人类寿命生存函数曲线图示例21
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Pr(x X z) s(x) s(z)
人类寿命生存函数曲线图示
生存函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 1
21
41
61
81
101
年龄
例2.1
假设某人群的生存函数为
S(x) 1 x , 0 x 100 100
求： S(x) 1 x 100 一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率； 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率； 一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率； 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。
死亡效力
定义：(x) 的瞬时死亡率，简记x
x
S ( x) S ( x)
f (x) S ( x)
ln[S(x)]
死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0
xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器 官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期 为加速失效期。
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f (x) S(x) x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
G(t)
1
t
px
S(x) S(x S(x)
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能
继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
剩余寿命与寿命变量图示
剩余寿命
剩余寿命的生存函数t px
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t) S(x t) S(x)
特别
x p0 S (x)
剩余寿命的期望与方差
期望剩余寿命：(x) 剩余寿命的期望值(均值),简记
o
ex
o
ex E(T (x)) td (1 方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
0 1
21
41
61
年龄
人类死亡效力的规律
人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆状结
构， 被称为“浴盆曲线”。
人类的“浴盆曲线”意味着：
刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性 的不足都会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效 力逐渐下降。
青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各 部位都属于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。
解2.1
(1) Pr(X 50) F(50) 1 S(50) 100 50 1 100 2
(2) Pr(X 80) S(80) 100 80 1 100 5
(3) Pr(60 X 70) Pr( X 60) Pr( X 70) S(60) S(70) 1 10
（4）Pr(X 60 X 30) Pr(30 X 60) S(30) S(60) 3
Pr(X 30)
S (30)
7
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能
继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x) S(x) S(x t) S(x)
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
例2.2
, 0 x 100
第二章
生命表 理论
生命表函数 参数寿命分布 生命表的构造
有关分数年龄的假设
本章中英文单词对照
死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表
Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate
生存函数与剩余寿命生存函 数的对比图示
剩余寿命基本函数
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1qx
t u qx：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去
世的概率
t u qx q tu x t qx t px tu px
整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望值(均
值),简记 ex
x1
x1
ex E(K (x))
k k px qxk
p k 1 x
k 0
k 0
整值剩余寿命的方差
x1
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k1 px ex2 k 0
0
整值剩余寿命
剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示
整值剩余寿命
定义：(x)未来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
tables
第二章
生命表 理论
生命表函数 参数寿命分布 生命表的构造
有关分数年龄的假设
生存函数
定义 S(x) Pr(X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。 与分布函数的关系：S(x) 1 F(x) 与密度函数的关系： f (x) S(x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
人类寿命生存函数曲线图示
生存函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 1
21
41
61
81
101
年龄
例2.1
假设某人群的生存函数为
S(x) 1 x , 0 x 100 100
求： S(x) 1 x 100 一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率； 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率； 一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率； 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。
死亡效力
定义：(x) 的瞬时死亡率，简记x
x
S ( x) S ( x)
f (x) S ( x)
ln[S(x)]
死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0
xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器 官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期 为加速失效期。
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f (x) S(x) x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
G(t)
1
t
px
S(x) S(x S(x)
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能
继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
剩余寿命与寿命变量图示
剩余寿命
剩余寿命的生存函数t px
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t) S(x t) S(x)
特别
x p0 S (x)
剩余寿命的期望与方差
期望剩余寿命：(x) 剩余寿命的期望值(均值),简记
o
ex
o
ex E(T (x)) td (1 方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
0 1
21
41
61
年龄
人类死亡效力的规律
人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆状结
构， 被称为“浴盆曲线”。
人类的“浴盆曲线”意味着：
刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性 的不足都会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效 力逐渐下降。
青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各 部位都属于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。
解2.1
(1) Pr(X 50) F(50) 1 S(50) 100 50 1 100 2
(2) Pr(X 80) S(80) 100 80 1 100 5
(3) Pr(60 X 70) Pr( X 60) Pr( X 70) S(60) S(70) 1 10
（4）Pr(X 60 X 30) Pr(30 X 60) S(30) S(60) 3
Pr(X 30)
S (30)
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剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能
继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x) S(x) S(x t) S(x)
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
例2.2
, 0 x 100
第二章
生命表 理论
生命表函数 参数寿命分布 生命表的构造
有关分数年龄的假设
本章中英文单词对照
死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表
Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate
生存函数与剩余寿命生存函 数的对比图示
剩余寿命基本函数
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1qx
t u qx：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去
世的概率
t u qx q tu x t qx t px tu px
整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望值(均
值),简记 ex
x1
x1
ex E(K (x))
k k px qxk
p k 1 x
k 0
k 0
整值剩余寿命的方差
x1
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k1 px ex2 k 0
0
整值剩余寿命
剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示
整值剩余寿命
定义：(x)未来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
tables
第二章
生命表 理论
生命表函数 参数寿命分布 生命表的构造
有关分数年龄的假设
生存函数
定义 S(x) Pr(X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。 与分布函数的关系：S(x) 1 F(x) 与密度函数的关系： f (x) S(x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：