人类寿命生存函数曲线图示例21
中国人评价寿命曲线
中国人评价寿命曲线-概述说明以及解释
1.引言
1.1 概述
中国人寿命曲线是指描述中国人群在不同年龄段上的存活概率的曲线图。随着社会经济的发展和医疗保障水平的提高，中国人的寿命水平逐渐提高，寿命曲线也呈现出不同的特点和趋势。本文将从中国人寿命曲线的特点、社会因素对寿命曲线的影响、健康生活方式与寿命曲线以及寿命曲线对个人和社会的意义等方面展开探讨。通过对中国人寿命曲线的综合评价，旨在为未来的研究方向提供参考，并提出相关的政策建议，以促进中国人群的健康和寿命水平的提高。
1.2 文章结构
文章结构部分的内容：
本文分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分概述了文章要探讨的主题——中国人寿命曲线，并介绍了文章的结构和目的。在引言的概述部分，我们将简要介绍中国人寿命曲线的特点和影响因素，引发读者对这一主题的兴趣；文章的结构部分则说明了本文将从中国人寿命曲线的特点、社会因素对寿命曲线的影响、健康生活方式与寿命曲线以及寿命曲线对个人和社会的意义等方面展开讨论；目的
部分则明确了本文的研究目的，即对中国人寿命曲线进行评价并探讨其对个人和社会的意义。最后，在引言的总结部分简要概括了本文的主要内容和结构。
正文部分将详细分析中国人寿命曲线的特点，探讨社会因素对寿命曲线的影响，分析健康生活方式对寿命曲线的影响，以及讨论寿命曲线对个人和社会的意义。每一部分将通过具体的数据和案例来支撑观点，以确保文章的可信度和权威性。
结论部分将总结中国人寿命曲线的评价，展望未来研究方向，提出相关政策建议，并对全文进行总结。通过对中国人寿命曲线进行全面的评价和分析，本文旨在为读者提供对寿命曲线的深入理解和思考，并为未来的研究和政策制定提供参考依据。
存活曲线
结果：
存活曲线和死亡曲线的类型。
曲线分析
反映种群个体在各种年龄段的存活数量动态变化的曲线，称为存活曲线。它能反映生物个体发育阶段对种群数量的调节状况。
存活曲线可分为三种，反映内容如下：
a型：存活曲线呈凸型。它们表示种群的大多数个体均能实现其平均的生理寿命（种群生理寿命是指种群处于最适生活环境下的平均年龄，而不是某个特殊个体可能具有的最长寿命），在到达平均寿命时，几乎同时死亡。也就是说，在接近生理寿命前只有少数个体死亡。人类和许多高等动物（大型兽类）以及许多一年生的植物常属此类。
b型：存活曲线呈对角线。它们表示各年龄段具有相同的死亡率。多年生—次结实植物和水螅、许多鸟类以及小型哺乳动物的存活曲线接近此类。
c型：存活曲线呈凹型。它们表示幼小个体的死亡率极高，一旦过了危险期死亡率就变得很低而且稳定。许多海产鱼类、海产无脊椎动物、许多低等脊椎动物和寄生虫以及多次结实的多年生植物属此类。
存活曲线以环境条件和对有限资源的竞争为转移。例如，人类的存活曲线因营养、卫生医药条件而有很大的变化。如果环境变得合适，死亡率能够变得很低，种群就会突然爆发。不少农业害虫的爆发就是这种情况。研究存活曲线可以判断各种动物种群最容易受伤害的年龄而人为地有效地控制这一种群的数量，以达到造福人类的目的，如可以选择最有利时间打猎或进行害虫防治。
存活曲线（survivorship curve）：是以生物的相对年龄（绝对年龄除以平均寿命）为横坐标，再以各年龄的存活率为纵坐标，所画出的曲线。绘制曲线时，横坐标以相对年龄作为量度有利于比较不同寿命的动物；另一方面，纵坐标多用对数作为标尺，因为对数能够更好的反映“率”的改变，例如，lg1000- lg 100= lg 100- lg 10，即3-2=2-1，可见，尽管这些绝对数值相差很大，但相差的比率则是相同的。存活曲线可直观地表达了种群的存活过程，也可用来表示种群数量的减少过程即动物生活史内各时期的死亡率。存活曲线可归纳为三个类型：
等寿命曲线
等寿命曲线
1. 引言
等寿命曲线（life expectancy curve）是一种用于描述人群寿命分布情况的统计工具。通过绘制人群中不同年龄组的存活概率与年龄之间的关系，等寿命曲线可以揭示出人们的寿命分布特征。本文将探讨等寿命曲线的定义、作用、应用领域，并对常见的等寿命曲线形态进行介绍。
2. 等寿命曲线的定义
等寿命曲线是描述人群寿命分布情况的一种曲线图。它以人群中不同年龄组的存活概率作为纵轴，年龄作为横轴，通过连续的数据点将人群生命的长短与年龄关联起来。
3. 等寿命曲线的作用
等寿命曲线可以反映出一个人群的整体寿命水平以及寿命分布的特征。通过分析等寿命曲线，我们可以了解人们的生命期望、寿命差异、寿命分布的偏态程度等重要信息。在公共卫生、医疗保健、社会政策等领域中，等寿命曲线被广泛应用。
4. 等寿命曲线的应用
4.1 公共卫生
等寿命曲线可以用于评估一个地区或一个国家的公共卫生水平。通过对等寿命曲线的分析，可以评估不同年龄组人群的寿命预期，并发现潜在的健康问题。例如，如果等寿命曲线的下降段较长，说明该地区可能存在较高的儿童死亡率；如果等寿命曲线的上升段较长，说明该地区可能存在较高的老年人存活率。这些信息对于公共卫生政策的制定和疾病预防控制具有重要指导意义。
4.2 医疗保健
等寿命曲线可以用于评估医疗保健服务在不同人群中的效果。通过比较不同人群的等寿命曲线，可以了解不同人群在接受医疗保健服务后的寿命改善情况。例如，通
过比较接受某种特定治疗的病人群与未接受治疗的病人群的等寿命曲线，可以评估该治疗方法的疗效。
人类的极限寿命是多少岁？科学家：理论上讲可以活到1000岁
人类的极限寿命是多少岁？科学家：理论上讲可以活到1000
岁
随着时代节奏的变快，环境也遭到了一定的影响，现如今各种罕见的疾病都在影响着人类，特别是2020年突如其来的新冠疫情，更是肆虐了全世界，让人们更加体会到有一个健康免疫系统的重要性。因此，追求长寿是每个人的梦想，我们也看到很多养生方面的知识经常出现在我们的朋友圈或者短视频里。
不过，很多人会想，人类的极限寿命是多少岁呢？带着这个问题，我们来看看现在人们的寿命问题，受到疾病的侵扰，现在很多的青壮年在四五十岁就受到病魔的折磨最终离开了人世，不得不说这是一件件很悲痛的事情。当然，每个人的寿命却并不是一样的，有长有短，如果不是因为病魔的折磨，人类到底可以活到多少岁呢？
我们在公共媒体上也经常能看到，我们心中的女神赵雅芝的一些照片，很多人会说我奶奶和她同岁，但是却比她感觉要老不少，这就是关于保养的问题。在《西游记》里有这样一段，土地公跟孙悟空讲：“鼻子嗅一嗅，能活三百六；吃上一个鲜，能活四万七千年！”这是神话，现实中谈何容易，人类能活到100岁的都只占到了很小的一部分。据相关统计，世界上寿命最长的人高达146岁，是一位名叫Saparman Sodimejo的人；而且世界上平均寿命最长的国家是日本，人均寿命83.7岁。
根据哺乳动物生命周期一般为生长周期的5~7倍，用这种方式基
本上可以测算出人类的极限寿命，大部分人的生长周期都在18~20年，所以人类的极限寿命大概会在90~140岁，这个数据有上限也有下限，不过最终的结果却是趋向于140岁！也就是说如果不是意外原因，人类是可以活到140岁的！
寿险精算学-ch2
本章结构
2. 未来寿命 3. 整值未来寿命 4. 生命表 5. 分数年龄的假设 6. 寿命分布的参数模型
寿命
• 寿命（lifetime）是指一个人从出生到死亡的时间长度 • 有的人寿命长，有的人寿命短，它不是一个常数，所以寿
命是一个随机变量。寿险精算学中，用T0表示寿命变量。
• 80 岁之后可以看到密度函数在递减, 这不是因为高龄老人 的死亡风险变小了,而是因为高龄老人的数量已经很少, 每 年死亡的高龄老人绝对数量越来越少。
假设某人群的生存函数为
求：
S(x) 1 x , 0 x 100 100
（1）一个新生婴儿活不到50岁的概率；
（2）一个新生婴儿寿命超过80岁的概率；
S0 (64) S0 (19)
100 64 2 100 19 3
（2）1513
p36
S0 (51) S0 (64) S0 (36)
100 51 100 64 1
100 36
8
未来寿命的密度函数
• 未来寿命的密度函数：对未来寿命的分布函数求导函数, 就得到未来寿命的密度函数
fx (t)
• 寿命的分布函数记作 F0(t)：新生婴儿活不过 t 岁的概率
F0 (t) Pr(T0 t) , t 0
• 分布函数三定理
定理1： F0 (0) 0
保险精算学笔记：生命表函数与生命表构造
《保险精算学》笔记：生命表函数与生命表构造
第一节生命表函数
一、生存函数
1、定义：
2、概率意义：新生儿能活到的概率
3、与分布函数的关系：
4、与密度函数的关系：
二、剩余寿命
1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数
5、：，
它的概率意义为：将在未来的年去世的概率，简记
3、剩余寿命的生存函数：，
它的概率意义为：能活过岁的概率，简记
特别：
（1）
（2）
（3）
（4）：将在岁与岁之间去世的概率
4、整值剩余寿命
（1）定义：未来存活的完整年数，简记
（2）概率函数：
5、剩余寿命的期望与方差
（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）剩余寿命的方差：
6、整值剩余寿命的期望与方差
（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）整值剩余寿命的方差：
2
三、死亡效力
1、定义：的人瞬时死亡率，记作
2、死亡效力与生存函数的关系
3、死亡效力与密度函数的关系
4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数
记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则
第二节生命表的构造
一、有关寿命分布的参数模型
1、de Moivre模型（1729）
2、Gompertz模型（1825）
3、Makeham模型（1860）
4、Weibull模型（1939）
二、生命表的起源
1、参数模型的缺点
（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差
（3）寿险常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
保险精算模型寿险精算---熊福生
源自文库
o2
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
0
寿命与生存分布
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望值(均
值),简记 ex
ex E(K (x)) k k px qxk p k1 x
第一章
生存分布 理论基础
寿命与生存分布 生命表
死亡力 非整数年龄的生存分布假设
寿命与生存分布
定义 F(x) Pr(X x)
意义：新生儿在 x 岁之前死亡的概率。
与密度函数的关系：f (x) dF (x)
dx
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率： Pr(x X z) F(z) F(x)
k 0
k 0
整值剩余寿命的方差
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k1 px ex2 k 0
第一章
生存分布 理论基础
寿命与生存分布 生命表
死亡力 非整数年龄的生存分布假设
生命表
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
使用参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的
生命表
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。（用频数估计频率）
人类寿命表
类型
•定群寿命表
队列寿命表，对特定人群中的每一个人，从进入 该特定人群开始，直到最后一个人死亡，记录的 实际死亡过程
类型
•对比
现时寿命表 定群寿命表
反映当年各年龄组死亡率的实际 反映同时出生的一代人的实际生 情况 命过程
假想人群 横断面资料，观察当年情况 反映某地居民当年的健康水平、 生活质量等 实际人群 随访资料，时间长、人数多 用于生存资料分析，分析某些 “生存”现象规律
L5 5 l5 l10 / 2 5 (98484+98117)/2=491501
• 婴儿组的生存人年数根据0岁组死亡者的平均存活年数计算:
L0 l1 a 0 d 0
• a 0 系经验性常数，可查表得
• 85岁以上者：
L85
l85 m85
现时寿命表
简略寿命表的编制
现时寿命表
分类
完全寿命表：一岁一组，观察人数要足够多，否则 年龄别死亡率不稳定 简略寿命表：五岁一组，0岁组单列，较稳定 去死因寿命表
现时寿命表
表 12.5 2000 某市男性简略寿命表
实际 年龄组 人口数 死亡 数 死亡率 死亡 概率 尚存 人数 死亡 人数 生存 人年数 生存总 人年数 期望 寿命
qx
(5) 0.010168 0.005046 0.003728 0.003475 0.004045 0.005002 0.005382 0.005799 0.007673 0.012001 0.019463 0.032550 0.059553 0.103802 0.187749 0.267586 0.436628 0.711400 1.000000
人类寿命生存函数曲线图示例21
剩余寿命的期望与方差
期望剩余寿命：( x) 剩余寿命的期望值(均值),简记 e x
ex E (T ( x)) td (1 t px ) t px dt
0 0 o
o
剩余寿命的方差
Var (T ( x)) E (T ( x)2 ) E (T ( x))2 2 t t px dt ex
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能
继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 分布函数 t qx ：
t
qx Pr (T ( X ) t ) Pr ( x X x t X x) S ( x) S ( x t ) S ( x)
剩余寿命
0 o 2
整值剩余寿命
剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示
整值剩余寿命
( x )未来存活的完整年数，简记 K ( x) 定义：
K ( X ) k, k T ( x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
x 1
k 0
k 1
px
整值剩余寿命的方差
Var ( K ( x)) E ( K 2 ) E ( K ) 2
x 1
k 0
02-寿命
第一节 生物的寿命
各种生物的寿命差异很大，常用日龄、 月龄或年龄来表示不同种的个体或群体的 生存时间，例如：果蝇以日龄表示，小鼠 以月龄表示，人类以年龄表示。
一、植物的寿命
不同种类植物的寿命相差悬殊。单细 胞菌藻类寿命最短的个体仅活数十分钟或 更短。一些草本植物的寿命仅1~2年。在 多年生植物中有不少高寿者，例如巨杉可 活3000年，刚毛球松可活4600年。
有资料表明，发达国家的平均寿命一般为72~74岁，其健 康期望寿命为60~67岁。我国关于健康期望寿命的研究起步 较晚，有关研究资料较少。
以存活数为纵坐标，以年龄为横坐标而画成的曲线， 可反映种群的死亡过程。有三种基本类型（如图）：A型， 凸型存活曲线，表示种群在接近生理寿命前只有很少个体 死亡，即绝大多数个体能达到生理寿命。近代人的存活曲 线属此类型。B型，对角线型存活曲线，表示种群在各年 龄期的死亡率相等，如许多鸟类的存活曲线接近B型。C型， 凹型存活曲线，表示幼体死亡率很高，以后的死亡率低而 稳定。如牡蛎的存活曲线就接近此型，在自由游泳的幼体 期，其死亡率很高，找到固着基底后，死亡率便低。
表2-2 哺乳动物的寿命 动物名称 • • • • • • • • • 斑马 牛 猪 长颈鹿 南美貘 针鼹 熊 黑猩猩 猩猩 寿命（年） 25~30 20~30 30~40 30 30 30~50 47 51 50 动物名称 豹雪豹 麝牛 大熊猫 梅花鹿 天山赤鹿 猫 犬 野兔 大猩猩 寿命（年） 31 18~20 20 30 20 10~15 9~11 7~8 40
寿险精算公式集合
s( x ) s x ( t px 1 s ( x)
g (t )
fT (t )
s ( x t ) x t d d s ( x) s ( x t ) G (t ) dt dt s( x) s( x)
t
px x t
关寿命分布的参数模型
s ( x) s ( x t ) s ( x)
t
基本函数 未来寿命的生存函数
px Pr(T ( x) t ) Fra Baidu bibliotek Pr( X x t X t ) s( x t ) s ( x)
t
px
特别： x p0 s ( x) ：x 岁的人至少能活到 x+1 岁的概率 q x ：x 岁的人将在 1 年内去世的概率 q ：X 岁的人将在 x+t 岁至 x+t+u 岁之间去世的概率 tu x
tu
px
qx t u qx t qx t px t u px
整值未来寿命 ( x) 未来存活的完整年数，简记 K ( X ) k , 定义：
k T ( x) k 1, k 0,1,
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
例 2.1： 已知
l x 10000(1
x d 30 , 20 p30 , 30 q30 ,10 ) 100 。 计算下面各值： （1）
第4章 人口统计学和生命表
4.1.3 人口转变理论与人口金字塔
ACTUARY
当今世界城市化和工业化趋势在中国和印度尤为明显。这两国家成为世界上人口最为 稠密的国家，这两国的变化发展对全球经济的发展都起到了主导作用。
2．人口金字塔 人口金字塔是用以展示一个国家人口的性别和年龄分布状况的类似金字戴的图形，由 许多条形块结合组成。比如下图印度1989年人口金字塔所示，男性人口数量如图右边所 示，女性人口数量如图左边所示。金字塔中年龄组的组间距为5年，0—4岁为第一组，往 后类推。 人口金字塔可以直接根据各年龄组男女人数来确定坐标刻度进行绘制；也可以先计算 出各年龄组男女人数各自所占总人口百分比来确定坐标刻度进行绘制。人口年龄金字塔 具有反映人口年龄结构状况的作用。
现象讲，有人口增长率和趋势分析，人口分析和人口构成（自然构成、经济构成、社会构成）分析，
人口再生产过程（生育、死亡、迁移）分析，人口预测和目标分析,人口与经济、社会分析等等,包罗
人口现象的各个方面。
4.1.1 人口统计概述
ACTUARY
尤以人口增长战略分析、人口老化分析、生育率分析、死亡率和寿命分析、人口迁移流动与城镇 化分析、家庭与婚姻分析、人口劳动就业分析、人口职业和文化分析、人口统计资料评估等,较为 突出。此外，人口数学模型、人口微观模拟和间接估算法等也是发展较快的一些分支。
· 同一地区 · 同一行业 · 同一工种 · 同一嗜好
素材：种群的存活曲线(生命表)的绘制— 高二上学期生物人教版选择性必修2
种群的存活曲线（生命表）的绘制
存活曲线是由美国生物学家雷蒙•普尔在1928年提出，
为生态学依照物种的个体从幼体到老年所能存活的比率,
所做出的统计曲线。
以存活数量的对数值为纵坐标，以年龄为横坐标作图，从而把每一个种群的死亡一存活情况绘成一条曲线，这条曲线即是存活曲线。
种群的存活曲线来源其实是生命表，生命表又称“死亡表”、“死亡率表”，根据分年龄死亡率编制。
种群的存活曲线
1.存活曲线分析
反映种群个体在各种年龄段的存活数量动态变化的曲线，称为存活曲线。它能反映生物个体发育阶段对种群数量的调节状况。
存活曲线的类型
age in relative units
存活曲线可分为三种，反映内容如下：
a型：存活曲线呈凸型。它们表示种群的大多数个体均能实现其平均的生理寿命（种群生理寿命是指种群处于最适生活环境下的平均年龄，而不是某个特殊个体可能具有的最长寿命），在到达平均寿命时，几乎同时死亡。
也就是说，在接近生理寿命前只有少数个体死亡。
人类和许多高等动物（大型兽类）以及许多一年生的植
物常属此类。
b型：存活曲线呈对角线。它们表示各年龄段具有相同的死亡率。例如，水蝗、许多鸟类以及小型哺乳动物的存活曲线接近此类。
c型：存活曲线呈凹型。它们表示幼小个体的死亡率极高，一旦过了危险期死亡率就变得很低而且稳定。许多海产鱼类、海产无脊椎动物、许多低等脊椎动物和寄生虫以及多次结实的多年生植物属此类。
2.存活曲线的意义
存活曲线以环境条件和对有限资源的竞争为转移。例如，人类的存活曲线因营养、卫生医药条件而有很大的变化。如果环境变得合适，死亡率能够变得很低，种群就会突然爆发。不少农业害虫的爆发就是这种情况。
寿险精算第一讲：生命分布理论
生存分布理论（寿险精算课程I ）
学习重点：掌握生存函数及其相互关系、了解三种常用非整数年存活函数估计方法和几个死亡时间的解析分布、掌握生命表基本函数及其相互关系
“如果算命先生能算出人的寿命，那么还要精算师干什么？”
“既然‘天有不测风云、人有旦夕祸福’，那么精算师能算出人的寿命吗？” “算一个人的寿命‘不可能’，算一群人的寿命‘可能’”
人寿保险是以人的生命为保险标的，以被保险人在指定时期的生存或死亡作为保险金给付条件。因此，被保险人的寿命分布状况，也就是被保险人能存活多久，他在各年龄段上的死亡率有多大的是保险人所关心的问题。
寿险公司的承保对象是数以万计的保险人，如此众多的人的生存（死亡）率，必定存在着某种统计规律，这就是所谓“大数法则”。寿险精算就是要利用这种大数法则，从概率论和数理统计的角度来研究和揭示这些统计规律性，用以解决寿险精算中的实际问题。
一、寿命的分布函数、生存函数和密度函数 1、寿命的分布函数
一个人的寿命是从出生到死亡的时间长度，它是无法事先确定的，这在概率论中称为随机变量，记为)0(>X X 。人的寿命总是有限的，假设人的寿命极限为ω，则ω<
)(x F 在统计中称为累积分布函数，它的概率意义是随机变量X 小于等于一个给定值x 的概
率。在此，X 表示一个0岁的人将来的寿命，)(x F 可以理解为0岁的人在x 之前死亡的概率。显然有：0)0(=F ，1)(=ωF 。
2、寿命的生存函数
寿命随机变量X 的生存函数为：)()(x X P x S r >=，0≥x
在此，X 表示一个0岁的人将来的寿命，)(x S 可以理解为0岁的人能活过x 岁的概率。或者
第2章 生命表基础
t +u
px
条件生存函数
进一步地，有：
t |u
qx = Pr(t < T ( x ) ≤ t + u ) = Pr(T ( x ) > t ) ⋅ Pr(T ( x ) ≤ t + u | T ( x ) > t ) = t px ⋅ u qx +t
条件生存函数：
t +u
px =
t |u
px = t p x ⋅ u px +t =
(x)在x+n仍活着和在x+n前死亡的概率为： S X ( x + n) l0 S X ( x + n) l x+ n = = n px = S X ( x) l0 S X ( x) lx S X ( x) − S X ( x + n) l x − l x + n ndx = = n qx = S X ( x) lx lx 当n=1时：
µx =
ω
,
0≤ x ≤ω
Gompertze模型(1825)
µ x = Bc
x x
s ( x) = exp{− B(c − 1) / ln c} , B > 0,c > 1,x ≥ 0
死亡力的几种解析形式
Makeham模型(1860)
µx = A + Bc x
《保险精算学》笔记：生命表函数与生命表构造
《保险精算学》笔记：生命表函数与生命表构造
第一节生命表函数
一、生存函数
1、定义：
2、概率意义：新生儿能活到的概率
3、与分布函数的关系：
4、与密度函数的关系：
二、剩余寿命
1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数
5、：，
它的概率意义为：将在未来的年内去世的概率，简记
3、剩余寿命的生存函数：，
它的概率意义为：能活过岁的概率，简记
特别：
（1）
（2）
（3）
（4）：将在岁与岁之间去世的概率
4、整值剩余寿命
（1）定义：未来存活的完整年数，简记
（2）概率函数：
5、剩余寿命的期望与方差
（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）剩余寿命的方差：
6、整值剩余寿命的期望与方差
（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）整值剩余寿命的方差：
2
三、死亡效力
1、定义：的人瞬时死亡率，记作
2、死亡效力与生存函数的关系
3、死亡效力与密度函数的关系
4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数
记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则
第二节生命表的构造
一、有关寿命分布的参数模型
1、de Moivre模型（1729）
2、Gompertz模型（1825）
3、Makeham模型（1860）
4、Weibull模型（1939）
二、生命表的起源
1、参数模型的缺点
（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差
（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
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（4）Pr(X 60 X 30) Pr(30 X 60) S(30) S(60) 3
Pr(X 30)
S (30)
7
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能
继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x) S(x) S(x t) S(x)
tables
第二章
生命表 理论
生命表函数 参数寿命分布 生命表的构造
有关分数年龄的假设
生存函数
定义 S(x) Pr(X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。 与分布函数的关系：S(x) 1 F(x) 与密度函数的关系： f (x) S(x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
0 1
21
41
61
年龄
人类死亡效力的规律
人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆状结
构， 被称为“浴盆曲线”。
人类的“浴盆曲线”意味着：
刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性 的不足都会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效 力逐渐下降。
青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各 部位都属于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。
剩余寿命的期望与方差
期望剩余寿命：(x) 剩余寿命的期望值(均值),简记
o
ex
o
ex E(T (x)) td (1 t px ) t pxdt
0
0
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
例2.2
, 0 x 100
0
整值剩余寿命
剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示
整值剩余寿命
定义：(x)未来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
第二章
生命表 理论
生命表函数 参数寿命分布 生命表的构造
有关分数年龄的假设
本章中英文单词对照
死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表
Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate
整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望值(均
值),简记 ex
x1
x1
ex E(K (x))
k k px qxk
p k 1 x
k 0
k 0
整值剩余寿命的方差
x1
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k1 px ex2 k 0
中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器 官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期 为加速失效期。
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f (x) S(x) x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
G(t)
1
t
px
S(x) S(x S(x)
Pr(x X z) s(x) s(z)
人类寿命ห้องสมุดไป่ตู้存函数曲线图示
生存函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 1
21
41
61
81
101
年龄
例2.1
假设某人群的生存函数为
S(x) 1 x , 0 x 100 100
求： S(x) 1 x 100 一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率； 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率； 一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率； 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。
生存函数与剩余寿命生存函 数的对比图示
剩余寿命基本函数
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1qx
t u qx：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去
世的概率
t u qx q tu x t qx t px tu px
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能
继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
剩余寿命与寿命变量图示
剩余寿命
剩余寿命的生存函数t px
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t) S(x t) S(x)
特别
x p0 S (x)
死亡效力
定义：(x) 的瞬时死亡率，简记x
x
S ( x) S ( x)
f (x) S ( x)
ln[S(x)]
死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0
xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
解2.1
(1) Pr(X 50) F(50) 1 S(50) 100 50 1 100 2
(2) Pr(X 80) S(80) 100 80 1 100 5
(3) Pr(60 X 70) Pr( X 60) Pr( X 70) S(60) S(70) 1 10