全国重点高中黄冈中学2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(4)

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2015年黄冈中学理科实验班提前招生摸拟试题数学测试题

九年级数学竞模拟测试题一、填空：（5′×6=30′）1、如图，梯形ABCD 的中位线MN 与对角线AC ，BD 分别交于点P ，Q.设梯形ABCD 的周长为l ，四边形PQCD 的周长是l 1，若AB=2CD ，则l 1：l=__________2、如图，正方形ABCD 的边长为a ，E 是DC 上一点，DE 的长为b ，AE 的中垂线与AD ，AE ，BC 分别交于P ，M ，Q ，则PM ：MQ=___________3、已知△ABC 中，∠C=90°，三边为a,b,c ，若关于x 的方程a （1-x 2）-22bx+c(1+x 2)=0的两根的平方和为12，则a ：b ：c=________4、如图，在Rt △ABC 内有矩形DEFG ，D 在AB 边上，G 在AC 边上，EF 在斜边AC 上，已知AB=3，AC=4，矩形DEFG 的面积等于35，则BE 的长等于________5、如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为_______6、如图，将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转60°至AB ′C ′D ′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是________ 二、选择（5′×6=30′）7、若抛物线y = x 2-（k – 1 )x-k+1与x 轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则满足条件的k 的值的个数为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、48、如图，若ABCD 是2×2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于I ，BD 和AF 相交于H ，那么四边形BEIH 的面积是( ) A 、31 B 、52 C 、157 D 、1589、设k 为实数，且方程x 2-2kx+k+6=0的两实根为a ，b ，则（a-1）2+（b-1）2的最小值为（） A 、0B 、8C 、1241 D 、1810、如图，锐角三角形ABC 的三边是a ，b ，c ，它的外心到三边的距离分别为m ，n ，p ，那么m:n ：p 等于（） A 、cb a 1:1:1 B 、a ：b ：cC 、cosA:cosB:cosCD 、sinA:sinB:sinC11、已知等腰梯形ABCD 的腰AB=CD= a ，AC ⊥BD ， ∠ABC= a ，则该梯形的面积为（） A 、2acosa B 、a 2cos 2a C 、2asina D 、a 2sin 2a 12、如图，已知在圆内接△ABC 中，AB=12，AC=9，D 为弧ABC 的中点，DE ⊥AB 于E ，则BD 2-AD 2为（） A 、108 B 、144 C 、120 D 、216 三、解答（15′×4=60′）13、已知：如图△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE ⊥AB 于F ，C 是弧AD 的中点，连接BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分D C别交CE ，BC 于点P ，Q 。

2015年黄冈中学自主招生考试

2014年黄冈中学自主招生考试数学试题一、填空题1、已知四个不等实数a 、b 、c 、d 任意三个实数和为2、4、5、7，则abcd=__________. 2、已知,2)2(34=-+-aa a a a 则=-a a 1__________.3、已知a b x =--2有四个不同的解，则=++--+++bba a ab a b b a b a __________.4、已知如图∠B=90°，AB=4，BC=3，点D 为边AB 上的一动点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F,当EF 最长时cos ∠EFD=__________.5、 x 6-x 4+x 3+1被x 2-1整除，则余式是__________________.6、如图，△ABC 中,y AC AE x AB AD ==， S △ABC 的面积为2，且y-x=21,则△BED 的最大面积为__________.7、已知①x 2+ax+b=0, ②x 2+bx+c=0, ③x 2+cx+a=0,方程①②有公共根p ，②③有公共根q, ①③有公共根r,则abc=___________.8、有一个实数n ，若n 为偶数则除以2，若n 为奇数则乘以3再加1.例如：6进行8次上述操作后结果为1.问进行8次上述操作后结果为1的数有_______个. 9、如图为一个无穷数表，则表中2014出现的次数为__________次. 10、已知x y z y z y a y x a 3234)34()23(-+-=---，则xzyz xy y x +++22=_______.第4题图第6题图第9题表AEDC FADEC二、解答题11、已知A （-5,0），B （5，0），P 点为直线3531+=x y 上的一个动点，P 点的横坐标为a ，若∠APB 为钝角，求a 的取值范围.12、已知函数3)1(22+++-=k x k kx y ，（1）若该函数的图像与x 轴有交点，求k 的取值范围；（2）已知11-,43)1(221221≤≤=++++x x x k x k kx 当时y 的最大值与最小值分别为多少？13、如图，EA 为△ABC 外接圆的切线，AB=AC, BD//AC, AE=53, BD=4.求FC 的长.ABCEFD14、已知AB 为⊙O 的直径，Q 为BC 的中点，PB 、PC 为⊙O 的切线.求证：AB-AQ=AC-AP .15、有25张标有1,2,3,4,5，…，25的卡片，甲乙两人各持有其中的一部分.若甲将15号卡片给乙则甲所有卡片的平均数上升0.25，乙所有的卡片的平均数也上升0.25.求甲、乙两人原来各持有多少卡片，并写出一种甲可能持有卡片的情况.ABCDQO。

2015年黄冈中学提前录取数学模拟试题(3)

2015年黄冈中学提前录取数学模拟试题(3)2015.3.20 一、选择题（每小题4分，共24分）1. 如图1、图2, 是由10把相同的折扇组成的 “蝶恋花”(图1)和“梅花”(图2)(图中的折扇无重叠), 则“梅花”图案中的五角星的五个锐角均为（）图1 图2 A. 36° B. 42° C. 45° D. 48°2. 如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图, 那么搭成的这个几何体所用的小立方块的个数是（）A. 9个B. 8个C. 7个D. 6个3. 关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 235352只有5个整数解, 则（）A. －6＜a ＜－211B. －6≤a ＜－211C. －6＜a ≤－211 D. －6≤a ≤－2114. 如果一条直线l 经过不同的三点A(a, b), B(b, a), C(a －b, b －a), 那么直线l 经过的象限有（） A. 二、四 B. 一、三 C. 二、三、四 D. 一、三、四 5. 方程|2x －x 2|=x2的正根个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 在等边△ABC 所在平面上的直线m 满足的条件是: 等边△ABC 的3个顶点到直线m 的距离只取2个值, 其中一个值是另一个值的2倍, 这样的直线m 的条数是（） A. 16 B. 18 C. 24 D. 27二、填空题（每小题3分，共18分）7. 要使代数式x 2+y 2－14x+2y+50的值为0, 则x ＋y 的取值应为.8. 若20082-k 是整数, 则整数k 的最小值为. 9. 四边形ABCD 中, ∠A=∠C=90°, ∠ADC=60°, AB=11, BC=2, 则BD= .10. 已知b －a=81, 2a 2+a=41, 那么ab －a 的值为 .11. 一个半径为1cm 的圆在边长为6cm 的正六边形内任意移动(圆可与正六边形的边相切), 则圆在正六边形内不能达到部分的面积为 .12. 如右图的数表, 它有这样的规律: 表中第1行为1, 第n (n ≥2)行两端的数均为n, 其余每一个数都等于它肩上两个数的和,设第n (n ≥2)行的第2个数为a n , 如a 2=2, a 3=4, 则a n+1－a n = (n ≥2), a n = .三、解答题（共36分）13. 已知: 如图, △ABC 中AC=21AB, AD 平分∠BAC, 且AD=BD. 求证: CD ⊥AC.14. 已知抛物线y=ax2+(a+2)x+2a+1与直线y=2－3x至少有一个交点是整点(直角坐标系中, 横、纵坐标均为整数的点), 试确定整数a的值, 并求出相应的交点(整点)的坐标.15. 怎样的整数a, b满足不等式a2+3b2+6＜2ab－8b? 四、选做题（共4小题，满分70分）16．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD 交CH于点P，求证：点P为CH的中点．17．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q．（1）若CP平分∠ACB，求证：AP=2QO．（2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题．①把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度为x，△APE的面积为S．试求S与x的函数关系式；②求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．18．设a为整数，使得关于x的方程ax2﹣（a+5）x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根．19．设k为正整数，证明：（1）如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积；（2）如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积．16.直线上按顺序有四个点A、B、C、D, 且AB:BC:CD=2:1:3, 分别以AC、BD为直径作⊙O1、⊙O2, 两圆交于E、F(如图). 求ED:EA的值.参考答案一、选择题1. D2. B3. A4. A5. B6. C二、填空题7.6 8. －503 9. 14 10. 23 11. (2π-3)cm 2 12. n, 222+-n n三、解答题13. 过D 作DE ⊥AB 于E∵AD=BD DE ⊥AB∴AE=21AB ∠DEA=90°∵AC=21AB ∴AE=AC∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD在△DEA 和△DCA 中 AE=AC, ∠BAD=∠CAD AD=AD∴△DEA ≌△DCA ∴∠ACD=∠AED ∴∠ACD=90° ∴AC ⊥DC14. 联系⎩⎨⎧-=++++=xy a x )a (ax y 321222得ax 2+(a+5)x+2a －1=0(*)设(*)的两根为x 1, x 2, 则x 1²x 2=aa 12-=2－a1为整数∴a=±1当a=1时, (*)为x 2+6x+1=0无整数解当a=－1时, (*)为x 2－4x+3=0, x 1=1, x 2=3 对应地y 1=－1, y 2=－7∴a=－1, 交点坐标为(1, －1)和(3, －7).15. 由已知不等式得a 2－2ab+b 2+2b 2+8b+6＜0, 即(a －b)2+2(b+2)2－2＜0.(1) 当(a －b)2=0且(b+2)2=0, 即a=b=－2时, 不等式成立.(2) 当(a －b)2=1且(b+2)2=0, 即a=－1, b=－2时, 不等式成立.(3) 当(b+2)2≠0, 即b ≠－2时, 2(b+2)2≥2, (a －b)2≥0不等式不成立.(4) 当(b+2)2=0, 即b=－2时, 若a ≠－2, 又a ≠－1, 则(a －b)2＞2, 不等式不成立.综上知, 满足不等式a 2+3b 2+6＜2ab －8b 的整数a, b 只有⎩⎨⎧-=-=,b ,a 22⎩⎨⎧-=-=21b ,a 两组.16. 连结EB 、EC, 过C 作CG, 垂直于EB 交AE 、BE 于G 、H.∵DE ⊥BE ∴DE ∥CG 由给定条件AC:CD=3:3=AG:GE ∴AG=GE∵CH:DE=BC:BD=1:4, 而CG:DE=AC:AD=1:2 ∴H 为GC 的中点, 故EB 为CG 的垂直平分线又∠AEC=90°∴△GEC 为等腰直角三角形, 则∠ECG=45°故ED:EA=2CG:2EG=2。

黄冈中学2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(C卷)

黄冈中学2014年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题（C 卷）时间120分钟满分120分一、选择题(本大题共5小题,每小题5分,共25分．每小题恰有一个正确的答案,请将正确答案的代号填入题中相应的括号内）1、已知实数a 、b 、c 满足2|a+3| +4－b=0，c 2+4b －4c －12 =0，则a+b+c 的值为（） A ．0 B ．3 C ．6 D ．92、已知关于x 的不等式a x＜6的解也是不等式352a x -＞2a －1的解，则a 的取值范围是（）A ．a ≥－116 B ．a ＞－116 C ．－116≤a ＜0 D ．以上都不正确 3、已知点A ),(11y x 、B ),(22y x 均在抛物线)30(422<<++=a ax ax y 上，若21x x <，a x x -=+121，则（）A ．21y y >B ．21y y <C ．21y y =D ．1y 与2y 的大小不能确定 4、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ，∠ABD=60°，∠ADB=76°，∠BDC=28°，延长BD 至点E ，使得DE=DC ，连结AE ，则∠DBC 的度数为（）A ．18°B ．16°C ．15°D ．14°5、代数式9)12(422+-++x x 的最小值为（）A ．12B ．13C ．14D ．11二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填在各小题后的横线上）6、已知点A （0，2）、B （4，0），点C 、D 分别在直线1=x 与2=x 上，且CD x //轴，则AC+CD+DB 的最小值为 .7、如图，在等边△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 为MN 上任意一点，BD 、CD 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、F ，若311=+BFCE ，则S △ABC =__________. 8、已知实数a 、b 、c 满足2|210|)6)(2005(2=-+-++++b b a c b a ，则代数式ab+bc 的值为__________。

2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷7

2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷（7）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题恰有一个正确的答案，请将正确答案的代号填入题中相应的括号内1．（4分）计算1+2+22+23+…+22010的结果是（）A．22011﹣1 B．22011+1 C．D．2．（4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（）A．6 B．13 C． D．3．（4分）如图，表示阴影区域的不等式组为（）A．B．C．D．4．（4分）已知点P的坐标是（，），这里a、b是有理数，PA、PB分别是点P到x轴和y轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为，则P点可能出现的象限有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（4分）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为的是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．+1 B．C．D．7．（4分）点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（）A．B．C．D．8．（4分）平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在各小题后的横线上）9．（4分）若x，则=．10．（4分）若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是．11．（4分）有一组数满足a1=1，a2=2，a3﹣a1=0，a4﹣a2=2，a5﹣a3=0，a6﹣a4=2，…，按此规律进行下去，则a1+a2+a3+…+a100=．12．（4分）二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为．13．（4分）已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．14．（4分）已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为．三、解答题（本大题共6小题，共64分．请写出解答过程）15．（12分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC 的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．16．（10分）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．17．（10分）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）18．（10分）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长．（1）尹进2011年的月工资为多少？（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？19．（12分）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料除需支付运输费236元外，还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（1）当9天购买一次配料时，求该厂的配料保管费用P是多少元？（2）当x天购买一次配料时，求该厂在这x天中用于配料的总支出y（元）关于x的函数关系式；（3）求多少天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出最少？（总支出=购买配料费+运输费+保管费）20．（10分）如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线于P，Q两点．（1）求证：∠ABP=∠ABQ；（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式．2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷（7）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题恰有一个正确的答案，请将正确答案的代号填入题中相应的括号内1．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）计算1+2+22+23+…+22010的结果是（）A．22011﹣1 B．22011+1 C．D．【分析】可设其和为S，则2S=2+22+23+24+…+22010+22011，两式相减可得答案．【解答】解：设S=1+2+22+23+ (22010)则2S=2+22+23+…+22010+22011②②﹣①得S=22011﹣1．故选A．【点评】本题考查了整式的混合运算，解答本题的关键是设出和为S，并求出2S进行做差求解．2．（4分）（2011•兰州）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（）A．6 B．13 C． D．【分析】延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的内心，推出AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．【解答】解：过点A作等腰直角三角形BC边上的高AD，垂足为D，所以点D也为BC的中点．根据垂径定理可知OD垂直于BC．所以点A、O、D共线．∵⊙O过B、C，∴O在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=3，∴OD=3﹣1=2，由勾股定理得：OB==．故选C．【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，垂线，垂径定理等知识点的理解和掌握，求出OD、BD的长是解此题的关键．3．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（）A．B．C．D．【分析】根据图形即可判断阴影部分是由x=0，y=﹣2x+5，y=﹣x+三条直线围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案．【解答】解：∵x≥0表示直线x=0右侧的部分，2x+y≤5表示直线y=﹣2x+5左下方的部分，3x+4y≥9表示直线y=﹣x+右上方的部分，故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为：．故选D．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是根据图形利用一次函数与一元一次不等式的关系正确解答．4．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）已知点P的坐标是（，），这里a、b是有理数，PA、PB分别是点P到x轴和y轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为，则P点可能出现的象限有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】可由矩形面积入手，由点P的坐标可得其乘积为或﹣，进而求解即可得出结论．【解答】解：由题意得（+a）（+b）=①或（+a）（+b）=﹣②，由①得（ab+2）+（a+b﹣1）=0，则，解得或，同理由②得或，所以，P（+2，﹣1）或（﹣1，+2）或（﹣2，+1）或（+1，﹣2），P点出现在第一、二、四象限，故选C．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及矩形与图形相结合的问题，能够熟练运用已学知识求解一些简单的图形结合问题．5．（4分）（2011•日照）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为的是（）A．B．C．D．【分析】连接OE、OD，根据AC、BC分别切圆O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，证出正方形OECD，设圆O的半径是r，证△ODB∽△AEO，得出=，代入即可求出r=；设圆的半径是x，圆切AC 于E，切BC于D，且AB于F，同样得到正方形OECD，根据a﹣x+b﹣x=c，求出x即可；设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，则△BCA∽△OFA得出=，代入求出y即可．【解答】解：A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图（1）同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a﹣x+b﹣x=c，求出x=，故本选项错误；B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），则△BCA∽△OFA，∴=，∴=，解得：y=，故本选项错误；C、连接OE、OD，∵AC、BC分别切圆O于E、D，∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，∵OE=OD，∴四边形OECD是正方形，∴OE=EC=CD=OD，设圆O的半径是r，∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B，∵∠AEO=∠ODB，∴△ODB∽△AEO，∴=，=，解得：r=，故本选项正确；从上至下三个切点依次为D，E，F；并设圆的半径为x；容易知道BD=BF，所以AD=BD﹣BA=BF﹣BA=a+x﹣c；又∵b﹣x=AE=AD=a+x﹣c；所以x=，故本选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键．6．（4分）（2012•济南）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．+1 B．C．D．【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E 三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1，DE===，∴OD的最大值为：+1．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．7．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC 为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（）A．B．C．D．【分析】根据所给的图形结合三角函数的知识可得出AC、BC、BE、CE的长度，然后根据四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠得出S阴影=S△ADC+S△BCE，继而可得出答案．【解答】解：易知D、C、E三点共线，点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，∴对的圆心角为=60°，∴∠ABC=30°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=1，BC=AB•COS30°=，BE=BC•COS30°=，CE=DC=，AD=，且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．从而，S阴影=S梯形ABED+S△ABC﹣，=S△ADC+S△BCE，=．故选B．【点评】本题考查了面积及等积变换的知识，难度较大，关键是仔细观察图形得出要求阴影部分面积的另一种表达方式，从而进行变换求解．8．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【分析】把所给函数解析式化为整式，进而整理为两数积的形式，根据整点的定义判断积的可能的形式，找到整点的个数即可．【解答】解：将函数表达式变形，得2xy﹣y=x+12，4xy﹣2y﹣2x=24，2y（2x﹣1）﹣（2x﹣1）=24+1，（2y﹣1）（2x﹣1）=25．∵x，y都是整数，∴（2y﹣1），（2x﹣1）也是整数．∴或或或或或．解得：或或或或或．∴解得的整点为：（13，1），（﹣12，0），（1，13），（0，﹣12），（3，3），（﹣2，﹣2）共6个．故选C．【点评】考查函数图象上整点的求法：把所给函数解析式整理为两数积的形式，判断可能的整数解．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在各小题后的横线上）9．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）若x，则=．【分析】已知等式两边平方后，整理求出x2+的值，所求式子分子分母除以x2变形后，将x2+的值代入计算即可求出值．【解答】解：已知等式平方得：（x﹣）2=x2﹣2+=16，即x2+=18，则==．故答案为：【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是a ＜1且a≠﹣1．【分析】先求得方程的解，再解x＞0，求出a的取值范围．【解答】解：解方程，得x=，∵关于x的方程的解为正数，∴x＞0，即＞0，当x﹣1=0时，x=1，代入得：a=﹣1．此为增根，∴a≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣1．故答案为：a＜1且a≠﹣1．【点评】本题主要考查了解分式方程及解不等式，难度适中．11．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）有一组数满足a1=1，a2=2，a3﹣a1=0，a4﹣a2=2，a5﹣a3=0，a6﹣a4=2，…，按此规律进行下去，则a1+a2+a3+…+a100=2600．【分析】根据已知等式推出数a1，a2，a3，…，a100的规律，再求和．【解答】解：由已知，得a1=1，a2=2，a3=1，a4=4，a5=1，a6=6…，a100=100，则a1+a2+a3+…+a100=1+2+1+4+1+6+…+1+100=1×50+=2600．故答案为：2600．【点评】本题考查了数字变化规律．关键是由已知条件推出奇数项的数都是1，偶数项的数与数的序号相等．12．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为5或．【分析】分三种情况考虑：对称轴在x=﹣1的左边，对称轴在﹣1到2的之间，对称轴在x=2的右边，当对称轴在x=﹣1的左边和对称轴在x=2的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时x 的值，然后把此时的x的值与y=﹣4代入二次函数解析式即可求出a的值；当对称轴在﹣1到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于﹣4，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到满足题意a 的值．【解答】解：分三种情况：当﹣a＜﹣1即a＞1时，二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，所以当x=﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y=x2+2ax+a中解得：a=5；当﹣a＞2即a＜﹣2时，二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，所以当x=2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y=x2+2ax+a中解得：a=﹣＞﹣2，舍去；当﹣1≤﹣a≤2即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，所以顶点的纵坐标为=﹣4，解得：a=或a=＞1，舍去．综上，a的值为5或．故答案为：5或【点评】此题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法，是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到．13．（4分）（2016•邯郸校级自主招生）已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．【分析】根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案；【解答】解∵a+b+c=10，∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），∴=﹣+﹣+﹣=﹣1+﹣1+﹣1=++﹣3，∵，∴原式=×10﹣3=﹣3=．故填：．【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．14．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为（2，﹣6）．【分析】首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C 关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共64分．请写出解答过程）15．（12分）（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b ＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2=．故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．16．（10分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．【分析】（1）要证M为BD的中点，即证BM=DM，由∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN，及圆周角的性质易证明△BAM∽△CBM，△DAM∽△CDM得出比例的乘积形式，可证明BM=DM；（2）欲证，可以通过平行线的性质证明，需要延长AM交圆于点P，连接CP，证明PC∥BD，得出比例式，相应解决MP=CM的问题即可．【解答】证明：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．∴△BAM∽△CBM，∴，即BM2=AM•CM．①又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，∴△DAM∽△CDM，则，即DM2=AM•CM．②由式①、②得BM=DM，即M为BD的中点．（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．∵PC∥BD，∴．③又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，∴∠ABC=∠MCP．而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM．④由式③、④得．【点评】本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．17．（10分）（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是6．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是（或不化简为）．（结果可以不化简）【分析】（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C 即AP的长度；（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．【解答】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．【点评】本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．18．（10分）（2011•宜昌）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长．（1）尹进2011年的月工资为多少？（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？【分析】（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，得到2000（1+x）2=2420，求出x，然后计算2420（1+x）得到尹进2011年的月工资．（2）可设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．根据等量关系：用242元购买了甲、乙两种工具书各一本；实际付款比2011年6月份的月工资少了242元；2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书．列出方程组求解即可．【解答】解：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，依题意列方程：2000（1+x）2=2420，（1+x）2=1.21，1+x=±1.1，解得：x1=10%，x2=﹣210%．∵增产率不能是负数，∴﹣210%要舍去．尹进2011年的月工资为：2420（1+10%）=2662元．故尹进2011年的月工资为2662元；（2）设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．则由题意，可列方程：由②+③，整理得，（m+n）（y+z）=2×2662﹣242，把①代入得，242（y+z）=2×2662﹣242，∴y+z=22﹣1=21．21+2=23本．答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本．【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，先列方程求出2008至2010年的增长率，然后利用这个增长率进行计算求出2011年的利用收入．同时考查了解三元一次方程组，注意找准等量关系，及整体思想的应用．19．（12分）（2015•黄冈中学自主招生）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料除需支付运输费236元外，还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（1）当9天购买一次配料时，求该厂的配料保管费用P是多少元？（2）当x天购买一次配料时，求该厂在这x天中用于配料的总支出y（元）关于x的函数关系式；（3）求多少天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出最少？（总支出=购买配料费+运输费+保管费）【分析】（1）根据题意得出第8天剩余配料的重量=9天配料的重量﹣7天配料的重量，第9天剩余配料的重量=9天配料的重量﹣8天配料的重量，分别代入求出即可；7天的费用=70，8、9两天的费用=0.03×200×（1+2），相加求出即可；（2）分两种情况列出总支出y（元）关于x的函数关系；（3）由（2）可知：该厂平均每天的总支出有两种情况，设x天购买一次配料平均每天的总支出为W，则W=和W=，求出它们的最值即可．【解答】解：（1）第8天剩余配料的重量为200×9﹣200×7=400（千克），第9天剩余配料的重量为200×9﹣200×8=200（千克），当9天购买一次配料，该厂的配料保管费用P=70+0.03×（400+200）=88（元），答：当9天购买一次配料时，该厂的配料保管费用P是88元．（2）①当x≤7时，y=360x+10x+236=370x+236；②当x＞7时，y=360x+236+70+6[（x﹣7）+（x﹣6）+…+2+1]=3x2+321x+432．（3）设x天购买一次配料平均每天的总支出为W元，①当≤7时，W==270+，=270+≈404；所以，x=7时，W有最小值，W最小值②当＞7时，W==3（x+）+321，当x=时，W有最小值，解得x=12，所以，x=12时，W=321；最小值综上，12天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出最少．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数等知识点的理解和掌握，根据题意列出关系式是解题的关键．20．（10分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线于P，Q两点．（1）求证：∠ABP=∠ABQ；（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式．【分析】（1）利用抛物线的图象上点的坐标特征，待定系数法球函数解析式，根与系数的关系和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用（1）中已知与结论，继续由相似三角形，根与系数的关系、函数解析式求得结果．【解答】（1）证明：如图，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为C，D．设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，﹣t）．设直线PQ的函数解析式为y=kx+t，并设P，Q的坐标分别为（x P，y P），（x Q，y Q）．由，得，于是，即．于是=．，又因为，所以．因为∠BCP=∠BDQ=90°，所以△BCP∽△BDQ，故∠ABP=∠ABQ；（2）解：设PC=a，DQ=b，不妨设a≥b＞0，由（1）可知∠ABP=∠ABQ=30°，BC=，BD=，所以AC=，AD=．因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ．于是，即，所以．由（1）中，即，所以，于是可求得．将代入，得到点Q的坐标（，）．再将点Q的坐标代入y=kx+1，求得．所以直线PQ的函数解析式为．根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为或．【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质、根与系数的关系、待定系数法求函数解析式以及对称解决问题．2017年4月19日。

2015年黄冈中学理科实验班(自主招生)预录招生数学模拟试题(C卷)

2 ．设 D 是 △ ABC 的边 AB 上的一点，作 DE//BC 交 AC 于点 E ，作 DF//AC 交 BC 于点 F ，已知 △ADE、△DBF 的面积分别为 m 和 n ，则四边形 DECF 的面积为___ 2 mn ___.
3．如果实数 a, b 满足条件 a 2 b 2 1 ， |1 2a b | 2 a 1 b 2 a 2 ，则 a b __ 1 ____.
3 . 14
B.
3 . 7
C.
1 . 2
D.
4 . 7
A D
5 ．如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 3 ， BC ＝ 2 ，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点 A 作半圆的切线 AE，则 sin CBE＝（ D ） A.
6 . 3
B.
2 . 3
C.
1 . 3
D.
10 . 10 n 1909 为完全平方数的 n 的个数是 2009 n
F B
在直角三角形 ABC 中，AC＝3，BC＝4， AB = 又 CD⊥AB，由射影定理可得 A D =
AC2 + BC2 5 .
A
D E I1
I2
16 AC2 9 ，故 BD = AB AD ， 5 AB 5
C
CD = AC 2 AD 2
12 . 5 1 3 (AD CD AC) . 2 5
因为 I1 E 为直角三角形 ACD 的内切圆的半径，所以 I1 E ＝
连接 D I1 、D I 2 ，则 D I1 、D I 2 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠ I1 DC＝∠ I1 DA＝∠ I 2 DC＝∠ I 2

黄冈中学自主招生预录数学模拟试题

黄冈中学自主招生预录数学试题一、选择题（每小题5分，共20分）1. 方程023x =+-x x 实根个数为（）A 1B 2C 3D 4 2.=+++=-=6,231,23122b a b a 则（） A 3 B 4 C 5 D 63.已知一个六边形六个内角都是1200，连续四条边长依次是1，3，3，2则该六边形的周长是（）A 13B 15C 14D 164.实数a,b 满足()()111a 22=----b b a ，说法：(1)a=b, (2)a=-b, (3)ab=1,(4)ab=-1中正确的有（）个A 1B 2C 3D 4 二、填空题（每小题5分，共40分）5.若a,b 都是正实数，0111=+--b a b a ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛33b a a b 6.不论m 为任何实数，抛物线1222-+++=m m mx x y 的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式是7.甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，甲，乙同时出发相向匀速而行，经t 小时相遇于C 地，相遇后二人继续前进，甲又用了4小时到达B 地，乙又用了9小时到达A 地，则t= 8.75+的小数部分是a ，75-的小数部分是b ，则ab-2a+3b-12=9.设a ax -=1，则24x x += 10.如果一个三位数，百位数字与个位数字都大于十位数字，则称这个三位数为“凹数”，从所有三位数中任取一个三位数是“凹数”的概率是11.化简：=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-b a ab ab a a ab b b b ab a 21b 12.同心圆半径分别为6，8，AB 为小圆的弦，CD 为大圆的弦，且ABCD 为矩形，圆心在矩形ABCD 内，当矩形ABCD 面积最大时，矩形ABCD 的周长为三、解答题（13、14题各13分，15题14分）13.一号列车从甲站开往乙站，一小时后二号列车从乙站开往甲站，二号列车每小时比一号列车多行10千米，两列车刚好在甲乙两站中点处相遇。

2015年黄冈中学理科实验班(自主招生)预录招生数学模拟试题(6)

2015 年湖北省重点高中提前招生数学模拟试题（ 6）
1、矩形 ABCD 的边 AB＝8，AD＝6，现将矩形 ABCD 放在直线 l 上且沿着 l 向右作无滑动地翻滚，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当它翻滚至类似于开始的位置 A1B1C1D1 时（如图所示），则顶点 A 所经过的路线长是
7 题图 1 题图 2 题图
¼ ' ， B ' A' ， ¼ 中由 BB A ' C 、CB 围成的阴影部分的面积为
8 题图
8、如图，菱形 OABC 中，∠A＝120°，OA＝1，将菱形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 90°，则图
2、如图，在直角坐标系中，已知点 A（－3，0），B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 3、设正△ABC 的边长为 a，将△ABC 绕它的中心（正△ABC 三边垂直平分线交点）旋转 60°得到对应的△A′B′C′，则 A、B′两点间的距离等于 4、如图，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 90°后得到△A′P′B，若 BP＝2，那么 PP′的长为（ A、2 2 B、 2 ） C、 2 D、3 9、某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为 20 厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字 2 在长方形的顶点上，数字 3、 6、 9、 12 标在所在边的中点上，如图所示。（1）当时针指向数字 2 时，时针与分针的夹角是多少度？（2）请在长方框上标出数字 1 的位置，并说明确定该位置的方法；（3）请你在长方框上标出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明：要画出必要的、反映解题思路的辅助线）（4）长方形的长应是多少？
5 题图 …、P2008 的位置，则点 P2008 的横坐标为

全国重点高中黄冈中学2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(A卷)(附答案)

黄冈中学2015年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题（A 卷）时间120分钟，满分120分一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知0201252=--x x ，则代数式211223-+---x )(x )(x 的值是（）A ．2013B ．2015C ．2016D ．20172．已知20121982198119801++++=S ，则S 的的整数部分是（）A ．59B ．60C ．61D ．633．已知四边形ABCD ，下列条件：①AB ∥CD ；②BC ∥AD ；③AB=CD ；④BC=AD ；⑤∠A= ∠C ；⑥∠B=∠D. 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”的概率是（） A ．32B ．43 C ．53 D ．157 4．如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2=6．若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（） A ．3次 B ．4次 C ．5次 D ．6次 5．如图，ABCD 是正方形场地，点E 在DC 的延长线上，AE 与BC 相交于点F ．有甲、乙、丙三名同学同时从点A 出发，甲沿着A ﹣B ﹣F ﹣C 的路径行走至C ，乙沿着A ﹣F ﹣E ﹣C ﹣D 的路径行走至D ，丙沿着A ﹣F ﹣C ﹣D 的路径行走至D ．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A ．甲乙丙B ．甲丙乙C ．乙丙甲D ．丙甲乙 6．已知AD ∥BC ，AB ⊥AD ，点E ，点F 分别在射线AD ，射线BC 上．若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对称，AC 与BD 相交于点G ，则（） A ． 1+tan ∠ADB = B ．2BC =5CF C ．∠AEB +22°=∠DEF D ．4cos ∠AGB =二、填空题（每小题5分，共30分）7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，以BC 为直径的半圆交 AB 于D ，P 是上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是 .8．如图，边长为n 的正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点A 1， A 2…A n ﹣1为OA 的n 等分点，点B 1，B 2…B n ﹣1为CB 的n 等分点，连结A 1B 1，A 2B 2，…A n ﹣1B n ﹣1，分别交曲线y=（x ＞0）于点C 1，C 2，…，C n ﹣1．若C 15B 15=16C 15A 15，则n 的值为．（n 为正整数）9．设下列三个一元二次方程：,a x )a (x ，a ax x 0110344222=++-+=+-+03222=+-+a ax x ，其中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是 .10.已知圆O 外一点P ，P 到圆心O 的距离是半径的2倍，过点P 作圆O 的切线PA 、PB ，延长AO 交PB 于E ，OP 交圆于点C ，连接AC 交 PB 于D ，圆O 的半径是3，则△PCD 的面积是 . 11.正整数a ，b ，c ，d 满足a>b>c>d ，且⎩⎨⎧=-+-=+++201020102222d c b a d c b a ，那么a 的可能值共有个.三、解答题（共60分）12.（10分）计算：110099110099132132121121224422442244-+++++-++++-+++ .13.（10分）已知在△ABC 中，AD 、BE 、CF 相交于点P ，且2013=⋅PF CP PD AP ，求PFCPPE BP PD AP ++ 的值.14.（10分）在“全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．（1）求2014年全校学生人数；（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）①求2012年全校学生人均阅读量；②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．15.（15分）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．16.（15分）如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P 从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=时，△PQR的边QR经过点B；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．参考答案：1.A 2.B 3.C 4.B 5.B 6.A 7.15- 8.17 9. 2321-≤≥a a 或 10. 833 11.50114.解：（1）由题意，得2013年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100人， ∴2014年全校学生人数为：1100+100=1200人；（2）①设2012人均阅读量为x 本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得 1100（x+1）=1000x+1700，解得：x=6．答：2012年全校学生人均阅读量为6本； ②由题意，得2012年读书社的人均读书量为：2.5×6=15本，2014年读书社人均读书量为15（1+a ）2本， 2014年全校学生的读书量为6（1+a ）本， 80×15（1+a ）2=1200×6（1+a ）×25%2（1+a ）2=3（1+a ），∴a 1=﹣1（舍去），a 2=0.5．（2）如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．方案二：设半径为r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=．方案三：设半径为r，在△AOM和△OFN中，，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得r=．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．1．当3﹣x＜2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；2．当3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；3．当3﹣x＞2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．②当x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；当x=时，r=（3﹣）=；当x＜时，r=（2+x）＜（2+）=，=时，最大为．＜＜＜，设PR交BC于点G，过点PS=S矩形OABC﹣S梯形OPGC=8×（3=设PR交BC于点G，RQ交过点P作PH⊥BC于点H，则（（t2设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=4PR=RQ=（AQT=AQ2=（（2=设EM=m，BN=n，则FM=3﹣m，FN=3PQ=QS=PQ=（﹣或﹣t=2。

黄冈中学2015年理科实验班预录试题数学模拟卷(A卷)(附答案和评分标准)

黄冈中学2015年自主招生模拟考试数学试题（满分：100分考试时间：90分钟）本试题分二卷，第一卷为选择题与填空题，第二卷为解答题，请将选择题与填空题的答案写在第二卷的相应位置上。

第一卷一、选择题（每小题3分，共8小题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案写在第二卷的相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．） 1．已知圆锥的底面半径为9㎝，母线长为30㎝，则圆锥的侧面积为（）A ．270πcm 2B ．360πcm 2C ．450πcm 2D ．540πcm 22．如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1、……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是（）A ． 2B ． 3C ． 4D ．53．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这两套教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是（）A ．23 B ．13 C ．12 D ．164．要使关于x 的方程21212-+=--++x x ax x x x 的解是正数，a 应满足的条件是( ) A ．1->a B ． 1-<a C ．1->a 且3≠a D ．1-<a 且3-≠a 5．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30︒到正方形AB C D '''，则图中阴影部分的面积为（） A ．313-B ．33C ．314-D ．126．方程1xy x y ++=的整数解的组数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 7．如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙0切BC 于点C ，若将⊙O 在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（）A ．2πB ．4πC ．32D ．48．a 、b 是方程()2570x m x +-+=的两个根，则()()2277a ma b mb ++++=（）AcoA ．365B ．245C ．210D ．175 二、填空题（每小题3分，共8小题，请将答案写在第二卷的相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．） 9．作抛物线1C 关于x 轴对称的抛物线2C ，将抛物线2C 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是()2211y x =+-，则抛物线1C 所对应的函数解析式是10．如图，△ABC 的外接圆的圆心坐标为。

2015年黄冈中学提前录取数学模拟试题(2)

2015年黄冈中学提前录取数学模拟试题(2)2015.3.20（总分：120分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

四个选项中只有一项是正确的）1、由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（）A B C D2、黄冈市地处湖北省东部，大别山南麓，长江北岸，下辖一区七县两市，总人口740万人，人口总数用科学记数法表示为（）A 、70.4×105人 B 、7.4×106人 C 、7.4×105人 D 、7.4×104人 3、已知一元二次方程x 2-4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1·x 2=（） A 、4B 、3C 、-4D 、-34、下列四个点中，有三个点同在反比例函数y=xk的图象上，则不在这个函数图象上的点是（） A 、（5，1） B 、（-3，-35）C 、（35，3）D 、（-1，5）5、如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B到了点B ’，则图中阴影部分的面积是（） A 、3πB 、6πC 、5πD 、4π6、已知函数y=31++-x x 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值为（） A 、41 B 、21 C 、22 D 、23 7、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线L 是函数y=-3x 的图象，点A 的坐标为（1，0），在直线L 上找一个点N ，使△ONA 是等腰三角形，则符合条件的点N 的个数是（） A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8、警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中有一人是主谋，经过审讯，A 、B 、C 三名警察各自得出结论，A ：主谋只有可能是甲或乙；B ：甲不可能是主谋；C ：乙和丙都不可能是主谋。

已知三名警察中只有一人推测正确，则主谋是（） A 、甲B 、乙C 、丙D 、丁9、团结号列车上午7：45从甲地出发开往乙地，胜利号列车上午8：15从乙地出发开往甲地。

全国重点高中黄冈中学2015年自主招生理科实验班预录考试数学模拟试题七

x y z 13 xy 5 yz 7 zx 35
②③④得5z=35y=7x
① ② ③ ④
x=5y z=7y 代入①得 y=1 ∴x=5 z=7
11 2 1 5 1 7 =1+ 5 + 7
2、（1）△1=(－ 2 p)2－4×
1 2 (p －4)=8＞0 2 1 (2)∵α、β是x2－ 2 px+ (p2－4)=0的两根 2
B
C
B
（3）
D
（4）
4、如图（2），在直角梯形ABCD中，底AB=13，CD=8，AD⊥AB，AD=12，则A到BC 的距离为（ A、12 ） B、13 C、
12 21 13
D、10.5
5、若关于x的方程 1 m 2 x 2 2mx 1 0 的所有根都是比1小的正数，则实数m 为（）
5、如图所示：已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE ,AD=DE，连结EC，取EC中点m，连结DM和BM。（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合。如图1，求证：BM=DM且BM ⊥DM
（2）如图2中的△ADE绕A点，逆时针旋转小于45°的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如成立，请给以证明，如果不成立，请举出反例。
黄冈中学2015年自主招生预录考试数学模拟试题
一、选择题（3′×6=18′） 1、如果 a b A、 2002 2002
2002 2 ， a b 2002 2 ，|b3+C3|=b3-C3那么a3b3-C3为（）
B、2001
C、1
D 、0
2、△ABC三边BC、CA、AB的长分别是a、b、c，这三边的高依次为ha、hb、hc，若a ≤ha，b≤ha，则这个三角形为（ A、等边三角形 C、直角非等腰三角形）

2015年黄冈中学理科实验班自主招生预录数学模拟试题A卷

黄冈中学2015年自主招生模拟考试数学模拟试题A 卷时间120分钟分数100分一、选择题（请把唯一答案的序号填在题后的括号内，每小题5分，共25分）1、已知a 、b 是实数，2022++=b a x ，)2(4a b y −=，则x 、y 的大小关系是（）A. x ≤yB. x ≥yC. x ＜yD. x ＞y2、在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，BC=334，则∠B 为（） A. 30°B. 90°C. 30°或60°D. 30°或90°3、如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 运动至点D 停止，设点P 运动的路程为x, △ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则BD 的长是（）A.13B.29C.4、已知a 2+4a+1=0，且32212324=+++−ama a ma a ，则m 的值为（）A.219B.219−C.19D.-195、如图3，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=30°，∠C=60°， E 、F 、M 、N 分别为AB 、CD 、BC 、DA 的中点，若BC=7， MN=3，则EF 为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每小题5分，共25分）6、若02722=+−x x ，则2424x x −=__________ 7、如图4，正方形ABCD 边长为1，动点P 从A 点出发，沿正方形的边接逆时针方向运动，当它的路程为2013时，点P 所在的位置为_________；当点P 在D 点时，点P 运动的路程为__________（用含自然数n 的式子表示）。

8、如图5，将两张长为8，宽为2是_______形，其周长的最小值为______，最大值为_______。

9、已知51=−aa ，则aa 1−=__________ 10、如图6所示，点A 、C 都在函数)0(2>=x xy 的图象上，点B 、D 都在x 轴上，且△OAB 、△BCD 都是等腰直角三角形，则点D 的坐标为__________。

全国重点高中黄冈中学2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(9)

预录模拟题数学试题（2）（满分100分 , 时间120分钟）一、选择题（每小题5分，共25分）1．已知: a 、b 、c 为一个三角形的三边长，则222222)(4a c b c b -+-的值为（） A ．恒为正B ．恒为负C ．可正可负D ．非负2．关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-=+93323my x y mx 的解为坐标点（x ，y ）在第一象限，则符合条件的实数m 的范围是（） A ．19m >B ．m<-2C ．192m -<<D ．129m -<<3．锐角三角形三个内角的度数都是质数，且最短边的长为1，则满足这样条件的互不全等的三角形的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．多于3个 4．Rt ∆ABC 的三边为a 、b 、c ，C ∠=090，∆ABC 的面积为30，则斜边c 的取值范围（） A ．60c ≤B ． 302≥cC ．10c >D ．0＜c≤5．六个面上分别标上1，1，2，3，3，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．已知小明两次掷正方体按前面的规则得到的两点在坐标系中确定一条直线L ，且这条直线经过P （4，7），那么他第三次掷得的点也在直线L 上的概率是（）A ．23B ．12C ．13D ．16二、填空题（每小题5分，共25分）6．已知：2x，2y ，且x y ≠，则x yy x+的值等于．7．若关于x 的方程1x a --=2有三个不相等的解，则实数a 的值为 8．某校甲，乙两班共有a 人参加数学竞赛，甲班平均分为74分，乙班平均分为81分，两班总得分944分，则甲班、乙班分别有____________人参赛．9．如图，取一张长方形纸片，它的长AB =20cm ，宽BC=cm ，然后以CE （E 在边AD 上）为折痕对折使D 落在AB 边的F 点，则AE =______ cm ．10．如图，将三个边长为1 cm 的正方形呈“品”字形放在一个圆碟内，要求这三个正方形不能某部分在碟边以外，且不能重叠，则这个圆碟的半径最少是 cm ．三、解答题（每小题10分，共50分）11．某足球协会举办了一次足球联赛,其记分规则及奖励方案如下表:12．在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于F ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ，如图①．（1）求证：EG =CG ，且EG ⊥CG;（2）将∆BEF 绕点B 逆时针旋转0180，如图②则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想并加以证明．13．是否存在两个正整数a 、b 满足a b ≤且关于x 的方程20x abx a b -++=有两个整数根，若存在，求出所有符合条件的正整数a 、b ；若不存在，请说明理由．14．如图①在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，A 在第二象限内，B 、C 在x 轴的负半轴上，∠CAO =030，OA =4．（1）求点C 的坐标;（2）如图②将∆ACB 绕C 按顺时针方向旋转030到∆A CB ''的位置，其中A C '交直线OA 于E ，A B ''交O A 、CA 于F 、G ，则除∆A CB ''≅∆ACB 外，还有几对全等三角形，请直接写出答案（不再另外添加辅助线）;（3）在（2）的基础上，将∆A CB ''绕C 按顺时针方向连续旋转当∆COE的面积为4时，求直线CE 的函数表达式．15．如图，正三角形ABC的边长为，⊙O 的半径为r cm ，当圆心O 从点A 出发沿着线路A ——B ——C ——A 运动，回到A 时，⊙O 随着点O 的运动而移动（1）若r求⊙O 首次与BC 边相切时AO 的长;（2）在⊙O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同情况？写出不同情况下，r 的取值范围及相应的切点个数;（3）设⊙O 在整个移动过程中，在∆ABC 内部，⊙O 未经过的部分的面积为S ，在S >0时，求S 关于r 的函数解析式，并写出自变量r 的取值范围.BC。

2015年黄冈中学理科实验班(自主招生)预录招生数学模拟试题(A卷)

(九年级)如图 3，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与边 BC、 CA、 AB 相切于点 D、 E、 F，连接 AD 与内切圆相交于另一点 P，连接 PC、PE、PF、FD，且 PC⊥PF．求证：(1)△PFD ∽△PDC；（2）
EP PD DE DC
13．点 A,B 分别在一次函数 y x 与 y 8 x 的图象上，其横坐标分别为 a，b(a>0，b>0)，若直线 AB 为一次函数 y kx m 的图象，当
b 是整数时?求满足条件的整数 k 的值． a
14．已知函数 S= x 2 x 4 (1)求 S 的最小值； (2)若对任何实数 x、y 都有 s≥ m y 2 y 成立，求实数 m 的最大值.
2

2
…… 依此类推，则 a2009 =______________. 10．(八年级)已知关于 X 的方程 a(x－3)+b(3x+1)=5(x+1)有无穷多个解，则 a+b=______________. (九年级)已知方程 x 2 mx m 1 0 (m 是整数)有两个不等的正整数根，则 m=______. 三、解答题(本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分) 11．在底面积为 l00cm2、高为 20cm 的长方体水槽内放人一个圆柱形烧杯(烧杯本身的质量、体积忽略不计)．如图所示．向烧杯中注入流量一定的水．注满烧杯后。继续注水。直至注满槽为止(烧杯在大水槽中的位置始终不改变)。水槽中水面上升的高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系如图所示． (1)求烧杯的底面积； (2)若烧杯的高为 9cm，求注水的速度及注满水槽所用的时间．
2015 年黄冈中学理科实验班（自主招生）预录招生数学模拟试题

[精品]湖北省黄冈中学2015高三5月模拟考试理科高中数学试卷和答案

2015届黄冈中学高三下5月模拟考试数学试题（理）命题：董明秀审题：汤彩仙校对：陈思锦一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数122ii +-的共轭复数是 A.35i B.35i -C. iD. i -2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{|sin 0}B x x π==，则()U C A B 的元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 4 3．下列四种说法中，正确的个数有①命题“x ∀∈R ，均有232x x --≥0”的否定是：“x ∃∈R ，使得2320x x --≤”②“命题p ∨ q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件； ③∃m R ∈，使()22m m f x mx +=是幂函数，且在()0,+∞上是单调递增 ④若数据123,,x x x ，…，n x 的方差为1，则1232,2,2,,2n x x x x ⋅⋅⋅的方差为2 A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个4．已知x ，y 满足22y xx y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是(图二)A ．34B ．14 C ．211D ．45. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的n m ,分别是A ．12,38==n mB ．26,12m n ==C ． 12,12m n ==D ．24,10m n ==6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．．2 CD．7．先后掷一枚质地均匀骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ,y ,设事件A 为“y x +为偶数”，事件B 为“x ,y 中有偶数且y x ≠”，则概率)|(A B P 等于A ．31B ．21C ．61D ．41（图一）8.设函数sin ()11cos xf x x=++的所有正的零点从小到大依次为,.....,,321x x x . 设1232015....x x x x α=++++，则cos α的值是 A.0 B.23-C.23D.1 9. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中13C C 、有一个共同的焦点，若1MF MN =，则曲线1C 的离心率为11 10.已知非零向量,,a b c 满足||||4a b b -== ，()()0a c b c -⋅-=，若对每一个确定的b ，||c的最大值和最小值分别为,m n ，则m n -的值为A.随||a 增大而增大B. 随||a增大而减小 C.是2 D.是4二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11.若1)n x的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，展开式中的常数项为 ___________（用数字作答）.12．已知等差数列{}n a 满足242012201432a a a a π+++=⎰，n S 是该数列的前n 项的和，则2015S = .13．计算12323n n n n n C C C nC +++⋅⋅⋅+，可以采用以下方法：构造等式：0122n n n n n n C C x C x C x +++⋅⋅⋅+()1nx =+，两边对x 求导，得()112321231n n n nn n n C C x C x nC x n x --+++⋅⋅⋅+=+，在上式中令1x =，得1231232n n nn n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅．类比上述计算方法，计算12223223nnn n n C C C n C +++⋅⋅⋅+=_________． 14.如果)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题：①函数x y sin =具有“)(a P 性质”；②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”，且1)1(=f ，则(2015)1f =；③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”，图象关于点(10)，成中心对称，且在(1,0)-上单调递减，则)(x f y =在(2,1)--上单调递减,在(1,2)上单调递增； ④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和 “(3)P 性质”，且函数)(x g y =对R x x ∈∀21,，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立，则函数)(x g y =是周期函数.其中正确的是 (写出所有正确命题的编号)．(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15.如图，圆A 与圆B 交于C 、D 两点，圆心B 在圆A 上，DE 为圆B 的直径，已知4,1==DE CE ，则圆A 的半径为_______.16．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点P 为直线cos sin 40ρθρθ--=上一点，点Q 为曲线2(14x tt y t =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上一点，则||PQ 的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）在锐角△ABC 中，222cos()sin cos b a c A C ac A A--+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =7sin cos()12B C π+-取得最大值时，求B 和b ．18．（本小题满分12分）黄冈市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：（Ⅰ）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（Ⅱ）在（Ⅰ）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（Ⅲ）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，BA ＝AD ＝DC ＝21BC＝a ，E 是BC 的中点，将△BAE 沿AE 折起到1B AE ∆的位置，使平面1B AE ⊥平面AECD ，F 为B 1D 的中点. （Ⅰ）证明：B 1E ∥平面ACF ；（Ⅱ）求平面ADB 1与平面ECB 1所成锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ，且42,,321+a S a 成等比数列．（Ⅰ）求1a ，2a ，3a 的值；（Ⅱ）设2nn n a b =，n N *∈，求{}n a 的通项公式．21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>长轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线(,2)x t t R t =∈≠上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当||||PQ TF 最小时，求点T 的坐标．22. （本小题满分14分）已知x eexx g m x a mx x f =--=)(,ln )(( 2.71828)e = ，其中a m ,均为实数．（Ⅰ）求)(x g 的极值；（Ⅱ）设1,0m a ==,求证:对[]2112122121,3,4(),()()()()ex ex x x x x f x f x g x g x ∀∈≠-<-恒成立；（Ⅲ）设2=a ，若对∀给定的(]e x ,00∈，在区间(]e ,0上总存在)(,2121t t t t ≠使得)()()(021x g t f t f ==成立，求m 的取值范围．答案15- DCCBB 610- CAADD11.15 12. 4030 13. 2(1)2n n n -+⋅ 14. ①③④ 15. 4 16.217.18.19（1）连结ED 交AC 于O ，连结OF ，因为AECD 为菱形，OE=OD 所以FO ∥B 1E ，所以1//B E ACF 面。

2015年黄冈中学理科实验班(自主招生)预录招生数学模拟试题(二)

20. （本小题 10 分）如图，AB∥EF∥CD，已知 AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求 CF。解：
21. （本小题 10 分）已知关于 x 的方程 x ax a 有正根且没有负根，求 a 的取值范围。解：
22. （本小题 10 分）电线杆上有一盏路灯 O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路一侧的一直线上，AB、CD、EF 是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是 2 m，已知 AB、CD 在灯光下的影长分别为 BM = 1. 6 m，DN = 0. 6m. （1）请画出路灯 O 的位置和标杆 EF 在路灯灯光下的影子。（2）求标杆 EF 的影长。解：
4.
已知关于 x 的方程 mx+2=2（m—x）的解满足|x－
1 |－1=0，则 m 的值是（） 2 2 5
A O B C
A．10 或
2 5
B．10 或－
2 5
C－10 或
2 5
D．－10 或
5.
已知反比例函数
y
k (k 0) 的图象上有两点 A（ x1 ， y1 ），B（ x2 ， y2 x
1 8. 一名考生步行前往考场， 10 分钟走了总路程的 4 ，估计步行
不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总
路程为 1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（） A．20 分钟Ｂ．22 分钟 D．26 分钟Ｃ．24 分钟 9. 若一直角三角形的斜边长为 c ，内切圆半径是 r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（） r r r r A． B． C． D． 2 c 2r cr 2c r c r2 10. 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔 3 支，练习本 7 本，圆珠笔 1 支共需 3.15 元；若购铅笔 4 支，练习本 10 本，圆珠笔 1 支共需 4.2 元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各 1 件共需（） A． 1.2 元 B． 1.05 元 C． 0.95 元 D． 0.9 元 11. 如图，正方形 ABCD 的边 AB 1 ，则无阴影两部分的面积之差是 A．和都是以 1 为半径的圆弧，（） C．

全国重点高中黄冈中学2015年自主招生理科实验班预录考试数学模拟试题六

黄冈中学2015年自主招生预录考试数学模拟试题一、选择题（25分）1．已知非零实数a 、b 满足a b a b a 24)3(2422=+-+++-，则b a +等于（）A ．－1B ．0C ．1D ．22．对于方程xx x 222=+-有（）个正根 A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．若0123=+++x x x ，则2726126271x x x x x x ++++++++--- 的值是（）A ．1B ．0C ．－1D ．24．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝100°，M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，MP ⊥CD 于点P ，则∠NPC 的度数为（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°5．如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 互相垂直，若AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5，则AD 的长为（）A ．23B ．4C ．32D ．42二、填空题（25分）6．设1x ，2x ，3x ，…，2010x 为实数，且满足1x 2x 3x ……2010x ＝1x －2x 3x ……2010x ＝1x 2x －3x ……2010x ＝1x 2x 3x ……120102009=-x x ，则=2008x .7．如图，五边形ABCDE 中，BC ＝4，CD ＝4－AB ，AE ＝DE ＝6，AE ⊥AB ，DE ⊥CD ，则此五边形的面积为 .8．已知1a 、2a 、3a 、4a 、5a 是满足条件1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝9的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程2009))()()()((54321=-----a x a x a x a x a x 的整数根，则b 的值为 .9．梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝5，AD ＝2，一条动直线交AB 于P ，交CD 于Q ，且将梯形ABCD 分为面积相等的两部分，则点A 到动直线的距离的最大值为 .10．定义新运算△：a △b ＝a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），其中b 为正整数. 如果（x △3）△（2x ）＝13，则x ＝ .三、解答题11．（10分）已知关于x 的方程0)1()21()23(22=+--++-m m x m x m m 的根都是整数，求实数m 的所有可能的取值.12．（4′+6′+4′）如图①，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F.（1）求证：AB AC EF =+21. （2）点1C 从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点1A 从点A出发，沿着BA 的延长线运动，点1C 与点1A 的运动速度相同，当动点1C 停止运动时，另一动点1A 也随之停止运动.如图②，1A 1F 平分11C BA ∠，交BD 于点1F ，过点1F 作1F 1E ⊥1A 1C ，垂足为1E ，请猜想1E 1F 、1121C A 与AB 三者之间的数量关系，并证明你的猜想. （3）在（2）的条件下，当1A 1E ＝3，1C 1E ＝2，求BD 的长.13．（12分）求直角坐标系xoy 中，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，且使△OAB 的面积值等于3++OB OA .（1）用b 表示k.（2）当使△OAB 的面积取最小值时，求k 、b 的值.14．（3′+5′+6′）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，BO＝4，分别以OA、OB 边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE.（1）如图1，当E点恰好落在线段AB上，求E点坐标；（2）在（1）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移（如图2），图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；（3）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB 重叠部分的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.九年级数学答案一、选择1——5 C A C D A二、填空6．1或253±- 7．248．109．1010．1三、解答题11．m ＝1，2，21，23，45 12．（1）证略（2）1E 1F +1121C A =AB （证略）（3）227=BD 13．（1）)3(222+-=b b b k b>2 （2）102+=b ，k ＝－114．（1）E （1，3）（2）存在，OO ′＝EF（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-≤<=32323243)20(4322x x x x y （2＜x ＜4）（x ≥4）。