偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解期末试题及答案(内容参考)
偏微分方程数值解试题(06B)
参考答案与评分标准
信息与计算科学专业
一(10分)、设矩阵A 对称,定义)(),(),(2
1
)(n R x x b x Ax x J ∈-=
,)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ,则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定),求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令
),(2
),()()()(2
000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+
-+=+=, (3分)
0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有
0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分)
反之,若
n
R x ∈0满足
b
Ax =0,则对于任意的
x ,)(),(2
1
)0()1()(00x J x Ax x x J >+
==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λϕ的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分
二(10分)、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧
==∈=+-=0
)(,0)()
,()('
b u a u b a x f
qu dx
du p dx d Lu
其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ]
,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式:求泛函极小的Ritz 形式和
偏微分方程考试题
数学物理方程及数值解 复习提要
一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】
1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)
主要方法:微元法; 泛定方程:
(1) 波动方程(双曲型):
弦振动方程:22
222
2
(,)(,)(),()
u x t u x t F a a t
x
ρ∂∂==
∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程:2222
22222
22
1,00i a LC
i a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂;, 电磁场方程:2222
2211,,H E H E t t εμεμ
∂∂=∇=∇∂∂
22
222222221(),με
标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程(抛物型):
ρ
,其中22u F
a u f f t c ∂=∇+=
∂ 导热杆(无热源)2
22u u a t x ∂∂=∂∂, 导热片(无热源)22222
()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):
Poisson 方程:,2
u f ∇= Laplace 方程:,2
0u ∇=
2.定解条件:初始条件及边界条件
边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=
(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):
2D
u
f n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3(
)D
u
u f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法:
⎧⎪
⎧⎨⎨⎪⎩⎩
偏微分方程数值习题解答
偏微分⽅程数值习题解答
李微分⽅程数值解习题解答 1-1 如果0)0('
=?,则称0x 是)(x J 的
驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定),求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是⽅程组 b Ax =的解证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得
),()),((2
1
)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+=
),(2
),()(2
00x Ax x b Ax x J λλ+
-+=
),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-=
必要性:由0)0('
=?,得,对于任何n R x ∈,有
0),(0=-x b Ax ,
由线性代数结论知,
b Ax b Ax ==-00,0
充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,
0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax
即0x 是)(x J 的驻点. §1-2
补充: 证明)(x f 的不同的⼴义导数⼏乎处处相等.
证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的⼴义导数,由⼴义导数的定义可知,对于任意
)()(0I C x ∞∈?,有
-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('
1?? ??-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到
)(0)()(021I C x g g b
a ∞∈?=- 由变分基本引理,21g g -⼏乎处处为零,即21,g g ⼏乎处处相等.
补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式
偏微分方程教程答案
偏微分方程教程答案
【篇一:偏微分方程数值解习题解答案】
class=txt>3页
13页
【篇二:3.1 常微分方程课后答案】
方程dy=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解; dx
解:取?0(x)?0 12x 002
xx11152x ?2(x)?y0??[x??1(x)]dx??[x?(x2)2]dx?x2?002220
x1152x)]dx ?3(x)?y0??[x?(x2?0220
115181x?x?x11= x2?2201604400
dy 2 求方程=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解;
dx ?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x
解:令?0(x)?0
12x 002
xx12212152?(x)?y?[x??(x)]dx?[x?(x)]dx?x?x201?0?02220
x1152x)]dx?3(x)?y0??[x?(x2?0220
115181x?x?x11 =x2?2201604400
则?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x
3 题求初值问题:
?dy??x2
r:x??1,y?1 ?dx??y(?1)?0
的解的存在区间,并求解第二次近似解,给出在解的存在空间的误差估计;
b1解:因为 m=max{x2?y2}=4 则h=min(a,)= m4
1则解的存在区间为x?x0=x?(?1)=x?1? 4
令 ?0(x)=0 ;
11?1(x)=y0+?(x2?0)dx=x3+; 33x0x
?2(x) 13xx4x7111312=y0+?[x?(x?)]dx=x---+ 3942186333?12x
(完整word版)偏微分方程数值解习题解答案
L试讨论逼近对蘇程詈+若。的差分沁1)
2)
q1 二:行口匚
1)解:设点为(X ? ,/曲)屮
则町=讥心厶)=班勺厶+J + °(工心)(Y )
+0(F ).
ot
所以截断误差为:3
E=丄 ------ + ---- 「 T h 啰_喟+竺护一 o (F )
T
= 0(T + 力”
2)解:设点为:(X y ,/林1 ) 3
则町=讥勺,_)=以E ,_+1)+ (Y ) +o (巧卩 ot “;:;=班心+1 厶+i )=叽厶+i )+滋( h )+ * 臥工心)(为 2)+o ox (X)d
心;=班心亠心)=班心,/+1)+
敕:;D (一力)+ 3 役;D
(
血 2)+0(亥2)«
截断误差为:2
舟A 1 ” E= ------------ + ------------ — (―+ _) T h dt dx
叭:=班%厶+i )+敗?心)(_勿+0 @2)〜
dx
-(史+空八
dt dx 呼1_吋】+竺丛Q —O (X )
-(叱 3 +
dt
dx 2
2・试用积分插值法推导知铁。逼近的差分裕式
班勺厶叙)一班勺,乩i)+ ——-——£)
dt
T
q2 “
-” *
\ | (— 4- —)dxdt = | (un t 4- un x)ds = 0* dt & \
得-U] /J+U2 r+x^ A-u4 r = 0+J
E (j-l? n)
F (j,n)
G (j^n+l)
H (j-l,n+l)^
% ~ 的=旳=竹“4 = W/-l
Mf MT
h=h T-T
-ll"h + LL r H + ll:4h —LL:N =Op
偏微分方程数值解期末试题及参考答案
《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准
专业班级信息与计算科学
开课系室
考试日期 2006.4.14
命题教师王子亭
偏微分方程数值解试题(06A)
参考答案与评分标准
信息与计算科学专业
一(10分)、设矩阵A 对称正定,定义)(),(),(2
1
)(n R x x b x Ax x J ∈-=,证明下
列两个问题等价:(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J n
R
x ∈=;(2)求下列方程组的解:b Ax =
解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令
),(2
),()()()(2
000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+
-+=+=, (3分)
因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反
之
,若
n
R x ∈0满足
b
Ax =0,则对于任意的
x ,)(),(2
1
)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)
评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分
二(10分)、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧
==∈=+-=0
)(,0)()
,()(b u a u b a x f qu dx
du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ]
偏微分方程数值解题目汇编
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更多精品文档题目一、用有限元法求下列边值问题的数值解:
''()112
x -y +y =2sin ,0
y(0)=0,y'()=0.
其中精确解为24
x y =sin()2步长取0.1
h 要求:⑴、将精确解与用有限元得到的数值解画在同一图中
⑵、1h H u u 、2h L u u 、01
h x max u -u 。题目二、用线性元求解下列问题的数值解:
x x u(x,-1)=u(x,1)=0,-1
u (-1,y)=1,u u =0=-2,-1
y <1,
精确到小数点后第六位,画出解曲面。
题目三、用Crank-Nicolson 差分法求解Burger 方程
0,(0,1),(0,5),
,[01]t (1).
t x xx v +vv =v ,x t v(x,0)=sin2x x ;v =v ,t =0,其中取1
要求画出解曲面迭代格式如下:12212121111111111221
42212n n
n n n n j j j j j j
n n n n n n j j j j j j V V V V V V h h V
V V V V V h h
偏微分方程数值解题目
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题目一、用有限元法求下列边值问题的数值解:
''()112x -y +y =2sin ,0<x <,42y(0)=0,y'()=0.ππ⎧⎪⎨⎪⎩
其中精确解为 24
x y =sin()2ππ 步长取0.1h =
要求:⑴、将精确解与用有限元得到的数值解画在同一图中 ⑵、1h
H u u -、2h L u u -、01
h x max u -u ≤≤。 题目二、用线性元求解下列问题的数值解:
x
x u(x,-1)=u(x,1)=0,-1<x <1,u (-1,y)=1,u u =0=-2,-1<x,,-1<y <1.y <1,⎧∆⎪⎨⎪⎩ 精确到小数点后第六位,画出解曲面。
题目三、用Crank-Nicolson 差分法求解Burger 方程
0,(0,1),(0,5),,[01]t (1).t x xx v +vv =v ,x t v(x,0)=sin2x x ;v =v ,t =0ννπ>∈∈⎧⎨∈(0,)⎩
, 其中取1ν= 要求画出解曲面
迭代格式如下: 1221212111111111122142212n n n n n n j j j j j j n n n n n n j j
j j j
j V V V V V V h h V V V V V V h h τ
++++++++++-+-⎧⎫-()-()()-()⎪⎪++⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎧⎫-+-+⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
偏微分方程数值解例题
0.5931
0.5712
• 第10页例1.2用预报校正法求解 h=0.1 10页例1.2用预报校正法求解
y' = − y + x + 1 y (0) = 1
disp(y)
disp(z) 1.0048 1.0187 1.0408 1.1966 1.2493 1.3066 1.0703 1.1065 1.1488
x ∈ [0,1]
古典显示格式
例1 用古典显式格式求解抛物型方程
∂u ∂ 2u = 2 , 0 < x <1且0 < t < 0.20 ∂t ∂x
初始条件为 边界条件为
u(x,0) = ϕ(x) = 4x − 4x , 0 ≤ x ≤1
2
u(0, t) = ψ1(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 0.20 u(1, t) = ψ2 (t) = 0, 0 ≤ t ≤ 0.20
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
function u=gu_dian(f,a,b,c1,c2,m,n) %输入初值和U 输入初值和U h=a/(mh=a/(m-1); k=b/(nk=b/(n-1); r=k/h^2; U=zeros(n,m); %赋边界条件 U(2:n,1)=c1; U(2:n,m)=c2; function y=fg(x) y=4.*(x-x.^2);
偏微分方程数值习题解答
李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('
=ϕ,则称0x 是)(x J 的
驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定),求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解
证明:由)(λϕ的定义与内积的性线性性质,得
),()),((2
1
)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλϕ+-++=+=
),(2
),()(2
00x Ax x b Ax x J λλ+
-+=
),(),()(0'x Ax x b Ax λλϕ+-=
必要性:由0)0('
=ϕ,得,对于任何n R x ∈,有
0),(0=-x b Ax ,
由线性代数结论知,
b Ax b Ax ==-00,0
充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,
0|),(),()0(00'=+-==λλϕx Ax x b Ax
即0x 是)(x J 的驻点. §1-2
补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.
证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意
)()(0I C x ∞∈ϕ,有
⎰⎰-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('
1ϕϕ ⎰⎰-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('2ϕϕ 两式相减,得到
)(0)()(021I C x g g b
a ∞
∈∀=-⎰ϕϕ 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等.
补充:证明),(v u a 的连续性条件证明: 设
偏微分方程数值解法题解
偏微分方程数值解法(带程序)
例1 求解初边值问题22,(0,1),012,(0,]2(,0)12(1),[,1)2(0,)(1,)0,0
u u
x t t x x x u x x x u t u t t ⎧⎪
⎪⎪⎧
⎨⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎩⎩
∂∂=∈>∂∂∈=-∈==>要求采用树脂格式 111(2)n n n n n
j j j j j u u u u u λ++-=+-+,2
()
t
x λ∆=
∆,完成下列计算: (1) 取0.1,0.1,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。 (2) 取0.1,0.5,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。 (3) 取0.1, 1.0,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。 并与解析解22()22
18
1(,)sin()sin()2n t n u n x t n x e n ππππ∞
-==
∑进行比较。 解:程序
function A=zhongxinchafen(x,y,la) U=zeros(length(x),length(y)); for i=1:size(x,2)
if x(i)>0&x(i)<=0.5 U(i,1)=2*x(i); elseif x(i)>0.5&x(i)<1 U(i,1)=2*(1-x(i)); end end
for j=1:length(y)-1
for i=1:length(x)-2
U(i+1,j+1)=U(i+1,j)+la*(U(i+2,j)-2*U(i+1,j)+U(i,j)); end end
偏微分方程习题及答案
偏微分方程习题及答案
【篇一:偏微分方程数值解法期末考试题答案】
题答案及评分标准
学年学期:专业:班级:课程:教学大纲:使用教材:教材作者:出版社:
数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲(自编,2006)《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治
清华大学出版社
一、判断题(每小题1分,共10分)1、(o)2、(o)3、(x)
4、(x)
5、(o)
6、(o)
7、(o)
8、(x)
9、(x) 10、(o)
二、选择题(每小题2分,共10分) 11、(d) 12、(a) 13、(c) 14、(b)15、(c)
三、填空题(每小题2分,共20分)
?2?2
16、2?2?
?x1?x2?2
?2 17、a=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) ?xn
19、help 20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、
a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])
?(s)?1?(s)?c[?
?(s)]2?023、a[?2(s)]2?2b?2
24
??
??
v(?)ed? 25、
i?x
u(xj,tn?1)?u(xj,tn)
?
四、计算题:(每小题12分,共36分)
?u?u
?0(x?r,t?0)的有限差分方程(两层显示26、写成对流方程?a
?t?x
格式,用第n层计算第n+1层),并把有限差分方程改写为便于计
算的迭代格式???/h为网格比。
解:在点(xj,tn)处,差分方程为
?1un?unjj
?
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第二章习题答案
第二章第三章第四章第五章第六章
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案
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《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准
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考试日期 2006.4.14
命题教师王子亭
偏微分方程数值解试题(06A)
参考答案与评分标准
信息与计算科学专业
一(10分)、设矩阵A 对称正定,定义)(),(),(2
1
)(n R x x b x Ax x J ∈-=,证明下
列两个问题等价:(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J n
R
x ∈=;(2)求下列方程组的解:b Ax =
解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令
),(2
),()()()(2
000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+
-+=+=, (3分)
因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反
之
,若
n
R x ∈0满足
b
Ax =0,则对于任意的
x ,)(),(2
1
)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)
评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分
二(10分)、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧
==∈=+-=0
)(,0)()
,()(b u a u b a x f qu dx
du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ]
偏微分方程数值解例题答案
二、改进的Euler 方法
梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler 方法精度高,但其计算较复杂,在应用公式(1.10)进行计算时,每迭代一次,都要重新计算函数),(y x f 的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Euler 公式求得一个初步的近似值1+n y ,称之为预测值,然后用公式(1.10)作一次迭代得1+n y ,即将1+n y 校正一次.这样建立的预测-校正方法称为改进的Euler 方法:
预测: ),,(1n n n n y x hf y y +=+ 校正
:
)].,(),([2
111+++++=n n n n n n y x f y x f h
y y
(1.15)
这个计算公式也可以表示为
11(,),
(,),
1().
2p n n n
c n n p n p c
y y hf x y y y hf x y y y y ++⎧=+⎪⎪=+⎪⎨
⎪=+⎪⎪⎩
例1 取步长0.1h =,分别用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题
d (1),01,
d (0) 1.
y
y xy x x
y ⎧=-+≤≤⎪⎨⎪=⎩ 解 这个初值问题的准确解为()1(21)x
y x e x =--. 根据题设知
).1(),(xy y y x f +-=
(1) Euler 方法的计算式为
)],1([1.01n n n n n y x y y y +⨯-=+
由1)0(0==y y , 得
,9.0)]101(1[1.011=⨯+⨯⨯-=y
偏微分方程数值习题解答
李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('
=ϕ,那么称0x 是)(x J 的
驻点〔或稳定点〕.矩阵A 对称〔不必正定〕,求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解
证明:由)(λϕ的定义与内积的性线性性质,得
),()),((2
1
)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλϕ+-++=+=
),(2
),()(2
00x Ax x b Ax x J λλ+
-+=
),(),()(0'x Ax x b Ax λλϕ+-=
必要性:由0)0('=ϕ,得,对于任何n R x ∈,有
0),(0=-x b Ax ,
由线性代数结论知,
b Ax b Ax ==-00,0
充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,
0|),(),()0(00'=+-==λλϕx Ax x b Ax
即0x 是)(x J 的驻点. §1-2
补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.
证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意
)()(0I C x ∞∈ϕ,有
⎰⎰-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('
1ϕϕ ⎰⎰-=b
a b
a dx x x f dx x x g )()()()('2ϕϕ 两式相减,得到
)(0)()(021I C x g g b
a ∞
∈∀=-⎰ϕϕ 由变分根本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等.
补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式
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偏微分方程数值解试题(06B )
参考答案与评分标准
信息与计算科学专业
一(10分)、设矩阵A 对称,定义)(),(),(2
1)(n R x x b x Ax x J ∈-=,)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ,则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定),求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令
),(2),()()()(2
000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)
0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分)
反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2
1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)
评分标准:)(λϕ的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分
二(10分)、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0
)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈
建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式:求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E
为求解函数空间,检验函数空间.取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分)
)().(),(v f fvdx dx quv dx
dv dx du p v u a b a b
a ==+=⎰⎰,),(1
b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)
令⎰-+=-=b a dx fu qu dx
du p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J E
H u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,
三(20分)、对于边值问题
⎪⎩
⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (1)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。
(2)取3/1=h ,求边值问题的数值解(写出对应的方程组的矩阵形式,并求解) (3)就5/1=h 和N h /1=的一般情况写出对应方程组的系数矩阵(用分块矩阵表示)。
解: (1) 区域离散kh y jh x k j ==,,差分格式为
02221,1,2,1,1=+-++-+--+h u u u h u u u k j jk k j k
j jk k j (5分)
应用Tayloy 展开得到,截断误差为)(][12444442h O y
u x u h jk +∂∂+∂∂,其阶为)(2h O (3分) (2) 未知量为T u u u u U ),,,(22211211=,矩阵形式为F AU =,其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=3/13/53/13/53/13/213/13/21,4110140110410114F A (4分) 求解得到解为 (3分)
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=15/5215/215/202/1502/12/152/12L A =[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]
L =
2.0000 -0.5000 -0.5000 0
0 1.9365 -0.1291 -0.5164
0 0 1.9322 -0.5521
0 0 0 1.8516