人教版高中数学选修4-4 学案：第2讲-1-1 参数方程的概念 圆的参数方程 Word版含解析

一 曲线的参数方程第1课时 参数方程的概念 圆的参数方程1．了解曲线的参数方程的概念与特点． 2．理解圆的参数方程的形式和特点．(重点)3．运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 参数方程的概念阅读教材P 21～P 23“圆的参数方程”以上部分，完成下列问题．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f t ，y ＝g t ①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．方程⎩⎨⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12【解析】 将点的坐标代入方程：⎩⎨⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，解θ的值．若有解，则该点在曲线上．【答案】 C教材整理2 圆的参数方程阅读教材P 23～P 24“思考”及以上部分，完成下列问题．1．如图2-1-1，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则⎩⎨⎧x ＝r ·cos θy ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程．图2-1-12．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程：圆的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)【解析】 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 故圆心坐标为(2,0)． 【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝at2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3,4)在曲线C 上．(1)求常数a 的值；(2)判断点P (1,0)，Q (3，－1)是否在曲线C 上？【思路探究】 (1)将点M 的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x ，y ，消去参数t ，求a 即可；(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．【自主解答】 (1)将M (－3,4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎨⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1. (2)由上述可得，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2， 把点P 的坐标(1,0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎨⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上．点与曲线的位置关系：满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0.(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝f t y ＝g t (t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎨⎧x 1＝f t y 1＝g t对应的参数t 有解，否则参数t 不存在．[再练一题]1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．判断点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．【解】 把点A (2,0)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，得cos θ＝1且sin θ＝0， 由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数θ＝0. 同理，把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ<2π，∴θ＝56π，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝56π.顶点B 在x 轴的非负半轴上移动，求顶点C 在第一象限内的轨迹的参数方程．【思路探究】 先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数即可．【自主解答】 如图，设C 点坐标为(x ，y )，∠ABO ＝θ，过点C 作x 轴的垂线段CM ，垂足为M .则∠CBM ＝23π－θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－θ，y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2为所求．求曲线的参数方程的方法步骤：(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M 的坐标； (2)写出适合条件的点M 的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．[再练一题]2．若本例中的等边三角形变为等腰直角三角形，AC 为斜边，腰为a ，其余条件不变，如何求顶点C 在第一象限内的轨迹的参数方程？【解】 如图，设C 点坐标为(x ，y )，∠ABO ＝θ，过点C 作x 轴的垂线段CM ，垂足为M .则∠CBM ＝π2－θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，即⎩⎨⎧x ＝a cos θ＋a sin θ，y ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2为所求． [探究共研型]探究1 (图2-1-2)．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？图2-1-2【提示】 如图，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω.以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．显然，点M 的位置由时刻t 惟一确定，因此可以取t 为参数．探究2 如果在时刻t ，点M 转过的角度是θ，坐标是M (x ，y )，那么θ＝ωt .设|OM |＝r ，如何用r 和θ表示x ，y 呢？【提示】 由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr ， 即⎩⎨⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt .(t 为参数) 考虑到θ＝ωt ，也可以取θ为参数，于是有 ⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.(θ为参数)如图2-1-3，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，求线段P A 的中点M 的轨迹.【导学号：91060015】图2-1-3【思路探究】 引入参数→化为参数方程→设动点M x ，y ――→代入法求动点的参数方程→确定轨迹 【自主解答】 设动点M (x ，y )，∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)，∴设点P (4cos θ，4sin θ)， 由线段的中点坐标公式，得 x ＝4cos θ＋122， 且y ＝4sin θ2，∴点M 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ，因此点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．1．引入参数，把圆的普通方程化为参数方程⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，，其实质就是三角换元，利用了三角恒等式sin 2 θ＋cos 2 θ＝1.2．圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θy ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)表示圆心为(x 0，y 0)，半径为r 的圆．[再练一题]3．已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上， ∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ， 因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝43确定) ∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ， 故实数a 的取值范围是[1，＋∞)．[构建·体系]曲线的参数方程—⎪⎪⎪⎪—参数方程的概念—圆的参数方程—⎪⎪⎪—求曲线的参数方程—最大值、最小值问题1．下列方程：(1)⎩⎨⎧ x ＝m ，y ＝m .(m 为参数)(2)⎩⎨⎧ x ＝m ，y ＝n .(m ，n 为参数)(3)⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.(4)x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由参数方程的概念知⎩⎨⎧x ＝my ＝m 是参数方程，故选A.【答案】 A2．曲线⎩⎨⎧x ＝1＋t2y ＝t －1与x 轴交点的直角坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,0)D ．(±2,0)【解析】 设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2，∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0)． 【答案】 C 3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A ．两条直线B ．一条射线C ．两条射线D ．双曲线【解析】 当t >0时⎩⎨⎧ x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t <0时，⎩⎨⎧x ≤－2，y ＝2，也是一条射线，故选C.【答案】 C4．已知⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________. 【导学号：91060016】【解析】 当y ＝1时，t 2＝1，∴t ＝±1， 当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0. ∴x 的值为2或0. 【答案】 2或05．在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2＋y 2－8x cos θ－6y sin θ＋7cos 2θ＋8＝0(θ∈R )的圆心为P (x ，y )，求2x －y 的取值范围．【解】 由题设得⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数，θ∈R )．于是2x －y ＝8cos θ－3sin θ＝73sin(θ＋φ)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ由tan φ＝－83确定所以－73≤2x －y ≤73. 所以2x －y 的取值范围是[－73，73]．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝t 2＋2t (t 为参数)的曲线必过点( ) A ．(1,2) B ．(－2,1) C ．(2,3)D ．(0,1)【解析】 代入检验知曲线经过点(2,3)． 【答案】 C2．已知O 为原点，参数方程⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则OA ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 OA ＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 【答案】 A3．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋ty ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( )A ．|t 1|B ．2|t 1| C.2|t 1|D.22|t 1|【解析】 ∵P 1(a ＋t 1，b ＋t 1)，P (a ，b )， ∴|P 1P |＝a ＋t 1－a2＋b ＋t 1－b2＝t 21＋t 21＝2|t 1|. 【答案】 C4．圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2的圆心坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0，－2)D ．(－2,0)【解析】 ∵x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ， ∴x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆心坐标是(0,2)，故选A. 【答案】 A5．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( ) A.⎩⎨⎧x ＝5－cos θy ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎨⎧ x ＝2＋5cos θy ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎨⎧ x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)【解析】 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．【答案】 D 二、填空题6．若点(－3，－33)在参数方程⎩⎨⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.【解析】 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程 ⎩⎨⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . 【答案】 4π3＋2k π，k ∈Z7．参数方程⎩⎨⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)表示的图形是________．【解析】 ∵⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，且cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1，∴该参数方程表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆． 【答案】 圆8．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上，则实数a ＝________.【解析】 ∵点M (5,4)在曲线C 上，∴⎩⎨⎧ 5＝1＋2t ，4＝at 2，解得：⎩⎨⎧t ＝2，a ＝1， ∴a 的值为1. 【答案】 1 三、解答题9．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θy ＝2－cos θ(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A (1,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52是否在曲线C 上.【导学号：91060017】【解】 将A (1,3)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎨⎧ 1＝1＋2sin θ3＝2－cos θ，即⎩⎨⎧sin θ＝0，cos θ＝－1， 由0≤θ<2π得θ＝π.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52的坐标代入⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋2sin θ52＝2－cos θ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－12，cos θ＝－12，这样的角θ不存在．所以点A 在曲线C 上，点B 不在曲线C 上．10．已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 【解】 (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)．(2)由(1)知，x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，又－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.[能力提升]1．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25 【解析】 设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(a －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝34，φ为锐角， ∴最大值为36. 【答案】 A2．如图2-1-4，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图2-1-4【解析】 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)． 【答案】 ⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)3．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．【解析】 由P 在曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)，由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋62，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2.【答案】 －1＋3 24．已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a >0且为已知常数，φ为参数)，(1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值． 【解】 (1)由已知圆的标准方程为： (x －a cos φ)2＋(y －a sin φ)2＝a 2(a >0)． 设圆心坐标为(x ，y )， 则⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝a sin φ(φ为参数)， 消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)证明 由方程⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0，x 2＋y 2＝a 2，得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a2＝0，圆x 2＋y 2＝a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a2为定值，∴弦长l ＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝3a (定值)．。