西安市数学高三上学期文数12月月考试卷D卷

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2020-2021学年陕西西安高三上数学月考试卷及答案

可得直线的斜率的取值范围是 .
故答案为： .
三、解答题
【答案】
解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为（）．
，，
∴ ，
即，即，
解得（舍去）或，
得，
∴ ，
，
∴ ，
，
∴ 的通项公式为，的通项公式为．
由知，
得，
∴数列为首项，公差为的等差数列，
∴
.
【考点】
等差数列的通项公式
则即
取，得，，得 .
设直线与平面所成角为，则
，
∴直线与平面所成角的正弦值为 .
【答案】
解：设椭圆的半焦距为．
由题意得解之，
得，，，
∴椭圆的方程为 .
设直线的方程为
由消去，并整理得
设，则，，
设，则，，
，
∴ .
设，则恒成立．
∴ 在）上单调递增，
∴当时，取最大值为，
A.“ ”是假命题B.“ ”是真命题
C.“ ”是假命题D.” ”是真命题
9.已知，则的值域是（）
A. B. C. D.
10.如图，已知底面边长为的正四棱锥的侧棱长为，若截面的面积为，则正四棱锥的体积等于( )
A. B. C. D.
11. 的展开式的常数项是
A. B. C. D.
12. “ ”是“函数在区间上单调递增”的（）
【解答】
解：恰有一件商品的位置不变，从件不同商品中选件，有种方法，
恰有一件商品的位置不变的摆放方法数有 .
故答案为： .
【答案】
【考点】
函数的零点

2022-2023学年陕西省部分重点高中高三上学期12月联考文科数学试题及答案解析

2022-2023学年陕西省部分重点高中高三上学期12月联考文科数学试题及答案解析第I 卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一符合题目要求的.1.已知集合{20},{10}A x x B x x =->=+>∣∣，则A B ⋃=（）A.{2}xx <∣ B.{1}xx >-∣ C.{12}xx -<<∣ D.R2.()()32i 2i --=（）A.47i- B.87i- C.47i+ D.87i+3.若函数()()⎩⎨⎧>+≤+=0,3log 0,122x x x x x f ，则()()2f f -=（）A.1B.2C.3D.44.已知向量()(),2,1,a m b m == ，若a 与b反向共线，则m =（）A.C.2- D.25.《三字经》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成为器物”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-103203y y x y x ，则1-+=y x z 的最大值为（）A.1- B.0C.1D.27.函数()2cos x x f x x-=的图象大致为（）A.B.C.D.8.已知3311log ,,cos222a b c ===，则（）A.a b c << B.c a b<< C.c b a<< D.b c a<<9.若函数32()3f x x bx x =++在1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则b 的取值范围是（）A.()5,∞-+ B.()3,∞-+ C.(),5∞-- D.(),3∞--10.在各项不全为零的等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且()99900,90k S S S k ==≠，则正整数k 的值为（）A.11B.10C.9D.811.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为偶函数，且对任意[)12,2,x x ∞∈+，均有()()21210f x f x x x ->-，则关于x 的不等式()()7f x f <的解集为（）A.()3,7- B.()0,7 C.()3,5-D .()1,5-12.已知函数()cos2f x x m x =-，若对任意的(),,22k x k Z f x m π≠∈=有解，则m 的取值范围是（）A.[)2,∞+ B.(]0,2 C.][(),22,∞∞--⋃+ D.[)(]2,00,2-⋃第II 卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在等比数列{}n a 中，372,4a a =-=-，则5a =__________.14.函数()8sin 22f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的极值点为0x ，则0tan 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.15.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若P 在弧BC 的中点，则()PA PB PO +⋅=___________.16.函数()2sin2sin f x x x =的值域是__________.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数()21cos sin cos 2f x x x x =+-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()f x 的图象向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求不等式()0≥x g 的解集.18.（12分）已知一次函数()f x 满足()()2f f x x =+.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的()()0,,x af x ∞∈+>恒成立，求a 的取值范围.19.（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为111,,,tan tan sin a b c A C B+=.（1）证明：2b ac =，（2）求角B 的最大值并说明此时ABC ∆的形状.20.（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且222n n n S a a =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：132********1111113n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++< .21.（12分）已知函数()32121f x ax x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，求()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值.22.（12分）已知函数()32ln 13x f x x x x =-+-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()f x 在点A 处的切线为1l ，函数()xxg x e e -=-在点B 处的切线为212,l l l ∥，求直线AB 的方程.答案解析1.D 由题意可得{2},{1}A xx B x x =<=>-∣∣，则A B ⋃=R .2.A ()()32i 2i 47i --=-.3.C由题意可得()22(2)15f -=-+=，则()()()225log 83ff f -===.4.A 由题意得22m =，得m =，又a 与b反向共线，故m =.5.B“打磨玉石”不一定“成为器物”，故充分性不成立，但“成为器物”一定要“打磨玉石”，故必要性成立，所以“打磨玉石”是“成为器物”的必要不充分条件.6.D由题画出可行域（图略）知，当直线:10l x y +-=平移到过点()0,3时，z 取得最大值，最大值为2.7.B 根据定义域排除C ，D ，()210f πππ-=<，排除A.故选B.8.C 因为10130211331,01,cos2022a b c ⎛⎫⎛⎫=>=<=<==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以c b a <<.9.A由题可知()23230f x x bx =++>'在1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，即132x b x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭在1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，所以13323b ⎛⎫+>-⎪⎝⎭，解得5b >-，所以b 的取值范围是()5,∞-+.10.C2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以n S 可看成关于n 的二次函数，由990S =可知二次函数图象的对称轴为992x =，所以9099k +=，解得9k =.11.A由题可知()f x 的图象关于直线2x =对称，且在[)2,∞+上单调递增.令()()2g x f x =+，则()g x 为偶函数，在[)0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减.由()()7f x f <，可得()()25g x g -<，所以25x -<，解得37x -<<.12.D由题意可得22cos cos223cos sin x x x m x x x==++.因为,2k x k π≠∈Z ，所以cos 0,tan 0x x ≠≠，所以22243sin cos 43tan 4333cos sin 3tan tan tan x x xm x x x x x===+++.当tan 0x >时，32tan tan 3≥+x x，则2tan tan 3340≤+<x x，即20≤<m ，当tan 0x <时，32tan tan 3-≤+x x，则0tan tan 3342<+≤-x x，即02<≤-m .综上，[)(]2,00,2m ∈-⋃13.-由题可得2537a a a =⋅，且253a a q =⋅，所以5a =-.14.3-由题意得()()8cos cos 80f x x x x x =-+=-='，因为()f x 的极值点为0x，所以000sin tan 2x x x ===，则000tan 1tan 341tan x x x π+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭.15.8取AB 的中点M （图略），则()2228PA PB PO PM PO PO +⋅=⋅== .16.,99⎡-⎢⎣⎦()()2234sin cos 4cos 1cos 4cos 4cos f x x x x x x x ==-=-+.设[]cos 1,1t x =∈-，则()344y g t t t ==-+，故()()22124431g t t t =-+=--'.由()0g t '>，得33t -<<；由()0g t '<，得331-<<-t 或133<<t .则()g t在1,3⎡⎫--⎪⎢⎪⎣⎭和,13⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，在33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.因为()()110,,3939g g g g ⎛⎫⎛⎫-==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(),99g t ⎡∈-⎢⎣⎦，即()f x 的值域是,99⎡-⎢⎣⎦.17.解：（1）()21cos sin cos 2f x x x x =+-11cos2sin222x x =+2sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故()f x 的最小正周期22T ππ==.（2）()3sin 2sin 224424g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为()0≥x g ，所以ππππ+≤+≤k x k 24322，Z k ∈解得883ππππ+≤≤-k x k ，Z k ∈.故不等式()0≥x g 的解集为()3,88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .18.解：（1）设()f x kx b =+，则()()()()22f f x f kx b k kx b b k x kb b x =+=++=++=+，所以21,2,k kb b ⎧=⎨+=⎩解得1,1,k b =⎧⎨=⎩所以()f x 的解析式为()1f x x =+.（2）由()()0,,x af x ∞∈+>，可得1a x >+，21111≤+=+xx x x ，当且仅当1x =时，1x +取得最大值，所以12a >，即a 的取值范围为1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.19.（1）证明：因为111tan tan sin A C B +=，所以cos cos 1sin sin sin A C A C B+=，所以cos sin sin cos 1sin sin sin A C A C A C B +=，所以()sin 1sin sin sin A C A C B+=，所以2sin sin sin B A C =，由正弦定理得2b ac =.（2）解：2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--=== ，当且仅当a b =时，cos B 取得最小值12，所以角B 取得最大值3π，此时ABC 为等边三角形.20.（1）解：令1n =，则211122S a a =+，又0na >，得112a =.当2n时，因为222n n n S a a =+，所以211122n n n S a a ---=+，两式相减得2211222n n n n n a a a a a --=-+-，即()()112210n n n n a a a a --+--=.又因为0na >，所以112n n a a --=，则{}n a 是公差为12的等差数列，故()111222n na n =+-⨯=.（2）证明：由（1）可得()21411222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以132********111111n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++ 1111111111111121324354657112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111121212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭因为*n ∈N ，所以11111221312122n n ⎛⎫⎛⎫+--<+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因此132********1111113n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++< .21.解：（1）()()232438f x ax x x ax =='--.当0a =时，()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减.当0a >时，若()80,,0x f x a ⎛⎫⎪⎭'∈< ⎝；若()()8,0,,0x f x a ∞∞⎛⎫∈-⋃+⎝'> ⎪⎭.所以()f x 在80,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()8,0,,a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增.当0a <时，若()()8,0,,0x f x a ∞∞⎛⎫∈-⋃+< ⎪'⎝⎭；若()8,0,0x f x a ⎛⎫⎪⎭'∈> ⎝.所以()f x 在8,0a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()8,,0,a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当1a =时，由（1）知，()f x 在(]0,1上单调递减，在[)1,0-上单调递增，所以()f x 在[]1,1-上的最大值为()01f =.因为()()112,110f f -=-=-，所以()f x 在[]1,1-上的最小值为12-.22.解：（1）()11101133f =-+-=-，()222ln 212ln 3f x x x x x =+-+=-+'，则()12f '=，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()1213y x +=-，即723y x =-.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，令()22ln 3h x x x =-+，则()()()21122x x h x x x x+-=-='.当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<.所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()22ln 3h x x x =-+在1x =时取得最大值2，即()2≤'x f .()22=⋅≥+='--x x x x e e e e x g ，当且仅当0x =时，等号成立，取得最小值2.因为12l l ∥，所以()()122f x g x ''==，得121,0x x ==.即()11,,0,03A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为13y x =-.。

陕西省西安中学2020-2021学年高三上学期12月月考文科数学试题

【详解】
对于A中，若，
因为且，所以平面，
所以，所以，此时不成立，所以A错误；
对于B中，如图所示，取的中点，连接，
由条件可知：，且 ,
所以平面平面，
又因为平面，所以平面，所以B错误；
对于C中，如图所示，连接，延长交于点，
因为为的中点，所以，所以四点共面，
参考数据：， .
19．在中,内角 , , 的对边分别为 , , ,且 .
（1）求角的大小；
（2）若的面积为 ,且 ,求 .
20．如图所示的多面体中，四边形是正方形，平面平面，，， .
（1）求证：；
（2）求点D到平面的距离.
21．已知函数．
（1）若，求函数的极值和单调区间；
故答案为：
【点睛】
结论点睛：解三角形需要三个条件，且至少有一个为边长，对于未知的几何元素（边和角），可以放到其它三角形中求解.
16．①③④
【分析】
根据偶函数定义确定①成立，根据对勾函数性质得②错误，根据对勾函数性质以及偶函数性质得③成立，⑤错误；根据复合函数性质得④成立.
【详解】
定义域关于原点对称，又满足，所以函数的图象关于y轴对称，故①正确；
4．D
【分析】
对于A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0”，即可判断出；对于B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角；对于C当m=0时，满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；对于D根据元素与集合的关系即可做出判断．
【详解】
选项A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0”，因此A不正确；

2023-2024学年陕西省西安市高二上册12月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年陕西省西安市高二上册12月月考数学试题一、单选题1．若4m = ，6n = ，m 与n 的夹角θ为45 ，则m n ⋅等于（）A ．12B．C．-D ．12-【正确答案】B【分析】利用平面向量数量积的定义可求得m n ⋅的值.【详解】由平面向量数量积的定义可得cos 45462m n m n ⋅=⋅=⨯⨯= 故选：B.2．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于（）A ．3B ．－3C ．13D ．13-【正确答案】C【分析】由两角差的正切公式即可求解.【详解】解：tan(α－β)＝tan tan 1tan tan a αββ-+＝4334133-+⨯＝13，故选：C.3．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =A ．5B ．8C ．10D ．14【正确答案】B【详解】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，110216a d -==所以，716268a a d =+=+=故选B.等差数列通项公式.4．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（）A ．α一定是锐角B ．02πα≤<C ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角【正确答案】D【分析】根据诱导公式判断即可.【详解】对于诱导公式中的角α，角α是使公式有意义的任意角.故选：D5．以下对正弦函数sin y x =的图象描述不正确的是A ．在[]()2π,2π2πx k k k ∈+∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线1y =与直线1y =-之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点【正确答案】C【详解】由正弦函数sin y x =的图象可知，它不关于x 轴对称．故选C.正弦函数图象的识别.6．如图，已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象（部分），则函数的表达式为（）A ．102sin 116π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x B ．102sin 116π⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x C ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象，得到2A =且πT =，求得2ω=，即()2sin 2y x ϕ=+，再由π6x =时，πsin 216ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，求得πZ π2,6k k ϕ=+∈，即可求解.【详解】由函数()sin y A x ωϕ=+的图象，可得max min 2,2y y ==-，所以2A =，又由2πππ2362T =-=，可得πT =，所以2π2T ω==，即()2sin 2y x ϕ=+，当π6x =时，可得π2sin 226ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即πsin 216ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，解得ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，即πZ π2,6k k ϕ=+∈，当1k =时，可得π6ϕ=，所以π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：C.7．下列说法正确的是（）①零向量的长度为零，方向是任意的；②若,a b 是单位向量，则a b =；③若非零向量AB 与CD是共线向量，则,,,A B C D 四点共线.A ．①B ．②C ．③D ．①和③【正确答案】A【分析】根据零向量的定义、相等向量以及向量共线与点共线的关系判断各选项即可.【详解】对于①，根据零向量的定义得①正确，故①正确；对于②，,a b是单位向量，但方向可能不同，故②错误；对于③，若非零向量AB与CD 是共线向量，则可能//AB CD ，,,,A B C D 四点不一定共线，故③错误.故选：A.8．A ､B ､C 为不共线三点，则-=AB AC （）A ．BCB ．CBC ．ABD ．AC【正确答案】B【分析】根据向量减法法则直接求得即可.【详解】由向量减法法则得AB AC CB -=.故选：B.9．已知向量()3,2a = ，(),4b x = 且//a b r r，则x 的值是（）A ．6-B ．83C ．6D ．83-【正确答案】C根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数x 的等式，由此可解得实数x 的值.【详解】向量()3,2a = ，(),4b x = 且//a b r r，212x ∴=，解得6x =.故选：C.本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题.10．数列1,2,4,8,16,32, 的一个通项公式是A ．21n a n =-B ．12n n a -=C ．2nn a =D ．12n n a +=【正确答案】B【分析】观察数列是以1为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式即可求出答案.【详解】观察数列的前6项知，该数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=．故选：B ．11．23702cos 10sin -=-A ．12B．2C ．2D．2【正确答案】C【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦公式化简即可得结果.【详解】23702cos 10sin-=-()()23cos203cos2021cos2041cos2022--==+-+-，故选C.12．若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）.A ．79-B ．13-C ．13D ．79【正确答案】A根据1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用诱导公式得到cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由2cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式求解.【详解】因为1sin sin 6233πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以227cos 2cos 22cos 13339πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A二、填空题13．()cos αβ+=__________.【正确答案】cos cos sin sin αβαβ-【分析】直接根据两角和的余弦公式展开即可.【详解】()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.故cos cos sin sin αβαβ-14．sin cos cos sin αβαβ-=__________.【正确答案】()sin αβ-【分析】根据两角差的正弦公式的逆用得出结果.【详解】()sin cos cos sin sin αβαβαβ-=-.故答案为.()sin αβ-15．若tan α=cos α=__________.【正确答案】14±【分析】利用三角函数的基本关系式，联立方程组，即可求解.【详解】由tan α=sin cos αα=sin αα=，又由22sin sin cos 1αααα⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得21cos 16α=，因为tan 0α=>，所以α为第一、三象限角，所以1cos 4α=±.故14±16．若(,2)a λ= ，(3,5)b =- ，且a 与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是______.【正确答案】1010,##33λ⎛⎫+∞>⎪⎝⎭【分析】由条件转化为0a b ⋅<，并且a 与b 的夹角不为180 .【详解】因为a 与b 的夹角是钝角，所以3100a b λ⋅=-+<，解得：103λ>，当//a b时，56λ=-，解得：65λ=-，所以λ的取值范围是103λ>.故10,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题17．三角函数相关计算：(1)sin15 ；(2)1tan151tan15-+；(3)()()()()1tan11tan21tan3...1tan44+⨯+⨯+⨯⋯⨯+【正确答案】(1)43(3)222【分析】（1）由()sin15sin 4530=-，利用两角差的正弦公式求解；（2）利用两角差的正切公式求解；（3）利用两角和的正切公式的变形公式求解.【详解】（1）解：()sin15sin 4530sin45cos30cos45sin304=-=-= ；（2）原式()tan45tan15tan 4515tan301tan45tan15-==-==+ （3）设π4αβ+=，则()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-，则tan tan 1tan tan αβαβ+=-，则tan tan tan tan 1αβαβ++=，所以()()1tan11tan44++，1tan1tan44tan1tan44=+++ ，112=+=，同理()()1tan21tan432++=，()()1tan221tan232++=，则原式222222=⨯⨯⋯⨯=.18．（1）求点()1,3-到直线42y x =-的距离；（2）ππππcoscos sin sin 126126-.【正确答案】（1）17；（2）2【分析】（1）应用点线距离公式求解即可；（2）逆用和角余弦公式化简求值.【详解】（1）由直线一般式为420x y --=，则点到直线的距离：d（2）πππππππcoscos sin sin cos(+cos 12612612642-===.19．如图所示，四边形OADB 是以向量,OA a OB b ==为邻边的平行四边形.又11,33==BM BC CN CD ，试用,a b表示,,OM ON MN .【正确答案】1566OM OB BM a b =+=+ ，2233ON a b =+ ，MN = 1126a b - ．【分析】根据平面向量的线性运算法则求解．【详解】因为11,33==BM BC CN CD 且ABCD 是平行四边形，所以111515()666666OM OB BM OB BA OB OA OB OA OB a b =+=+=+-=+=+ ，2222()3333ON OD OA OB a b ==+=+ ，MN ON OM =- 1126a b =- ．20．已知向量()1,2a =、()0,3b =- (1)求a 与b的数量积.(2)求a 与b的夹角的余弦值.【正确答案】(1)6-(2)5-【分析】（1）根据数量积的坐标计算公式计算可得；（2）首先求出a、b ，再根据cos ,a b a b a b⋅=⋅ 计算可得.【详解】（1）因为()1,2a = ，()0,3b =- ，所以()01236a b ⋅=⨯+⨯-=-.（2）因为()1,2a =，()0,3b =- ，所以a = 3b = ，所以cos ,a b a b a b ⋅==⋅21．已知1sin cos 3αα+=，且0<α<π，求sin 2,cos 2,tan 2ααα的值．【正确答案】8sin29α=-，os 2c 9α=-t 17an 2α=将条件平方可得8sin29α=-，判断sin cos 0αα<，结合角的范围可得sin cos αα-==cos 2(cos sin )(cos sin )ααααα=+-，可得cos 2α，进而可得tan 2α.【详解】∵1sin cos 3αα+=，∴221sin cos 2sin cos 9αααα++=，∴8sin29α=-且4sin cos 9αα=-<0.∵0<α<π，sin 0,cos 0αα><，sin cos 0αα->，∴sin cos 3αα-==，∴221cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )(3ααααααα=-=+-=⨯--，∴sin 2cos 2tan 2ααα==22．计算：(1)在ABC 中，60,4,8∠=== C AC BC ，求AB 的长；(2)在等差数列{}n a 中，34567450a a a a a ++++=，求28a a +【正确答案】(1)(2)180【分析】（1）由余弦定理直接求解；（2）利用等差数列的性质求解结果.【详解】（1）已知60,4,8∠=== C AC BC ，余弦定理：2222cos 16643248AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯⨯=+-=，则AB =（2）解法一：设{}n a 的首项和公差分别为1a 和d ，则345671520450++++=+=a a a a a a d ，()2811222852045018055a a a d a d +=+=+=⨯=.解法二：由等差数列的性质:37268452a a a a a a a +===++，()28374652245018055a a a a a a a ∴+=++++=⨯=.23．已知向量a 、b 满足6a = 、4b = ，且a 与b 的夹角为60 ，求a b + 和2a b - .【正确答案】a b +=2a b -=【分析】首先根据数量积的定义求出a b ⋅，再根据a b + 、2a b -=数量积的运算律计算可得.【详解】 6a =、4b =，且a与b的夹角为60 ，cos 6012a b a b ∴⋅=⋅︒=，2a b ∴+=22a b -=24．在等比数列{}n a 中，已知：12a =，326S =，求q 与3a .【正确答案】答案见解析【分析】依题意可得()2123311S a a a a q q =+=+++，即可求出q ，从而求出3a .【详解】因为12a =，326S =，所以()()212233112126S a q q q q a a a ++++++====，解得3q =或4q =-，当3q =时23118a a q ==；当4q =-时，23132a q a ==.25．已知()()1,1,0,2==-a b 当k 为何值时，(1)ka b - 与a b +共线；(2)3a kb -与a b + 的夹角为90︒【正确答案】(1)1-(2)0【分析】(1)利用条件求出ka b - 与a b +，再利用向量共线的坐标运算即可求出结果；（2）先求出3a kb -，再利用向量垂直的坐标运算即可求出结果；【详解】（1）因为()()1,1,0,2==- a b ，所以()()()1,10,21,1+=+-=-a b ，()()()1,10,2,2ka b k k k -=--=+，由ka b - 与a b +共线，则()20k k +--=，所以1k =-.（2）因为()1,1a b +=- ，3(3,3)(0,2)(3,32)a kb k k -=--=+，因为3a kb -与a b + 的夹角为90︒，所以0(3)()a k b a b -⋅+= ，得到3(32)0k -+=，所以0k =.26．已知函数()ππsin sin cos (R,66f x x x x a a a ⎛⎫⎛⎫=++-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是常数）.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为1，求a 的值.【正确答案】(1)2π(2)1-【分析】（1）利用三角恒等变换的公式，化简得到()π2sin 6f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合周期的计算公式，即可求解；（2）由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得到ππ2,π633x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，结合三角函数的性质，求得()f x 最大值为2a +，即可求解.【详解】（1）解：由函数()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2sin π6x x a x a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2πT =.（2）解：由（1）知()π2sin 6f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，可得ππ2,π633x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ62x +=时，即π3x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为2a +，令21a +=，解得1a =-，即实数a 的值为1-.。

2023-2024学年陕西省西安市高三上学期9月月考数学(文)模拟试题(含解析)

A． (a b) c a (b c)
B． (a b) c a c b c
C． m(a b) ma mb
D． (a b)c a(b c)
11．以点 ( 2, 2) 为圆心， 3 为半径长的圆的标准方程是（）．
A． (x 2)2 ( y 2)2 3
（2） x2 2ax a2 1 0 x a 1 x a 1 0 a 1 x a 1，
∴原不等式的解集为x∣a 1 x a 1.
（3）
x 1 2x
3
x 1 2x
3
0
4x 5 2x
0
4x 5 x2
0
4x 5
x
2
0
x
2
0
x
5 4
（1）求 {an } 的公比；
（2）若 a1 1，求数列{nan}的前 n 项和．
25．已知 a 1 .
(1)求证 y loga x的单调性；
(2)求证 y ax 的单调性.
7x 5y 23 0
26．已知
x､y
满足条件：
x
7
y
11
0
，
4x y 10 0
(1)求 4x 3y 的最大值和最小值；
y
3 lg
x y
3
a
,
2
故选 A.
4．B
【分析】根据幂函数的定义判断即可.
【详解】一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 是自变量，为常数，
故
y
1 x3
x3 ，
y
4
x5
5
x4 为幂函数，
y
2x 1，
y
x3
x 均不为幂函数.
故选：B

陕西省西安市铁一中学高三数学上学期12月模拟试卷文(含解析)

2015-2016学年陕西省西安市铁一中学高三（上）12月模拟数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x∈Z|≤2x≤2}，B={y|y=cosx，x∈A}，则A∩B=（）A．{1} B．{0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}2．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+14．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A．3 B．C．2 D．5．设[x]表示不超过x的最大整数，对任意实数x，下面式子正确的是（）A．[x]=|x| B．[x]≥C．[x]＞﹣x D．[x]＞x﹣16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB=bcosA，则sinB﹣cosC的最大值是（）A．1 B．C．D．27．如图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＜0，ω＞0，|φ|≤）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8．已知直线m、n、l与平面α，β，给出下列六个命题：①若m∥α，n⊥α，则n⊥m；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；⑤若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；⑥l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β．其中假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知点P是抛物线y2=﹣8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x+y﹣10=0的距离是d2，则d l+d2的最小值是（）A．B．2 C．6 D．310．如图所示程序框图，输出结果是（）A．5 B．6 C．7 D．811．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）12．对于任意两个非零向量和，定义⊗=，若两个非零的平面向量，满足||≥||，其夹角θ∈（0，），且⊗和⊗都在集合中，则⊗=（）A．B．C．1 D．第二部分（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题---第21题为必考题，每个考生都必须作答．第22题---第24题为选考题，考生根据要求作答．13．双曲线的两条渐近线方程为．14．函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，1]，则函数的定义域是．15．已知变量x，y满足则Z=的取值范围是．16．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=2x；②f（x）=log2|x|；③f（x）=x2；④f（x）=ln2x，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为．三、解答题：共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．S n表示等差数列{a n}的前n项的和，且S4=S9，a1=﹣12（1）求数列的通项a n及S n；（2）求和T n=|a1|+|a2|+…+|a n|18．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．19．如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（I）求证：AC⊥平面BCE；（II）求三棱锥E﹣BCF的体积．20．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．（Ⅰ）证明：EF=EG；（Ⅱ）求GH的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年陕西省西安市铁一中学高三（上）12月模拟数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x∈Z|≤2x≤2}，B={y|y=cosx，x∈A}，则A∩B=（）A．{1} B．{0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，再求集合B，利用交集运算求出结果．【解答】解：∵集合A={x∈Z|≤2x≤2}={﹣1，0，1}B={y|y=cosx，x∈A}，∴B={cos1，1}∴A∩B={1}故选：A．2．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】由正弦定理知，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．【解答】解：由正弦定理知=2R，∵sinA＞sinB，∴a＞b，∴A＞B．反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB故选A．3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选A．4．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A．3 B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中三视图及其标识的相关几何量，我们易判断这是一个直三棱柱，且底面为直角边长分别等于1和的直角三角形，高为，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱，底面为直角三角形，两直角边长分别等于1和，棱柱高等于，故几何体的体积V=×1××=．故选：D5．设[x]表示不超过x的最大整数，对任意实数x，下面式子正确的是（）A．[x]=|x| B．[x]≥C．[x]＞﹣x D．[x]＞x﹣1【考点】函数的值．【分析】利用反例判断选项A，B，C的正误即可．【解答】解：当x=0.2时，[x]=0，|x|=0.2，所以A不正确；=0.2，所以[x]≥不正确；B不正确；当x=﹣0.1时，[x]=﹣1，所以[x]＞﹣x不正确，C不正确；故选：D．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB=bcosA，则sinB﹣cosC的最大值是（）A．1 B．C．D．2【考点】余弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简得到tanA=1，求出A的度数，用B表示出C，代入所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出最大值．【解答】解：由asinB=bcosA以及正弦定理可知sinAsinB=sinBcosA，即sinA=cosA，∴tanA=1，即A=，∴sinB﹣cosC=sinB﹣cos（﹣B）=sinB﹣cos cosB﹣sin sinB=sinB+cosB=sin（B+），∵0＜B＜，即＜B+＜π，∴0≤sin（B+）≤1，则sinB﹣cosC的最大值为1．故选A7．如图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＜0，ω＞0，|φ|≤）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．8．已知直线m、n、l与平面α，β，给出下列六个命题：①若m∥α，n⊥α，则n⊥m；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；⑤若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；⑥l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β．其中假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】利用空间线面位置关系的性质和判定定理进行分析判断，必要时作出草图辅助证明．【解答】解：①若m∥α，则存在b⊂α，使得b∥m，∵n⊥α，∴n⊥b，∴n⊥m．故①正确；②若m∥β，则存在直线b⊂β，使得m∥b，∵m⊥α，∴b⊥α，又b⊂β，∴α⊥β．故②正确；③由于平行关系在线面之间不具有传递性，故③错误；④∵m⊂α，l∩α=A，点A∉m，∴m与l没有公共点，即m与l平行或异面，若m与l平行，则l∥α，与l∩α=A矛盾，故m与l为异面直线，故④正确；⑤在平面α内任意一点O作m′∥m，l′∥l，则m′，l′为相交直线，∵l∥α，m∥α，∴m′⊂α，l′⊂α．∵n⊥l，n⊥m，∴n⊥m′，n⊥l′，∴n⊥α，故⑤正确．⑥由面面平行的判定定理可知⑥正确．故选：B．9．已知点P是抛物线y2=﹣8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x+y﹣10=0的距离是d2，则d l+d2的最小值是（）A．B．2 C．6 D．3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】根据抛物线的方程，得到焦点为F（﹣2，0），准线方程是x=2．然后作PQ与垂直准线，交于点Q，过作PM与直线x+y﹣10=0垂直，交于点M，可得PQ=d1，PM=d2．连接PF，根据抛物线的定义可得d1+d2=PF+PM，因此当P、F、M三点共线且与直线x+y﹣10=0垂直时，d l+d2最小，最后用点到直线的距离公式，可求出这个最小值．【解答】解：∵抛物线方程是y2=﹣8x，∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线方程是x=2P是抛物线y2=﹣8x上一点，过P点作PQ与准线垂直，垂足为Q，再过P作PM与直线x+y﹣10=0垂直，垂足为M则PQ=d1，PM=d2连接PF，根据抛物线的定义可得PF=PQ=d1，所以d1+d2=PF+PM，可得当P、F、M三点共线且与直线x+y﹣10=0垂直时，d l+d2最小．（即图中的F、P0、M0位置）∴d l+d2的最小值是焦点F到直线x+y﹣10=0的距离，即（d l+d2）min==故选C10．如图所示程序框图，输出结果是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出i值．【解答】解：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型“循环结构第1次循环：S=0+1=1，i=2，a=1×2+1=3；第2次循环：S=1+3=4，i=3，a=3×3+4=13；第3次循环：S=4+13=17，i=4，a=13×4+17=69；第4次循环：S=17+69=86，i=5，a=69×5+86=431；第5次循环：S=86+431=517，i=6，a=431×6+517≥500；跳出循环，输出i=6．故选B．11．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．【分析】将不等式有解，转化为求∴（x+）min＜m2﹣3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵不等式有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+=（x+）（）=+2=4，当且仅当，即x=2，y=8时取“=”，∴（x+）min=4，故m2﹣3m＞4，即（m+1）（m﹣4）＞0，解得m＜﹣1或m＞4，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故选：B．12．对于任意两个非零向量和，定义⊗=，若两个非零的平面向量，满足||≥||，其夹角θ∈（0，），且⊗和⊗都在集合中，则⊗=（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题中的定义，化简整理得⊗=，⊗=，其中m、n都是整数，两式相乘可得cos2θ夹角的范围，讨论可得m，n，从而得出答案．【解答】解：由题意，可得⊗====，同理可得⊗==，其中m、n都是整数，将化简的两式相乘，可得cos2θ=，∵||≥||，∴n≥m 且m、n∈Z，∵，的夹角θ∈（0，），可得cos2θ∈（，1），即∈（，1），结合m、n均为整数，可得m=1且n=3，从而得⊗==，故选：B．第二部分（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题---第21题为必考题，每个考生都必须作答．第22题---第24题为选考题，考生根据要求作答．13．双曲线的两条渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：14．函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，1]，则函数的定义域是（，2]∪[﹣2，﹣）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵y=f（x）的定义域为（﹣∞，1]，∴要使函数有意义，则，即0＜x2﹣2≤2，则2＜x2≤4，得＜x≤2，或﹣2≤x＜﹣，即函数的定义域为（，2]∪[﹣2，﹣），故答案为：（，2]∪[﹣2，﹣）15．已知变量x，y满足则Z=的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，利用z=的几何意义结合两点连线的斜率得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：B（0，2），联立，解得A（2，0），z=的几何意义是可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率，∵k PA==，k PB==．∴z=的取值范围是：[]．故答案为：．16．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=2x；②f（x）=log2|x|；③f（x）=x2；④f（x）=ln2x，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义a n•a n+2=a n+12，逐一判断四个函数，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知a n•a n+2=a n+12，①当f（x）=2x时，f（a n）f（a n+2）=2an•2an+2=2an+an+2≠22an+1=f2（a n+1），故①不正确；②f（a n）f（a n+2）=log2|a n|log2|a n+2|≠log2|a n+1|2=f2（a n+1），故②不正确；③当f（x）=x2时，f（a n）f（a n+2）=a n2a n+22=（a n+12）2=f2（a n+1），故③正确；④f（a n）f（a n+2）=a n ln2•a n+2ln2=a n+12ln22=f2（a n+1），故④正确；故答案为：③④．三、解答题：共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．S n表示等差数列{a n}的前n项的和，且S4=S9，a1=﹣12（1）求数列的通项a n及S n；（2）求和T n=|a1|+|a2|+…+|a n|【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（1）由已知结合等差数列前n项和公式，构造关于公差d的方程，求出公差后，可得数列的通项a n及S n；（2）由（1）中数列的通项公式，可得数列前6项为负，故可分n≤6和n≥7时两种情况，结合等差数列前n项和公式求T n．【解答】解：（1）∵S4=S9，a1=﹣12，∴4×（﹣12）+6d=9×（﹣12）+36d解得d=2…∴…（2）当n≤6时，a n＜0，|a n|=﹣a n，T n=﹣（a1+a2+…=13n﹣n2，…当n≥7时，a n≥0，T n=﹣（a1+a2+…+a6）+（a7+…=S n﹣2（a1+a2+…+a6）=n2﹣13n+84…18．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（Ⅰ）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（Ⅱ）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由列举法可得从五张卡片中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（Ⅱ）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，由列举法可得从中任取两张的所有情况，分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案．【解答】解：（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1、红1蓝2、红2蓝1，共3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，共有六张卡片，从六张卡片中任取两张，有红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2，红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，共有15种情2况，其中颜色不同且标号之和小于4的有红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红1绿0，红2绿0，红3绿，蓝1绿0，蓝2绿0，共8种情况，所以概率为．19．如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（I）求证：AC⊥平面BCE；（II）求三棱锥E﹣BCF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）过C作CM⊥AB，垂足为M，利用勾股定理证明AC⊥BC，利用EB⊥平面ABCD，证明AC⊥EB，即可证明AC⊥平面BCE；（II）证明CM⊥平面ABEF，利用V E﹣BCF=V C﹣BEF，即可求三棱锥E﹣BCF的体积．【解答】（I）证明：过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，∴AM=MB=2，∵AD=2，AB=4，∴AC=2，CM=2，BC=2∴AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴EB⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥EB，∵EB∩BC=B，∴AC⊥平面BCE；（II）解：∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥CM，∴CM⊥AB，AB∩AF=A，∴CM⊥平面ABEF，∴V E﹣BCF=V C﹣BEF===．20．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…21．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；（II）由（I）知， =，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可；（III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论．【解答】解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知， =，x∈（0，+∞），设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（ e﹣2，1）时，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（ e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e ﹣2在0＜x＜1时成立．当0＜x＜1时，e x＞1，且g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（ e﹣2，1）时，F'（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．（Ⅰ）证明：EF=EG；（Ⅱ）求GH的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆，证明∠FGE=∠BAF=∠EFG，即可证明EF=EG；（Ⅱ）求出EG，EH，即可求GH的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆由EF是切线知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF，∴∠FGE=∠BA F∴∠FGE=∠EFG，∴EF=EG…（Ⅱ）解：∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2，∴EF2=OH2+HE2﹣OF2=48，∴EF=EG=4，∴GH=EH﹣EG=8﹣4…选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…。

【陕西省西安市铁一中】2017届高三上学期12月月考数学(文科)试卷-答案

∴b 2
S 1 bcsinA 1 2 4sin600 2 3 ．
2
2
18．（本小题满分 12 分）
12 分
5分
7分 8分 10 分
（Ⅰ）设这 10 名同学中男女生的平均成绩分别为 x1 ， x2 ．则
x1

64

76
4
77

78

73.75
2分
-1-/5
x2

56

7分
因为 DE 平面ADC1 ， A1B 平面ADC1 ，所以 A1B∥平面ADC1
9分
（Ⅲ）平面 ABC 、平面 A1B1C1 、平面 AC1D 20．（本小题满分 12 分）
-2-/5
12 分（每对个给 1 分）．
（Ⅰ）有题意可知： RN RM ，即点 R 到直线 x 1 和点 M 的距离相等．根据抛物线的定义可知： R 的轨迹为抛物线，其中 M 为焦点．设 R 的轨迹方程为： y2 2 px ， p 1 ， p 2
x1

x2

4
2bk k2
，
x1

4

2bk 4 2k 2
1 bk
x2

4

2bk 4 2k 2
1 bk
因为 kAP

y1 x1
y2 x2

k(x1 x2 ) 2b 8 1 bk

k 1 bk ，
2k 2
y
A
C
Q
O
9分 10 分
k AQ

y1 0
x1

b k

陕西省高三上学期数学月考(12月)试卷

陕西省高三上学期数学月考（12月)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）设A={x|2x＞1}，B={x|y=log2（x+1）}，则A∪B=（）A . {x|﹣1＜x＜0}B . {x|x≥1}C . {x|x＞0}D . {x|x＞﹣1}2. （2分）已知(i为虚数单位），则复数z=（）A . 1+iB . 1-iC . -1+iD . -1-i3. （2分） (2020高一下·吉林月考) 设，则下列结论中正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高二下·浙江月考) 在中，“ ”是“ 为直角三角形”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2020高一下·佛山月考) 已知是边长为1的等边三角形，若对任意实数k，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（）.A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·福州期中) 设F为双曲线的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，则的值为（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高二上·广州期末) 已知各项均为正数的数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为5，则（）A . 29B . 31C . 33D . 358. （2分）设f（x）=， g（x）是二次函数，若f（g（x））的值域是[0，+∞），则函数g（x）的值域是（）A . （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B . （﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）C . [0，+∞）D . [1，+∞）9. （2分） (2018高二上·赤峰月考) 函数的图像大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共7分)10. （1分） (2019高二上·应县月考) 已知是过抛物线焦点的弦，，则中点的横坐标是________11. （1分） (2020高三上·郑州月考) 不等式的解集为________.12. （1分）(2020·镇江模拟) 设是等比数列的前项的和，成等差数列，则的值为________．13. （1分）化简： =________．14. （2分）已知圆C的参数方程为（θ为参数），若P是圆C与y轴正半轴的交点，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P的圆C的切线的极坐标方程________．15. （1分） (2019高三上·淮安期中) 如图，在中，，，，为边上一点，且，为边的中点，则的值为________.三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分）(2019·武威模拟) 已知函数，其中．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．17. （10分） (2016高二上·乾安期中) △ABC中，BC=7，AB=3，且 = ．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小．18. （10分） (2020高一上·黄陵期末) 试就的值，讨论直线和圆的位置关系.19. （10分） (2019高三上·南宁月考) 已知函数 .（1）讨论的单调性；（2）若函数在区间上的最小值为，求m的值.20. （10分） (2018高二上·黑龙江期中) 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．（1）求抛物线的方程．（2）直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值．21. （15分） (2017高一上·海淀期中) 若数列A：a1 ， a2 ，…，an（n≥3）中ai∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，ak+1+ak﹣1＞2ak恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（Ⅰ）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x，y；（Ⅱ）若“U﹣数列”A：a1 ， a2 ，…，an中，a1=1，an=2017，求n的最大值；（Ⅲ）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1 ， a2 ，…，an0 ，记M=max{a1 ， a2 ，…，an0}，其中max{x1 ， x2 ，…，xs}表示x1 ， x2 ，…，xs这s个数中最大的数，求M的最小值．参考答案一、单选题 (共9题；共18分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共7分)答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。

陕西省西安市第一中学2021届高三上学期12月月考数学(文)试题do

陕西省西安市第一中学2021届高三上学期12月月考数学（文）试题do高三数学试卷（文科）候选人须知：1.本试卷第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。

3.本论文的主要测试内容：集合与公共逻辑项、函数与导数、不等式、三角函数与解三角形平面向量。

第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设定一个？？x |？2.十、7.Bx | x？1，x？N然后是a？B的元素数是a.3b和4c。

5d。

六2.在等差数列?an?中a2021?a2021?6，则公差d等于a.2b.3c.4d.63.在下列函数中，既不是奇数也不是偶数的函数是3x?xa.y?lnxb.y?xc.y??xd.y?e?e0b的值是4集向量a？（1,2），b？25.如果a和B之间的夹角是60，那么a？a、 5b。

5c。

55d。

105.cos80cos130？Sin80sin130等于A？00001133b。

？c、 d。

22226.设等比数列{an}的前n项和为sn，若a3=2a4=2，则s6等于3163127c。

D248a7。

曲线f（x）？十、如果（1，a+1）处的切线垂直于直线3x+y=0，则a等于x5157a.?b.c.d.662248.“Tan？？2”是指3a.31b.1a、充分和不必要的条件B.必要和不充分的条件c.充要条件d．既不充分也不必要条件9.已知函数f（x）？asin（？x？？）一些照片(2m?个单位后得到y?asin?x的图像310.设函数y?4x?x的图像如图所示，则m的值可能为a．-2b.1c.3d.4牛被测量，ab=1040米，BC=500米，那么罪呢？BAC等于ayx'3357b.c.d.581324212.如图所示，函数f（x）是吗？十、斧头？B的部分像，函数g（x）？Ef （x）13。

2021年高三(上)12月月考数学试卷 Word版含解析

2021年高三（上）12月月考数学试卷 Word版含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）集合M={x|lgx＞0}，N={2}，则M∩N={2} ．考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：根据对数函数的单调性求出集合M，再与集合N进行交集运算即可．解答：解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={2}，则M∩N={2}，故答案为：{2}．点评：本题考查对数函数的性质、集合的交集运算．属于基础题．2．（5分）右图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 6.8．考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专计算题；概率与统计．分析：根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差．解答：解：∵根据茎叶图可知这组数据是8，9，10，13，15这组数据的平均数是=11∴这组数据的方差是[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]=[9+4+1+4+16]=6.8故答案为：6.8．点评：本题考查一组数据的方差，考查读茎叶图，这是经常出现的一种组合，对于一组数据通常要求这组数据的平均数，方差，标准差，本题是一个基础题．3．（5分）若是纯虚数，则tanθ的值为．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部为0，虚部不为0，解出关于θ的正弦的值和余弦不等于的值，从而得到这个角的余弦值，根据同角的三角函数关系，得到正切值．解答：解：∵是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴sin，cos，∴cos，∴tan，故答案为：﹣点评：本题考查复数的概念，考查同角三角函数之间的关系，是一个基础题，解题的过程中注意纯虚数的等价条件．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为15．考程序框图．专题：计算题．分析：由已知中的程序框图及已知中输入n=6，可得：进入循环的条件为i＜6，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：如图所示的程序框图，若输入n的值为6，循环条件为：i＜6，i=1，s=1，1＜6可以循环，s=1×1=1，i=1+2=3＜6，s=1×3=3，i=3+2=5＜6，s=3×5=15，i=5+2=7＞6，循环结束，输出s=15，故答案为15；点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．5．（5分）（xx•北京）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=2．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：由函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg（ab）．由此能求出结果．解答：解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=lg（ab）2=2lg（ab）=2．故答案为：2．点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．（5分）袋子中装有分别标注数字为1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为5或7，可以列举出所有的事件共有4种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52=10种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为5或7，可以列举出所有的事件：1，4；2，3；2，5；3，4共有4种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：点评：本题考查古典概型，考查数字问题，是古典概型中比较典型的问题，可以列举出所有的事件，本题是一个送分题目．7．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是②①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，l⊥α，则l⊥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①若l∥α，l∥β，则α∥β，构造反例；②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；由线面平行的性质定理及面面垂直的判定定理可判断；③若α⊥β，l⊥α，则l⊥β，构造反例；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β，构造反例；解答：解：①由l∥α，l∥β，不一定推出α∥β．反例如图：所以①不正确；②如图所示：过l作平面γ交平面α于直线a，因为l∥α，所以l∥a，又l⊥β，所以a⊥β，a⊂α，故α⊥β，所以②正确；③由α⊥β，l⊥α，不能推出l⊥β；反例如图：故③不正确；④若α⊥β，l∥α，未必有l⊥β．反例如图：故④不正确；点评：本题考查命题真假的判断及空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，考查了相关的判定定理及性质定理，本题还考查空间想像能力及运用题设条件组织证明的能力．8．（5分）（xx•泗阳县模拟）两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，解得a=5，b=4，故双曲线为，由此能求出双曲线的离心率．解答：解：∵两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，∴，解得a=5，b=4，∴双曲线为，∴c=，∴双曲线的离心率e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要注意等比中项和等差中项和合理运用．9．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D为BC边上的点，且•=0，=2，则=1．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°，且易求得AD=1，，而==代入可得结果．解答：解：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°故在直角三角形ABD中可求得AD=1，，∴====1．故答案为：1点评：本题为向量的数量积的运算，把向量适当转化时解决问题的关键，属基础题．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a=﹣3．考点：函数的值．专题：计算题．分析：当a＞0时，由f（a）+f（1）=0，可得a无解，当a＜0时，由f（a）+f（1）=0，可得a=﹣3．解答：解：当a＞0时，f（a）=2a，由f（a）+f（1）=0，可得2a+2=0，解得a=﹣1（舍去）．当a＜0时，f（a）=a+1，由f（a）+f（1）=0，可得a+1+2=0，解得a=﹣3，故答案为﹣3．点评：本题主要考查求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．11．（5分）已知向量，，且，则=．考点：运用诱导公式化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：先根据求得tanx，进而利用诱导公式对化简整理，分子分母同时除以cosx，最后把tanx代入即可．解答：解：∵∴=﹣sinx+2cosx=0，即tanx=2 ∴===故答案为点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值和向量的运算．属基础题．12．（5分）设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a．解答：解：y= 的导数为y′=，当x=时，y′=1，故y=在点（，2）处的切线斜率为1，故与它垂直的直线x+ay+1=0 的斜率为=﹣1，∴a=1，故答案为：1．点评：本题考查函数在某点的导数就是函数在此点的切线斜率，以及两直线垂直的性质．13．（5分）设圆C的圆心在双曲线（a＞0）的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线l：截得的弦长等于2，则a=．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题．分析：先利用圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径，再利用圆C被直线l：截得的弦长等于2，求出a与圆心到直线l：的距离d之间的等量关系即可求出a．解答：解：设圆心坐标为（，0），因为双曲线的渐近线y=x⇒x﹣ay=0．由圆与双曲线的渐近线相切得圆心到直线的距离等于半径，即得r==，又因为圆C被直线l：截得的弦长等于2，故圆心到直线l：的距离d=1=⇒a2=2又a＞0，故a=．故答案为．点评：本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质，直线的方程，直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．14．（5分）给出下列命题：①f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，若，则f（sinθ）＞f（cosθ）；②函数的单调递减区间是；③若；④要得到函数．其中是真命题的有②③（填写所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合三角函数的图象和性质，可判断f（sinθ）＜f（cosθ），进而得到①错误；根据余弦型函数的单调性，求出函数=的单调区间，比照后，可得到②正确；利用降次升角公式化简函数的解析式，进而根据诱导公式，可判断③正确；利用函数图象的平移变换法则，求出平移变换后函数的解析式，比照后，可得④错误．解答：解：若，则1＞sinθ＞cosθ＞0，又由f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，故f（x）在[0，1]上是减函数，故f（sinθ）＜f（cosθ），故①错误；函数=，由2kπ≤≤2kπ+π，得，故函数的单调递减区间是，故②正确；=cosx，则f（x+π）=cos（x+π）=﹣cosx=﹣f（x）恒成立，故③正确；将的图象向右平移个单位后，得到函数=的图象，故④错误故答案为：②③点评：本题以命题的真假判断为载体考查了命题的真假判断与应用，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数，（其中ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，△ABC的面积为，求△ABC 的外接圆面积．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简函数的表达式，通过函数的周期，求出ω，然后求出函数的单调减区间．（Ⅱ）利用第一问的结果，求出锐角三角形的角A，通过正弦定理求出三角形的外接圆的半径，然后求解外接圆的面积．解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）=1+cosωx+cosωx﹣sinωx =1+cosωx﹣sinωx=1﹣sin（ωx﹣），于是有=2．∴函数f（x）的单调递减区间[k]，k∈Z．（Ⅱ）由（Ⅰ）以及已知可得，即sin（2A﹣）=，又三角形是锐角三角形，所以A=，△ABC的外接圆的半径为，△ABC的外接圆的面积为．点评：本题考查两角和的正弦函数的应用，正弦定理，三角函数的单调减区间的求法，外接圆的面积的求法，考查计算能力．16．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为棱形，∠DAB=60°，平面PCD⊥底面ABCD，E、F分别是CD、AB的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD．（2）设G为棱PA上一点，且PG=2GA，求证：PC∥平面DGF．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证BE⊥平面PCD，可先证平面PCD⊥底面ABCD，根据平面与平面垂直的性质定理可证得；（2）欲证PC∥平面DGF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PC与平面DGF内一直线平行，而PC∥MG，PC⊄平面DGF，GM⊂平面DGF，满足定理条件．解答：证明：（1）连接BD因为底面ABCD为菱形，∠DAB=60°所以DB=CB因为E为CD的中点，所以BE⊥CD因为平面PCD⊥底面ABCD且平面PCD∩底面ABCD=CDBE⊂平面ABCD所以BE⊥平面PCD（2）连接AC交FD与点M，交BE于点N，连接MG因为底面ABCD为菱形，且E、F分别为CD，AB的中点，所以DE∥BF，且DE=BF因此四边形DEBF为平行四边形，所以BE∥DF．因为E为CD的中点，所以CN=MN同理AM=MN，因此CM=2AM又在△ACP中，PG=2GA所以PC∥MG又因为PC⊄平面DGF，GM⊂平面DGF，所以PC ∥平面DGF点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．17．（14分）（2011•福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（I ）求a 的值（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．专题：应用题．分析：（I ）由f （5）=11代入函数的解析式，解关于a 的方程，可得a 值；（II ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x 的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x 值．解答：解：（I ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（II ）由（I ）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f ′（x ）=10[（x ﹣6）2+2（x ﹣3）（x ﹣6）]=30（x ﹣6）（x ﹣4）于是，当x 变化时，f （x ）、f ′（x ）的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数f （x ）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f （x ）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．点评：本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．18．（16分）（xx •宿州三模）设函数f （x ）=p （x ﹣）﹣2lnx ，g （x ）=．（p 是实数，e 是自然对数的底数）（1）当p=2时，求与函数y=f （x ）的图象在点A （1，0）处相切的切线方程；（2）若f （x ）在其定义域内为单调递增函数，求p 的取值范围；（3）若在[1，e ]上至少存在一点x o ，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求p 的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）求导要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f’（x）≥0恒成立”，再转化为“p≥=恒成立”，由最值法求解．同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f’（x）≤0恒成立”，再转化为“p≤=恒成立”，由最值法求解，最后两个结果取并集．（2）由“函数f（x）的图象相切于点（1，0”求得切线l的方程，再由“l与g（x）图象相切”得到（p﹣1）x2﹣（p﹣1）x﹣e=0由判别式求解即可．（3）因为“在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立”，要转化为“f（x）max＞g（x）min”解决，易知g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]，①当p≤0时，f（x）在[1，e]上递减；②当p≥1时，f（x）在[1，e]上递增；③当0＜p ＜1时，两者作差比较．解答：解：（1）∵，要使f（x）为单调增函数，须f’（x）≥0恒成立，即px2﹣2x+p≥0恒成立，即p≥=恒成立，又≤1，所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．要使f（x）为单调减函数，须f’（x）≤0恒成立，即px2﹣2x+p≤0恒成立，即p≤=恒成立，又＞0，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0（2）∵，，∴f’（1）=2（p﹣1），设直线l：y=2（p﹣1）（x﹣1），∵l与g（x）图象相切，∴y=2（p﹣1）（x﹣1）得（p﹣1）（x﹣1）=，即（p﹣1）x2﹣（p﹣1）x﹣e=0y=当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p﹣1）2﹣4（p﹣1）（﹣e）=0，得p=1﹣4e，综上，p=1﹣4e（3）因g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，即：f（e）=p（e﹣）﹣2lne＞2⇒p＞③当0＜p＜1时，因x﹣≥0，x∈[1，e]所以f（x）=p（x﹣）﹣2lnx≤（x﹣）﹣2lnx≤e﹣﹣2lne＜2不合题意综上，p的取值范围为（，+∞）点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．19．（16分）（xx•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2，求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标．解答：解：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=①当﹣b≤﹣1时，即b≥1，得b=1②当﹣b＞﹣1时，即b＜1，得b=1（舍）∴b=1∴椭圆方程为（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1∵|AB|=，点O到直线l距离∴=∵m2+n2＞1∴0＜＜1，∴当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，又∵解得：所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．20．（16分）各项均为正数的等比数列{a n}，a1=1，a2a4=16，单调增数列{b n}的前n项和为S n，a4=b3，且6S n=b n2+3b n+2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）令（n∈N*），求使得c n＞1的所有n的值，并说明理由．（Ⅲ）证明{a n}中任意三项不可能构成等差数列．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差关系的确定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由a2a4=a12q4=q4=16，q2=4，知a n=2n﹣1，b3=a4=8．由6S n=b n2+3b n+2，知（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=3（b n+b n﹣1），由此能够求出b n=3n﹣1．（Ⅱ）由b n=3n﹣1，知=，由此能求出满足条件C n＞1的所有n的值为1，2，3，4．（Ⅲ）假设{a n}中存在三项p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使a p，a q，a r构成等差数列，所以2•2q﹣1=2p﹣1+2r﹣1．2q﹣p+1=1+2r﹣p．因左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立，即不存在任意三项能构成等差数列．解解：（Ⅰ）∵a2a4=a12q4=q4=16，q2=4，∵a n＞0，∴q=2，∴a n=2n﹣1答：∴b3=a4=8．∵6S n=b n2+3b n+2①当n≥2时，6S n﹣1=b n﹣12+3b n﹣1+2 ②①﹣②得6b n=b n2﹣b n﹣12+3b n﹣3b n﹣1即（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=3（b n+b n﹣1）∵b n＞0∴b n﹣b n﹣1=3，∴{b n}是公差为3的等差数列．当n=1时，6b1=b12+3b1+2，解得b1=1或b1=2，当b1=1时，b n=3n﹣2，此时b3=7，与b3=8矛盾；当b1=3时b n=3n﹣1，此时此时b3=8=a4，∴b n=3n﹣1．（Ⅱ）∵b n=3n﹣1，∴=，∴c1=2＞1，c2=＞1，c3=2＞1，＞1，＜1，下面证明当n≥5时，c n＜1事实上，当n≥5时，=＜0即c n+1＜c n，∵＜1∴当n≥5时，C n＜1，故满足条件C n＞1的所有n的值为1，2，3，4．（Ⅲ）假设{a n}中存在三项p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使a p，a q，a r构成等差数列，∴2a q=a p+a r，即2•2q﹣1=2p﹣1+2r﹣1．∴2q﹣p+1=1+2r﹣p．因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．点评：本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．三、数学Ⅱ附加题21．（20分）（选做题）在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（B）（选修4﹣2：矩阵与变换）二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成点（﹣2，4），求矩阵M2．（C）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．试在曲线C上一点M，使它到直线l的距离最大．考点：参数方程化成普通方程；点到直线的距离公式；特征值与特征向量的计算．专题：选作题．分析：（B）利用矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算即可求出；（C）先把极坐标方程和参数方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式即可求出．解答：（B）解：设，则由，得，即a+b=8，c+d=8．由，得，从而﹣a+2b=﹣2，﹣c+2d=4．由a+b=8，﹣a+2b=﹣2，c+d=8，﹣c+2d=4解得a=6，b=2，c=4，d=4 ∴，．（C）解：由曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，可得C的普通方程是x2+3y2=3，即=1．由直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）消去参数td得直线l的普通方程是x+=0．设点M的坐标是，则点M到直线l的距离是d=．当时，即θ+，k∈Z，解得θ=2kπ+，k∈Zd取得最大值，此时，综上，点M的坐标是时，M到直线l的距离最大．点评：熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算、直线与圆锥曲线的位置关系及利用点到直线的距离公式求最值问题是解题的关键．22．（10分）设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且．（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且成等差数列，当AD 的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．考点：圆锥曲线的综合；数列与向量的综合．专题：综合题．分析：（1）根据，可得P为MN的中点，利用，可得，从而可得点N的轨迹C的方程；（2）先根据抛物线的定义可知，利用成等差数列，可得x1+x3=2x2，确定AD的中垂线方程，利用AD的中点在直线上，即可求得点B的坐标．解答：解：（1）设N（x，y），则由得P为MN的中点，所以…（1分）又，∴∵，…（3分）∴y2=4x（x≠0）…（5分）（2）由（1）知F（1，0）为曲线C的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点P0（x0，y0）到F的距离等于其到准线的距离，即…（6分）故，又成等差数列∴x1+x3=2x2…（7分）∵直线AD的斜率…（9分）∴AD的中垂线方程为…（10分）又AD的中点在直线上，代入上式，得…（11分）故所求点B的坐标为（1，±2）…（12分）点评：本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，考查数列知识，解题的关键是用好向量，挖掘隐含，属于中档题．23．（10分）设数列{a n}是等比数列，a1=C2m+33m•A m﹣21，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）用n，x表示通项a n与前n项和S n；（2）若A n=C n1S1+C n2S2+…+C n n S n，用n，x表示A n．考点：数列的求和；数列递推式；二项式定理．专题：综合题；压轴题．分析：第（1）问的提出是很自然的，在确定参数m和公比q时，自然需要讨论排列数、组合数的性质，此处为：，另外二项展开式中的第二项的求解需要注意题意，即按x 的降幂排列．以上两点注意到了很自然的能求出参数m和公比q的值来．（2）在（1）中求得前n项和S n的基础上要分两类x=1和x≠1来解答，当x=1时的形式能使我们很容易得到表达式A n=C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=0C n0+1C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n，联想组合数的性质C n0+C n1+C n2+…+C n n=2n，很容易构造出解答A n的式子及方法．当x≠1时要分两组式子分别计算得到A n的值．解答：解：（1）∵a1=C2m+33m•A m﹣21∴∴m=3，…（2分）由的展开式中的同项公式知，∴a n=x n﹣1∴由等比数列的求和公式得：…（4分）（2）当x=1时，S n=n，所以：A n=C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=0C n0+1C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n，又∵A n=nC n n+（n﹣1）C n n﹣1+（n﹣2）C n n﹣2+…+C n1+0C n0，∴上两式相加得：2A n=n（C n0+C n1+C n2+…+C n n）=n•2n，∴A n=n•2n﹣1，当x≠1时，，所以有：∴…（10分）点评：本题综合考查了数列及数列的前n项和的求法，二项式定理的内容．公比为参数x 的等比数列前n项和的讨论．对于二项式定理的展开应用，本题需要注意是按照参数字母x的降幂排列，忽略这一点将导致错误．;31622 7B86 箆_37873 93F1 鏱H29836 748C 璌w28412 6EFC 滼39936 9C00 鰀DDQ26264 6698 暘)。

2021年高三上学期12月月考数学试题 Word版含答案

2021年高三上学期12月月考数学试题 Word版含答案一．填空题（本大题共14小题；每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卷上）1.若集合，B＝{，则=________.2.已知函数的最小正周期为，则＝_______3.函数的定义域是________．4.已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b 的数量积a·b＝________.5.在等差数列中，，则的前5项和为________．6.中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆的标准方程是________________．7.函数的最小值为________．8．函数的单调递减区间为________．9. 已知直线与圆相切，则的值为________．10.若函数有且只有一个零点，则实数的值为__________ .11.已知和是方程的两根，且，则=_____.12.设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是________．13.设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 .14.已知圆心角为120°的扇形的半径为1，为弧的中点，点分别在半径上．若，则的最大值是________．二．解答题（本大题共6小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（本小题满分14分）如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：PA∥面BDE；(2)平面PAC⊥平面BDE；16.（本小题满分14分）已知向量设函数（I）求的最小正周期与单调递减区间；（II）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，若△ABC的面积为，求的值.17.（本小题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式，其中3<x<6，为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．18.（本小题满分16分）在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量的坐标；（2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.19.（本小题满分16分）数列满足，.(1)求，的值；(2)是否存在一个实数，使得，且数列为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由；(3)求数列的前项和.20.（本小题满分16分）已知函数在处的切线方程为（1）若=，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值；（2）若，是否存在实数，使得对于定义域内的任意都成立；（3）若方程有三个解，求实数的取值范围．新丰中学xx 届高三第二次学情调研考试数学试题答题卷一、填空题（本大题共14小题；每小题5分，共70分．不需写出解答过题过程，请将答案直接写在答题卷上）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二．解答题（本大题共6小题,满分90分．解答须写出文字说明、证明过明过程或演算步骤．） 15.(本题满分14分）16.(本题满分14分）考场 __________________ 座位号__________ 班级__________________ 姓名__________________学号__________________…………………………………………………….密……………………….封………………………..线……………………………………………………………....—————————————————————————————————17.(本题满分14分）18.(本题满分16分）—————————————————————————————————19.(本题满分16分）20.(本题满分16分）新丰中学xx 届高三第二次学情调研考试数学试题答案一．填空题1. 2. 3.[1，53) 4.35.106.x 23＋y 24＝17.52 8．(0,1] 9. 8或－18 10.或 11. 12. 6 2 13. 14 4312.解析设圆的圆心为C ，则C (0,6)，半径为r ＝2，点C 到椭圆上的点Q (10cos α，sin α)的距离CQ ＝10cos α2＋sin α－62＝46－9sin 2α－12sin α＝50－9⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋232≤50＝52，当且仅当sin α＝－23时取等号，所以PQ ≤CQ ＋r ＝52＋2＝62，即P ，Q 两点间的最大距离是6 2.14.解析在△COD 中，由余弦定理得CD 2＝1＋OD 2－OD ，同理在△EOC 、△DOE 中，由余弦定理分别得CE 2＝1＋OE 2－OE ，DE 2＝OE 2＋OD 2＋OD ·OE ，代入CD 2＋CE 2＋DE 2＝269整理得2(OD ＋OE )2－(OE ＋OD )－89＝3OD ·OE ，由基本不等式得3OD ·OE ≤3OD ＋OE24，所以2(OD ＋OE )2－(OE ＋OD )－89≤3OD ＋OE24，解得0≤OD ＋OE ≤43，即OD ＋OE 的最大值是43.二．解答题15.（本小题满分14分）连结OE ，如图所示． ∵O 、E 分别为AC 、PC 中点，∴OE ∥PA ． …………3分 ∵OE ⊂面BDE ，PA ⊄面BDE ，∴PA ∥面BDE ． …………7分 (2)∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD ．在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝0，∴BD ⊥面PAC ． …………10分又∵BD ⊂面BDE ，∴面PAC ⊥面BDE ． …………14分 16.（本小题满分14分）解：（I ）),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x n x x m =+=…………4分…………5分)(326)(2326222Z k k x k Z k k x k ∈+≤≤+∴∈+≤+≤+πππππππππ令)](32,6[)(Z k k k x f ∈++∴ππππ的单调减区间为 …………7分（II ）由得…………10分…………12分32112214cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=∴A bc c b a…………14分17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以…………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-.…………8分从而，2'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--，于是，当x 变化时，的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，所以，当x=4时，函数取得最大值，且最大值等于42.…………13分答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.…………14分18.（本小题满分16分）解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u v u 即则由得},3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u v u v u 因为或所以v －3>0,得v =8,故={6，8}. ………5分（2）由={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10.………10分（3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a aa a a ax a x x x a a x x ax x x x yy y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得故当时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.………16分 19.（本小题满分16分）解 (1)由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，∴a 2＝9，∵9＝2a 1＋22＋1，∴a 1＝2.………4分 (2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，(n ≥2且n ∈N *) ∴2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，∴4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，∴4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，∴t ＝1.即存在实数t ＝1，使得{b n }为等差数列．………10分 (3)由(1)，(2)得b 1＝32，b 2＝52，∴b n ＝n ＋12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1，S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，①∴2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n－2n ，②由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n＋n ＝1＋2×1－2n1－2－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n＋n －1， ∴S n ＝(2n －1)×2n－n ＋1.………16分20.（本小题满分16分）精品文档解：（1）因为所以，……… 2分又设图像上任意一点因为 ,所以切线方程为…………………… 4分令得；再令得 ,故三角形面积, 即三角形面积为定值.…………… 6分（2）由得，假设存在满足题意,则有化简,得对定义域内任意都成立,……… 8分故只有解得所以存在实数使得对定义域内的任意都成立.…11分（3）由题意知,因为且化简,得……13分即………15分如图可知,所以即为的取值范围.…………………………… 16分H)24358 5F26 弦38199 9537 锷826590 67DE 柞21594 545A 呚38476 964C 陌Q-029631 73BF 玿32756 7FF4 翴实用文档。

2021届陕西省部分重点高中高三上学期12月联考数学(文)试题(解析版)

月份
6
7
8
9
10
广告费（万元）
10
11
13
12
9
纯利润（万元）
23
25
30
26
16
（1）根据6至10月份的数据，求出关于的线性回归方程；
（2）该公司销售部门打算11月份对该地区投入广告费15万元，但公司决策部门规定，当纯利润预测不低于35万元时才能对该地区继续投人广告，否则终止投入广告，试判断销售部门对该地区是否继续投入广告．
所以在上单调递减，当时，，则，
所以的值域为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键就是利用复合函数法判断出函数的单调性，并求出真数的取值范围，结合对数函数的单调性求解.
三、解答题
17．在递增的等比数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【详解】，所以的实部是，虚部是，故B正确；
故选：B
3．从2，3，4，5，6，7，9，11，12这9个数中任意选取1个，则这个数是质数的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】这9个数中2，3，5，7，11是质数，
故由古典概型的概率公式得所求概率为 .
A．， B． C．， D．
【答案】A
【分析】求出的导数，由导数判断出函数的单调性，求出其最小值，令最小值大于0即可求出的范围.
【详解】解：，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，

陕西省数学高三上学期理数12月月考试卷

陕西省数学高三上学期理数 12 月月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高三上·宁波期末) 已知集合，则（）.A.B.C.D. 2. （2 分） (2018 高一上·浙江期中) 下列大小关系正确的是（）A.B.C.D.3. （2 分）已知点落在角的终边上，且，则的值为（）A.B.C.D.4. （2 分） (2016·新课标Ⅱ卷理) 已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10=8，则 a100=（）第 1 页共 12 页A . 100 B . 99 C . 98 D . 975. （2 分） (2012·四川理) 设、都是非零向量，下列四个条件中，使 A. B. C.D.且成立的充分条件是（）6.（2 分）(2018 高三上·河北月考) 已知在上的函数对称；②对于任意，若过点围是（），的直线与函数；③当的图象在满足如下条件：①函数的图象关于轴时，；④函数，上恰有 8 个交点，则直线斜率的取值范A.B.C.D.7. （2 分） (2018 高二上·浙江期中) 已知原点，直线经过椭圆右焦点，若是椭圆，且上的三个点，直线，则椭圆的离心率是（）经过A.第 2 页共 12 页B. C. D. 8. （2 分）已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值为（） A. B. C. D.9. （2 分） (2019 高三上·安顺模拟) 已知函数，若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 10. （2 分）把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的（） A . 2倍 B.2 倍 C. 倍第 3 页共 12 页D. 倍11. （2 分） (2016 高二上·蕲春期中) 方程 + =1 表示曲线 C，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（）①若曲线 C 为椭圆，则 1＜t＜4 ②若曲线 C 为双曲线，则 t＜1 或 t＞4 ③曲线 C 不可能是圆 ④若曲线 C 表示焦点在 X 轴上的椭圆，则 1＜t＜． A.1 B.2 C.3 D.4 12. （2 分） (2017·吕梁模拟) 已知函数 f（x）=sin（ωx+ ）（ω＞0），若 f（） =f（），且 f（x）在区间（，）上有最小值，无最大值，则 ω=（）A. B. C. D.二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高一下·盐城期中) 圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 的圆心坐标是________． 14. （1 分）若点 P（m，3）在不等式 2x+y＜4 表示的平面区域内，则 m 的取值范围为________ ．第 4 页共 12 页15. （1 分）两定点 A（﹣2，0），B（2，0）及定直线 AP 交于点 Q，则点 Q 的轨迹方程为________．，点 P 是 l 上一个动点，过 B 作 BP 的垂线与16. （1 分） (2019 高三上·牡丹江月考) 如图正方体别为、、的中点.则下列命题：①直线与平面的棱长为，、、，分平行；②直线与直线垂直；③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面体所得两个几何体的体积比为.其中正确命题的序号为________.的距离相等；⑤平面截正方三、解答题 (共 7 题；共 65 分)17.（5 分）(2019 高三上·郑州期中) 已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，证明：.18. （5 分） (2017 高一下·景德镇期末) 如图，矩形 ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点 E 在 AB 上，在梯形 BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观，在 AE 上点 P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中 M、N 在线段 DE（含端点）上，且点 M 在点 N 的右下方，经测量得知：AD=6 米，AE=6 米，AP=2 米，∠MPN= ，记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为 S 平方米．第 5 页共 12 页（1）求 S 关于 θ 的函数关系式，并写出 θ 的取值范围：（参考数据：tan ≈3）（2）求 S 的最小值．19. （10 分） (2019·浙江模拟) 等边三角形 ABC 的边长为，点 D、E 分别是边 AB、AC 上的点，且满足图 2）．（如图 1）．将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使二面角 A1-DE-B 成直二面角，连结 A1B、A1C（如（Ⅰ）求证：A1D 平面 BCED；（Ⅱ）在线段 BC 上是否存在点 P，使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°?若存在，求出 PB 的长，若不存在，请说明理由．20. （15 分） (2019 高一上·淄博期中) 要制作一个体积为最少？，高为的长方体纸盒，怎样设计用纸21. （10 分） (2017 高二下·太仆寺旗期末) 证明不等式：＜，其中 a≥0．22. （10 分） (2019·武汉模拟) 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线（1）求，曲线的直角坐标方程；．第 6 页共 12 页（2）已知曲线与轴交于两点，为上任一点，求的最小值．23. （10 分） (2018·河北模拟) 已知函数.（1）解不等式；（2）若函数立，求实数的取值范围.，若对于任意的，都存在，使得成第 7 页共 12 页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页共 12 页16-1、三、解答题 (共 7 题；共 65 分)17-1、17-2、第 9 页共 12 页18-1、 18-2、19-1、第 10 页共 12 页20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

陕西省西安中学2021届高三数学上学期12月月考试题文含解析

某某省某某中学2021届高三数学上学期12月月考试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共分）1. 定义{|,}A B x x A x B -=∈∉，若{1,2,3,4,5},{2,3,6}M N ==，则M N -=（）． A. M B. NC. {1,4,5}D. {6}————C 分析：根据题中的新定义,找出属于M 不属于N M N -. 解答：解:集合{1,2,3,4,5},{2,3,6}M N ==.{1,4,5}M N -=故选C点拨：此题考查了补集及其运算,属于新定义题型,弄清题中“差集”的新定义是解本题的关键.2. 已知i 为虚数单位，复数12,2()iz z a i a R i-==+∈.若12z z >，则a 的取值X 围是（） A. (2,2)- B. (0,2)C. (2,)+∞D. (,2)-∞————A 分析：对1z 进行整理得112z i =--，进而可求出12,z z ，结合12z z >>，进而可求出a 的取值X 围.解答：解：()122212i i i z i i i --===--，则1z ==2z =因为12z z >>，解得22a -<<. 故选:A.点拨：本题考查了复数的运算，考查了复数的模，考查了一元二次不等式.将1z 进行整理是本题的关键.3. 已知单位向量a 与b 的夹角为3π，若xa b +与a 垂直，则实数x 的值为（）A.12B. 12-D. ————B 分析：根据xa b +与a 垂直，利用()0xa b a +⋅=求解. 解答：因为xa b +与a 垂直，所以()2102xa b a xa a b x +⋅=+⋅=+=，所以12x =-，故选：B.点拨：本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题. 4. 下列选项中，说法正确的是（）A. “20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B. 若向量a b ，满足0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角C. 若22am bm ≤，则a b ≤D. “()x A B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件————D 分析：对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b ，满足0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角或平角；对于C 当m =0时，满足am 2≤bm 2，但是a ≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断．解答：选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确；选项B 若向量a b ，满足0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C 当m =0时,满足am 2≤bm 2，但是a ≤b 不一定成立，因此不正确；选项D 若“()x A B ∈”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈”，因此“()x A B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件，故正确.故选：D .点拨：本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题. 5. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A. 12B.56 C.76D. 712————B分析：初始化数值1,1k s ==，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值1,1k s ==循环结果执行如下：第一次：1111(1),2,2322s k k =+-⋅===≥不成立；第二次：2115(1),3,33236s k k =+-⋅===≥成立，循环结束，输出56s =，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中矩形的高为4，俯视图是一个半圆内切于边长为4的正方形，则该几何体的体积为（）A. 8643π+B. 4643π+C. 2643π+D.16643π+————A 分析：该组合体上面是球体的四分之一，球直径是4，下面是棱长为4的正方体，各部分体积易求. 详解】解：由三视图知几何体的下部是边长为4正方体，上部是14球，且球的半径为2， ∴几何体的体积33114842644433V V V ππ=+=+⨯⨯⨯=+正方体球．故选：A ．点拨：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量，属于基础题．7. 幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a，y ＝x b的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么1a b-＝（）A.0B. 1C.12D. 2————A 分析：由题意得1221(,),(,)3333M N ，代入函数解析式，进而利用指对互化即可得解. 解答：BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以1221(,),(,)3333M N ，将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得1221(),()3333ab == 所以123321log ,log 33a b ==，所以1113332312122log log log 01333log 3a b -=-=-=. 故选：A.点拨：本题主要考查了幂函数的图像及对数的运算，涉及换底公式，属于基础题.8. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边与x 轴正半轴重合，终边过点()2,y -，且14sin α=cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.174- B. 174+-C.714- D.174+ ————B 分析：通过三角函数定义求y ，并且一定注意终边所过点的取值X 围．再利用两角和余弦公式进行化简，求值．解答：由终边过点()2,y -，得214sin 42y y α==+，解得14y = 即终边过点(2,14)-，142sin ,cos 44αα∴==-17cos()cos cos sin sin 4444πππααα++=-=-故选B ．点拨：使用三角函数定义，需注意sin ,cos y xr rαα==，其中220,,,r r x y x R y R >=+∈∈．9. 函数tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ( )A. －6B. －4C. 4D. 6————D试题分析：由tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象可知A(2,0),B(3,1)所以(5,1)OA OB +=,(1,1)AB =所以()6OA OB AB +⋅=.考点：向量数量积，向量的坐标表示.10. 在底边边长为2的正四棱锥P ABCD -中，异面直线PC 与AD 所成角的正切值为3，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（） A.254πB.252πC.2528πD.92π ————B 分析：可知异面直线PC 与AD 所成角即为PCB ∠，可以求出3PH =，进而求出'PO ，根据外接球性质建立勾股定理可求出球半径，即可得解.解答：//AD BC ，∴异面直线PC 与AD 所成角即为PCB ∠，作PH BC ⊥于H ，则3PHHC=，1HC =，3PH =，设P 在底面的投影为'O ，则'9122h PO ==-= 如图，设球心为O ，半径为R ，则222''OB OO O B ,()2222R R∴=+，22R ∴=，22542S R ππ==. 故选:B .本题考查外接球的相关计算，属于基础题.11. 函数21xax y e-=存在极值点，则实数a 的取值X 围为（）A. 1a <-B. 0a >C. 1a ≤-或0a >D. 1a <-或0a >————D分析：求导函数，由导函数的零点确定存在极值点的条件.解答：221=xax ax y e -++'，0y '=，212x x a =- 当直线1y a=与二次函数22y x x =-有两个不同交点时，函数21xax y e-=存极值点，而()222111y x x x =-=--≥-，所以11a>-，解得10a a -或. 故选: D12. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（）A. 直线1D D 与直线AF 垂直B. 直线1A G 与平面AEF 不平行C. 平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D. 点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 ————C分析：由1D D AF ⊥，得出1D D ⊥平面AEF ，进而得出1CC EF ⊥，可判定A 错误；取11B C 的中点Q ，连接1,A Q GQ ，利用线面平行的判定定理，得到1//AG 平面AEF ，可判定B 错误；连接11,D F D A ，延长1,D F AE 交于点S ，得到截面即为梯形1AEFD ，求得梯形的面积，可判定C 正确；记点C 与点G 到平面AEF 的距离分别为12,h h ，根据体积公式列出方程，得到12h h ≠，可判定D 错误.解答：对于A 中，若1D D AF ⊥，因为1D D AE ⊥且AE AF A ⋂=，所以1D D ⊥平面AEF ，所以1D D EF ⊥，所以1CC EF ⊥，此时不成立，所以A 错误；对于B 中，如图所示，取11B C 的中点Q ，连接1,A Q GQ ，由条件可知：1//,//GQ EF AQ AE ，且1,GQ AQ Q EF AE E ⋂=⋂=, 所以平面1//A GQ 平面AEF ，又因为1AG ⊂平面1A GQ ，所以1//AG 平面AEF ，所以B 错误；对于C 中，如图所示，连接11,D F D A ，延长1,D F AE 交于点S ，因为,E F 为1,BC C C中点，所以1//EF AD ，所以1,,,A E F D 四点共面，所以截面即为梯形1AEFD ，又因为22114225,22D S AS AD ==+==所以12212222(25)()622AD SS=⨯⨯-=, 所以梯形139642AEFD S =⨯=，所以C 正确. 对于D 中，记点C 与点G 到平面AEF 的距离分别为12,h h ，因为11111123323C AEF AEF A CEFV S h V --⨯=⋅⋅==⋅⨯=, 又因为21122223323G AEF AEF A GEFV S h V --⨯=⋅⋅==⋅⨯=, 所以12h h ≠，所以D 错误. 故选：C.二、填空题（本大题共4小题，共分） 13. 方程sin x ＝lg x 的解有________个． ————3作出函数sin y x =与lg y x =的图象如图所示：则两个图象的交点的个数为3个故答案为314. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于________.————6分析：求出等差数列{}n a 的公差，可求得n S 关于n 的表达式，利用二次函数的基本性质可求得当n S 取最小值时对应的正整数n 的值. 解答：设等差数列{}n a 的公差为d ，则461282286a a a d d +=+=-+=-，解得2d =， ()()2221111126362n n n dS na n n n n n n -∴=+=-+-=-=--，当6n =时，n S 取得最小值36-.故答案为：6.点拨：本题考查利用二次函数的基本性质求n S 的最小值，考查计算能力，属于基础题.15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山底C 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山底C 在西偏北75︒的方向上，山顶D 的仰角为30，则此山的高度CD =______m ．————1006分析：在ABC 中由正弦定理解出BC ，在Rt BCD 中由正切的定义求出CD ．解答：在ABC 中，30BAC ∠=︒，600AB =，18075105ABC ∠=︒-︒=︒，45ACB ∴∠=︒，sin sin AB BC ACB BAC=∠∠，即600sin 45sin 30BC =︒︒，解得3002BC = 又在Rt BCD 中，30CBD ∠=︒，3tan 300210063CD BC CBD ∴=∠=⨯=，即山高CD 为1006m ．故答案为：1006点拨：结论点睛：解三角形需要三个条件，且至少有一个为边长，对于未知的几何元素（边和角），可以放到其它三角形中求解.16. 关于函数()()21lg 0x f x x x+=≠，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x 0>时，()f x 是增函数；当x 0<时，()f x 是减函数；③()f x 的最小值是lg2；④()f x 在区间()10-，、()2+∞，上是增函数； ⑤()f x 无最大值，也无最小值．其中所有正确命题的序号是__________．————①③④分析：根据偶函数定义确定①成立，根据对勾函数性质得②错误，根据对勾函数性质以及偶函数性质得③成立，⑤错误；根据复合函数性质得④成立.解答：定义域关于原点对称，又满足()()f x f x -=，所以函数的图象关于y 轴对称，故①正确；令1t x x=+（0x >），在(]01，上是减函数，在[)1+∞，上是增函数，②不正确； 12t x x=+≥，又是偶函数，所以函数()f x 的最小值是lg2，③正确；当10x -<<或1x >时函数1t x x =+是增函数，根据复合函数知()f x 是增函数，④正确；由③知，⑤不正确．故答案为：①③④．三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，22743a a a =，且3-，4S ，39a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11n n b a n n =++，求数列{}n b 的前n 项和n T ————（1）3n n a =；（2）133221n n n T n +=-++.分析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的通项公式可得()6231113a q a q a q ⋅=，进而可得q ，再由等差数列的性质、等比数列的知识列方程可得1a ，即可得解；（2）由1131n n b n n =+-+，结合等比数列前n 项和公式、裂项相消法及分组求和法即可得解. 解答：（1）在比数列{}n a 中，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22743a a a =，得2726113a q a q =，∴3q =，∵3-，4S ，39a 成等差数列，∴43293S a =-，从而有()412121393313a a -=⋅--，得13a =，∴113n n n a a q -==；（2）由3n n a =，且()11n n b a n n =++，得()1113311n n n b n n n n =+=+-++， ∴()121111133312231n n T n n ⎛⎫=++++-+-++- ⎪+⎝⎭， ()121111133312231n n n ⎛⎫=++++-+-++- ⎪+⎝⎭()13131331131221n n n n n +-=+-=-+-++. 点拨：本题考查了等差等比数列的综合应用，数列求和的方法技巧有：（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.18. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（1）根据表中数据建立年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，根据（1）中的结果回答下列问题：①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：问归方程ˆˆˆybx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆn n i i nn i i x y nx y x x y y b x nxx x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5S i x y ==∑，21190S i x ==∑. ————（1）ˆ0.850.6y x =+；（2）①年销售量为，年利润的预报值为；②5万元分析：（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）①先求得年利润z 关于x 的表达式，然后将10x =分别代入回归直线方程和年利润的函数表达式，由此求得年销售量及年利润的预报值②求得年利润与年宣传费的比值w 的表达式，利用基本不等式求得5x =时，年利润与年宣传费的比值最大.解答：（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==， 21222188.554ˆ0.859054n i ii n i i x y nx y b xnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣传费为10万元时，年销售量为，年利润的预报值为2.25.②令年利润与年宣传费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭0.850.35=. 当且仅当 1.250.05x x =即5x =时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.点拨：本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19. 在ABC ∆中, 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且22cos c a B b -=.（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为4,且22cos 4c ab C a ++=,求a . ————（1）3A π=；（2）a =．试题分析：（1）首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得cos A 的值，从而求得角A 的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定理得到,,a b c 的关系式，然后根据三角形面积公式求得bc 的值，从而求得a 的值．试题解析：（1）由22cos c a B b -=及正弦定理可得2sin 2sin cos sin C A B B -=,()sin sin sin sin cos cos sin ,cos sin 2B C A B A B A B A B =+=+∴=,1sin 0,cos 2B A ≠∴=,又因为0,3A A ππ<<∴=. （2）22cos 4c ab C a ++=①,又由余弦定理得222cos 2a b c ab C +-=,代入①式得22283b c a +=-, 由余弦定理222222cos a b c b A b c bc =+-=+-．2213sin ,1,83124ABC S bc A bc a a ∆==∴=∴=--,得72a =. 考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式．20. 如图所示的多面体中，四边形ABCD 是正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF DC ，112ED EF CD ===，30EAD =∠°.（1）求证：AE FC ⊥；（2）求点D 到平面BCF 的距离.————（1）证明见解析；（2221分析：（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及性质，即可证明；（2）利用等体积法求解即可.解答：（1）四边形ABCD 是正方形，CD AD ∴⊥又平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD CD 平面ADE又AE ⊂平面ADECD AE ∴⊥在ADE 中，2,1,30AD DE EAD ==∠=︒由余弦定理得，3AE =，∴222AE DE AD +=，∴AE ED ⊥又CD ED D =，,CD ED ⊂平面EFCD∴AE ⊥平面EFCD .又FC ⊂平面EFCD∴AE FC ⊥.（2）连结DF ，由（1）可知，AE ⊥平面CDEF四边形ABCD 是正方形，∴//AB DC又DC ⊂面CDEF ，AB ⊄面CDEF∴//AB 面CDEF∴A 到CDEF 的距离等于B 到CDEF 的距离.即B 到面DFC 的距离为AE .在直角梯形EFCD 中，1,1,2EF DE DC ===∴2FC =∴112CDF S DC DE =⨯⨯=△，1333B CDF CDF V S AE -=⋅=△ 在直角梯形EFBA 中，1,3,2EF AE AB ===可得2BF =在等腰BFC △中，2BC BF ==，2FC =∴12BFC S ==△ 设点D 到平面BFC 的距离为d ，D BCF B CDF V V --=，即133D BCF BFC V S d -=⋅=△，7BFC d ∆∴=∴点D 到平面BCF 的距离为7. 点拨：本题主要考查了证明线线垂直以及求点到平面的距离，属于中档题.21. 已知函数1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈．（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(]0,e 上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，某某数a 的取值X 围．————（1）()f x 取得极小值为1，()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)；（2）a ∈()1,,e e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.分析：（1）求函数()1ln f x x x=+的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数()f x 的导数和驻点，然后列表讨论，求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若在区间(]0,e 上存在一点0x ，使得()00f x <成立，其充要条件是()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在区间(]0,e 上的最小值，先求出导函数()'f x ，然后讨论研究函数在(]0,e 上的单调性，将()f x 的极值点与区间(]0,e 的端点比较，确定其最小的极值点．解答：解：1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈的定义域为(0,)+∞，因为()'2211a ax f x x x x -=-+=，（1）当1a =时，()'21x f x x -=，令'0f x ，得1x =，又()f x 的定义域为()0,∞+，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表:所以1x =时，()f x 取得极小值为1．()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)．（2）因为()'2211a ax fx x x x -=-+=，且0a ≠．令'0f x ，得1x a =，若在区间(]0,e 上存在一点0x ，使得()00f x <成立，其充要条件是()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0即可．()i 当10x a=<，即0a <时，()'0f x <对()0,x ∈+∞成立，所以，()f x 在区间(]0,e 上单调递减，故()f x 在区间(]0,e 上的最小值为()11ln f e a e a e e=+=+，由10a e +<，得1a e <-，即1,a e ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭． ()ii 当10x a=>，即0a >时，若1e a≤，则()'0f x ≤对(]0,x e ∈成立，所以()f x 在区间(]0,e 上单调递减，所以，()f x 在区间(]0,e 上的最小值为()11ln 0f e a e a e e=+=+>，显然，()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0不成立．若10e a<<，即1a e >时，则有所以()f x 在区间(]0,e 上的最小值为11ln f a aa a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，得1ln 0a -<，解得a e >，即(),a e ∈+∞．综上，由()i ()ii 可知a ∈()1,,e e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭符合题意．点拨：本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的分析问题解决问题及计算能力；较难．22. 已知直线l 的参数方程为12{12x t y t ==+（t 为参数），曲线C 的参数方程为2cos {sin x y θθ=+=（θ为参数）．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)3π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值． ————（１）P 不在直线l 上；．分析：解答：（Ⅰ）将点P 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭4，化为直角坐标，得(2P ，直线l的普通方程为1y =+，显然点P 不满足直线l 的方程，所以点P 不在直线l 上．（Ⅱ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点()2cos ,sin Q θθ+，点Q 到直线l：1y =+的距离为d ==，所以当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，min d =，当sin 13πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max d =．故点Q 到直线l，最大值． 23. 已知函数()221f x m x =--，m R ∈，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤. （1）求m 的值；（2）若,,a b c 都为正数，且11124m a b c++=，证明：249a b c ++≥. ————（1）1m =（2）证明见解析分析：(1)由题设条件得出220m x -≥，解得m x m -≤≤，根据102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集求出m 的值； (2)将1代换为11124a b c++，利用基本不等式证明不等式即可. 解答：（1）由102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭得220m x -≥得m x m -≤≤，因为102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤，所以1m =.（2）由（1）得111124a b c++=， ∴()1112442241119242424b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当且仅当24a b c ==时，等号成立.所以249a b c ++≥成立.点拨：本题主要考查了利用基本不等式证明不等式，注意“1”的代换，属于中档题.。

陕西省西安市部分学校2023-2024学年高三上12月联考理科数学试题

陕西省西安市部分学校2023-2024学年高三上12月联考理科数学试题一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{20},0,1,2,3,4A xx B =->=∣，则A B ⋂=（）A.{}0,1 B.{}0,1,2 C.{}3,4 D.{}2,3,42.()2(1i)2i -+=（）A.22i --B.22i- C.24i -- D.24i-3.“3x <”是“3log 1x <”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13465,40a a a a +=+=，则63S S =（）A.3B.9C.12D.155.已知0,0a b >>，且24a b +=，则224a b +（）A.有最小值8B.有最小值809C.有最大值8D.有最大值8096.已知 1.230.6log 5,0.9,log 0.3a b c ===，则（）A.a b c>> B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若4A π=，且ABC ∆外接圆的半径为2，则ABC 面积的最大值是（）A.21- B.21+ C.222- D.222+8.窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，A ，B 是中间正方形的两个相邻的顶点，P 是外框正八边形上的一点，则AB AP ⋅的最大值是（）A.1682+B.1628+C.828+ D.16216+9.已知α为第二象限角，且sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.3B.3-C.23D.23-10.已知正四棱锥P ABCD -1-，且PA AB =，则正四棱锥P ABCD -的体积是（）A.3B.83C.3D.16311.已知函数()2cos 0)3f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭在[]0,π上恰有3个零点，则ω的取值范围是（）A.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.723,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.117,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.已知函数()11234231,0,,,,log ,0.x x f x x x x x x x +⎧-⎪=⎨>⎪⎩ 是函数()()g x f x m =-的4个零点，且1234x x x x <<<，给出以下结论：①m 的取值范围是(]0,2，②122333x x +=，③344x x +的最小值是4，④1234332x x x x ++的最大值是6.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4第II 卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量()()1,2,4,a b k =-= ，若a b ⊥ ，则k =__________.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱AD 的中点，则异面直线1BD 与1C E 所成角的余弦值是__________.15.对于数列{}n a ，定义11230242n na a a a H n-++++= 为{}n a 的“优值”.若数列{}n b 的“优值”01H n =+，则16b =__________.16.已知函数()245(0)f x x x x=+->，直线:3150l x y --=，若直线30x y m ++=与()f x 的图象交于A 点，与直线l 交于B 点，则,A B 之间的最短距离是__________.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数()2f x x ax b =++，且()()01,16f f =-=.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的()1,4x ∈，不等式()3log 2f x m ⎡⎤+⎣⎦成立，求m 的取值范围.18.（12分）已知函数()22sin 3sin2f x x x =+.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.19.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,45,2,AB AC ABC AA BC D ∠⊥===是1BB 的中点.（1）证明：1A B ⊥平面ACD .（2）求平面ACD 与平面1A CD 所成锐二面角的余弦值.20.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为11,2n S a =，且()112,n n n n a a a a n n --++=∈N.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()11(1)23n n n n b n a a ++=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2sin cos sin a C c B C +=.（1）若1sin 2A =，求sin B 的值；（2）若ABC ∆外接圆的半径为4a -的最大值.22.（12分）已知函数()2e xf x ax =-.（1）设函数()()g x f x ='，其中()f x '是()f x 的导数，讨论()g x 的单调性；（2）若442-≥e a ，证明：()x ex x f ln >.。

陕西省西安市铁一中2017届高三上学期12月月考数学(文)试题含答案

2016—2017-1模拟考试数学试题（文科）（满分：150分,考试时间：120分钟)第Ⅰ卷（选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1。

设集合{|1}A x x =>,集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是( )A 。

(,1]-∞-B 。

)1,(--∞ C.[1,)-+∞D 。

[1,)+∞2．已知方程()2(4)40x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+,则复数z 等于（） A.22i - B 。

22i + C 。

22i -+ D 。

22i --3．下列选项中，说法正确的是（）A ．“0,0200≤-∈∃x x R x ”的否定是“0,2>-∈∃x x R x ” B ．若向量b a ,满足0<⋅b a ,则a 与b 的夹角为钝角 C ．若22am bm ≤，则a b ≤ D ．命题为真”“q p ∨是命题为真”“q p ∧的必要条件 4。

已知函数()f x 的图象如图，则它的一个可能的解析式为（ )A ．2y x =B ．441y x =-+ C ．3log (1)y x =+ D ．3y x =5．在ABC ∆中，060=∠BAC ，AB=2,AC=1，E ，F 为边BC 的三等分点，( ）A.35 B. 45 C.910 D.8156.阅读如下程序框图,如果输出5=i ,那么在空白矩形框中应填入的语句为（ )A ．22-*=i SB ．12-*=i S C.i S *=2D ．42+*=i S7。

已知圆03422=+-+x y x 与双曲线12222=-by a x 的渐近线相切,则双曲线的离A 。

3B 。

32 C.22 D 。

332 8．若将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y轴对称,则ϕ的最小正值是（）A ．512πB ．3πC．23πD ．56π-9。

陕西省西安一中高三数学上学期12月月考试卷理(含解析)

2015-2016学年陕西省西安一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2﹣5x﹣14＜0}，B={x|x＞1，x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y=lnx B．y=x C．y=﹣x3D．y=e x+e﹣x3．设向量，均为单位向量且互相垂直，则（+2）•（+）等于（）A．2 B．0 C．1 D．﹣14．在△ABC中，a=9，b=3；A=120°，则sin（π﹣B）等于（）A．B．﹣C．D．﹣5．若cosα=﹣，sin2α＞0，则tanα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2a4=2，则S6等于（）A．31 B．C．D．7．曲线f（x）=+在（1，a+1）处的切线与直线3x+y=0垂直，则a等于（）A．﹣B．C．D．8．若x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣7x+y的最大值为（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣17 D．﹣199．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2B．函数f（x）的值域为[一4，4]C．函数f（x）的图象关于（，0）对称D．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y=Asinωx的图象10．已知函数f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=﹣5x+3x．则f（﹣1）的值为（）A．0 B．2 C．﹣12 D．1211．设α为锐角，则“tanα＞2”是“﹣＜tan2α＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．若直线y=a与函数y=||的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．{} B．（0，）C．（，e）D．（，1）∪{}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．设3x﹣1，x，4x是等差数列{a n}的前三项，则a4= ．14．设向量=（﹣1，﹣3），=（2sinθ，2），若 A、B、C三点共线，则cos2θ= ．15．设f（x）=，若f（3）=10，则实数a的取值范围为．16．游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB=1040m，BC=500m，则sin∠BAC等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设命题p：存在x0∈（﹣2，+∞），使得6+|x0|=5．命题q：对任意x∈（0，+∞），（+x）（）≥9恒成立．（1）写出命题p的否定；（2）判断命题非p，p或q，p且q的真假，并说明理由．18．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a4=19，S7=2a9+55．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设lnb n=a n ln2，求证：数列{b n}为等比数列，并求{b n}的前n项和T n．19．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=csinC．（1）求cosC；（2）若a=6，△ABC的面积为8，求c．20．设函数f（x）=4sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，设向量=（﹣1，f（x）），=（f（﹣x），1），g（x）=．（1）求函数f（x）的递增区间；（2）求函数g（x）在区间[，]上的最大值和最小值；（3）若x∈[0，2015π]，求满足的实数x的个数．21．已知函数f（x）=k（x+1）2﹣ln（x+1）（k∈R）．（1）当k=时，求函数f（x）的单调区间与极值；（2）若x轴是曲线y=f（x）的一条切线，求实数k的值．22．设函数f（x）=e x+．（1）求证：函数f（x）的唯一零点x0∈（﹣，0）；（2）求证：对任意λ＞0，存在μ＜0，使得f（x）＜0在（﹣1，λμ）上恒成立；（3）设g（x）=f（x）﹣x=（）h（x）﹣1，当x＞0时，比较g（x）与h（x）的大小．2015-2016学年陕西省西安一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2﹣5x﹣14＜0}，B={x|x＞1，x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集，找出交集的个数即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣7）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜7，即A={x|﹣2＜x＜7}，∵B={x|x＞1，x∈N}，∴A∩B={x|1＜x＜7，x∈N}={2，3，4，5，6}，则A∩B的元素的个数为5．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y=lnx B．y=x C．y=﹣x3D．y=e x+e﹣x【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】可看出A的定义域不关于原点对称，从而得出A的函数非奇非偶，容易判断B，C为奇函数，D为偶函数，从而便可得到正确选项．【解答】解：y=lnx的定义域为（0，+∞），定义域不关于原点对称；∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．故选A．【点评】考查奇函数，偶函数的定义，及判断奇函数或偶函数的方法和过程，以及奇函数和偶函数的定义域的对称性．3．设向量，均为单位向量且互相垂直，则（+2）•（+）等于（）A．2 B．0 C．1 D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的运算性质计算即可．【解答】解：因为，所以，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的运算性质，是一道基础题．4．在△ABC中，a=9，b=3； A=120°，则sin（π﹣B）等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】利用已知及正弦定理即可求得sinB，结合诱导公式即可得解．【解答】解：由正弦定理：，可得sinB===，解得：sin（π﹣B）=sinB=．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，诱导公式的综合应用，属于基础题．5．若cosα=﹣，sin2α＞0，则tanα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；函数思想；做商法；三角函数的求值．【分析】求出正弦函数值，然后求解即可．【解答】解：sin2α=2sinαcosα＞0，cosα=﹣，∴sinα=，∴tanα==．故选：D ．【点评】本题考查二倍角的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=2a 4=2，则S 6等于（）A ．31B ．C ．D ．【考点】等比数列的前n 项和．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出S 6．【解答】解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=2a 4=2，∴，解得，∴S 6==．故选：C ．【点评】本题考查等比数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．7．曲线f （x ）=+在（1，a+1）处的切线与直线3x+y=0垂直，则a 等于（）A ．﹣B ．C ．D ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求导函数，求得切线的斜率，利用曲线在点P （1，a+1）处的切线与直线3x+y=0互相垂直，即可求得结论．【解答】解：f （x ）=+，可得f′（x ）=﹣，当x=1时，f′（x ）=﹣a ，∵曲线在点P （1，a+1）处的切线与直线3x+y=0互相垂直，∴﹣3•（﹣a）=﹣1，∴a=．故选B．【点评】本题考查导数的几何意义，考查两直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．8．若x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣7x+y的最大值为（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣17 D．﹣19【考点】简单线性规划．【专题】方程思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=﹣7x+y得y=7x+z，平移直线y=7x+z，则由图象可知当直线y=7x+z经过点C时，直线y=7x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，2），此时z=﹣7+2=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2B．函数f（x）的值域为[一4，4]C．函数f（x）的图象关于（，0）对称D．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y=Asinωx的图象【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ和A的值，可得函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；再利用y=Asin（ωx+φ）图象变换规律得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，可得T=2（﹣）=2=，∴ω=π．∵f（）=Asin（π+φ）=0，﹣π＜φ＜0，可得φ=﹣，函数f（x）=Asin（πx﹣）．由f（0）=Asin（﹣）=﹣A=﹣2，∴A=4，∴f（x）=4sin（πx﹣）．故A、B、C正确，函数f（x）的图象向左平移个单位后，不可能得到y=Asinωx的图象，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ和A的值．还考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．已知函数f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=﹣5x+3x．则f（﹣1）的值为（）A．0 B．2 C．﹣12 D．12【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x+1）为奇函数，从而可得到f（﹣1）=f（﹣2+1）=﹣f（3），而根据x＞1时f（x）的解析式，可以求出f（3），从而可以求出f（﹣1）的值．【解答】解：根据条件，f（﹣1）=f（﹣2+1）=﹣f（2+1）=﹣f（3）=﹣（﹣5×3+33）=﹣12．故选C．【点评】考查奇函数的定义，要清楚f（x+1）和f（x）的不同，并清楚函数f（x+1）的自变量是什么．11．设α为锐角，则“tanα＞2”是“﹣＜tan2α＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合正切函数的图象和性质以及一元二次不等式的解法进行求解即可．【解答】解：由tanα＞2，α为锐角得60°＜arctan2＜α＜90°，则120°＜2α＜180°则tan（2arctan2）＜tan2α＜0，而tan（2arctan2）=﹣＜0，所以，有“﹣＜tan2α＜0”；充分性成立．∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°，∵﹣＜tan2α＜0，∴90°＜2α＜180°，则45°＜α＜90°，则tanα＞1由﹣＜tan2α＜0得﹣＜，即﹣（1﹣tan2α）＞2tanα，即2tan2α﹣3tanα﹣2＞0，解得tanα＞2或tanα（舍），即必要性成立，故“tanα＞2”是“﹣＜tan2α＜0”的充分必要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合正切函数的图象和性质以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．12．若直线y=a与函数y=||的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（）A．{} B．（0，）C．（，e）D．（，1）∪{}【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】先求得函数y=||的定义域为（0，+∞），再分段y=||=，从而分别求导确定函数的单调性，从而解得．【解答】解：函数y=||的定义域为（0，+∞），y=||=，当x∈（0，e﹣1）时，y′=，∵x∈（0，e﹣1），∴lnx＜﹣1，∴y′=＜0，∴y=||在（0，e﹣1）上是减函数；当x∈（e﹣1，+∞）时，y′=﹣，∴当x∈（e﹣1，）时，∴y′＞0，当x∈（，+∞）时，∴y′＜0，∴y=||在（e﹣1，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数；且||=+∞，f（e﹣1）=0，f（）=， ||=0，故实数a的取值范围为（0，），故选B．【点评】本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．设3x﹣1，x，4x是等差数列{a n}的前三项，则a4= ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质列式求得x，进一步求出a3和d，则a4可求．【解答】解：∵3x﹣1，x，4x是等差数列{a n}的前三项，∴3x﹣1+4x=2x，解得：x=，∴，d=3x=，∴．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．14．设向量=（﹣1，﹣3），=（2sinθ，2），若 A、B、C三点共线，则cos2θ= ．【考点】二倍角的正弦；平行向量与共线向量．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，列出方程，求解即可．【解答】解：向量=（﹣1，﹣3），=（2sinθ，2），若 A、B、C三点共线，∴﹣6sinθ=﹣2，∴sin，cos2θ=1﹣2sin2θ=．故答案为：．【点评】本题考查为二倍角公式的应用，向量共线的充要条件，考查计算能力．15．设f（x）=，若f（3）=10，则实数a的取值范围为（﹣∞，3）．【考点】函数的值．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵f（x）=，f（3）=10，∴当a≥3时，f（3）=9≠10，不合题意，当a＜3时，f（3）=3+6=9，符合题意，∴实数a的取值范围为（﹣∞，3）．故答案为：（﹣∞，3）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16．游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB=1040m，BC=500m，则sin∠BAC等于．【考点】余弦定理的应用．【专题】应用题；方程思想；数学模型法；解三角形．【分析】设乙的速度为x（m/s），则甲的速度为x（m/s），利用两人达到的时间相等列出表达式、计算可知AC=1260m，进而利用余弦定理及平方关系计算即得结论．【解答】解：依题意，设乙的速度为x（m/s），则甲的速度为x（m/s），∵AB=1040m，BC=500m，∴=，解得：AC=1260m，∴△ABC为锐角三角形，由余弦定理可知cos∠BAC===，∴sin∠BAC====．故答案为：．【点评】本题考查三角函数模型的选择与应用，涉及余弦定理、平方关系等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设命题p：存在x0∈（﹣2，+∞），使得6+|x0|=5．命题q：对任意x∈（0，+∞），（+x）（）≥9恒成立．（1）写出命题p的否定；（2）判断命题非p，p或q，p且q的真假，并说明理由．【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】（1）直接写出命题的否定即可；（2）先判断出命题p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：（1）命题p：存在x0∈（﹣2，+∞），使得6+|x0|=5，命题p的否定是：∀x0∈（﹣2，+∞），都有6+|x0|≠5；（2）由（1）得：命题￢p是真命题，命题q：对任意x∈（0，+∞），（+x）（）=5++x2≥5+2=9当且仅当=x2即x=时“=”成立，故命题q是真命题；∴p或q是真命题，p且q是假命题．【点评】本题考查了四种命题之间的关系，考查复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道中档题．18．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a4=19，S7=2a9+55．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设lnb n=a n ln2，求证：数列{b n}为等比数列，并求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过联立a4=19、S7=2a9+55计算可得首项及公差，进而可得结论；（2）通过（1）可知a n=4n+3，进而可知b n==24n+3，计算可知数列{b n}是首项为27、公比为24的等比数列，利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】（1）解：依题意，，解得：，∴数列{a n}的通项公式a n=7+4（n﹣1）=4n+3；（2）证明：由（1）可知a n=4n+3，又∵lnb n=a n ln2，∴b n==24n+3，∴==24，又∵b1=24+3=27，∴数列{b n}是首项为27、公比为24的等比数列，∴T n==．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=csinC．（1）求cosC；（2）若a=6，△ABC的面积为8，求c．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）由已知利用正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=，由此能求出sinC，从而能求出cosC．（2）由三角形面积公式得到，从而求出b，由此利用余弦定理能求出c．【解答】解：（1）∵在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=csinC，∴由正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=，∴，∵sinC＞0，∴sinC=，∵C是锐角，∴cosC=．（2）∵，a=6，∴，解得b=8，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=36+64﹣2×=36，∴c=6．【点评】本题考查三角形内角余弦值和边长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系式的合理运用．20．设函数f（x）=4sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，设向量=（﹣1，f（x）），=（f（﹣x），1），g（x）=．（1）求函数f（x）的递增区间；（2）求函数g（x）在区间[，]上的最大值和最小值；（3）若x∈[0，2015π]，求满足的实数x的个数．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（1）由函数f（x）的最小正周期为π，求出ω值，得到函数的解析式，利用y=sinx的单调增区间，求出f（x）的单调增区间即可；（2）求出函数g（x）的解析式，结合正弦函数的图象和性质，求出x∈[，]时，函数的值域，可得函数g（x）在区间[，]上的最大值和最小值；（3）满足时，x=kπ，k∈Z，结合x∈[0，2015π]，可得满足条件的实数x的个数．【解答】解：（1）∵函数f（x）=4sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，∴ω=2，∴f（x）=4sin（2x+），由2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z得：2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，即x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，即函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，（2）∵向量=（﹣1，f（x）），=（f（﹣x），1），∴g（x）==﹣f（﹣x）+f（x）=﹣4sin（﹣2x+）+4sin（2x+）=4sin2x，∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴4sin2x∈[2，4]，即函数g（x）在区间[，]上的最大值为4，最小值为2；（3）若，则=4sin2x=0，则2x=kπ，k∈Z，x=kπ，k∈Z，又∵x∈[0，2015π]，故k的值有2×2015+1=4031个．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域的知识，考查计算能力．21．已知函数f（x）=k（x+1）2﹣ln（x+1）（k∈R）．（1）当k=时，求函数f（x）的单调区间与极值；（2）若x轴是曲线y=f（x）的一条切线，求实数k的值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】（1）当k=时，化简f（x）=（x+1）2﹣ln（x+1），从而求导f′（x）=（x+1）﹣=，从而判断函数的单调性及极值；（2）求导f′（x）=，从而可得，从而解得．【解答】解：（1）当k=时，f（x）=（x+1）2﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）；f′（x）=（x+1）﹣=，故当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；故函数f（x）的单调减区间为（﹣1，0），单调增区间为（0，+∞）；（2）∵f（x）=k（x+1）2﹣ln（x+1），∴f′（x）=，又∵x轴是曲线y=f（x）的一条切线，∴，解得，x+1=，k=．【点评】本题考查了导数的综合应用及几何意义的应用．22．设函数f（x）=e x+．（1）求证：函数f（x）的唯一零点x0∈（﹣，0）；（2）求证：对任意λ＞0，存在μ＜0，使得f（x）＜0在（﹣1，λμ）上恒成立；（3）设g（x）=f（x）﹣x=（）h（x）﹣1，当x＞0时，比较g（x）与h（x）的大小．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）令f（x）=0，可得e x=﹣，由e x＞0，可得﹣1＜x＜0，运用零点存在定理，即可得证；（2）运用（1）的结论，结合f（x）＜0，在（﹣1，x0）处恒成立．即可得证；（3）求出g（x）的导数，判断单调性，可得g（x）＞0，运用复合函数的单调性可得h（x）的单调性，可得h（x）＜0，即可得到结论．【解答】解：（1）证明：令f（x）=0，可得e x=﹣，由e x＞0，可得﹣1＜x＜0，由f（x）=e x+=e x+1﹣在（﹣，0）递增，由f（﹣）=+1﹣=﹣1＜0，f（0）=1+0＞0，由函数零点存在定理，可得函数f（x）存在唯一零点x0∈（﹣，0）；（2）证明：由（1）可得f（x）在（﹣1，0）递增，由函数f（x）存在唯一零点x0∈（﹣，0），即有f（x）＜0，在（﹣1，x0）处恒成立．可令λμ=x0，即有对任意λ＞0，存在μ＜0，使得f（x）＜0在（﹣1，λμ）上恒成立；（3）g（x）=f（x）﹣x=e x+﹣x=e x+1﹣﹣x的导数为g′（x）=e x+﹣1，x＞0时，e x＞1，g′（x）＞0，g（x）递增，即有g（x）＞g（0）=1，h（x）=g（x）+1在x＞0时，由t=g（x）在x＞0递增，h（x）=1+t递减，即有h（x）在x＞0递减，则h（x）＜h（0）=1，故当x＞0时，g（x）＞h（x）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，以及函数的单调性的运用，属于中档题．。