初三第4讲 正弦 余弦 反比例函数
湘教版九年级数学上册第4章4.1《正弦和余弦》精品PPT教学课件
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
万向思维精品图书
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
万向思维精品图书
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
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新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
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∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
万向思维精品图书
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
初三数学三角函数
初三数学三角函数
初三数学中，三角函数是一个重要的概念。
以下是初三数学中涉及到的一些三角函数的基本内容：
1.正弦函数（sine
function）：用sin表示，表示一个角的对边与斜边的比值。
在直角三角形中，sinθ = 对边 / 斜边。
2.余弦函数（cosine
function）：用cos表示，表示一个角的邻边与斜边的比值。
在直角三角形中，cosθ = 邻边 / 斜边。
3.正切函数（tangent
function）：用tan表示，表示一个角的对边与邻边的比值。
在直角三角形中，tanθ = 对边 / 邻边。
4.正割函数（secant
function）：用sec表示，表示一个角的斜边与邻边的比值。
在直角三角形中，secθ = 斜边 / 邻边。
5.余割函数（cosecant
function）：用csc表示，表示一个角的斜边与对边的比值。
在直角三角形中，cscθ = 斜边 / 对边。
6.切割函数（cotangent
function）：用cot表示，表示一个角的邻边与对边的比值。
在直角三角形中，cotθ = 邻边 / 对边。
初三数学中，学生通常会学习三角函数的定义、性质、基本关系和应用等方面的知识。
这些知识对于理解几何图形、求解三角形问题以及日后学习高中数学和物理等学科都具有重要作用。
湘教版数学九年级上册《4.1.1正弦和余弦》说课稿2
湘教版数学九年级上册《4.1.1正弦和余弦》说课稿2一. 教材分析湘教版数学九年级上册《4.1.1正弦和余弦》这一节，是学生在学习了三角函数的概念、角的弧度制等基础知识后，进一步深入研究三角函数的性质。
本节课主要介绍了正弦和余弦的概念、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角函数的概念和角的弧度制有所了解。
但是，对于正弦和余弦的定义和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生从实际问题中抽象出正弦和余弦的概念，并通过讲解和示例，让学生掌握正弦和余弦的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察和实验，学生能够从实际问题中抽象出正弦和余弦的概念，并运用归纳和演绎的方法，推导出正弦和余弦的性质。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂讨论，培养合作和交流的能力，提高对数学学科的兴趣和热情。
四. 说教学重难点1.重点：正弦和余弦的定义及其性质。
2.难点：正弦和余弦的性质的推导和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，通过引导学生从实际问题中抽象出正弦和余弦的概念，并运用归纳和演绎的方法，推导出正弦和余弦的性质。
2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型，帮助学生直观地理解正弦和余弦的概念和性质。
同时，通过数学软件和计算器，让学生能够实际操作，验证正弦和余弦的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，如音乐乐谱中的音符、建筑设计中的角度等，引导学生从实际问题中抽象出正弦和余弦的概念。
2.新课导入：介绍正弦和余弦的定义，并通过示例让学生理解它们的含义。
3.性质探究：引导学生通过观察和实验，发现正弦和余弦的性质，并运用归纳和演绎的方法，推导出正弦和余弦的性质。
初三第4讲 正弦 余弦 反比例函数
第五讲 正弦、余弦、反比例函数（一）正弦和余弦【基础知识精讲】一、 正弦与余弦：1、 在ABC ∆中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos .cbA A c a A A =∠=⋅=∠=斜边的邻边斜边的对边cos sin2、 当A ∠为锐角时， 1sin 0<<A ，1cos 0<<A 。
二、 特殊角的正弦值与余弦值： 三、 增减性：当0900<<α时，【例题巧解点拨】例1：求出如下图所示的ABC Rt ∆中的A sin 、B cos 和A cos 、B cos 的值.例2：求下列各式的值：（1）30cos 30sin +； （2）60cos 2145sin 2-．（3）30cos 30sin ． (4) ︒⋅︒+︒⋅︒45sin 30cos 45cos 30sin例3：（1）若21sin =A ，则锐角_____=∠A ；（2）若22cos =A ，则锐角_____=∠A . （3）若23sin =A ，则锐角____=∠A ．（4）若23cos =B ，则锐角_____=∠A（5）已知ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AB 3=，B cos =__________例4：（07北京市中考试题） 在中ABC ∆Rt ，︒=∠90C ，斜边5=c ，两直角边的长b a 、是关于x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个根，求ABC ∆Rt 较小锐角的正弦值.【课堂训练1】一、填空题、选择题：1.sin 21= cos = 。
2．在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，b a 33=，则A ∠=_________，A sin =_________3．（09 成都）30sin 2的值是（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．3 4．在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，1=AC ，2=AB ，则B ∠为（ ） A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒905．在PMN Rt ∆中，∠=∠Rt P ，则)(sin =MA ．PM PN B ．PN PM C ．MN PN D ．MNPM6．在ABC ∆Rt 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值（ ）A 都没有变化B 都扩大2倍C 都缩小2倍D 不能确定7．在ABC ∆中，若0cos 2322sin 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-B A ，A ∠，B ∠都是锐角，则C ∠的度数是（） A ︒75 B ︒90 C ︒105 D ︒120 8．比较大小：sin23°______sin33°;cos67.5°_________cos76.5°。
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》说课稿4
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》说课稿4一. 教材分析《正弦和余弦》是湘教版数学九年级上册4.1的内容，这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是引导学生探究正弦和余弦的定义，理解它们的性质和应用。
通过这部分的学习，学生能够更深入地理解三角函数的概念，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，他们对锐角三角函数已经有了初步的了解。
但是，对于正弦和余弦的定义和性质，他们可能还存在着一些模糊的地方。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过观察、实验、推理等方法，深入理解正弦和余弦的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质，并能运用它们解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、实验、推理等方法，培养自己的探究能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，对数学产生兴趣，培养自己的合作意识和创新精神。
四. 说教学重难点1.重点：学生能够理解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质。
2.难点：学生能够运用正弦和余弦解决一些实际问题，并深入理解它们的内在联系。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用观察、实验、推理、讨论等教学方法，引导学生主动参与课堂活动。
同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解正弦和余弦的概念。
六. 说教学过程1.导入：通过复习锐角三角函数的内容，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.探究正弦和余弦的定义：引导学生观察正弦和余弦的图象，通过实验和推理，引导学生探究正弦和余弦的定义。
3.性质探讨与应用：引导学生通过观察、实验、推理等方法，探究正弦和余弦的性质，并运用它们解决一些实际问题。
4.总结与拓展：引导学生总结本节课的学习内容，并进行拓展训练，提高学生的解决问题的能力。
初三三角函数知识梳理
初三三角函数知识梳理三角函数是数学中一种重要的函数，它与三角形的各边以及角度之间的关系密切相关。
在初三阶段，学习三角函数是必不可少的内容之一。
下面将对初三三角函数的知识进行梳理，帮助大家系统地理解这一部分知识。
首先，我们来了解一下三角函数的基本概念。
在一个单位圆上，以圆心为原点，半径为1，任取一点P的坐标(x,y)，则P点对应的角度为该点与x轴正方向的夹角θ。
根据三角函数的定义，我们可以得到三个基本的三角函数：正弦函数(sine)、余弦函数(cosine)和正切函数(tangent)。
它们的定义如下：正弦函数：sinθ=y余弦函数：cosθ=x正切函数：tanθ=y/x接着，我们来了解一些与三角函数相关的重要公式和性质。
其中，最基本的公式就是勾股定理，即直角三角形中的两个直角边a、b和斜边c之间的关系：a²+b²=c²。
这个公式在解决三角形问题时经常用到。
此外，三角函数还有一些重要的性质需要注意。
其中，正弦函数和余弦函数的周期都为2π（或360°），即在每个周期内，它们的值会周期性地重复。
而正切函数的周期是π（或180°），即每个周期内正切函数的值会重复。
在应用三角函数解决问题时，我们通常会用到两个重要的角度：锐角和直角。
锐角是指介于0°和90°之间的角度，而直角则是指90°。
在解决三角函数问题时，我们需要了解不同角度对应的三角函数值，可以通过查表或用计算器来获取。
同时，我们也需要掌握如何利用已知角度的三角函数值求解其他未知角度的方法，例如利用反函数、特殊角的三角函数值等。
最后，我们需要了解如何应用三角函数来解决实际问题。
三角函数在几何、物理等领域中有广泛的应用。
例如，在解决三角形问题时，我们可以利用正弦定理、余弦定理、正切定理等来求解未知边长和角度。
在物理中，三角函数可以用来表示波动、振动等周期性的现象，例如用正弦函数来表示声音的波动、用余弦函数来表示机械振动等。
正弦和余弦教案初中
正弦和余弦教案初中教学目标：1. 了解正弦和余弦的定义及应用。
2. 学会使用正弦和余弦解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 正弦和余弦的定义。
2. 正弦和余弦在实际问题中的应用。
教学难点：1. 正弦和余弦的定义及理解。
2. 灵活运用正弦和余弦解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 实际问题案例。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾锐角三角函数的概念，复习正切、余切等函数。
2. 提问：同学们，我们已经学习了锐角三角函数中的正切和余切，那么正弦和余弦又是怎样的函数呢？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解正弦和余弦的定义：正弦：在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值称为正弦。
余弦：在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比值称为余弦。
2. 举例说明正弦和余弦的运用：问题1：在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为0.5，求这个角的度数。
问题2：在直角三角形中，若一个锐角的余弦值为0.6，求这个角的度数。
3. 引导学生观察、分析问题，总结正弦和余弦的性质。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固正弦和余弦的概念。
四、拓展与应用（10分钟）1. 出示实际问题案例，让学生运用正弦和余弦解决实际问题。
案例1：一根绳子以一定的角度抛出，求绳子落地时的长度。
案例2：一个货物通过斜面滑下，求货物滑到斜面底部的速度。
2. 引导学生分组讨论，合作解决问题。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结正弦和余弦的定义及应用。
2. 强调正弦和余弦在实际问题中的重要性。
教学反思：本节课通过讲解、练习、实际问题解决等方式，使学生掌握了正弦和余弦的概念及应用。
在教学过程中，注意引导学生观察、分析问题，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
同时，通过实际问题案例，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高学生的学习兴趣。
但在课堂练习环节，可以增加一些具有挑战性的题目，让学生更好地巩固所学知识。
九年级数学正切余弦正弦
九年级数学正切余弦正弦正切、余弦和正弦是三角函数的基本概念，对于九年级的学生来说，掌握这些概念对于解决各种数学问题至关重要。
在本文中，我将详细介绍正切、余弦和正弦的定义、性质和应用，并提供一些相关的例题和解题方法。
首先，我们来看正切函数。
正切函数是指在单位圆上，对于任意一个角的正切值等于该角的正弦值除以其余弦值。
用数学符号表示，正切函数定义如下：tanθ = sinθ / cosθ其中，θ表示角度。
正切函数的定义域是所有不等于奇数π/2的实数，值域是所有实数。
接下来，我们来看余弦函数。
余弦函数是指在单位圆上，对于任意一个角的余弦值等于该角的横坐标除以半径。
用数学符号表示，余弦函数定义如下：cosθ = x / r其中，x表示点在单位圆上的横坐标，r表示单位圆的半径。
余弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]。
最后，我们来看正弦函数。
正弦函数是指在单位圆上，对于任意一个角的正弦值等于该角的纵坐标除以半径。
用数学符号表示，正弦函数定义如下：sinθ = y / r其中，y表示点在单位圆上的纵坐标，r表示单位圆的半径。
正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]。
正切、余弦和正弦函数的性质如下：1.正切函数的周期是π。
2.余弦函数和正弦函数的周期是2π。
3.正切函数和正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
4.正切函数和正弦函数的图像在定义域内是周期性的，而余弦函数的图像是非周期性的。
5.正切函数在定义域内有无数个间断点，而余弦函数和正弦函数在定义域内是连续的。
6.正切函数在定义域内有无数个渐近线，余弦函数和正弦函数没有渐近线。
正切、余弦和正弦函数在数学中有许多应用。
其中之一是计算三角形的各种属性。
通过利用正切函数，我们可以计算一个角的正切值，从而得到角的大小。
通过利用余弦函数和正弦函数，我们可以计算三角形的边长、角度等。
举例来说，假设我们有一个直角三角形，其中一个角的正切值为1/2，我们可以根据正切函数的定义计算这个角的大小。
湘教版数学九年级上册《4.1.1正弦和余弦》说课稿
湘教版数学九年级上册《4.1.1正弦和余弦》说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级上册《4.1.1正弦和余弦》这一节主要介绍了正弦和余弦的概念及性质。
正弦和余弦是三角函数中的两个重要概念，它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本节内容为后续学习正切函数及其他三角函数奠定了基础。
教材通过丰富的例题和练习，使学生掌握正弦和余弦的定义、性质及其应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的大部分数学知识，具有一定的逻辑思维能力和数学素养。
但是，对于正弦和余弦这两个概念，学生可能初次接触，理解起来有一定难度。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动形象的比喻、直观的图形演示等方法，帮助学生理解和掌握正弦和余弦的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握正弦和余弦的概念、性质及其应用；2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生研究三角函数的能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习三角函数的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：正弦和余弦的概念、性质及其应用；2.教学难点：正弦和余弦的定义及其内在联系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、启发式教学法，引导学生主动探究、积极思考；2.教学手段：利用多媒体课件、图形演示等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习初中阶段学过的锐角三角函数，引出正弦和余弦的概念；2.自主学习：让学生阅读教材，了解正弦和余弦的定义及性质；3.合作交流：分组讨论，分析正弦和余弦的内在联系，总结性质；4.教师讲解：针对学生的疑问，进行讲解，重点阐述正弦和余弦的定义及其联系；5.巩固练习：布置练习题，让学生运用所学知识解决问题；6.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调正弦和余弦的概念及性质；7.布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：•正弦：直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值；•余弦：直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比值。
湘教版2020年初三上册数学4.1 正弦和余弦 课件
解：sin230°- 2sin45°+sin260°
1 2
2
2
2
2 2
3
2
1 1 3
4
4
0.
如图， △ABC和△DEF都是直角三角形， 其中 ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则 AC DF 成立吗？为什么？
AB DE
α
α
∵ ∠A=∠D= α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E.
课堂小结
1.锐角的余弦的概念. 2.熟记：30°,45°,60°这些特殊角的正弦余弦值 . 3.理解：0°~90°间正弦值、余弦值的变化规律：
（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1；
（2）正弦值随角度的增加而增大，余弦值随角度的增 加反而减小.
亲爱的读者：
1、天盛生下年活兴不亡重相，来信匹，眼夫一泪有日，责难眼。再泪晨并20。不.7.及代14时表7.宜软14自弱.2勉。02，2002岁.07:.月2184不270.待1:24人8.2:。3002。J0u22l00-2:.2708.212040:72:2.8184:3.200J2u0l-20:2208:208:28:30Jul-2020:28
420、:2千敏87淘而.1万好4.浪学20虽，20辛不20苦耻:2，下87吹问.1尽。4.黄。20沙72.10始42.0到2:02金2802。707.:12.1484.:23.2002720.102470..:2120482.220002:2008:22807:2.1842:3.020:0228002:208:2:380:3020:28:30
∴
BC
AB .
EF DE
即 BC DE AB EF .
∴
BC EF . AB DE
湘教版九年级数学 4.1 正弦和余弦(学习、上课课件)
知1－练
sin 67°38′24′′； 解：sin 67°38′24′′≈ 0.924 8.
(2)用计算器求锐角α 的度数(精确到0.1 °)：
sinα＝0.516 8. α ≈ 31.1°.
解题秘方：紧扣使用计算器的操作步骤，正确 按键得出结果.
感悟新知
知1－练
3-1. [ 期末·莱阳 ] 若用我们数学课本上采用的科学计 算器计算 sin42 ° 16′，按键顺序正确的是 ( C )
解：原式＝12＋
2 2
2－13×
3 2
2＝12＋ 12－13×32-1. [ 期末·石家庄裕华区 ] 已知 α 为锐角，且sin(α－
10 ° ) =
3 2
，则
α
等于(
A
)
A． 70° B． 60°
C． 40° D． 30°
感悟新知
例3 (1)用计算器求正弦值(精确到0.000 1)：
1. sin α是完整的数学符号，是一个整体，不能理解成
sin·α . 2. 正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文
字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度 数，如sin α，sin A，sin ∠ABC，sin ∠2，sin 70° .
感悟新知
知1－练
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 3
感悟新知
知2－练
例4 [母题 教材 P115 练习 T1 ]在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，请根据下列 条件分别求出∠A的正弦、余弦值： (1)a＝6，b＝8；(2)b＝2，c＝ 10.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边 角之间的数量关系，先利用勾股定理求 出未知边的长度，然后根据定义求∠ A的 正弦、余弦值.
湘教版数学九年级上册4.1.1《正弦和余弦》教学设计
湘教版数学九年级上册4.1.1《正弦和余弦》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.1.1《正弦和余弦》是本册教材中的重要内容，主要介绍了正弦和余弦的概念、性质及其应用。
本节课的内容对于学生来说，既是对以前知识的巩固，又是为后续学习更复杂三角函数奠定基础。
教材从实际问题出发，引入正弦和余弦的概念，并通过大量的例题和练习，使学生掌握正弦和余弦的性质和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于正弦和余弦这两个三角函数的理解，还需要通过具体的例子和实际问题来进行引导和深化。
此外，学生对于实际问题的解决，还需要老师在教学中进行引导和培养。
三. 教学目标1.理解正弦和余弦的概念，掌握它们的性质和应用。
2.能够通过实际问题，引入正弦和余弦的概念，并解决问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.正弦和余弦的概念及其性质的理解和应用。
2.利用正弦和余弦解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实际问题引入正弦和余弦的概念，引导学生通过自主学习和合作学习，掌握正弦和余弦的性质和应用。
同时，运用多媒体教学手段，直观地展示正弦和余弦的变化规律，帮助学生理解和记忆。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.正弦和余弦的图示和实例。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程导入（5分钟）老师通过一个实际问题，如测量一个斜边为10的正弦三角形的两个直角边的长度，引导学生思考正弦和余弦的概念。
呈现（10分钟）老师通过多媒体展示正弦和余弦的图示和实例，让学生直观地感受正弦和余弦的变化规律。
同时，老师引导学生总结正弦和余弦的性质。
操练（10分钟）老师给出一些练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
通过这个过程，让学生加深对正弦和余弦的理解和应用。
巩固（10分钟）老师给出一些实际问题，让学生分组讨论和解决。
通过这个过程，培养学生的合作能力和解决实际问题的能力。
湘教版九年级数学上册课件：4.1 正弦和余弦 (共25张PPT)
α
α
∵ ∠A=∠D= α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E , 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
AB
2
=
3 4
AB2.
因此
sin60
=
AC AB
=
3 2
.
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）
的正弦值，而对于一般锐角 α 的正弦值，我们可以利用计算
器来求.
例如求 50°角的正弦值，可以在计算器上依次按
键
，显示结果为0.7660…
如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对 应锐角.
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
例3 求cos30°，cos60°，cos45°的值．
解：
cos30 = sin(90 -30)= sin60 =
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》教学设计1
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》教学设计1一. 教材分析《正弦和余弦》是湘教版数学九年级上册第四章第一节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初高中数学的衔接部分。
本节课主要介绍了正弦和余弦的概念以及它们的定义方法。
通过本节课的学习，学生可以更好地理解三角函数的概念，为后续的三角函数学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数的概念已经有了一定的了解。
但是，对于正弦和余弦的定义以及它们的联系和应用可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过自主学习、合作交流等方式来深入理解正弦和余弦的概念，并能够应用到实际问题中。
三. 教学目标1.理解正弦和余弦的概念，掌握它们的定义方法。
2.能够运用正弦和余弦解决一些简单的实际问题。
3.培养学生的合作交流能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：正弦和余弦的概念及其定义方法。
2.难点：正弦和余弦在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.自主学习：引导学生通过自主学习，深入理解正弦和余弦的概念。
2.合作交流：学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用正弦和余弦解决实际问题。
4.媒体辅助：利用多媒体课件，生动形象地展示正弦和余弦的定义过程。
六. 教学准备1.多媒体课件：制作正弦和余弦的定义课件，以便于生动形象地展示教学内容。
2.实际问题：准备一些与正弦和余弦相关的实际问题，用于课堂练习和巩固。
3.学习资料：为学生准备相关的学习资料，以便于学生自主学习和合作交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些与正弦和余弦相关的实际问题，引导学生思考正弦和余弦的概念。
2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，生动形象地展示正弦和余弦的定义过程，同时引导学生进行自主学习，深入理解正弦和余弦的概念。
3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》说课稿3
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》说课稿3一. 教材分析《正弦和余弦》是湘教版数学九年级上册第4章第1节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初中的重要知识，也是学习高中数学的基础。
本节课主要介绍了正弦和余弦的定义，以及它们的性质和应用。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握正弦和余弦的概念和性质，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数有一定的了解。
但是，正弦和余弦的概念和性质比较抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，我需要根据学生的实际情况，采取适当的教学方法和手段，帮助学生理解和掌握正弦和余弦的概念和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质和应用。
2.过程与方法：通过观察实例，引导学生发现正弦和余弦的性质，培养学生的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.重点：正弦和余弦的定义，它们的性质和应用。
2.难点：正弦和余弦的性质的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出正弦和余弦的概念。
2.新课导入：讲解正弦和余弦的定义，引导学生观察和发现它们的性质。
3.案例分析：分析一些实际问题，让学生运用正弦和余弦的知识解决问题。
4.小组讨论：让学生分组讨论，分享彼此的学习心得和解决问题的方法。
5.总结提高：对正弦和余弦的性质进行总结，引导学生思考如何运用这些性质解决实际问题。
6.课堂练习：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。
7.课后作业：布置一些拓展性的作业，让学生进一步巩固和提高所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：正弦：直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值余弦：直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比值（1）周期性（2）奇偶性（3）单调性（1）解决实际问题（2）推导其他三角函数八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：一是对学生学习情况的评价，二是对教师教学情况的评价。
初三下数学课件(北师版)-正弦、余弦
则( B )
A．甲山坡比乙山坡陡
B．乙山坡比甲山坡陡
C．两个山坡一样陡
D．无法确定
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AM 是 BC 边上的中线，sin∠CAM
＝53，则 tanB 的值为
2 3
.
6．某人沿倾斜角为 β 的斜坡前进 200 米，则他上升的最大高度是 200sinβ 米．
7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3 cm，tan∠B＝43，求 sin∠B 的 值．
14．如图 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点，△BCE 沿 BE 折叠为△BFE， 点 F 落在 AD 上． (1)求证：△ABF∽△DFE； (2)若 sin∠DFE＝13，求 tan∠EBC 的值．
(1)证明：由题意可得∠A＝∠D＝∠C＝∠BFE＝90°，∴∠ABF＝90°－∠ AFB，∠DFE＝180°－∠BFE－∠AFB＝90°－∠AFB，∴∠ABF＝∠DFE， ∴△ABF∽△DFE；
解：过 C 点作 CD⊥BA 于 D，由 tanB＝1，得 BD＝CD.∵BC＝2，∴CD＝ 2，∴AD＝ 23，∴cosA＝AADC＝ 523.
1．(孝感中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则 cosB 等于( A )
3 A.5 C．34
B．54 D．43
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点 D，则下列结论不 正确的是( C )
A．①② C．①③
B．②③ D．①②③
9．如图，菱形 ABCD 的周长为 20 cm，DE⊥AB，垂足为 E，cosA＝45，则 下列结论中正确的个数为( A )
①DE＝3 cm；②EB＝1 cm；③S 菱形 ABCD＝15 cm2.
九年级数学正切余弦正弦
九年级数学正切余弦正弦正切、余弦和正弦是三角函数中的重要概念。
在数学中，它们常常以字母符号表示为tan、cos和sin。
在九年级数学中，我们将深入研究和了解这三个函数的性质、定义和应用。
首先，让我们来了解正切函数（tan）。
正切函数是一个三角函数，表示一个角的正切值。
在一个直角三角形中，正切函数可以定义为对边与邻边的比值。
如果一个角的度数为x°，则tan(x) =对边/邻边。
正切函数的值域为实数集。
接下来，我们讨论余弦函数（cos）。
余弦函数是一个三角函数，表示一个角的余弦值。
在一个直角三角形中，余弦函数可以定义为邻边与斜边的比值。
如果一个角的度数为x°，则cos(x) =邻边/斜边。
余弦函数的值域为[-1, 1]。
最后，我们来看正弦函数（sin）。
正弦函数是一个三角函数，表示一个角的正弦值。
在一个直角三角形中，正弦函数可以定义为对边与斜边的比值。
如果一个角的度数为x°，则sin(x) =对边/斜边。
正弦函数的值域也为[-1, 1]。
这三个三角函数在数学中有着广泛的应用。
首先，它们在解决实际问题中起到了重要的作用。
例如，当我们需要求解一个三角形的边长或角度时，可以使用这些三角函数来计算。
其次，它们在物理学、工程学和计算机图形学等学科中也有广泛的应用。
例如，在物体运动的分析中，我们可以使用这些函数来描述物体的位置、速度和加速度。
在计算机图形学中，这些函数用于生成图形和动画。
在数学中，我们还有很多与正切、余弦和正弦函数相关的重要定理和公式。
其中，最常见的是三角恒等式。
这些恒等式描述了这些函数之间的关系，我们可以利用它们来简化和转化三角函数的表达式。
例如，最常见的恒等式之一是tan^2(x) + 1 = sec^2(x)。
我们还有很多其他的恒等式，如sin^2(x) + cos^2(x) = 1和tan(x) = sin(x) / cos(x)等等。
此外，我们还有很多图形可以帮助我们理解和可视化这些三角函数。
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第五讲 正弦、余弦、反比例函数
（一）正弦和余弦
【基础知识精讲】
一、 正弦与余弦：
1、 在ABC ∆中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，
锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos .
c
b
A A c a A A =∠=⋅=∠=
斜边的邻边斜边的对边cos sin
2、 当A ∠为锐角时， 1sin 0<<A ，1cos 0<<A 。
二、 特殊角的正弦值与余弦值： 三、 增减性：当0
900<<α时，
【例题巧解点拨】
例1：求出如下图所示的ABC Rt ∆中的A sin 、B cos 和A cos 、B cos 的值.
例2：求下列各式的值：
（1）
30cos 30sin +； （2）
60cos 2
1
45sin 2-
．
（3）
30cos 30sin ． (4) ︒⋅︒+︒⋅︒45sin 30cos 45cos 30sin
例3：（1）若21sin =
A ，则锐角_____=∠A ；（2）若2
2
cos =A ，则锐角_____=∠A . （3）若2
3
sin =A ，则锐角____=∠A ．（4）若23cos =B ，则锐角_____=∠A
（5）已知ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AB 3=，B cos =__________
例4：（07北京市中考试题） 在中ABC ∆Rt ，︒=∠90C ，斜边5=c ，两直角边的长b a 、是关于x 的一元二次方程0222
=-+-m mx x 的两个根，求ABC ∆Rt 较小锐角的正弦值.
【课堂训练1】
一、填空题、选择题：
1.
sin 2
1
= cos = 。
2．在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，b a 33=，则A ∠=_________，A sin =_________
3．（09 成都）
30sin 2的值是（ ）
A ．
21 B ．1 C ．2
3
D ．3 4．在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，1=AC ，2=AB ，则B ∠为（ ） A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒90
5．在PMN Rt ∆中，∠=∠Rt P ，则)
(sin =M
A ．
PM PN B ．PN PM C ．MN PN D ．MN
PM
6．在ABC ∆Rt 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值（ ）
A 都没有变化
B 都扩大2倍
C 都缩小2倍
D 不能确定
7．在ABC ∆中，若0cos 2322sin 2
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-B A ，A ∠，B ∠都是锐角，则C ∠的度数是（
） A ︒75 B ︒90 C ︒105 D ︒120 8．比较大小：sin23°______sin33°;cos67.5°_________cos76.5°。
三、求下列各式的值：
10．︒⋅︒+︒+︒30cos 30sin 45sin 2
260sin 21。
11．)45cos 60)(sin 45sin 30)(cos 45sin 230sin 2(︒-︒︒+︒︒+︒
12．若30°<α<β<90°，化简αβαβcos 12
3
cos )cos (cos 2
-+-
--。
（二）反比例函数综合训练
【例题巧解点拨】
例1．（2010 中考）如图，已知正比例函数)0(≠=a ax y 的图像与反比例函数)0(≠=k x
k
y 的图像得一个交点为A （22,1k --），另一个交点为B ，且A 、B 关于原点O 对称，D 为OB 的中点，过点D 的线段OB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于C 、E 。
（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式；
（2）试计算△COE 的面积是△ODE 面积的多少倍。
【变式训练】
1.如图，矩形OABC 的面积为25，它的对角线OB 与双曲线)0(≠=k x
k
y 交于点D ，且OB ：OD=5：3，则 k=__________________。
2、 已知双曲线x
k
y =
（x>0）经过矩形OABC 边BC 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k=_______________。
3、（2009 福州）已知A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数x
y 16
=
图像上的五个整数点，（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向x 轴、y 轴作垂线，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成五个橄榄形，则这五个橄榄形的面积总和是________________（用含 π的代数式表示）
αC
B
A
家庭作业
姓名____________
1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA 的值是 ( )
A 、
1515 B 、41 C 、31 D 、4
15
2．在△ABC 中，已知∠C=90°，sinB=5
3
，则cosA 的值是 ( )
A ．43
B ．34 c ．54 D ．5
3
3.在RtΔABC 中,∠C=900,则下列等式中不正确的是( )
（A ）a=csinA ；（B ）a=bcotB ；（C ）b=csinB ；（D ）B
b c cos =.
4.为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角为α,则楼房BC 的高为（ ）
（A ）30tan α米；（B ）
30tan α
米； （C ）30sin α米； （D ）
30sin α
米
5、（2009 中考题）（1）如图1，点M 、N 在反比例函数)0(>=
k x
k
y 的图像上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F 。
试证明MN ∥EF 。
（2）若（1）中的其他条件不变，只改变点M ，N
是否平。