新人教版九年级数学上册《配方法的灵活运用》优质课课件
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21.2.1.2 配方法 课件(共24张PPT) 人教版数学九年级上册
为 0，各项均为 0，从而求解. 如：a2＋b2 - 4b＋4=0，则 a2＋(b－
2)2=0，即 a=0，b=2.
21.2.2 配方法
随堂练习
1.用配方法解下列方程
(1)4x2-6x-3=0
解：(1) x2 3 x 3 0
24
x2 3 x （ 3 ）2 3 （ 3 ）2 2 4 44 ( x 3)2 21 4 16
21.2.2 配方法
例1 用配方法解下列方程：
(1)x2-8x+1=0
解：移项，得 配方，得 即
x2－8x=－1，
x2－8x+(
8 2
)2=－1+42，
( x－4)2=15
由此可得 x 4 １5，
x1 4 15，x2 4 15.
21.2.2 配方法
(2)2x2+1=3x
解：移项，得 2x2－3x=－1，
即 x 22 16.
由此可得 x 2 4，
x1 2，x2 6.
21.2.2 配方法
配方法解一元二次方程的一般式步骤.
一移，化成一般式，把常数项移到等号右边； 注意：移项要改变符号
二化，二次项系数化为1；
三配，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
四写，方程写成(x+n)2=p的形式；
五开，方程两边开平方，得两个一元一次方程； 六解，解一元一次方程；
x2+6x+4 =0
变 形 为
配成完全平方公式是 否有什么规律呢？
(x+n)2=p
21.2.2 配方法
解： x2+6x+4=0
二次项 系数是1
移项
x2+6x=-4 两边加9
x2+6x+9=-4+9
2)2=0，即 a=0，b=2.
21.2.2 配方法
随堂练习
1.用配方法解下列方程
(1)4x2-6x-3=0
解：(1) x2 3 x 3 0
24
x2 3 x （ 3 ）2 3 （ 3 ）2 2 4 44 ( x 3)2 21 4 16
21.2.2 配方法
例1 用配方法解下列方程：
(1)x2-8x+1=0
解：移项，得 配方，得 即
x2－8x=－1，
x2－8x+(
8 2
)2=－1+42，
( x－4)2=15
由此可得 x 4 １5，
x1 4 15，x2 4 15.
21.2.2 配方法
(2)2x2+1=3x
解：移项，得 2x2－3x=－1，
即 x 22 16.
由此可得 x 2 4，
x1 2，x2 6.
21.2.2 配方法
配方法解一元二次方程的一般式步骤.
一移，化成一般式，把常数项移到等号右边； 注意：移项要改变符号
二化，二次项系数化为1；
三配，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
四写，方程写成(x+n)2=p的形式；
五开，方程两边开平方，得两个一元一次方程； 六解，解一元一次方程；
x2+6x+4 =0
变 形 为
配成完全平方公式是 否有什么规律呢？
(x+n)2=p
21.2.2 配方法
解： x2+6x+4=0
二次项 系数是1
移项
x2+6x=-4 两边加9
x2+6x+9=-4+9
人教版初中九年级数学课精品PPT教学课件-配方法
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.
x2+px+（
p 2
）2=-q+（
p 2
）2
开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.
（x+ p ）2=-q+（ p ）2
2
2
求解：解一元一次方程.
定解：写出原方程的解.
方程右边 是非负数
二次项系 数为1时
一次项系数 一半的平方
一次项系 数的一半
根据这个技巧，我们来把x2+4x-96=0转化为 x2=p 或（mx+n）2=p（p≥0）的形式.
x2+4x-96=0
移项
x2+4x=96
边加上
4 2
2
，使左边配成完全平方式
x2+4x+4=96+4
（x+2）2=100
左边写成完全平方式
x+2=±10
∴方程的两根为
x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
x2 4x 4 3 解：(x 2)2 3
x 2 3，x 2 3
∴方程的两根为
x1 3 2，x2 3 2
知识要点
2x 1 5
(2x 1)2 5
(x 2)2 3
2x 1 5
x2 3 x2 3
把一个一元二次方程“降次”，转化为两
设原来小花园的边长xm， 则有（x+2）2=100 根据平方根的意义，得x+2=±10 即 x1 8，x2 12（不合题意，舍去） 所以原来小花园的边长是8m.
3.市政府计划2年内将人均住房面 积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年 人均住房面积增长率？
人教版数学九年级上册21.2.1配方法教学课件(共21张PPT)
2
4x 4 5 6x 4 0
2
2
(1 ) x
4x 4 5
2
解：（ x 2 ) x 2 x1 2
5 5 5.
5或 x 2 5， x 2 2
例题分析
(2) x
x
2
2
6x 4 0
常数项）
解： 移项，（含未知数的项 6 x 4
2 2
2
2
2
2
3.填空
x2﹣4x＋4= (x－2)2
a x
2
2 a b b 2x2 2
2
(a b) ( x 2)
2
2
2
2
2
2
1 x
2
2x 1 (
x 1 )
2 x
2
4x 4 ( x 2)
2
3 4 x 20 x 25 ( 2 x 5 ) 49x 6x 1 (
理解配方法，会利用配方法对一 元二次式进行配方。
学习重难点
重点 用配方法解简单的数字系数的一元二次方 程 难点 如何对一元二次方程正确进行配方
1.求出下列各数的平方根。
1 2 5
2 0 .0 4 3 0
47
5
9 16
(1) a 2 a b b a b ( 2 ) a 2 a b b a b
即x 3 x1
2
把方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
5 5
5或 x 3 5 3
5 3, x 2
2
(5 ) 2 ( x 6 )
8 0
2
4x 4 5 6x 4 0
2
2
(1 ) x
4x 4 5
2
解：（ x 2 ) x 2 x1 2
5 5 5.
5或 x 2 5， x 2 2
例题分析
(2) x
x
2
2
6x 4 0
常数项）
解： 移项，（含未知数的项 6 x 4
2 2
2
2
2
2
3.填空
x2﹣4x＋4= (x－2)2
a x
2
2 a b b 2x2 2
2
(a b) ( x 2)
2
2
2
2
2
2
1 x
2
2x 1 (
x 1 )
2 x
2
4x 4 ( x 2)
2
3 4 x 20 x 25 ( 2 x 5 ) 49x 6x 1 (
理解配方法，会利用配方法对一 元二次式进行配方。
学习重难点
重点 用配方法解简单的数字系数的一元二次方 程 难点 如何对一元二次方程正确进行配方
1.求出下列各数的平方根。
1 2 5
2 0 .0 4 3 0
47
5
9 16
(1) a 2 a b b a b ( 2 ) a 2 a b b a b
即x 3 x1
2
把方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
5 5
5或 x 3 5 3
5 3, x 2
2
(5 ) 2 ( x 6 )
8 0
2
九年级数学上册《配方法》课件人教新课标版(与“方程”有关优秀PPT文档)
第1页，共6页。
问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10 个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2， 根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
由此可得
10×6x2=1500
①
x2=25
即
x1=5，x2=－5
解： 3x 12 4,
3x12,
3 x 12 ， 3 x 1 2 ,
方程的两根为
x1
1 3
x2 1.
第6页，共6页。
第3页，共6页。
练习
解下列方程：
1 2 x 2 8 0 ; 2 9 x 2 5 3 ; 31 2 6 0 ； 5 x 2 4 x 4 5 ; 6 9 x 2 ＋ 6 x ＋ 1 4 .
1 2x2 80
3 2
如得果方程能x化成p x 或 m xp 或 n (m p.n x ) p (p 0 )的形式，那么可 1221可2（问？11112设1（方设问？1方方21设设（1可1设配降降配降配配配配降配配降配配配以x题正x程正题程程正正x以正+++方次次方次方方方方次方方次方方方验 1方 x方 1xx方 方 验 方333222）））法 法法法法法法法法 法法———一—一—证体体体体证体+++666222（ （（（（（（（（ （（———桶—桶—，的的的的，的xxx===+++222第 解解第解某第第第第解第某第解第 第第5棱棱棱棱5棱999，，，和和===１ １种１１１１１种１１ １１一一一一一长长长长长进进进222－－课 课油课课课课课油课课 课课元元元元元的的的为为为为为行行行55时 时漆时时时时时漆时时 时时二二二二二左左左xxxxx是是降降降ddddd） ）可）））））可）） ））次次次次次边边边方方次次次mmmmm刷刷方方方方方是 是 是程程，，，，，，，，的的程程程程程完完完则则则则则得得得①①面面全全全一一一一一___的的积积___平平平个个个个个___两两为为方方方___正正正正正___根根11形形形___方方方方方55___，，00式式式体体体体体___00但但___，，，dd的的的的的___mm是是___这这这表表表表表___22棱棱个个个___，，面面面面面___长长方方方李李，，，积积积积积2 不不程程程林林方方方为为为为为能能可可可用用程程程66666是是xxxxx以以以这这的的的22222负负ddddd化化化桶桶根根根mmmmm值值成成成油油为为为22222，，，，，，，漆漆xxx111所所根根根根根恰恰===以以___据据据据据好好___正正一一一一一___刷刷___方方桶桶桶桶桶___完完___体体油油油油油11___00___的的漆漆漆漆漆个个___棱棱___可可可可可同同___长长刷刷刷刷刷，，，样样为为的的的的的xxx2 的的22255面面面面面＝＝＝正正dd积积积积积mm___方方___．．，，，，，___体体___列列列列列___现现___出出出出出状状______方方方方方的的___程程程程程___盒盒．．．子子的的全全部部外外表表面面，，你你能能算算出出盒盒子子的的棱棱长长吗吗
问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10 个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2， 根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
由此可得
10×6x2=1500
①
x2=25
即
x1=5，x2=－5
解： 3x 12 4,
3x12,
3 x 12 ， 3 x 1 2 ,
方程的两根为
x1
1 3
x2 1.
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第3页，共6页。
练习
解下列方程：
1 2 x 2 8 0 ; 2 9 x 2 5 3 ; 31 2 6 0 ； 5 x 2 4 x 4 5 ; 6 9 x 2 ＋ 6 x ＋ 1 4 .
1 2x2 80
3 2
如得果方程能x化成p x 或 m xp 或 n (m p.n x ) p (p 0 )的形式，那么可 1221可2（问？11112设1（方设问？1方方21设设（1可1设配降降配降配配配配降配配降配配配以x题正x程正题程程正正x以正+++方次次方次方方方方次方方次方方方验 1方 x方 1xx方 方 验 方333222）））法 法法法法法法法法 法法———一—一—证体体体体证体+++666222（ （（（（（（（（ （（———桶—桶—，的的的的，的xxx===+++222第 解解第解某第第第第解第某第解第 第第5棱棱棱棱5棱999，，，和和===１ １种１１１１１种１１ １１一一一一一长长长长长进进进222－－课 课油课课课课课油课课 课课元元元元元的的的为为为为为行行行55时 时漆时时时时时漆时时 时时二二二二二左左左xxxxx是是降降降ddddd） ）可）））））可）） ））次次次次次边边边方方次次次mmmmm刷刷方方方方方是 是 是程程，，，，，，，，的的程程程程程完完完则则则则则得得得①①面面全全全一一一一一___的的积积___平平平个个个个个___两两为为方方方___正正正正正___根根11形形形___方方方方方55___，，00式式式体体体体体___00但但___，，，dd的的的的的___mm是是___这这这表表表表表___22棱棱个个个___，，面面面面面___长长方方方李李，，，积积积积积2 不不程程程林林方方方为为为为为能能可可可用用程程程66666是是xxxxx以以以这这的的的22222负负ddddd化化化桶桶根根根mmmmm值值成成成油油为为为22222，，，，，，，漆漆xxx111所所根根根根根恰恰===以以___据据据据据好好___正正一一一一一___刷刷___方方桶桶桶桶桶___完完___体体油油油油油11___00___的的漆漆漆漆漆个个___棱棱___可可可可可同同___长长刷刷刷刷刷，，，样样为为的的的的的xxx2 的的22255面面面面面＝＝＝正正dd积积积积积mm___方方___．．，，，，，___体体___列列列列列___现现___出出出出出状状______方方方方方的的___程程程程程___盒盒．．．子子的的全全部部外外表表面面，，你你能能算算出出盒盒子子的的棱棱长长吗吗
人教版数学九年级上册 第二十一章《21.2.1配方法》课件(共21张PPT)
(2)x(x＋4)＝8x＋12．
2
2
2
3.解下列方程： (1)x2－x－ 74＝0；
(2)x(x＋4)＝8x＋12．
解： (2)去括号，移项，合并同类项，得x2－4x＝12， 配方，得x2－4x＋4＝12＋4，(x－2)2＝16， 由此可得x－2＝±4，x1＝6，x2＝－2．
5.一元二次方程y2 y 3 0
人教版数学九年级上册
第二十一章 二元一次方程
21.2.1 配方法
学习目标
1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的 步骤。
2.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次 方程。
3.在探索配方法时，感受前后知识的联系，体会配方的过 程以及方法。
4.通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解 二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程， 对配方法全面认识。
大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为x−3．
x2=10(x−3)+x
x2−11x+30=0
x
11 2 2
1 4
x=5或x=6
年龄为25或36岁，而立之年是三十岁，
所以周瑜去世时的年龄为36岁．
7.已知方程 x2-6x+q＝0 配方后是 (x-p)2=7 ，那么方程 x2+6x+q=0
配方后是( D )
A．(x-p)2=5
B．(x+p)2=5
C．(x-p)2=7
D．(x+p)2=7
归纳新知
1.通过配成完全平方的形式来解一元二次方 程的方法，叫做配方法。
人教版九年级数学上册配方法PPT
人教版九年级数学上册 21.2.1配方法(共16张PPT)
人教版九年级数学上册 21.2.1配方法(共16张PPT)
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x²=a(a≥0)或( x＋h)2 =
k（k ≥ 0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个
你会解下列一元二次方程吗？ （1） x2+8x-9=0 （2） x2-8x-20=0 （3） x2+12x+15=0
人教版九年级数ห้องสมุดไป่ตู้上册 21.2.1配方法(共16张PPT)
人教版九年级数学上册 21.2.1配方法(共16张PPT)
填一填
(1) x2 2x __1_2__ (x __1_)2
什么是完全平方式？ 式子a²±2ab+b²叫做完全平方式 且a²±2ab+b²=(a±b)².
1、如果一个数的平方等于9，则这个数是 ±3 ，
若一个数的平方等于5，则这个数是x 5, 。
一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？什么
是平方根？
如果x2=a,那么x= a.
2、用字母表示完全平方公式。
(2) x2 8x __4_2__ (x__4 _)2 (3) y2 5y （__52_）_2 _ ( y _52__)2
(4)
y2
1 2
y
（__14_）2_
(
y
__14 _)2
注意：左边常数项是一次项系数一半的
平方，右边是一次项系数的一半。
人教版九年级数学上册 21.2.1配方法(共16张PPT)
人教版数学九上课件配方法
)2=(
p
2 )2
左边:当二次项系数是1时，所填常数等于一次项系数
一半的平方；
右边：完全平方式。
探究一：解下列一元二次方程
1. x2+6x+9=25 2. x2+6x-16=0
解1. x2+6x+9=25
左边写成完全平方形式
( x 3)2 25
降次
x 3 5
x 3 5, x 3 5
A1 4
B1
2
C
1
4
D
1
2
4.若代数式X2 + 2(m+1)X + 25是完全平方式,则m的 值是( C )
A、4
B、 - 6
C、4或 – 6
D、 - 1
5.解下列方程
（1） X2 – 9 = 6X –5
（2） 2X2 – 4X + 4 = 3
（3） 3X2 – 4X + 9 = 3
小结：
1、配方法：通过配方,将方程的左边化成一个含
得: x 2, x 8
1
2
以上解法中,为什么在方程 x2 6x -16 0
两边加9?加其他数行吗?
像这样通过配成完全平方式的方法得到了一元二
次方程的根，这种方法 叫做配方法 ； 配方是为
了降次，把一个一元二次方程化为两个一元一次
方程
如：X2－4x＋1＝0 变形为 x2-4x+4=-1+4
பைடு நூலகம்
4 3
配方得： x2 2x 12 4 12
3
(x 1)2 1
3
因为实数的平方不会是负数，
新人教版九年级上册初中数学21.2.1配方法(第1课时)优质课件
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根
，
；x1 p
x2 p
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 = x2 =0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方 法叫直接开平方法.
第十一页，共二十一页。
探究新知
(3) 12（3－2x）2－3 = 0. 解析：本题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12， 再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.
解：（3）移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）²=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
x1
22 3
, x2
22 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
第八页，共二十一页。
巩固练习
对照前面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5①？
解：把x+3看做一个整体，
两边开平方得 x 3 ②5,
x 3 5 ，或 x 3 5 . ③ 于是，方程（x+3）2=5的两个根为
x1 3 5 ，或 x2 3 5
第九页，共二十一页。
第六页，共二十一页。
探究新知
素养考点 1 利用直接开平方解形如x2=p方程
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=6；
(2) x2－900=0.
解：（1） x2=6， 直接开平方，得
x 6,
x1 6 ，x2 6;
（2）移项，得 x2=900.
直接开平方，得 x=±30，
人教版九年级上册配方法课件
B.m2+6m+6 D. m2+6m+9
当堂检测
3.用配方法解方x2+4x=2,要使左边是完全平方式， 应把方程两边同时（ ）
A.2
B.4 C.1
D.-4
当堂检测
4.方程x2-x-6=0的两根为（ ） A.3和2 B.-3和-2 C.2和-3 D. -2和3
当堂检测
5.方程x2-6x+10=0的根为（ ）
新知探究 做一做：填上适当的数，使下列等式成立
1.x2+12x+ 36 =(x+6)2
问题：视察这些等式的左边
2.x2-6x+ 9 =(x-3)2
常数项和一次项系数有什么
关系？对于形如 x2+ax 的
3.x2-4x+ 4
=(x -
2
)2
式子如何配成完全平方式？
4.x2+8x+ 16 =(x+ 4 )2
x2-4x+1=0
怎么解这个方程呢
新知探究 例1 解方程：x2-4x+1=0
解:把常数项移到方程的右边，得 x2-4x＝-1
两边都加上22，得 x2-4x＋22=-1＋22
即（x-2）2=3
开平方得x 2 3
x 2 3或x 2 3 x1 2 3，x2 2 3
新知探究 解方程：x2+8x-9=0
解：把常数项移到方程的右边，得
x2+8x＝9
两边都加上42，得
配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
x2+8x＋42=9＋42.
即（x+4）2=25
变形:方程左边写成（x+m）2情势,右边合并同类项;
配方法 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
应用
代数式的证明等
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
导入
3.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+
2
2
= ( x + 2 )2
2 2x
（2）x2-6x+ 32 = ( x- 3 )2
2 3x
（3）x2+8x+ 42 = ( x+ 4 )2
2 4x
你发现了什么规律？
知识点拨：
a2 2ab + b2 = (a b)2
二次项系数为1的完全平方式：
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.
①当p>0时,则 x n p ,方程的两个根为
x1 n p , x2 n p
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两 个根为
x1=x2=-n. ③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
课堂练习
难点巩固
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0， 所以（k－2）2＋
1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零.
小结
定义
通过配成完全平方形式解 一元二次方程的方法.
配 方
步骤
法
一移常数项； 二配方； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程.
方程配方的方法
在方程两边加上一次项系数一半的平方. 注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
人教九年级数学上册《配方法的灵活运用》课件
21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法 第3课时 配方法的灵活运用
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配 方法解决一些具体题目．
重点 讲清配方法的解题步骤． 难点 对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常 数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平 方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系 数为1，再用配方法求解．
•2、gladly would learn, and gladly teach.勤于学习的人才能乐意施教。 •3、is not the filling of a pail but the lighting of a fire. •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、be unboun than untaught, for ignorance is the root of misfortune与其不受教育，不知不生，因为无知是不幸的根源。
一、复习引入 (学生活动)解下列方程： (1)x2－4x＋7＝0 (2)2x2－8x＋1＝0 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的 完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程 的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：略． (2)与(1)有何关联？
二、探索新知 讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完 全平方式； (5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如 果q＜0，方程无实根．
例1 解下列方程： (1)2x2＋1＝3x (2)3x2－6x＋4＝0 (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配 方法来完成，即配一个含有x的完全平方式． 解：略．
21．2.1 配方法 第3课时 配方法的灵活运用
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配 方法解决一些具体题目．
重点 讲清配方法的解题步骤． 难点 对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常 数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平 方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系 数为1，再用配方法求解．
•2、gladly would learn, and gladly teach.勤于学习的人才能乐意施教。 •3、is not the filling of a pail but the lighting of a fire. •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、be unboun than untaught, for ignorance is the root of misfortune与其不受教育，不知不生，因为无知是不幸的根源。
一、复习引入 (学生活动)解下列方程： (1)x2－4x＋7＝0 (2)2x2－8x＋1＝0 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的 完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程 的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：略． (2)与(1)有何关联？
二、探索新知 讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完 全平方式； (5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如 果q＜0，方程无实根．
例1 解下列方程： (1)2x2＋1＝3x (2)3x2－6x＋4＝0 (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配 方法来完成，即配一个含有x的完全平方式． 解：略．
人教版九年级数学上册 21.2.1配方法(共19张PPT)
得 x 2,
方程的两根为
x1 2 x2 2.
（2）9x2-5=3
解： 移项 9x2 8,
得 x2 8 ,
9
x2 2,
方程的两根为
3
x1
2
2 3
22 x2 3 .
（3）(x+6)2-9=0
（4）x2-4x+4=5
解：移项 x 62 9 x 6 3,
x＋6=3 x＋6=－3,
解： 2x2 8
x2 4 x 2
（1）9x2 5 3
x1Biblioteka 22 3x2
22 3
.
（2）9x2 5 1
x1 2，x2 2
解： 9x2 4
x2 4 0 9
原方程无解
思考：如何求解下列方程：
（x 3）2 5
解： x 3 5
x 53
x把2 此方6x程“9降次”2 ，
解：转（化x为两3）个2 一 2元
如果方程能化成 x2 p 或(mx n)2 p(p 0) 的形式，那么可得 x p 或mx n p
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平
方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2.转化的思想：把解一元二次方程转化为解 两个一元一次方程.
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用
这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的 全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方形的棱长为x dm，
……
列方程 10 6x2 1500 整理，得 x2 25 x 5 即 x1 5，x2 5
10个
这种解法叫做什么? 直接开平方法
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
方程的两根为
x1 2 x2 2.
（2）9x2-5=3
解： 移项 9x2 8,
得 x2 8 ,
9
x2 2,
方程的两根为
3
x1
2
2 3
22 x2 3 .
（3）(x+6)2-9=0
（4）x2-4x+4=5
解：移项 x 62 9 x 6 3,
x＋6=3 x＋6=－3,
解： 2x2 8
x2 4 x 2
（1）9x2 5 3
x1Biblioteka 22 3x2
22 3
.
（2）9x2 5 1
x1 2，x2 2
解： 9x2 4
x2 4 0 9
原方程无解
思考：如何求解下列方程：
（x 3）2 5
解： x 3 5
x 53
x把2 此方6x程“9降次”2 ，
解：转（化x为两3）个2 一 2元
如果方程能化成 x2 p 或(mx n)2 p(p 0) 的形式，那么可得 x p 或mx n p
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平
方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2.转化的思想：把解一元二次方程转化为解 两个一元一次方程.
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用
这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的 全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方形的棱长为x dm，
……
列方程 10 6x2 1500 整理，得 x2 25 x 5 即 x1 5，x2 5
10个
这种解法叫做什么? 直接开平方法
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
人教版九年级数学上册第21章第2节《配方法》优秀课件第2课时
(3) 解：移项，得：3x2-6x=-4 二次项系数化为1：x2 2x 4
3 配方，得： x2 2 x 12 4 12 ,
3 ( x 1)2 1
3 因为实数的平方根不会是负数，所以x取任何实数时，
(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意什么？
x2+10x+25 =(x+5)2
x2-12x+36 =(x－6)2
x2 5x 25 4
( x 5)2 2
x2 bx b2
( x b)2 4 2
知识点2 用配方法解一元二次方程的一般步骤
例1 解下列方程
(1) x2-8x+1=0
(2)2x2+1=3x
(3)3x2-6x+4=0
(1)解：移项，得：x2-8x=-1 配方，得：x2-8x+42=-1+42 (x-4)2=15
方程没有实数根.
（3）x(x+4)=8x+12
解：化简移项 x2-4x=12 配方 x2-4x+4=16 (x-2)2=16 x-2=±4
方程的两个根为x1=6, x2=-2
4. 当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出 这个最小值.
解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17 ∵(a+1)2≥0, ∴当a=-1时，原式有最小值为17.
移项时需注意改变符号.
思考2：说说配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.
3 配方，得： x2 2 x 12 4 12 ,
3 ( x 1)2 1
3 因为实数的平方根不会是负数，所以x取任何实数时，
(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意什么？
x2+10x+25 =(x+5)2
x2-12x+36 =(x－6)2
x2 5x 25 4
( x 5)2 2
x2 bx b2
( x b)2 4 2
知识点2 用配方法解一元二次方程的一般步骤
例1 解下列方程
(1) x2-8x+1=0
(2)2x2+1=3x
(3)3x2-6x+4=0
(1)解：移项，得：x2-8x=-1 配方，得：x2-8x+42=-1+42 (x-4)2=15
方程没有实数根.
（3）x(x+4)=8x+12
解：化简移项 x2-4x=12 配方 x2-4x+4=16 (x-2)2=16 x-2=±4
方程的两个根为x1=6, x2=-2
4. 当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出 这个最小值.
解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17 ∵(a+1)2≥0, ∴当a=-1时，原式有最小值为17.
移项时需注意改变符号.
思考2：说说配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.
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21.2
解一元二次方程
21．2.1 配方法
第3课时 配方法的灵活运用
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配 方法解决一些具体题目．
重点
讲清配方法的解题步骤． 难点
对于用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 ，通常把常
数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平 方；对于二次项系数不为1 的一元二次方程 ，要先化二次项系 数为1，再用配方法求解．
一、复习引入 (学生活动)解下列方程：
(1)x2－4x＋7＝0
(2)2x2－8x＋1＝0
老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的 完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程 的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：略． (2)与(1)有何关联？
二、探索新知
常用．
五、作业布置 教材第17页 复习巩固3.(3)(4)． 补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值． (2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总 是正数.
讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方 ，使左边配成一个完 全平方式； (5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如
果q＜0，方程无实根．
例1 解下列方程： (1)2x2＋1＝3x (2)3x2－6x＋4＝0 (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配 方法来完成，即配一个含有x的完全平方式． 解：略．
三、巩固练习
教材第9页 练习2.(3)(4)(5)(6)．
四、课堂小结 本节课应掌握：
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
2 ．配方法是解一元二次方程的通法 ，它的重要性，不仅仅表现在 一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数
式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经
解一元二次方程
21．2.1 配方法
第3课时 配方法的灵活运用
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配 方法解决一些具体题目．
重点
讲清配方法的解题步骤． 难点
对于用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 ，通常把常
数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平 方；对于二次项系数不为1 的一元二次方程 ，要先化二次项系 数为1，再用配方法求解．
一、复习引入 (学生活动)解下列方程：
(1)x2－4x＋7＝0
(2)2x2－8x＋1＝0
老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的 完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程 的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：略． (2)与(1)有何关联？
二、探索新知
常用．
五、作业布置 教材第17页 复习巩固3.(3)(4)． 补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值． (2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总 是正数.
讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边； (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方 ，使左边配成一个完 全平方式； (5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如
果q＜0，方程无实根．
例1 解下列方程： (1)2x2＋1＝3x (2)3x2－6x＋4＝0 (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配 方法来完成，即配一个含有x的完全平方式． 解：略．
三、巩固练习
教材第9页 练习2.(3)(4)(5)(6)．
四、课堂小结 本节课应掌握：
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
2 ．配方法是解一元二次方程的通法 ，它的重要性，不仅仅表现在 一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数
式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经