新素养同步人教B高中数学必修第三册练习：第八章 8. 向量数量积的坐标运算 含解析
新教材人教B版高中数学必修3精品课件：第八章 8.1.3 向量数量积的坐标运算
������1������2+������1������2 .
������12+������12 ������22+������22
方法技巧：利用数量积的坐标运算求两个向量夹角的步骤：
（1）利用坐标运算求a·b；
（2）利用|a|＝ ������12 + ������12与|b|＝ ������22 + ������22求两个向量的模；
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.1.3 向量数量积的坐标运算
学习目标
1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会用数量积 判断两个向量的垂直关系. 3.体验用数量积的坐标运算解决某些简单的几何问题. 重点：向量数量积的坐标运算与度量公式. 难点：灵活运用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关问题.
（3）由cos
<
������, ������
>＝ ������∙������ ＝
|������||������|
������1������2+������1������2 直接求出cos < ������, ������ >；
������12+������12 ������22+������22
（4）在[0,π]内，由cos < ������, ������ >的值求 < ������, ������ >.
������������ ＝ ������2 − ������1 2 + ������2 − ������1 2.
3.向量的夹角的坐标运算
设向量������＝（������1，������1），������＝（������2，������2），则
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 向量数量积的坐标运算
(方法二)∵a=(3,-1),b=(1,-2),
∴a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),
∴(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5.
规律方法 向量数量积运算的途径及注意点
学以致用•随堂检测全达标
1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且3a·b=4,则x=(
A.3
1
B.
3
1
C.3
答案 C
解析 3a·b=3(2x-6x)=-12x=4,所以x=-
1
.
3
)
D.-3
2.已知向量 a=(1, 3),b=(-2,2 3),则<a,b>=(
π
A.
6
π
B.
4
)
π
C.
3
π
D.
分析 利用a·b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))等基本公式计算.
解 (1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.
(2)(方法一)∵a=(3,-1),b=(1,-2),
∴a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5,
.
2.当 a=(x1,y1),b=(x2,y2)都不是零向量时,因为|a|2=a·a=12 + 12 ,
1 2 + 1 2
|b|2=b·b=22 + 22 ,所以 cos<a,b>=
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第八章 向量数量积的运算律 分层作业册
解析 ∵|a|=2,|b|= 3,a 与 b
π
∴a·b=|a||b|cos =2×
6
3×
π
的夹角为 ,
6
3
=3,故选项
2
A 符合题意;
∵|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=4-4×3+4×3=4,
∴|a-2b|=2,故选项B不符合题意;
∵|a|=2,|c|=1,∴2-1≤|a+c|≤2+1,即1≤|a+c|≤3,故选项C符合题意;
6ห้องสมุดไป่ตู้
6 2 1
1
2 6
∵(a+b)·(7a-b)=7a -7a·b-b =7×4-7×3-3=0,
6
∴(a+b)与( a-b)垂直,故选项 D 符合题意.
7
故选 ACD.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
8.[探究点二(角度2)·2023安徽蒙城二模]已知非零向量a,b,c满足|a|=1,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
13.[2023安徽期中]已知向量a是非零向量,b是单位向量,a,b的夹角为120°,
且a⊥(a+b),则|a-b|=( A )
A.
7
2
3
B.
4
1
C.
4
1
D.
2
解析 由 b 是单位向量,a,b 的夹角为 120°,
A.
14.[2023 湖北模拟]已知菱形 ABCD 的边长为 4,点 E,F 分别是线段 CD,AD 上
高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 习题课—三角恒等变换素养练(含解析)新人教B版必修第三
习题课——三角恒等变换课后篇巩固提升基础巩固1.(多选)函数f (x )=sin x cos x+√32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是() A .πB .2C .1D .2πf (x )=sin x cos x+√32cos2x=12sin2x+√32cos2x=sin (2x +π3), 得最小正周期为π,振幅为1.2.已知A (1,sinαsin (α+2β)),B (sinαsin (α-2β)-2,1),且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,sin β≠0,sin α-k cos β=0,则k=()A .√2B .-√2C .√2或-√2D .以上都不对 由题意sinαsin (α-2β)-2+sinαsin (α+2β)=0,化简得sin α=±√2cos β,易知k=±√2,所以选C .3.若函数f (x )=sin x 3cos φ3+cos x 3sin φ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ的值为()A .π2B .2π3C .3π2D .5π3(x )=sin x3cos φ3+cos x3sin φ3=sin (x3+φ3).由题意,知函数f (x )=sin (x3+φ3)(φ∈[0,2π])为偶函数,所以φ3=π2+k π,k ∈Z ,所以φ=3π2+3k π,k ∈Z .又φ∈[0,2π],故当k=0时,φ=3π2,选C .4.定义行列式运算|a 1 a 2a 3 a 4|=a 1a 4-a 2a 3.将函数f (x )=|√3 sinx 1 cosx|的图像向左平移n (n>0)个单位,所得图像对应的函数g (x )为奇函数,则n 的最小值为() A .π6B .π3C .5π6D .2π3 解析∵f (x )=√3cos x-sin x=2√32cos x-12sin x =2cos (x +π6),又平移后图像对应函数g (x )=2cos (x +n +π6)为奇函数,∴n+π6=k π+π2(k ∈Z ),即n=k π+π3(k ∈Z ),又n>0,∴n 的最小值为π3,故选B .5.(多选)已知函数f (x )=(sin x+cos x )cos x ,则下列说法错误的为() A .函数f (x )的最小正周期为2π B .f (x )的最大值为√2C .f (x )的图像关于直线x=-π8对称D .将f (x )的图像向右平移π8个单位,再向下平移12个单位后会得到一个奇函数的图像f (x )=(sin x+cos x )cos x ,得f (x )=√22sin (2x +π4)+12, 所以f (x )最小正周期为π,A 错; 所以f (x )的最大值为√22+12,B 错; f (x )的对称轴为x=π8+kπ2,k ∈Z ,所以x=-π8不是f (x )的对称轴,C 错;将f (x )的图像向右平移π8个单位得y=√22sin2x+12,再向下平移12个单位后会得到y=√22sin2x 为奇函数.6.若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tanα2=.α是第三象限的角,∴k π+π2<α2<k π+3π4,k ∈Z , ∴tan α2<0. ∵cos α=-45,∴cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos 2α2-sin 2α2cos 2α2+sin 2α2=1-tan 2α21+tan 2α2=-45,解得tan α2=-3,∴tan (α2+π4)=tan α2+tanπ41-tan α2tanπ4=-3+11+3=-12. -127.函数f (x )=√3sin 23x-2sin 213x (π2≤x ≤3π4)的最小值是.f (x )=√3sin 23x-2sin 213x=√3sin 23x+cos 23x-1=2sin (23x +π6)-1,又π2≤x ≤3π4,所以23x+π6∈[π2,2π3].所以当2x+π6=2π3时,f (x )取得最小值√3-1.√3-18.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,-sin β),α,β均为锐角,且|a -b |=√105, (1)求cos(α+β)的值; (2)若cos α=1213,求cos β的值.由题意可得a -b =(cos α-cos β,sin α+sin β),∵|a -b |=√105= √(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2=√2-2cos (α+β),∴cos(α+β)=45.(2)∵cos(α+β)=45,α,β均为锐角,∴α+β仍为锐角,sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=35.∵cos α=1213,∴sin α=√1-cos 2α=513,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=45×1213+35×513=6365.9.已知函数f (x )=sin 2ωx+√3sin ωx ·sin (ωx +π2)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;(2)求函数f (x )在区间[0,2π3]上的取值X 围.f (x )=1-cos2ωx2+√32sin2ωx=√32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin (2ωx -π6)+12. 因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω>0, 所以2π2ω=π,解得ω=1.(2)由(1)得f (x )=sin (2x -π6)+12, 因为0≤x ≤2π3,所以-π6≤2x-π6≤7π6,所以-12≤sin (2x -π6)≤1.因此0≤sin (2x -π6)+12≤32,所以f (x )的取值X 围是[0,32].能力提升1.设当x=θ时,函数f (x )=2sin x-cos x 取得最大值,则cos θ=() A .2√55B .-2√55C .√55D .-√55(x )=2sin x-cos x=√5sin(x-φ)=√5sin x ·cos φ-√5cos x sin φ;其中cos φ=√5,sin φ=√5;由题意得θ-φ=2k π+π2(k ∈Z ), 即θ=φ+2k π+π2(k ∈Z );所以cos θ=cos (φ+2kπ+π2)=cos (φ+π2)=-sin φ=-√5=-√55.2.若函数f (x )=sin ωx+√3cos ωx (x ∈R ),又f (α)=-2,f (β)=0,且|α-β|的最小值为3π4,则正数ω的值是() A .13B .32C .43D .23(x )=sin ωx+√3cos ωx=2sin (ωx +π3),又f (α)=-2,f (β)=0,从而当x=α时函数有最小值,x=β为平衡点,|α-β|的最小值是14T ,因此14×2πω=3π4,解得ω=23.3.已知函数f (x )=√3cos (π2+2x)+2sin 2(π2+x),x ∈[0,π2],则f (x )的最小值为() A .-1B .2C .3D .1-√3(x )=-√3sin2x+2cos 2x=-√3sin2x+1+cos2x=2cos (2x +π3)+1,因为0≤x ≤π2,所以π3≤2x+π3≤4π3,所以当2x+π3=π,即cos (2x +π3)=-1时,函数f (x )取最小值为-1.4.已知函数f (x )=cos x (sin x-√3cos x ),则() A .f (x )的周期为2π B .f (x )在区间[-π6,π6]上单调C .f (x )的图像关于直线x=-π12对称D .f (x )的图像关于点(π6,0)对称(x )=cos x sin x-√3cos 2x=12sin2x-√32·cos2x-√32=sin (2x -π3)−√32,所以T=2π2=π,排除A;令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z ),解得k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z ),所以f (x )在区间[-π12,5π12]上单调,排除B;sin (-2π12-π3)=-1,所以f (x )的图像关于直线x=-π12对称,C 正确;f (π6)=sin (π3-π3)−√32≠0,所以f (x )的图像关于点(π6,0)不对称,排除D .5.已知向量a =(cos 2α,sin α),b =(1,2sin α-1),α∈(π2,π),若a ·b =25,则tan (α+π4)=() A .13B .27C .17D .23a ·b =25,得cos2α+sin α(2sin α-1)=25,求得sin α=35,又α∈(π2,π),则cos α=-45,所以tan α=-34,于是tan (α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=17.6.已知ω>0,a>0,f (x )=a sin ωx+√3a cos ωx ,g (x )=2cos (x +π6),h (x )=f (x )g (x ),这三个函数在同一直角坐标系中的部分图像如图所示,则函数g (x )+h (x )的图像的一条对称轴方程可以为()A .x=π6B .x=13π6C .x=-23π12D .x=-29π12f (x )=a sin ωx+√3a cos ωx=2a sin (ωx +π3),由题图可得2a=2,即a=1,f (x )=2sin (ωx +π3);而g (π3)=2cos (π3+π6)=0,h (x )=f (x )g (x )中,x ≠π3,所以{f (π3)=2sin (π3ω+π3)=0,f (0)=g (0);而ω>0,解得ω=2,即f (x )=2sin (2x +π3),所以F (x )=g (x )+h (x )=g (x )+f (x )g (x )=2cos (x +π6)+2sin(2x+π3)2cos(x+π6)=2cos (x +π6)+2sin (x +π6)=2√2sin (x +π6+π4)=2√2sin (x +5π12),而F (π6)≠±2√2,排除A;F (13π6)≠±2√2,排除B;F (-23π12)=2√2,即x=-23π12,即g (x )+h (x )的一条对称轴.7.(双空)已知向量a =(cos θ,sin θ),向量b =(√3,-1),则|2a -b |的最大值为,最小值为.2a -b =(2cos θ-3,2sin θ-1),则|2a -b |=√(2cosθ-√3)2+(2sinθ-1)2=√8-4√3cosθ-4sinθ=√8-8sin (θ+π3),当sin (θ+π3)=-1时,上式取最大值4,当sin (θ+π3)=1时,上式取最小值0.8.设f (x )=√3sin 3x+cos 3x ,若对任意实数x 都有m ≤f (x ),则实数m 的取值X 围是.(x )=√3sin3x+cos3x=2(√32sin3x +12cos3x)=2sin (3x +π6),所以f (x )min =-2,于是若对任意实数x 都有m ≤f (x ),则m ≤-2.-∞,-2]9.已知函数f (x )=sin (x -π6)+cos (x -π3),g (x )=2sin 2x2. (1)若α是第一象限角,且f (α)=3√35,求g (α)的值;(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合.(x )=sin (x -π6)+cos (x -π3)=√32sin x-12cos x+12cos x+√32sin x=√3sin x , g (x )=2sin 2x2=1-cos x , (1)由f (α)=3√35,得sin α=35,又α是第一象限角, 所以cos α>0.从而g (α)=1-cos α=1-√1-sin 2α=1-45=15. (2)f (x )≥g (x )等价于√3sin x ≥1-cos x , 即√3sin x+cos x ≥1.于是sin (x +π6)≥12. 从而2k π+π6≤x+π6≤2k π+5π6,k ∈Z ,即2k π≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z ,故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2kπ≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z}.10.若函数f (x )=sin x+√3cos x+a 在(0,2π)内有两个不同的零点α,β. (1)某某数a 的取值X 围; (2)求tan(α+β)的值.由题意得sin x+√3cos x=212sin x+√32cos x =2sin (x +π3), ∵函数f (x )=sin x+√3cos x+a 在(0,2π)内有两个不同的零点, ∴关于x 的方程sin x+√3cos x+a=0在(0,2π)内有相异二解, ∴方程sin (x +π3)=-a2在(0,2π)内有相异二解. ∵0<x<2π,∴π3<x+π3<7π3.结合正弦函数的图像可得若方程有两个相异解, 则满足-1<-a2<1,且-a2≠√32, 解得-2<a<2,且a ≠-√3.∴实数a 的取值X 围是(-2,-√3)∪(-√3,2).(2)∵α,β是方程的相异解,∴sin α+√3cos α+a=0,① sin β+√3cos β+a=0,②①-②,得(sin α-sin β)+√3(cos α-cos β)=0, ∴2sinα-β2cosα+β2-2√3sinα+β2sinα-β2=0.又sinα+β2≠0, ∴tanα+β2=√33,α+β21-tan2α+β2=√3.∴tan(α+β)=2tan。
2021高中人教B版数学必修第三册课时素养检测：8.1.3 向量数量积的坐标运算
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课时素养检测十六向量数量积的坐标运算(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x等于( )A.1B.C.-D.-1【解析】选A.由向量a=(1,-1),b=(2,x),a·b=1,得a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1⇒x=1.2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上投影的数量是( ) A.-3 B.- C.3 D.【解析】选A.依题意得,=(-2,-1),=(5,5),·=(-2,-1)·(5,5)=-15,||=,因此向量在方向上投影的数量是==-3.3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是( )A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以·=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-1<x<3,所以-2<·<6.4.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a·b 等于 ( )A.-B.-C.D.【解析】选D.由向量a=(-1,2),b=(m,1)得a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-,所以a·b=-1×+2×1=.5.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c 等于 ( )A. B.C. D.【解析】选D.设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),又(c+a)∥b,所以2(y+2)+3(x+1)=0.①又c⊥(a+b),所以(x,y)·(3,-1)=3x-y=0. ②联立①②解得x=-,y=-.所以c=.6.(多选题)已知点A(1,2),B(7,0),C(3,-2),则下列关于△ABC的结论正确的是 ( )A.是直角三角形B.是锐角三角形C.是等腰三角形D.三角形面积为10【解析】选ACD.由点A(1,2),B(7,0),C(3,-2),得=(2,-4),=(-4,-2),所以·=0,得⊥,且||=||=2,S △ABC=||2=10.所以△ABC是等腰直角三角形.二、填空题(每小题4分,共8分)7.(2020·六盘山高一检测)已知向量=(m,1),=(1,4),若·>11,则m的取值范围为.【解析】·=m+4>11,解得m>7.答案:(7,+∞)8.已知矩形ABCD的中心为O,AD=2,若·=8,则∠AOB=, 向量与的夹角为.【解题指南】先计算AB的长,再建立平面直角坐标系,转化为向量的坐标公式计算.【解析】因为矩形ABCD的中心为O,AD=2, 得·=0,由·=8,得(+)·(+)=8,所以·+-+·=-4=8,即=12,||=2.如图,以O为原点,建立平面直角坐标系,则A(-,-1),B(,-1),C(,1),D(-,1), 得=(2,0),=(2,2),=(-,-1),=(,-1),=(0,2),=(-,-1),得·=12,||=2,||=4,所以cos∠BAC===,因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=,所以∠AOB=π.因为cos<,>===-,且0<<,><π,所以向量与的夹角为.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.【解析】(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4),所以|+|=2,|-|=4.故两条对角线的长分别为2,4.(2)由题设知=(-2,-1),-=(3+2t,5+t).由(-)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,故t=-.10.(2019·孝感高一检测)设a=(1,2),b=(m,6)(m<0),a与b的夹角为.(1)求b.(2)若c与b同向,a-c与a垂直,求|c|.【解析】(1)因为a=(1,2),b=(m,6),<a,b>=,所以cos<a,b>=cos=,所以=,所以·=2(m+12),所以10(m2+36)=4(m+12)2,所以m2-16m-36=0,所以(m-18)(m+2)=0,所以m=-2或m=18(舍)(m<0),所以b=(-2,6).(2)因为c与b同向,所以可设c=λb=(-2λ,6λ)(λ>0),所以a-c=(1+2λ,2-6λ),因为(a-c)⊥a,所以(a-c)·a=0,所以1+2λ+4-12λ=0,所以λ=,所以c=(-1,3),所以|c|=.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知向量a=(1,2),b=(-2,-3),则(a+b)·(b-a)= ( )A.8B.18C.-8D.-18【解析】选A.方法一:因为a=(1,2),b=(-2,-3),则(a+b)·(b-a)=b2-a2=13-5=8.方法二:因为a=(1,2),b=(-2,-3),则a+b=(-1,-1),b-a=(-3,-5),所以(a+b)·(b-a)=(-1)×(-3)+(-1)×(-5)=8.2.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于 ( )A. B. C.2 D.10【解析】选B.因为a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),由a⊥c得a·c=0,即2x-4=0,所以x=2.由b∥c,得1×(-4)-2y=0,所以y=-2.所以a=(2,1),b=(1,-2).所以a+b=(3,-1),所以|a+b|==.3.(多选题)已知向量a=(3,4),b=(-4,-3),则下列说法正确的是( )A.a与b的夹角是直角B.a与b的夹角是平角C.a+b与a-b的夹角是直角D.a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量【解析】选CD.由向量a=(3,4),b=(-4,-3),得a·b=-24<0,所以a与b的夹角是钝角.(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b的夹角是直角.a在b上投影的数量为|a|cos<a,b>==-,b在a上投影的数量为|b|cos<a,b>==-.4.函数y=tan的部分图像如图所示,则(+)·= ( )A.-6B.-4C.4D.6【解析】选D.由y=tan的图像可知A(2,0),B(3,1),所以+=(5,1),=(1,1),所以·=6.【补偿训练】已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( ) A.13 B.15 C.19 D.21【解析】选A.如图,以点A为原点,,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.则A(0,0),B,C(0,t),所以=(1,0),=(0,1),所以=+=(1,0)+4(0,1)=(1,4),所以点P的坐标为(1,4),=,=(-1,t-4),所以·=1--4t+16=-+17≤-4+17=13.当且仅当=4t,即t=时取“=”,所以·的最大值为13.二、填空题(每小题4分,共16分)5.已知向量a=(1,-),b=(-,1),则a与b夹角的大小为.【解析】因为向量a=(1,-),b=(-,1),所以a与b夹角θ满足cos θ==-=-,又因为θ∈[0,π],所以θ=.答案:6.已知平面向量a,b的夹角为60°,a=(2,0),|a+2b|=2,则|b|= .【解析】因为a=(2,0),所以|a|=2,把|a+2b|=2两边平方可得a2+4a·b+4b2=12,即|a|2+4|a|·|b|cos<a,b>+4|b|2=12,代入数据可得22+4×2|b|×+4|b|2=12,整理可得|b|2+|b|-2=0,解得|b|=1.答案:17.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是.【解析】方法一:以D为坐标原点,BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设B(-a,0),C(a,0),A(b,c),则E,F,=(b+a,c),=(b-a,c),=,=,=,=,由·=b 2-a2+c2=4,·=-a2+=-1,解得b2+c2=,a2=,则·=(b 2+c2)-a2=.方法二:设=a,=b,则·=(a+3b)·(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4,·=(a+b)·(-a+b)=|b|2-|a|2=-1,解得|a|2=,|b|2=,则·=(a+2b)·(-a+2b)=4|b|2-|a|2=.答案:【补偿训练】在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为. 【解析】方法一:取,为一组基底,则=-=-,=++=-++=-+,所以·=·=||2-·+||2=×4-×2×1×+=.方法二:以AB所在直线为x轴,A为原点建立如图所示的坐标系.由于AB=2,BC=1,∠ABC=60°,所以CD=1,等腰梯形ABCD的高为,所以A(0,0),B(2,0),D,C,所以=,=(1,0),又因为=,=,所以E,F,因此·=·=×+×=+=.答案:8.设平面向量a=(-2,1),b=(λ,-1)(λ∈R),则|a|= .若a与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是.【解析】由题意得|a|==.因为a与b的夹角为钝角,所以a·b=-2λ-1<0,解得λ>-.又当λ=2时,向量a=(-2,1),b=(2,-1)共线反向,满足a·b<0,但此时向量的夹角不是钝角,故λ=2不合题意.综上λ的取值范围是∪(2,+∞).答案:∪(2,+∞)三、解答题(共38分)9.(12分)求与向量a=(,-1)和b=(1,)夹角相等,且模为的向量c的坐标.【解析】方法一:代数法设c=(x,y),由|c|=,得x2+y2=2,又|a|=|b|=2,向量c=(x,y)与向量a=(,-1)和b=(1,)夹角相等, 得=,即y=(2-)x,代入x2+y2=2,整理得x2=,解得x1=,x2=-,故y1=,y2=-,所以c=或c=.方法二:几何法因为|a|=|b|=2,a·b=0,所以△AOB为等腰直角三角形,如图,因为||=,∠AOC=∠BOC,所以C为AB中点,所以C,即c==.依题意,c=也符合题意,所以c=或c=.10.(12分)已知平面上三点A,B,C,满足=(2,4),=(2-k,3).(1)如果A,B,C三点不能构成三角形,求实数k满足的条件.(2)如果A,B,C三点构成直角三角形,求实数k的值.【解题指南】(1)由A,B,C三点共线,建立向量坐标的方程求解.(2)讨论直角三角形的顶点位置,由向量的数量积的坐标公式求解. 【解析】(1)因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线, 即∥,得4(2-k)=6,解得k=.(2)因为=(2-k,3),所以=(k-2,-3),所以=+=(k,1).由于A,B,C三点构成直角三角形,①当A是直角时,⊥,所以·=0,得2k+4=0,解得k=-2;②当B是直角时,⊥,所以·=0,得k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1;③当C是直角时,⊥,所以·=0,16-2k=0,解得k=8.综上所述,实数k的值为-2,-1,3,8.【补偿训练】在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,求k的值. 【解析】因为=(2,3),=(1,k),所以=-=(-1,k-3).若∠A=90°,则·=2×1+3×k=0,所以k=-;若∠B=90°,则·=2×(-1)+3(k-3)=0,所以k=;若∠C=90°,则·=1×(-1)+k(k-3)=0,所以k=.故所求k的值为-或或.11.(14分)已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb,λ∈R.(1)λ为何值时,|c|最小?此时b与c的位置关系如何?(2)λ为何值时,a与c的夹角最小?此时a与c的位置关系如何? 【解析】(1)由a=(1,2),b=(-3,4),得c=a+λb=(1-3λ,2+4λ),|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=5+10λ+25λ2=25+4,当λ=-时, |c|最小,此时c=,b·c=0,所以b⊥c.(2)设向量a与c的夹角为θ,则cos θ====,要使向量a与c的夹角最小,则cos θ最大,由于θ∈[0,π],所以cos θ的最大值为1,此时θ=0,=1,解得λ=0,c=(1,2).所以当λ=0时,a与c的夹角最小,此时a=c.关闭Word文档返回原板块。
人教B数学必修第三册课时跟踪训练：第八章 8.1 8. 向量数量积的概念 含解析
一、复习巩固1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2解析：a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝1×1×12＝12.答案：A2．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且b ·a ＝0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．无法确定解析：在△ABC 中，因为b ·a ＝0，所以b ⊥a ，故△ABC 为直角三角形． 答案：C3．|a |＝2，|b |＝1，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－12B ．120°C ．－1D ．向量b 的长度解析：a 在b 方向上的投影为|a |cos 120°＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1. 答案：C4．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：∵AB →＝DC →，即一组对边平行且相等，AC →·BD →＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为菱形．答案：B5．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是( )A ．－25B ．25C ．－24D ．24解析：因为|AB →|2＋|BC →|2＝9＋16＝25＝|CA →|2， 所以∠ABC ＝90°，所以原式＝AB →·BC →＋CA →(BC →＋AB →)＝0＋CA →·AC →＝－|AC →|2＝－25. 答案：A6．若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝__________. 解析：∵a ·a ＝|a ||a |cos 0°＝1， a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－12，∴a ·a ＋a ·b ＝1－12＝12.答案：127．若|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为135°，则a ·(－b )＝__________. 解析：∵a 与－b 的夹角为45°，∴a ·(－b )＝|a |·|－b |·cos 45°＝4×6×22＝12 2. 答案：12 28．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，则向量AB →在向量AC →上的投影等于__________． 解析：因为等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，所以∠BAC ＝120°，因此向量AB →在向量AC →上的投影为|AB →|cos 120°＝－12.答案：－129．已知|a |＝2，|b |＝4，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为150°时，分别求a 与b 的数量积．解析：(1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，即θ＝0， 则a ·b ＝|a ||b |cos θ＝8；若a 与b 反向，即θ＝180°，a ·b ＝|a ||b |·cos 180°＝－8. (2)当a ⊥b 时，θ＝90°，则a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为150°时，a ·b ＝|a ||b |cos 150° ＝2×4×⎝⎛⎭⎫－32＝－4 3. 10．如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：(1)AD →·BC →；(2)AB →·CD →；(3)AB →·DA →. 解析：(1)因为AD →∥BC →，且方向相同， 所以AD →与BC →的夹角是0°，所以AD →·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9. (2)因为AB →∥CD →，且方向相反， 所以AB →与CD →的夹角是180°，所以AB →·CD →＝|AB →||CD →|·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)因为AB →与AD →的夹角为60°， 所以AB →与DA →的夹角为120°， 所以AB →·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120° ＝4×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－6. 二、综合应用11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤π3，π C.⎣⎡⎦⎤π3，23πD.⎣⎡⎦⎤π6，π解析：因为Δ＝a 2－4|a |·|b |cos θ(θ为向量a 与b 夹角)． 若方程有实根，则有Δ≥0，即a 2－4|a |·|b |cos θ≥0， 又|a |＝2|b |，∴4|b |2－8|b |2cos θ≥0， ∴cos θ≤12.又0≤θ≤π，∴π3≤θ≤π.答案：B12．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影为－2，则|a |＝__________.解析：因为|a |·cos 120°＝－2，所以|a |·⎝⎛⎭⎫－12＝－2， 所以|a |＝4. 答案：413．若△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O,2OA →＋AB →＋AC →＝0且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于__________．解析：∵2OA →＋AB →＋AC →＝0， ∴OA →＋AB →＋OA →＋AC →＝0， ∴OB →＋OC →＝0，即OB →＝－OC →.∴O ，B ，C 共线，BC 为圆的直径．∴AB ⊥AC . 又|OA →|＝|AB →|，∴|OA →|＝|AB →|＝1，|BC →|＝2，|AC →|＝ 3. 故∠ACB ＝π6.则CA →·CB →＝3×2cos π6＝3.答案：314．设a 与b 是两个向量，定义|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，θ是a 与b 之间的夹角，则下列说法正确的是__________．①若a ＝(1，3)，b ＝(2,0)，则|a ×b |＝23； ②当向量a 与b 方向相同时，|a ×b |＝0； ③当向量a 与b 方向相反时，|a ×b |＝0；④|a ×b |是向量a 与b 形成的平行四边形的面积的大小． 解析：①若a ＝(1，3)，b ＝(2,0)，则a 与b 的夹角为π3，∴|a ×b |＝2×2×sin π3＝2 3.②当向量a 与b 方向相同时，|a ×b |＝|a ||b |sin 0＝0. ③当向量a 与b 方向相反时，|a ×b |＝|a ||b |sin π＝0. ④如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，|b |sin θ＝|BB 1|，所以|a×b|是向量a与b形成的平行四边形的面积的大小．答案：①②③④。
人教B版高中数学必修第三册课后习题 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1.1 向量数量积的概念
第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.1 向量数量积的概念课后训练巩固提升1.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b等于( )A.12B.32C.1+√32D.22.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下面的结果正确的是( )A.e1·e2=1B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1D.|e1·e2|<1,|e1|=|e2|=1,<e1,e2>=0°或180°,∴|e1·e2|=|e1||e2||cos<e1,e2>|=1.3.已知|a|=2,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b上的投影的数量等于( )A.2B.120°C.-1D.由向量b的长度确定4.已知|b|=3,a 在b 上的投影的数量是23,则a·b 为( )A.13B.43C.3D.2,|a|cos<a,b>=23, ∴a·b=|a||b|cos<a,b>=3×23=2.5.已知|a|=2|b|≠0,且关于x 的方程x 2+|a|x+a·b=0有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A.[0,π6]B.[π3,π]C.[π3,2π3] D.[π6,π],|a|2-4a·b≥0,∴4a·b≤|a|2,∴4|a||b|cos<a,b>≤|a|2. 又|a|=2|b|,∴cos<a,b>≤12.∵<a,b>∈[0,π],∴π3≤<a,b>≤π.6.已知|a|=4,e 为单位向量,a 在e 上的投影的数量为-2,则a 与e 的夹角为 .-2, ∴cos<a,e>=-12.又<a,e>∈[0,π],∴<a,e>=2π3.7.已知|a|=4,|b|=5,则a 在b 上的投影的数量与b 在a 上的投影的数量的比值λ= .在b 上的投影的数量等于|a|cos<a,b>,b 在a 上的投影的数量等于|b|cos<b,a>,故λ=|a |cos<a ,b>|b |cos<b ,a>=45.8.对于任意向量a,b,定义新运算“ ”:a b=|a|·|b|·sin θ(其中θ为a 与b 的夹角).利用这个新知识解决:若|a|=1,|b|=5,且a·b=4,则a b= .a 与b 的夹角为θ,则cosθ=a ·b |a |·|b |=45,sinθ=35.故a b=|a|·|b|·sinθ=1×5×35=3.9.如图所示,在▱ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∠DAB=60°.求:(1)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且方向相同,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角是0°.所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos0°=3×3×1=9. (2)因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且方向相反,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是180°,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos180°=4×4×(-1)=-16. (3)因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°, 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos120°=4×3×(-12)=-6.10.在△ABC 中,已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,求:(1)AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影的数量.ABC 为直角三角形,且∠C=90°.(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π-∠ABC)=-5×4×cos∠ABC=-5×4×45=-16. (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影的数量为|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos∠BAC=3×35=95.。
人教B数学必修第三册课时跟踪训练：第八章 8.1 8. 向量数量积的坐标运算 含解析
一、复习巩固1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b解析：∵|a |＝1，|b |＝22，∴|a |≠|b |，故A 错误；a ·b ＝(1,0)·⎝⎛⎭⎫12，12＝12≠22，故B 错误；∵a －b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，∴(a －b )·b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12·⎝⎛⎭⎫12，12＝14－14＝0，∴(a －b )⊥b ，故C 正确；∵1×12－0×12＝12≠0，∴a 与b 不平行，故D 错误．答案：C2．已知AB → ＝(2,3)，AC → ＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：由BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，|BC →|＝12＋(t －3)2＝1，得t ＝3，则AB →·BC →＝(2,3)·(1,0)＝2×1＋3×0＝2.故选C.答案：C3．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B ．10 C ．2 5D ．10 解析：由a ⊥c ，得2x －4＝0，则x ＝2.由b ∥c ，得－4＝2y ，则y ＝－2，故|a ＋b |＝(2＋1)2＋(1－2)2＝10. 答案：B4．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B ．π6C.π4D.3π4解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)， ∴2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，则cos 〈2a ＋b ，a －b 〉＝3×0＋932×3＝22，∴〈2a ＋b ，a －b 〉＝π4.答案：C5．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( ) A.655 B ．65 C.135D.13解析：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝2×(－4)＋3×74＋9×16＋49＝55，∴a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655. 答案：A6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝ 5.若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角的大小为__________．解析：设a 与c 的夹角为θ，由a ＋b ＝(－1，－2)＝－a ，|a |＝5，cos θ＝a ·c |a ||c |＝－(a ＋b )·c 5·5＝－525＝－12，∴θ＝120°. 答案：120°7．已知向量a ＝(1，3)，向量a ，c 的夹角是π3，a ·c ＝2，则|c |等于__________．解析：因为|a |＝2，a ·c ＝2，所以|a |·|c |cos 60°＝2，得|c |＝2. 答案：28．已知△ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →的值为__________． 解析：因为S △ABC ＝12×4×1×sin A ＝3，所以sin A ＝32，得A ＝π3或A ＝2π3，AB →·AC →＝1×4×cos A ＝±2.答案：±29．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.解析：(1)由a ⊥b 得2x ＋3－x 2＝0，即(x －3)(x ＋1)＝0.解得x ＝3或x ＝－1. (2)由a ∥b ，得2x 2＋3x ＋x ＝0，即2x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， 所以a －b ＝(－2,0)． 此时|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， 则a －b ＝(2，－4)．故|a －b |＝22＋(－4)2＝2 5.10．设向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，k ，t 是两个不同时为零的实数．若向量x ＝a＋(t －3)b 与y ＝－k a ＋t b 垂直．(1)求k 关于t 的函数关系式； (2)求函数k ＝f (t )的最小值．解析：(1)因为a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，所以a ·b ＝0，且|a |＝2，|b |＝1.又因为x ⊥y ，所以x ·y ＝0，即[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， 所以－k a 2－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2＝0. 因为|a |＝2，|b |＝1，a ·b ＝0，所以－4k ＋t 2－3t ＝0，所以k ＝14(t 2－3t )．(2)由(1)知，k ＝14(t 2－3t )＝14⎝⎛⎭⎫t －322－916， 所以函数k ＝f (t )的最小值为－916.二、综合应用11．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于( )A.π2 B ．－π2C.π4D ．－π4解析：由向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|2a ＋b |＝|a －2b |，两边平方可得4＋1＋4cos(α－β)＝1＋4－4cos(α－β)，解得cos(α－β)＝0，又0<α<β<π，所以0<β－α<π，则β－α＝π2，故选A.答案：A12．设A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)为坐标平面上的三点，O 为坐标原点．若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14解析：由图知，要使OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，只需使AB →⊥OC →，即(2－a ，b －1)·(4,5)＝0，得4a －5b －3＝0，即4a －5b ＝3.答案：A13．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，m )．若|a ||b |＋a ·b ＝0，则实数m ＝__________. 解析：由向量的数量积可知a ·b ＝|a ||b |cos θ，又|a ||b |＋a ·b ＝0，所以cos θ＝－1，所以θ＝π，即向量a ＝(2，－4)与b ＝(－3，m )的方向相反．设a ＝λb ，即(2，－4)＝λ(－3，m )，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝－3λ，－4＝λm ，解得m ＝6.答案：614．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的取值范围是__________．解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1,1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x,1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32.答案：⎣⎡⎦⎤12，3215．已知向量a ＝(3，－1)，|b |＝5，a ·b ＝－5，c ＝x a ＋(1－x )b . (1)若a ⊥c ，求实数x 的值；(2)当|c |取最小值时，求b 与c 的夹角的余弦值． 解析：(1)设b ＝(m ，n )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋n 2＝5，3m －n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－1.当b ＝(－1,2)时，c ＝x (3，－1)＋(1－x )(－1,2)＝(4x －1,2－3x )． ∵a ⊥c ，∴3(4x －1)－(2－3x )＝0， 解得x ＝13.当b ＝(－2，－1)时，c ＝x (3，－1)＋(1－x )(－2，－1)＝(5x －2，－1)． ∵a ⊥c ，∴3(5x －2)＋1＝0， 解得x ＝13.(2)设b 与c 的夹角为θ，由(1)可知，当b ＝(－1,2)时，c ＝(4x －1,2－3x )， 则|c |2＝(4x －1)2＋(2－3x )2＝25x 2－20x ＋5 ＝25⎝⎛⎭⎫x －252＋1. 当x ＝25时，|c |取最小值，则|c |＝1，c ＝⎝⎛⎭⎫35，45， ∴b ·c ＝－35＋85＝1.∴cos θ＝b ·c |b |·|c |＝55.当b ＝(－2，－1)时，c ＝(5x －2，－1)， 则|c |2＝(5x －2)2＋(－1)2＝25⎝⎛⎭⎫x －252＋1，当x＝25时，|c|取最小值，则|c|＝1，c＝(0，－1)，∴b·c＝1，∴cos θ＝b·c|b|·|c|＝55.。
人教B版高一数学必修第三册下学期第八章8.1向量的数量积知识点归纳复习总结
第八章 向量的数量积8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念1、夹角：给定两个非零向量a ，b ，在平面内任选一个点O ，作a OA ，b OB ，则称，0内的AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作 b a ,.注意：（1），b 是非零向量；（2）非零向量a ，b 的夹角范围是 ，0；（3） ,,；（4）当2,b a 时，向量a 与向量b ，记作（5）规定，零向量与任意向量垂直（6）注意下列向量的夹角： b a ,2、向量数量积一般地，当与b 都是非零向量时，bb a ,cos 为向量与的数量积（也称为内积），记作，即b a ，即b a b b a ,cos注：（1） 的结果是一个实数，而不是向量（2） 的符号由 b a ,cos 决定，即由 b a ,决定.当 ,)2,0[ 时，b a 是正数 当 ,2时，b a 等于0当 b a ,],2(时，b a 是负数3、向量数量积的性质（1 b（2）2 （3）0 b a b a4、向量的投影与向量数量积的几何意义 设非零向量a AB ，过A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为A ，B ，则称向量B A 为向量在直线l 上的投影向量或投影.类似地，给定平面上的一个非零向量b ，设b 所在的直线为l ，则a 在直线l 上的投影B A 称为a 在向量b 上的投影.由图可知，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向即有肯能相同，也有可能相反.如图（1），当 ,2时，B A 的方向与b b a ,；如图（2），当 ,2 时，B A 0如图（3），当 b a ,2时，B A 的方向与b b a ,cos一般地，如果a ，b ,为向量a 在向量b 上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.因为b b a ,cos =b a , ，所以两个非零向量a ，b 的数量积b a ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义.8.1.2向量数量积的运算律1、交换律（1）a b b a（2）当 是实数时，)()()(2、分配律（1） )(（2） )(（3）22)()(（4）2222)(（5）2222)(8.1.3向量数量积的坐标运算1、向量的坐标与向量的数量积在平面直角坐标系中，分别给定与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量1e ，2e 之后，如果对于平面内的向量，有21e y e x a ，则),(y x 就是向量的坐标，记作 ),(y x ，而且，1(e ，)2e 是一组单位正交基底. 设 ),(11y x ， ),(22y x 由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底1(e ，)2e ，使得2111e y e x ，2212e y e x ，所以b a =)(2111e y e x )(2212e y e x=2221122121211121e e y y e e x y e e y x e e x x=2121y y x x 所以 =2121y y x x当 ),(11y x ， ),(22y x 都不是零向量时，因为2121y x a a ，2222y x ，所以222221212121,cos y x y x y y x x2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设 ),(11y x ， ),(22y x ，由 的充要条件是 ， 所以02121 y y x x b a。
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 向量数量积的概念
在平面内任取一点 O,作=a,=b,以, 为邻边作平行四边形 OACB,
如图所示.
∵|a|=|b|,∴||=||,
∴四边形 OACB 为菱形,OC 平分∠AOB.
这时 =a+b,=a-b,而|a|=|b|=|a-b|,即||=||=||,
∴△AOB 为正三角形,故∠AOB=60°,
于是∠AOC=30°,即<a,a+b>=30°.
规律方法 熟练应用数形结合思想,恰当运用向量的几何意义是解决此类
问题的有效方法.
变式训练
若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则<a+b,a-b>是(
π
A. 6
π
B. 3
2π
C. 3
5π
所以 ⊥ ,即 AC⊥BD,
所以 EF⊥GF,所以四边形 EFGH 是矩形.
(2)解因为a·b=|a||b|cos<a,b>,所以
|a·b|=||a||b|cos<a,b>|=|a||b||cos<a,b>|=6.
6
又|a|=3,|b|=4,所以|cos<a,b>|=||||
所以
=
6
3×4
重难探究•能力素养全提升
探究点一 与向量数量积有关问题的判断
【例1】 已知a,b,c是三个非零向量,则下列正确的个数为(
)
①|a·b|=|a||b|⇔a∥b;②a,b反向⇔a·b=-|a||b|;③a⊥b⇔|a+b|=|a-b|;
④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|.
A.1
B.2
C.3
D.4
春人教B数学必修第三册新素养突破课堂检测·素养达标 8 向量数量积的坐标运算 含解析
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课堂检测·素养达标1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且3a·b=4,则x等于 ( )A. 3B.C. -D. -3【解析】选C.3a·b=3(2x-6x)=-12x=4,所以x=-.2.已知向量a=(1,),b=(-2,2),则a与b的夹角是( )A. B. C. D.【解析】选 C.设a与b的夹角为θ,则cos θ===,因为θ∈[0,π],所以θ=.3.已知向量a=(1,2),|b|=1,向量a与b的夹角为120°,则|a+b|的值为()A. B. C.7 D.13【解析】选B.由题意,可知a=(1,2),所以|a|==3.所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=9+1+2·|a|·|b|·cos 120°=10+2×3×1×=7.所以|a+b|=.4.已知=(2,4),=(1,3),则·=________.【解析】因为=(2,4),=(1,3),所以=-=(-1,-1),所以·=(2,4)·(-1,-1)=-2+(-4)=-6.答案:-6【新情境·新思维】设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=,n=,点P(x,y)在y=sin x的图像上运动,Q是函数y=f(x)图像上的点,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),求函数y=f(x)的值域.【解析】设Q(c,d),由新的运算可得:=m⊗+n=+=,由消去x得d=sin ,所以y=f(x)=sin,故y=f(x)的值域是.关闭Word文档返回原板块。
人教B版高中数学必修第三册课后习题 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1.1 向量数量积的概念
第八章8.1 向量的数量积8.1.1 向量数量积的概念 A 级必备知识基础练1.[探究点二]已知|a|=2,|b|=√3,a·b=3,则a 与b 的夹角为( ) A.30° B.45° C.60°D.120°2.[探究点一]已知△ABC 是边长为4的等边三角形,D 为BC 的中点,点E 在边AC 上,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AD 与BE 交于点P,则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.4 B.6 C.8D.93.[探究点一]已知|b|=3,a 在b 方向上的投影的数量是32,则a·b 为( ) A.3 B.92C.2D.124.[探究点三]向量a,b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,则a·b=( )A.3√2B.-3√2C.3D.-35.[探究点三]已知△ABC 外接圆圆心为O,半径为1,2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且√3|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为( ) A.34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.√34BC⃗⃗⃗⃗⃗C.14BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.-34BC⃗⃗⃗⃗⃗ 6.[探究点二]在△ABC 中,已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则△ABC 的形状为 .7.[探究点三]已知|a|=5,|b|=3,且a,b 的夹角为θ,cos θ=-45,则向量a在向量b 上的投影的数量等于 .8.[探究点三]已知|a|=4,|b|=5,当分别满足以下条件时,求b 在a 方向上的投影的数量. (1)a ∥b; (2)a ⊥b;(3)a 与b 的夹角为60°.B 级关键能力提升练9.有4个式子:①0a=0;②0a=0;③0-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ;④|a·b|=|a||b|. 其中正确式子的个数为( ) A.4 B.3 C.2D.110.[北京海淀校级期末]已知|a|=4,e 为单位向量,<a,e>=3π4,则a 在e 方向上的投影的数量为( ) A.2√2 B.2 C.-2√2D.-211.[山东聊城期中]如图所示的正八边形ABCDEFGH,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,下列结论正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OH ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π3B.OD ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗C.|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22|DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | D.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为√22e(其中e 为与OD ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量)12.(多选题)对于非零向量a,b,c,下列说法正确的是( ) A.若<a,b>∈[0,π2],则a·b>0B.若a ⊥b,则a·b=(a·b)2C.若a ∥b,则a 在b 上的投影的数量为|a|D.若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1λ2≠0),则a ∥b 13.在Rt △ABC 中,C=90°,AC=4,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-16 B.-8 C.8D.1614.已知向量a,b 满足|a|=2,|b|=4,且a·b=4√2,则a 与b 的夹角为 .若向量c,d 满足c 为单位向量,c·d=4,<c,d>=π3,则|d|= .C 级学科素养创新练15.[人教A 版教材习题]如图,在☉C 中,是不是只需知道☉C 的半径或弦AB 的长度,就可以求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值?8.1.1 向量数量积的概念1.A 因为|a|=2,|b|=√3,a·b=3,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=2×√3×cos<a,b>=3,所以cos<a,b>=√32.故<a,b>=30°.故选A. 2.C 由题意,如图所示:∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠PBC, 而|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠PBC, ∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BD⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 又△ABC 是边长为4的等边三角形,D 为BC 的中点,∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×4=8. 故选C.3.B 设a 与b 的夹角为θ.∵a 在b 方向上的投影数量为|a|cosθ=32,∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.4.C 由题图可知,|a|=3,|b|=√2,<a,b>=45°,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=3×√2×√22=3.故选C.5.D 由2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知O 为BC 中点,又O 为△ABC 外接圆圆心,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,∴AB ⊥AC.∵√3|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,∴cosB=√32,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影的数量为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π-B)=-32,∴向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为-32·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=-34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选D.6.等边三角形 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA=16cosA=8,∴cosA=12,即A=π3. 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴△ABC 为等边三角形. 7.-4 因为|a|=5,a,b 的夹角θ的余弦cosθ=-45,所以向量a 在向量b 上的投影的数量等于|a|cosθ=5×(-45)=-4.8.解(1)因为a ∥b,当b 与a 的方向相同时,b 在a 方向上的投影的数量为5;当b 与a 的方向相反时,b 在a 方向上的投影的数量为-5. (2)因为a ⊥b,所以b 在a 方向上的投影的数量为0.(3)因为|a|=4,|b|=5,a 与b 的夹角为60°,所以b 在a 方向上的投影的数量为|b|cos60°=5×12=52.9.C ①正确;②错误;③正确;由|a·b|=|a||b||cosθ|,得|a·b|=|a||b|不一定成立,式子④错误.故选C.10.C 空间向量a 在e 方向上的投影的数量为|a|cos 3π4=4×(-√22)=-2√2.故选C.11.C 在正八边形ABCDEFGH 中,∠AOH=2π8=π4,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π4,A 错误;因为∠DOF=π2,OE 平分∠DOF,所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 错误;显然|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,而|DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22|DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,C 正确;由题图知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量与向量OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 反向,D 错误.故选C. 12.BD 对于选项A,当<a,b>=π2时,a·b=0,故A 错误;B 正确;对于选项C,若a ∥b,则a 在b 上的投影的数量为±|a|,故C 错误;对于选项D,若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1λ2≠0),推出a=-λ2λ1b,可知a ∥b,故D 正确.故选BD.13.D 设∠CAB=θ,则在Rt △ABC 中,AB=AC cosθ=4cosθ.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=4cosθ×4cosθ=16.14.π48 设向量a 与b 的夹角为θ,则cosθ=a ·b |a ||b |=4√22×4=√22.又因为θ∈[0,π],所以θ=π4.因为c 为单位向量,所以|c|=1,由向量数量积公式得c·d=|c||d|cos<c,d>,得4=1×|d|×cos π3,所以|d|=8.15.解只与弦AB 的长度有关,与半径无关,理由如下:设☉C 的半径为r,AB 的长度为2a,取AB 的中点D,连接CD(图略),则CD ⊥AB.在Rt △ACD 中,AD=a,AC=r,cos ∠CAD=ar,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a·r·cos∠CAD=2ar·ar =2a 2.。
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第八章 向量数量积的坐标运算 分层作业册
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,1),求(b·c)a.
解 (1)因为向量a,b同向,又b=(1,2),
所以设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ),λ>0.
由a·b=20,得1×λ+2×2λ=20,
所以λ=4,所以a=(4,8).
(2)因为b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4,
所以(b·c)a=4(4,8)=(16,32).
C.0
解析 由题意可建立平面直角坐标系,令 A(0,1),B(0,0),C(1,0),则
=(0,-1), =(1,-1),=m(0,-1)+n(1,-1)=(n,-m-n),
所以有
1
·=m+2n=-3.
而 = + =(n,-m-n-1),
又 D 在 AC 上, ∥ ,所以有-m-1=0.因此
∵a=(-4,2),b=(1,-4),∴a+b=(-3,-2),
又
6
c=(3μ-2,-μ),∴-3(3μ-2)+2μ>0,∴μ<7.
又当 a+b 与 c 的夹角为 0°时不符合题意,
4
∴3μ≠2(3μ-2),μ≠3,
则μ
6
的取值范围为(-∞, ).
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
9.[探究点二·2023河南期中]已知向量a=(-1,2),b=(3,-1).
(1)求a+2b的坐标与|a-b|;
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 向量数量积的运算律
9
θ-2=-2.因此
cos
1
θ=2,又
θ∈[0,π],则
π
π
θ=3,即<e1,e2>=3.
变式训练1
(1)(2022 甘肃白银三模(理))已知向量 a,b 满足|a|=√2,|b|=2,(a-b)·a=1,则
|a-b|=(
)
B.√5
A.2
C.√6
(2)(2022 浙江高三专题练习)已知 a,b
(1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是a·b>0,且a与b不同向.
(2)a,b夹角为钝角的等价条件是a·b<0,且a与b不反向.
(3)a与b垂直的等价条件是a·b=0.
变式训练2
(2022广东广州第六十五中学高一期中)已知向量|a|=3,|b|=2,a与b的夹角
π
为3.
(1)若e是与b方向相同的单位向量,求a在b上的投影向量;
= 12 +2e1·e2+22 =1+1+1=3.
规律方法 求向量的数量积时,常用到的结论
(1)a2=|a|2;
(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于
多项式的乘法法则;
(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.
(3)由题意可得,cos<a,b>=
||||
所以向量 a 与 b
=
π
人教B版高中数学必修第三册8.1.3向量数量积的坐标运算
1．两个向量垂直的条件 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果 a⊥b，则 x1x2＋y1y2＝0；反之，如 果 x1x2＋y1y2＝0，则 a⊥b. 运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关 系去求参数． 如果 a⊥b，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行．这是因为 a⊥b，有 x1x2 ＋y1y2＝0(*)，当 x2y2≠0 时，(*)式可以表示为－x1y2＝yx12，即向量(x1，y1)与向 量(－y2，x2)平行． 对任意的实数 k，向量 k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a＝(1,1)，b＝(－2,2)，则 a·b＝0.( √ ) (2)若 a＝(4,2)，b＝(6，m)且 a⊥b，则 m＝－12.( √ ) (3)若 a·b＞0(a，b 均为非零向量)，则〈a，b〉为锐角．( × )
2．做一做 π
(1)已知向量 a＝(1， 3)，b＝( 3，1)，则 a 与 b 夹角的大小为____6____. (2)已知 a＝(1， 3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝______2______. (3)设 a＝(2,0)，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则 a·b＝______1______.
解
(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等 知识的联系．
(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式， 两者互相补充．
[跟踪训练 1] 已知 a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)． 解 解法一：(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2. ∵a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13， ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15. 解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， ∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)， ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.
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[A 基础达标]
1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( )
A ．－12
B ．－6
C ．6
D ．12
解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.
2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6
，则实数m 的值为( ) A ．2 3 B ．－ 3 C ．0 D. 3
解析：选D.由题意得|a |＝2，|b |＝
9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ＝29＋m 2cos π6
，解得m ＝3，选D.
3．若a ＝(2，1)，b ＝(3，4)，则向量a 在向量b 方向上的投影的数量为( )
A ．2 5
B ．2 C. 5 D ．10
解析：选B.设a ，b 的夹角为θ，则|a |cos θ＝|a |·a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝2×3＋1×45
＝2. 4．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP
→有最小值，则点P 的坐标是( )
A ．(－3，0)
B ．(2，0)
C ．(3，0)
D ．(4，0)
解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．
AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)
＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，
所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1.
所以点P 的坐标为(3，0)．
5．已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫79，74
B.⎝⎛⎭⎫－79，－74
C.⎝⎛⎭⎫97，47
D.⎝⎛⎭⎫－97，－47 解析：选C.设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5，
所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝⎛⎭⎫97，47. 6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________． 解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)，
a －
b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )，
因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0，即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0，所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2.
答案：－2
7．设点A (4，2)，B (a ，8)，C (2，a )，O 为坐标原点．若四边形OABC 是平行四边形，则向量OA →与OC →之间的夹角为________．
解析：因为四边形OABC 是平行四边形，
所以OA →＝CB →，即(4－0，2－0)＝(a －2，8－a )，
所以a ＝6.又因为OA →＝(4，2)，OC →＝(2，6)，
所以cos 〈OA →，OC →〉＝OA →·OC →|OA →|·|OC →|＝4×2＋2×642＋22·22＋62
＝22， 又〈OA →，OC →〉∈[0，π]，所以OA →与OC →的夹角为π4
. 答案：π4
8.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F
在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．
解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设F (x ，2)，
所以AE →＝(2，1)，AF →＝(x ，2)，AB →＝(2，0)，
所以AB →·AF →＝2x ＝2，
所以x ＝1，所以F (1，2)，
所以BF →＝(1，2)－(2，0)＝(1－2，2)，
所以AE →·BF →＝ 2. 答案： 2
9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .
(1)若a ⊥b ，求x 的值；
(2)若a ∥b ，求|a －b |.
解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，
解得x ＝－1或x ＝3.
(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，
即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.
当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，
a －
b ＝(1，0)－(3，0)＝(－2，0)．
所以|a －b |＝2.
当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，
a －
b ＝(1，－2)－(－1，2)＝(2，－4)，
所以|a －b |＝2 5.
[B 能力提升]
10．在平行四边形ABCD 中，AB →＝(1，0)，AC →＝(2，2)，则AD →·BD →等于( )
A ．－4
B ．－2
C ．2
D ．4
解析：选D.AD →·BD →＝(AC →－AB →)·(AC →－2AB →)
＝AC 2→＋2AB 2→－3AC →·AB →
＝8＋2－3×2＝4.故选D.
11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于
( )
A.⎝⎛⎭⎫79，73
B.⎝⎛⎭⎫－73，－79
C.⎝⎛⎭⎫73，79
D.⎝⎛⎭⎫－79
，－73 解析：选D.设c ＝(x ，y )，
因为a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)，
所以c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，
又因为(c ＋a )∥b ，
所以有(x ＋1)·(－3)－2·(y ＋2)＝0，
即－3x －2y －7＝0，①
又a ＋b ＝(3，－1)，
由c ⊥(a ＋b )得3x －y ＝0，②
由①②解得⎩⎨⎧x ＝－79
，y ＝－73，
因此有c ＝⎝⎛⎭⎫－79
，－73. 12．已知△ABO 三顶点的坐标为A (1，0)，B (0，2)，O (0，0)，P (x ，y )是坐标平面内一
点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．
解析：由已知得AP →·OA →＝(x －1，y )·(1，0)＝x －1≤0，且BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0，2)＝2(y
－2)≥0，即x ≤1，且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1，2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.
答案：3
13．在平面直角坐标系内，已知三点A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，求：
(1)AB →，AC →的坐标；
(2)|AB →－AC →|的值；
(3)cos ∠BAC 的值．
解：(1)AB →＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
AC →＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．
(2)因为AB →－AC →＝(－1，1)－(1，5)＝(－2，－4)，
所以|AB →－AC →|＝（－2）2＋（－4）2＝2 5. (3)因为AB →·AC →＝(－1，1)·(1，5)＝4，
|AB →|＝2，|AC →|＝26，
所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝42×26＝21313. [C 拓展探究]
14．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)．
(1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 的夹角；
(2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围．
解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)，所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)，
所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |
＝643＝32. 因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6
. (2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122
＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，23]．。