北京市东城区2016届高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =.若{}3A B = ，则实数m =（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4 【考点】集合的运算 【试题解析】 因为，所以，所以，故选C【答案】C（2）在复平面内，复数2iiz -=对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限 【考点】复数综合运算 【试题解析】，对应点为，在第三象限，故选C【答案】C（3）已知向量(1,2)=a ，(2,)x =-b .若+a b 与-a b 平行，则实数x 的值是 （A ）4 （B ）（C ）1-（D ）4-【考点】平面向量坐标运算 【试题解析】，，因为与平行，所以，即，故选D【答案】D（4）经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是 （A ）230x y --=（B ）210x y --= （C ）230x y -+= （D ）210x y ++=【考点】直线方程 【试题解析】所求直线斜率为2，且过点，所以方程为，即，故选A【答案】A（5）给出下列函数：①2log y x = ； ②2y x = ； ③2x y =； ④2y x=. 其中图象关于y 轴对称的是 （A ）①②（B ）②③（C ）①③（D ）②④ 【考点】函数的奇偶性 【试题解析】图象关于y 轴对称即为偶函数，故选B 【答案】B（6）“sin 221αα-=”是“4απ=”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 考点】充分条件与必要条件 【试题解析】等价于， 所以或（），即或（），所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B【答案】B（7）某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 值恰好是13，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（A ）3y x = （B ）3y x = （C ）3x y =（D ）3y x= 【考点】算法和程序框图 【试题解析】循环两次后，因为输出，所以，故选C【答案】C（8）已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（A ）5[,)4-+∞（B ）[1,2] （C ）5[,1]4-（D ）[1,1]-【考点】函数综合 【试题解析】 设为函数的图象上的点，则为函数图象上的点，所以， 依题意方程在区间上有解，设，则有，所以，解得，故选D【答案】D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）双曲线221169x y -=的离心率是_________.【考点】双曲线 【试题解析】 由标准方程知，，所以，所以离心率【答案】（10）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且c =45B = ,面积2S =，则 a =_________；=_________.【考点】解斜三角形 【试题解析】，，由余弦定理，所以【答案】1，5（11）如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________. 【考点】频率分布表与直方图 【试题解析】 由图可知，，所以， 所以成绩落在 中的学生频率为所以人数为【答案】25（12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【考点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】几何体的直观图为底面积为，高为2的三棱锥，所以体积为【答案】4（13）已知点(,)P x y 的坐标满足条件4,,1,x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩点O 为坐标原点,那么OP 的最大值等于_________. 【考点】线性规划 【试题解析】 作出可行域如图，当点位于点时，取得最大值。

【答案】（14）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2， 等标记来表示纸张的幅面规格. 复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A ()n n n ∈≤N 8，系列的幅面规格为： ①A0，A1，A2， ，A8所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:x y =② 将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格， ，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2， ，A8纸各一张.若A4纸的宽度为2dm ，则A0纸的面积为2dm ；这9张纸的面积之和等于__________2dm ． 【考点】等比数列 【试题解析】 依题意，，，，，的面积构成以为公比的等比数列因为纸的宽度为，所以长为， 故面积为，所以纸的面积为这9张纸的面积之和等于【答案】；三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，312S =． （I ） 求数列{}n a 的通项公式；（II ）若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值．【考点】等比数列等差数列 【试题解析】 （1）设数列的公差为，由题意知，即，由 ，解得. 所以，即,.（2）由（1）可得，所以.又，，由已知可得，即，整理得，.解得（舍去）或.故.【答案】（1）；（2）（16）（本小题13分）已知函数()sin()(0,02)f x x ωϕωϕ=+><<π在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求函数()()2sin g x f x x =+的最大值和最小值. 【考点】三角函数综合 【试题解析】 （1）由表格可知，的周期，所以.又由，且，所以.所以.（2）.由，所以当 时，有最大值 ；当时，有最小值.【答案】（1）（2）有最大值 ；最小值-3.（17）（本小题13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示.（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率.【考点】概率综合【试题解析】（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，第3组的频率为.即①处的数据为35，②处的数据为0.300.（2）因为第3，4，5组共有60名学生,所以利用分层抽样,在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人；第4组：人；第5组:人.所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人.（3）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为: ，，，，，，，，，，，，，，.其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有: ，，，，，，，，9种可能.所以第组的两位同学至少有一位同学被选中的概率.【答案】（1）①处的数据为35，②处的数据为0.300；（2）3人，2人，1人；（3）（18）（本小题13分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ，3CD AB =.（Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅱ）在线段DE 上是否存在一点F ,使AF 平面BCE ？若存在,求出EFED的值；若不存在，说明理由. 【考点】立体几何综合 【试题解析】（Ⅰ）因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥.又因为AE DE ⊥，CD DE D = , 所以AE ⊥平面CDE .又因为AE ⊂平面ACE ， 所以平面ACE ⊥平面CDE .（Ⅱ）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，使AF 平面BCE . 设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =. 过点F 作FM CD 交CE 于M ，则13FM CD =. 因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以CD AB .又FM CD ， 所以FM AB .因为3CD AB =，所以FM AB =. 所以四边形ABMF 是平行四边形. 所以AF BM .又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ， 所以AF 平面BCE .【答案】（1）见解析； （2）ABCED FM（19）（本小题14分）已知函数()e x f x x a =-，a ∈R .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程； （Ⅱ）若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数3()g x x =，请写出曲线()y f x =与()y g x =最多有几个交点.（直接写出结论即可） 【考点】导数的综合运用 【试题解析】（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =-，()1e x f x '=-.当0x =时，1y =-，又(0)0f '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =-.（Ⅱ）由()e x f x x a =-，得()1e x f x a '=-.当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增.当x a =时，()e (1e )0a a f a a a a =-=-≤，当1x =时，(1)1e >0f a =-， 所以当0a ≤时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点； 当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =-.()f x 与()f x '在区间(,)-∞+∞上的情况如下：若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，则有(ln )0f a -=，即ln ln e 0a a a ---=.解得1ea =. 综上所述，当0a ≤或1ea =时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点. （Ⅲ）曲线()e x f x x a =-与曲线3()g x x =最多有3个交点.【答案】（1） ； （2）或； （3）3个（20）（本小题14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(0,，且满足a b +=(Ⅰ) 求椭圆C 的方程； (Ⅱ) 斜率为12的直线交椭圆C 于两个不同点A ，B ，点M 的坐标为(2,1)，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ．① 若直线过椭圆C 的左顶点，求此时1k ，2k 的值；② 试探究21k k +是否为定值？并说明理由.【考点】圆锥曲线综合【试题解析】解：(Ⅰ)由椭圆过点(0，则b =又a b +=故a =所以椭圆C 的方程为12822=+y x .(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =，由2212182y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，或220.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故2121--=k ，2122-=k . ②21k k + 为定值，且021=+k k .设直线的方程为m x y +=21. 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得042222=-++m mx x . 当0168422>+-=∆m m ，即22<<-m 时，直线与椭圆交于两点. 设),(11y x A .),(22y x B ,则122x x m +=-，42221-=m x x . 又21111--=x y k ，21222--=x y k ， 故2121221121--+--=+x y x y k k =)2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y . 又m x y +=1121，m x y +=2221， 所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y )2)(121()2)(121(1221--++--+=x m x x m x )1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m . 故021=+k k .【答案】（1）； （2）① ，，②。