尚德机构：全国2013年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题
全国2013年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题与答案解析
2
2 2 1 2 1 1 A 1 2 A1 A 2 A b b 0 b 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 2 是 Ax b 的解． ，3
2 0 0 0 0 0 0 0 3 相似，则下列说法错误的是（ 7．若 3 阶方阵 A 与对角阵
1 1 3 4 4 5 0 k1 1 k 2 0 0 0 1
1 3 1 4 5 4 0 0 0 ，
0 2 1 1 0 0 0 0
1 4 3 2 6 2 1 3 1 2 6 2
1 1 0 2 0 0 0 0
1 2 3 1 0 0 0 0 ，
向量组的秩是 2， 1 , 2 是向量组的一个极大无关组．
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2013-2015 在最痛的日子里 自考真题--本科（会计）
2013-2015 在最痛的日子里 自考真题--本科（会计）
全国 2013 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184
说明：本卷中，AT 表示矩阵 A 的转置，αT 表示向量 的转置，E 表示单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式，A-1 表示 方阵 A 的逆矩阵，R(A)表示矩阵 A 的秩.
1 1 2 2 3 3 3 4 4 4
．
1 2 3 4 0 4 6 8 0 0 6 8 0 0 0 8 1 4 6 8 192
1 2
解：
1 2 3 4
．
5 2 1 A 0 4 2 4 3 1 ， B 是三阶方阵，且满足 AB A 2 B E ，求 B ． 22．设
2013年1月自学考试02198线性代数试题和答案
线性代数---2013年1月1.设A、B为同阶方阵，则必有A、|A+B|=|A|+|B|B、AB=BAC、(AB)T=ATBTD、|AB|=|BA|正确答案：D解析：只有D选项为矩阵的性质|AB|=|BA|=|A||B|.2.设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，则必有A、ACB=EB、CBA=EC、BCA=ED、BAC=E正确答案：C解析：因为ABC=E，可以得到矩阵AB与矩阵C互为逆矩阵，所以CAB=E矩阵A与矩阵BC互为逆矩阵，所以BCA=E。
3.设A为三阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=A、-16B、-4C、4D、16正确答案：A解析：由矩阵的性质4.若同阶方阵A与B等价，则必有A、|A|=|B|B、A与B相似C、R(A)=R(B)D、正确答案：C解析：因为等价矩阵有相同的等价标准型，故秩相等。
5.设α1= (1，0，0)、α2=(2，0,0)、α3=(1，1，0)，则A、α1，、α2、α3线性无关B、α3可由α1、α2线性表示C、α1可由α2、α3线性表示D、α1、α2、α3的秩等于3正确答案：C解析：由，秩为2.可知线性相关；的秩为2；不能由线性表示；为一个极大无关组。
所以可以由线性表示，且．6.设向量空间V={ (x1，x2，x3)|x1+x2+x3=0}，则V的维数是B、1C、2D、3正确答案：C解析：向量空间V是方程x1+x2+x3=0的解空间，V的维数即为方程的基础解系的个数。
因为未知数n=3,系数矩阵的秩r=1。
所以解空间维数为n-r=2.7.若3阶方阵A与对角阵=相似，则下列说法错误的是A、|A|=0B、|A+E|=0C、A有三个线性无关特征向量D、R(A)=2正确答案：B解析：A选项：A与对角阵相似，A的特征值为2、0、3，所以B选项：A的特征值为2、0、3，则A+E的特征值分别为3、1、4，所以|A+E|=12.此选项错误。
C选项：A与对角阵相似，则A有3个线性无关的特征向量。
(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)
高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分．1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( )A．-4B．-1C．1D．42．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACBB．ABCC．BACD．CBA3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A TB．A - A TC．A A TD．A T A4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( )5．矩阵的逆矩阵是（）6．设矩阵A=，则A中( )A．所有2阶子式都不为零B．所有2阶子式都为零C．所有3阶子式都不为零D．存在一个3阶子式不为零7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关B．A的列向量组线性无关C．A的行向量组线性相关D．A的行向量组线性无关8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( )9．矩阵的非零特征值为( )A．4B．3C．2D．l10．4元二次型的秩为( )A．4B．3C．2D．l二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分)请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分．11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。
12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。
13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。
14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷4(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A，B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT.BT是矩阵．( )A．上三角B．下三角C．对角形D．即非上三角也非下三角正确答案：B解析：AT，BT均为下三角阵，因此AT.BT也是下三角阵．答案为B2．设A是n阶方阵，且｜A｜=5，则｜(5AT)-1｜= ( )A．5n+1B．5n-1C．5-n-1D．5-n正确答案：C解析：因为｜A｜=5，所以答案为C3．设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1 ( ) A．A-1+B-1B．A+B.C．A(A+B)-1.BD．(A+B)-1正确答案：C解析：由于(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B) (A+B)-1.B=B-1.B=I，所以(A-1+B-1)的解的个数为( )A．有惟一的零解B．有无穷多个解C．无解D．不确定正确答案：B解析：齐次线性方程系数矩阵A的秩为：r(A)=3＜4，故齐次线性方程组有无穷多个解．答案为B。
5．已知线性方程组则下列判断正确的是( )A．λ=2时,方程组有无穷多组解B．λ=一3时方程组无解C．λ=3时方程组有无穷多组解D．λ≠2时方程组有惟一解正确答案：B解析：对方程组的增广矩阵进行初等变换，依次将第一行、第二行和第三行加到第四行上：这时就可发现若λ=一3，则矩阵最后一行前面4个数等于0，而最后一个数等于4，用方程式表示将得到0=4，这表明方程组无解，故应该选B。
填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．行列式=__________.正确答案：4解析：7．若则D1==_______。
线性代数(经管类)综合习题集(精心整理)
．
14. 设矩阵
的秩为 2，则 t = t=3
．
15. 设向量 ＝(6 ，8，0) ， =(4 ，–3，5) ，则( , )= 0
．
16. 设 n 元齐次线性方程组 Ax = o，r ( A)= r < n，则基础解系含
有解向量的个数为 n-r
个.
17. 设 ＝(1 ，1，0) ， ＝(0 ，1，1) ， =(0 ，0，1) 是 R3 的基， 则 =(1 ，2，3) 在此基下的坐标为 (1,1,2) .
D.若 r (
)= r (
) ，则两向量组等价 .
6. 向 量 组 ( C) ．
线性 相关的充分必要条件是
A.
中至少有一个零向量
B.
中至少有两个向量对应分量成比例
C.
中至少有一个向量可由其余向量线性表示
D 组
有两个极大无关组
与
，则下列成立的是 ( C ) ． A. r 与 s 未必相等 B. r + s = m
小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11. 行列式
24 .
12. 设 A 为三阶矩阵， | A|=-2 ，将矩阵 A 按列分块为
，其中
是 A的第 j 列，
, 则| B|= 6 .
13. 已知矩阵方程 AX=B，其中 A=
，B=
，则 X=
. 14. 已知向量组 2，则 k = -2 .
的秩为
是齐次线性方程组 Ax=o 的
三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为
( D ).
A．
B
．
C．
D．
6. 向 量
线性相关, 则
( C ).
A．k =-4 B ．k = 4 C ．k =-3 D ．k = 3
《线性代数》(经科社2013版)习题解答
5. A2 − 2A − 4E = O ⇒ A2 − 2A − 3E = E ⇒ (A + E )(A − 3E ) = E , 故(A + E )−1 = (A − 3E ).
3(A − E )−1 A = 3(A−1 (A − E ))−1 = 3(E − A−1 )−1 , 其中A−1 = 9. AA∗ = |A|E ⇒ 10.
−1 1
2
1 (4)A31 + A32 + A33 + A34 = 3 1
2 3 1
−3 6 3 1 3 1 .
3 4 1 8 3.(1)第i行减去末行的ai 倍(i = 1, 2, · · · , n), 再按末列展开. (2)仿教材例1.4.4. (3)从第一行开始, 上一行的x倍加到下一行, 再按末行展开. (4)按末列展开. 4.(1)见《线性代数学习指导》P25例25. (2)见《线性代数学习指导》P26例26. 或: 第一行减去第二行, 按第一行展开, 得递推关系式; 列同样 处理. 联立解之. 注: ::::::::: 此题较难,::::::::::: 可不作要求. (3)从第一行开始, 用上一行消下一行, 化为上三角行列式. 1 5. M11 + M21 + M31 + M41 = A11 − A21 + A31 − A41 = −1 1 −1 1 A11 + A12 + A13 + A14 = 1 −1 1 1 3 1 0 1 1 −5 3 −3 . −5 1 3 −4 2 0 1 1 −5 3 .
i=1 i=1 i=1
注: :::::::::::::::::::::::::::::::::: 要牢记矩阵乘法的口诀“前行乘后列”.
全国自考 线性代数 历年考试真题与答案
全国高等教育 线性代数（经管类） 自学考试 历年（2009年07月——2013年04月）考试真题与答案全国2009年7月自考线性代数（经管类）试卷课程代码：04184试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵;R (A )表示矩阵A的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A ,B ,C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是( ) A.（A +B ）T =A T +B T B.|AB |=|A ||B | C.A (B +C )=BA +CA D.(AB )T =B T A T2.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=( ) A.-24 B.-12 C.-6D.123.若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是( ) A.A =*1A AB.0=AC.2112)()(--=A AD.113)3(--=A A4.若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-131224，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--211230，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是( ) A.ABC B.AC T B T C.CBAD.C T B T A T5.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则( ) A.α1，α3线性无关B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关6.若四阶方阵的秩为3，则( ) A.A 为可逆阵B.齐次方程组Ax =0有非零解C.齐次方程组Ax =0只有零解D.非齐次方程组Ax =b 必有解7.设A 为m×n 矩阵，则n 元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是( ) A.A 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性无关 D.A 的列向量组线性无关8.下列矩阵是正交矩阵的是( ) A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001B.21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--θθθθcos sin sin cos D.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3361022336603361229.二次型正定的充要条件是为实对称阵)(A Ax x T =f ( ) A.A 可逆B.|A |>0C.A 的特征值之和大于0D.A 的特征值全部大于010.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--4202000k k 正定，则( )A.k>0B.k ≥0C.k>1D.k ≥1二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷10(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．行列式( )A．0B．21C．42D．一42正确答案：D解析：行列式展开性质，,答案为D 2．设A、B为n阶方阵，且AB=0(零矩阵)，则( )A．A=0或B=0B．A+B=0C．｜A｜+｜B｜=0D．｜A｜=0或｜B｜=0正确答案：D解析：由于｜AB｜=｜A｜.｜B｜1=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案为D.3．α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，则( )A．α1线性相关B．α1，α2线性相关C．α1，α2，α3线性相关D．α1，α2，α4线性相关正确答案：C解析：单个非零向量是线性无关的．∴选项A不对．而(α1,α2,α3)→因为含有零向量的向量组一定线性相关，所以C是正确．答案为C4．方程组的一组基础解系由_______个向量组成．( )A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：该方程组的系数矩阵秩等于1，有3个未知数，因此基础解系由2个线性无关的向量组成．答案为B5．实二次型f(x1，…，xn)=ATx为正定的充要条件是( )A．f的秩为nB．f的正惯性指数为nC．f的正惯性指数等于f的秩D．f的负惯性指数为n正确答案：B解析：由正定的性质即得．答案为B填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．的根为______．正确答案：2解析：f(x)=3x+3+12—27+2x+2=5x-10=→x=2.7．正确答案：211解析：依据行列式计算法则：原式=一2×(一2)×(一2)×(一2)×(一2)+3×3×3×3×3一0×0×(一2)×0×3—0×3×0×0×(一2)一0×(一2)×0×0×3—0×3×0×(一2)×0一(一2)×0×0×3×0=一32+243一0=211．8．设A，B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为_______．正确答案：AB=BA解析：A、B为n阶对称矩阵，则AT=A，BT=B，因为AB也是对称矩阵．(AB)T=BTAT=BA=AB，故A、B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为AB=BA.9．用初等变换将矩阵化为标准型为______．正确答案：解析：对A进行初等变换，有10．设向量组线性无关，则a、b、c满足的关系式是_______．正确答案：A≠0，b≠0，c≠0解析：由于α1,α2,α3线性无关，因此矩阵A=(α1,α2,α3)为满秩矩阵，即所以A≠0，B≠0，c≠0．11．n阶矩阵A的秩为n—1且矩阵A的各行元素之和为0，齐次线性方程组Ax=0的通解为______．正确答案：k(1，1，…，1)Tk为任意常数解析：Ax=0的基础解系解向量的个数为1，由题设知A(1，1，…，1)T=0，故(1，1，…，1)T≠0为Ax=0的一个线性无关解，所以通解为k(1，1，…，1)T，其中k为任意常数．12．设矩阵已知向量是A的一个特征向量，则α对应的特征值λ=_______．正确答案：1解析：根据特征值与特征向量的定义，Aα=λα因此所以λ=1．13．若λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵必有特征值_______．正确答案：解析：A有特征值λ=2，则必有特征值必有特征值.14．设向量则α与β的内积(α，β)= _____。
《线性代数(经管类)》历年真题及参考答案
20XX年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试卷(课程代码 04184)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设3阶方阵A的行列式为2，则= 【】A．-1 B．-C． D．12．设，则方程的根的个数为【】A．0 B．1C．2 D．33．设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若|A|≠|B|，则必有A．|A|=0 B．|A+B|≠0C．|A|≠0 D．|A-B|≠04. 设A、B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是【】A． B．C． D．5．设A= ，其中，则矩阵A的秩为【】A．0 B．1C．2 D．36.设6的阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵的秩为【】A．0 B．2C．3 D．47.设向量a=（1，-2，3），与=（2，k，6）A．-10 B．-4C．4 D．108．已知线性方程组无解，则数a= 【】A．- B．0C． D．19．设3阶方阵A的特征多项式为，则|A|= 【】10．若3阶实对称矩阵A=( )是正定矩阵，则4的3个特征值可能为【】二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.设行列式D=,其第三行各元素的代数余子式之和为．12设A=，B=,则AB：．13设A是4x3矩阵且r（A）=2，B=，则r（AB）．14.向量组（1,2），（2,3），（3,4）的秩为15设线性无关的向量组可由向量组线性表示，则r与s的关系为16．设方程组有非零解，且数，则= ．17．设4元线性方程组Ax=b的三个解，已知，．则方程组的通解是．19．设矩阵有一个特征值=2，对应的特征向量为，则数20．设实二次型，已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．设矩阵，，其中口，均为3维列向量，且 |A|=18，|B|=2．求|A-B|．22．解矩阵方程23．设向量组，，问P为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组．24．设3元线性方程组(1)确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)25.已知2阶方阵A的特征值为，方阵．(1)求B的特征值；(2)求B的行列式．。
全国自学考试线性代数历年考试真题及答案
全国自学考试线性代数历年考试真题及答案20XX年4月全国自学考试线性代数答案第一部分选择题(共20分)一、单项选择题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．对任意n阶方阵A、B总有( )A．AB=BA B．|AB|=|BA|2．在下列矩阵中，可逆的是 ( )3．设A是3阶方阵( )A．-2D．24．设A是m×n矩阵，则齐次线方程线Ax=0仅有零解的充分必要条件是 ( ) A．A的行向量组线性无关 B．A的行向量组线性相关C．A的列向量组线性无关 D．A的列向量组线性相关5．设有m维向量组，则 ( )A．当m<n时，(I)一定线性相关 B．当m>n时，(I)一定线性相关C．当m<n时，(I)一定线性无关 D．当m>n时，(I)一定线性无关6．已知是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，是其导出组Ax=0的一个基础解系，为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成 ( )7．设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是( )A．Ax=2x8．设矩阵的秩为2，则λ= ( )A．2 8．1C．0 D．-l9．二次型的矩阵是( )10．二次型是 ( )A．正定的 B．半正定的C．负定的 D．不定的第二部分非选择题(共80分)二、填空题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错选、不填均无分。
1 1．行列式的值为___．12．设向量a=(2，1，2),则与它同方向的单位向量为__．13．设α=(2，1，-2)，β=(1，2，3)，则2α=3β=____．14．向量组a=(1，2，3，4，5)的秩为____．15．设m×n矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵的秩为____．16．若线性方程组无解，则=______．17．设2阶方阵均为2维列向量，且|A|=|B|=1，则|A+B|=_______．18．设矩阵，则A的全部特征值为___．19．设P为n阶正交矩阵，α、β为n维列向量，已知内知(α，β)=-l，则(Pa，Pβ)________20．设二次型的正惯性指数为P，负惯性指数为q，则p-q=______.三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)21．设向量22．设，矩阵X满足方程求矩阵X．23．当t取何值时，向量组线性相关?24．求下列矩阵的秩：25．设矩阵矩阵A由矩阵方程确定，试求的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．27．设3阶方阵A的三个特征值为的特征向量依次为求方阵A．28．设为正定二次型，试确定实数a的最大取值范围．四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)30．设向量β可由向量组线性表示．试证明：线性表示法唯一的充分必要条件是线性无关．参考答案一、单项选择题1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9.C 10.A二、填空题11．O13．(1,-4,-l3)14．115．ml6．017．418．1，1，-l19．-l20．O三、计算题知当且仅当t=3时该向量组线性相关．所求通解x=都是非零列向量，故题设条件说明A有特征值对应的特征向量分别为因为A为3阶方阵．故1，0．-l就是A的全部特征值，因A的特征值互不相同，于是由推论4．1知A可对角化，令矩阵由上式得28．解，的矩阵为，A的顺序主子式为四、证明题所以30．证由条件，存在常数若表示法唯一，设有一组数20XX年10月自考线性代数试题答案全国20XX 年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式。
04184线性代数(经管类)习题集及答案
西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称: 工商企业管理专业代码: Y020202第一部分习题一、选择题3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题319、关于初等矩阵下列结论成立的是（）A,都是可逆阵 B.所对应的行列式的值为1 C.相乘仍为初等矩阵D.相加仍为初等矩阵\ 2、10、设2阶矩阵A=「），则人=（）第一部分习题 一、选择题1、若〃阶方阵A 的秩为r,则结论（A. IAWOB. IAI=OC. 2、下列结论正确的是（）A.若 AB=0,则 A=0 或 B=0. C.两个同阶对角矩阵是可交换的. 3、下列结论错误的是（）A. n+1个n 维向量一定线性相关. C. n 个n 维列向量/。
D. n n4,/>/?B. D. B. ）成立。
D. r< n若 AB=AC,则 B 二C AB 二 BA n 个n+1维向量一定线性相关一,%线性相关,则同％…= 0 若同％…%| =。
则。
a x a 2 a ya\a2 %4、若 A b? b 3=m ,则2bl 2b 2 2b3=( )G 5 c 33cj 3c2 3c35、设 A, B, C 均为 n 阶方阵,AB=BA, AC=CA,则 ABC=( )6、二次型/（占,々/3）= *：+工；+4事工2-2々工的秩为（ ）A 、0 B. 1C 、2D 、37、若A 、B 为，邛介方阵，下列说法正确的是（）A 、若A,B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A, B 都是可逆的，则A8是可逆的C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的D 、若A+B 是可逆的，则A, B 都是可逆的A. 6mB. -6mC. 2333m D. -2333/n[3 4J4 一2、f-4 31 （-4 2 ] （ 4 一3、Ax B% C、I D、1-3 1 ）U -1J 13 -1J 1-2 1 J11、设片,外是非齐次线性方程组AX = A的两个解，则下列向量中仍为方程组4X = 77解的是（）A、月+旦B、4-色C,汽& D、吟也12、向量组囚,。
线性代数04184参考答案2013.1月考试
[]2013年1月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试卷答案及评分标准(课程代码 04184)一、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分）1．D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.C 9.A 10.B 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 11、- 32 12、+ 13、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1112 14.-2 15、316、X =k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111 k 为任意常数 17、λ1=λ2=3 18、60 19、2020、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0002或⎥⎦⎤⎢⎣⎡2000三、计算题（本题共6小题，每小题9分，共54分）21、解：原式=2*3*41111111111111111------[]141312r r r r r r +++242000220022201111=19222、解： AB – A 2=B – E ∴AB – B =A 2– E （A – E ）B =A 2 – E ∴B=(A –E)1-（A 2-E ）=(A –E)1-(A – E)(A+E)=A+E∴B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--234250513 23、解：令A=[]TT T T T 54321ααααα，，，，=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-765135-53121-2-31-13-4111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000001311034111 ∴向量组的秩=2且21αα，是一个极大无关组 24、解：A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--t 77212121-23231-1→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------354104541032311t →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------700454*******t 当T=7时，方程组有解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==-+=443343243145413x x x x x x x x x x通解X=K 1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0141+K 2⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1053+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0041 25、P1-AP =D∴A =PDP 1- ∴A 5=PD 5P 1-=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-55200)1(P 1- 而P1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3/13/13/43/1 ∴A 5=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1141⎪⎪⎭⎫⎝⎛-32001⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3/1-3/13/43/1 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1211444326、解：二次型矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--011101110 令E A λ-=λλλ-111111----= -(21-2））（λλ+=0 得12-32,1===λλλ，当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=000110101211121-11-22E A 2-1时，λ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==333231xx x x x x ∴1ξ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--111 P 1=1/3⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111当时，121==λλA+E=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000011-1111-1-11-1-－１１ ⎪⎩⎪⎨⎧==+-=3322321x x x x x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112ξ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2113ξ P 2=1/2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011,P 3=1/6⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211T =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----6/203/16/12/13/16/12/13/1,X =TX 化为二次型为F= -2Y 21+Y 22+Y 23 四、证明题（本题共1题，，共6）27、证明：设1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛131211a a a ，a 2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛232221a a a ，a 4=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434241a a a 为任意四个三维向量向量组A ：4321,,,a a a a 线性相关⇔R （Ａ）＜４ 而R （Ａ）＝Ｒ［ａ1，432,,a a a ］43<≤ ∴4321,,,a a a a 线性相关由4321,,,a a a a 假设的任意性，即命题成立。
线性代数(经管类)试题答案
全国2013年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A ,B 为同阶方阵，则必有（ D ） A ．||||||B A B A +=+ B ．BA AB =C ．T T T B A AB =)(D ．||||BA AB =A ．E ACB =B ．E CBA =C ．E BCA =D ．E BAC =A ．16-B ．4-C ．4D ．16A ．||||B A =B ．A 与B 相似C ．)()(B R A R =D ．∑∑===ni ii ni ii b a 115．设)0,0,1(1=α,)0,0,2(2=α,)0,1,1(3=α，则（ C ） A ．1α,2α,3α线性无关 B ．3α可由1α,2α线性表示 C ．1α可由2α,3α线性表示D ．1α,2α,3α的秩等于312（ D ） A ．+1α2αB ．-1α2αC ．+β+1α2αD ．32311+αβα-27．若3阶方阵A 与对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ300000相似，则下列说法错误．．的是（ B ） A ．0||=AB ．0||=+E AC ．A 有三个线性无关特征向量D ．2)(=A R321A ．0B ．1C ．2D ．3A ．2-B ．1-C ．0D ．110．对称矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112A 是（ ）A ．负定矩阵B ．正定矩阵C ．半正定矩阵D ．不定矩阵11．设A ,B 均为三阶可逆方阵，且2||=A ，则=--|2|21B A B ____________．4413322113．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21A ，则A 的伴随阵=*A ____________． 14．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t A 01320，且2)(=A R ，则=t____________． 321i ],,[321211αααααα+++=B ，则=||B ____________．16．三元方程组⎩⎨⎧=-=+002131x x x x 的通解是____________．17．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4112A ，则A 的特征值是____________．19．若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010B 相似，则=x ____________．20．实对称矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的正交相似标准形矩阵是____________．21．计算四阶行列式4321432143214321------． 解：1928641808600864043214321432143214321=⨯⨯⨯==------． 22．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=134240512A ，B 是三阶方阵，且满足E B A AB -=-2，求B ．解：因为074207232070230511034230511||≠-=---=---=--=-E A ，所以E A -可逆，由E B A AB -=-2，得E A B AB -=-2，))(()(E A E A B E A +-=-，=B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+234250513E A ．23．设)3,2,1,1(1=α,)1,1,1,1(2-=α,)5,3,3,1(3=α,)6,5,2,4(4-=α,)7,5,1,3(5----=α，试求向量组54321,,,,ααααα的秩和一个极大无关组．解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=2622013110262203411176513553121231134111],,,,[54321T T T T T ααααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000000002622034111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000000001311034111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000000001311021201， 向量组的秩是2，21,αα是向量组的一个极大无关组．24．设四元方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-=++-tx x x x x x x x x x x x 432143214321772222323，问t 取何值时该方程组有解？并在有解时求其通解．解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=35410454103231177212121232311],[t t b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→700004541032311t ， 7=t 时，2)(),(==A R b A R ，该方程组有解，此时],[b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→000004541032311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→000004541013101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=++-=443343243154431x x x x x x x x x x ， 该方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10530141004121k k ，21,k k 是任意常数．25．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1141P ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2001D ，矩阵A 由矩阵方程D AP P =-1确定，试求5A ． 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---==*-114131114131||11P P P ，1-=PDP A ， 15111115))()()()((------==PPD PDP PDP PDP PDP PDP A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=114120011141315⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=114132*********⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3733132129311141321128131．26．求正交变换PY X =，化二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++-=为标准形．解：二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011101110A ， 10011112)1(1101111)1(1101111111111||-+--=---=----=----=-λλλλλλλλλλλλλλA E22)1)(2()2)(1(112)1(-+=-+-=+-=λλλλλλλλ，A 的特征值为121==λλ，23-=λ．对于121==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-000000111111111111A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==+-=3322321x x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1012α， 正交化：=1β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=12/12/101121101||||),(1211222βββααβ， 单位化：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==01121||||1111ββp ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==2116112/12/162||||1222ββp ； 对于23-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：λλλ111111----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=-000110101211121112A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333231x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1113α，单位化：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==11131||||1333ααp ．令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，则P 是正交矩阵，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200010001AP P T ，经过正交变换PY X =，二次型化为标准形2322212y y y f -+=． 四、证明题（本题6分）27．证明任意4个3维向量组线性相关．证：设),,(321i i i i a a a =α是任意的3维向量，4,3,2,1=i ． 令044332211=+++ααααk k k k ，即0),,(),,(),,(),,(4342414333231323222121312111=+++a a a k a a a k a a a k a a a k ，得齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++000443333223113442332222112441331221111k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a ，方程个数小于未知量个数，齐次线性方程组有非零解，4321,,,αααα线性相关．。
2007年4月-2013年1月全国高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184试卷及答案
全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A ＊表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 2．设矩阵A ＝（1，2），B ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，C ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛654321，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）A ．ACB B ．ABC C ．BAC D ．CBA 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）A ．A ＋A T B ．A －A T C ．AA T D ．A T A 4．设2阶矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，则A ＊＝（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 5．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0133的逆矩阵是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 6．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--500043200101，则A 中（ ）A ．所有2阶子式都不为零B ．所有2阶子式都为零C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零7．设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是（ ） A ．A 的列向量组线性相关B ．A 的列向量组线性无关C ．A 的行向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关8．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，-1，3）T ，且系数矩阵A 的秩r(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（ ） A ．k 1(1,0,2)T +k 2(1,-1,3)T B ．(1,0,2)T +k (1,-1,3)T C ．(1,0,2)T +k (0,1,-1)T D ．(1,0,2)T +k (2,-1,5)T9．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111的非零特征值为（ ）A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．4元二次型413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ）A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷2(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．的根为( )A．a+a，a+aB．0，a1+a2+a3+a4C．a1.a2.a3.a4，0D．0，一a1一a2一a3一a4正确答案：D解析：提示2、3、4列加到第一列．答案为D。
2．如果A，B是同阶对称矩阵，则A.B ( )A．是对称矩阵B．是非对称矩阵C．是反对称矩阵D．不一定是对称矩阵正确答案：D解析：设A与B均为对称矩阵但A.B=不是对称矩阵．答案选D。
3．设n(n≥3)阶矩阵若矩阵A的秩为n一1，则a必为( )A．1B．C．一1D．正确答案：B解析：由r(A)=n一1，必｜A｜=0．若a=1，则r(A)=1，故必a≠1．=(1一a)n-1(1一a+na)=(1一a)n-1[1一(1一n)a]因a≠1，故仅当时，｜A｜=0且r(A)=n 一1(即｜An-1｜≠0)．答案为B4．n元线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是( )A．方程个数m＜nB．方程个数m＞nC．方程个数m=nD．秩(A)＜n正确答案：D解析：对于线性方程组Ax=0来说，若r(A)＜n→Ax=0有非零解(充分条件)；同样，若Ax=0有非零解→r(A)＜n(必要条件)．答案为D。
5．若可逆矩阵A有特征值λ=2，则(λ2)-1必有特征值( )A．4B．C．D．正确答案：B解析：由于A=2是A的特征值∴λ=4是λ2特征值，所以是(A2)-1的特征值．答案为B。
填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．行列式.正确答案：0解析：按定义计算，可得结果为0．7．设A为n阶方阵，且｜A｜=2，则正确答案：解析：8．设矩阵则AT.A_______．正确答案：解析：9．分块矩阵则AT=_____．正确答案：10．已知α1，α2线性无关而α1,α2,α3线性相关，则向量组α1，3α2，7α3的极大无关组为_______．正确答案：α1，3α2解析：由于α1与3α2线性无关，并且7α3可由α1，3α2线性表示．11．设矩阵A为4×6矩阵，如果秩A=3，则齐次线性方程组AX=0的基础解系含有解向量的个数为_______．正确答案：3解析：由于AX=0是6个未知量的齐次线性方程组．6一r(A)=6—3=3，所以基础解系中含有3个解向量．12．设λ=2是n阶方阵A的一个特征且｜A｜≠0，则n阶方阵B=A3一3E+A-1必有特征值_______．正确答案：解析：｜A｜≠0，因此A可逆，又λ=2是A的特征值，因此存在非零向量α得Aα=2α，所以Aα=2α．A2(Aα)=α2(2α)=2A(2α)=4Aα=8α，A-1α=α，所以Bα=A2α－3Eα+A-1α=80α－3α+，所以B有特征值．13．设3阶方阵A的特征值为λ1=一1，λ2=一1，λ3=一2，则｜A｜=_______.正确答案：一2解析：｜A｜=λ1.λ2.λ3=一2．14．已知三阶矩阵有一个特征向量p=则x=_______，y=_________，p所对应的特征值λ=_______．正确答案：X=-2，y=6，λ=-4解析：设矩阵A的特征向量P所对应的特征值为λ，则有(λI-A)p=0．即或解得x=一2，y=6，λ=-4．15．已知二次型f(x)=xTAx的矩阵为_______．正确答案：解析：因为二次型f(x1，x2，x3)=x12+6x1x3+10x1x3+5x22+14x2x3+9x32，故由二次型矩阵的定义知矩阵为计算题16．计算正确答案：将各行元素乘1加到第一行上，提取公因子10，再利用行列式的性质化为三角形，从而得值为160．17．设矩阵求3AB一2A.正确答案：18．设，求k的值使A的秩r(A)分别等于1，2，3．正确答案：对A进行初等行变换，得由此可见，当k=1时，r(A)=1；当k=一2时，r(A)=2；当k≠1且k≠一2时，r(A)=3．19．已知向量组是R2的一组基，求向量在这组基下的坐标．正确答案：以α1,α2,α3，α为列向量的矩阵A作初等行变换，有因此α=2α1+3α2一α3，所以α在基α1,α2,α3下的坐标为(2，3，-1)．20．已知且a2+b2=1．求(1)A的特征值；(2)将A对应的二次型化为标准形．并写出所用的变换．正确答案：=λ2一a2一b2=λ2一1=0．所以A的特征值为λ1=1，λ2=一1．标准形为f标=y12一y2221．设矩阵可以对角化，求x与y满足的条件．正确答案：由于A可以对角化，因此，A有3个线性无关的特征值向量，先求A的特征值，由于因此A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=一1，所以A可对角化，则λ1=λ2=1对应于两个线性无关的特征向量．即齐次线性方程组(E—A)X=0的基础解系含有两个解向量，因此r(E—A)=1，对E—A作初等行变换有所以当且仅当x+y=0时，r(E-A)=1，即A可对角化，则x，y满足的条件是x+y=0．在Q(x，y，z)=λ(x2+y2+z2)+2xy+2xz一2yz中，问：22．λ取什么值时，Q为正定的?正确答案：用Q正定它的矩阵的各阶顺序主子式皆为正数．因故D1=λ，D2=λ2一1，D3=(λ一2)(λ+1)2所以要Q正定，必须λ＞0，λ2＞1，λ＞2，故λ＞2为答案．23．λ取什么值时，Q为负定的?正确答案：Q负定D1＜0，D2＞0，D3＜0，即λ＜0，λ2＞1，λ＜2→λ所以Q半正定．当λ=一1时，Q=一(x—y—z)2，故Q半负定．证明题25．如果Ak=0(k为正整数)，求证：(E—A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．正确答案：(E—A)(E+A+A2+…+Ak-1)=E．。
线性代数(经管类)参考答案
参考答案一.选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1—5 C A B B D二. 填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）6. ___6_____.7. 2111⎛⎫⎪⎝⎭8. 13 9. ()10,25,16- 10. ()2,1,0T- 11. -2 12. 3 13. 60 14. 43,55⎛⎫⎪⎝⎭15. 2 三.计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16 . 解一 100100010010011001001001a a a b a b D c a b c d d ++==-++--100010001000aa ba b c d a b c a b c d+==++++++++解二 ()()111410111111101101001bD c a d++-=-⋅⋅-+-⋅---a b c d =+++ 17.解： 2AB -A =B -E2∴AB -B =A -E ()2A-E B =A -E()()12-∴B =A -E A-E()()()1-=A -E A -E A +E()=A+E315052432⎛⎫ ⎪B =- ⎪⎪-⎝⎭()12412112412118.,123012001113233012015234T T --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪A B =→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解：12412112032110152340103211001113001113---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→----→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 1003211100321101032110103211001113001113--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 3211=3211113T -⎛⎫ ⎪X -- ⎪ ⎪-⎝⎭则，331=22111113-⎛⎫⎪X - ⎪ ⎪--⎝⎭故.19.解：()12345,,,,αααααT T T T TA =1114311143113210113121355000003156700000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪----- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴向量组的秩=2且1α，2α是一个极大无关组(回答1α,3α；1α,4α；1α,5α也可).20.解：对增广矩阵作初等行变换()101211012110121213140113201132=123450226400000112130113200000b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪A A =→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 同解方程组为1342342132x x x x x x =---⎧⎨=-+-⎩，34x x ，是自由未知量，特解()*=1200ηT --，，， 导出组同解方程组为13423423x x x x x x =--⎧⎨=-+⎩，34x x ，是自由未知量，基础解系()1=1110ξT--，，，，()2=2301ξT-，，，，通解为*1122=k k ηηξξ++，12k k R ∈，21.解：特征方程()()2200=0212221001a a aλλλλλλλλ-E -A --=---+-=-- 将特征值=1λ代入特征方程有()()=1212210a a E-A ---+-=，则2a =. 故()()()=213=0λλλλE-A ---，特征值为123=2=1=3λλλ，，.1=2λ对应的齐次线性方程组为123000000100100x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为23=0=0x x ⎧⎨⎩，1x 是自由未知量，特征向量1100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1ξ单位化为1100p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2=1λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨-⎩，3x 是自由未知量，特征向量2011ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2ξ单位化为2011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，3=3λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨⎩，3x 是自由未知量，特征向量3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3ξ单位化为3011p ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 正交矩阵()123100,,00Q p p p ⎛⎫⎪⎪==⎝，213⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，使得1Q Q -A =Λ.011101110-⎛⎫ ⎪A =- ⎪ ⎪⎝⎭22.解：二次型矩阵()()211=11=21=011λλλλλλ--A -E ---+--令，123=2==1λλλ-得，.1211101=22=121011112000λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-A +E -→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，132333x x x x x x =-⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩ 1111ξ-⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1111-⎛⎫⎪P =-⎪⎪⎭ 23111111==1=111000111000λλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪A +E --→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当时,1232233x x x x x x x =-+⎧⎪∴=⎨⎪=⎩ 2110ξ-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 3112ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则2110-⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭，3112⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭因此=0⎛ ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，X=TY . 化二次型为2221232f y y y =-++.四.证明题（本大题7分）23.证明：基础解系中向量个数为3.设()()()1123212331232220k k k ααααααααα++++++++=即()()()1231123212332220k k k k k k k k k ααα++++++++=123,,ααα是基础解系，故线性无关，因此123123123202020k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，系数行列式21112140112A ==≠，则齐次线性方程组只有零解， 故1230k k k ===.因此1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++线性无关. 又()()()1231231231231231232=2=02=2=02=2=0ααααααααααααααααααA ++A +A +A A ++A +A +A A ++A +A +A 则1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++也是该方程组的基础解系.说明：1.试卷题目均要求为自学考试真题；2.命题参照自学考试试卷的题型、题量；3.根据课程性质不同，可以更换或调整题型；4.试卷格式统一为：宋体 五号 单倍行距；选择题选项尽量排在一行；其他题型留出适当的答题区域。
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尚德机构：全国2013年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，T α表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表
示方阵A 的逆矩阵，R (A )表示矩阵A 的秩.
选择题部分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1．设A 、B 为同阶方阵，则必有
A ．|A +
B |=|A |+|B |
B ．AB =BA
C ．(AB )T =A T B T
D ．|AB |=|BA |
2．设n 阶方阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则必有
A ．AC
B =E
B ．CBA =E
C ．BCA =E
D ．BAC =
E 3．设A 为三阶方阵，且|A |=2，则|-2A |=
A ．-16
B ．-4
C ．4
D ．16
4．若同阶方阵A 与B 等价，则必有
A ．|A |=|
B |
B ．A 与B 相似
C ．R (A )=R (B )
D ．11n n ii ii i i a b ===∑∑
5．设1(1,0,0)=α、2(2,0,0)=α、3(1,1,0)=α，则
A ．1α、2α、3α线性无关
B ．3α可由1α、2α线性表示
C ．1α可由2α、3α线性表示
D ．1α、2α、3α的秩等于3
6．设1α、2α是非齐次方程组Ax =b 的解，β是对应齐次方程组的解，则Ax =b 一定有一个解是
A ．1α+2α
B ．1α-2α
C ．β+1α+2α
D ．121233
+-ααβ 7．若3阶方阵A 与对角阵200000003⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Λ相似，则下列说法错误．．的是 A ．|A |=0
B ．|A +E |=0
C ．A 有三个线性无关特征向量
D ．R (A )=2
8．齐次方程x 1+x 2-x 3=0的基础解系所含向量个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 9．若(1,1,)t =α与(1,1,1)=β正交，则t =
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．1
10．对称矩阵2112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 是 A ．负定矩阵
B ．正定矩阵
C ．半正定矩阵
D ．不定矩阵
非选择题部分
注意事项：
用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．设A 、B 均为三阶可逆方阵，且|A |=2，则|-2B -1A 2B |=________.
12．四阶行列式中项21321344αααα的符号为________.
13．设1112-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
A ，则A 的伴随阵A *=________. 14．设12102310t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A ，且R (A )=2，则t =________. 15．设三阶方阵A =123[,,]ααα，其中i α为A 的列向量，且|A |=3，若
B =112123[,,]+++αααααα，则|B |=________.
16．三元方程组1312
00x x x x +=⎧⎨-=⎩的通解是________.
17．设2114⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
A ，则A 的特征值是________. 18．若三阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则|A +2E |=________.
19．若A =20000101x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦与B =200010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
相似，则x =________. 20．实对称矩阵A =1111-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
的正交相似标准形矩阵是________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算四阶行列式123
41234123
41234
------. 22．设A =215042431⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，B 是三阶方阵，且满足AB -A 2=B -E ，求B . 23．设12345(1,1,2,3),(1,1,1,1),(1,3,3,5),(4,2,5,6),(3,1,5,7),==-==-=----ααααα试求向量组12345,,,,ααααα的秩和
一个极大无关组.
24．设四元方程组123412341
234323222277x x x x x x x x x x x x t -++=⎧⎪-+-=⎨⎪-++=⎩，问t 取何值时该方程组有解？并在有解时求其通解.
25．设矩阵P =1411--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D =1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，矩阵A 由矩阵方程P -1AP =D 确定，试求A 5. 26．求正交变换X =PY ，化二次型f (x 1,x 2,x 3)=-2x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3为标准形.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．证明任意4个3维向量组线性相关.。