专题11“宝刀未老”的函数应用性问题-备战2019年高考高三数学一轮热点难点一网打尽(解析版)

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函数应用问题-学会解题之高三数学多题一解【解析版】

函数应用问题【高考地位】应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。

数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。

在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.方法解函数应用题的一般步骤万能模板内容使用场景函数的实际应用问题解题模板第一步审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤.⑴ 写出年利润()f x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；⑴ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入-年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 9千件.【解析】第一步，审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；某公司的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤. 第二步，建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；当010x <≤时，第三步，解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步，还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步，反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【点评】(1)由年利润＝年销售收入-年总成本，结合()R x ，即可得到所求()f x 的解析式；(2)由()1的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题03函数的应用文

函数的应用【2019年高考考纲解读】1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．【重点、难点剖析】热点一函数的零点1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．三函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式．(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果．(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．【题型示例】题型一函数的零点例1、(1)方程4sin πx ＝21－x在[－2,4]内根的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．5 D ．8答案 D解析由原方程得2sin πx ＝11－x ，同一坐标系中作出函数y 1＝11－x和y 2＝2sin πx 的图象如图所示．由图象可知，共有8个交点，故选D.(2)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (1－x )，且当x ∈[－4,1)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x －1，g (x )＝2sin ωx 是以1为最小正周期的函数，则函数F (x )＝f (x )－g (x )，x ∈[－3,5]的所有零点之和等于( )A ．17B ．16C ．4D ．2答案 A所以可作出当x ∈[－3,5]时，函数f (x )与g (x )的图象如图所示，根据两个函数图象的交点及函数图象的对称性可设交点的横坐标由左到右依次为x 1，x 2，x 3，…，x 16，交点的横坐标间的关系为x 1＋x 16＝2，x 2＋x 15＝2，x 3＋x 14＝2，…，x 8＋x 9＝2，所以F (x )＝f (x )－g (x )，x ∈[－3,5]的所有零点之和等于1＋x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 15＋x 16＝1＋2×8＝17，故选A.【感悟提升】函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点大致存在区间的确定．(2)零点个数的确定．(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．【变式探究】(1)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2，x ∈[0，，2－x 2，x ∈[－1，，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个答案 B解析由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x )周期为2，作函数f (x )和g (x )的图象，图中，g (3)＝3－log 23>1＝f (3)，g (5)＝3－log 25<1＝f (5)，可得有两个交点，所以选B.(2)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②∀x ∈R，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1，则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 A解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解．题型二函数的零点与参数的范围例2、(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞) 答案 C解析令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.【变式探究】(2018·天津)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．答案 (4,8)解析作出函数f (x )的示意图，如图．l 1是过原点且与抛物线y ＝－x 2＋2ax －2a 相切的直线，l 2是过原点且与抛物线y ＝x 2＋2ax ＋a 相切的直线．由图可知，当直线y ＝ax 在l 1，l 2之间(不含直线l 1，l 2)变动时，符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax ，y ＝－x 2＋2ax －2a ，消去y ，整理得x 2－ax ＋2a ＝0.由Δ1＝0，得a ＝8(a ＝0舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax ，y ＝x 2＋2ax ＋a ，消去y ，整理得x 2＋ax ＋a ＝0. 由Δ2＝0，得a ＝4(a ＝0舍去)．综上，得4<a <8.【感悟提升】(1)方程f (x )＝g (x )根的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数．(2)关于x 的方程f (x )－m ＝0有解，m 的范围就是函数y ＝f (x )的值域．【变式探究】(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x <2，－x －2＋2，x ≥2，若关于x 的方程f (x )－k ＝0有唯一一个实数根，则实数k 的取值范围是________．答案 [0,1)∪(2，＋∞)解析画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x <2，－x －2＋2，x ≥2的图象如图所示，结合图象可以看出当0≤k <1或k >2时符合题设．【变式探究】已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f x ，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (3,5)解析 ∵偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f x ，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，∴f (x －2)＝f (x －1－1)＝1f x －＝f (x )，∴函数f (x )的周期为2，在区间[－1,3]内函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点等价于函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象在区间[－1,3]内有3个交点．当0<a <1时，函数图象无交点，数形结合可得a >1且⎩⎪⎨⎪⎧ log a 3<1，log a 5>1，解得3<a <5.题型三函数的实际应用问题例3、经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (升)与速度x (千米/时)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 175x 2－130x ＋，x ∈[50，，12－x 60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A ，B 两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？(2)设总耗油量为l ，由题意可知l ＝y ·120x. ①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4 900x －130 ≥85⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ×4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x，即x ＝70时，l 取得最小值16. ②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数．当x ＝120时，l 取得最小值10.因为10<16，所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少．【感悟提升】(1)解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．【变式探究】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000 ＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损.。

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题

考向20 函数y=Asin(ωx +φ)的图象及其应用【2022·浙江·高考真题】为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（） A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度【2022·全国·高考真题（文）】将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（） A ．16B ．14C ．13D ．121．已知()()sin (0,0)f x A x A ωφω=+>>的部分图象求A 的方法：（1）利用极值点的纵坐标求A ；（2）把某点的坐标代入求A ． 2．已知()()sin (0,0)f x A x A ωφω=+>>的部分图象求ω的方法：由2Tπω=，即可求出ω．常用结论：（1）相邻两个极大（小）值点之间的距离为T ；（2）相邻两个零点之间的距离为;2T （3）极值点到相邻的零点，自变量取值区间长度为4T．3．已知()()sin (0,0)f x A x A ωφω=+>>的部分图象求φ的方法：求φ的值时最好选用最值点求．峰点：22x k πωφπ+=+；谷点：22x k πωφπ+=-+．也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点．升零点（图象上升时与x 轴的交点）：2x k ωφπ+=；降零点（图象下降时与x 轴的交点）：2x k ωφππ+=+（以上k z ∈）．此外也可以把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞，其中0,0A ω>>．在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是2T πω=，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式1f T=给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x ωϕ+称为相位；0x =时的相位ϕ称为初相．1．平移与伸缩由函数sin y x =的图像变换为函数2sin(2)33y x π=++的图像的步骤；方法一：(2)23x x x ππ→+→+．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．3sin y x π=−−−−−−→向左平移个单位的图像sin()3y x π=+的图像12−−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变sin(2)3y x π=+的图像2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变2sin(2)3y x π=+的图像 3−−−−−−→向上平移个单位2sin(2)33y x π=++方法二：(2)23x x x ππ→+→+．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． sin y x =的图像12−−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变6sin 2y x π=−−−−−−→向左平移个单位的图像sin 2()sin(2)62y x x ππ=+=+的图像2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变32sin(2)3y x π=+−−−−−−→向上平移各单位的图像2sin(2)33y x π=++注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角wx φ+”变化多少．1．（2022·全国·模拟预测（理））函数()f x 的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的12；②向左平移23π个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，则()f x 的解析式为（）A ．()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ B ．()11sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()12sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，其中()0,6ω∈，将函数()f x 的图象向右平移5π24个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（） A ．π2sin 28x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．2sin 4x -C ．2cos2x -D ．2cos4x -3．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知直线8x π=是函数()2sin(2)||2πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭f x x 的图像的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图像，可把函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（）A ．向左平移24π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度4．（2022·全国·高三专题练习（文））将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（） A ．16B ．14C ．13D ．125．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））将函数()πsin(2)6f x x =+的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则下列说法正确的是（）A ．π()sin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调C ．()g x 的图象关于直线π2x =对称D ．当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1．（2022·上海浦东新·二模）将函数()sin2f x x =的图像向左平移4π个单位后，得到函数()g x 的图像，设,,A B C 为以上两个函数图像不共线的三个交点，则ABC 的面积不可能为（） A ．22πB 2πC 2D 2 2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的12 （纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知函数()2sin cos f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()sin 2cos g x x x =+的图象，则()g ϕ=（） A ．65B ．115C ．15D ．854．（2022·广东茂名·二模）已知函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+< 的部分图象如图所示．将函数()f x 的图象向左平移π12个单位得到()g x 的图象，则（）A ．()3sin(2)6g x x π+） B ．()3sin(2)12g x x 5π=+C ．()32g x x =D ．()32g x x =5．（2022·安徽省舒城中学三模（理））将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在π[0,]4上为增函数，则ω最大值为（） A ．2B ．3C ．4D ．526．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x，[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．（多选题）（2022·全国·模拟预测）将函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>的图象向右平移π3个单位，得到的图象关于y 轴对称，则下列说法正确的是（） A ．()f x 最小正周期的最大值为4π5 B ．()f x 最小正周期的最大值为4π11C ．当()f x 的最小正周期取最大值时，平移后的函数在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．当()f x 的最小正周期取最大值时，平移后的函数在π0,11⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减8．（多选题）（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为34π，则（） A ．函数()f x 的最小正周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后所得图像关于原点对称 C ．函数()f x 在5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．设||3π()e 24x g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()g x 在(10π,10π)-内有20个极值点9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知函数()()sin cos sin f x x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 21-C ．()f x 的图像关于直线8x π=-对称 D ．将()f x 的图像向右平移8π个单位长度，再向上平移12个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数10．（多选题）（2022·全国·模拟预测）函数()()()cos 02f x x ωϕϕπ=+≤<的部分图像如图所示，则（）A ．3ω=B ．65ϕπ=C ．函数()f x 在314,55ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图像的对称轴方程为()315k x k ππ=-∈Z 11．（2022·上海闵行·二模）若函数3sin cos y x x =+的图像向右平移ϕ个单位后是一个奇函数的图像，则正数ϕ的最小值为___________；12．（2022·河北衡水·高三阶段练习）把函数()22cos cos 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位长度，得到的图像所对应的函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小正值为__________．13．（2022·山东潍坊·三模）已知函数()cos 2f x x =向右平移12π个单位长度后得到()g x ．若对于任意的1,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]2,x m n ∈，使得()()12f x g x =，则m n -的最小值为______．14．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知函数()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上所有点横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到()y g x =图象，若()32gx =在[]0,2π有n 个不同的解12,,,n x x x ，则1tan n i i x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑__________.15．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．16．（2022·全国·模拟预测）条件①：()()()f x g x h x =⋅；条件②：()()()2f x g x h x =．已知()3sin cos g x x x =-，()cos sin 44h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为条件，求： (1)求()f x 的解析式；(2)将()y f x =的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移12π个单位长度，得到()y t x =的图象，求函数()y t x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调递减区间和最大值．17．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知数2()32sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π.(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.18．（2022·()3cos 22sin 0011cos A A x A x A x>按第一列展开11213132M M M ++，记函数()1121f x M M =+，且()f x 的最大值是4． (1)求A ；(2)将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在11,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数()()*sin ,2f x x N πωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭的图像关于直线512x π=-对称，且在区间5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；(1)求()f x 解析式．(2)若02f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位长度，再把所得图像上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到()g x 的图象；若()g x m =在,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求m 的取值范围．1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（） A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度 2．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（） A ．16B ．14C ．13D ．123．（2021·全国·高考真题（理））把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭4．（2020·天津·高考真题）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③5．（2019·天津·高考真题（文））已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．2-C ．2D ．26．（2014·辽宁·高考真题（文））将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 7．（2015·湖南·高考真题（理））将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的，，有，则ϕ=A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 8．（2012·天津·高考真题（文））将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值是A ．13B ．1C ．53D ．29．（2018·天津·高考真题（理））将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 10．（2018·天津·高考真题（文））将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．（2017·全国·高考真题（理））已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2。

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专题11-3抽象函数及其应用第三季1．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有，则f （5）的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．5【解答】解：根据题意，由得，当2x ≠-且0x ≠时，，，则()g x 是周期为2的函数，所以g （5）g =（1）f =（1），令1x =-，由得f -（1）(1)f =-，又因为()f x 是偶函数，所以f （1）(1)f =-，所以f （1）0=，所以，所以f （5）0=．故选：A ．2．对任意实数x 都有（2），若(2)f x -的图象关于(2,0)成中心对称，f （1）3=，则)A ．0B ．3C ．6D ．3-【解答】解：对任意实数x 都有（2），可得f （2）(2)2f f +-=（2），即(2)f f -=（2），若(2)f x -的图象关于(2,0)成中心对称，可得()f x 的图象关于原点对称，即，即有(2)f f -=-（2），则(2)f f -=（2）0=，可得，，即有()f x 为周期为8的奇函数，由f （1）3=，则f =（1）f +（2）303=+=，故选：B ．3．定义在R 上的偶函数()f x 满足，且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则( )A ．f (sin )f α> (cos )βB ．f (sin )f α< (cos )βC ．f (sin )f α> (sin )βD ．f (cos )f α< (cos )β4．若定义在R 上的偶函数()f x 满足，且当[0x ∈，1]时，2()f x x =，则函数的零点个数是( ) A ．3B ．5C ．8D ．10【解答】解：定义在R 上的偶函数()f x 满足，且当[0x ∈，1]时，2()f x x =，可得，即()f x 为周期为2的偶函数，且当[1x ∈-，0]时，2()f x x =，函数的零点个数即为函数()y f x =和3|log |y x =的图象交点个数，分别作出函数()y f x =和3|log |y x =的图象，可得它们的交点个数为3个，故选：A ．5．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，当*n N ∈时，*()f n N ∈．若[()]3f f n n =，其中*n N ∈，则f （1）(= )A ．4B ．3C ．2D ．16．定义在R 上的函数()f x ，满足，当0x …时，，且当1201x x <剟时，有12()()f x f x …，则 )A B C D 【解答】解定义在R 上的函数()f x 满足，，，解得(0)0f =， f ∴（1）(0)1f +=， f ∴（1）1=；，32；，且当1201x x <剟时，有12()()f x f x …，，又．（1 ．故选：B ．7．已知函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x R ∈都有（3）成立，当1x ，2[0x ∈，3]，且12x x ≠时，都有．给出以下三个命题：①直线6x =-是函数()f x 图象的一条对称轴； ②函数()f x 在区间[9-，6]-上为增函数； ③函数()f x 在区间[9-，9]上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】解：根据题意，对于任意x R ∈，都有f (6)x f += ()x f + （3）成立，令3x =-，则（3），又因为()f x 是R 上的偶函数，所以f （3）0=，则有f (6)x f += ()x ，所以()f x 的周期为6；据此分析三个命题：对于①，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为y 轴，又由函数的周期为6，则直线6x =-是函数()f x 图象的一条对称轴，①正确；对于②，当1x ，2[0x ∈，3]，且12x x ≠时，都有，则函数()y f x =在[0，3]上为增函数，因为()f x 是R 上的偶函数，所以函数()y f x =在[3-，0]上为减函数，而()f x 的周期为6，所以函数()y f x =在[9-，6]-上为减函数；②错误；对于③，f （3）0=，()f x 的周期为6，所以（3）f =（9）0=，函数()y f x =在[9-，9]上有四个零点；③错误；三个命题中只有①是正确的；故选：B ．8．已知()y f x =满足，则以下四个选项一定正确的是( )A ．(1)1f x -+是偶函数B ．(1)1f x -+-是奇函数C ．(1)1f x ++是偶函数D ．(1)1f x +-是奇函数9．已知函数()f x 满足：且f （1）1=，那么)A ．1009B ．2018C ．3027D ．4036【解答】解：由意题，且f （1）1=，可得令x n =，1y =，可得，可得f （1）f =（2）f =（3），那么：2f =（1）2f +（2）（2）f +（4）f +（6），故选：B ．10．若定义在R 上的偶函数()f x 满足且[0x ∈，1]时，()f x x =，则方程的零点个数是( ) A ．2个B ．3个C ． 4个D ．6个【解答】解：方程的零点个数即函数()y f x =与函数3log ||y x =的交点的个数，作函数()y f x =与函数3log ||y x =的图象如下，则由图象可知，有四个不同的交点，故选：C ．。

2019届高考数学一轮必备考情分析学案：2.9《函数的应用》(含解析)

2.9 函数的应用基础梳理1．常见的函数模型及性质(1)几类函数模型①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)．④对数函数型模型：y＝mlog a x＋n(a＞0，a≠1)．⑤幂函数型模型：y＝ax n＋b.(2)三种函数模型的性质[:1.特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2.(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．题型一一次函数、二次函数函数模型的应用[:【例1】在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)＝3 000x－20x2，C(x)＝500x＋4 000(x∈N*)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．解(1)由题意，得x∈[1,100]，且x∈N*.P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x－4 000，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x. (2)P(x)＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －12522＋74 125，当x ＝62或x ＝63时，P(x)取得最大值74 120元；因为MP(x)＝2 480－40x 是减函数，所以当x ＝1时，MP(x)取得最大值2 440元．故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元.【变式1】经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t ＋200(1≤t≤50，t ∈N)．前30天价格为g(t)＝12t ＋30(1≤t≤30，t ∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t ∈N)．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值．解 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t≤30，t ∈N ，－2t ＋，31≤t≤50，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t≤50，t ∈N.(2)①当1≤t≤30，t ∈N 时， S ＝－(t －20)2＋6 400，∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400；[: ②当31≤t≤50，t ∈N 时， S ＝－90t ＋9 000为减函数，∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210.[: ∵6 210＜6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400. 题型二指数函数模型的应用【例2】►某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，t ＞1.当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得．a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ， 0≤t≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t>1.(2)由y≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t≤1，4t≥0.25，或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得116≤t≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时．【变式2】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)解 (1)1年后该城市人口总数为 y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%) 2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为[:y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2% ＝100×(1＋1.2%)3.x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120， x ＝log 1.012120100＝log 1.0121.20≈16(年)． (4)由100×(1＋x%)20≤120，得 (1＋x%)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x%)≤lg 1.2＝0.079，所以lg(1＋x%)≤0.07920＝0.003 95，所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9，即年自然增长率应该控制在0.9%. 题型三函数y ＝x ＋ax模型的应用【例3】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x ＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解 (1)由已知条件C(0)＝8则k ＝40，因此f(x)＝6x ＋20C(x)＝6x ＋8003x ＋5 (0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x ＋10＋8003x ＋5－10 ≥2＋8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5即x ＝5时等号成立．所以当隔热层为5 cm 时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．【变式3】某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？解设温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m.∴蔬菜种植面积y ＝(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)．∵x ＋1 600x≥2 x·1 600x＝80， ∴y≤808－2×80＝648(m)2. 当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40，此时800x＝20 m ，y 最大＝648(m 2)． ∴当矩形温室的左侧边长为40 m ，后侧边长为20 m 时，蔬菜的种植面积最大，为648 m 2. 重难点突破【例4】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[解析] (1)由题意：当0≤x≤20时， v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax ＋b ，再由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x≤20，13－，20＜x≤200.(4分)(2)依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x≤20，13－，20＜x≤200.(6分)当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；(7分) 当20＜x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值10 0003.(10分) 综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．(12分) 巩固提高1．从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2019年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2019年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )． A ．3～4万元 B ．4～5万元 C ．5～6万元D ．2～3万元解析设存入的本金为x ，则x·2%·20%＝138.64，∴x ＝1 386 40040＝34 660. 答案 A2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y ＝3000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台解析设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x≥150. 答案 C3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )．A ．1 000米2B ．2 000米2C ．2 500米2D ．3 000米2解析设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x 米、y 米，如图，则4x ＋3y ＝200，又矩形场地的面积S ＝3xy ＝3x·200－4x 3＝x(200－4x)＝－4(x －25)2＋2 500，∴当x ＝25时，S max ＝2 500.答案 C4．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．答案 6 10 0005．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x－2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析依题意y ＝a x－2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x－2，因此，当y ＝14时，由14＝2x－2，解得x ＝4. 答案 4。

第11讲 “宝刀未老”的函数应用性问题-最新精品高考数学基础+方法全解(原卷版)

考纲要求:1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.基础知识回顾:1．常见的函数模型及性质(1)几类函数模型①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)．④对数函数型模型：y＝mlog a x＋n(a＞0，a≠1)．⑤幂函数型模型：y＝ax n＋b.(2)三种函数模型的性质【注】三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y＝a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于a x的增长快于a x> x n >loga x2．解决函数应用问题重点解决以下问题(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用；(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．应用举例:【2017上海理】（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x≤≤），每小时可获得利润是3 100(51)xx+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.变式训练:【变式1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【变式2】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)实战演练:1、某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？2、某工厂改进了设备，在两年内生产的月平均增长率都是 m ，则这两年内第二年三月份的产值比第一年三月份的产值的平均增长率是多少？3、为了预防甲型H1N1流感，东莞市常平中学对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为a t y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .。

备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题19利用函数模型解决实际问题

专题19 利用函数模型解决实际问题【热点聚焦与扩展】在近几年的高考试卷中，以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．注重在知识的交汇点命题，与三角函数、解三角形、不等式、导数、解析几何、概率统计、数列等相结合，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.1、使用函数模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）.以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值（2）需用到的数学工具与知识点：①分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示.②导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值③均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值.④分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解（3）常见的数量关系：①面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如：平行四边形面积=底⨯高梯形面积=12⨯（上底+下底）⨯高三角形面积=12⨯底⨯高②商业问题：总价=单价⨯数量利润=营业额-成本=货物单价⨯数量-成本③利息问题：利息=本金⨯利率本息总和=本金+利息=本金⨯利率+本金（4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数.涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数.2、使用线性规划模型解决实际问题（1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题（2）与函数模型的不同之处① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值） ② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值.（3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决（4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题（1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关（2）需要用到的数学工具与知识点：① 正弦定理：设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，则有sin sin sin a b cA B C==② 余弦定理（以a 和对角A 为例），2222cos a b c bc A =+- ③ 三角函数表达式的化简与变形 ④ 函数()sin y A x ωϕ=+的值域（3）解题技巧与注意事项：① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 ③ 在图形中要注意变量的取值范围【经典例题】例1．【2018届上海市松江、闵行区高三下学期（二模）】某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，产品每件的销售利润为(单位：元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）.（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？【答案】(1)(2)第5天至第15天该公司日销售利润不低于元.【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论，分别求得销售量，然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为（2）结合(1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.综上可得：（2）当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，无解.故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．例2.【2018年江苏省高考冲刺预测卷一】秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用（元）与使用年数的关系为：（，且），已知第二年付费1800元，第五年付费6000元.}（Ⅰ）试求出该农机户用于维修保养的费用（元）与使用年数的函数关系；（Ⅱ）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用）【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）14.【解析】试题分析：根据第二年付费元，第五年付费元可得关于的方程组，解出即可得到则依题意，，，当且仅当，即时取等号.所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大.例3．【2018届广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下第三次联考】某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)答案见解析；(ii)17份.的大小可得选择的结论．X 62 71 80P 0．1 0．2 0．7∴元．（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为Y 58 67 76 85P 0．1 0．2 0．16 0．54∴的数学期望为元．由以上的计算结果可以看出，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．∴所以小店应选择一天购进17份．例4．【2018届江苏省无锡市高三上期末】如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.，求出，分两区间讨论的单调性，以证明为极小值点.试题解析：（1）由题意，，所以，又，所以观光专线的总长度，，因为当时，，所以在上单调递减，当时，，当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.例5.如图所示，甲船以每小时302n?mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距20n?mile ．当甲船航行 20min 到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120︒方向的2B 处，此时两船相距102mile n ，问乙船每小时航行多少n?mile ？【答案】302n?mile . 【解析】试题分析：连接12A B ，先得122A A B 是等边三角形，求出12A B ，在121A B B 中使用余弦定理求出12B B 的长，除以航行时间得出速度．试题解析：如图，连结12A B ,由题意知, 221220102nmile,302102nmile 60A B A A ===.所以1222A A A B =.又12218012060A A B ∠=︒-︒=︒，答：乙船每小时航行 302nmile .例6.【2018届江苏省南通、徐州、扬州等六市高三二模】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？【答案】(1)()()52π1r+=；(2) 210.【解析】试题分析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，根据矩形薄铁皮的面积为1002dm，即可求得r的值；试题解析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，则()2π24100r r r+⨯=，解得()()52π1r+=（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm，则2{1004xaa ax≤≤-，，即2{20.xaax≤≤，方法一：所得正四棱柱的体积3202104{400210.xxV a xxx<≤=≤>，，，记函数()302104{40010.xxp xxx<≤=>，，，则()p x在(0210上单调递增，在)210⎡+∞⎣，上单调递减. ∴当10x=时，()max2010p x=∴当10x=，10a=maxV=103．（2）当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．例7.【2018届江苏省南通市高三上第一次调研】如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离；（2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大. 【答案】（1）165m （2）①最小值为)2640021m ②当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大半圆O 的方程为22240x y += ()0y ≥，由()2222,{400,y x x y y =+=≥得165y =.所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+ 80cos 40sin sin 2θθθ-=+. 直线PC 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ-+=--，令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++ 80cos 40sin sin 2θθθ+=+.所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+ (0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()1600284≥ )640021=.当且仅当22t =sin 222θ=时“=”成立. 所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)2640021m .答：当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.例8.【2018届山东省枣庄市第八中学东校区高三1月月考】现有一块大型的广告宣传版面，其形状是右图所示的直角梯形ABCD .某厂家因产品宣传的需要，拟投资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形DEFG （点F 在曲线段AC 上，点E 在线段AD 上）.已知12BC m =， 6AB AD m ==，其中曲线段AC 是以A 为顶点， AD 为对称轴的抛物线的一部分.（1）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段AC 与线段DC 的方程；（2）求该厂家广告区域DEFG 的最大面积.【答案】(1) ()21063y x x =-≤≤， ()606y x x =--≤≤；(2)最大值是2272m则()00A ，， ()6,0B ， ()6,12C -， ()0,6D -，曲线段AC 的方程为： ()21063y x x =-≤≤；线段DC 的方程为： ()606y x x =--≤≤；（2）设点21,3F a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则需2163a ->-，即032a <<令()0f a '=，得3a =， 2a =-.∴()f a 在(]0,3上是增函数，在3,32⎡⎤⎣⎦上是减函数.∴()()2732f a f ==. ∴厂家广告区域DEFG 的面积最大值是2272m . 点睛:本题利用已知函数模型解决实际问题，关键是合理建系设出点坐标即可表示出面积的表达式，利用导数研究单调性即可求出最值.例9. 时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格:x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26,x m <<为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）【答案】（1）10；（2）约为3.3.【解析】解：（1）将4,21x y ==代入关系式可得：()221446102m m =+-⇒= （2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为()2x -元，所以总的利润()()()2102462f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪-⎝⎭，其中26x <<，利用导数判定()f x 的单调性，进而可求得最大值点x()f x ∴在103x =取得最大值，即 3.3x例10.如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数()()()(]sin 0,0,0,,4,0y A x A x ωϕωϕπ=+>>∈∈-的图像，图像的最高点为()1,2B -，边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ，游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE（1）求曲线FGBC 的函数表达式（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G ，修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 的长度（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值【答案】（1）22sin 63y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）10；（3）6πθ=时，OMPQ S 的最大值为23 . 【解析】解：（1）由()1,2B -可知2A =，()4,0F -∴ 对于()sin y A x ωϕ=+，()()41412T =---=⎡⎤⎣⎦26T ππω∴==（2）由已知可得1G y = 2212sin 1sin 63632G G x x ππππ⎛⎫⎛⎫∴+=⇒+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2=2636G x k ππππ∴++或25=2636G x k ππππ++ 解得：312G x k =-+或112G x k =+，由()4,0G x ∈-可得：()3,1G -10OG ∴=（3）由图可知，3,1OC CD ==2,6DO COD π∴=∠=12323232cos 2sin 2sin 2333OMPQS OM PP θθθθθ⎛⎫∴=⋅=-⋅=+- ⎪⎝⎭432320,3633ππθθ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2626πππθθ∴+=⇒=时，OMPQ S 23【精选精练】1．【2018年北京市门头沟一模】某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。

备战高考数学一轮复习(热点难点)专题11零点、根、交点教你如何转化(new)

专题11 零点、根、交点教你如何转化考纲要求:1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．2。

利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点,也是难点．基础知识回顾:一、方程的根与函数的零点(1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =(x D ∈）的零点。

函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距、极值点等.（2)函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

（3）零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得f(c)=0，这个也就是方程的根。

函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件。

【注】零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1)二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断,且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。

（2）给定精确度ε,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题03函数的应用热点难点突破文含解

函数的应用1．如图是函数f ()＝2＋a ＋b 的部分图象，则函数g ()＝ln ＋f ′()的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)2．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．7或8答案 B解析盈利总额为21n －9－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×n n －13 ＝－32n 2＋412n －9，由于对称轴为n ＝416，所以当n ＝7时，取最大值，故选B. 3．已知定义在R 上的奇函数f ()满足当>0时，f ()＝2＋2－4，则f ()的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析由于函数f ()是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝0.由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (2)<0，而函数f ()在(0，＋∞)上单调递增，故当>0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知，当<0时，也有1个零点．故一共有3个零点．4．已知函数f ()＝2＋2－12(<0)与g ()＝2＋log 2(＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是() A ．(－∞，－2) B ．(－∞，2)C.()－∞，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22答案 B解析 f ()＝2＋2－12(<0)，当>0时，－<0， f (－)＝2＋2－－12(>0)，所以f ()关于y 轴对称的函数为h ()＝f (－)＝2＋2－－12(>0)，由题意得2＋2－－12＝2＋log 2(＋a )在>0时有解，作出函数的图象如图所示，当a ≤0时，函数y ＝2－－12与y ＝log 2(＋a )的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意，若a >0，若两函数在(0，＋∞)上有交点，则log 2a <12，解得0<a <2，综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，2)．5．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4升，则m 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10答案 A解析根据题意知，因为5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数f ()＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，因为当 min 后甲桶中的水只有a 4升，所以f ()＝a 4，即15ln 12·＝ln 14，所以15ln 12·＝2ln 12，解得＝10，－5＝5，即m ＝5，故选A.答案 (1－2，0) 解析 f ()＝||(2－)＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x <0，2x －x 2，x ≥0，如图所示，关于的方程f ()＝m 恰有三个互不相等的实根1，2，3，即函数y ＝f ()的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0<m <1，不妨设从左向右的交点的横坐标分别为1，2，3.当>0时，由对称性知，2＋3＝2,0<23<⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＝1；当<0时，由2－2＝1，得＝1－2，所以1－2<1<0，即0<－1<2－1，所以0<－123<2－1，即1－2<123<0.12．已知函数f ()＝⎩⎨⎧x 2＋3a ，x <0，log a x ＋11，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，且关于的方程|f ()|＝2－恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫34 解析画出函数y ＝|f ()|的图象如图，由函数y ＝f ()是单调递减函数可知，0＋3a ≥log a (0＋1)＋1，即a ≥13，由log a (0＋1)＋1＝0得，0＝1a－1≤2，所以当≥0时，y ＝2－与y ＝|f ()|图象有且仅且一个交点．所以当2≥3a ，即13≤a ≤23时，函数y ＝|f ()|与函数y ＝2－图象恰有两个不同的交点，即方程|f ()|＝2－恰好有两个不相等的实数解，结合图象可知当直线y ＝2－与函数y ＝2＋3a 相切时，得2＋＋3a －2＝0.由Δ＝1－4(3a－2)＝0，解得a ＝34，此时也满足题意．综上，所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫34.23．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长为________m.押题依据函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点．答案 20解析如图，过A 作AH ⊥BC 交BC 于点H ，交DE 于点F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH，∴AF ＝， ∴FH ＝40－(0<<40)，则矩形花园的面积S ＝(40－)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－＝，即＝20时取等号，所以满足题意的边长为20 m.14．定义在R 上的函数f ()满足f ()＋f (＋5)＝16，当∈(－1,4]时，f ()＝2－2，则函数f ()在区间[0，2 019]上的零点个数是________．答案 60515．设函数f ()＝⎩⎨⎧ e －x －12，x >0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析当>0时，存在一个零点，故当≤0时有两个零点，f ()＝3－3m －2(≤0)，f ′()＝32－3m (≤0)，若m ≤0，则f ′()≥0，函数f ()在(－∞，0]上单调递增，不会有两个零点，故舍去；当m >0时，函数f ()在区间()－∞，－m 上单调递增，在区间()－m ，0上单调递减，又f (0)＝－2<0，所以f ()－m >0时有两个零点，解得m >1，故m 的取值范围是(1，＋∞)．16．对于函数f ()与g ()，若存在λ∈{∈R |f ()＝0}，μ∈{∈R |g ()＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f ()与g ()互为“零点密切函数”，现已知函数f ()＝e －2＋－3与g ()＝2－a －＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．答案 [3,4]解析由题意知，函数f ()的零点为＝2，设g ()满足|2－μ|≤1的零点为μ，因为|2－μ|≤1，解得1≤μ≤3.因为函数g ()的图象开口向上，所以要使g ()的一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g (1)g (3)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ g 1>0，g 3>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4或3≤a <103，得3≤a ≤4. 故实数a 的取值范围为[3,4]． 17．食品安全问题越越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带一定的危害，为了给消费者带放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f ()(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f ()最大？解 (1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5.。

备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题05 函数的对称性、周期性及其应用

专题05 函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练. （一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 2、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称中心即可。

考点11 对数与对数函数(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)

考向11 对数与对数函数1．（2020·海南高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】D 【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥ 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.2．（2020·全国高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I tK *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.识别对数函数图象时，要注意底数a 以1为分界：当a ＞1时，是增函数；当0＜a ＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y 轴为渐近线．5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．6. 比较对数值的大小（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较 7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤： (1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性1.对数的概念如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alog aN＝N ；②log a a b＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；④log a m M n＝n mlog a M (m ，n ∈R，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞) 值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 【知识拓展】1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n＝n mlog a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限.1．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数ln(1)11x y xx -=++的定义域是（） A ．[1,0)(0,1)- B ．[1,0)(0,1]-⋃ C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,0)(0,1]-⋃2．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知2log 3,37ba ＝＝，则21log 56＝（） A ．3ab a ab++B ．3a ba ab++C ．3ab a b++ D ．3b a ab++3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知4log 3a =，5log 3b =，4log 5c =，则（） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．（2021·广东茂名市·高三二模）（多选题）已知函数()()12log 1,0,(1),0,x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点，则实数a 的取值可以是（）A ．-1B ．0C ．1D ．21．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()f x x =-；若0.250.3a -=，0.25log 0.3b =，0.3log 2.5c =，则（）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数()1y f x =-的图像关于1x =对称，满足()()2f x f x -=，且()f x 在()1,0-上递减，若125a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()12b f n =-，()3 log 18c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<3．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ：W 为信道带宽，单位为Hz ：S N 为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（） A ．2B ．99C ．101D ．99994．（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,1B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）（多选题）函数()()()ln 1ln 1xxf x e e =+--，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(0,)+∞B ．()f x 在定义域内单调递増C ．不等式(1)(2)f m f m ->的解集为(1,)-+∞D ．函数()f x 的图象关于直线y x =对称6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知函数()21log 1f x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则不等式()lg 3f x >的解集为___________.8．（2021·全国高三其他模拟）已知不为1的正实数,m n 满足1133log log ,m n >则下列不等式中一定成立的是 _____.（将所有正确答案的序号都填在横线上） ①1111m n >--；②m n e e > ；③()ln 0n m ->；④31m n -<；⑤11m n>． 9．（2019·吉林高三其他模拟（理））已知等比数列{}n a 满足()212345log 5a a a a a =，等差数列{}n b 满足33b a =，则12345b b b b b ++++=___________.10．（2021·山东高三其他模拟）已知数列{}n a 满足22log 1n n a n +⎛⎫=⎪+⎝⎭．给出定义：使数列{}n a 的前k 项和为正整数的k ()*k ∈N 叫做“好数”，则在[]1,2021内的所有“好数”的和为______．11．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设()f x 定义域为R ，已知()f x 在[)1,+∞上单调递减，()1f x +是奇函数，则使得不等式()()()22log 3log 0f x f x -+>成立的x 取值范围为___________.12．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()()log 1a f x x =+，函数()y g x =的图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数()f x 的图象．（1）写出()g x 的解析式：（2）若1a >，[)0,1x ∈时，总有()()f x g x m +≥成立，求实数m 的取值范围．1．（2020·全国高考真题（文））设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<2．（2008·山东高考真题（文））已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<D ．1101a b --<<<3．（2013·辽宁高考真题（文））已知函数()()()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ⎛⎫=+-++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．24．（2019·北京高考真题（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-5．（2020·海南高考真题）（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )6．（2020·北京高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 7．（2019·上海高考真题）函数()()20f x x x =>的反函数为___________8．（2014·重庆高考真题（理））函数22()log log (2)f x x x =⋅的最小值为__________．9．（2014·广东高考真题（理））若等比数列的各项均为正数，且，则1220ln ln ln a a a +++= .10．（2017·上海高考真题）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =________1．【答案】C 【分析】根据题意列不等式组，化简得出结论. 【详解】由题意得10,10,0,x x x ->⎧⎪+>⎨⎪≠⎩解得10x -<<或01x <<.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1)-.故选：C. 2．【答案】A 【分析】运用对数运算法则和换底公式进行求解. 【详解】由37b =，可得3log 7b =，所以()()33213log 72log 56log 37⨯=⨯33333log 7log 2log 3log 7+=+131b a b +⨯=+3ab a ab+=+. 故选：A 3．【答案】A 【分析】先由对数的性质可得01a <<，01b <<，1c >，然后利用作差法判断,a b 的大小即可【详解】首先01a <<，01b <<，因为lg 3lg 4a =，lg 3lg 5b =，所以()lg 3lg 5lg 4lg 3lg 30lg 4lg 5lg 4lg 5a b --=-=>⋅，所以01b a <<<，因为4log 51c =>，所以b a c <<.故选：A. 4．【答案】BCD 【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，将原问题转化为函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点，根据图示可得实数a 的取值范围. 【详解】根据题意，作出()f x 的图像如下所示：令()0g x =，得()f x x a =+，所以要使函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点，所以只需函数()f x 的图像与直线y x a =+有两个不同的交点，根据图形可得实数a 的取值范围为(1,)-+∞，故选：BCD ．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．1．【答案】D 【分析】由奇函数性质及0x >的解析式，求得()f x x =-，在实数范围内单调递减，比较数的大小a b c >>，从而有()()()f a f b f c <<. 【详解】当0x >时，()f x x =-，由奇函数的性质知，()f x x =-，x ∈R ，函数单调递减；又0.250.31a -=>，0.25log 0.3(0,1)b =∈，0.3log 2.50c =< 则a b c >>由函数单减知，()()()f a f b f c << 故选：D 2．【答案】A 【分析】根据题意得出()f x 是以2为周期的周期函数，且在()0,1上递增函数，再根据指数函数与对数函数的性质，32log 2ln 2<<<，结合单调性，即可求解. 【详解】由函数()1y f x =-关于1x =对称，可得函数()f x 关于0x =对称，即()()f x f x -=，又由函数()f x 满足()()2f x f x -=，可得()()2f x f x -=-，即()()2f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，则1122()552()a f f ==-，()1(ln2)2b f n f ==-，333log 18log 182()()(log 2)f c f f =-==，1222<=，且331log log 2ln 22=<，因为()f x 在()1,0-上递减，可得函数()f x 在()0,1上递增函数，所以3(log 18)(ln 2)f f f <<-，即a c b <<. 故选：A. 3．【答案】C 【分析】利用香农公式求1C 的值，根据12C 的值求SN的值，从而就能求出信噪比变为原来的多少倍. 【详解】当99SN =，2000Hz W =时，()1222log 12000log 1994000log 10S C W N ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由228000log 102000log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得224log 10log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以9999SN =，所以999910199=，即信噪比变为原来的101倍. 故选：C . 4．【答案】A 【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则有2y ax =-在(,2]-∞上递增，()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增，根据增函数图象特征知，点(2,22)a -不能在点(2,0)上方，于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选：A 5．【答案】AD 【分析】分别考虑函数的定义域、单调性及对称性就可以对每一个选项作出判断. 【详解】要使函数有意义，则10(0,)10x xe x e ⎧+>⇒∈+∞⎨->⎩，故A 正确； ()()12()ln 1ln 1ln ln(1)11x xxx x e f x e e e e +=+--==+--，令211x y e =+-，易知其在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故B 不正确；由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以对于(1)(2)f m f m ->，有1020(1,)12m m m m m ->⎧⎪>⇒∈+∞⎨⎪-<⎩，故C 不正确；令)()ln(211x y f x e +=-=，解得11ln()11y xy y y e e e x e e ++=⇒=--，所以()f x 关于直线y x =对称，故D 正确. 故选：AD 6．【答案】()1,11,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性与单调性解不等式．【详解】函数定义域是{|0}x x ≠，21()log 1f x x ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭()f x =，()f x 是偶函数，0x >时，21()log 1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又(1)3f =，所以由(lg )3f x >得lg 1x <，1lg 1x -<<且lg 0x ≠，解得11010x <<且1x ≠．故答案为：()1,11,1010⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，解题时注意函数的定义域，否则易出错． 7．【答案】6 【分析】首先利用换底公式表示3log 2a =，再代入39a a +求值. 【详解】由条件得331log 4log 22a ==，所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=. 故答案为：6 8．【答案】④⑤. 【分析】根据对数函数单调性先分析出,m n 的大小关系，然后结合函数性质以及不等式的性质逐项分析. 【详解】因为1133log log m n >且,m n 不为1，由对数函数13log y x =的单调性可知0m n <<， ①当01,1m n <<>时，110,011m n <>--，所以1111m n <--，故①不一定成立； ②因为m n <，由指数函数xy e =的单调性可知m n e e <,故②不成立； ③当01m n <<<时，01n m <-<，所以()ln 0n m -<，故③不一定成立； ④因为0m n -<，所以0331m n -<=，故④一定成立； ⑤因为0m n <<，所以110m n>>，故⑤一定成立；故答案为：④⑤.9．【答案】10 【分析】由已知结合等比数列的性质可求3a ，然后结合等差数列的性质即可求解. 【详解】因为等比数列{}n a 中，()()521234523log log 5a a a a a a ==，所以32a =，因为332b a ==，则由等差数列的性质得123453510b b b b b b ++++==. 故答案为：10. 10．【答案】2026 【分析】先计算出数列{}n a 的前k 项和，然后找到使其为正整数的k ()*k ∈N ，相加即可得到答案．【详解】由题，22212222log log log 11211n n S n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭222342log log log 231n n +⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭()()22222log log 2log 2log 212n n n +==+-=+-．所以，()2log 21k S k =+-．因为k S 为正整数，所以()2log 210k +->，即220k k +>⇒>．令()2log 2m k =+，则22=-m k ．因为[]1,2021k ∈，所以[]23,2023m∈．因为2xy =为增函数，且12101122,24,,21024,22048====所以[]2,10m ∈．所以所有“好数”的和为210231022222222229202612-⨯-+-++-=-⨯=-．故答案为：2026．【点睛】本题考查了数列的新定义、对数运算法则，解题时应认真审题，找到规律，注意等比数列求前n 项和公式的灵活运用． 11．【答案】()3,4 【分析】根据()1f x +是奇函数判断函数的对称中心1,0（），()()120f x f x +>等价于122x x +<，()()()22log 3log 0f x f x -+>等价于()22log 3log 2x x -+<，即可得到关于x 的不等式，求出x 的范围. 【详解】因为()1f x +是奇函数，故()f x 图像关于()1,0 对称，由题设()()110f x f x -++=，因为()f x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()120f x f x +>等价于122x x +<，因此不等式()()()22log 3log 0f x f x -+>等价于()22log 3log 2x x -+<，即22log [(3)]log 4x x -< ，即234x x -< 且30x -> ，解得x 取值范围为()3,4. 故答案为：()3,412．【答案】（1）()1log 1a g x x=-；（2）(],0-∞．【分析】（1）设(),P x y 是函数()y g x =图象上的任意一点，则P 关于原点的对称点Q 的坐标在函数()f x 的图象上得log (1)a y x =--+，再(),P x y 是函数()y g x =图象上的点，可得答案；（2）求[)0,1x ∈时，利用换元法求出()()f x g x +的最小值可得答案．【详解】（1）由题意，设(),P x y 是函数()y g x =图象上的任意一点，则P 关于原点的对称点Q 的坐标为(),x y --，因为已知点Q 在函数()f x 的图象上，所以()y f x -=-，而()()log 1a f x x =-+，所以()log 1a y x -=-+，所以log (1)a y x =--+，而(),P x y 是函数()y g x =图象上的点，所以()1log (1)log 1a a y g x x x==--+=-．（2）当[)0,1x ∈时，()()11log (1)log log 11a aa x f x g x x x x++=++=--，下面求当[)0,1x ∈时，()()f x g x +的最小值，令11x t x +=-，则11t x t -=+，因为[)0,1x ∈，即1011t t -≤<+，解得1t ≥，所以111xx+≥-，又1a >，所以1log log 111aa xx+≥=-，所以()()0f x g x +≥，所以[)0,1x ∈时，()()f x g x +的最小值为0，因为当[)0,1x ∈时，总有()()f x g x m +≥成立，所以0m ≤，即所求m 的取值范围为(],0-∞．1．【答案】A 【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 2．【答案】A 【解析】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．由图易得1a >，101a -∴<<；取特殊点01log 0a x y b =⇒-<=<，11log log log 10aa ab a⇒-=<<=，101a b -∴<<<．选A ． 3．【答案】D 【详解】试题分析：设lg 2a =，则1lgln 22a =-=-，()())ln 31f a f a a +-=++()22ln 31ln 1992ln122a a a ⎫+=+-+=+=⎪⎭，所以()1lg 2lg 22f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以答案为D.考点：1.对数函数的运算律；2.换元法.4．【答案】A 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A.本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 5．【答案】AC 【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出 ()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项. 【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确. 对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且 ()21j m jP Y j p p +-==+（ 1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅.()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m i p p p +->+，所以 222111log log i i m ip p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题. 6．【答案】(0,)+∞ 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞ 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．【答案】0y x => 【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果. 【详解】当0x >时，20x >，即()0f x > 又x=y ⇒=∴反函数为：y x =，0x >【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域. 8．【答案】14- 【解析】试题分析：()()()2222222111log 2log 1log log log 224f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=⋅+=+=+- ⎪⎣⎦⎝⎭ 所以，当21log 2x =-，即22x =时，()f x 取得最小值14-. 所以答案应填：14-. 考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.9．【答案】50. 【详解】由得551011101122,a a e a a e ==，所以1220ln ln ln a a a +++=105012201011ln()ln()ln 50.a a a a a e ⋅⋅===【点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 10．【答案】2 【详解】由2n a n =，若对于任意{},n n N b +∈的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则2()n n a b n b a b ==，则22221429311641()(),(),,()b b b b b b b b ===== 所以2149161234()b b b b b b b b =，所以21491612341234123412341234lg()lg()2lg(2lg()lg()()lg )b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ===.。

专题11“宝刀未老”的函数应用性问题-备战2016年高考高三数学一轮热点难点一网打尽(解析版)

【备战2016年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第11讲“宝刀未老”的函数应用性问题考纲要求:1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.基础知识回顾:1．常见的函数模型及性质(1)几类函数模型①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)．④对数函数型模型：y＝mlog a x＋n(a＞0，a≠1)．⑤幂函数型模型：y＝ax n＋b.(2)三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x【注】三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y＝a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因而总存在一个x0，当x>x0时有a x > x n(2)对数函数y＝loga x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)对数函数y＝loga x(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有loga x< x n由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有 a x> x n>logax2．解决函数应用问题重点解决以下问题(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用；(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．应用举例:类型一、构建二次函数模型【例1】经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N)．前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N)，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N)，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值．类型二、构建分段函数模型【例2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当 20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．解：(1)由题意知1)当0≤x ≤20时，v (x )＝60；类型三、构建“对勾”函数f(x)＝x＋ax(a＞0)模型【例3】某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即原价为85%)．问：该场是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．类型四、构建高次函数或复杂的分式结构函数模型【例4】近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝k20x＋100(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式．(2)当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？方法、规律归纳:一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．实战演练:1．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )解析：依题设可知，蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一次函数关系，又∵函数图象必过点(0,20)、(4,0)两点，且该图象应为一条线段．∴选B.2．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：P=P0e－kt，（k，P0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（）时间过滤才可以排放．A．12小时 B．59小时 C．5小时 D．10小时3．某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n)=k(n)(n-10),n>10(其中n是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差,f(n)的单位为元),而k(n)=错误!未找到引用源。

2019高考数学考点突破——函数的应用：函数模型及其应用+Word版含解析

函数模型及其应用【考点梳理】1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝mlog a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝a x(a＞1)y＝log a x(a＞1)y＝x n(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x 3．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：【考点突破】考点一、用函数图象刻画变化过程【例1】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()A B C D[答案] D[解析]依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选 D.【类题通法】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【对点训练】一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()[答案] B[解析]由题意h＝20－5t，0≤t≤4.结合图象知应选 B.考点二、二次函数模型【例2】某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4 B．5.5 C．8.5 D．10 [答案] C[解析]由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选 C.【类题通法】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．【对点训练】某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大()A．8元/件B．10元/件C．12元/件D．14元/件[答案] B[解析]设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)。

函数高考真题及答案及解析

函数高考真题及答案及解析高考是每个学生都会经历的一场重要考试，而函数作为数学考试的重要一部分，往往也是考生们头疼的问题之一。

本文将带领大家回顾一些函数相关的高考真题，并附上详细的解析，帮助大家更好地掌握函数的知识。

问题一：已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求f(2)的值。

解析：要求f(2)的值，就是将x替换为2，带入函数进行计算。

f(2) = 2^2 + 3(2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12所以f(2)的值为12。

问题二：已知函数g(x) = |x-1|，求g(-2)的值。

解析：g(x) = |x-1|表示的是x-1的绝对值。

要求g(-2)的值，就是将x替换为-2，带入函数进行计算。

g(-2) = |-2-1| = |-3| = 3所以g(-2)的值为3。

问题三：已知函数h(x) = 2x^2 + 5x - 3，求h(3)的值。

解析：同样，要求h(3)的值，就是将x替换为3，带入函数进行计算。

h(3) = 2(3)^2 + 5(3) - 3 = 2(9) + 15 - 3 = 18 + 15 - 3 = 30所以h(3)的值为30。

通过以上三个问题的解析，我们可以看出，高考函数题往往涉及到对函数表达式的替换和计算。

这种题型相对简单，只需要将给定的值代入函数进行计算即可。

下面我们再来看一些更加复杂的函数题。

问题四：已知函数P(x)满足P(x) = 2P(x-1) + 1，且P(0) = 1，求P(3)的值。

解析：根据题目所给条件，P(x)等于2P(x-1)加1。

初始条件是P(0)等于1。

要求P(3)的值，就需要使用递推的方式来解决这个问题。

首先，计算P(1)的值：P(1) = 2P(0) + 1 = 2(1) + 1 = 3接下来，计算P(2)的值：P(2) = 2P(1) + 1 = 2(3) + 1 = 7最后，计算P(3)的值：P(3) = 2P(2) + 1 = 2(7) + 1 = 15所以P(3)的值为15。

专题2.10 函数的综合运用-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

第三十讲第三十一讲第三十二讲第三十三讲第三十四讲姓名，年级：第三十五讲时间：第三十六讲第三十七讲第三十八讲第三十九讲第四十讲函数的综合运用考向一新概念题【例1】对于实数a和b，定义运算“*”:a*b＝错误!设f(x)＝（2x－1)*(x－1）,且关于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．【答案】错误!【解析】函数f（x）＝错误!的图象如图所示．设y＝m与y＝f（x）图象交点的横坐标从小到大分别为x1，x2,x3.由y＝－x2＋x＝－错误!2＋错误!,得顶点坐标为错误!.当y＝错误!时,代入y＝2x2－x，得错误!＝2x2－x，解得x＝错误!(舍去正值)，∴x1∈错误!。

又∵y＝－x2＋x图象的对称轴为x＝错误!，∴x2＋x3＝1，又x2，x3〉0,∴0〈x2x3〈错误!2＝错误!.又∵0<－x1〈错误!,∴0〈－x1x2x3<错误!，∴错误!〈x1x2x3〈0。

【举一反三】1.设f(x）与g(x)是定义在同一区间［a，b］上的两个函数,若函数y＝f(x）－g（x）在x ∈［a，b］上有两个不同的零点,则称f（x)和g（x)在[a，b］上是“关联函数”，区间［a，b ］称为“关联区间”．若f （x ）＝x 2－3x ＋4与g (x ）＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围为（）A .]2,49(--B ．[－1,0］C ．（－∞，－2]D 。

),49(+∞- 【答案】A【解析】令F （x )＝f （x ）－g （x )＝x 2－3x ＋4－（2x ＋m ）＝x 2－5x ＋4－m ，则由题意知F （x ）＝0在[0,3]上有两个不同的实数根,因而2(0)0(3)054(4)0F F m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，即402049m m m -≥⎧⎪--≥⎨⎪>-⎩，解之得－错误!<m ≤－2,故选A考向二函数性质与零点定理综合运用【例2】已知偶函数f (x )满足f (x )=f (π−x )，当x ∈[−π2,0]时，f (x )=2x −cosx ，则函数f (x )在区间[−π,π]内的零点个数为。