BGF ，∴平面BGF∥平面AD 1E. ∵BF 平面AD 1E ，∴直线BF∥平面AD 1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF∥平面AD 1E ，亦可)6. (2013·苏州调研)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝是BC 的中点．(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1-A 1D-C 1的正弦值．解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0).设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝＝(3，0，1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→·n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535. (2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝＝(0，3，2)．设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n||m|·|m|＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.7. (2013·南通二模)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为255.解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A 1(0，2，2)，B 1(0，4，2)，AA 1→＝(0，2，2)，BC →＝B 1C 1→＝(2，－2，0)．cos 〈AA 1→，BC →〉＝AA 1→·BC →|AA 1→|·|BC →|＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3.(2) P 为棱B 1C 1中点，设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，AP →＝(2λ，4－2λ，2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP →＝0，n 1·AB →＝0.⎩⎨⎧λx＋2y －λy＋z ＝0，2y ＝0.⎩⎨⎧z ＝－λx，y ＝0.故n 1＝(1，0，－λ)，而平面ABA1的法向量是n2＝(1，0，0)，则cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P为棱B1C1中点，其坐标为P(1，3，2)．近六年高考题1. 【2010高考北京理第16题】(14分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE；(3)求二面角A-BE-D的大小．【答案】设AC与BD交与点G。

新教材高中数学第一章空间向量与立体几何4-1空间中直线平面的平行练习含解析新人教A版选择性必修第一册

第2课时空间中直线、平面的平行学习目标熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．知识点一线线平行的向量表示设u 1,u 2分别是直线l 1,l 2的方向向量,则l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ,使得u 1＝λu 2.知识点二线面平行的向量表示设u 是直线 l 的方向向量,n 是平面α的法向量,l ⊄α,则l ∥α⇔u ⊥n ⇔u ·n ＝0.知识点三面面平行的向量表示设n 1 ,n 2 分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n 1∥n 2⇔∃λ∈R ,使得n 1＝λn 2 .思考怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？答案证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路(1)转化为线线关系,然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．1．已知直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,0),平面α的法向量为n ＝(2,1,－1),则( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l ⊂α D ．l ∥α或l ⊂α答案 D2．若平面α∥β,且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12,则平面β的法向量可以是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，14B ．(2,－1,0)C ．(1,2,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2答案 A3．若两个不同平面α,β的法向量分别为u ＝(1,2,－1),v ＝(－4,－8,4),则平面α,β的位置是________．答案 α∥β解析 ∵u ＝－14v ,∴α∥β.一、证明线线平行例1 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝3,AD ＝4,AA 1＝2,点M 在棱BB 1上,且BM ＝2MB 1,点S 在DD 1上,且SD 1＝2SD ,点N ,R 分别为A 1D 1,BC 的中点．求证：MN ∥RS .证明方法一如图所示,建立空间直角坐标系,根据题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43,N (0,2,2),R (3,2,0),S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4，23. 则MN →,RS →分别为MN ,RS 的方向向量, 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23,RS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23,所以MN →＝RS →,所以MN →∥RS →,因为M ∉RS , 所以MN ∥RS .方法二设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c , 则MN →＝MB 1—→＋B 1A 1—→＋A 1N —→＝13c －a ＋12b ,RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c .所以MN →＝RS →,所以MN →∥RS →. 又R ∉MN ,所以MN ∥RS .反思感悟利用向量证明线线平行的思路证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．跟踪训练1 如图所示,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．证明以点D 为坐标原点,分别以DA →,DC →,DD 1—→为正交基底建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则A (1,0,0),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12,C 1(0,1,1),F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12,∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12,FC 1—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12,EC 1—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12,AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12,∴AE →＝FC 1—→,EC 1—→＝AF →, ∴AE →∥FC 1—→,EC 1—→∥AF →, 又∵F ∉AE ,F ∉EC 1, ∴AE ∥FC 1,EC 1∥AF ,∴四边形AEC 1F 是平行四边形．二、证明线面平行例2 在四棱锥P －ABCD 中,四边形ABCD 是正方形,侧棱PD 垂直于底面ABCD ,PD ＝DC ,E 是PC 的中点．证明：PA ∥平面EDB .证明如图所示,建立空间直角坐标系,D 是坐标原点,设PD ＝DC ＝a . 连接AC ,交BD 于点G ,连接EG ,依题意得D (0,0,0),A (a ,0,0),P (0,0,a ),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.方法一设平面BDE 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2,EB →＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，a2，－a 2,则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2y ＋z ＝0，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2－z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0.令z ＝1,则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以n ＝(1,－1,1),又PA →＝(a ,0,－a ),所以n ·PA →＝(1,－1,1)·(a ,0,－a )＝a －a ＝0. 所以n ⊥PA →.又PA ⊄平面EDB ,所以PA ∥平面EDB . 方法二因为四边形ABCD 是正方形, 所以G 是此正方形的中心,故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0,所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2. 又PA →＝(a ,0,－a ),所以PA →＝2EG →,这表明PA ∥EG . 而EG ⊂平面EDB ,且PA ⊄平面EDB , 所以PA ∥平面EDB .方法三假设存在实数λ,μ使得PA →＝λDE →＋μEB →,即(a ,0,－a )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，－a2,则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝μa ，0＝λ·a 2＋μ·a 2＝a 2λ＋μ，－a ＝λ·a 2－μ·a2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝1.所以PA →＝－DE →＋EB →,又PA ⊄平面EDB , 所以PA ∥平面EDB .反思感悟证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．跟踪训练2 在如图所示的多面体中,EF ⊥平面AEB ,AE ⊥EB ,AD ∥EF ,EF ∥BC ,BC ＝2AD ＝4,EF ＝3,AE ＝BE ＝2,G 是BC 的中点,求证：AB ∥平面DEG .证明 ∵EF ⊥平面AEB ,AE ⊂平面AEB ,BE ⊂平面AEB , ∴EF ⊥AE ,EF ⊥BE . 又∵AE ⊥EB ,∴EB ,EF ,EA 两两垂直．以点E 为坐标原点,EB ,EF ,EA 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得,A (0,0,2),B (2,0,0),C (2,4,0),F (0,3,0),D (0,2,2),G (2,2,0), ∴ED →＝(0,2,2),EG →＝(2,2,0),AB →＝(2,0,－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1,得z ＝－1,x ＝－1,则n ＝(－1,1,－1), ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0,即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG , ∴AB ∥平面DEG . 三、证明面面平行例3 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E ,F 分别是BB 1,DD 1的中点, 求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ,则D (0,0,0),A (2,0,0),C (0,2,0),C 1(0,2,2),E (2,2,1),F (0,0,1),B 1(2,2,2), 所以FC 1—→＝(0,2,1),DA →＝(2,0,0),AE →＝(0,2,1),C 1B 1—→＝(2,0,0), 设n 1＝(x 1,y 1,z 1)是平面ADE 的法向量, 则n 1⊥DA →,n 1⊥AE →, 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1.令z 1＝2,则y 1＝－1,所以可取n 1＝(0,－1,2)．同理,设n 2＝(x 2,y 2,z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1—→,n 2⊥C 1B 1—→, 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2,得y 2＝－1, 所以n 2＝(0,－1,2)．因为n 1＝n 2,即n 1∥n 2, 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思感悟证明面面平行问题的方法(1)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．跟踪训练3 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB ∥CD ,AB ＝4,BC ＝CD ＝2,AA 1＝2,F 是棱AB 的中点．试用向量的方法证明：平面AA 1D 1D ∥平面FCC 1. 证明因为AB ＝4,BC ＝CD ＝2,F 是棱AB 的中点,所以BF ＝BC ＝CF ,所以△BCF 为正三角形．因为ABCD 为等腰梯形,AB ＝4,BC ＝CD ＝2,所以∠BAD ＝∠ABC ＝60°. 取AF 的中点M ,连接DM , 则DM ⊥AB ,所以DM ⊥CD .以D 为原点,DM 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ,则D (0,0,0),D 1(0,0,2),A (3,－1,0),F (3,1,0),C (0,2,0),C 1(0,2,2), 所以DD 1—→＝(0,0,2),DA →＝(3,－1,0),CF →＝(3,－1,0),CC 1—→＝(0,0,2), 所以DD 1—→∥CC 1—→,DA →∥CF →, 所以DD 1∥CC 1,DA ∥CF ,又DD 1∩DA ＝D ,CC 1∩CF ＝C ,DD 1,DA ⊂平面AA 1D 1D ,CC 1,CF ⊂平面FCC 1, 所以平面AA 1D 1D ∥平面FCC 1.面面平行之探究典例如图所示,在正方体AC 1中,O 为底面ABCD 中心,P 是DD 1的中点,设Q 是CC 1上的点,问：当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ ∥平面PAO .解如图所示,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,在CC 1上任取一点Q ,连接BQ ,D 1Q .设正方体的棱长为1, 则O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0,P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12,A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),则Q (0,1,z ),则OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12,BD 1—→＝(－1,－1,1),∵BD 1—→＝2OP →,∴OP →∥BD 1—→,∴OP ∥BD 1. AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12,BQ →＝(－1,0,z ),当z ＝12时,AP →＝BQ →,即AP ∥BQ ,又AP ∩OP ＝P ,BQ ∩BD 1＝B ,AP ,OP ⊂平面PAO ,BQ ,BD 1⊂平面D 1BQ ,则有平面PAO ∥平面D 1BQ ,∴当Q 为CC 1的中点时,平面D 1BQ ∥平面PAO .[素养提升] (1)求点的坐标：可设出对应点的坐标,根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线,进而建立与所求点的坐标有关的等式．(2)由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式,通过应用推理的方式与方法,能较好的培养学生的合乎逻辑的思维品质．1．已知向量 a ＝(2,4,5),b ＝(3,x ,y ) 分别是直线 l 1,l 2 的方向向量,若 l 1∥l 2 ,则( ) A ．x ＝6,y ＝15 B ．x ＝3,y ＝152C ．x ＝3,y ＝15D ．x ＝6,y ＝152答案 D解析由题意得,32＝x 4＝y 5,∴x ＝6,y ＝152.2．如果直线l 的方向向量是a ＝(－2,0,1),且直线l 上有一点P 不在平面α上,平面α的法向量是b ＝(2,0,4),那么( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l ⊂α D ．l 与α斜交答案 B解析 ∵直线l 的方向向量是a ＝(－2,0,1),平面α的法向量是b ＝(2,0,4), ∴a ·b ＝－4＋0＋4＝0,∴直线l 在平面α内或者与平面平行,又直线l 上有一点P 不在平面α上, ∴l ∥α.3．若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0),n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5),n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1),n ＝(－1,0,－1) D ．a ＝(1,－1,3),n ＝(0,3,1) 答案 D解析若l ∥α,则a ·n ＝0. 而A 中a ·n ＝－2, B 中a ·n ＝1＋5＝6,C 中a ·n ＝－1,只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.4．设平面α,β的一个法向量分别为u ＝(1,2,－2),v ＝(－3,－6,6),则α,β的位置关系为____________．答案平行解析 ∵v ＝－3(1,2,－2)＝－3u ,∴α∥β.5．已知直线l ∥平面ABC ,且l 的一个方向向量为a ＝(2,m ,1),A (0,0,1),B (1,0,0),C (0,1,0)则实数m 的值是________．答案－3解析 ∵l ∥平面ABC ,∴存在实数x ,y ,使a ＝xAB →＋yAC →,AB →＝(1,0,－1),AC →＝(0,1,－1), ∴(2,m ,1)＝x (1,0,－1)＋y (0,1,－1)＝(x ,y ,－x －y ), ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝x ，m ＝y ，1＝－x －y ，∴m ＝－3.1．知识清单：(1)线线平行的向量表示． (2)线面平行的向量表示． (3)面面平行的向量表示． 2．方法归纳：坐标法、转化化归．3．常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行,忽略条件直线不在平面内．1．与向量a ＝(1,－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1,－3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．(2,－3,－22)答案 C解析 a ＝(1,－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1.2．若平面α,β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1,n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3,则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合答案 D解析因为n ＝－3m ,所以m ∥n ,所以α∥β或α与β重合．3．已知直线l 的方向向量是a ＝(3,2,1),平面α的法向量是u ＝(－1,2,－1),则l 与α的位置关系是( ) A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α答案 D解析因为a ·u ＝－3＋4－1＝0,所以a ⊥u .所以l ∥α或l ⊂α.4．(多选)若直线l 的一个方向向量为d ＝(6,2,3),平面α的一个法向量为n ＝(－1,3,0),则直线l 与平面α的位置关系是( ) A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．不能确定答案 BC解析 ∵d ·n ＝－6＋2×3＋0＝0,∴d ⊥n ,∴直线l 与平面α的位置关系是直线l 在平面α内或平行．5．已知平面α的法向量是(2,3,－1),平面β的法向量是(4,λ,－2),若α∥β,则λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6 D.103答案 B解析 ∵α∥β,∴α的法向量与β的法向量也互相平行． ∴24＝3λ＝－1－2,∴λ＝6. 6．已知平面α内的三点A (0,0,1),B (0,1,0),C (1,0,0),平面β的一个法向量为n ＝(－1,－1,－1),且β与α不重合,则β与α的位置关系是________．答案 α∥β解析 AB →＝(0,1,－1),AC →＝(1,0,－1),n ·AB →＝(－1,－1,－1)·(0,1,－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0,n ·AC →＝(－1,－1,－1)·(1,0,－1)＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0, ∴n ⊥AB →,n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量,又 α与β不重合, ∴α∥β.7．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2y －1，－14是平面α的一个法向量,且b ＝(－1,2,1),c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，－2均与平面α平行,则向量a ＝________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－952，126，－14解析由题意,知⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝0，a ·c ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋4y －94＝0，3x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－952，y ＝2752，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－952，126，－14.8．已知α,β为两个不重合的平面,设平面α与向量a ＝(－1,2,－4)垂直,平面β与向量b ＝(－2,4,－8)垂直,则平面α与β的位置关系是________．答案平行解析由题意得a ,b 分别为α,β的一个法向量,又a ∥b ,∴α∥β.9．如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC ,E ,F 分别为A 1C 1和BC 的中点．求证：C 1F ∥平面ABE .证明如图,以B 为坐标原点,分别以BC ,BA ,BB 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝a ,AB ＝b ,BB 1＝c ,则B (0,0,0),A (0,b ,0),C 1(a ,0,c ),F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2，c . 所以AB →＝(0,－b ,0),AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，c .设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－by ＝0，a 2x －b2y ＋cz ＝0，令x ＝2,则y ＝0,z ＝－ac,即n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，0，－a c.又C 1F —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，－c ,所以 n ·C 1F —→＝0,又C 1F ⊄平面ABE , 所以C 1F ∥平面ABE .10．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M 分别是A 1C 1,A 1D 和B 1A 上任意一点．求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC . 证明如图,建立空间直角坐标系Dxyz ,A 1(1,0,1),B 1(1,1,1),C 1(0,1,1),A (1,0,0),D (0,0,0),C (0,1,0),则A 1C 1—→ ＝(－1,1,0), B 1C —→ ＝(－1,0,－1), DA 1—→＝(1,0,1), B 1A —→＝(0,－1,－1),设A 1E —→＝λA 1C 1—→,A 1F —→＝μA 1D —→,B 1M —→＝v B 1A —→(λ,μ,v ∈R ,且均不为0)．设n 1＝(x 1,y 1,z 1),n 2＝(x 2,y 2,z 2)分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量, 可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·A 1E —→＝0，n 1·A 1F —→＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C 1—→＝0，n 1·DA 1—→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0，x 1＋z 1＝0，所以可取n 1＝(1,1, －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·B 1M —→＝0，n 2·B 1C —→＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·B 1A —→＝0，n 2·B 1C —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y 2－z 2＝0，－x 2－z 2＝0，可取n 2＝(1,1,－1),所以n 1＝n 2,所以n 1∥n 2, 所以平面A 1EF ∥平面B 1MC .11.如图,在正方体AC 1中,PQ 与直线A 1D 和AC 都垂直,则直线PQ 与BD 1的关系是( )A ．异面直线B ．平行直线C ．垂直不相交D ．垂直且相交答案 B解析设正方体的棱长为1,取D 点为坐标原点建系后,DA 1—→＝(1,0,1), AC →＝(－1,1,0),设PQ →＝(a ,b ,c ),则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝0，－a ＋b ＝0，取PQ →＝(1,1,－1),∵BD 1—→＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1,－1,1)＝－PQ → , ∴PQ →∥BD 1—→ , ∴PQ ∥BD 1.12.如图,正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直,AB ＝2,AF ＝1,M 在EF 上,且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫24，24，1 答案 C解析方法一以C 为原点,建立空间直角坐标系如图所示．则C (0,0,0),D (2,0,0),B (0,2,0),E (0,0,1),A (2,2,0), DE →＝(－2,0,1),BD →＝(2,－2,0),设M (a ,a ,1),平面BDE 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋z ＝0，2x －2y ＝0，令z ＝2,则x ＝1,y ＝1,所以n ＝(1,1,2), 又AM →＝(a －2,a －2,1), ∴AM →·n ＝a －2＋a －2＋2＝0, ∴a ＝22,即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1. 方法二设AC 与BD 相交于O 点,连接OE ,由AM ∥平面BDE ,且AM ⊂平面ACEF ,平面ACEF ∩平面BDE ＝OE , 所以AM ∥EO ,又O 是正方形ABCD 对角线交点, 所以M 为线段EF 的中点．在空间直角坐标系中,E (0,0,1),F (2,2,1)．由中点坐标公式,知点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1. 13．(多选)如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点M ,P ,Q 分别为棱AB ,CD ,BC 的中点,平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是( )A ．A 1M ∥D 1P B. A 1M ∥B 1QC ．A 1M ∥平面DCC 1D 1 D ．A 1M ∥平面D 1PQB 1 答案 ACD解析因为A 1M —→＝A 1A —→＋AM →＝A 1A —→＋12AB →,D 1P —→＝D 1D —→＋DP →＝A 1A —→＋12AB → ,所以A 1M —→∥D 1P —→,从而A 1M ∥D 1P ,可得ACD 正确．又B 1Q 与D 1P 不平行,故B 不正确．14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M ,N 分别为A 1B ,AC 的中点,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．答案平行解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A (2,2,2),A 1(2,2,0),C (0,0,2),B (2,0,2), ∴M (2,1,1),N (1,1,2), ∴MN →＝(－1,0,1)．又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0),∵－1×0＋0×1＋1×0＝0, ∴MN →⊥n ,∴MN ∥平面BB 1C 1C .15．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1),平面α的法向量为n ＝(2,x 2＋x ,－x ),若直线l ∥平面α,则实数x 的值为( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．± 2 答案 D解析 ∵直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1),平面α的法向量为n ＝(2,x 2＋x ,－x ),直线l ∥平面α,∴x 2－2＝0,解得x ＝± 2.16.如图,四棱锥P －ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,∠ABC ＝∠BAD ＝90°,PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1.问：在棱PD 上是否存在一点E ,使得CE ∥平面PAB ？若存在,求出E 点的位置；若不存在,请说明理由．解分别以AB ,AD ,AP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,如图．则P (0,0,1),C (1,1,0),D (0,2,0), 设E (0,y ,z ),则 PE →＝(0,y ,z －1), PD →＝(0,2,－1),∵PE →∥PD →,∴y 2＝z －1－1,① ∵AD →＝(0,2,0)是平面PAB 的法向量, CE →＝(－1,y －1,z ),∴由CE ∥平面PAB ,可得CE →⊥AD →, ∴(－1,y －1,z )·(0,2,0)＝2(y －1)＝0, ∴y ＝1,代入①式得z ＝12.∴E 是PD 的中点,即存在点E 为PD 中点时,CE ∥平面PAB .。

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（ 1）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》,本节课主要学习运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系,主要是平行。

在向量坐标化的基础上,将空间中线线、线面、面面的位置关系,转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示,从而实现运用空间向量解决立体几何问题,为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点,为培养学生思维提供了更广阔的空间。

1.教学重点:用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系2.教学难点: 用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝。

在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。

牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。

如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。

这是为什么呢? 二、探究新知一、空间中点、直线和平面的向量表示 1.点的位置向量在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示.我们把向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 称为点P 的位置向量.如图.2.空间直线的向量表示式如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t a ,即AP⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t a , ① 或OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.创设问题情境,引导学生回顾空间中线线、线面、面面的位置关系,并提出运用空间向量解法立体几何的问题,实现将空间几何问题代数化的基本思想1.下列说法中正确的是( ) A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的答案:B 详细解析:由平面法向量的定义可知,B 项正确.3.空间平面的向量表示式如图,取定空间任意一点O ,空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ,y ,使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.4.平面的法向量如图,直线l ⊥α,取直线l 的方向向量a ,我们称向量a 为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a ,那么过点A ,且以向量a 为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0}.点睛:空间中,一个向量成为直线l 的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l 平行或重合.2.若直线l 过点A (-1,3,4),B (1,2,1),则直线l 的一个方向向量可以是( )A.(-1,12,-32) B.(-1,-12,32) C.(1,12,32) D.(-23,13,1) 答案:D 详细解析: AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-3)=-3(-23,13,1),故选D . 3.若两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2,1),则平面ABC 的一个法向量为( )答案:平行详细解析:因为u ·n =(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u ⊥n .所以直线与平面平行,即l ∥β.例1.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=DC=1,E 是PC 的中点,求平面EDB 的一个法向量.思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.解:如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D (0,0,0),P (0,0,1), E (0,12,12),B (1,1,0),于是DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12), DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0). 设平面EDB 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ⊥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是{n ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12y +12z =0,n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0,取x=1,则y=-1,z=1,故平面EDB 的一个法向量为n =(1,-1,1). 延伸探究:本例条件不变,你能分别求出平面PAD 与平面PCD 的一个法向量吗?它们之间的关系如何?解:如同例题建系方法,易知平面PAD 的一个法向量为n 1=(0,1,0),平面PCD 的一个法向量为n 2=(1,0,0),因为n 1·n 2=0,所以n 1⊥n 2.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n =(x ,y ,z ).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a =(a 1,b 1,c 1),b =(a 2,b 2,c 2).(3)根据法向量的定义建立关于x ,y ,z 的方程组{n ·a =0,n ·b =0.(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.1.如图所示,已知四边形ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,∠ABC=90°,SA ⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=1, AD=12,试建立适当的坐标系. (1)求平面ABCD 的一个法向量; (2)求平面SAB 的一个法向量; (3)求平面SCD 的一个法向量.解:以点A 为原点,AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D 12,0,0,S (0,0,1).(1)∵SA ⊥平面ABCD ,∴AS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量. (2)∵AD ⊥AB ,AD ⊥SA ,∴AD ⊥平面SAB , ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗ =12,0,0是平面SAB 的一个法向量.(3)在平面SCD 中,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,1,0,SC⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1). 设平面SCD 的法向量是n =(x ,y ,z ),则n ⊥DC⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥SC ⃗⃗⃗⃗ ,∴{n ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗=0,n ·SC ⃗⃗⃗⃗ =0, 得方程组{12x +y =0,x +y -z =0,∴{x =-2y ,z =-y ,令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).例2.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,AD=3,AA 1=2,点P ,Q ,R ,S 分别是AA 1,D 1C 1,AB ,CC 1的中点.求证:PQ ∥RS.证明: (方法1)以点D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则P (3,0,1),Q (0,2,2),R (3,2,0),S (0,4,1),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,1),RS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,1), ∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =RS ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥RS ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即PQ ∥RS.(方法2)RS ⃗⃗⃗⃗⃗ =RC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CS ⃗⃗⃗⃗=12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,通过典型例题的分析和解决,让学生感受空间向量坐标运算在解决立体几何问题的应用。

山东省淄博市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测试题数学含解析

2023—2024学年度第一学期高二教学质量检测数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线1x =的倾斜角是（）A.0B.π4C.π2D.不存在2.抛物线22y x =的准线方程为（）A.14y =- B.18y =-C.14x =-D.18x =-3.过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为（）A .3270x y ++= B.3210x y +-=C.2350x y -+= D.2380x y -+=4.甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为12，14，则两人中至少有一人通过的概率为（）A.58 B.15C.110D.3105.直线142x y+=与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A.224230x y x y +---=B.22420x y x y +--=C.224230x y x y +--+= D.22240x y x y +--=6.如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别为,BC AE 的中点，G 为ACD 的重心，则FG =（）A.1113124AB AC AD -++B.1114123AB AC AD -++C.1114123AB AC AD -+D.1113124AB AC AD +-7.已知正方体1111ABCD A B C D -，若P 是棱11B C 的中点，则异面直线1A P 和1CD 夹角的余弦值为（）A.15B.5C.D.1058.双曲线C ：22221x y a b-=的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若22AB BF =，且121cos 4F BF ∠=，则直线1A B 与2A B 的斜率之积为（）A.53 B.35C.43D.34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()05,P y 在抛物线上，且6PF =，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则（）A.2p = B.抛物线的准线为直线1y =C.0y =D.FPQ △的面积为10.若()16P AB =，()23P A =，()12P B =，则下列说法正确的是（）A.()12P A =B.事件A 与B 相互独立C.事件A 与B 不互斥D.()56P A B +=11.点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A.||PQ 的最小值为3B.||PQ 的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为43-D.两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AB AD AA λμγ=++，λ，μ，γ∈R （P ，B ，D ，1A 四点不重合），则下列说法正确的是（）．A.当1λμγ++=时，PA 的最小值是1B.当1λ=，μγ=时，PB ∥平面11AB DC.当1λμ==，12γ=时，平面PBD ⊥平面1A BDD.当1λμ=，0γ=时，直线1PA 与平面1111D C B A 所成角的正切值的最大值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为__________.14.经过两条直线12:2,:21l x y l x y +=-=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v =的直线方程为__________.15.P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知3AB =，4=AD ，1PA =，则点P 到BD 的距离为__．16.已知1F ，2F 分别为椭圆22219x y b+=的左、右焦点，以2F 为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线80x -+=相切．P 为椭圆上一点，I 为12PF F △的内心，且1122IPF IF F IPF S S S λ=- ，则λ的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==.设1,,AB a AC b AA c === .（1）试用,,a b c表示向量MN ；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -+=上，与直线20x +-=相切于点(-.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点()2,0的直线与圆C 相交于M ，N 两点，若MNC 的面积为423，求该直线的方程.19.已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32.（1）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上；（2）这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于,A B 两点，求AB .20.某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过".并给予录取.甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为53,65，在面试中“通过”的概率依次为23,34，笔试和面试是否“通过”是独立的.（1）甲､乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由：（2）求甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，()0AF t t =>，M 是线段EF 的中点.（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求平面ADF 与平面BDF 夹角的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值.22.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，且经过点A .（1）求双曲线C 的方程；（2）点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足.证明：①直线MN 过定点；②存在定点Q ，使得DQ 为定值.2023—2024学年度第一学期高二教学质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线1x =的倾斜角是（）A.0B.π4C.π2D.不存在【答案】C 【解析】【分析】利用直线倾斜角的定义即可得解.【详解】因为直线1x =与x 轴垂直，因此直线1x =的倾斜角是π2．故选：C ．2.抛物线22y x =的准线方程为（）A.14y =- B.18y =-C.14x =-D.18x =-【答案】B 【解析】【分析】把抛物线方程化成标准形式，再求出其准线方程即得.【详解】抛物线22y x =方程化为212x y =，所以抛物线22y x =的准线方程为18y =-.故选：B3.过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为（）A.3270x y ++=B.3210x y +-=C.2350x y -+=D.2380x y -+=【答案】B 【解析】【分析】根据直线垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解.【详解】直线2340x y -+=的斜率为23，所以与直线2340x y -+=垂直的直线斜率为32-，故由点斜式可得()312x +y-2=-，即3210x y +-=，故选：B4.甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为12，14，则两人中至少有一人通过的概率为（）A.58 B.15C.110D.310【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，两人中至少有一人通过的概率为1151(1)(1)248--⋅-=.故选：A 5.直线142x y+=与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A.224230x y x y +---=B.22420x y x y +--=C.224230x y x y +--+=D.22240x y x y +--=【答案】B 【解析】【分析】根据直线方程求出A ，B 点的坐标，法一：利用圆的直径式方程直接求得；法二：求出A B 中点即为圆心，AB 长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.【详解】由题：(4,0),(0,2)A B 法一：根据圆的直径式方程可以得到：以线段AB 为直径的圆的方程为(4)(2)0x x y y -+-=，即22420x x y y -+-=，故选：B .法二：AB 中点为(2,1)，AB ==故以线段AB 为直径的圆的圆心为(2,1)，半径为所以圆的方程为()()22215x y -+-=，展开化简得：22420x y x y +--=，故选：B .6.如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别为,BC AE 的中点，G 为ACD 的重心，则FG =（）A.1113124AB AC AD -++B.1114123AB AC AD -++C.1114123AB AC AD -+D.1113124AB AC AD +-【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，将F G用,,AB AC AD 表示即可.【详解】因为,E F 分别为,BC AE 的中点，所以()1124AF AE AB AC ==+.因为G 为ACD 的重心，所以()13AG AC AD =+，所以()()11111344123FG AG AF AC AD AB AC AB AC AD =-=+-+=-++.故选：B.7.已知正方体1111ABCD A B C D -，若P 是棱11B C 的中点，则异面直线1A P 和1CD 夹角的余弦值为（）A.15B.5C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，结合正方体的结构特征，利用几何法求出异面直线夹角的余弦值.【详解】令正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，连接1,BA BP，则11A P BP A B ===四边形11A BCD 是正方体1AC 的对角面，则四边形11A BCD 是矩形，即11//A B CD ，因此1BA P ∠是异面直线1A P 和1CD 所成的角，在等腰1PA B中，11112cos 5A BBA P A P∠===，所以异面直线1A P 和1CD夹角的余弦值为5.故选：D8.双曲线C ：22221x y a b-=的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若22AB BF =，且121cos 4F BF ∠=，则直线1A B 与2A B 的斜率之积为（）A.53 B.35C.43D.34【答案】A【解析】【分析】设2BF m =，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在2ABF △和12F BF 中利用余弦定理，求出43m a =以及2238c a =，继而求得2235b a =，再结合双曲线方程推出1222A B A B b ak k ⋅=，即可求得答案.【详解】由题意结合双曲线定义可知211222AF AF aBF BF a⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，且22AB BF =，不妨设2BF m =，则2AB m =，12BF m a =+，11||2AF BF AB a m =-=-，24AF a m =-.在2ABF △中，121cos 4F BF ∠=，由余弦定理得21222222||||2||||cos AF AB BF AB BF F BF =+-∠⋅⋅，即22221(4)444a m m m m -=+-⨯，即2238160m am a +-=，解得43m a =.在12F BF 中，由余弦定理得21222212112||||2||cos ||F F BF BF BF BF F BF =+-∠⋅⋅，即22214(2)2(2)4c m a m m a m =++-+⨯，即2228368c m ma a =++，结合43m a =，即得2238c a =，故得2223)(8b a a +=，即2235b a =.又可设00(,)B x y ，则22222200002221,()x y b y x a a b a-=∴=-，而12(,0),(,0)A a A a -，故122000220220053A B A B y y y k k x a x a b x a a ⋅=⋅=+-==-，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据所给121cos 4F BF ∠=，分别在2ABF △和12F BF 中利用余弦定理，求出43m a =，继而求得2235b a =，再结合双曲线方程推出1222A B A B b ak k ⋅=，即可求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()05,P y 在抛物线上，且6PF =，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则（）A.2p =B.抛物线的准线为直线1y =C.0y =D.FPQ △的面积为【答案】AD 【解析】【分析】根据抛物线的定义以及焦半径的长度求出p 值判断AB ；求出点P 的纵坐标判断C ；求出FPQ △的面积判断D.【详解】抛物线22(0)y px p =>的准线为直线2px =-，过点P 向准线作垂线垂足为M ，由抛物线的定义知562pPF PM ==+=，解得2p =，则抛物线的方程为24y x =，准线为直线=1x -，A 正确，B 错误；将5x =代入抛物线方程，解得0y =±C 错误；焦点(1,0)F ，点(5,P ±，即||PQ =，则1(51)2FPQ S =⨯-=△，D 正确.故选：AD10.若()16P AB =，()23P A =，()12P B =，则下列说法正确的是（）A.()12P A =B.事件A 与B 相互独立C .事件A 与B 不互斥D.()56P A B +=【答案】BC 【解析】【分析】利用对立事件概率计算判断A ；利用相互独立事件的定义判断B ；利用互斥事件的意义判断C ；利用概率的基本性质计算判断D.【详解】对于A ，由()23P A =，得()21133P A =-=，A 错误；对于B ，由()12P B =，()13P A =，()16P AB =，得()()()P AB P A P B =，事件A 与B 相互独立，B 正确；对于C ，由()16P AB =，得事件A 与B 可以同时发生，则事件A 与B 不互斥，C 正确；对于D ，()1112()()()3263P A B P A P B P AB +=+-=+-=，D 错误.故选：BC11.点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A.||PQ 的最小值为3B.||PQ 的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为43- D.两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=【答案】ABC 【解析】【分析】分别找出两圆的圆心1C 和2C 的坐标，以及半径r 和R ，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离12C C ，根据12C C 大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又P 为圆1C 上的点，Q 为圆2C 上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出12C C k .【详解】圆221:1C x y +=的圆心坐标1(0,0)C ，半径1r =圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=的圆心坐标2(3,4)C -，半径1R =∴圆心距125C C ==又 P 在圆1C 上，Q 在圆2C 上则PQ 的最小值为12min 3PQ C C R r =--=，最大值为12max 7PQ C C R r =++=．故A 、B 正确；两圆圆心所在的直线斜率为12404303C C k --==--，C 正确；圆心距125C C ==大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D 错误.故答案为：ABC12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AB AD AA λμγ=++，λ，μ，γ∈R （P ，B ，D ，1A 四点不重合），则下列说法正确的是（）．A.当1λμγ++=时，PA 的最小值是1B.当1λ=，μγ=时，PB ∥平面11AB DC.当1λμ==，12γ=时，平面PBD ⊥平面1A BDD.当1λμ=，0γ=时，直线1PA 与平面1111D C B A 所成角的正切值的最大值为2【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据空间向量分析可知点P 在平面1A BD 内，利用等体积法求点A 到平面1A BD 的距离；对于B ：根据空间向量分析可知点P 在直线1BC 上，根据线面平行的判定定理分析判断；对于C ：根据空间向量分析可知点P 为取1CC 的中点，结合线面垂直关系分析证明；对于D ：根据空间向量分析可知点P 在平面ABCD 内，根据线面夹角的定义结合基本不等式分析判断.【详解】对于选项A ：当1λμγ++=时，即()1γλμ=-+，则()111AP AB AD AA AB AD AA λμγλμλμ⎡⎤=++=++-+⎣⎦ ，可得()()111AP AA AB AA AD AA λμ-=-+- ，则111λμ=+uuu r uuu r uuu rA P AB A D ，可知点P 在平面1A BD 内，设点A 到平面1A BD 的距离为d ，可知11A B A D BD ===由11A A BD A ABD V V --=可得111111132232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得3d =，所以PA 的最小值是3d =，故A 错误；对于选项B ：当1λ=，μγ=时，则11λμγμμ=++=++uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r AP AB AD AA AB AD AA ，可得()1AP AB AD AA μ-=+ ，则1μ=uu r uuu r BP AD ，由正方体的性质可知：AB ∥11C D ，且11AB C D =，则11ABC D 为平行四边形，可得1AD ∥1BC ，且11AD BC =，即11AD BC =，则1μ=uu r uuu r BP BC ，可知点P 在直线1BC 上，直线PB 即为直线1BC ，且1AD ∥1BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，所以1BC ∥平面11AB D ，即PB ∥平面11AB D ，故B 正确；对于选项C ：当1λμ==，12γ=时，则1111122λμγ=++=++=+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r AP AB AD AA AB AD AA AC CC ，取1CC 的中点M ，可得112=+=+=uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu rAP AC CC AC CM AM ，可知点P 即为点M ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA BD ⊥，设AC BD O = ，连接OP ，可知AC BD ⊥，1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11AA C C ，所以BD ⊥平面11AA C C ，且1AC ⊂平面11AA C C ，可得1BD AC ⊥，同理可得：11A B AC ⊥，且1BD A B B = ，1,BD A B ⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，又因为,O P 分别为1,AC CC 的中点，则OP ∥1AC ，可得OP ⊥平面1A BD ，且OP ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面1A BD ，故C 正确；对于选项D ：当1λμ=，0γ=时，则1λμγλμ=++=+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu rAP AB AD AA AB AD ，可知点P 在平面ABCD 内，因为平面ABCD ∥平面1111D C B A ，则直线1PA 与平面1111D C B A 所成角即为直线1PA 与平面ABCD 所成的角，因为1AA ⊥平面ABCD ，则直线1PA 与平面ABCD 所成的角为1A PA ∠，可得111tan ∠==AA A PA AP AP，又因为1λμ=，即1μλ=，则1λλ=+uu u r uu u r uuu r AP AB AD ，可得22222221122λλλλ=++⋅=+≥=uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r AP AB AD AB AD ，当且仅当221λλ=，即1λ=±时，等号成立，可知AP 11tan ∠=A PAAP 2=，所以直线1PA 与平面1111D C B A 所成角的正切值的最大值为2，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点睛：根据空间向量的线性运算，结合向量共线或共面的判定定理确定点P 的位置，方可结合立体几何相关知识分析求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为__________.【答案】35##0.6【解析】【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式计算即得.【详解】从2至6的5个整数中随机取2个不同数的试验的样本空间为：{(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}Ω=（交换数字位置算一种情况），共10个样本点，所取2个数互质的事件{(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(5,6)}A =，共6个样本点，所以这2个数互质的概率为63()105P A ==.故答案为：3514.经过两条直线12:2,:21l x y l x y +=-=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v =的直线方程为__________.【答案】2310x y -+=【解析】【分析】求出交点坐标，根据直线的方向向量得到直线方程.【详解】221x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标为()1,1，因为直线的一个方向向量()3,2v =，所以直线方程为()2113y x -=-，即2310x y -+=.故答案为：2310x y -+=15.P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知3AB =，4=AD ，1PA =，则点P 到BD 的距离为__．【答案】135##2.6【解析】【分析】方法一：过A 作AE BD ⊥，交BD 于E ，连结PE ，则可得PE 是点P 到BD 的距离，然后求解即可，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】方法一矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，5BD ∴==，过A 作AE BD ⊥，交BD 于E ，连结PE ，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又AE BD ⊥，PA AE A = ，BD ∴⊥平面PAE ，∵PE ⊂平面PAE ，PE BD ∴⊥，即PE 是点P 到BD 的距离，1122AB AD BD AE ⨯⨯=⨯⨯ ，125AB AD AE BD ⨯∴==，135PE ∴===，∴点P 到BD 的距离为135．方法二∵PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，∴,PA AB PA AD ⊥⊥，∵AB AD⊥∴PA AB AD 、、三线两两垂直，∴以A 为原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()()()001300040P B D ∴，，，，，，，，，()301BP ∴=- ，，，()340BD =- ，，，∴cos ,91691510BP BD BP BD BP BD⋅==+⋅+，∴点P 到BD 的距离为229131cos ,1015510d BP BD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故答案为：13516.已知1F ，2F 分别为椭圆22219x y b+=的左、右焦点，以2F 为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线380x -+=相切．P 为椭圆上一点，I 为12PF F △的内心，且1122IPF IF F IPF S S S λ=- ，则λ的值为______．【答案】32##1.5【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式求出椭圆焦点坐标，再利用三角形内接圆与三角形面积的关系列式，结合椭圆定义即可求出答案.【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ，2F 为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为3R a c c =+=+，根据题意可知813c R +=+，解得2c =设12PF F △的内接圆半径为r ，则1112IPF S PF r =⋅△，121212IF F S F F r =⋅ ，2212IPF S PF r =⋅△故112212212F F P r P r r F F λ⋅⋅-⋅=，化简可得1212PF PF F F λ+=，即22a c λ=⋅，解得32λ=故答案为：32四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==.设1,,AB a AC b AA c === .（1）试用,,a b c表示向量MN ；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长.【答案】（1）122333MN a b c=-++（2【解析】【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示MN；（2）利用向量的数量积运算求解向量的模.【小问1详解】1111MN MA A C C N=++ 12133BA AC CB =++()1221333AB AA AC AB AC=-+++-1122333AB AA AC =-++，又AB a =，AC b =，1AA c = ，∴122=333MN a b c -++ ．【小问2详解】因为11AB AC AA ===，1a b c ===．90BAC ∠=︒ ，0a b ∴⋅=．1160BAA CAA ∠=∠=︒ ，12a cbc ∴⋅=⋅= ，()22122=9MN a b c ∴=-++ ()2221114444899a b c a b a c b c ++-⋅-⋅+⋅=，3MN ∴= ．18.已知圆C 的圆心在直线20x y -+=上，与直线20x +-=相切于点(-.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点()2,0的直线与圆C 相交于M ，N 两点，若MNC的面积为3，求该直线的方程.【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）20x -=或20x ±-=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出经过切点的半径所在直线方程，再求出圆心坐标即可得解.（2）根据给定条件，利用点到直线的距离公式及弦长公式，列式计算即得.【小问1详解】依题意，过点(-且垂直于直线20x +-=的直线方程为1)y x =+，则圆C 的圆心C在直线y =+上，由20x y y -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩20x y =-⎧⎨=⎩，即点(2,0)C -，因此圆C的半径2r =，所以圆C 的标准方程为22(2)4x y ++=.【小问2详解】显然直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=，则点C 到直线MN的距离d =||MN ==，于是MNC 的面积218||1342||213MNCk S MN d k =⋅==+，解得11k =±或5k =±，所以直线MN的方程为(2)11y x =±-或(2)5y x =±-，即20x ±-=或20x ±-=.19.已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32.（1）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上；（2）这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于,A B 两点，求AB .【答案】（1）证明见解析（2）133【解析】【分析】（1）设这组平行直线的方程为32y x m =+，与椭圆方程联立，借助韦达定理求得弦中点坐标即可判断得解.（2）求出椭圆焦点坐标及直线AB 的方程，再利用弦长公式计算即得.【小问1详解】设这组平行直线的方程为32y x m =+，则2232149y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得22962180x mx m ++-=，由()()()222Δ64921836180m m m =-⨯⨯-=->，得3232m -<<设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，则1223x x m +=-，因此这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为11(,)32m m -，显然点11(,)32m m -始终在直线32y x =-上，所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线32y x =-上.【小问2详解】椭圆22149x y +=的焦点坐标为(0,，由对称性，不妨取焦点F ，直线3:2AB y x =设3344(,),(,)A x y A x y ，由（1）知，343489x x x x +==-，所以133AB =..20.某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过".并给予录取.甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为53,65，在面试中“通过”的概率依次为23,34，笔试和面试是否“通过”是独立的.（1）甲､乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由：（2）求甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率.【答案】（1）甲获得录取的可能性大，理由见解析，（2）3445【解析】【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式分别计算甲乙两人被录取的概率，再比较即可，（2）甲､乙两人中至少有一人获得录取包括3种情况：甲被录取乙没被录取，甲没被录取乙被录取，甲､乙都被录取，求出每种情况的概率，再利用互斥事件的概率加法公式可求得结果.【小问1详解】记“甲通过笔试”为事件1A ，“甲通过面试”为事件2A ，“甲获得录取”为事件A ，“乙通过笔试”为事件1B ，“乙通过面试”为事件2B ，“乙获得录取”为事件B ，则由题意得12125233(),(),(),()6354P A P A P B P B ====，笔试和面试是否“通过”是独立的，所以12525()()()639P A P A P A ==⨯=,12339()()()5420P B P B P B ==⨯=,因为59920>，即()()P A P B >，所以甲获得录取的可能性大【小问2详解】记“甲､乙两人中至少有一人获得录取”为事件C ，则由题意得()()()()P C P AB P AB P AB =++()((()()()P A P B P A P B P A P B =++595959341192092092045⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率为3445.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，()0AF t t =>，M 是线段EF 的中点.（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求平面ADF 与平面BDF 夹角的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值.【答案】（1）证明负了解析；（2）π3；（3.【解析】【分析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接,EO AM ，结合平行四边形的判定性质，再利用线面平行的判定定理推理即得.（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解即得.（3）由（2）的信息，利用空间向量垂直的坐标表示建立函数求解即可.【小问1详解】设AC BD O = ，连结AM ，EO ，矩形ACEF 中，M 是线段EF 的中点，O 是线段AC 的中点，则//EM AO ，EM AO =，于是OAME 为平行四边形，则//AM EO ，又AM ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，所以//AM 平面BDE.【小问2详解】由平面ABCD ⊥平面ACEF ，EC AC ⊥，平面ABCD 平面ACEF AC =，EC ⊂平面ACEF ，得EC ⊥平面ABCD ，又CD CB ⊥，则直线,,CD CB CE 两两垂直，以点C 为原点，直线,,CD CB CE 分别为,,x y z 轴建立如空间直角坐标系，1t =，则(0,0,0),(0,0,1),C D A F E B，BD =，DF = ，设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n DF z n BD ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，得(1,1,n = ，由(0,0,1),(0,AF AD == ，得平面ADF 的一个法向量为(1,0,0)m = ，设平面ADF 与平面BDF 夹角为θ，则||1cos |cos ,|2||||m n m n m n θ⋅=〈〉== ，解得π3θ=，所以平面ADF 与平面BDF 夹角的大小为π3.【小问3详解】由（2）知，(0,0,0),),(0,0,),(0,C A F t E t B ，则(0,)BE t =，(AC = ，设1)0(AP AC λλ=≤≤ ，则(,,0)AP =，,0)P，于是,)PF t = ，由PF BE ⊥，得0PF BE ⋅= ，即220t λ-+=，因此22t λ=，又[]0,1λ∈，所以22t ≤，即t .【点睛】关键点睛：第三问，设CP CA λ= ，其中[]0,1λ∈，根据向量的坐标表示得到),PF t =-，()0,BE t = ，再由垂直关系列方程得到参数关系为关键.22.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，且经过点A .（1）求双曲线C 的方程；（2）点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足.证明：①直线MN 过定点；②存在定点Q ，使得DQ 为定值.【答案】22.22139x y -=；23.①证明见解析；②存在定点1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由给定的点和离心率求出,a b 即可得双曲线C 的方程.（2）设出点,M N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+，联立直线与双曲线方程，结合已知求得,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，验证直线斜率不存在的情况，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【小问1详解】由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，得2a ==，则b =，由双曲线C 过点A ，得22431a b -=，于是3a b ==，所以双曲线C 的方程为22139x y -=.【小问2详解】①设点1122(,),(,)M x y N x y ，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，由2239y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得，222(3)290k x kmx m -+++=，显然2222230Δ44(3)(9)0k k m k m ⎧-≠⎨=--+>⎩，即22230930k m k ⎧-≠⎨+->⎩，212122229,33km m x x x x k k ++=-=--，由AM AN ⊥，得0AM AN ⋅= ，而1122(2,(2,AM x y AN x y =--=- ，则12121212(2)(2)((2)(2)(0x x y y x x kx m kx m --+=--++-+-=，整理得221212(1)[(2]()(40k x x k m x x m ++--++-+=，即22222(1)(9)2[(2]7033k m km k m m k k ++--+-+=--，整理得(20k m k m +-+=，显然直线MN 不过点A ，即20k m +-≠，因此40k m -+=，即4m k =+符合题意，直线MN ：(4)y k x =++过定点(4,P -，当直线MN 斜率不存在时，点11(,)N x y -，2111(2)(0x y y -+--=，而221139x y -=，显然12x ≠，解得14x =-，直线MN ：4x =-过点(4,P -，所以直线MN 过定点(4,P -.②由①知，直线MN 过定点(4,P -，而点A ，线段AP 中点1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又AD MN ⊥，当点D 与P 不重合时，点D 是以线段AP 为斜边的直角三角形的直角顶点，则1||||22DQ AP ==，当点D 与P 重合时，1||||22DQ AP ==，所以存在定点1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，使得DQ 为定值2.【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．。

1.4.2.2用空间向量研究夹角问题高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3
Ԧ
|
2
3
Ԧ
|.
2
Ԧ
= 4 3||.
又因为降落伞匀速下落，所以|Ԧ合 | = |Ԧ礼物 | = 1 × 9.8 = 9.8().
Ԧ
所以4 3||
= 9.8.
Ԧ =
所以||
9.8
4 3
≈ 1.41().
课本P38
练习巩固
思
2. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.
添加正负号
课后作业
优化学案、小本
练
AF=1，求平面ADF与平面BDF夹角的大小.
z
解：如图建立空间直角坐标系 Cxyz , 则
E
D( 2 ,0,0), A( 2 , 2 ,0), F ( 2 , 2 ,1), B(0, 2 ,0),
F
C
DB ( 2 , 2 ,0), DF (0, 2 ,1)
y
设平面BDF的法向量为n ( x, y, z ),
3、平面与平面所成角： = | < , > | =

∈ [0, ]
2
|∙|
||∙||
二面角：先计算平面角再根据图分辨锐、钝二面角（肉眼观察），
添加正负号
思
优化学案P65
例题解析
例2-1:. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，AB= ，
∴BD1 (1, 1, 2), AF1 (1,0, 2).
| cos BD1 , AF1 |
| BD1 AF1 |
| BD1 || AF1 |

x A
30

.

2022-2023学年山东省实验中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知椭圆222125x y m+=（0m >）的一个焦点为()10,4F -，则m =（）A ．41B ．3C ．41D ．9A【分析】根据椭圆中,,a b c 的关系运算求解，注意焦点所在的位置. 【详解】由题意可知：椭圆的焦点在y 轴上，且4,5,c b a m ===，则2241m b c =+=. 故选：A.2．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0C【详解】∵kAB ＝3(1)235--=--，过P 与AB 平行的直线方程为y －1＝－2(x －0)，即：2x ＋y －1＝0；又AB 的中点C (4,1)，∴PC 的方程为y ＝1.选C.3．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE.则M 点的坐标为（）A ．(1，1，1)B ．22(C ．22(D ．22(C【详解】试题分析：设,AC BD 交于点O ，连结OE ，因为正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2,1AB AF ==，点M 在EF 上，且//AM 平面BDE ，所以//AM OE ，又//AO EM ，所以OAME 是平行四边形，所以M 是EF 的中点，因为(0,0,1),(2,2,1)E F ，所以22(,,1)22M ，故选C ．空间直角坐标系中点的坐标．4．已知椭圆22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．245x ＋236y ＝1B ．236x ＋227y ＝1C ．227x ＋218y ＝1D ．218x ＋29y ＝1D【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，所以22222211222211x y a x y a b b ⎧+=⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩，运用点差法，所以直线AB 的斜率为22bk a =，设直线方程为22(3)b y x a=-，联立直线与椭圆的方程222224()690a b x b x b a +-+-=，所以2122262b x x a b+==+；又因为229a b -=，解得229,18b a ==. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.5．若直线 ()1y k x =+ 与曲线 212y x x =- 仅有一个公共点，则 k 的取值范围是（）A ．{}1,103⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦B ．1(,1)3{}0⋃ C ．14,133⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D ．14,133⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭D【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数k 的取值范围．【详解】解：曲线212y x x =+-即22(1)20(1)x y x y +--=，即22(1)(1)1(1)x y y -+-=，表示(1,1)M 为圆心，1r =为半径的圆的上半部分，直线(1)y k x =+恒过定点(1,0)-，考查临界情况：当直线过点(0,1)时，直线的斜率1k =，此时直线与半圆有两个交点，当直线过点(2,1)时，直线的斜率13k =，此时直线与半圆有1个交点，当直线与半圆相切时，圆心(1,1)M 到直线0kx y k -+=的距离为1，且0k >，即2|1|11k k k -+=+，解得：43k =，(0k =舍去）．据此可得，实数k 的取值范围是14[,1)33⎧⎫⎨⎬⎩⎭．故选：D ．6．已知直线l 过定点()2,3,1A ，且方向向量为0,1,1s ，则点4,3,2P 到l 的距离为（）A 32B 2C 10D 2A【分析】本题首先可根据题意得出AP ，然后求出AP 与s AP s，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】因为()2,3,1A ，4,3,2P ，所以2,0,1AP，则5AP ，22s APs，由点到直线的距离公式得22322=s d APAPs，故选：A.7．已知圆22:20C x y x +-=与直线:20(0)l mx y m m -+=>，过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A ，B ，若线段ABm 的值为（）A BC D D【分析】设02ACP πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则||2sin AB θ=，则由题意可求得3πθ=，从而可得min ||2CP =，而CP 的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m 的值【详解】圆22:(1)1C x y -+=，设02ACP πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则||2sin AB θ=，因为min ||AB min (sin )θ= 又02πθ<<，所以32ππθ≤<，又1||cos CP θ=，所以min 1||2cos3CP π==2=，又0m >，所以m = 故选：D ．8．椭圆E 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >，过2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A 点，点A 关于坐标原点的对称点为B ，且1120AF B ∠=︒，1F ABS =） A ．22143x y +=B ．2213x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=C根据椭圆的对称性可知1260F AF ∠=︒且12F AF S=从而可求出122F F =、2AF ，故可求出,,a b c ，最后可得椭圆的方程.【详解】如图，根据椭圆的对称性可知四边形21AF BF 为平行四边形，因为1120AF B ∠=︒，故1260F AF ∠=︒且121233F AF F ABS S==，即21212323AF F F ⨯=. 因为12F AF 为直角三角形，故1223F F AF =，故223=3AF ，所以122F F =即1c =，又2223=3b AF a =，故21233a a -=，解得3a =，故2b =，所以椭圆的方程为.22132x y +=故选：C.本题考查椭圆的方程的求法，注意根据椭圆对称性把已知的角归结为焦点三角形的顶角，把已知的面积归结为焦点三角形的面积，本题属于中档题.二、多选题9．已知三条直线2310,4350,10x y x y mx y -+=++=--=不能构成三角形，则实数m 的取值可以是（） A ．43-B ．23-C ．23D ．2ABC【分析】由已知，设出直线123,,l l l ，先求解出直线12,l l 的交点坐标11,3A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后再分13//l l ；23//l l ；3l 经过点11,3A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭三种情况分别计算即可完成求解.【详解】由已知，设1:2310l x y -+=，2:4350l x y ++=，3:10l mx y --=，由23104350x y x y -+=⎧⎨++=⎩可知，直线12,l l 相交于点11,3A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线3:10l mx y --=恒过定点()0,1B -，因为三条直线不能构成三角形，所以13//l l ；23//l l ；3l 经过点11,3A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；①当13//l l 时，1:2310l x y -+=，3:10l mx y --=，所以()213m ⨯-=-，解得23m =； ②当23//l l 时，2:4350l x y ++=，3:10l mx y --=，所以()413m ⨯-=，解得43m =-；③当3l 经过点11,3A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，23m =-，所以实数m 的取值集合为224,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.故选：ABC.10．已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+相交于A 、B 两点，下列说法正确的为（） A ．两圆有两条公切线 B ．直线AB 的方程为22y x =+C ．线段AB 的长为65D ．圆O 上点E ，圆M 上点F ，EF 3AD由圆与圆相交可判断A ；两圆方程作差可判断B ；利用垂径定理可判断C ；转化为圆心间的距离可判断D.【详解】对于A ，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A 正确；对于B ，因为圆22:4O x y +=，圆22:4240M x y x y +-+=+，两圆作差得4244x y -+=-即24y x =+，所以直线AB 的方程为24y x =+，故B 错误；对于C ，圆22:4O x y +=的圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线AB 的距离d ，所以2245452255AB ，故C 错误；对于D ，圆22:4240M x y x y +-+=+的圆心()2,1M -，半径为1，所以max 213EF OM =++，故D 正确. 故选：AD.11．如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起到PBD △的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，下列说法正确的有（）A ．平面PCD ⊥平面PBDB ．三棱锥P BCD -四个面都是直角三角形C ．PD 与BC 3D ．过BC 的平面与PD 交于M ，则MBC 面积的最小值为217ABD【分析】先根据勾股定理判断BD CD ⊥，再由面面垂直得线线垂直，可判断AB ，以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算线线角判断C ，由点M 到BC 的距离222733477MB BC d MB a BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒，由余弦定理可得3BD =222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD 且平面PBD 平面BCD BD =，所以CD ⊥平面PBD ，CD PD ⊥；同理PB ⊥平面CBD ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面BPD ，A ，B 正确；以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则)3,0,0B ，()0,1,0C ，)3,0,1P，因为()3,0,1DP =，()3,1,0BC =-，所以3cos ,4BC DPBC DP BC DP ⋅==-，即PD 与BC 所成角的余弦值为34，C 错误；因为M 在线段PD 上，设()3,0,Ma a ，则()33,0,MB a a =-，所以点M 到BC 的距离2222733733424477MB BC a a d MB a BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC 面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确. 故选：ABD.关键点点睛：本题中D 较难，解题的关键是利用空间向量计算点线距，利用的22MB BC d MB BC ⎛⎫⋅ ⎪=-⎪⎝⎭，进而坐标化得最值. 1251-的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（） A ．若2c =，且点A 在以1F ，2F 为焦点的“黄金椭圆”上，则12AF F △的周长为65+ B ．若22110x y k+=是“黄金椭圆”，则555k =C ．若“黄金椭圆”的左焦点是1F ，右顶点和上顶点分别是C ，D ，则1π2F DC ∠=D ．设焦点在x 轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为,A B ，“黄金椭圆”上动点P （异于A ，B ），设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1215k k -⋅=ACD【分析】根据离心率及c 计算a ，由椭圆的定义即可判断A ，由椭圆方程不能确定焦点所在轴可判断B ，利用椭圆离心率及顶点计算，根据勾股定理可判断C ，设P 点坐标为00(,)x y ，计算并化简得2122b k k a⋅=-，计算可判断D.【详解】对于A 选项，512,c c e a -===51a =，所以12AF F △的周长为222(51)22625a c +=⨯+⨯=+ A 正确；对于B 选项，当2210,a b k ==时，222222110c a b k a a -==-=⎝⎭，解得5k =，当22,10a k b ==时，222222101c a b a a k -==-=⎝⎭，解得5k =，故B 不正确；对于C 选项，由题意可得1||FC a c =+，1||F D a，||DC =“黄金椭圆”，则c a =c =，所以a c +，1||FC =，||DC =因为221||FC，222221||||F D DC a +=，所以22211||||||FC F D DC =+，所以12F DC π∠=，故C 正确；对于D 选项，由题意可得(,0),(,0)A a B a -，设P 点坐标为00(,)x y ，则20001222000y y y k k x a x a x a ⋅=⋅=+--，因为点P 在椭圆上，所以2200221x y a b +=，所以222002(1)x y b a=-，所以2122b k k a ⋅=-，因为动点P 在“黄金椭圆”上，所以c a =222c a ==222c a b =-，所以221b a -=221b a -12k k =，故D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知()1,1,0a =，()1,3,2b =-，且ka b +与2a b -垂直，则k 的值为___________. 5【分析】分别求出ka b +与2a b -的坐标，由题意可得()()20a b ka b +⋅=-，利用空间向量数量积的坐标表示列方程，解方程可得k 的值. 【详解】因为()1,1,0a =，()1,3,2b =-，所以()()(),,01,3,21,3,2ka b k k k k +=+-=-+， ()()()22,2,01,3,23,1,2a b -=--=--，因为ka b +与2a b -垂直，所以()()()()231340a a k k b b k -=--+-+⋅=，解得：5k =，所以k 的值为5，故答案为.514．过点()3,2作圆()2221x y r -+=的切线有且只有一条，则该切线的方程是______（用一般式表示）．50x y +-=【分析】由题意可知，点()3,2即为切点，切线与过该点的半径垂直，则切线斜率可求，从而可以写出切线方程.【详解】设切线方程为2(3)y k x -=-，因为过点()3,2作圆()2221x y r -+=的切线有且只有一条，则()3,2在圆上，切点与圆心连线的斜率12131k ==-，所以切线的斜率为1k =-，则切线方程为21(3)y x -=-⨯-，化简得50x y +-=. 故50x y +-=15．正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，,M N 为该正方体外接球O 表面上的两点，P 在正方体表面且不在直线MN 上，若(1)PO PM PN λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为__________． 12-##-0.5 【分析】由向量的共线定理可得,,M O N 三点共线，再利用向量加法和数乘的运算法则计算即可. 【详解】因为(1)PO PM PN λλ=+-，所以,,M O N 三点共线，又因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，所以该正方体外接球的半径R ==所以()()()2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON ⋅=+⋅+=+⋅++⋅2223131cos 2242PO OM ON PO π⎛⎫=+⋅=+≥-=- ⎪⎝⎭.故答案为.12-16．已知F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，O 为坐标原点，M 为线段OF 垂直平分线与椭圆C 的一个交点，若3cos 7MOF ∠=，则椭圆C 的离心率为______．23【分析】设(),0F c ，0,2c M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将0,2c M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代人椭圆C 的方程，得2220214c b y a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，在MOE △中，不妨设32cOE ==，利用勾股定理和椭圆中222a b c =+，求出9a =，则可得出离心率.【详解】解：设(),0F c ，0,2c M y ⎛⎫⎪⎝⎭，将0,2c M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代人椭圆C 的方程，得2202241c y a b +=，即2220214c b y a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.设E 为线段OF 的垂直平分线与x 轴的交点，则MOE △为直角三角形，由于3cos 7MOF ∠=，所以在MOE △中，不妨设32cOE ==，则7OM =，6c =.由勾股定理可得220||73210ME y ==-=即2221404c b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得229140b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又222223636a b c b a -==⇒=-，所以42853240a a -+=，解得281a =或22436a c =<=（舍去），故9a =，椭圆C 的离心率6293c e a ===. 故答案为.23四、解答题17．已知ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在的直线方程为x －2y －5＝0. 求（1）AC 所在的直线的方程；（2）点B 的坐标．（1）2x ＋y －11＝0；（2）B (－1，－3)．【分析】(1)根据题意设直线AC 的方程为2x ＋y ＋t ＝0，接着代点求解即可；（2）利用点B 在直线BH ，用点B 坐标表示点M 坐标，又点M 在直线CM ，点的坐标满足直线方程，列出方程组求解即可. 【详解】因为AC ⊥BH ，所以设AC 所在的直线的方程为2x ＋y ＋t ＝0.把A (5，1)代入直线方程2x ＋y ＋t ＝0中，解得t ＝－11. 所以AC 所在的直线的方程为2x ＋y －11＝0. （2）设B (x 0，y 0)，则AB 的中点为0051,22x y ++⎛⎫⎪⎝⎭. 联立得方程组00002505125022x y x y --=⎧⎪⎨++⨯--=⎪⎩，化简得0000250210x y x y --=⎧⎨--=⎩解得0013x y =-⎧⎨=-⎩，故B (－1，－3)．(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．18．如图，在四面体OABC 中，2OM MA =，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a =，OB b =，OC c =．(1)用a ，b ，c 表示向量OP ；(2)已知1a b c ===，π2π,,,,23a b c a b c <>=<>=<>=，求的大小． (1)111344a P b c O =++(2)512【分析】（1）由P 是线段MN 的中点得()12=+OM ON OP ，由N 是棱BC 的中点，2OM MA =得()121232O OA OC O P B ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，即可求；（2）由数量积运算直接求模即可【详解】（1）连接ON ，因为P 是线段MN 的中点，所以()12=+OM ON OP ，因为N 是棱BC 的中点，2OM MA =，即23OM OA =，所以()()121121111232232344⎡⎤⎡⎤=++=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OA OC OB a c b O a P b c ．（2）()22222111111111344944668a b c a b c a P b a c c b O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为1a b c ===，π2π,,,,23a b c a b c <>=<>=<>=，所以211111259161682144OP ⎛⎫=+++⨯-= ⎪⎝⎭，故512=OP ． 19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的标准方程；(2)设点()3,0A ，在圆C 上是否存在点M 使2=MA MO ，若存在，请求出满足条件的点M 的个数；若无，请说明理由． (1)()()22319x y -+-=； (2)存在，满足条件的M 点有2个.【分析】（1）根据二次曲线与坐标轴的交点及圆的性质求得圆的方程；（2）设(,)M x y ，根据题设及两点距离公式可得22(1)4x y ++=，问题转化为圆C 与圆22(1)4x y ++=的交点问题，进而即得.【详解】（1）由题设，261y x x =-+与y 轴的交点为()0,1，对称轴为3x =，若与x 轴交点横坐标分别为,m n ，则6m n +=，1mn =， ∴2||()442m n m n mn -=+-设圆C 半径为r ，圆心为(3,)b ，∴()2222891b r b r ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得13b r =⎧⎨=⎩， ∴圆C 半径为3r =，圆心为(3,1)，则圆C 的方程为22(3)(1)9x y -+-=；（2）设(),M x y ，由题意得222243xy x y ，整理得()2214x y ++=，∴点M 在圆心为()1,0-半径为2的圆上，所以两圆的圆心距离15， ∴两圆相交．故满足条件的M 点有2个．20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆是异于A ，B 的点，满足12FTF 的周长为12． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，过点()8,0M 的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OPQ △面积的最大值． (1)2211612x y +=(2)【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆C 的方程；（2）设出直线PQ 的方程为8x my =+，利用“设而不求法”表示出PQ ，再表示出点O 到直线PQ 的距离d =进而表示出OPQS，利用基本不等式求出OPQ △面积的最大值．【详解】（1）由题意得28a =，所以4a =.因为12FTF 的周长为12，所以2212a c +=，所以2c =，故22212b a c =-=.所以椭圆C 的方程为2211612x y +=．（2）由题意，直线PQ 不与x 轴重合，故设直线PQ 的方程为8x my =+，由228,1.1612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234481440m y my +++=，()()()22248414434124840m m m ∆=-⨯⨯+=⨯->，即24m >，24834P Q m y y m +=-+，214434P Q y y m =+．所以()22222241)(41Δ3434mm m PQ m m +-+=⋅=++，又点O 到直线PQ 的距离281d m =+．所以221964234OPQm S PQ d m -=⨯⨯=+△，所以22964316344OPQSm m =≤-+-（当且仅当2283m =时等号成立，且满足24m >）. 故OPQ △面积的最大值为43．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1PD CD ==，PA 与平面ABCD 所成角为30°，M 为PB 上一点且CM PA ⊥．(1)证明：PA DM ⊥；(2)设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上取点N 使PN DA =，Q 为线段PN 上一动点，求平面ACQ 与平面PDC 夹角的正弦值的最小值．(1)证明见解析 3【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理证明；（1）根据PA 与平面ABCD 所成角为30°分析可得3AD =. 【详解】（1）∵四边形ABCD 为矩形，则AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PD CD ⊥，AD PD D =，,AD PD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，则PA CD ⊥，∵CM PA ⊥，且CM CD C ⋂=，,CM CD ⊂平面CMD ， ∴PA ⊥平面CMD ，DM ⊂平面CMD ，则PA DM ⊥．（2）∵PD ⊥平面ABCD ，则PAD ∠为PA 与平面ABCD 所成角， ∴30PAD ∠=︒，又∵1PD =，则3AD =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()3,0,0A，()0,1,0C ，∵3AD =，且PN DA =， ∴3PN =，令()03PQ λλ=≤≤，则(),0,1Q λ， ∴()3,1,0AC =-，(),1,1CQ λ=-，设(),,n x y z =是平面ACQ 的一个法向量，则300n AC x y n CQ x y z λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则3,3y z λ==-，即()1,3,3n λ=-，平面PDC 的一个法向量为()1,0,0m =， ∴()21cos ,43m n m n m nλ⋅==⋅+-，∵03λ≤≤，则当3λ=时，cos ,m n 的最大值为12，即平面ACQ 与平面PDC 夹角的余弦值的最大值为12， ∴平面ACQ 与平面PDC 夹角的正弦值的最小值为32.22．已知椭圆C ：22221x y a b+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若22AF BF +的最大值是5，且122112sin sin 2sin AF F AF F F AF ∠+∠=∠． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若1MA F A λ=，1MB F B μ=，试分析λμ+是否为定值，若是，请求出这个定值；否则，请说明理由．(1)22143x y +=；(2)是定值，定值为83.【分析】（1）根据椭圆的定义及椭圆通径的性质可得2425b a a-=，再由正弦定理可得2a c =，联立解方程即可得出,a b ，写出椭圆方程；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，联立椭圆，可得根与系数的关系，再由向量的坐标运算求出,u λ，计算λμ+可得解.【详解】（1）因为2ABF △的周长为4a ，即22=4AB AF BF a ++，且AB 的最小值为AB 为椭圆通径时，即n 2mi 2aA bB =，所以2425b a a-=，由正弦定理可得：1212211212sin sin 2=2sin 2AF AF AF F AF F aF AF F F c +∠+∠==∠，所以2a c =，又222a b c =+，解得2a =，b =1c =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由題意可得，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =+，由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得，()22223484120k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设()0,M k ，又()11,0F -，所以()11,x y k MA =-，()1111,F A x y =+，故111x x λ=+，同理，()22,MB x y k =-，()2221,F B x y =+，则221x x μ=+ 故()()()()12211212121212121211211111x x x x x x x x x x x x x x x x x x λμ++++++=+==+++++++ 2222222222222412828248248343441284128349313434k k k k k k k k k k k k k -⨯----++====---++--+++，所以λμ+是定值83．。

9.8 立体几何中的向量方法(1)平行垂直距离0

解：∵∠ACD=90°，∴ 同理 =0．
=0．
∵AB 和 CD 成 60°角，∴＜ ∵ ∴ =3+2×1×1×cos＜＞，
＞=60°或 120°．
= ∴| |=2 或，即 B、D 间的距离为 2 或．．
故答案为：2 或
导练1
导练2
∠DPC＝30° ，AF⊥PC 于点 F，EF∥CD，交 PD 于点 E. (1)证明：CF⊥平面 ADF； (2)求二面角 D－AF－E 的余弦值．
【训练ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1】已知 O、A、B、C、D、E、F、G、H 为空间的 9 个点(如图 3-2-7 所示)，并且 OE KOA , OF KOB ， OH KOD ，
AC AD mAB ， EG EH mEF .
求证：(1)A、B、C、D 四点共面，E、F、G、H 四点共面； (2) AC / / EG ； (3) OG kOC
=（2，-2，1）
点 A1 到平面的 BDEF 的距离即 h=
=
=1
（2）设直线 A1D 与平面 BDEF 所成的角为 θ，则 sinθ= 所以 θ=45°． = ，
训练 3.在平行四边行 ABCD 中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60°角，求 B、D 间的距离
→＝(1，2，－1)， ∴→ EF＝(0，1，0)，EG 设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)， → ＝0， n·EF y＝0，则即 x＋2y－z＝0， EG＝0， n·→ 令 z＝1，则 n＝(1，0，1)为平面 EFG 的一个法向量， →， ∵→ PB＝(2，0，－2)，∴→ PB·n＝0，∴n ⊥PB ∵PB⊄面 EFG， ∴PB∥平面 EFG.

2020版新高考数学二轮复习练习-小题专题练(四)-立体几何-Word版含解析

小题专题练(四) 立体几何
一、选择题
1．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，点M 在EF 上且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为(
)
A ．(1，1，1)
B.⎝⎛⎭⎫23，23，1
C.⎝⎛⎭⎫22，22，1
D.⎝⎛
⎭⎫24，24，1 2．(2019·贵阳模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；
②若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n ；
③若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；
④若α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ，则m ∥n .
其中正确命题的序号是( )
A ．①④
B ．①②
C ．②③④
D ．④
3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝3，AD ＝1，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )
A.
64 B.63 C.26 D.36
4．设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l ⊂α，则“α∥β”是“l ∥β”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．充要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°(如图)，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是( )。

空间向量与垂直关系练习题

课时作业（十九)错误!一、选择题1．已知平面α的法向量为a＝（1，2，－2），平面β的法向量为b＝（－2，－4，k），若α⊥β，则k＝()A．4B．－4C．5D．－5【解析】∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0。

∴k＝－5.【答案】 D2．在菱形ABCD中，若错误!是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是（）A。

错误!⊥错误!B。

错误!⊥错误!C.错误!⊥错误!D。

错误!⊥错误!【解析】由题意知P A⊥平面ABCD，所以P A与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面P AC,故PC⊥BD,C选项正确．【答案】 D3．已知错误!＝（1,5，－2)，错误!＝(3，1,z）,若错误!⊥错误!，错误!＝（x－1，y－3）,且BP⊥平面ABC,则实数x，y,z分别为（）A。

错误!，－错误!，4 B。

错误!，－错误!,4C.错误!,－2,4 D．4，错误!，－15【解析】∵错误!⊥错误!，∴错误!·错误!＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC,∴错误!⊥错误!，错误!⊥错误!,则错误!解得错误!【答案】 B4．已知点A(1，0，0)，B(0,1，0)，C（0,0，1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB,AD＝BC,则点D的坐标为（）A．（1，1,1)B．(－1，－1,－1）或错误!C。

错误!D．(1,1，1）或错误!【解析】设D(x，y，z)，则错误!＝（x,y－1，z)，错误!＝（x，y，z－1）,错误!＝(x－1，y，z），错误!＝（－1,0，1)，错误!＝（－1，1，0),错误!＝(0,－1,1)．又DB⊥AC⇔－x＋z＝0①，DC⊥AB⇔－x＋y ＝0②，AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2③,联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－错误!，所以点D的坐标为（1，1,1）或错误!.故选D。

2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷 (1582)

一、单选题1. 一组数据2，3，3，4，4，4，5，5，6，6的中位数是（）A．6B．5C．4D．32. 设全集，或，.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（）A．B．C．或D．3. 二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为（）A．B．C．6D．154. 其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）.年份014568芳香度 1.3 1.8 5.67.49.3由最小二乘法得到回归方程，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为A．6.1B．6.28C．6.5D．6.85. 已知与曲线相切，则a的值为（）A．B．0C．1D．26. 使代数式有意义的x的取值范围是（）A．[－7，1]B．(－7，1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)7. 已知定点，点为拋物线上一动点，到轴的距离为，则的最小值为（）A．4B．5C．D．8. 已知圆锥SO，AB是圆O的直径，P是圆O上一点（不与A，B重合），Q在平面SAB上，则（）A．直线可能与平面垂直B．直线可能与平面垂直C．直线可能与平面平行D．直线可能与平面平行9. 已知函数．关于函数的单调性，下列判断正确的是（）A．在上单调递增B．在上单调递减C ．在上单调递增D．在上单调递减10. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（）A．B．C．D．11. 分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案．自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等．如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的二、多选题两个正方形的对应边所成的角为．若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（）A．B．C ．4D．12.设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂线于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为 ( )A．B．C．D．13. 已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线的右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．14.将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a 、b 有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是A．B．C．D．15. 设函数，若存在(为自然对数的底数)，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．16. 若函数，，若有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．17. 已知函数是偶函数，在区间上单调，若，则有（）A．B．C．D．18. 某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X 即为优秀，已知优秀学生有80人，则（）A．B．C ．70分以下的人数约为6人D ．本次考试的平均分约为93.6三、填空题19.设实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．20. 下列说法正确的是（）A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位21. 下列结论中，正确的是（）A ．若，，则的最小值为8B ．若，则函数的最小值为C ．已知正数a ，b 满足，则D ．已知，，且，则22. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x ，y，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（）A．B．C ．与相互独立D ．与相互独立23.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则（）A．B．C．D．24. 已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（）A ．球的表面积为B．球在正方体外部的体积大于C ．球内接圆柱的侧面积的最大值为D．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则25. 已知复数（），若，则______．26. 在一组样本数据中，1，3，5，7出现的频率分别为，，，，且，若这组数据的中位数为2，则______．27. 展开式中的常数项为________.28. 已知，若，则______ .29. 已知，若函数有一条对称轴为，且函数在上不单调，则的最小值为__________.30. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则______.四、解答题五、解答题31.已知平面向量满足，则以为直径长的圆的面积的最大值为___________.32.已知函数，若对任意实数，，方程有解，方程也有解，则的值的集合为______.33. 已知为锐角，，求的值.34. 化简：．35.已知函数.(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.36.如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC =60°，AE ⊥平面 ABCD ，AB =AE =2DF ，AE DF.(1)证明：平面AEC ⊥平面 CEF ；(2)求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.37.已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值38. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.39.已知函数（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）作出函数在一个周期内的图象．40. 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取100名学生，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并估计这100名学生成绩的中位数（精确到0.01）；(2)在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于80分为“优秀”，竞赛成绩低于80分为“非优秀”．①请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？②求出等高条形图需要的数据，并画出等高条形图（按图中“优秀”和“非优秀”所对应阴影线画），利用条形图判断竞赛成绩优秀与性别是否有关系？列联表优秀非优秀合计男生10女生50合计100参考公式及数据：，，0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.82841. 如图中，是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和侧视图在右面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC′，证明：BC′∥面EFG.42. 把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数六、解答题.（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）画出函数在区间上的大致图象.43. 如图是一个正方体的平面展开图，设在该正方体中，点E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，的中点，平面EFG平面ABB 1A 1=EH，且.（1）作出线段EH ，判断直线EH 与直线FG 的位置关系并证明；（2）求直线DH 与平面EFGH 所成角的正弦值.44. 若为集合且的子集，且满足两个条件：①；②对任意的，至少存在一个，使或.则称集合组具有性质.如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.…………………（Ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：；集合组2：.（Ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合；（Ⅲ）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）45. 如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.七、解答题(1)若，求四棱锥的体积；(2)求证：平面.46. 已知数列满足：，，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)若数列满足，求数列的通项公式．47. 已知a ，b ，c 均为大于零的实数．(1)求证：；(2)若，求的最小值．48. 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，，M 是线段EF的中点．(1)求证：平面BDE ；(2)求证：平面BDF ；(3)求二面角的大小．49. 已知各项均为正数的两个数列，满足，．且．（1）求证数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设数列，的前n 项和分别为，，求使得等式成立的有序数对．50. 已知椭圆的右焦点为F ，椭圆．(1)求的离心率；(2)如图：直线交椭圆于A ，D 两点，交椭圆E 于B ，C 两点．①求证：；②若，求面积的最大值．51. 某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？52. 为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：机器类型第一类第二类第三类第四类第五类销售总额（万10050200200120元）销售量（台）521058利润率0.40.20.150.250.2利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值.(1)从该公司本月卖出的机器中随机选一台，设该台机器的利润为X万元，求X的分布列和数学期望；(2)从该公司本月卖出的机器中随机选取2台，设这2台机器的利润和恰好为13万元的概率；(3)假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利万元，销售一台第二类机器获利万元，…，销售一台第五类机器获利万元，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为，设，试判断与的大小.（结论不要求证明）53. 企业在商业活动中有依法纳税的基本义务，不依法纳税叫做逃税，是一种违法行为．某地区有2万家企业，政府部门抽取部分企业统计其去年的收入，得到下面的频率分布表．根据当地政策综合测算，企业应缴的税额约为收入的5%，而去年该地区企业实际缴税的总额为291亿元．收入（千万元）频率0.30.50.120.060.02（1）估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量；（2）估计该地区企业去年的平均收入，并以此估计该地区逃税的企业数量；（3）根据统计，该地区企业逃税被查出来的概率为0.3，被查出逃税的企业除了要补缴税款以外，还会被处以应缴税额倍的罚款，从企业逃税的获益期望考虑，至少定为多少，才能对逃税行为起到惩罚作用？注：每组数据以区间中点值为代表，假设逃税的企业缴税额为0，未逃税的企业都足额缴税．54. 某电商专门生产某种电子元件，生产的电子元件除编号外，其余外观完全相同，为了检测元件是否合格，质检员设计了图甲、乙两种电路.(1)在设备调试初期，已知该电商试生产了一批电子元件共5个，只有2个合格，质检员从这批元件中随机抽取2个安装在甲图电路中的，处，请用集合的形式写出试验的样本空间，并求小灯泡发亮的概率；(2)通过设备调试和技术升级后，已知该电商生产的电子元件合格率为0.9，且在生产过程中每个电子元件是否合格互不影响，质检员从该电商生产的一批电子元件中随机抽取3个安装在乙图电路中的，，处，求小灯泡发亮的概率.55. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？56. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）附：回归方程中，，参考数据（）5215177137142781.3 3.6(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；方案3：不采取防虫害措施.八、解答题57. 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数量最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？58. 已知函数满足．（1）求函数的表达式；（2）设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数b的值，并写出这个公共点的坐标．59. 设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点O，，的焦点均在x轴上，在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：34（1）求，的标准方程；（2）过的焦点F作斜率为k的直线l，与交于A，B两点，与交于C，D两点，若，求直线l的方程.60. 给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，__________．(1)求的通项公式；(2)令是以1为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项和．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）61. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过）：空气质量指数空气质量等级级优级良级轻度污染级中度污染级重度污染级严重污染该社团将该校区在年天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；（Ⅱ）该校年月、、日将作为高考考场，若这三天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这两天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望．62.已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)讨论函数的零点个数．2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷。

(完整版)用射影面积法求二面角在高考中的妙用

用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为'S ，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则SS 'cos =θ.本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平面β内的△ABC 在平面α的射影为△BC A '，作BC AD ⊥于D ，连结AD. α⊥'AA Θ于'A ，α∈D ，AD ∴在α内的射影为D A '. 又α⊂⊥BC BC AD ,Θ，BC D A ⊥∴'（三垂线定理的逆定理）. 'ADA ∠∴为二面角α—BC —β的平面角.设△ABC 和△BC A '的面积分别为S 和'S ，θ=∠'ADA，则D A BC S AD BC S ''21,21⋅=⋅=. SS AD BC DA BC AD D A '''2121cos =⋅⋅==∴θ. 典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1 如图,已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是A A 1棱的中点，则面BE C 1与面AC 所成的二面角的大小为( ) A.︒45 B. 21arctan C. 42arctanD. 32arccos 解：连结AC ，则△1EBC 在面AC 内的射影是△ABC ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ . 设正方体的棱长为2，则AB = BC = 2，.31)22(,22,52211=+===EC BC BE.103cos 1sin ,1012cos 1211212121=∠-=∠=⋅-+=∠EBC EBC BC BE EC BC BE EBC.32cos ,221,3sin 21''11===⋅==∠⋅=∴S S BC AB S EBC BC BE S θ 32arccos =∴θ. 故答案选D.例2（04北京）如图, 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形(1) 求证:BC ⊥SC;(2) 求面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小; (3) 设棱SA 的中点为M, 求异面直线DM 与SB 所成的角的大小. （1）证明：Θ SD ⊥面AC ，∴SC 在面AC 内的射影是SD.又Θ四边形ABCD 是正方形，⊂BC 面AC ，∴ BC ⊥SC （三垂线定理）.'AA B D Cα1 C A 1 C A（2）解：Θ SD ⊥面AC ，⊂CD 面AC ，CD SD ⊥∴.又Θ四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴. 而D SD AD =I ，∴CD ⊥面ASD. 又AB ∥CD ，∴BA ⊥面ASD.∴△SBC 在面SAD 的射影是△SAD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ .Θ,2,3,1,9022==-=∴==︒=∠SD BC SB SC SB BC SCB .22cos ,2121,2221''===⋅==⋅=∴S S SD AD S SC BC S θ 故所以面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小为4π.（3）解：取AB 的中点E ，连结DE 、ME. EB AE MS AM ==,Θ，∴ME ∥SB.∴异面直线DM 与SB 所成的角就是DME ∠，设θ=∠DME .25,232122=+===AE AD DE SB ME ，2221,222===+=SA MD SD AD SA .02cos 222=⋅-+=∴ME MD DE ME MD θ. 故2πθ=.所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π. 解法二：⊥BA Θ面SAD ，∴SB 在面SAD 内的射影是SA.又SA DM MS AM SD AD ⊥∴===,,1Θ. 而⊂DM 面SAD ，SB DM ⊥∴（三垂线定理）. 所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2π. 例3 （04浙江）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB = 2，AF = 1，M 是线段EF 的中点. (1) 求证：AM ∥平面BDE ； (2) 求证：面AE ⊥平面BDF ； (3) 求二面角A —DF —B 的大小. 证明：（1）设O BD AC =I ，则AC AO 21=，连结OE. Θ四边形ACEF 是矩形，EF EM 21=， AO EM =∴，EM ∥AO.∴四边形AOEM 是平行四边形，从而AM ∥EO.又⊂EO Θ平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE. （2）Θ四边形ABCD 是正方形，AC BD ⊥∴.又Θ正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AC EC ⊥，面BD I 面AE= AC ， ∴BD EC 面⊥，从而BD EC ⊥. 而C EC AC =I ，AE BD 面⊥∴. ⊂BD Θ平面BDF ， ∴面AE ⊥平面BDF.D AMC BEFD A MC BEFO（3）解：A AF AD AF BA AD BA =⊥⊥I Θ,,，ADF BA 面⊥∴.∴△BDF 在面ADF 上的射影是△ADF ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. ΘAB = 2，AF = 1，3,2,2====∴FD FB BD AD .连结FO ，则2,22=-=⊥BO FB FO BD FO ..21cos ,2221,221''===⋅==⋅=∴S S AF AD S FO BD S θ故3πθ=.所以二面角A —DF —B 的大小为3π. 例4 （08天津）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD . （1）证明：AD ⊥平面PAB ；（2）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（3）求二面角P —BD —A 的大小. （1）证明：,22,2===PD PA AD Θ222PD PA AD =+∴.︒=∠∴90PAD ，即PA DA ⊥.又Θ四边形ABCD 是正方形， AB DA ⊥∴.而A PA AB =I ，AB 、PA ⊂面PAB ，∴AD ⊥平面PAB. （2）ΘAD ∥BC ，∴异面直线PC 与AD 所成的角就是PC 与BC 所成的角，即PCB ∠. 在△PAB 中，AB = 3，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD ，7,72222==⋅-+=∴PB AB PA AB PA PB .由（1）得，AD ⊥平面PAB.PB CB ⊥∴，即︒=∠90CBP . 又ΘBC = AD = 2，27tan ==∠∴BC PB PCB . 27arctan =∠PCB . 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan . （3）作AB PE ⊥于E ，连结DE.由（1）知，PE AD ⊥，而A AD AB =I ， ⊥∴PE 面ABCD.∴△PBD 在面ABCD 内的射影是△EBD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ .2,160cos ,1322=-==︒==+=AE AB BE PA AE AD AB BD .14255cos 1sin ,14212cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠BPD BPD PD PB BD PD PB BPD . 221,255sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴AD BE S BPD PD PB S .554cos '==∴S S θ，554arccos =θ.D MC BEFOPA DB CEPA DB所以二面角P —BD —A 的大小为554arccos.点评：例1和例2 中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！金指点睛1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面V AD ；（2）求面V AD 与面VDB 所成二面角的大小.2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点. （1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线；（2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小.3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角A —PC —D 的大小.4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）. （1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ；（2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值.金指点睛的参考答案1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD.（1）证明：AB ⊥平面V AD ；（2）求面V AD 与面VDB 所成二面角的大小. （1）证明：取AD 的中点E ，连结VE. AD VE ED AE VD VA ⊥∴==,,Θ.又Θ平面V AD ⊥底面ABCD ，VE ⊂平面V AD ，S A B D CEV D C A B 1CC BADE 1A1BEB C A D PV D C∴VE ⊥底面ABCD. ∴V A 在底面ABCD 的射影是AD.ΘAB ⊥AD ，AB ⊂底面ABCD ，∴ AB ⊥V A （三垂线定理）. 而,A AD VA =I V A 、AD ⊂平面V AD ，故AB ⊥平面V AD.（2）由（1）可知，AB ⊥平面V AD ，∴△VBD 在平面V AD 的射影是△V AD ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. 设正方形的边长为1，则2,222=+==VA AB VB BD .47cos 1sin ,432cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠VBD VBD BV BD VD BV BD VBD .4360sin 21,47sin 21'=︒⋅==∠⋅=∴VD VA S VBD BV BD S .721cos '==∴S S θ，721arccos =θ.所以面V AD 与面VDB 所成二面角的大小为721arccos .2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，AB = BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点.（1）证明：ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线；（2）设AB AC AA 21==，求二面角11C AD A --的大小. （1）证明：取AC 的中点F ，连结EF 、BF. EF EC AE FC AF ∴==,,1Θ∥1121,CC EF CC =. 在直三棱柱ABC —111C B A 中，⊥1CC 面ABC ，11BB CC =，1CC ∥1BB ，121BB DB =， EF ∴∥DB ，EF= DB ，⊥EF 面ABC. ∴四边形BDEF 是矩形. 从而1BB ED ⊥. 在Rt △ABD 和Rt △D B C 11中，D B BD D B C ABD B C AB 11111,90,=︒=∠=∠=. ∴ Rt △ABD ≌Rt △D B C 11.D C AD 1=∴. 而,1EC AE = 1AC ED ⊥∴ 所以ED 为异面直线1BB 和1AC 的公垂线.（2）解：连结1AB .2221,,2BC AB AC BC AB AB AC AA +=∴===Θ.︒=∠=∠∴90111CBA A B C ，即⊥11B C 面11A ABB1AC ∴在面11A ABB 内的射影是1AB .∴△D AC 1在面11A ABB 内的射影是△D AB 1.设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ.设AB = BC = 1，则22,26,22,2,22222111=-==+=====AE AD DE BD AB AD D B AC CC AC .4221,22211'1=⋅==⋅=∴AB DB S DE AC S . .3,21cos 'πθθ===S S 所以二面角11C AD A --的大小为3π. 3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90ABC ，PA ⊥平面ABCD ，PA = 4，AD = 2，32=AB ，BC = 6. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；1C C B A DE 1A 1B1CC BADE1A1B F1CC BADE1A1B（2）求二面角A —PC —D 的大小.（1）证明：在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，︒=∠=∠90BAD ABC ， AD = 2，32=AB ，BC = 6.33tan ,33tan ==∠==∠∴BC AB ACB AB AD ABD . ︒=∠=∠∴30ACB ABD . 而︒=∠+∠90DBC ABD ， ︒=∠+∠∴90DBC ACB ，即AC BD ⊥.又Θ PA ⊥平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，BD PA ⊥∴.A AC PA =I Θ，PA 、AC ⊂平面PAC ，故BD ⊥平面PAC.（2）解：连结PE. 由（1）知，BD ⊥平面PAC.∴△PDC 在平面PAC 内的射影是△PEC ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ. ΘPA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，PB BC ⊥∴（三垂线定理）.7222=+=AB PA PB ，从而822=+=BC PB PC . 72)(,522222=-+==+=AD BC AB DC AD PA PD .3330cos ,30,90=︒⋅=∴︒=∠︒=∠BC EC ACB BEC Θ.5431cos 1sin ,5472cos 2222=∠-=∠=⋅-+=∠CPD CPD PD PC CD PD PC CPD . 3621,312sin 21'=⋅==∠⋅⋅=∴PA EC S CPD PD PC S . .31933arccos ,31933cos '===θθS S 所以二面角A —PC —D 的大小.31933arccos4. （09湖北）如图，四棱柱S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD = AD = a ，点E 是SD上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ）.（1）求证：对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE ；（2）若二面角C —AE —D 的大小为︒60，求λ的值.（1）证明：连结BD. Θ四边形ABCD 是正方形，BD AC ⊥∴. 又Θ SD ⊥平面ABCD ，SD = a ，点E 是SD 上的点，且a DE λ=（0＜1≤λ），∴点E 在线段SD 上，且不与点D 重合，因而BE 在平面ABCD 内的射影是BD. ∴对任意(]1,0∈λ，都有AC ⊥BE （三垂线定理）.（2）解：设O BD AC =I ，连结EO.Θ SD ⊥平面ABCD ，点E 是SD 上的点，⊂CD 平面ABCD ， CD SD ⊥∴. 又Θ四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴.而D AD SD =I ，SD 、AD ⊂面SAD. ∴CE 在平面SAD 内的射影是AE. ∴△CAE 在在平面SAD 内的射影是△DAE. 设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为θ，则︒=60θ. a a a EC EA a AC a DE a AD 2221)(,2,,λλλ+=+===∴==Θ.a AO EA EO AC EO 242,222λ+=-=⊥∴. 2121cos ,2121,221212'2'22=+===⋅=+=⋅=∴λλθλλS S a AD ED S a EO AC S .解得22=λ，所以λ的值为22.EB CA DPEB C A DPSA BD CEO。