数形结合二
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。
通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。
通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。
数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。
在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。
【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。
1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。
学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。
二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。
二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
二次函数教学的重要性不言而喻。
只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。
二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。
通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。
1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。
在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。
数形结合在二次函数中的应用
课题：数形结合在二次函数中的应用公主岭四中 曹立华教学目标：1． 知识目标：理解二次函数解析式与二次函数图像间的关系。
通过解析式本身蕴含的信息以及函数图像的直观表示，解决有关的问题。
2． 能力目标：通过本节课的学习，进一步掌握数形结合的数学思想以及数形互检的方法。
3． 情感目标：通过小组讨论活动，培养学生的团队协作精神。
教学过程：数形结合思想就是将几何与代数有机地结合，用数的观念来解决形的问题；或者用形的方法解决数的问题，是中考数学中的一个重要的思想方法。
今天我们着重研究数形结合在二次函数中的应用。
一、数促形，让感性的形多一分理性思考：从图中获取信息：学生可能从以下几方面考虑：（1）a 、b 、c 的符号（2）24b ac -的符号（3）顶点位置例1 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论 ①0<++c b a ②0>+-c b a ③0>abc ④3c a >-中正确的个数是( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1分析：仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置坐标，以及解析式中各系数与图形性质的对应关系，再做出判断。
归纳：我们解题时会发现图形的特征常常体现着数的关系，运用“数”的规律，数值的计算，我们就可以寻找出处理“形”的方法，来达到“数促形”的目的。
图形问题可以转化为数量问题。
同样有时数量问题也可以转化为图形问题。
二、形帮数，让理性的数多一些感性。
x… -3 -2 -1 0 1 2 … y … 12 5 0 -3 -4 -3 …（1）该抛物线对称轴的直线方程是 。
（2）若抛物线与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，求S △ABC分析：此题若先求解析式，后求对称轴，计算较繁，通过“形”利用对称性简单明了。
练习1：抛物线开口向上，顶点在坐标原点，将该抛物线向下平移15个单位后，与x 轴相交的两交点间的距离是15，则平移后的抛物线解析式为 。
小学奥数-数形结合
专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？ [略解]解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.2083=+x x ,2084=x ,52=x .答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？ [略解]解：设轿车开出小x 时后追上客车.x x 108903.090=+⨯，x 1827=，5.1=x答：轿车开出1.5小时后追上客车.【技巧贴士】 这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？ [略解]解：设x 分钟后两人还相距324米.150********=++x x ，8=x答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .【巩固练习】第一期第一部分基础达标1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？第二部分强化训练4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用数形结合思想在二次函数教学中的应用是非常重要的。
二次函数是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题时，往往需要将数学知识与几何图形相结合，才能更好地进行分析和解决。
在讲解二次函数的基本概念时，可以借助几何图形进行解释。
通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到二次函数的特点和性质。
可以引导学生观察图像的特点，如顶点、对称轴、开口方向等。
通过观察图像，学生可以更深入地理解二次函数的定义和性质。
数形结合思想在解决二次函数的最值问题时也能起到很大的帮助。
当需要求一个二次函数在一定区间内的最大值或最小值时，可以通过分析几何图像的形状来确定最值的位置。
如果是一个开口向上的抛物线，最小值即为顶点的纵坐标；如果是一个开口向下的抛物线，则最大值为顶点的纵坐标。
通过这种数形结合的思想，学生不仅可以快速找到最值的位置，还能够对最值的意义有更深入的理解。
数形结合思想在解决二次函数方程的根的个数和位置问题时也很有用。
通过绘制抛物线的图像，可以让学生观察到抛物线与x轴交点的个数和位置与方程的根的个数和位置是一致的。
如果抛物线与x轴只有一个交点，那么方程也只有一个实根；如果抛物线与x轴有两个交点，那么方程有两个实根；如果抛物线与x轴没有交点，那么方程没有实根。
通过这种数形结合的思想，学生可以更好地理解二次函数方程根的个数与位置的关系。
数形结合思想在解决二次函数的图像变换问题时也能起到很大的帮助。
在讲解平移变换时，可以通过移动抛物线的顶点，让学生理解平移变换对函数图像的影响；在讲解伸缩变换时，可以通过改变抛物线的开口程度，让学生理解伸缩变换对函数图像的影响。
通过这种数形结合的思想，学生可以更直观地理解各种函数变换的效果和特点。
数学人教版九年级上册数形结合求二次函数最值
数形结合求二次函数最值一、教学内容分析二次函数在中考中占有非常重要的地位，而二次函数在自变量给定区间内的最值在中考中频频出现，主要考察我们分类讨论和数形结合思想的应用。
这节课我们主要以二次函数为例，讨论影响二次函数在自变量给定区间的最值，主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴的位置。
而对称轴的位置是解决这类问题的关键。
二、教学目标设计知识与技能1、掌握运用数形结合求给定区间内的二次函数最值。
体会利用对称性比较函数值大小。
2、分类讨论思想求二次函数的最值。
过程与方法1、经历求最值、画图像，在给定区间内通过图像总结对称轴的位置与图像最值的关系，培养学生画图和推理能力。
2、结合图像与函数知识进行分类讨论求二次函数最值。
情感与价值1、渗透数形结合、分类讨论思想，培养学生总结推理能力。
2、了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。
三、教学重难点重点：通过数形结合总结在区间内求二次函数最值的方法，知道对称轴的位置最为关键。
难点：运用分类讨论思想求二次函数最值。
四、教学方法：讲授发现法、分类讨论法五、教学过程（典型例题分析）1、教师以数学家华罗庚先生的话引入本节课内容。
“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数统一体。
永远联系．切莫分离!”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致．教师以二次函数y=-2x2-4x+6为例通过让学生求顶点坐标画草图，让学生复习二次函数基本知识，接下来教师通过给定自变量范围：（1）当-4≤x≤-2时的最值情况（2）当-2≤x≤12时的最值情况y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8设计意图：学生复习求二次函数顶点坐标的方法和画草图的基本方法。
通过画草图体会准确图像的重要性。
让学生明确在自变量区间内对应的图像是抛物线的一部分从而找到对应的最值。
学生通过自变量的不同区间得出不同最值。
尝试得出结论：（1）当自变量区间在对称轴同侧时可根据函数增减性得出最值。
数形结合的思想方法二
专题概览
来，并促使数学科学迅速发展成近代的数学.著名数学家拉格 朗日指出：“只要代数与几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，
它们的应用就狭窄，但是当这两门学科结合成伴侣时，它们互
相吸取新鲜的活力，从此以后，就以快速的步伐走向完善.” 一般意义下，将数与形结合在一起的背景是坐标系，就是 对于某些数学问题，通过引进坐标系，把问题的条件和结论， 用点的坐标表示为某些数量的关系式，然后用代数知识解决的 方法，这种方法称为坐标法，也叫解析法.解析几何学的内容 本身是坐标方法和数形结合思想的载体，数形结合思想和坐标 法相辅相成. 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，近几年的高 返回目录
程看，属于代数问题，如果能把内容赋予几何意义，作出相 关的解释，“以形助数”，就可从形的角度进行思考，这种
意识需要在解题时有目的地训练.
［答案］ D 返回目录
模拟训练
2.已知x1 是方程x+lgx=3的一个根，x2 是方程x+10x=3的 一个根，那么x1+x2= ［分析］ .
通过等号连接的代数式与超越式构成的方
所以，应选B. ［点评］ f(x)在y轴左边的图象可由奇函数图象关于原 点对称画出，也用了对称的思想方法. ［答案］ B 返回目录
模拟训练
5.两个实数x，y满足关系式 x 36 y 2 0，求: (Ⅰ) y 12 的取值范围；
x6
(Ⅱ) 2x+y的取值范围； (Ⅲ) (x－4)2+(y+3)2的取值范围. ［解析］ 由 x 36 y 2 0得 36 y 2 2+y2=36(x≤0)， ，平方得x x
3.数形结合思想常可以构造的几何模型有：①构造单位
圆、韦恩图、利用数轴等解题;②构造坐标平面,利用椭圆、 双曲线、抛物线的定义解题；③构造向量模型；④构造三 返回目录
数形结合思想——解数学问题的重要思想之二
解得 ｏ＝ ５ ， ． ． ． 当ｔ ＝ ５秒时 ， 四边形 ＭＮ Ｃ Ｄ是平行 四边形． （ ３ ） 假设 当 ｔ ＝ａ时 ， 四边形 ＭＮＣ Ｄ是等腰梯形 ， 则 所示 ， 过点 作 ＭＤ上Ａ Ｃ于 Ｄ
・
．
・
△Ａ Ｂ Ｃ为直角 三角形 ， Ｃ＝ ９ ０ ｏ
六、 平 移 型
（ Ａ） 通票 （ 曰 ） 通票 （ Ｃ ） ６ ０ ｌ ０ ０ １ ５ ０
形 ＭＮ Ｃ Ｄ的面积为 Ｓ ，
且 ａ＋ ｌ＝ ｆ ｐ＋ ｑ＋１ ｑ ＝ ｐ
‘ ． ．
Ｐ＝ｑ ８ ， ｑ ＝口＋ Ｊ Ｂ 一 一１
（ ２ ） 若 使ｐ ＋ ｇ ＝ ｝成 立， 只 需 ＋ ／ ３ ＝ ｐ ＋ ｇ ＋ １ ＝ － 三 ４ Ｑ －
① 当点 Ｍ（ ， 口） 在 ｃ边 上运动时 ， 如 图所示 ：
△＝（ Ｐ＋ｑ ＋１ ） 一 Ｐ＝（ Ｐ＋ ｑ一１ ） ＋ ４ ｑ ￣Ｏ
例 ４ 如图， 在梯形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， Ａ Ｄ ∥Ｂ Ｃ ， ／ ＿ Ｂ＝ ９ ０ 。 ，
Ａ Ｂ＝１ ４厘米 ， Ａ Ｄ＝１ ５厘米 ， Ｂ Ｃ＝ ２ １厘米 ， 点 Ｍ 从 Ａ点 开始 ， 沿Ａ Ｄ边 向 Ｄ运动 ， 速 度 为 １厘米／ 秒， 点 Ｊ ７ 、 ｒ 从 Ｃ 点开始 ， 沿Ｃ Ｂ边 向点 Ｂ运动 ， 速度 为 ２厘米／ 秒。 设 四边
二
故 在Ａ Ｃ 边 上 存 在 满 足 条 件 的 点， 其坐 标为 （ １ ， ｝）
③ 当点 Ｍ（ ， 卢） 在Ａ Ｂ边 上 运动 时 ， 有 １≤ａ≤１ ，
１≤口≤ ２
（ ２ ） 假设当 ｔ ＝ ａ 肘， 四边形 ＭＮ Ｃ Ｄ是平行 四边形 ， 根
据平行 四边形的判定定理有 Ｍ Ｄ＝ Ｎ Ｃ， 即： （ １ ５一 ｎ ） ＝２ ａ ，
数形结合论文二次函数论文：通过几个典型例题解析二次函数中的“数形结合”思想方法
数形结合论文二次函数论文：通过几个典型例题解析二次函数中的“数形结合”思想方法【摘要】数形结合的数学思想方法在初中数学中具有相当的重要性。
本文通过对几个典型的例子剖析来展示数形结合的思想在二次函数中对判断参数的正负、解决方程组的问题、比较函数值大小的问题、推导二次函数平移后的方程等中的应用。
【关键词】数形结合二次函数前言函数向来离不开图像。
通过函数图像，我们可以很直观地理解函数，从而更好地应用函数。
二次函数是初中生接触解析几何的开端，它不仅在中考中占着很重要的地位，还对学生数学思维的培养具有很重要的意义。
学生在解决二次函数的问题时往往遇到很多问题，于是本文将介绍对于解决二次函数问题很有启发意义同时也是中考中经常要考的考点——数形结合。
1.由图像判断a、b、c的正负例1：（如图1所示）抛物线方程为y=ax2+bx+c(a≠0)，则可以得出以下结论： a ＜0 ；b＞0；c＞0解析：∵抛物线开口向下，∴a ＜0∵抛物线顶点在第一象限，∴-＞0 即＜0，∴ b＞0∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴，∴ c ＞ 0借由抛物线的图，我们可以清晰地知道：抛物线的开口方向由a决定，a ＞0 则开口向上，a ＜0则开口向下；在判断出了a的情况下，再借助顶点的位置（即顶点横坐标x=-的正负），才可判断出b的大小。
最后，在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中，与y轴交点坐标为（0，c）,c的值由交点纵坐标决定，因此可以判断c的大小。
2.数形结合可以将求解方程的问题转化为交点问题，比较函数值大小的问题例1：关于x的一元二次方程x2－x－n=0没有实数根，则抛物线y=x2－x－n的顶点在()a．第一象限b．第二象限c．第三象限d．第四象限解析：本题的实质问题在于讨论抛物线与x轴的交点问题。
譬如求方程y=ax2+bx+x (a≠0)y=kx+b的时候，数形结合的思想就可以把问题转化为y=x2-x-ny=0通过图象求两条曲线交点的问题。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用数与形是数学中的两个最古老，中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。
标签：数学结合；二次函数；应用著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
”数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。
二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。
“数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个基本研究对象，这两个内容既互相独立又互相联系，体现在数学解题过程中包括“以数解读形”和“以形分析数”两个方面。
数形结合思想就是把数和形有机组合，使数学问题得到转化，“形”让“数”更具体明了，“数”使“形”更形象灵活。
因此，数形结合思想在数学解题中有广泛的应用。
数形结合思想在二次函数中的应用比较广泛，借助数形结合思想可以方便快捷地解决二次函数问题，怎样利用数形结合思想解决二次函数问题呢？要在解题中有效实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：第一，以数轴、坐标系为桥梁把函数图象几何化；第二，利用面积、距离、角度等几何量来解决二次函数问题。
一、二次函数中的形转数二次函数图象的顶点在原点0，经过点A（1，1）；点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。
（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP。
解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（l）中图象上的点，过点P作X轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM=∠PMF，接下来探究乙PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y 轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。
(完整版)小学奥数数形结合
r b e i n g a r e g o o d f o r s o 专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？[略解]解：设小巧有张邮票，那么小胖有3张邮票.x x ,,.2083=+x x 2084=x 52=x 答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数.【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？[略解]e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o df o r s o解：设轿车开出小时后追上客车.x ，，x x 108903.090=+⨯x 1827=5.1=x 答：轿车开出1.5小时后追上客车.【技巧贴士】这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系.【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？[略解]解：设分钟后两人还相距324米.x ，150********=++x x 8=x 答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为.32415007572-=+x x【巩固练习】第一期第一部分基础达标1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？第二部分强化训练4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
“数形结合”在解题中的应用——二次函数与平行四边形
“数形结合”在解题中的应用——二次函数与平行四边形摘要：二次函数是初中数学教材中非常重要的内容之一，是中考的必考内容。
在中考考卷往往结合种数学容，将二次函数与四边形结合，提升思维综合度，使学生整个答卷在此出现分水岭，此题只要抓住解题要领对学生的解题能力起到了一定的锻炼作用。
数形结合思想是数学函数解题中的法宝，利用数形结合来实现学生对数学题的直观认知，提高解题效率。
本文首先阐述了数形结合在解题中的重要性，然后分析数形结合在解题中的应用，将二次函数与四边形进行有效结合，并进行解题思路的强调，点播学生进行解题，最后总结解题规律。
旨在能够利用数形结合的思维进行题目的分析，从而实现数学题的分析，达到解题的目的，同时也可以加强学生数学思维能力的提升。
关键词：数形结合；二次函数；平行四边形引言：数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习中解决函数问题常用方法。
解题中经常会出现二次函数与四边形同时出现的题型。
陕西中考中截止2020年前近10年考查了6次二次函数与特殊平行四边行，涉及平行四边形4次。
让学生在解题中摸不到头绪，通过数形结合方法可以有效解决此难题。
那么如何在初中数学解题中进行数形结合的应用呢，下面通过具体例题来进行分析和研究。
一、数形结合在解题中的重要性数形结合指的是数字与图形进行有效结合，能够实现数形之间的转化，通过图形的展示让学生在解题中更加具有直观性，可以直接看到解题要点，有效提高解题效率。
与此同时，通过数形结合思想还可以帮助学生打开数学解题思路，能够通过多种方法进行数学题目的运用，促进学习质量的提升[1]。
二、数形结合在解题中的应用分析陕西省中考对二次函数与平行四边形的考察非常重视，教师在教学的过程中可以通过对中考题目进行分析，在例题分析中对学生进行解题思维点拨，从而能够促进学生进行数学问题的思考，进而不断培养学生在处理二次函数与平行四边形的解题思路。
在最后的过程中还需要对类型的问题解决方法进行大总结，这样能够让学生在遇到类似的问题可以随机应变，提高学生的解题能力。
数形结合思想在二次函数问题中的应用探析
2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建 南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。
在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。
初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。
一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。
在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。
有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。
华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。
数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。
通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。
二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常 量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。
“Z+Z”联手“数形结合”攻克二次函数
一、数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
著名数学家华罗庚认为“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。
数形结合是指把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，使代数的问题几何化或几何的问题代数化，从而将抽象的思维与形象思维结合的一种思想方法，主要表现在用代数的方法解决几何问题，或用几何的方法解决代数问题，以及代数与几何的综合问题解析。
数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
数形结合方法是解决数学问题尤其是函数问题的一种重要方法，特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现。
用图形可以使抽象的数量关系变得直观形象；而一些图形的性质，又可以赋予其数量意义，通过数量的运算使问题得到解决。
二、超级画板“Z+Z”数形结合思想是数学老师最应该掌握的基本思想，也是求数学老师熟练掌握的基础教学能力。
但如何才能真正的在平面上实现数形结合呢？这一直是因扰各数学老师的头痛课题。
直到有一天，我去参加了超级现板“Z+Z”的培训（其实还有几何画板），因扰多年的问题马上得到了很好的解决。
“Z+Z”智能教育平台是我国自主知识产权的具有国际先进水平的教育软件平台，它由我国著名数学家张景中院士主持开发。
这是一种多功能的教学工具软件，就像买生活用品时去超市一样，应有尽有；在教学活动中使用超级画板，得心应手，左右逢源。
国货当自强，我用国货，我自豪！三、数形结合、“Z+Z”和二次函数教授二次函数不用数形结合不可能！用黑板和普通平面多媒体作演示，作用其实是一样的。
因为它们不够直观和动态。
在顺应现时的教育形势下，用“Z+Z”联手数形结合去执教在互联网下成长起来的新一代学生，教学成效就会产生新的质的飞跃！四、“Z+Z”联手“数形结合”攻克二次函数的性质以下是利用“Z+Z”在“数形结合”的分支“列表法”把二次函数的性质进行的归纳。
数形结合之二次函数小题
数形结合之二次函数一．选择题1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，其中，正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．①③④8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形9．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0，其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的个数为（）①c＞0；②a＜b＜0；③2b+c＞0；④当x＞时，y随x的增大而减小．A．1 B．2 C．3 D．411．以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤212．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③14．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（）A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=115．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．17．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（）A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜319．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．420．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．2a+b＜0 B．4a+2b+c＞0C．m（am+b）＞a+b（m为大于1的实数）D．3a+c＜021．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个22．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（）个．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个23．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④24．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①b＜0；②b+2a=0；③方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=﹣2，x2=4；④a+c＞b；⑤3a+c ＜0．其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个25．若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k 有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（）A．0＜k＜4 B．﹣3＜k＜1 C．k＜﹣3或k＞1 D．k＜426．已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m，其中m＞0，它的图象与x轴从左到右交于R和Q两点，与y轴交于点P，点O是坐标原点．下列判断中不正确的是（）A．方程x2﹣（m﹣1）x﹣m=0一定有两个不相等的实数根B．点R的坐标一定是（﹣1，0）C．△POQ是等腰直角三角形D．该二次函数图象的对称轴在直线x=﹣1的左側27．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是（）①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b；⑤ac+k＞0．A．1 B．2 C．3 D．428．如图，二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①abc＜0；②b ＜﹣2a；③b2+8a＞4ac；④2a+c＜0．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个29．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点（0，2）．下列结论①2a+b＞﹣1，②3a+b ＞0，③a+b＜﹣2，④a＞0，⑤a﹣b＜0，其中结论正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1第11页（共11页）。
数形结合(二) (1)
丹东二中 数学组 蒋翠莲
数学 思想方法
数形结合
函数与方程
分类讨论
转化与化归
以“数”辅“形”以“形”助“数”
x2 y2 2 1a, b 0 2 a b
y M
2a,
3a
120
o
A
O
B
F x
答案：D
答案
2 ， 1 2
y=sinx
y=cosx
y C2
B
C
答案：
5 12 , 12
C1 O A x
y
y 4x
2 1
答案：B
O
1 2
1
y log
x
2 2
x
y
2Leabharlann 2O-1x
y=-x+2
答案：2
y x 2 x 1
y
1
m2= e
e
1 m1= 2
-1
O
1 2
1
x
1 e ， 答案： 2 e
形缺数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘 几何代数统一体 永远联系莫分离
数形结合(二）——以形助数
适用范围
解析几何 函数零点个数 三角函数、向量 不等式 含有多个函数类型 数列
注意事项
数形般配 尽量精准
（必须作出关键的点和线等）
赋予参变量的几何意义 变量的范围
数形结合打油诗（华罗庚）
数与形 本是相倚依
焉能分作两边飞
数缺形时少直观
“数形结合”在二次函数中的应用
“数形结合”在二次函数中的应用数形结合是数学中一种重要的解题方法，它通过利用图形的性质和数学的方法相结合，帮助我们更好地理解和解决问题。
在二次函数中，数形结合可以帮助我们分析二次函数的性质、研究函数的图像、解决实际问题等。
二次函数是一种以 x 的二次方为最高次幂的函数，一般可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
首先，我们来看二次函数的图像。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx+ c，我们可以利用数形结合的方法来画出它的图像。
首先，我们可以找出它的顶点。
二次函数的顶点坐标为 (h, k)，其中 h = -b/2a，k =f(h)。
通过求解这个方程，我们就可以得到顶点坐标。
然后，我们找出函数的对称轴。
二次函数的对称轴是 x = h。
接下来，我们可以求解函数的y-截距。
即当 x = 0 时，f(x) = c，这个值就是函数的 y-截距。
有了顶点坐标、对称轴和 y-截距，我们就可以画出二次函数的图像，进一步分析函数的性质。
其次，数形结合在研究二次函数的性质和解决实际问题中也非常有用。
对于二次函数来说，我们可以通过分析函数的系数a、b和c，来研究函数的性质。
首先，系数a决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
其次，系数a的绝对值决定了抛物线的狭长程度。
绝对值越小，抛物线越狭窄；绝对值越大，抛物线越扁平。
最后，系数c决定了抛物线与y轴交点的位置，即y-截距。
通过分析这些性质，我们可以更好地理解二次函数的图像和性质。
另外，在解决实际问题中，数形结合方法也起到了非常重要的作用。
例如，当我们需要求解一个二次函数的最大值或最小值时，通过绘制函数的图像，并利用数学方法求解这个问题，可以更快地得到答案。
同样地，当我们需要求解一个实际问题中的最优解时，通过综合运用数学的分析方法和图形的特点，可以更好地解决问题。
价值引导 自主建构——数形结合思想下的“二次函数”复习课
ｌ
—
＋ ２ ＋ ３ ＝ 一 ｘ ＋ ３
数形结合思， 想
若二次 函数ｙ ＝ ａ ｘ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ 的 与 的部
图１
（ ３ ） 判断下 列方 程解 的个 数 （ 自主
探究 ） ．
１ ４
投ｌ
弧 。 ３
数学教学通讯（ 初等教育 ）
教学研究＞ 备 课参考
教学研究 ＞ 备课参考
数学教 学通讯 （ 初等教育 ）
＿襁 ｌ 菇 。 《 ＼ ｌ ｌ ｌ Ｉ ＝ Ｉ
价值 引导 自主建构
— —
数形结合思想下的“ 二次 函数” 复习课
韩苏 文 浙 江 宁波市 象 山县 丹城 中学 ３ １ ５ ７ ０ ０
［ 摘
要 ］引导学生在积极参与教 学活动的过程中， 通过独立思考 、 合作 交流 ， 逐步感悟
３ ． 如 冈２ ． 求 △Ｃ Ｄ Ｂ的面 积 ．
４ ． 以上信息的获得 ， 用 了什 么数 学
思 想 方 法 ？— — 数 形 结 合 思 想 ．
圆引 导 探 究 、 合 作 研 讨 — — 感 悟
数形 结合 思想
１ ． 以“ 形” 助“ 数” —— 借助 “ 形” 的 生动 和直观性来阐明“ 数” 之 间的联系．
一 一
（ ５ ） 反思 ： 通过 以上练 习你 有何 感
想 ？ 获 得 了哪 些 解 题 经 验 ？
４ ５
数学思想方法， 才 能有效地应用知识 、 形成 能力 ， 从而提高数学素养 ．笔者结
合“ 二次 函数” 复习课就感悟数形结合思想进行 了积极的探 索．
［ 关键词 ］价值 引导； 自主建 构； 数学思想与方法
数 学 思 想 方 法 是 数 学 学科 的精 髓 ．
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的教学涉及到数学概念、数学方法和数学技巧的培养。
在教学过程中，如何引导学生掌握二次函数的数学知识，培养数学思维，实现数学与现实生活的结合是教学的关键。
数形结合是数学教学中的一种重要教学思想，它通过将抽象的数学概念与具体的图形形象相结合，帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。
本文将以二次函数教学为例，谈谈数形结合在二次函数教学中的应用，并探讨如何有效地开展数形结合教学，使学生更好地掌握二次函数的知识。
一、数形结合的意义与作用二、数形结合在二次函数教学中的应用1. 通过图形展示二次函数的基本性质二次函数是平面解析几何中的一个重要内容，它的图象——抛物线是解析几何中的一个重要曲线。
在二次函数的教学中，可以通过绘制二次函数的图象来展示二次函数的基本性质，如顶点、对称轴、开口方向等，使学生直观地感受二次函数的特点，从而对二次函数有一个清晰的认识。
二次函数的图象是一个抛物线，它的形状随着参数a、b、c的变化而发生变化。
在二次函数的教学中，可以通过改变参数a、b、c的值，绘制不同的二次函数图象，并让学生观察图象的变化规律，探讨参数对二次函数图象的影响，帮助学生深入理解二次函数的变化规律。
3. 通过实际问题引导学生建立二次函数模型二次函数是描述抛射、运动、变化规律等问题的数学模型，它在实际生活中有着广泛的应用。
在二次函数的教学中，可以通过实际问题引导学生建立二次函数模型，并通过绘制二次函数图象来解决实际问题，使学生理论联系实际，培养学生的数学建模能力。
三、如何有效地开展数形结合教学1. 合理选择教学内容在开展数形结合教学时，需要根据学生的实际情况和教学要求，合理选择教学内容。
可以根据二次函数的特点，选择一些具有代表性的例题和实际问题，通过图形展示和解释，帮助学生理解和掌握二次函数的相关知识。
2. 创设丰富多彩的教学情境在开展数形结合教学时，可以通过举一反三、对比分析等教学方法，创设丰富多彩的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用
当我们谈论二次函数时，可以把它看做一个有参数形状的函数，它可以帮助我们研究特定
物理现象中某种参数形状下的变化规律。
参数形状可以用弧型、抛物线或曲线等表示。
例如，当我们想要描述一个物体在自由落体中的位置变化时，就可以使用二次函数来描述这
种变化。
例如，我们可以使用一个二次函数来表示该物体的运动路径，比如s = 1/2at^2 + v_0t + s_0，其中a为加速度，V_0为初始速度，s_0为初始位置。
同样的，当我们讨论气体的物理性质时，也可以利用参数形状来从中获取函数公式。
比如，通过压力-体积图，我们可以建立一个二次函数来表示该图形，比如p=aV + bV^2，其中a,b为常数，V为体积。
这个公式能够描述不同体积下压力的变化规律，从而使我们更好
地理解气体的性质。
此外，参数形状的应用还可以用在函数外，例如在横坐标和纵坐标变化规律上，我们也可
以把它们表示成一幅参数形状图。
这个图形能够提供我们函数变化规律的大致轮廓，也可
以帮助我们推断函数的最高点、最低点以及函数上两个不同点的坐标等信息。
总之，二次函数可以说是物理现象中参数形状的最佳表现者，它能够有效地总结我们所要
研究的变化规律，从而为科学研究带来福音。
因此，借助参数形状的思想，我们能够更好
地利用函数来研究物理现象，为学术发展搭建良好的基础。
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2
四、布置作业
作业：第110页练习二十二，第3题、 第4题、第5题。
二、探究新知
计算。
1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ „ „。 ＝ 1 2 4 8 16 32 64
可以画个图来帮助思 考。用一个圆或一条 线段来表示“1”。
从图上可以看出，这 些分数不断加下去， 总和就是1。
有些问题通过画图， 解决起来更直观。
二、探究新知
计算。
1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋„„。 ＝ 1 2 4 8 16 1 32 64
起点 狗的速度是人的速度的2倍 200×2＝400（米） 答：小狗从出发开始，一共跑了400米。
终点
三、运用知识
2. 你能用所学知识解决下列问题吗？ 2 2 2 2 … ＋ ＋ ＋ ＋ ＝1 3 9 27 81
我是这样想的： 2 8 2 ＝ ＋ 9 9 3 26 2 80 ＋ ＝ 27 81 81 …… 26 2 8 ＝ ＋ 9 27 27 所以原式的结果是1。
数学广角——数与形
数学结合之二
一、复习导入
计算出结果。
1 1＝3 ＋ 2 4 4 1 1 3 ＝ ＋ 16 8 16
1 1＝ 8 ＋ 15 3 5 1 7 1 1 ＋ ＋ ＝ 8 8 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ „„。 2 4 8 16 32 64
1 1 3 我一个一个加下去看看， ＋ ＝ 你能发现什么规律？ 2 4 4 答案好像有点规律。 加下去，等号右边的分数 3 1＝7 ＋ 越来越接近于1。 4 8 8 15 7 1 ＝ ＋ 16 8 16 从第二个数开始，每个数 1 是前一个数的 。15 1 2 ＝ 31 ＋ 16 32 32 „
32 63 1 127 31 64 15 16 128 32 1 16 8 7 81 4 „
1 1＝3 ＋ 2 4 4 3 1 ＝7 ＋ 8 4 8 7 15 1 ＝ ＋ 16 8 16 15 ＋ 1 ＝ 31 32 16 32 „
31 42
二、探究新知
计算。 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2 4 8 16 32 64
„„ 。 =1 „
1 3 1 ＝ ＋ 4 4 2
1 7 3 ＝ ＋ 8 8 4
15 1 7 ＝ ＋ 8 16 16
15 1 31 ＋ ＝ 16 32 32
1 2
3 4
+
1 4
7 1 15 31 1 127 63 1 „ + + + 8 8 16 32 16 128 32 64
三、运用知识
1. 一条马路长200 m，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的 起点出发。当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终 点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达 终点以后再与小亮相向而行„„直到小亮到达终点。小狗从出发开始， 一共跑了多少米？
三、运用知识
3. 小林、小强、小芳、小兵和小刚5 人进行象棋 比 赛，每2 人之间都要下一盘。小林已经下了4盘， 小强下了3盘，小芳下了2 盘，小兵下了1 盘。请 问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？
用连线的方法 试试。
小刚 4 小林 小强 2
小兵 1 答：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强。
3
小芳