极坐标与直角坐标的互化

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极坐标方程与直角坐标方程的互化

一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=．(I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．练习：曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为(A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4(C) (x-2)2+y 2=4 (D) (x+2)2+y 2=4二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:1、直线的极坐标方程(a>0)(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:θ=α;(2)垂直于极轴和极点间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρcos θ=a;(3)平行于极轴和极轴间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin θ=a;(4)不过极点,和极轴成α角,到极点距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin(α-θ)=a.2、圆的极坐标方程(a>0)(1)圆心在极点,半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=a;(2)圆心在(a,0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos θ;(3)圆心在(a,π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θcos 2a -;(4)圆心在(a,2π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2asin θ; (5)圆心在(a,23π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θsin 2a -; (6)圆心在(a, θ0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos(θ-θ0).3、极坐标系中的旋转不变性:曲线f(ρ,θ+α)=0是将曲线f(ρ,θ)=0绕极点旋转|α|角(0>α时,按顺时针方向旋转,0<α时,按逆时针方向旋转)而得到.例2．极坐标方程4ρsin 22θ=5所表示的曲线是（） (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线练习：极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是（） (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆三、判断曲线位置关系例3．直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系（）(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例4．在极坐标系中,如果一个圆的方程是ρ=4cos θ+6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（）(A) ρsin θ=3 (B) ρsin θ = –3 (C) ρcos θ =2 (D) ρcos θ = –2练习：在极坐标方程中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线的方程是(A) ρsin θ=2 (B)ρcos θ=2 (C)ρcos θ= 4 (D) ρcos θ=- 4(答案:B)五、求曲线中点的极坐标例5．在极坐标系中，定点A(1,2π),点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是_________.练习：极坐标方程5ρ2cos2θ+ρ2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_________.六、求距离例6．在极坐标系中，直线的方程为ρsin θ=3，则点(2,6π)到直线的距离为__________.练习：极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) 2 (C) 1 (D)22七、判定曲线的对称性例7．在极坐标系中,曲线ρ= 4sin(θ-3π)关于 (A) 直线θ=3π轴对称 (B)直线θ=65π轴对称 (C) 点(2, 3π)中心对称 (D)极点中心对称八、求三角形面积例8．在极坐标系中,O 是极点，设点A(4,3π)，B(5,65π-)，则△OAB 的面积是 .欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

极坐标和直角坐标的互化公式

极坐标和直角坐标的互化公式
极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。

极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。

直角坐标是另一种描述平面上点位置的坐标系，它由x轴和y轴两个参数组成。

在实际应用中，我们经常需要将极坐标和直角坐标进行互化，以便更好地理解和计算。

极坐标和直角坐标的互化公式如下：
直角坐标系中的点(x,y)可以表示为极坐标系中的点(r,θ)，其中：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
反之，极坐标系中的点(r,θ)可以表示为直角坐标系中的点(x,y)，其中：
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
这些公式可以帮助我们在不同的坐标系之间进行转换。

例如，如果我们知道一个点在极坐标系中的位置，但需要将其转换为直角坐标系中的位置，我们可以使用上述公式计算出x和y的值。

同样地，如果我们知道一个点在直角坐标系中的位置，但需要将其转换为极
坐标系中的位置，我们也可以使用上述公式计算出r和θ的值。

极坐标和直角坐标的互化公式在物理学和工程学中有广泛的应用。

例如，在机械工程中，我们经常需要计算旋转物体的位置和速度。

这些计算通常使用极坐标系，因为它更适合描述旋转运动。

然而，在计算机辅助设计和制造中，我们通常使用直角坐标系，因为它更适合描述平面上的几何形状。

极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。

通过使用极坐标和直角坐标的互化公式，我们可以在不同的坐标系之间进行转换，以便更好地理解和计算。

曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

x2 y2 1
问题2：在极坐标系中，以极点O为圆心, 1为半径的圆的方程是什么？
1
问题3：这两个方程可以互化吗？可以
【例1】指出下列方程所表示的曲线的形状.
(1)ρcos(θ- )=2; (2)ρ2cos2θ=3;
3
(3)ρ2-3ρcosθ+6ρsinθ-5=0; (4)ρ= 2 .
1 sin
C. 2(sin cos ) D. 2(sin cos )
3 ________. 答案 : 3
2
课堂小结：
1、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将 x = ρcos θ，y = ρsin θ代入再化简即可
2、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方程化成 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2的形式,再分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘以ρ ；
§2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化(x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极
坐标时，取 0, 0,
问题1：在直角坐标系中，以原点O为圆心, 1为半径的圆的方程是什么？
(5) sin 3cos
练习：把极坐标方程化为直角坐标方程
(1) ρsin（θ π） 2 42
(2) ρ2cosθ ρ 0
(3)
ρ
4 2－cosθ
(4)4ρsin2 θ 5； 2
(5) ρ 4 4 2sinθ； ρ
例2、将下列曲线的方程直角坐标化为极坐标方程
(1) x y 2 0 (2) x2 y2 2ax 0
1.极坐标方程 sin2 2 cos 0表示的曲线是_抛__物_线_ 2.极坐标方程 4sin2 3所表示的曲线是（ B ） A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线

1.2.4极坐标方程与直角坐标方程的互化

2x y 7 0
设M( , )为直线上的任意一点，将x cos , y sin代入直线方程
2x y 7 0得
2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方程
2、极坐标方程sin 1 ( R)表示的曲线是A
3 A、两条相交的直线 B、两条射线
答案 C
点击2 极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】 (2010·广东高考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲
线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．
解析曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝
代入
所给的直角坐标方程中，得
(1)2cos 6sin 1 0
(2)2 cos2 2 sin2 25
化简得 2 cos 2 25
1、求过A(2,3)且斜率为2 的直线的极坐标方程。
解：由题意可知，在直角坐标系内直线方程为
王新敞 wxckt@ 新疆源头学子小屋 /wxc/ 特级教师王新敞 wxckt@

y2
y0
2.若两条曲线的极坐标方程分别为 1 与
2 cos ,它们相交于 A, B 两点,求线段
3
AB的长．
1 的直角坐标方程分别为 x＋y＝1 和 y－x＝1，两条直线的交点的直角坐标为(0，1)，化为极坐标为1，π2 .
答案
1，π2

例4.把下列的直角坐标方程化为极坐标方程
(1)2x+6y-1=0
ห้องสมุดไป่ตู้(2)x2 -y2=25

直线极坐标与直角坐标的互化问题

直线极坐标与直角坐标的互化问题直线极坐标和直角坐标是数学中常见的两种坐标系，它们在表示平面上的点或空间中的物体位置时具有不同的优势和应用场景。

直线极坐标系由极径和极角两个参数组成，可以描述一个点到原点的距离和与正半轴的夹角；而直角坐标系则由直角坐标轴上的横轴和纵轴两个参数组成，可以描述一个点在平面上的具体位置。

因此，如何将直线极坐标和直角坐标互相转换是一个重要的问题。

1.直线极坐标转直角坐标直线极坐标转换为直角坐标可以简化为以下步骤： - 根据给定的极角θ和极径r，计算出直线极坐标系下的点的横坐标x和纵坐标y。

- 利用三角函数的关系，x = r * cos(θ)，y = r * sin(θ)。

2.直角坐标转直线极坐标直角坐标转换为直线极坐标可以简化为以下步骤： - 根据给定的直角坐标系下的点的横坐标x和纵坐标y，计算出直线极坐标系下的极径r和极角θ。

- 利用三角函数的反函数，r = √(x2+y2)，θ = arctan(y/x)。

综上所述，直线极坐标与直角坐标的互化问题可以通过以上步骤进行转换。

这种转换在不同的数学问题和应用中具有重要的意义和作用。

例如，在工程计算中，直角坐标系常用于描述平面上的工程结构，而直线极坐标系则用于描述圆形或者具有对称结构的工程问题。

在同一个工程问题中，可能需要在直角坐标系和直线极坐标系之间进行转换，以便更好地分析和解决工程问题。

比如，在计算机图形学中，直线极坐标系可以优化圆形图形的表示和计算，而直角坐标系则适合表示和计算任意形状的图形。

总之，直线极坐标与直角坐标的互化问题是数学中的基本问题之一，它们在数学、工程、物理等领域都有广泛的应用。

了解如何进行直线极坐标和直角坐标的转换，可以帮助我们更好地理解和应用不同坐标系下的数学模型和理论。

极坐标与直角坐标方程互化

极坐标与直角坐标方程互化引言在数学中，坐标系是一种用来描述平面上点的工具。

直角坐标系是最常见的一种坐标系，通过使用水平的x轴和垂直的y轴来描述点的位置。

而极坐标系则使用极径和极角来描述点的位置。

本文将介绍极坐标与直角坐标之间的互换关系，以及如何将一个方程从极坐标形式转换为直角坐标形式，或者从直角坐标形式转换为极坐标形式。

极坐标与直角坐标的关系极坐标形式下，一个点的坐标由极径和极角表示。

极径是该点与原点之间的距离，极角则是从参考方向到与正极轴连接的线段之间的夹角。

直角坐标形式下，一个点的坐标由x轴和y轴上的投影、即横坐标和纵坐标表示。

两种坐标系之间的互换关系一般通过以下公式表示：在将一个坐标点从直角坐标系转换为极坐标系时，使用下述公式： - 极径 r = sqrt(x^2 + y^2) - 极角θ = arctan(y/x)反之，将一个坐标点从极坐标系转换为直角坐标系时，使用下述公式： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ)通过这些公式，我们可以在两种坐标系之间进行相互转换。

从极坐标方程转换为直角坐标方程对于一个给定的极坐标方程，我们想要将其转换为直角坐标方程。

我们可以使用之前介绍的公式，将极坐标方程中的极径和极角用直角坐标的x和y表示。

例如，给定一个极坐标方程为：r = 2cos(θ)。

我们可以将它转换为直角坐标方程。

首先，我们用极坐标到直角坐标的公式计算出x和y：x = r * cos(θ) = 2cos^2(θ) y = r * sin(θ) = 2cos(θ) * sin(θ)通过这些计算，我们得到直角坐标方程为：y = x * tan(θ)通过这个例子，我们可以看到如何将一个极坐标方程转换为直角坐标方程。

从直角坐标方程转换为极坐标方程反之，我们也可以将一个给定的直角坐标方程转换为极坐标方程。

同样，使用之前介绍的公式，我们将直角坐标系中的x和y用极坐标的极径和极角表示。

极坐标和直角坐标的互化

思考2 平面内的一个点的极坐标
是
则该点直角坐标为（_0_，__2）__
探究新知
互化前提:把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴 ,并且两种坐标系中取相同的长度单位
如图，设点M 是平面内任意
(x, y)
一点,它的直角坐标是(x, y) ，
它的极坐标是 (ρ,θ)。
问题：点 M的两种坐标之间有什么关系？
探究新知
互化前提:把直角坐标系的原点作为极点,
x轴的正半轴作为极轴 ,并且两种坐标系中
取相同的长度单位
y
? M极坐标
M直角坐标
(ρ,θ)
(x, y)
M

y

Ox
x
x cos

y

sinLeabharlann 2 x2 y2
tan

y x
x

0
极坐标与直角坐标的互化关系式:
极坐标与直角坐标的互化
知识回顾
O
X
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点 ;
引一条射线OX，叫做极轴 ;
再选定一个长__度__单__位__和_角__度__单__位__及 _它__的__正__方__向__ (通常取逆时针方向）, 这样就建立了一个极坐标系。
M的极坐标是 _(ρ_,_θ_)__
讲授新课
1、探讨极坐标与直角坐标的关系

7y
2
4
6
C
5
4

CD A O
3 2A
1
'B
X -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 O 1 2 3 4 5 6 x -2

1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化

第04课时1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化学习目标1．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 2. 会实现极坐标和直角坐标之间的互化学习过程一、学前准备情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？二、新课导学◆探究新知（预习教材P 11～P 11，找出疑惑之处）直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： {θρθρsin cos ==y x{xyy x =+=θρtan 222说明1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。

3、互化公式的三个前提条件（1）. 极点与直角坐标系的原点重合;（2）. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; （3）. 两种坐标系的单位长度相同.◆应用示例例1．将点M 的极坐标)32,5(π化成直角坐标。

（教材P 11例3）解：例2．将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标（教材P 11例4）解：◆反馈练习1．点()3,1-P ，则它的极坐标是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 2．点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（）A ．(2,)3π B ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈三、总结提升 ◆本节小结1．本节学习了哪些内容？答：极坐标和直角坐标之间的互化学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为（） A ．很好 B ．较好 C ．一般 D ．较差课后作业1.若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，ABO S ∆=___________。

直角坐标与极坐标的互化公式

直角坐标与极坐标的互化公式引言在数学中，我们经常使用两种不同的坐标系来描述点的位置，即直角坐标系和极坐标系。

直角坐标系是我们最为熟悉的坐标系，它使用直角的方法确定点的位置。

而极坐标系则使用极径和极角来确定点的位置。

在特定的问题中，我们可能需要将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中，这就涉及到直角坐标与极坐标的互化公式。

直角坐标到极坐标的转换公式给定直角坐标系中的点P(x, y)，我们可以根据一些公式将其转换为极坐标系。

其中，极径r表示点P到原点O的距离，而极角θ表示点P在直角坐标系中与x轴之间的夹角。

要将直角坐标系中的点P(x, y)转换为极坐标系中的点(r, θ)，我们可以使用以下公式：$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$$\\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right)$这两个公式允许我们根据直角坐标系中的点的坐标值，计算出其在极坐标系中的位置。

极坐标到直角坐标的转换公式同样地，给定极坐标系中的点(r, θ)，我们可以使用另一组公式将其转换为直角坐标系中的点。

根据极坐标到直角坐标的转换公式，我们可以得到以下结果：$x = r \\cdot \\cos(\\theta)$$y = r \\cdot \\sin(\\theta)$这两个公式允许我们根据极坐标系中的点的极径和极角，计算出其在直角坐标系中的位置。

举例说明为了更好地理解直角坐标与极坐标的互化公式，我们来看一个具体的例子。

假设有一个直角坐标系中的点P(3, 4)，我们想将其转换为极坐标系中的点。

首先，我们可以使用公式$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$计算出极径r：$r = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5$接下来，我们可以使用公式$\\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right)$计算出极角θ：$\\theta = \\arctan\\left(\\frac{4}{3}\\right) \\approx 0.93$因此，直角坐标系中的点P(3, 4)在极坐标系中的表示为(5, 0.93)。

二重积分极坐标与直角坐标的互化

二重积分极坐标与直角坐标的互化
二重积分是对二维平面上的一个区域上的函数进行积分。

常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

直角坐标系中，一个点的坐标由 x 和 y 坐标表示。

极坐标系中，一个点的坐标由 r 和θ 表示，其中 r 表示点到原点的距离，θ
表示点与正 x 轴之间的夹角。

在进行二重积分时，可以根据问题的特点选择使用直角坐标系或极坐标系。

而在直角坐标系和极坐标系之间进行互化，可以通过以下的转换关系实现：
由直角坐标系转换到极坐标系：
r = √(x^2 + y^2)
θ = arctan(y/x)
由极坐标系转换到直角坐标系：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
在进行积分时，需要注意变量的变换，以及面积元素的变换。

在直角坐标系中，面积元素为 dA = dx * dy；在极坐标系中，
面积元素为dA = r * dr * dθ。

通过这些转换关系，可以将原本在直角坐标系下的积分问题转换到极坐标系下进行计算，或者将原本在极坐标系下的积分问题转换到直角坐标系下进行计算，以便于求解。

直角坐标和极坐标的互化公式

直角坐标和极坐标的互化公式1. 引言在数学和物理学中，直角坐标系和极坐标系是两种常用的坐标系。

它们可以相互转化，通过互化公式可以方便地在不同坐标系下描述出同一个点。

2. 直角坐标系直角坐标系是平面上最常见的坐标系。

它由两个相互垂直的坐标轴组成，通常表示为x轴和y轴。

每个点都可以由一个有序数对(x, y)来表示，其中x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。

3. 极坐标系极坐标系是另一种描述平面上点位置的坐标系。

在极坐标系中，每个点由一个有序数对(r, θ)表示，其中r代表点到原点的距离，θ代表从x轴逆时针旋转到点所需的角度。

4. 直角坐标和极坐标的转化公式4.1 极坐标转直角坐标给定一个极坐标点P(r, θ)，要将其转化为直角坐标系下的点(x, y)，可以使用以下公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos和sin分别是余弦和正弦函数。

4.2 直角坐标转极坐标给定一个直角坐标系下的点(x, y)，要将其转化为极坐标系下的点P(r, θ)，可以使用以下公式：r = sqrt(x² + y²)θ = arctan(y / x)其中，sqrt代表平方根，arctan代表反正切函数。

5. 举例说明为了更好地理解直角坐标和极坐标的互化公式，以下举例说明。

例1：将极坐标点P(3, π/4)转换为直角坐标系下的点。

根据公式可得：x = 3 * cos(π/4) ≈ 2.12y = 3 * sin(π/4) ≈ 2.12因此，极坐标点P(3, π/4)在直角坐标系下的表示为(x, y) ≈ (2.12, 2.12)。

例2：将直角坐标系下的点(-1, -1)转换为极坐标系下的点。

根据公式可得：r = sqrt((-1)² + (-1)²) ≈ 1.41θ = arctan((-1) / (-1)) ≈ π + π/4 ≈ 5π/4因此，直角坐标点(-1, -1)在极坐标系下的表示为P(1.41, 5π/4)。

极坐标和直角坐标的互化

课堂反馈
一、选择题
1.极坐标系中，点(1,-π )的直角坐标为(
（A）(1，0) （B）(0,1)
)
（C）(-1,0) （D）(0 ，-1)
【解析】选C.
∵x=ρcosθ=cos（-π）=-1，
y=ρsinθ=sin（-π）=0.
2.直角坐标系中，点（1，可以是( )
3
）的极坐标
【解析】
3.在极坐标系中，点A(2, )与B(2,- )之间的距离为( 6 6
∴点M的直角坐标为(-3,4).
答案：(-3,4)
课堂小结
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y),极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
正弦、余弦、正切的三角函数值 θ
sinθ cosθ tanθ
π 2π 问题2:在极坐标系中，已知点 C(3， )，D(1， )， 3 3 求C, D两点间的距离？
你能把点的直角坐标和极坐标进行互相转化么？
二新知探究极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos，y sin
y
M

0
x

y
N
x
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
三知识应用
2 例3：将点M的极坐标（5，）化成 3 直角坐标。 2 2 5 3
解：x 5 cos 3 2 5 5 3 所以，点M的直角坐标（，）。 2 2 3 ，y 5 sin

1.2.2极坐标和直角坐标的互化

O X
？思考：平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么，这两种坐标之间有什么关系呢？
y
M

0
x
极坐标和直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。设M是平面内任意一点，它的直角坐标（x，y），极坐标是（，）。从图 — 14可以得出他们之 1 间的关系：
1.2.2
极坐标和直角坐标的互化
复习回顾极坐标系定义：
①在平面内取一个定点O，叫做极点； ②自极点O引一条射线ox，叫做极轴；
③再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。
O
X
复习回顾极坐标系内点的极坐标定义：设M是平面内一点
①极点O与点M的距离︱OM︱叫做点M的极径，记为
②以极轴ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为. M 有序数对（，）叫做点M的极坐标,记为M(，)
注：不作特殊说明时，我们认为 ≥0，可取任意实数. 特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从 OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
2 2 5 3 解：x 5 cos ，y 5 sin 3 3 2 5 5 3 所以，点M的直角坐标（，）。 2 2
坐标互化公式：
x cos ，y sin y 2 2 2 x y ， ( x 0) tan x
2 解：（ 3） 1 2 3 1 2，（）
例4：将点M的直角坐标（ 3， 1 ）化成极坐标。
1 1 3 tan 。 3 3 3 7 因为点M在第三象限，所以。 6 7 因此，点M的极坐标为（2，）。 6

高三数学极坐标和直角坐标的互化

x cos , y sin
牛刀小试
半径为a的圆的圆心坐标为C (a , 0)(a 0). 求它的极坐标方程。 2 2 2 解：直角坐标系下( x a ) y a
x cos , y sin ( cos a ) ( sin ) a 化简得
又极坐标方程是曲线上任意点( , )满足的关系式

根据前面直角坐标与极坐标的转化公式
1( 1) x y 1 此圆的极坐标方程为 1
2 2
x cos , y sin
2
思考
刚才的求圆的极坐标方程的解题思想是什么？它是如何实施的？
故所求射线的极坐标方程为 o

x
4
( 0)
思考：
5 1、求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。 4
易得
5 ( 0) 4
2、求过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程。 4 5 ( 0) 和 ( 0) 4 4
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
思考：
平面内一点M的直角坐标是 (1, 3) ，其极坐标如何表示? 2 点Q的极坐标为 (5, ) ，其直角坐 3 标如何表示？
互化公式的三个前提条件：
1、极点与直角坐标系的原点重合;
2、极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
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极坐标与直角坐标的互化公式：
设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)

sin 1 0
2 2
（３）直角坐标方程x y ９的极坐标

极坐标与直角坐标的互化

C.圆
D.抛物线
) 8.以 ( 2 , 4 )为圆心，2 为半径的圆的极坐标方程是(C
A. (sin cos ) B. C. 2(sin cos ) D.
sin cos
2(sin cos )
5.若两条曲线的极坐标方程分别为 1 与 2 cos ,它们相交于 A, B 两点,求线段
例2. 将点M的直角坐标 ( 3 ,1) 化成极坐标.
7 ( 2, ) 6
三知识应用
2 例1：将点 M的极坐标（ 5，）化成直角坐标。 3
2 2 5 3 解：x 5 cos ，y 5 sin 3 3 2 5 5 3 所以，点M的直角坐标（，）。 2 2
例2：将点M的直角坐标（ 3， 1 ）化成极坐标。
M

X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
题组一：说出下图中各点的极坐标

2
5 6
C E D O B A X

4

4 3
F
G
5 3
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示? y M (1, 3 ) 在直角坐标系中, 以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, θ 并且两种坐标系中取相同的长 O x 度单位.
设点M的极坐标为(ρ,θ)
1 （ 3 ）2
2 2
M (2, )或(2, 2k ) k Z 3 3

3 tan 3 1

3

极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ)

极坐标系的定义及和直角坐标的互化

极坐标系的定义及和直角坐标的互化一、极坐标系的定义及和直角坐标的互化1、极坐标系在平面内取一个顶点$O$，叫做极点；自极点$O$引一条射线$Ox$，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

2、点的极坐标设$M$是平面内一点，极点$O$与点$M$的距离$|OM|$叫做点$M$的极径，记为$ρ$；以极轴$Ox$为始边，射线$OM$为终边的角$xOM$叫做点$M$的极角，记为$θ$。

有序数对$（ρ，θ）$叫做点$M$的极坐标，记为$M(ρ，θ)$。

(一般地，不作特殊说明时，认为$ρ≥0，θ$可取任意实数)建立极坐标后，给定$ρ$和$θ$，就可以在平面内唯一确定点$M$；反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的极坐标$（ρ，θ）$。

3、特殊点的极坐标极点$O$的极坐标为(0,$θ$)($θ\in\mathbf{R}$)；极轴上的点的极坐标为($ρ$,0)($ρ>0$)；极轴反向延长线上的点的极坐标为($ρ$,$π$)($ρ>0$)。

注：一般地，极坐标$（ρ，θ）$与$（ρ，θ+2kπ）（k\in\mathbf{Z}$）表示同一个点。

和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示；如果规定$ρ≥0,0≤θ≤2π$，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标$（ρ，θ）$表示的点也是唯一确定的。

4、极坐标和直角坐标的互化互化的前提条件（1）极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；（2）极坐标系中的极轴与直角坐标系中的$x$轴的正半轴重合；（3）在两种坐标系中取相同的长度单位。

互化公式设$M$是平面内任意一点，它的直角坐标是$(x,y)$，极坐标是$（ρ，θ）$，则有：$x=ρ\cos θ,y=ρ\sin θ$。

$ρ^2=x^2+y^2,\tan θ=\frac{y}{x}(x≠0)$。

把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法（极角相差2$\pi$的整数倍）。