2011-2018高考数学数列分类汇编(理)

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2011—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——2.函数及其性质

)
A．(－∞，0]
B．(－∞，1]
C．[－2,1]
D．[－2,0]
【2012，10】已知函数 f (x)
1
，则 y f (x) 的图像大致为（）
ln(x 1) x
y
y
y
y
1
O1
x
1
1
1
O1
O1 x
x
O1
x
【2011，12】函数 y 1 的图像与函数 y 2 sin x(2 x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于（） x 1
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
【解析】取对数：
x
ln

y
ln
3
ln
5
．
x y
ln 3 ln 2
3 2
，∴
2x
3y
，
x
ln
2
z
ln
5
，则
x z
ln 5 ln 2
5 2
，
∴ 2x 5z ∴ 3y 2x 5z ，故选 D．
【法二】取对数：
x ln 2
bln b
和
aln a
，
构造函数 f x x ln x x 1 ，则 f ' x ln x 1 1 0 ， f x 在 1, 上单调递增，因此
f a f b 0 a ln a bln b 0 1 1 又由 0 c 1 得 ln c 0 ，
a ln a b ln b ，
∴
ln c a ln a
ln c b ln b
b

2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编数列

数列一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅰ，理7】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋×1＝0，∴. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴.∴m ＝5.故选C. 2. 【2012全国，理5】已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 【答案】D3. 【2008全国1，理5】已知等差数列满足，，则它的前10项的和（） A ．138B ．135C ．95D ．23【答案】C.【解析】由.12m m (-)112m a -=-132m m --+={}n a 244a a +=3510a a +=10S =243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=4. 【2013课标全国Ⅰ，理14】若数列{a n }的前n 项和，则{a n }的通项公式是a n ＝__________.【答案】(－2)n －1【解析】∵，①∴当n ≥2时，.② ①－②，得，即＝－2. ∵a 1＝S 1＝，∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.5. 【2009全国卷Ⅰ，理14】设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9=72,则a 2+a 4+a 9=___________. 【答案】24【解析】∵,∴a 1+a 9=16. ∵a 1+a 9=2a 5,∴a 5=8.∴a 2+a 4+a 9=a 1+a 5+a 9=3a 5=24.6. 【2011全国新课标，理17】等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列的前n 项和． (2)故， . 2133n n S a =+2133n n S a =+112133n n S a --=+12233n n n a a a -=-1n n aa -12133a +2)(972219a a S +==23239a a a =1{}nb 31323(1)log log log (12)2n n n n b a a a n +=+++=-+++=-12112()(1)1n b n n n n =-=--++121111111122(1)()()22311n n b b b n n n ⎡⎤+++=--+-++-=-⎢⎥++⎣⎦所以数列的前n 项和为. 7. 【2010新课标，理17】（12分）设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解析】 (1)由已知，当n≥1时，a n ＋1＝(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n －1. ①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n ＋1. ②①－②，得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n·22n ＋1，即S n ＝ (3n －1)22n ＋1＋2]．8. 【2005全国1，理19】设等比数列的公比为q ，前n 项和S n >0（n=1，2，…）（1）求q 的取值范围；（2）设记的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小.1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭21nn -+19}{n a ,2312++-=n n n a a b }{nb解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1. 综上，q 的取值范围是（Ⅱ）由于是9. 【2015高考新课标1，理17】为数列{}的前项和.已知＞0，=. （Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和.).,0()0,1(+∞⋃-得1223++-=n a n a a b .)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n .,0,2,21;,0,0221;,0,2211,,001,0n n n n n n n n n n n n n S T S T q q S T S T q q S T S T q q q q S ==-=-=<<-≠<<->>->-<<-><<->即时或当即时且当即时或当所以或且又因为n S n a n a 2n n a a +43n S +n a 11n n n b a a +=n b 21n +11646n -+n a n a n a n b【考点定位】数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 10.【2016高考新课标理数3】已知等差数列前9项的和为27，，则（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 二．能力题组1. 【2011全国，理4】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5 【答案】D{}n a 10=8a 100=a 1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=2. 【2006全国，理10】设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15，a 1a 2a 3=80则a 11+a 12+a 13＝（）（A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75 【答案】B 【解析】3. 【2012全国，理16】数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为__________．【答案】1 830【解析】：∵a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，...，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1， ∴a 1＋a 2＋...＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋...＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60) ＝10＋26＋42＋ (234)．4. 【2014课标Ⅰ，理17】已知数列的前项和为，，，，其中为常数，（I ）证明：；（II ）是否存在，使得为等差数列？并说明理由. 【答案】（I ）详见解析；（II ）存在，.15(10234)18302⨯+={}n a n S 11a =0n a ≠11n n n a a S λ+=-λ2n n a a λ+-=λ{}n a 4λ=5. 【2009全国卷Ⅰ，理20】在数列{a n }中， a 1＝1,a n+1＝（）a n +. （Ⅰ）设，求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n }的前n 项和S n . 【解析】（Ⅰ）由已知得b 1=a 1=1,且,即. 从而,,…… (n≥2).于是(n≥2). 又b 1=1.故所求的通项公式.(Ⅱ)由（Ⅰ）知.n 11+n n 21+na b nn =n n n n a n a 2111+=++n n n b b 211+=+2112+=b b 22321+=b b 1121--+=n n n b b 1121212212121---=++++=n n n b b 1212--=n n b 1122)212(---=-=n n n n n n a令,则.于是T n =2T n -T n ==.又，所以. 6.【2016高考新课标理数1】设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值为.【答案】【考点】等比数列及其应用【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.7.【2017新课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】试题分析：设公差为，，，联立解得，故选C. ∑=-=nk k n kT 112∑=-=nk k n kT 1222∑-=---111221n k n k n 1224-+-n n )1()2(1+=∑=n n k nk 422)1(1-+++=-n n n n n S {}n a 鬃?64n S {}n a 4524a a +=648S ={}n a d45111342724a a a d a d a d +=+++=+=611656615482S a d a d ⨯=+=+=112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.三．拔高题组1. 【2013课标全国Ⅰ，理12】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝，c n ＋1＝，则( )． A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列 C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列{}n a m n p q +=+m n p q a a a a +=+2n n c a +2n nb a+2. 【2011全国，理20】设数列{a n }满足a 1＝0且.(1)求{a n }的通项公式； (2)设，记，证明：S n ＜1.【解析】(1)由题设，即{}是公差为1的等差数列．又，故. 所以. (2)由(1)得，. 3. 【2006全国，理22】（本小题满分12分）设数列｛a n ｝的前n 项和…。

20112018高考数学数列分类汇编理

2011-2018新课标数列分类汇编一、选择题【2012新课标】5. 已知为等比数列，472a a +=，，则（ D ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=-【2013新课标1】7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ ( C ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.【2013新课标2】3. 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( C )． A ． 13 B ． -13 C ．19 D ． -19【解析】设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.∵q ≠1时，S 3＝31(1)1a q q --＝a 1·q ＋10a 1，∴311q q--＝q ＋10，整理得q 2＝9.∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19. 【2015新课标2】4. 等比数列｛a n ｝满足a 1=3， =21，则( B )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84【2016新课标1】3. 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ C ）（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 【解析】解法1：199599272a a S a +===，53a ∴= 1051105a ad -∴==- 10010(10010)89098a a d ∴=+-=+=.解法2：91989272S a d ⨯=+=，即143a d +=，又10198a a d =+=，解得 11,1a d =-=，1001(1001)19998a a d ∴=+-=-+=【2017新课标1】4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ C ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【2017新课标1】12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习{}n a 568a a =-110a a +=数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ A ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110【2017新课标2】3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ B ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-==-a S ，解得13a =．【2017新课标3】9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ A ） A ．24- B ．3-C ．3D ．8【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 【2018新课标1】4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（）A ．12-B ．10-C ．10D ．12【答案】B二、填空题【2012新课标】16. 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 1830 【解析】可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 112341515141010151618302b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+⨯= 【2013新课标1】14、若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋，则数列{a n }的通项公式是a n =__1(2)n --____.【解析】当n =1时，1a =1S =12133a +，解得1a =1，当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=12233n n a a --，即n a =12n a --，∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1(2)n --.【2013新课标2】16．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为_____-49_____．【解析】设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109102a d ⨯＋＝10a 1＋45d ＝0，① S 15＝11514152a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，23d =，所以S n ＝2(1)211032333n n n n n --+⨯=-.令f (n )＝nS n ，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-.令f ′(n )＝0，得n ＝0或203n =.当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203n =时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49. 【2015新课标2】16. 设是数列的前n 项和，且，，则________．【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．【2016新课标1】15. 设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 64 【解析】由a 1+a 3=10，a 2+a 4=5解得118,2a q ==，14118()()22n n n a --∴==， 27321(4)21211()()22nnn n a a a ----+⋅⋅⋅+-∴⋅⋅⋅==，所以当3n =或4时，12n a a a ⋅⋅⋅有最大值64【2017新课标2】15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 2+1n n ．【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，则3123a a d =+=，414610S a d =+= 求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【2017新课标3】14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =___-8_____．【解析】∵a n {}为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②，显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3341128a a q ∴==⨯-=-．【2018新课标1】14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则6S =________．【答案】-63三、解答题【2011新课标】等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和. 【解析】（1）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

全国Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ卷2011-2018年高考分类分析理科数学

A．3
B．2
C．1
D．0
2016 年
（1）设集合 S x (x 2)(x 3) 0 , T x | x 0 ，则 S T= A.[2，3] C. [3,+ ） B.（- ，2] [3,+ ） D.（0，2] [3,+ ）
Ⅱ卷 2018 年 2017 年
1
任后兵整理
一、集合与简易逻辑小题 1．集合小题：Ⅲ卷 3 年 3 考，Ⅱ卷 6 年 6 考，Ⅰ卷 8 年 6 考，每年 1 题，都是交并补子运算为主，多与不等式交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大．年份 Ⅲ卷 2018 年
2016 年
1.设集合 A {x | x 2 4 x 3 0} ， B {x | 2 x 3 0} ，则 A B A． ( 3, )
3 2
B. ( 3, )
2
3 2
C. (1, )
3 2
D. ( ,3)
3 2
2014 年
1.已知集合 A={ x | x 2 x 3 0 }，B= x 2 x 2 ，则 A B =

Ⅰ卷 2018 年
2. 已知集合 A x x x 2 0 ，则 CR A

2

A.
x 1 x 2
B.
x 1 x 2
C. x | x 1x | x 2
D. x | x 1x | x 2
2017 年
1.已知集合 A={x|x<1}，B={x| 3x 1 }，则 A． A B {x | x 0} B． A B R C． A B {x | x 1} D． A B

2011-2018高考数学数列分类汇编(理)

2011-2018新课标数列分类汇编一、选择题【2012新课标】5. 已知{}n a 为等比数列，472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ D ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=-【2013新课标1】7、设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3,则m ＝（ C ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 【解析】有题意知m S =1()2m m aa +=0,∴1a =－m a =－（m S —1m S -）=－2， 1m a += 1m S +—m S =3，∴公差d =1m a +—m a =1,∴3=1m a +=－2m +,∴m =5，故选C 。

【2013新课标2】3。

等比数列{a n }的前n 项和为S n 。

已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝（ C )． A ． 13 B ． -13 C ．19 D ． -19【解析】设数列｛a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9,此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意,因此q ≠1.∵q ≠1时,S 3＝31(1)1a q q --＝a 1·q ＋10a 1，∴311q q--＝q ＋10，整理得q 2＝9。

∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19.【2015新课标2】4. 等比数列{a n }满足a 1=3，135a a a ++ =21,则357a a a ++= （ B ） (A ）21 （B)42 （C)63 (D)84【2016新课标1】3. 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ C ）（A ）100（B)99（C ）98（D)97 【解析】解法1:199599272a a S a +===，53a ∴= 1051105a ad -∴==- 10010(10010)89098a a d ∴=+-=+=。

2011年—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.立体几何

（ B）
2
3
（C）
3
1
（ D）
3
【 2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂
直的半径．若该几何体的体积是 28 ，则它的表面积是（
）
3
（ A） 17
（ B） 18 （ C） 20
（ D） 28
【 2015 ，6 】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问
A． 6
B．9
C． 12
D． 15
【 2012， 11】已知三棱锥 S－ABC的所有顶点都在球 O 的球面上，△ ABC是边长为 1 的正三角形， SC为球
O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（
）
2
A．
6
3
B．
6
2
C．
3
2
D．
2
【 2011， 6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可
个是梯形，这些梯形的面积之和为（
）
截此正方体所得截
A．10
B．12
C． 14 D． 16
【 2016，11】平面过正方体 ABCD A1 B1C1D1 的顶点 A ， // 平面 CB1D1 ， I 平
面 ABCD m ，平面 ABB1A1 n ，则 m, n 所成角的正弦值为（
）
3
（ A）
2
2
（D） 28
【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的
1 后的三视图 8
表面积是 7 的球面面积和三个扇形面积之和 8
S= 7 4 8
22 +3 1 4
22 =17 ，故选 A ．

2011年高考数学试题分类汇编数列.学生用doc

2011年高考试题欣赏（数列）一、选择题1．（天津理4）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．1102．（四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1,()n n n b a a n N ++=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．113．（全国大纲理4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．54．（江西理5）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：n m m n S S S ++=，且11a =．那么10a =A ．1B ．9C ．10D ．555（江西文）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n s 为其前n 项和，若1011S S =，则1a = A ．18 B ．20C ．22D ．24二、填空题6．（湖南理12）设n S 是等差数列{}n a ，的前n 项和，且11a =，47a =，则9S =7．（重庆理11）在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________8．（北京理11）在等比数列{an}中，112a =，44a =-，则公比q=______________；12...n a a a +++=____________。

9．（安徽理14）已知A B C ∆的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则A B C ∆的面积为_______________.10．（广东理11）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若141,0k a a a =+=，则k=____________．三、解答题 11．（安徽理18）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令lg n n a T =，(1)n ≥. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan n n n b a a +=⋅求数列{}n b 的前n 项和n S .12．（福建理16）已知等比数列{}n a 的公比q=3，前3项和3133S =（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若函数()sin(2),(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，求函数f （x ）的解析式。

2011-2018年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编——1.集合与简易逻辑

1 1．集合与简易逻辑一、选择题 1、已知集合{}220A x x x =−−>，则A =R A ．{}12x x −<< B ．{}12x x −≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <−> D ．}{}{|1|2x x x x ≤−≥ 2、已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =∅3、设集合}034{2<+−=x x x A ，}032{>−=x x B ，则AB = A ．)23,3(−− B ．)23,3(− C ．)23,1( D ．)3,23( 4、设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n =5、已知集合A={x |2230x x −−≥}，B={}22x x −≤<，则A B ⋂= A ．[-2,-1] B ．[-1,2） C ．[-1,1] D ．[1,2）6、已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B7、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A −∈}，则B 中包含元素的个数为A ．3B ．6C ．8D ．10 8、已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8C ．5D ．4 9、设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =−+=．若{}1A B =，则B =A ．{}1,3−B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,510、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩11、已知集合A ={1，2，3}，B ={x |(x +1)(x -2)<0，x ∈Z }，则AB = A ．{1} B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{-1，0，1，2，3}12、已知集合A ={-2，-1，0，2}，B ={x |(x -1)(x +2)<0}，则A ∩B =A ．{-1，0}B ．{0，1}C ．{-1，0，1}D ．{0，1，2}2 13、设集合M ={0, 1, 2}，N ={}2|320x x x −+≤，则M N =A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2} 14、已知集合M ={x|(x -1)2 < 4, x ∈R }，N ={-1，0，1，2，3}，则M ∩ N =A .{0, 1, 2}B .{-1, 0, 1, 2}C .{-1, 0, 2, 3}D .{0, 1, 2, 3}15、已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={(x ,y )| x ∈A , y ∈A , x -y ∈A }，则B 中所含元素的个数为A. 3B. 6C. 8D. 1016、已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是12:+10,3P πθ⎡⎫>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b22:1,3P πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦a b 3:10,3P πθ⎡⎫−>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b4:1,3P πθπ⎛⎤−>⇔∈ ⎥⎝⎦a b A ． P 1，P 4 B ．P 1，P 3C ．P 2，P 3D ．P 2，P 4。

历年数列高考题(汇编)答案

word 格式文档历年高考《数列》真题汇编1、 (2011 年新课标卷文)已知等比数列 { a n} 中，a111，公比 q．33（ I ）S n为{ a n}的前 n 项和，证明：S n 1a n 2（ II）设 b n log 3 a1log 3 a2log 3 a n，求数列 { b n} 的通项公式．1 ( 1)n 111(1 1 )11解：（Ⅰ）因为 a n. S n33n3n,333n1123所以 S n1a n,2（Ⅱ） b n log 3 a1log 3 a2log 3 a n(1n(n 1) 2 ....... n)n(n1) .2所以 {b n } 的通项公式为b n22、 (2011全国新课标卷理）等比数列a n的各项均为正数，且2a13a21,a329a2 a6 .（1）求数列a n的通项公式.(2)设 b n log 3 a1 log 3 a2......log 3 a n , 求数列1的前项和 .b n解：（Ⅰ）设数列 {a n} 的公比为 q，由a329a2a6得 a339a42所以 q21。

有条件可知 a>0,19故 q。

311n。

由 2a13a21得2a13a2q 1 ，所以a1。

故数列 {a n} 的通项式为 a n=33（Ⅱ） b n log1 a1log1 a1...log1 a1(1 2 ...n)n(n 1)2故122(11) b n n( n1)n n1word 格式文档1 1 ... 1 2((1 1 ) ( 1 1) ...(11))2n b 1 b 2 b n2 2 3n n 1n 1所以数列 { 1} 的前 n 项和为2nb nn 13、（ 2010 新课标卷理）设数列a n 满足 a 1 2, a n 1 a n3 22n 1（1）求数列 a n 的通项公式；（2）令 b nna n ，求数列的前 n 项和 S n解（Ⅰ）由已知，当n ≥ 1 时，an 1[( a n 1 a n ) (a n a n 1 ) (a 2 a 1)] a 13(2 2n 122 n 32) 222( n1) 1。

2011年—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——6.函数与导数.docx

2011 年—2018 年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）6．函数与导数一、选择题【 2018，5】设函数f x x3a 1 x ax ，若 f x 为奇函数，则曲线y f x 在点 0 ,0 处的切线方程为（）A ．y2x B. y x C. y 2x D. y x【 2018， 9】已知函数 f xx ，≤0， g x fx x a ，若 g x存在 2个零点，则 a 的取值范围e xln x ，x 0是（）A． 1 ，0B． 0，C．1，D． 1，【，】函数 f ( x) 在 (,)单调递减，且为奇函数．若 f (1)1，则满足 1 f (x 2) 1的x 的20175取值范围是（）A ．[2,2]B ．[1,1]C．[0, 4] D ．[1,3]【 2017， 11】设x, y, z为正数，且2x3y5z，则（）A ．2x<3y<5z B． 5z<2x<3y C． 3y<5 z<2x D ．3y<2x<5z【 2016， 7】函数y2x 2e x2,2] 的图像大致为（）在 [A ．B．C．D．【 2016， 8】若a b 1， 0c 1 ，则（）A ． a c b cB． ab c ba c．D．log a c log b cC a log b c b log a c【 2015，12】设函数f ( x) = e x(2 x1)ax a ,其中a 1 ，若存在唯一的整数x0，使得 f (x0 ) 0 ，则a 的取值范围是（）A ．3,1B． 3 , 3C． 3 , 3 D ．3,1 2e2e42e42e【 2014， 3】设函数 f (x) ， g (x) 的定义域都为R，且f (x)是奇函数，g( x)是偶函数，则下列结论正确的是（）A ． f ( x) g( x) 是偶函数B ．| f ( x) | g( x) 是奇函数C ． f ( x) |g (x) | 是奇函数D ． | f ( x) g( x) 是奇函数|【 2014， 11】已知函数 f ( x) = ax 3 3x 2 1，若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x 0 ＞ 0，则 a 的取值范围为A ．（ 2，+∞）B ．（-∞， -2）C ．（ 1， +∞）D ．（ -∞，-1）【 2013， 11】已知函数 f(x)＝x 2， x ， )2x 0 若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 (ln( x ， x 0.1)A ．(－ ∞， 0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ － 2,1]D ． [－ 2,0]【 2012， 10】已知函数 f ( x)1 ，则 yf ( x) 的图像大致为（）ln( x 1)xyyyy11O1x1O1x1O 1xO1xA ．B ．C ．D ．【 2012， 12】设点 P 在曲线 y1e x 上，点 Q 在曲线 y ln(2 x) 上，则 | PQ |的最小值为（）2A ． 1 ln 2B ． 2(1 ln 2)C ． 1 ln 2D ． 2(1 ln 2)【 2011， 2】下列函数中，既是偶函数又在（ 0，+ ）单调递增的函数是（）A ． y x 3B ． y x 1C ． yx 2 1 D ． y 2 x【 2011， 9】由曲线 yx ，直线 yx 2 及 y 轴所围成的图形的面积为（）10B ． 416D ． 6A ．C ．33【 2011，12】函数 y1 的图像与函数 y 2sin x(2 x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于（）x 1A ．2B ． 4C ． 6D ． 8二、填空题【 2017，16】如图，圆形纸片的圆心为 O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O ．D 、E 、F 为圆 O 上的点， △DBC ， △ECA ，△FAB 分别是以 BC ，CA ，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC ， CA ，AB 为折痕折起 △DBC ，△ECA ，△FAB ，使得 D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积3【 2015， 13】若函数 f(x)= xln（ x+ a x2）为偶函数，则a=【 2013，16】若函数 f(x)＝ (1－ x2)( x2＋ ax＋b) 的图像关于直线x＝－ 2 对称，则 f(x)的最大值为 __________ ．三、解答题1x a ln x .【 2018，理 21 】已知函数f xx（ 1）讨论 f x 的单调性；（ 2）若f x 存在两个极值点x1， x2f x1 f x2a 2 .，证明：x2x1【 2017， 21 】已知函数f xae2 x a 2 e x x ．（1）讨论f ( x)的单调性；（ 2）若f ( x)有两个零点，求 a 的取值范围．【 2016， 21】已知函数f ( x) ( x 2)e x a(x 1) 2有两个零点．（Ⅰ）求 a 的取值范围；（Ⅱ）设x1, x2是f ( x)的两个零点，证明： x1 x2 2 ．【 2015， 21】已知函数 f ( x) x3ax1， g( x)ln x ．4（Ⅰ）当 a 为何值时， x轴为曲线y f ( x) 的切线；（Ⅱ）用 min{ m, n} 表示m,n中的最小值，设函数h( x) min{ f (x), g( x)} （ x0 ），讨论 h(x) 零点的个数．【 2014，21】设函数x be x 1f (x0 ae ln x，曲线 y f ( x) 在点（，f (1)处的切线为 y e( x 1) 2 ．Ⅰ)x1(求a, b ；（Ⅱ）证明： f (x) 1 ．【2013， 21】设函数 f(x)＝ x2＋ ax＋b， g(x)＝ e x(cx＋ d)．若曲线 y＝ f(x)和曲线 y＝g( x)都过点 P(0,2)，且在点P 处有相同的切线 y＝ 4x＋2．(1)求 a， b，c， d 的值； (2)若 x≥－ 2 时， f(x) ≤kg(x)，求 k 的取值范围．【 2012， 21】已知函数 f ( x)满足f (x) f ' (1)e x 1 f (0) x1x2．1 x22（ 1）求f (x)的解析式及单调区间；（ 2）若f (x)ax b ，求 (a1)b 的最大值．2【 2011， 21】已知函数 f ( x) a ln x b，曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 x 2 y 3 0 ．x 1x（Ⅰ）求 a 、b的值；（Ⅱ）如果当x 0 ，且 x1时， f ( x)ln x k，求 k 的取值范围．x 1x2011 年—2018 年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）6．函数与导数（解析版）一、选择题【 2018，5】设函数f x x3a 1 x ax ，若 f x为奇函数，则曲线y f x 在点0 ,0 处的切线方程为（）A ．y2x B. y x C. y 2x D. y x【答案】 D解析：解法 1：由基本函数y x3， y a 1 x2，y ax 的奇偶性，结合f x 为奇函数，易知 a 1 .则 f x x3x ，求导数，得f x 3 21f0 1 ，由点斜式得xy 0 1 x0即 y x .解法 2： f x x3a 1 x ax 为奇函数，f x f x ，即x3a 1 x2ax x3a 1 x2ax ， 2a 2 x20 得 a1，则 f x x3x ，求导数，得f x3x21，f0 1 ，由点斜式得 y0 1 x 0，即 y x .(2018 新·课标Ⅰ，理9)已知函数f x e x ，≤0， g xf x x a ，若g x 存在 2 个零点，则a的xln x ，x0取值范围是（）A． 1 ，0B． 0，C．1，D． 1，【答案】 C解析：g( x) f ( x)x 存a在两个零点，g ( x)0 即 f (x)x a =0有两个根，f ( x)x a 有两个根，即函数 y f ( x) 与 h(x)x a 有两个交点，h( x)x a 在y轴上的截距为 a ，使a1即可，a1【 2017，5】函数f ( x)在(,)单调递减，且为奇函数．若f (1) 1，则满足1 f (x2) 1的x的取值范围是（）A ．[2,2]B ．[ 1,1]C．[0, 4] D ．[1,3]【解析】因为 f x为奇函数，所以 f1 f 1 1 ，于是1≤ f x 2 ≤1，等价于 f 1 ≤ f x 2 ≤ f 1 ，又 f x在，单调递减，1≤x 2≤1 ，1≤ x≤ 3 ，故选 D ．【 2017， 11】设x, y, z为正数，且2x3y5z，则（）A ． 2x<3y<5zB ．5z<2x<3y C． 3y<5z<2x D ． 3y<2x<5z【解析】取对数：xln 2y ln3ln5 ．x ln 33zln 5 ，则xln55，y ln 2，∴ 2 x 3 y ，x ln 22z ln 22∴ 2 x5z ∴3 y2x 5 z ，故选D．【法二】取对数：x ln 2y ln 3zln 5，x ln 2y ln 32x 2 ln 3 ln 3212x3y ，3 y3ln 2ln 23x ln 2z ln 52x 2 ln 5ln 5212x5z ，3y 2 x5z ，故选D；5z 5 ln 2ln 25【 2016， 7】函数y2x 2e x在 [2,2] 的图像大致为（）y y112O2x2O2xA ．B．y y112O2x2O2xC． D ．【解析】 f28e282.820 ，排除 A ； f28e28 2.72 1 ，排除 B ；x 0 时， f x2x2e x，f x4x e x，当 x0,1时，f x 1 4 e0044因此 f x在 0, 1单调递减，排除C；故选 D．4【 2016， 8】若a b1， 0c 1 ，则（）A ．a c b cB ．ab c ba c C．a log b c b log a c D ．log a c log b c 【解析】由于0c1，∴函数 y x c在R上单调递增，因此a b1a c b c， A 错误；由于1c10，∴函数 yc1上单调递减，∴a b1ac 1bc 1bac c错误；x在 1,ab ，B要比较 a log b c 和 b log a c ，只需比较aln c和b ln c，只需比较ln c 和ln c，只需 bln b 和 a ln a ，ln b ln a b ln b a ln a构造函数 f x x ln x x1，则 f ' x ln x1 1 0 ， f x在 1,上单调递增，因此f a f b0 a ln a b ln b 011又由0 c 1 得 ln c0 ，a ln a bln b ，∴ ln c ln c b log a c alog b c ，C正确；a ln ab ln b要比较 l o gc 和log b c ，只需比较ln c和ln c而函数 yln x 在 1,上单调递增，故aln aln b ，a b1ln a ln b 011 又由 0c 1 得 ln c 0 ，∴ln cln clog a c log b c ， D 错误；ln aln b ，ln aln b故选 C ．【 2015，12】设函数 f ( x) = e x (2 x 1) ax a ,其中 a 1 ，若存在唯一的整数x 0 ，使得 f (x 0 ) 0 ，则 a的取值范围是（）A ．3,1B ．3 , 3C ．3 , 3 D ．3,12e2e 42e 42e解析：设 g( x) = e x (2 x1) ， y ax a ，由题知存在唯一的整数 x 0 ，使得 g (x ) 在直线 y axa 的下方 .因为 g (x)e x (2 x 1) ，所以当 x1 时， g (x) ＜ 0，当 x 1 时， g (x) ＞0，所以当 x1 时，2221[ g ( x)] min = 2e 2 ，当 x0 时， g(0)1， g(1) 3e 0 ，直线 yaxa 恒过（ 1,0）斜率且 a ，故ag(0)1，且g( 1)3e 1a a ，解得3≤ ＜ 1，故选 D ． .2e a作为选择题，该题也可先找到满足f ( x 0 ) 0 的整数 x 0 ，由 x 0 的唯一性列不等式组求解.由f (0)1 a 0 得 x0 .又 x 是唯一使 f ( x)0 的整数，所以f ( 1) 0，解得 a31，，又 af (1)2e且 a3时符合题意 .故选 D ． .4【 2014， 3】设函数 f (x) ， g (x) 的定义域都为 R ，且 f (x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，则下列结论正确的是（）A . f (x) g (x) 是偶函数B .| f (x) | g (x) 是奇函数C . f (x) | g (x) |是奇函数D .| f (x) g (x) |是奇函数【解析】设 F (x)f ( x) g( x) ，则 F ( x)f ( x) g( x) ，∵ f ( x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，∴ F ( x)f ( x)g ( x) F ( x) ， F ( x) 为奇函数，选 C.【 2014， 11】已知函数 f ( x) = ax 3 3x 2 1，若 f ( x) 存在唯一的零点x 0 ，且 x 0 ＞ 0，则 a 的取值范围为A .（ 2，+∞）B .（-∞， -2）C .（ 1，+∞）D .（ -∞， -1）【解析 1】：由已知 a0 ， f ( x) 3ax 2 6x ，令 f ( x)0 ，得 x0 或 x 2 ，a 当 a0 时， x,0 , f ( x) 0; x0, 2, f (x) 0; x2 , , f ( x) 0 ；aa且 f (0) 1 0， f (x) 有小于零的零点，不符合题意．当 a0 时， x, 2 , f ( x) 0; x 2,0 , f ( x) 0; x0, , f ( x) 0aa要使 f ( x) 有唯一的零点x 0 且 x 0 ＞ 0，只需 f ( 2)0 ，即 a 24 ， a2 ．选 Ba【解析 2】：由已知 a 0 ， f ( x) =321有唯一的正零点，等价于a3111ax 3xxx 3有唯一的正零根，令 t，则问题又等价于 at 33t 有唯一的正零根，即 ya 与 yt 33t 有唯一x的交点且交点在在 y 轴右侧记f (t )t 3 3t ， f (t )3t 2 3 ，由 f (t)0 ， t1 ，t , 1 , f (t ) 0;t1,1 , f (t) 0; ，t 1,, f (t )0 ，要使 at 3 3t 有唯一的正零根，只需a f ( 1) 2 ，选 B【 2013， 11】已知函数 f(x)＝x 2，，2xx若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 ()．ln( x ，x0.1)A ．(－ ∞， 0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ － 2,1]D ． [－ 2,0]解析：选 D ，由 y ＝ |f(x)|的图象知：① 当 x ＞ 0 时， y ＝ax 只有 a ≤0 时，才能满足 |f(x)|≥ax ，可排除 B ，C.22② 当 x ≤0 时， y ＝|f(x)|＝ |－ x ＋ 2x|＝ x － 2x. 故由 |f(x)|≥ax 得 x 2－ 2x ≥ax.当 x ＝0 时，不等式为 0≥0 成立．当 x ＜0 时，不等式等价于 x － 2≤a ， ∵ x － 2＜－ 2， ∴a ≥－ 2.综上可知： a ∈ [ －2,0] ．【 2012， 10】已知函数 1，则 y f ( x) 的图像大致为（）f ( x)ln( x 1)xyyyy11O1x1O1x1O 1xO1xA ．B ．C ．D ．【解析】 y f ( x) 的定义域为 { x | x 1 且 x 0} ，排除 D ；( 1 1) x因为 f '( x)x 1 2x]2 ，[ln( x 1) x] ( x 1)[ln( x1)所以当 x ( 1,0) 时， f '(x)0 ， yf ( x) 在（－ 1， 0）上是减函数；当 x(0, ) 时， f '(x) 0 ， y f (x) 在 (0,) 上是增函数．排除 A 、 C ，故选择 B ．【 2012， 12】设点 P 在曲线 y1e x 上，点 Q 在曲线 y ln(2 x) 上，则 | PQ |的最小值为（）2A ． 1 ln 2B ．2(1 ln 2)C ． 1 ln 2D ．2(1 ln 2)【解析】函数 y1e x 与函数 y ln(2 x) 互为反函数，图象关于直线yx 对称．2问题转化为求曲线y1e x 上点 P 到直线 yx 的距离的最小值 d ，则 | PQ |的最小值为 2d ．2（用切线法）：设直线 yx b 与曲线 y1e x相切于点 P(t, 1e t ) ，22因为 y '1 e x ，所以根据导数的几何意义，得 1 e t 1， t ln2 ，22 所以切点 P(ln 2,1) ，从而 b 1 ln 2，所以 yx 1 ln 2因此曲线 y1e x 上点 P 到直线 yx 的距离的最小值 d 为直线2y x1 ln2 与直线 yx 的距离，从而 d1 ln 22(1 ln2) ，故选择 B ．2，所以 | PQ |min 2d【 2011， 2】下列函数中，既是偶函数又在（ 0，+ ）单调递增的函数是（）A ． yx 3(B)y x 1C ． yx 2 1(D)y 2 x解析：由图像知选 B【 2011， 9】由曲线 yx ，直线 yx 2 及 y 轴所围成的图形的面积为（）10B ． 4C ．16D ．6A ．3342 x 23116，选 C解析：用定积分求解s ( xx 2) dx ( x 2 2x) |04323【 2011， 12】函数 y1 的图像与函数 y2sin x( 2x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于x 1A ．2B ． 4C ． 6D ． 8解析：图像法求解．yx 1 的对称中心是（ 1,0）也是 y 2sinx(2 x 4) 的中心， 2x 4 他1们的图像在x=1 的左侧有 4 个交点，则 x=1 右侧必有 4 个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5, x 6 , x 7 , x 8 ，则 x 1x 8 x 2 x 7 x 3 x 6 x 4 x 5 2 ，所以选 D二、填空题【 2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O ．D 、E 、F 为圆 O 上的点， △DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以 BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC ， CA ， AB 为折痕折起 △DBC ， △ECA ， △FAB ，使得 D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 _______．【解析】由题，连接OD ，交 BC 与点 G ，由题， ODBC ， OG3 BC ，6即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比，设 OGx ，则 BC2 3x ， DG5 x ，三棱锥的高hDG 2 OG 225 10x x 2x25 10x ，S△ABC2 3 3 x 1 3 3 x 2 ，2 则 V 1 S △ ABC h3x 225 10x = 325x 410x 5 ，3令 fx 25x410x 5， x (0, 5) ， fx100x350x4，令fx0 ，2即 x 42 x3 0 ， x 2 ，则 fx ≤ f 2 80 ，则 V ≤ 380 45 ， ∴体积最大值为 4 15cm 3 ．【 2015， 13】若函数 f(x)= xln （ x+ ax 2 ）为偶函数，则a=解析：由函数 f(x)=xln （ x+a x 2 ）为偶函数，则g( x) ln( xa x 2 ) 为奇函数（ g(0)ln a 0 ）；由 ln( xa x 2 ) ln(xa ( x) 2 ) 0 （ g( x) g( x)0 ），得 ln a 0 ，a 1 ，故填 1.【 2013，16】若函数 f(x)＝ (1－ x 2)( x 2＋ ax ＋b) 的图像关于直线 x ＝－ 2 对称，则 f(x)的最大值为 __________ ．解析： ∵ 函数 f(x) 的图像关于直线 x ＝－ 2 对称， ∴ f(x) 满足 f(0) ＝ f( － 4) ， f( － 1) ＝ f( － 3) ，即b 15 16 4a b , a 8,4 3 28 93a b解得b ∴ f(x)＝－ x－ 8x － 14x ＋ 8x ＋15.,15.由 f ′(x)＝－ 4x 3－24x 2－ 28x ＋ 8＝ 0，得 x 1＝－ 2－ 5 ， x 2＝－ 2， x 3 ＝－ 2＋ 5 .易知， f(x)在 (－ ∞，－ 2－5 )上为增函数，在 (－ 2－ 5 ，－ 2)上为减函数，在 ( －2，－ 2＋ 5 )上为增函数，在 (－2＋5 ，＋ ∞)上为减函数．2＋－－∴ f( － 2－ 5 )＝ [1－ ( － 2－ 5 )2][( － 2－5 )5 ) ＋15] ＝ ( －－ 4 5 )(8 －4 5 ) ＝ 80 － 64＝8( 2816.f( －2) ＝[1－ (－ 2)2 ][( － 2)2＋ 8 ×(－ 2)＋ 15]＝－ 3(4－ 16＋ 15)＝－ 9.f( －2＋ 5 )＝[1－(－2＋5 )2][(－2＋ 5 )2＋8(－2＋5 )＋15]＝(－ 8＋4 5 )(8 ＋4 5 )＝ 80－ 64＝ 16.故f(x)的最大值为 16.三、解答题（ 2018·新课标 I ，理 21）已知函数f x 1x a ln x . x（ 1）讨论f x 的单调性；f x1f x2a 2 .（ 2）若f x存在两个极值点x1，x2，证明：x1x2解析：解法1：(1)函数f x的定义域为0,，且 f x11a x2ax1 x2x x2.当 a0 时，f x0， f x在 0,上单调递减；当 a0 时，a2 4 .①若 0a 2 ，则a240 ，此时f x0 ， f x在 0,上单调递减 .②若 a 2 ，则a240 ，方程 x2ax10 有两根x1, x2，x1x2a0a a24且，故两根 x , x 都为正数，且 x.x1x2 1 0121,22当 xa a24a a24时， f x0 ；0,22,当 x a a2 4 , a a24时， f x0 .22综上可知，当a2时， f x 在 0,上单调递减；当 a 2 时，f x在 0, aa24上单调递减，在a a2 4 , a a24单调递增，在222a a2 4 , 2 上单调递减 .(2) 因为x1, x2是fx1 x2a0 x 的两个极值点，所以1.x1x20f x 1f x 21 x 1 a ln x 11 x2 a ln x 2ln x 1x 1x 22 ax 2a 2 ，所以要证x 1 x 2x 1 x 2x 1x 2lnx1即证x 2 1 ① ，不妨设 x 1 x 2 ，即证 0 ln x1 x 1 x2 ， x 1 x 2 x 22222两边平方得lnx1x 1x 2 x 12x 1 x 2x 2x 1 x 2 2 ，x 2x 1 x 2x 2x 1令 tx 1 1 ，即证 ln 2 t t 12 .x 2t令 h tln 2t t 1 2 ，则 h 1 0 ，且 h t2ln t 1 112ln tt 1 ，ttt 2 tt22121t 2t 1t 1令 m t2ln tt ，则 m t10 ，t 2ttt 2t 2所以 m t 在 1, 上单调递减，m t m 10 ，所以 h t0 ， h t 在 1,上单调递减， h th 10 ，即 ln 2 t t 12 恒成立，tf x 1 f x 2a2 恒成立 .即x 1 x 2ln x 1ln x 1ln1【基本解法 2】 ① 式的证明：不妨设x 1 1 x 2ln x 2x 11 ，0 ，x 21x 1 x 1x 1即 ln x 12 x 11 0，令 g x ln x2 x1 x 1 ，x 1x21x 1 2则 gx10 ，所以 g x 在 1,上单调递减，x 2xx 2所以 g x g 1 0 恒成立，则 ① 得证 .【 2017， 12】已知函数 f xae 2 xa 2 e xx ．（ 1）讨论f ( x) 的单调性；（ 2）若 f ( x) 有两个零点，求 a 的取值范围．【解析】（ 1）由于 f xae 2 xa 2 e x x ，故 fx 2ae 2x a 2 e x1ae x 1 2e x1 ，① 当 a 0 时， a e x 1 0 ， 2e x 1 0 ．从而 fx0 恒成立．f x 在 R 上单调递减；② 当 a0 时，令 f x0 ，从而 e x 1 0 ，得 x ln a ．ax ， ln a ln a ln a ，f ′x 0f x单调减极小值单调增综上，当 a0 时， f (x) 在 R 上单调递减；当 a 0 时， f (x) 在 (, ln a) 上单调递减，在 ( ln a,) 上单调递增（ 2）由（ 1）知，当 a 0 时， f x 在 R 上单调减，故 f x 在 R 上至多一个零点，不满足条件．当 a0 时， f minfln a 1 1ln a ．令 g a1 1 ln a ．aa令 g a11 ln a a 0，则 g ' a110 ．从而 g a 在 0 ，上单调增，而 g 1 0 ．a a2a故当 0 a 1 时， g a 0 ．当 a1时 g a0 ．当 a 1 时 g a0 ，若 a 1 ，则 f min 11ga 0 ，故 f x0 恒成立，从而f x 无零点，不满足条件．ln aa若 a 1 ，则 f min 110 ，故 f x0 仅有一个实根xln a 0 ，不满足条件．ln aa若 0a 1 ，则 f min 1ln a 0 ，注意到ln a0 ． f1a a 21e 210 ．aee故 f x 在1， ln a 上有一个实根，而又ln3 ln1ln a ．且1aaf ln(31) ln 3 1ln3 1a 2 ln31eaa ea aa3 1 3 a a 2 ln313 1ln3 10 ．a aaa故 f x 在ln a ln1上有一个实根．，3a又 f x 在， ln a 上单调减，在 ln a ，单调增，故 f x 在 R 上至多两个实根．又 f x 在1， ln a 及ln a ，ln3 1上均至少有一个实数根，故f x 在 R 上恰有两个实a根．综上， 0 a 1 ．【法二】令 fx0 ，则a2e xx ．再令t e x0 ，则 a2tln t ，e 2 xe xt 2 t而 f x 有两个零点，则a2t ln t有两解，即直线ya与曲线 y2t ln t有两个交点；t 2t t 2t令 g t2t ln t (t0) ，则gt2t ln t2t11t ln tt 22t22，t 2t t t令 h t1t ln t ，则h t110 ，注意到h10 ，t所以 g t 在 0,1上单调递增，在1,上单调递减，即g tmaxg1 1 ；而 lim g(t ), lim g(t )0，所以当 t0,1时， g(t),1；当 t0,1时， g(t ) 0,1，t 0t所以，当 a2t ln t有两解时， a 的取值范围为0,1．t 2t【 2016， 12】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a(x1) 2有两个零点．（Ⅰ）求 a 的取值范围；（Ⅱ）设x1, x2是f ( x)的两个零点，证明：x1x2 2 ．【解析】：⑴ 由已知得： f 'x x 1 e x2a x1x1e x2a①若 a0 ，那么f x0xx0x2， f x只有唯一的零点x 2 ，不合题意；2 e②若 a0 ，那么 e x2a e x0 ，所以当 x 1 时，f 'x0， f x 单调递增;当x 1 时，f 'x0， f x单调递减 ;即：x,111,f' x0f x↓极小值↑故 f x在 1,上至多一个零点，在,1 上至多一个零点由于 f2 a 0 ， f 1e0 ，则 f 2 f 10 ，根据零点存在性定理，f x 在1,2上有且仅有一个零点．而当 x 1 时， e x e ， x 2 1 0 ，故 f x x 2 e x222e x 1 e a x 1 e x 2 a x 1 a x 1则 f x0 的两根 t1e e24ae1 ，t2e e24ae1 ，t1t2，因为a 0，故当 x t12a2a或 x2e x 1 e 0 t2时，a x 1因此，当 x 1 且x t1时， f x0又 f1e0，根据零点存在性定理，f x 在,1 有且只有一个零点．此时， f x在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若e a 0 ，则 ln2aln e 1，2当 xln2a 时， x 1 ln 2a 10 ， e x 2a ln 2 a0 ，e2a 即 f ' x x 1 e x 2a 0 ， f x 单调递增；当 ln2ax 1 时， x 10 ，e xln 2 a2a 0 ，即 f ' x x 1 e x a20 ， f x 单2a e调递减；当 x 1 时， x 10 ， e x 2aln 2 a2a 0 ，即 f ' x0 ， f x 单调递增．e即：x ,ln 2aln 2aln 2 a ,111, f ' x + 0-0 +f x↑极大值↓极小值↑而极大值f ln2a 2a ln 2a 2a ln 2a 12a ln 2a 2 21 0故当 x ≤1 时， f x 在 x ln 2a 处取到最大值 f ln2a ，那么 f x ≤ f ln2a0 恒成立，即 fx0 无解而当 x 1 时， fx 单调递增，至多一个零点此时 f x 在 R 上至多一个零点，不合题意．④ 若 ae，那么 ln2a12当 x 1 ln 2a 时， x 1 0 ， ex2a ln2a2a 0 ，即 f ' x 0 ， f x 单调递增e 当 x 1 ln 2a 时， x 1 0 ， e x2aln 2a2a 0 ，即 f ' x0 ， fx 单调递增e又 f x 在 x 1 处有意义，故 f x 在 R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若 ae，则 ln 2 a12当 x 1 时， x 1 0 ， e x 2a e 12a e ln2a2a 0，即 f ' x 0 ， f x 单调递增当 1 xln 2a 时， x 10 ， ex2ae ln2a2a 0 ，即 f ' x0 ， fx 单调递减当 x ln 2a 时， x 1 ln2 a 1 0 ， e xln 2 a0 ，2a e2a 0 ，即 f ' xf x 单调递增即：x ,1 11,ln2aln 2a ln 2a ,f ' x + 0-+ f x↑极大值 ↓ 极小值↑故当 x ≤ ln 2a 时， f x在 x 1 处取到最大值f 1e ，那么f x ≤e 0 恒成立，即f x 0 无解当 x ln 2a 时， f x 单调递增，至多一个零点,此时 f x 在 R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当 a 0 时符合题意，即 a 的取值范围为0,．⑵ 由已知得： fx 1 f x 20 ，不难发现 x 1 1， x 21，x 1x x 2 xx 2 e x故可整理得：a 2 e 12 e2，则 g x 1 g x 2x 1 1 2x 22g x 21,x 1x 21 x2，当 x1 时， g ' x 0， g x 单调递减；当 x 1 时， g ' x 0 ， g x 单调递增．g ' x3 e x 1设 m 0 ，构造代数式：g 1 m g 1 mm 1 1 mm 1 1 m1 m 1 mm 1 2m12e2em 2emem m 1设 h mm 1e 2m 1， m 0 ,则 h ' m 2m 2 2 e 2 m 0 ，故 h m 单调递增，有 h m h 00 ．m 1m 1因此，对于任意的 m 0 ， g 1m g 1 m ．由 g x 1g x 2 可知 x 1 、 x 2 不可能在 g x 的同一个单调区间上，不妨设x 1 x 2 ，则必有 x 1 1 x 2令 m 1 x 1 0 ，则有 g 11 x 1 g 1 1 x 1g 2 x 1 g x 1g x 2而 2 x 1 1， x 21， g x 在 1,上单调递增，因此： g 2 x 1g x 22 x 1 x 2整理得： x 1 x 2 2 ．【 2015， 12】已知函数 f ( x) x 3ax 1 ， g( x)ln x .4（Ⅰ）当 a 为何值时， x 轴为曲线 yf ( x) 的切线；（Ⅱ）用 min{ m, n} 表示 m,n 中的最小值，设函数 h( x) min{ f (x), g( x)} （ x0 ），讨论 h(x) 零点的个数 .解：（Ⅰ） f (x)3x 2 a ，若 x 轴为曲线 y f ( x) 的切线，则切点 (x 0 ,0) 满足 f ( x 0 ) 0, f ( x 0 ) 0 ，也就是 3x 0 2a 0 且 x 03 ax 0 1 0 ，解得 x 01 ，a3 ，因此，当 a 3 时，x 轴为曲线 yf (x)4244的切线；（Ⅱ）当 x 1时， g (x) ln x 0 ，函数 h(x) min{ f ( x), g ( x)}g( x) 没有零点；当 x1 时，若 a5 ，则 f (1)a50 ， h(1) min{f (1), g(1)}g (1) 0 ，故 x1 是 h( x) 的44零点；当 0x 1时， g( x)ln x 0 ，以下讨论 yf (x) 在区间 (0,1) 上的零点的个数 .对于f (x)3x 2 a ，因为 0 3x 23 ，所以令 f (x)0 可得 a3x 2 ，那么（ i ）当 a 3 或 a 0 时， f ( x) 没有零点（ f (x) 0 或 f ( x) 0 ）， y f (x) 在区间 (0,1) 上是单函数，且 f (0)1 , f (1) a 5 ，所以当 a 3 ， yf ( x) 在区 (0,1) 上有一个零点；当 a0 ，44y f (x) 在区 (0,1)上没有零点；（ ii ）当3a0 ， f( x)0 （ 0xa ）且 f ( x)0 （a1），所以 xa3 x33最小点，且f (a 2a a 1)33.34然，若 f (a ) 0 ，即 3 a 0 ， y f ( x) 在区 (0,1) 上没有零点；3 4若 f (a ) 0 ，即 a3 f ( x) 在区 (0,1) 上有 1 个零点；， y34若 f (a ) 0 ，即 3 a3 ，因 f (0)1, f (1) a 5 ，所以若 5a3 ， yf (x)3444 4 4在区 (0,1)上有 2 个零点；若3 a5 ， yf ( x) 在区 (0,1) 上有 1 个零点 .4上，当 a3 5有 1 个零点；当 a3或 a5 个零点；当或 a， h( x)4 ， h( x) 有 24445 3a， h( x) 有 3 个零点 .44【 2014，21】函数 f ( x0ae x ln x be x 1 ，曲 yf (x) 在点（ 1， f (1) 的切 ye(x 1) 2 .x (Ⅰ )求 a,b ；（Ⅱ）明：f ( x) 1 .【解析】 (Ⅰ ) 函数 f ( x) 的定域0,， f ( x)ae x ln x a e xb 2 e x 1 b e x 1x xx由意可得f (1) 2, f (1) e ，故 a 1,b 2⋯⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）由 (Ⅰ )知，f ( x) xln x2e x 1，从而 f (x) 1 等价于 x ln xx2ex xee函数 g ( x)x ln x ， g (x)x nl x，所以当 x0,1，g (x)0，当 x1 , ，g ( x)0，ee故 g (x) 在0, 1减，在 1 ,增，从而g( x) 在 0,的最小 g( 1)1 .eeee函数 h( x)xe x2 ， h ( x) e x 1 x ，所以当 x0,1 ， h ( x)0 ，当 x 1,，eh (x) 0 ，故 h( x) 在0,1 增，在 1,减，从而 h( x) g (x) 在0,1的最小 h(1).e上：当 x 0 ， g(x) h( x) ，即 f (x)1.⋯⋯⋯⋯⋯12分【 2013，理 21】函数2xf(x)＝ x ＋ ax＋ b， g(x)＝e (cx＋ d)．若曲 y＝ f(x)和曲 y＝ g(x)都点 P(0,2)，且在点 P 有相同的切y＝4x＋ 2.(1)求 a， b，c， d 的； (2)若 x≥－ 2 ， f(x) ≤kg(x)，求 k 的取范．解： (1) 由已知得 f(0) ＝ 2，g(0) ＝ 2， f ′(0)＝ 4， g′(0)＝ 4.而f′(x)＝ 2x＋ a， g′(x)＝ e x( cx＋ d＋ c)，故 b＝2， d＝ 2， a＝ 4，d＋ c＝ 4.从而 a＝ 4， b＝2， c＝ 2，d＝ 2.(2)由 (1) 知， f(x)＝ x2＋ 4x＋2， g(x)＝ 2e x(x＋ 1)．函数 F(x)＝ kg(x)－f(x)＝ 2ke x(x＋ 1)－x2－4x－ 2， F′(x)＝ 2ke x(x＋ 2)－ 2x－4＝ 2(x＋ 2)(ke x－ 1)．由可得F(0)≥0，即 k≥1.令F ′(x)＝ 0 得 x1＝－ ln k，x2＝－ 2.2①若 1≤k＜ e ，－ 2＜ x1≤0.从而当 x∈ (－ 2，x1)，F ′(x)＜ 0；当 x∈ (x1，＋∞) ，F ′(x)＞ 0.即 F( x)在 (－而F(x1)＝ 2x1＋ 2－x12－ 4x1－ 2＝－ x1( x1＋2) ≥0.故当 x≥－ 2 ， F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立．②若 k＝ e2， F′(x)＝ 2e2( x＋ 2)(e x－ e－2)．从而当 x＞－ 2 ， F′(x)＞ 0，即 F(x)在 (－ 2，＋∞) 增．而F(－ 2) ＝0，故当 x≥－ 2 ， F(x)≥0，即 f( x)≤kg(x)恒成立．③若k＞ e2， F(－ 2)＝－ 2ke－2＋ 2＝－ 2e－2(k－ e2)＜ 0.从而当 x≥－ 2 ， f( x)≤kg( x) 不可能恒成立．2上， k 的取范是[1， e ]．已知函数 f ( x) 足 f ( x) f ' (1)e x 1 f (0)x1x2．2（ 1）求f (x)的解析式及区；（ 2）若f (x) 1 x2ax b ，求 (a1)b 的最大．2【解析】（ 1）因所以f (x) f ' (1)e x 1 f (0) x1x2，所以f '(x) f '(1)e x 1 f (0) x ，2f (0)1f '(1)，解得 f (0)1， f'(1) e ．ef '(1) f '(1) f (0) 1所以 f (x) 的解析式 f ( x)e x x1x2，由此得 f '(x)e x 1 x ．2而 f '(x)e x 1x 是R上的增函数，且 f '(0) 0 ，因此，当 x(0,) ， f'(x)f'(0)0 ， f (x) 在 (0,) 上是增函数；当 x ( ,0) ， f '( x) f '(0) 0 ， f ( x) 在 ( ,0) 上是减函数．综上所述，函数 f (x) 的增区间为 (0,) ，减区间为 (,0) ．（ 2）由已知条件得 e x(a 1) x b ．①1 b ，（ i ）若 a 10 ，则对任意常数 b ，当 x0 ，且 xa1 可得 e x( a 1)x b ，因此①式不成立．（ ii ）若 a 10 ，则 ( a 1)b 0 ．（ iii ）若 a 1 0 ，设 g( x)e x (a 1)x ，则 g '(x) e x ( a 1) ．当 x( ,ln( a 1)) ， g '( x) 0 ；当 x (ln( a 1), ) ， g '( x) 0从而 g( x) 在 ( ,ln( a 1)) 单调递减，在 (ln( a 1),) 单调递增．所以 f (x)1x2ax b 等价于 ba 1( a 1)ln( a 1)．②2因此 (a 1)b (a 1)2 (a 1)2 ln( a 1) ．设 h(a)(a 1)2(a 1)2 ln(a 1)，则 h '(a) (a1)(1 2ln( a1)) ．11所以 h( a) 在 (1,e 2 1) 单调递增，在 (e 21, ) 单调递减，1ee故 h(a) 在 ae 2 1 在处取得最大值，从而h(a)，即 (a 1)b2．211e 212当 ae21 ， bf (x)x ax b ．时，②式成立，故22综合得， (a1)b 的最大值为 e．2【 2011， 21】已知函数 f ( x)a ln xb，曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 x 2 y3 0．x 1 xln xk，求 k 的取值范围．（Ⅰ）求 a 、 b 的值；（Ⅱ）如果当x0 ，且 x1时， f ( x)x 1 xa x 1 ln xb（ 21）解：（ I ） f xxx 1 2x 21f 1 1b1 由于直线 x2 y3 0 的斜率为，且过点 1,1 ，故 11 ，即a b 1 ，解得 a 1 ， b 1 .2f22 2（ II ）由（ I ）知 f xln x 1，所以ln x k12ln x k1x 2 1f x1 x 1 x 2xx 1 xx考虑函数 h x 2ln x k 1 x21x0，则 h xk 1 x2 1 2 x x x2k x21x12（ i）设k0 ，由 h x知，当 x 1 时， h x0 . 而 h 10 ，x 2故当 x0,1时， h x0 ，可得12hx0 ；x1当 x1,时， h x0 ，可得1h x0x21从而当 x0，且 x 1 时， f x ln x k0 ，即 f xln x k. x1x x 1x（ ii ）设0k 1 ，由于当x1,1时， k 1x212x0 ，故 h x0，而 h10，故当 x1,11k1k时， h x0 ，可得12 h x0 ，与题设矛盾 .1 x（ iii ）设k 1 ，此时h x0 ，而 h 10 ，故当 x1,时， h x0 ，得1h x 0，与题设1x2矛盾 .综合得， k 的取值范围为,0 .。

2011—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——7.不等式、推理与证明

7．不等式、推理与证明（含解析）一、选择题【2014，9）】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-；2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥；3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤；4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是（）A ．2p ，3PB ．1p ，4pC ．1p ，2pD ．1p ，3P二、填空题【2018,13】若x y ，满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，，，则32z x y =+的最大值为________．【2017，14】设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为．【2016，16】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5kg ，乙材料0．3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．【2015，15】若x ,y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为．【2014，14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为．【2012，14】设x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为___________．【2011，13】若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为．yx2x +y +1=0x +2y -1=01CB A 7．不等式、推理与证明（解析版）一、选择题【2014，9）】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是（）A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P 【解析】作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C. 二、填空题【2018,13】若x y ，满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，，，则32z x y =+的最大值为________．答案：6【2017，14】设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为．【解析】不等式组21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域如图所示，由32z x y =-得322z y x =-，求z 的最小值，即求直线322zy x =-的纵截距的最大值，当直线322zy x =-过图中点A 时，纵截距最大，由2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-；【法二】由线性规划知，32z x y =-在可行域的端点取到，即211(1,1)211x y x A x y y +==-⎧⎧⇒⇒-⎨⎨+=-=⎩⎩，325A z x y =-=-，10113(,)211333x x y B x y y ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩，1323B z x y =-=， 21111(,)0133x y x C x y y +=-=-⎧⎧⇒⇒--⎨⎨-==⎩⎩，1323Cz x y =-=-，{}min min ,,5A B C z z z z ==-；【2016，16】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．【解析】：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为**1.50.51500.3905360000x y x y x y x y x N y N⎧+⎪+⎪⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪∈⎪∈⎪⎩≤≤≤≥≥目标函数2100900z x y =+；作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)，在(60,100)处取得最大值，210060900100216000z =⨯+⨯=【2015，15】若x ,y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .解析：根据约束条件画出可行域，如图所示；yx的几何意义可以看做可行域内一点与坐标原点连线的斜率，因此可知在点(1,3)A 处取到最大值，且求得最大值为3.【2014，14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .【解析】：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B 城市，乙说：我没去过C 城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B ，甲去过的城市至多两个，不可能比【【。

2011年高考数学试题分类汇编数列

十、数列一、选择题 1．（天津理4）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．110 【答案】D 2．（四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．11【答案】B 【解析】由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法3．（上海理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，iA 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件为 A ．{}n a 是等比数列。

B ．1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列。

C ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列。

D ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同。

【答案】D4．（全国大纲理4）设nS 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D5（江西理5）已知数列{na }的前n 项和nS 满足：n m n mS S S ++=，且1a =1．那么10a =A ．1B ．9C ．10D ．55【答案】A 二、填空题8．（湖南理12）设nS 是等差数列{}n a ()n N *∈，的前n 项和，且141,7a a ==，则9S = ．【答案】259．（重庆理11）在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________【答案】7410．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=12，a4=-4，则公比q=______________；12...n a a a +++=____________。

2011—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——10.统计、概率分布列、计数原理

10．统计、概率分布列、计数原理（含解析）一、选择题【2018,3】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【2018，10】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【2017，2】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14 B ．π8 C ．12 D ．π4【2017，6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为（）A ．15B ．20C ．30D ．35【2016，4】某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（） A ．31 B ．21 C ．32 D ．43 【2015，10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（）A ．10B ．20C ．30D ．60【2015，4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A ．0．648B ．0．432C ．0．36D ．0．312【2014，5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）A ．18B ．38C ．58D ．78【2013，3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【2013，9】设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ．若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【2012，2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（） A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种【2011，8】512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A ．40-B ．20-C ．20D ．40【2011，4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（） A ．13 B ．12 C ．23 D ．34二、填空题【2018,15】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【2016，14】5)2(x x +的展开式中，3x 的系数是．（用数字填写答案）【2014，13】8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为．(用数字填写答案) 【2012，15】某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________．三、解答题【2018,20】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(<<p p ，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(p f ,求)(p f 的最大值点0p ．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ; （ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？元件2元件3元件1【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2)．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求 P (X ≥1)及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中x i 为抽取的第i个零件的尺寸，i =1,2, (16)用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0．01）．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2)，则P (μ–3σ<Z <μ+3σ)=0．9974，0．997416≈0．95920.09≈．【2016，19】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求5.0)(≥≤n X P ，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？【2015，19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （1,2,,8i =）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中i w =8118i i w w ==∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()nii i nii uu v v uu β==-=--∑∑错误！未找到引用源。

全国各地高考数学试题数列分类汇编

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全1 . （ 2018全国新课标I 理）记S n 为等差数列a n 的前n 项和若3Ss S 2B ， a 12 "25()A . 12B .10 C . 10 D . 12答案: B解答：..4 3 d 4q3(3a 1 3 2 d) 2a 1 d 9q 9d 6a 1 7d3q 2d 02 26 2d 0 d3 ,••• a 5a 4d 2 4(3)10.2. （ 2018北京理）设 a n 是等差数列，且 a 1=3，a 2+a 5=36，贝Ua n 的通项公式为【答案】a n 6n 3【解析】Q Q 3，3 d 3 4d36， d6， a 36 n 1 6n 33.（2017全国新课标I 理）记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和•若a 424 , S e48，则｛a .｝的公差为A . 1B . 2C . 4D . 8【答案】C【解析】设:公差为 d ，84a 5a 1 3d a 1 4d 2a-i 7d 24，6 52a 1 7d 24得d 4，故选CS 6 6a 1d 6a 1 15d 48，联立15d ,26a 1 48秒杀解析：因为S66(a 1 a 6)2 3(a3 a 4)48 ，即a 3 a 4 16，则(a 4 a 5)(a 3 a 4) 24 16 8，即 a 5 ; a 3 2d 8，解得d 4，故选C. 4. （ 2017全国新课标n 理）我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（）A . 1盏B . 3盏C . 5盏D . 9盏【答案】B5. （2017全国新课标皿理）等差数列a n 的首项为1，公差不为0.若a 2， a 3，a 6成等比数列，则a n 前6项的和为（）A . 24B .3C.3D . 8【答案】A【解析】•/ a n为等差数列, 且a 2,a 3,a6成等比数列，设公差为d .则a 3a 2 a s ，即 a 1 2d2a 1 d a5d又•/ a 1 1，代入上式可得 d 2 2d又••• d 0，则d 2_ 6 5 6a 1 d1 6 6 5224，故选A.226 . （ 2017全国新课标I 理）记S n 为等差数列 {a n } 的前n 项和•若a 4a 524 ，S648，则｛ an｝的公差为A . 1 .2C . 4D . 8【答案】C【解析】设公差为d ， a 4a 5a 1 3d a 14d 2a 1 7d 24，6 52a 1 7d 24S 6 6印d 6a 1 15d 48，联立… _,解得d 4，故选 C.26a 1 15d 48【答案】C考点：等差数列及其运算【名师点睛】我们知道，等差、等比数列各有五个基本量这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一10. （ 2016四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%， 200万元的年份是（）(参考数据:Ig 1.12 ~ 0.05，Ig 1.3 ~ 0.11，lg2 ~ 0.30)【答案】B【解析】试题分析：设第n 年的研发投资资金为 a n ，a 1 130，则a n 130 1.12n 1，由题意，需n 1a n 130 1.12 200，解得n 5，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.考点：等比数列的应用. 11.（ 2018全国新课标I 理）记S n 为数列 a n 的前n 项和.若S n 2务1，则S 6 ___________________________________ .答案：63A .24 B . 3C . 3D . 8【答案】 A【解析】••• a n 为等差数列，且a 2, a 3, a6成等比数列，设公差为 d .则a 3 a 2 a 6，即 a 122da 1 d a 15d又•/印 1，代入上式可得d 2 2d 0又•••d0，则 d 2二 S 66 5 6a 1d 16 65 —224，故选 A.22.（2016全国I 理）已知等差数列 a n 前9项的和为27, a 10 8,则a 100(D ) 979 99 (C ) 98(A ) 100 ( B)秒杀解析：因为 s 66(aia 6)2 (a 4 a s ) (a3 a 4)24 163(a 38，即 a 4) 48，即 a 3a 4 16，则a s a 3 2d 8，2x px q p解得4，故选C.f x也可适当排序后成等比数列，则 7. （ 2015福建文）若a,b 是函数三个数可适当排序后成等差数列，【答案】98. （2017全国新课标皿理）等差数列 a n 的首项为1，公差不为a n 前6项的和为（）o,q0. 的两个不同的零点，且a,b, 2这的值等于 _________ .右a 2a 3 a 6成等比数列，则【解析】：由已知9a i 36d a 1 9d278，所以臼1，d1,a 100 a 1 99d 99 98,故选 C.，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用（组），因此可以说数列中的绝大部分.若该公司2015年全年投入研发资金则该公司全年投入的研发资金开始超过 (A) 2018 年 (B) 2019 年 (C) 2020 年 (D) 2021 年因为a i 12.(2017 S n 2a n 1,S n 1 2a n 11作差得an12a n ，所以｛a n ｝为公比为2的等比数列，又S i 2a i 1,所以 a i 1，所以a n丫 1，所以S 6 61(1 2) 63. 北京理）若等差数列 a n 和等比数列b n 满足 a i =b i =-, a 4=b 4=8, a 2 则匸【答案】【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为 3d q 3 8，求得 q 2,d 3，那么亚 b 2 13.（2017 江苏）等比数列｛a n ｝的各项均为实数，其前n 项的和为S n ,已知S 3 63，则 a 8 = 4【答案】32【解析】当q 1时，显然不符合题意;印（1 q 3）当q 1时, 1 q a 1(1 q 6) 1 q 【考点】等比数列通项 74 ，解得 63 ~4 a 1 1 4，则 2a 8 1 27 32.4 14. （ 2017全国新课标n 理）等差数列 a n 的前n 项和为S n , 3 , S 4 10,则n 1 k 1 S k 【答案】2n n 1 【解析】试题分析:设等差数列的首项为 d ，公差为d , 由题意有: 数列的前裂项有:k 1 S k 15. 【答案】 a 14印 2d 3 4 3d 2 10 ，解得 a 1 d n 项和S n 据此: 2n（2017全国新课标皿理） 8 设等比数列 a n 满足a a 2a 1 a 3 【解析】 a n 为等比数列, 设公比为 q a 1 a 3 a 1 a 1①3②，显然q② ②得1 ①得a 1 代入①式可得a 4 aq 3 1 2 3 8.16. （ 2016北京理）已知｛a n ｝为等差数列，S n 为其前 n 项和，若a 1 6， a 3 a 50，则 S 6 =【答案】6【解析】试题分析：••'｛a n ｝是等差数列，二 a 3 a 5 2a 4 0， a 4 0， a 4 a 13d 6，d 2，…S s 6 a 15d6 6 15 ( 2)6故填：6.考点：等差数列基本性质.【名师点睛】在等差数列五个基本量 a 1, d , n , a n , S n 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前 n 项和公式列岀关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.17. （ 2016江苏）已知｛a n ｝是等差数列，｛S n ｝是其前n 项和.若a i a ； 3,是=10，则a 9的值是【答案】20.【解析】由 S 5 10 得 a 3 2，因此 2 2d （2 d ）2 3 d 3,a 9 2 3 6 20.考点：等差数列性质【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列岀关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如S na n )n ^am ―,(m t 1 n, m 、t 、n N )及等差数列广义通项公式 a n a m (n m)d.2 218. （2016全国I 理）设等比数列 a n 满足a 什a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 -a n 的最大值为 __________________【答案】64 【解析】1巴n 卫 In 2人8n (―) 2 2 2 2 ,于是当n 3或4时,a 1a 2L a n 取得最大值 26264 .考点：等比数列及其应用高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点，在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用，尽量避免小题大做.19. （2016上海文、理）无穷数列a n 由k 个不同的数组成，S n 为a n 的前n 项和.若对任意n N ,S n 2,3，贝U k 的最大值为 ________ ,【答案】4试题分析：设等比数列的公比为a 3 10a" q 2) 10a 1 q ,由得，解a 2 a 45 2ae(1 q )5 qa nn 1 2 L (n 1)【解析】试题分析：当n 1时，耳 2或a , 3；当n-2时，若S n 2，则S n , 2，于是 a n 0,若S n 3，则S n i 3，于是a * 0.从而存在k N ，当n …k 时，a k 0 .其中数列a n : 2,1, 1,0,0,0, 满足条件，所以 k max 4. 考点：数列的求和. 【名师点睛】从研究同的数组成”的不同和S n 与a n 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列 .本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等 k 的最大值” 20. ( 2016浙江理)设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n 若 S 2=4, a n+i =2S n +1, n € N ，贝U ai= a n 由 ,S 5= k 个不【答案】1 121 【解析】试题分析: a 1 4,a 2 2a 1 1 a 1 1,a 2 再由 a n 1 2S n 1,a n 2S n 1 1(n 2) a n 1 a n 2a n a n 1 3a n (n2)，又 a 2 3a 1 , 所以 a n 1 3a n (n 1),S 5 — 1 35121. 3考点：1、等比数列的定义; 2、等比数列的前 n 项和. 【易错点睛】由a n 1 2S n 否则很容易岀现错误. 1转化为a n 1 3a n 的过程中，一定要检验当 n 1时是否满足a n 13a n,a 221.（2017北京理）若等差数列 a n 和等比数列b n 满足a 仁b 1=-, a 4=b 4=8 ,则 b2 =【答案】1 【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为3dq 3 8 ,求得q 2,d 3 ,那么 a 2 b 21 3 —— 12 22.（2017江苏）等比数列｛a n ｝的各项均为实数，其前n 项的和为S n ,已知S 3 &匚，则a8 =【答案】32【解析】当q 1时，显然不符合题意; 印（1 q 3）当q 1时, 1 q 印(1 q 6) 74 ，解得 634 a 1 1 q 【考点】等比数列通项 23. （ 2017全国新课标H 理）等差数列 a 8 1 27 32. 4 a n 的前n 项和为S n , a 3 3, S 4 10,则n 1 k 1 S k【答案】 2n【解析】试题分析: 设等差数列的首项为a ,公差为d ,2a i 2d 3 由题意有:4ai 43d 2，解得i0数列的前 n 项和S nn n i d 2 裂项有：i 22i i S kk k i k k iniiii2 ik i S k2 2 324. ( 2017全国新课标皿理) 【答案】 8【解析】Q a n 为等比数列，设公比为 q .(i )求｛a n ｝的通项公式;(2 )设C na nb n ,求数列｛唧的前n 项和.【答案】(i ) a n 2n i ( n i , 2 , 3,a i i d in n i n n i n ii2 2，据此：i ii 2n 2 in n in in i1a i a s25. 3Ia ?ia i即a i aq i ① a ia 33 , 2aq3②，显然q i ,3I 0 ,②②得i q ①3 ，即q2 , 代入①式可得a i3a 4 aq i 328 .(2016北京文)已知｛a n ｝是等差数列, ｛b n ｝是等差数列，且b 2 3, b s b i ,a i4b 4.设等比数列3n 满足日323，则 a 4);(2) n 2【解祈】试题分析：< 1）求出菩比*洌$｝的公比，求出务二站，叫斗二打的宦根据等差数冽的逋项公式咖C II）根1®等差数列和等比数列的前越项和公武求数列上：｝的前并项和.试题解析:<1）尊比麴列仮.｝的公比厂刍斗4玄3所臥7 二虽■二1』^4 - = *7 *设等差数列｛氐｝的公差为乩因为斫二y a l4= &4 = 27 ,所以1十1孑川=2了丿艮卩d^l・所叹$二2^—1 （丹二1, 2, 3,…》.（II ）由（I）知，a n 2n 1, b n 3n 1.因此c n a n b n 2n 1 3n 1.从而数列c n的前n项和n .2 3 1.2考点：等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.【名师点睛】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和S n可视为数列｛S n｝的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一； 2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想（如：求最值或基本量）、转化与化归思想（如：求和或应用）、特殊到一般思想（如：求通项公式）、分类讨论思想（如：等比数列求和，q 1或q 1）等.3的等差数列，数列0 满足b=1，b2=-，a n b n 1 b n 1 nb n,.326. （2016全国I文）已知a n是公差为（I ）求a n的通项公式；（II ）b n 的前n项和.【答案】(I) a n 3n 1 (II)1 2 3n1.试題分析匸(I)由已知聚件束出首项为乙根將公差豹$貝网确定等差数列的通项公式！(II)先判斷｛比｝是竽比数列再求出通顷公式最后:再刑用竽比数列求和公式求血｝的前M页和.试题解析：＜】)由已知;旳込+^2 =^A =1^2 +i2 =^A =1：冬=1得盘1 =：：所以数列｛叫｝是首项为2公差为3的等差数列•通顷公式为込二务-1 •b 1(11)由(I)和a n b n1 b n 1 nb n,得b n 1 ，因此b n是首项为1,公比为—的等比数列.记b n的前n3 3项和为S n，则27. (2016 全国n文) 等差数列｛a n｝中，a3 a 4 4,a5 a 7 6 .(i)求｛a n｝的通项公式；(D) 设b n ［a n］，求数列｛b n｝的前10项和，其中［X］表示不超过X的最大整数，如［0.9］=0,［2.6］=2.【答案】(I)2n 3a n ; (n) 24.5【解析】试题分析珂I)题目已知数列©｝是等差数列，根提通页公式0吐关于殆，日的方程，解方程求得％d , 从而求得％(II)根据条件［力表示不超过兀的最犬整数，求瓦，需要对农二分类讨论』再求数列血｝■的前10项和.2试题解析：(i)设数列a n的公差为d，由题意有2a1 5d 4,a1 5d 3，解得a1 1,d所以a n的通项公式为a n 2n3 5(n)由(i)知b n2n35当n1,2,3 时，12n 352,b n1;当n4,5 时，22n 33,b n 2 ; 5当n6,7,8 时，32n 34,bn3; 5所以数列b n的前10项和为1 3223342 24.当n9,10 时，42n 355,b n4，28. （2016全国n 理）S n 为等差数列 a n 的前n 项和，且a i =1, S 7 28.记b n = lg a n ，其中x 表示不超过x 的最大整数，如0.9 =0, Ig99 =1 .（1）求 b i ， b n ， b l0l ；（H ）求数列b n 的前1 000项和.【答案】（I ） b | 0，b 11 1， 001 2 ；（n ） 1893.【解析】试题分析：（I ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项 a n ，再根据已知条件 x 表示不超过x 的最大整数，求 b 1，b 11， 001 ；（n ）对n 分类讨论，再用分段函数表示b n ，再求数列 0的前1 000项和.试题解析：（I ）设｛a n ｝的公差为d ，据已知有7 21d 28，解得d 1. 所以｛a .｝的通项公式为a n n. 考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想, 以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点(I )求 a 2,a g ；（ii ）求a n 的通项公式【答案】（i ） a 21 1 ,a 3 ； (n) a n2 41 2* 1 .【解析】试题分析：（I ）将 a 1 1代入递推公式求得 a 2，将a 2的值代入递推公式可求得a 3；（n ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列｛a n ｝为等比数列，由此可求得数列｛a n ｝的通项公式.1 1 试题解析：（i ）由题意得a 2 1a 3 丄 (5)2 4考点：1、数列的递推公式； 2、等比数列的通项公式.【名师点睛】求解本题会岀现以下错误：①对x 表示不超过x 的最大整数”理解出错;29. （ 2016全国皿文）已知各项都为正数的数列2a n 满足 a 1 1 ， an(2 a n 1 1)a n 2 a n 1 0.30 （2016全国皿理）已知数列｛a n ｝的前n 项和S n 1 a n ，其中（I ）证明｛a n ｝是等比数列，并求其通项公式;31 （“）若 $32，求a n 宀一7）n1【答案】（I ）11；（n ）比数列的走义可证；（n ）刹用（I ）前刊项和£化为乂的表达式，结合爲的值「建立方程可求得*的值* 试題解析：〔】〉宙题青得阿二易=1+加-故2工匚冈=丄，1 — X由= 1十知e > S* = 1 +加n+1 18 4*1 =去瞎4 —!卩卩4+1 (丄—b —肋皿-231.（ 2016山东文）已知数列 a n 的前n 项和S n 3n 8n ,b n（I ）求数列 0的通项公式;由 a 1 0，0得an，所以a n 1a n因此｛a n ｝是首项为1 ，公比为 1的等比数列，于是 a n 1 (n)S n 由（I ）得 1 r,由S 5 31 5 32 得1「31 32，即丄32 解得考点: 1、数列通项a n 与前n 项和为S n 关系; 2、等比数列的定义与通项及前 n 项和为 S n 1）定义法，即证明【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（ 2 即证明％ 1 2•根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形, 来求解. a n 1a nq （常数）；（2 ）中项法, 转化为等比数列或等差数列【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明邑 q （常数）；（2 ）中项法,2即证明a n 1 a n a n 2 •根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形, 来求解.a n转化为等比数列或等差数列试题分析八I ）首先利用公式心二,「得到数列細J 的递推公式P 然后通过变换结盲等是等差数列，且 a n b n b n 1.(a 1)n 1 (II )令C nn-.求数列C n 的前n 项和T n . (bn 2)【答案】(i) b n 3n 1； (n) T n 3n 2n 2 试题分析：（I ）依题意建立碁彳的方程俎，即得. 并 + 61⑴由⑴s 冷"*打从而 Z : = 3[2x2--3 试题解析：（i ）由题意当 n 2时, a n S nS n 1 6n 5，当 n1 时，a 1 S 111; 所以 a n6n 5；设数列的公差为 d ，由 a 2bi b 2b2，即b 31117 2b 1 2b 1 d，解之得 3d b 14,d3，所以bn3n 1。

全国Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ卷2011-2018年高考分类分析理科数学

A. 1, 0
B. 0,1
C. 1, 0,1
D.0,1, 2
2
2014 年 1. 设集合 M 0,1, 2, N x | x2 3x 2≤0 ，则 M N =
A. 1
B. 2
C. 0,1
D. 1,2
2013 年 1．已知集合 M x x 12 4, x R , N 1,0,1, 2,3，则 M N
A.[2，3]
B.（- ，2] [3,+ ）
C. [3,+ ）
D.（0，2] [3,+ ）
Ⅱ卷 2．已知集合 A x ，y x2 y 2≤3，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为
2018 年 A．9
B．8
C．5
D．4
2017 年 2.设集合 A 1, 2, 4 ， B x x2 4x m 0 ．若 A B {1}，则 B
D.x | x 1x | x 2
2017 年 1.已知集合 A={x|x<1}，B={x| 3x 1 }，则 A． A B {x | x 0} B． A B R C． A B {x | x 1}
D． A B
2016 年 1.设集合 A {x | x2 4x 3 0} ， B {x | 2x 3 0} ，则 A B
A．1, 3
B． 1, 0
C． 1, 3
D． 1, 5
2016 年 2.已知集合 A 1,2,3， A x x 1x 2 0, x Z，则 A B
A. 1
B. 1,2
C. 0,1,2,3
D. 1,0,1,2,3

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