同济大学《高等数学》4.4节 有理函数的积分
合集下载
(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
高数上4.4 有理函数积分法
5 2
d
x
1 2
x 1 2 3
2 4
解
(
x
x2 2x 1 1)( x2 x
1)
dx
x
2
1
x3 x2 x
1 dx
2
ln
|
x
1
|
1 2
d
( x2 x 1) x2 x 1
5 2
d
x
1 2
x
1 2
2
3 4
2ln | x 1 | 1 ln | x2 x 1 | 2
1
去分母, 得
x2 2x 1 A( x2 x 1) (Bx C )( x 1)
令 x 1, 得 A 2; 令 x 0, 得 1 A C, 所以 C 3;
令 x 2, 得 7 3A 2B C, 所以 B 1.
因此
(x
x2 2x 1 1)( x2 x 1)
4
dx
x
4
2x2 5x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4
(x2 1) (x2 4) (x2 1)(x2 4)
dx
1 ln x4 5x2 4 1 arctan x arctan x C
2
2
2
例 9
求不定积分 I
2
x
3 x4
2x2 5x2
解 根据例5的结果, 有
(
x
x2 2x 1 1)( x2 x
1)
dx
2 x
1
x3 x2 x
1 dx
2 ln
|
x
1
|
1 2
2x x2
高等数学课件4-4有理函数的积分
$4几种特殊函数的积 分 3
难点 Difficult point 将有理函数化为部分分式之和. 有理函数化为部分分式之和的一般规律：
k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
$4几种特殊函数的积 分 16
1 求积分 (1 2 x )(1 x 2 ) dx . 4 2 1 x 1 dx 5 dx 5 2 5dx (1 2 x )(1 x 2 ) 1 2x 1 x
2 ln 1 2 x 1 2 x 2 dx 1 1 2 dx 5 5 1 x 5 1 x
18
例 Example 10 求积分
x 6
1
x 1 e2 x e3 x e6
dx.
6 解 令 t e x 6 ln t , dx dt , t 1 1 6 dt dx 3 2 x x x 1 t t t t 1 e2 e3 e6 1 3 3t 3 6 6 dt dt 2 2 t (1 t )(1 t ) t 1 t 1 t
1
2 2
x1 ( x 2 x 1) x 2 1 x 2 2 2 x( x x 1) x( x x 1) x x x1
2 x2 1 1 1 x ( 4 2 2) 2 2 1 x (1 x )(1 x ) 2 1 x 1 x
$4几种特殊函数的积 分
n
n 1
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, a n 及
b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
难点 Difficult point 将有理函数化为部分分式之和. 有理函数化为部分分式之和的一般规律：
k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
$4几种特殊函数的积 分 16
1 求积分 (1 2 x )(1 x 2 ) dx . 4 2 1 x 1 dx 5 dx 5 2 5dx (1 2 x )(1 x 2 ) 1 2x 1 x
2 ln 1 2 x 1 2 x 2 dx 1 1 2 dx 5 5 1 x 5 1 x
18
例 Example 10 求积分
x 6
1
x 1 e2 x e3 x e6
dx.
6 解 令 t e x 6 ln t , dx dt , t 1 1 6 dt dx 3 2 x x x 1 t t t t 1 e2 e3 e6 1 3 3t 3 6 6 dt dt 2 2 t (1 t )(1 t ) t 1 t 1 t
1
2 2
x1 ( x 2 x 1) x 2 1 x 2 2 2 x( x x 1) x( x x 1) x x x1
2 x2 1 1 1 x ( 4 2 2) 2 2 1 x (1 x )(1 x ) 2 1 x 1 x
$4几种特殊函数的积 分
n
n 1
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, a n 及
b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
高数同济§4.4有理函数三角函数及一些无理函数的不定积分
1 2 1 2 dt t 1
x x ln | sec | 2 2
x u tan 2
x ln |1 tan | C. 2
优秀课件，精彩无限！
16
1 例8 求积分 dx. 4 sin x x 2u 2 u tan , sin x , dx du, 解（一） 2 2 2 1 u 1 u 2 4 6 1 1 3 u 3 u u du sin4 x dx 4 8u 1 1 3 u3 [ 3 3u ] C 8 3u u 3
有理函数的积分
三角函数有理式的积分
无理函数的积分
sin x dx. 1 sin x cos x
1 1 x x x dx
优秀课件，精彩无限！
1
引例
Px a
1 1 1 1 . 解 由于 2 x a 2 2a x a x a
所以
1 1 1 1 dx dx 2 2 x a 2a x a x a
优秀课件，精彩无限！
2
一、有理函数的积分
有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数.
P( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an R( x) Q( x) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
23内容小结可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出但不一定要注意综合使用基本积分法优秀课件精彩无限
§5.4
有理函数、三角函数及一些 无理函数的不定积分
3x 2 (1 2 x)(1 x 2 ) dx.
4.4 有理函数的积分
d
−3
− 5 + 6
−2
1
1
d( − 2)
= −5 න
d( − 3) +6 න
−2
−3
= −5 ln | − 3| + 6 ln | − 2| +
第四节 有理函数的积分
第四章 不定积分
(3) 由例1知
4
2
1
−
+
1
5 + 5
5
=
(1 + 2)(1 + 2 ) 1 + 2
2
=6 ln ||
第四章 不定积分
二、三角函数有理式的积分
定义
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为
三角有理式. 一般记为 (sin , cos )
2 tan
2 ,
∵ n =
2
1 + tan
2
cos =
1
2
− tan
2
2
1 + tan
2
2
令 = tan , 则 = 2 arctan , 且d =
例5
解
1
求 න 4 d .
sin
2
2
,d =
d,
方法1. 设 = tan , sin =
2
2
1+
1+
2
1 + 32 + 34 + 6
1
d
න 4 d = න
4
8
sin
1
1
3
3
=
− 3 − + 3 +
−3
− 5 + 6
−2
1
1
d( − 2)
= −5 න
d( − 3) +6 න
−2
−3
= −5 ln | − 3| + 6 ln | − 2| +
第四节 有理函数的积分
第四章 不定积分
(3) 由例1知
4
2
1
−
+
1
5 + 5
5
=
(1 + 2)(1 + 2 ) 1 + 2
2
=6 ln ||
第四章 不定积分
二、三角函数有理式的积分
定义
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为
三角有理式. 一般记为 (sin , cos )
2 tan
2 ,
∵ n =
2
1 + tan
2
cos =
1
2
− tan
2
2
1 + tan
2
2
令 = tan , 则 = 2 arctan , 且d =
例5
解
1
求 න 4 d .
sin
2
2
,d =
d,
方法1. 设 = tan , sin =
2
2
1+
1+
2
1 + 32 + 34 + 6
1
d
න 4 d = න
4
8
sin
1
1
3
3
=
− 3 − + 3 +
高等数学课件上第44有理函数积分
积分公式的应用场景
物理、工程等领域的计算
解决实际问题，如计算面 积、体积等
数学建模，如微分方程、 积分方程等
科学研究，如统计、概率 等
计算机科学，如数值计算、 算法设计等
积分公式的推导过程
积分的定义：将函 数在某一区间上的 值进行求和，得到 该区间上的积分值
积分的性质：积分 具有线性性、可加 性、可乘性等性质
积分变换：用于进行有理函数的积分变 换
积分不等式证明：用于证明有理函数的 积分不等式
积分估计：用于估计有理函数的积分值
在其他数学分支中的应用
微积分：有理 函数积分是微 积分的重要内 容之一，广泛 应用于求解微 分方程、积分
方程等
概率论与数理 统计：有理函 数积分在概率 论与数理统计 中用于求解概 率密度函数、 概率分布函数
结果相加
注意事项：在分 解被积函数时， 需要注意分解后 的部分能否进行 积分，以及分解 后的部分能否相 加得到原被积函
数
三角换元法
基本思想：将复杂函数转化为简单函数，便于积分 步骤：选择适当的三角函数，将原函数进行变换 注意事项：选择合适的三角函数，注意变换后的函数形式 应用：适用于有理函数积分的计算，特别是含有三角函数的有理函数
适用条件：f(x)为有理函数，且积分区间为[a, b]
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
计算步骤： a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
注意事项： a. 确保f(x)为有理函数 b. 积分区间[a, b]必须正 确 c. 计算过程中可能出现误差，需要多次计算以验证结果
高等数学第四章有理函数的积分
x2 1
-
1)
dx
1
2
1+
1 x2
x2
+
1 x2
dx
-1 2
1
-
1 x2
x2
+
1 x2
dx
技巧
1 2
d( x - 1 ) x
-1
( x - 1 )2 + 2 2
d( x + 1 ) x
( x + 1 )2 - 2
x
x
1
arctan
x
-
1 x
-
1
1
ln
22
2 22 2
x+ 1 x
A 1 ( x - a)1-n + C 1- n
16
( x2 + px + q) 2x + p
Ax + B
(3) x2 + px + q dx
Ax + A p- A p + B
22
x2 + px + q
dx
Ax + A p
x2
+
2 px +
dx q
+
(B
-
A 2
p)
Q( x) 部分分式的和. 如果分母多项式Q( x)在实数域 上的质因式分解式为:
Q( x) b0 ( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
5
Q( x) b0 ( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
高等数学I(电子)(同济大学)高等数学课件D4_4有理函数积分544 44有理函数积分
令
t
tan
x 2
万能代换
t 的有理函数的积分
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7.
求
sin
1 sin x x(1 cos
dx . x)
解: 令 t tan x , 则 2
sin
x
2
sin
x 2
cos
x 2
sin 2
x 2
cos2
x 2
2 1
tan
x 2
tan 2
x 2
2t 1 t
2
cos
x
cos2 sin 2
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
有理函数 相除 多项式 + 真分 式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
解: 已知
1 (1 2x)(1 x2 )
1 5
1
4 2
x
1
2x x
2
1
1 x2
原式
2 5
d(1 2x) 1 2x
1 5
d(1 x2 1 x2
)
1 5
1
dx x
2
2 ln 1 2x 1 ln (1 x2 ) 1 arctan x C
5
5
5
例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束
d(x2 2x 2) (x2 2x 2)2
高数同济44有理函数三角函数及一些无理函数的不定积分
例4 求积分
1 x(x 1)2dx.
解 x(x11)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln x1ln x (1)C . x1
1
例5 求积分 (12x)(1x2)dx.
解 (12x)1(1x2)dx1542xdx152xx215dx
5 2 ln 1 2 ( x ) 1 5 1 2 x x 2d x 1 5 1 1 x 2 dx
由代数学定理:
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
难点 将有理函数化为最简分式之和.
设 Q P((x x))b a 00 x x m n b a 1 1x xm n 1 1 b am n 1 1x x a bn m是真 . 分
例12
求积分
x 3x1
d.x 2x1
解 先对分母进行有理化
原式 (3 x 1 x (2 3 x x 1 1 ) (3 2 x x 1 1 )2 x 1 )dx
(3x 12x 1 )dx
1 3 3x1d(3x1)1 2 2x1d(2x1)
2(3x1)2 31(2x1)2 3C .
例1 x3 x2 5x6
化为最简分式之和.
x3 A B ,
待
(x2)(x3) x2 x3
定
x 3 A ( x 3 ) B ( x 2 ),系
数
x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ), 法
A(3A B21,B)3,
第四节有理函数的积分
精品PPT
思考题
在接连几次应用分部(fēn bù)积分公 式时， 应注意什么？
精品PPT
思考题解答(jiědá)
注意前后几次所选的 u应为同类型函数.
例 e x cos xdx
第一次时若选 u1 cos x
e x cos xdx e x cos x e x sin xdx
第二次时仍应选 u2 sin x
(shuōm(íhnágn)shù)一定存在，但原函数(hánshù)不一定
都是初等函数(hánshù).
例 ex2dx,
sin x
x
dx,
1 dx. ln x
精品PPT
思考题
将分式(fēnshì)分解成部分分式(fēnshì)之和时 应注意什么？
精品PPT
思考题解答(jiědá)
分解后的部分(bù fen)分式必须是最简分 式.
或经过简单变形后，查得所需结果. （4）积分表见《高等数学》（五版）上册
（同济大学数学教研室主编）第347页．
精品PPT
二、例题
例1 求
x (3x 4)2dx.
被积函数中含有 ax b
在积分(jīfēn)表（一）中查得公式（7）
ax
x
b2dx
1 a2
ln
|
ax
b
|
b ax
b
C
现在 a 3, b 4 于是
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B值代入 (1) C 1
思考题
在接连几次应用分部(fēn bù)积分公 式时， 应注意什么？
精品PPT
思考题解答(jiědá)
注意前后几次所选的 u应为同类型函数.
例 e x cos xdx
第一次时若选 u1 cos x
e x cos xdx e x cos x e x sin xdx
第二次时仍应选 u2 sin x
(shuōm(íhnágn)shù)一定存在，但原函数(hánshù)不一定
都是初等函数(hánshù).
例 ex2dx,
sin x
x
dx,
1 dx. ln x
精品PPT
思考题
将分式(fēnshì)分解成部分分式(fēnshì)之和时 应注意什么？
精品PPT
思考题解答(jiědá)
分解后的部分(bù fen)分式必须是最简分 式.
或经过简单变形后，查得所需结果. （4）积分表见《高等数学》（五版）上册
（同济大学数学教研室主编）第347页．
精品PPT
二、例题
例1 求
x (3x 4)2dx.
被积函数中含有 ax b
在积分(jīfēn)表（一）中查得公式（7）
ax
x
b2dx
1 a2
ln
|
ax
b
|
b ax
b
C
现在 a 3, b 4 于是
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B值代入 (1) C 1
高等数学(同济大学)课件上第44有理函数积分
2
22
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解: (1) 用拼凑法
1 x(x 1)2
x (x 1) x(x 1)2
(
x
1 1)2
x(
1 x 1)
(
x
1 1)2
x (x 1) x(x 1)
(x
1 1)2
1 x 1
1 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 用赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
原式
(cos2 x 2) cos x dx 1 sin2x sin4 x
(sin2 x 1 sin2
1) d sin x x sin4 x
(t 2 1) dt 1t2 t4
1 arctan t 1t C
3
3
1 arctan cos2 x C
xa
C
2.
(x
A a)n
dx
A 1 n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
x
MxN 2 px
q
dx
4.
(
M x2
x px
N q)
n
dx
变分子为
M 2
(2x
p)
N
Mp 2
再分项积分
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
解: 已知
1 (1 2x)(1 x2 )
4 2 22
2
相关主题