湖南省怀化市会同三中高三下学期月考数学试卷(理科) Word版含解析

2015-2016学年湖南省怀化市会同三中高三（下）月考数学试卷（理科）（1）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．设A={x|y=}，B={y|y=ln（1+x）}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，2]C．（﹣1，2] D．∅2．在正项等比数列{a n}中，若a1，a4029是方程x2﹣10x+16=0的两根，则log2a2015的值是（）A．2 B．3 C．4 D．53．函数f（x）=3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）=f（x），则φ的值为（）A．B．C． D．4．曲线y=（x＞0）在点P（x0，y0）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB（其中O为坐标原点）的面积为（）A．4+2B．2C．2 D．5+25．设命题甲：关于x的不等式x2+2ax+4≥0对一切x∈R恒成立，命题乙：设函数f（x）=log a （x﹣a+2）在区间（1，+∞）上恒为正值，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若﹣=λ（+），λ∈[0，+∞），则直线AP一定过△ABC的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心7．已知函数f（x）=lnx+2sinα（α∈（0，））的导函数f′（x），若存在x0＜1使得f′（x0）=f（x0）成立，则实数α的取值范围为（）A．（，）B．（0，）C．（，）D．（0，）8．由y=f（x）的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象，则f（x）为（）A．2sin B．2sin C．2sin D．2sin9．已知实数变量x，y满足，且目标函数z=3x+y的最大值为8，则实数m的值为（）A．B．C．2 D．110．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．C．2 D．11．已知椭圆C1和双曲线C2焦点相同，且离心率互为倒数，F1，F2它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，则椭圆C1的离心率为（）A．B．C．D．12．已知f（x）是定义域为R的奇函数，若∀x∈R，f′（x）＞﹣2，则不等式f（x﹣1）＜x2（3﹣2lnx）+3（1﹣2x）的解集是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线的离心率e=2，则其渐近线方程为．14．△ABC中，||cos∠ACB=||cos∠CAB=，且•=0，则AB长为．15．正实数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为．16．四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，各侧面和底面所成角均为60°，则此棱锥内切球体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．18．在△ABC中，已知tanAtanB=，（1）求tanC的取值范围；（2）若△ABC边AB上的高CD=2．求△ABC面积S的最小值．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．（1）证明：AG∥平面BDE．（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．20．如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为A1（﹣2，0），A2（2，0）．过点D（1，0）的直线l与该椭圆相交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线A1M与NA2的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）（其中a∈R，且a为常数）（1）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根，求a的取值范围．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015-2016学年湖南省怀化市会同三中高三（下）月考数学试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．设A={x|y=}，B={y|y=ln（1+x）}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，2]C．（﹣1，2] D．∅【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A，B的范围，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={x|y=}={x|x≤2}，B={y|y=ln（1+x）}=R则A∩B=（﹣∞，2]，故选：B．2．在正项等比数列{a n}中，若a1，a4029是方程x2﹣10x+16=0的两根，则log2a2015的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等比数列的通项公式．【分析】由韦达定理得a1•a4029==16，从而得到a2015=4，由此能求出log2a2015的值．【解答】解：∵在正项等比数列{a n}中，a1，a4029是方程x2﹣10x+16=0的两根，∴a1•a4029==16，∵a n＞0，∴a2015=4，∴log2a2015=log24=2．故选：A．3．函数f（x）=3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）=f（x），则φ的值为（）A．B．C． D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件可得f（x）为偶函数，故有﹣+φ=kπ+，由此求得φ的值．【解答】解：函数f（x）=3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）满足f（|x|）=f（x），∴f（x）为偶函数，故有﹣+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z．当k=0时，φ=，故选：C．4．曲线y=（x＞0）在点P（x0，y0）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB（其中O为坐标原点）的面积为（）A．4+2B．2C．2 D．5+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数法确定切线方程y﹣=﹣（x﹣x0），从而解出点A，B的坐标，从而求面积．【解答】解：∵y=，∴y′=﹣，故y0=，y′|=﹣，故直线l的方程为y﹣=﹣（x﹣x0），令x=0得，y=2，令y=0得，x=2x0，故S=•2•2x0=2，故选C．5．设命题甲：关于x的不等式x2+2ax+4≥0对一切x∈R恒成立，命题乙：设函数f（x）=log a （x﹣a+2）在区间（1，+∞）上恒为正值，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出关于甲、乙成立的a的范围，结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若关于x的不等式x2+2ax+4≥0对一切x∈R恒成立，则判别式△≤0，即4a2﹣4×4≤0，所以a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2．即甲：﹣2≤a≤2．函数f（x）=log a（x﹣a+2）在区间（1，+∞）上恒为正值，即，解得：1＜a≤2，即乙：1＜a≤2，∴甲是乙的必要不充分条件，故选：B．6．已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若﹣=λ（+），λ∈[0，+∞），则直线AP一定过△ABC的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心【考点】三角形五心．【分析】由已知条件画出草图，利用数形结合思想求解．【解答】解：如图，取BC的中点P并连结AD，则+=，，∵﹣=λ（+），λ∈[0，+∞），∴=λ，即A、P、D三点共线，又∵AD为BC边上的中线，∴直线AP一定过△ABC的重心，故选：A．7．已知函数f（x）=lnx+2sinα（α∈（0，））的导函数f′（x），若存在x0＜1使得f′（x0）=f（x0）成立，则实数α的取值范围为（）A．（，）B．（0，）C．（，）D．（0，）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，根据f′（x0）=f（x0），可得sin α=（﹣ln x0），由0＜x0＜1，可得sin α的范围，即可得出．【解答】解：∵f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），∴=ln x0+2sinα，∴sinα=﹣ln x0，又∵0＜x0＜1，∴可得（﹣ln x0）＞，即sin α＞，∴α∈（，）．故选：C．8．由y=f（x）的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象，则f（x）为（）A．2sin B．2sin C．2sin D．2sin【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】y=2sin的图象上各个点的横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位，即可得到f（x）的图象，再根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得f（x）的解析式【解答】解：由题意可得y=2sin的图象上各个点的横坐标变为原来的，可得函数y=2sin（6x﹣）的图象．再把函数y=2sin（6x﹣）的图象向右平移个单位，即可得到f（x）=2sin[6（x﹣）﹣）]=2sin（6x﹣2π﹣）=2sin的图象，故选B．9．已知实数变量x，y满足，且目标函数z=3x+y的最大值为8，则实数m 的值为（）A．B．C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由选项知m＞0，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大为8，即3x+y=8由，解得，即A（2，2），同时A也在2mx﹣y﹣2=0上，∴4m﹣2﹣2=0，得m=1，故选：D．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示：该几何体的体积V==．故选：D．11．已知椭圆C1和双曲线C2焦点相同，且离心率互为倒数，F1，F2它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，则椭圆C1的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0），双曲线C 2：﹣=1（m ，n ＞0），由题意可得a 2﹣b 2=m 2+n 2=c 2，运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式，结合条件，化简整理，可得a=3m ，c=m ，由离心率公式可得．【解答】解：设椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0），双曲线C 2：﹣=1（m ，n ＞0），由题意可得a 2﹣b 2=m 2+n 2=c 2，e 1=，e 2=，由e 1e 2=1，可得am=c 2， 设PF 1=s ，PF 2=t ，由余弦定理可得，4c 2=s 2+t 2﹣2st •=s 2+t 2﹣st ，由椭圆的定义可得s +t=2a ，由双曲线的定义可得，s ﹣t=2m ， 可得s=a +m ，t=a ﹣m ，即有4c 2=（a +m ）2+（a ﹣m ）2﹣（a +m ）（a ﹣m ）， 即为4am=a 2+3m 2，解得a=m （舍去）或a=3m ，c=m ，则e 1==．故选：D ．12．已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，若∀x ∈R ，f ′（x ）＞﹣2，则不等式f （x ﹣1）＜x 2（3﹣2lnx ）+3（1﹣2x ）的解集是（ ）A ．（0，1）B ．（1，+∞）C ．（，+∞）D ．（，1）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的单调性与导数的关系． 【分析】构造函数g （x ），求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g （x ）=f （x ﹣1）﹣x 2（3﹣2lnx ）﹣3（1﹣2x ）， 则g ′（x ）=f ′（x ﹣1）+4xlnx ﹣4x +6，设h （x ）=4xlnx ﹣4x +6，则h ′（x ）=4lnx ， 由h ′（x ）＞0得x ＞1， 由h ′（x ）＜0得0＜x ＜1，即当x=1时，函数h （x ）取得极小值同时也是最小值h （1）=2，∵f′（x﹣1）＞﹣2，h（x）≥2，∴f′（x﹣1）+h（x）＞﹣2+2=0，即g′（x）=f′（x﹣1）﹣x2（3﹣2lnx）﹣3（1﹣2x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数，则当x=1时，g（1）=f（1﹣1）﹣12（3﹣2ln1）﹣3（1﹣2）=0，则不等式f（x﹣1）＜x2（3﹣2lnx）+3（1﹣2x）等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＜1，即不等式f（x﹣1）＜x2（3﹣2lnx）+3（1﹣2x）的解集是（0，1），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线的离心率e=2，则其渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线离心率为2，列出关于a、b的方程，解之得b=a，由双曲线渐近方程的公式可得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的方程是，∴双曲线渐近线为y=又∵离心率为e==2，可得c=2a∴c2=4a2，即a2+b2=4a2，可得b= a由此可得双曲线渐近线为y=故答案为：y=14．△ABC中，||cos∠ACB=||cos∠CAB=，且•=0，则AB长为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先由两向量数量积为0，根据数量积的定义得出∠ABC=90°，为了用上||cos∠ACB=||cos∠CAB=，计算和，下面就要看经计算得到什么，以及能否用得出的结果求出AB的长．【解答】解：由得：∠ABC=90°；，=∴，即：，∴，如右图，A′是延长AB所得，且AB=BA′，则CA=CA′，，所以；，所以∠ACA′=90°，∴∠CAB=45°，则；所以，即AB长为．15．正实数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为9．【考点】基本不等式．【分析】正实数x，y满足2x+y﹣3=0，可得y=3﹣2x＞0，解得．则==t，化为2tx2﹣（9+3t）x+18=0，令△≥0，解出并验证即可得出．【解答】解：正实数x，y满足2x+y﹣3=0，∴y=3﹣2x＞0，解得．则===t，化为2tx2﹣（9+3t）x+18=0，令△=（9+3t）2﹣8×18t≥0，化为t2﹣10t+9≥0，解得t≥9或t≤1，若=t≤1，化为（x﹣3）2≤0，舍去．∴t≥9，当t=9时，=9，化为（x﹣1）2=0，解得x=1，满足．∴则的最小值为9．另解：∵正实数x，y满足2x+y﹣3=0，∴4x+2y=6，则==3=（2x+y）=5++≥5+2×=9，当且仅当x=y=1时取等号．∴则的最小值为9．故答案为：9．16．四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，各侧面和底面所成角均为60°，则此棱锥内切球体积为．【考点】球内接多面体；棱锥的结构特征；球的体积和表面积．【分析】设出内切球的半径，利用棱锥的体积求出内切球的半径，即可求解内切球的体积．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，△ADB，△DBC都是正三角形，边长为2，三角形的高为：．由题意设内切球的半径为r，四棱锥的高为：h，∴h==，斜高为：•h==．棱锥的体积为：V=S底连结球心与底面的四个顶点，组成5个三棱锥，题目的体积和就是四棱锥的体积，=4×+2×2sin60°=6．∴S全∴=，r=．球的体积为：==．故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【考点】余弦定理；数列的求和；正弦定理．【分析】（1）由a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，化简后利用余弦定理可求cosA，又0＜A＜π，解得A，由sinAsinB=cos2，可得sinB=1+cosC，又C为钝角，解得cos（C+）=﹣1，从而可求C，进而求得B的值．（2）设{a n}的公差为d，由已知得a1=2，且（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d）．解得d=2．a n=2n．由==．即可用裂项法求和．【解答】解：（1）由a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，可得：a，所以cosA==，又0＜A＜π，∴A=，由sinAsinB=cos2，可得sinB=，sinB=1+cosC，∴cosC＜0，则C为钝角．B+C=，则sin（﹣C）=1+cosC，∴cos（C+）=﹣1，解得C=，∴B=．…（2）设{a n}的公差为d，由已知得a1=，且a24=a2a8．∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d）．又d≠0，∴d=2．∴a n=2n．…∴==．∴S n=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=．…18．在△ABC中，已知tanAtanB=，（1）求tanC的取值范围；（2）若△ABC边AB上的高CD=2．求△ABC面积S的最小值．【考点】解三角形；两角和与差的正切函数；正弦定理．【分析】（1）利用两角和的正切函数以及基本不等式化简求解tanC的取值范围．（2）利用已知条件表示出三角形的面积，然后求解最小值．【解答】解：（1）在△ABC中，已知tanAtanB=，tanA＞0，tanB＞0tanC=﹣tan（A+B）=﹣=3（tanA+tanB）≥=4，当且仅当tanA=tanB=时，取等号．tanC的取值范围：[4）．（2）△ABC边AB上的高CD=2．可得三角锥的面积为：===≥=2．当且仅当tanA=tanB=时，取等号．三角形面积的最小值为：2．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．（1）证明：AG∥平面BDE．（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AG∥平面BDE．（2）求出平面ADE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出平面BDE和平面ADE 所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0），G（0，2，1），设平面BDE的法向量为=（x，y，z），=（0，2，﹣2），=（2，0，﹣2），∴，取x=1，得=（1，1，1），∵=（﹣2，1，1），∴=0，∴⊥，∵AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE．解：（2）设平面ADE的法向量=（a，b，c），=（0，1，0），=（﹣2，0，2），则，取x=1，得=（1，0，1），由（1）得平面BDE的法向量为=（1，1，1），设平面BDE和平面ADE所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ===．∴平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值为．20．如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为A1（﹣2，0），A2（2，0）．过点D（1，0）的直线l与该椭圆相交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线A1M与NA2的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知得a，结合离心率得c，再由隐含条件求得b得答案；（Ⅱ）设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线NA2的方程为y=k2（x﹣2）．分别联立直线方程和椭圆方程求得M，N的坐标，结合M，D，N三点共线可得k2=3k1．说明存在λ=3，使得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知a=2．∵，∴c=，得．∴椭圆C的方程为：；（Ⅱ）设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线NA2的方程为y=k2（x﹣2）．联立方程组，得．解得点M的坐标为（，），同理，可解得点N的坐标为（，）．由M，D，N三点共线，得=，化简有（4k1k2+1）（k2﹣3k1）=0．∵k1，k2同号，∴4k1k2+1＞0，则k2=3k1．故存在λ=3，使得结论成立．21．已知函数f（x）=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）（其中a∈R，且a为常数）（1）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求导f′（x）=2（x﹣1）+a（﹣1）=（x﹣1）（2﹣），且f（1）=0+a（ln1﹣1+1）=0，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得；（2）化简f（x）+a+1=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得．【解答】解：（1）∵f（x）=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1），∴f′（x）=2（x﹣1）+a（﹣1）=（x﹣1）（2﹣）；且f（1）=0+a（ln1﹣1+1）=0，①当a≤2时，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，故f（x）＞=f（1）=0；②当a＞2时，可知f（x）在（1，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；故f（）＜0；综上所述，a≤2；（2）f（x）+a+1=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1，当a＜0时，f（x）+a+1在（0，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数；且（（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1）=+∞，f（1）+a+1=a+1，f（2）+a+1=1+a（ln2﹣1）+a+1；故a+1=0或1+a（ln2﹣1）+a+1＜0；故a=﹣1或a＜﹣；当a=0时，f（x）+a+1=（x﹣1）2+1＞0，故不成立；当0＜a＜2时，f（x）+a+1在（0，]上是增函数，在（，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数；且（（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1）=﹣∞，f（1）+a+1=a+1＞0，故方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根，当a=2时，f（x）+a+1=（x﹣1）2+2（lnx﹣x+1）+2+1=（x﹣1）2+2（lnx﹣x+1）+3，故f（x）在（0，2]上是增函数；且（（x﹣1）2+2（lnx﹣x+1）+3）=﹣∞，f（1）=3＞0；故方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根，综上所述，a＜﹣或a=﹣1或0＜a≤2．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），M（x′，y′），因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，将M坐标代入，消去θ，得到M满足的方程，再由向量共线，得到P满足的方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，分别利用极坐标方程表示两个曲线，求出A，B的极坐标，得到AB长度．【解答】解：（Ⅰ）因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．设P （x ，y ），M （x ′，y ′），则x=2x ′，y=2y ′，并且，消去θ得，（x ′﹣1）2+y ′2=3， 所以曲线C 2的普通方程为：（x ﹣2）2+y 2=12；（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ﹣2=0，将θ=代入得ρ=2，∴A 的极坐标为（2，），曲线C 2的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos θ﹣8=0，将代入得ρ=4，所以B 的极坐标为（4，），所以|AB |=4﹣2=2．[选修4-5：不等式选讲]24．设不等式﹣2＜|x ﹣1|﹣|x +2|＜0的解集为M ，a 、b ∈M ，（1）证明：|a +b |＜；（2）比较|1﹣4ab |与2|a ﹣b |的大小，并说明理由． 【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M ，利用绝对值三角不等式直接证明：|a +b |＜；（2）利用（1）的结果，说明ab 的范围，比较|1﹣4ab |与2|a ﹣b |两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f （x ）=|x ﹣1|﹣|x +2|=，由﹣2＜﹣2x ﹣1＜0解得﹣＜x ＜，则M=（﹣，）．…∵a 、b ∈M ，∴，所以|a +b |≤|a |+|b |＜×+×=．…（2）由（1）得a 2＜，b 2＜．因为|1﹣4ab |2﹣4|a ﹣b |2=（1﹣8ab +16a 2b 2）﹣4（a 2﹣2ab +b 2） =（4a 2﹣1）（4b 2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab |2＞4|a ﹣b |2，故|1﹣4ab |＞2|a ﹣b |．…2016年10月27日。