高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用(第1课时)预习导航新人教A版选修2_2【含答案】

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高中数学第一章导数及其应用 1_7 定积分的简单应用概述定积分的发展及应用素材新人教A版

概述定积分的发展与应用摘要: 概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用.关键词: 分割近似; 定积分; 流数法; 应用微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正是由于定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分.一定积分发展的历史过程定积分的发展大致可以分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段.1准备阶段主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面:一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中运用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用.2 创立阶段主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门.牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来表示流数,如x,y 表示变量x,y 对时间的流数.他指出：曲线()0,=y x f 在某给定点处切线的斜率就是y 流数与x 流数之比,从而导出y 对x 的导数就是y 的流数与x 的流数之比,即相当于现在的xy dx dy =. 莱布尼兹从1673年开始研究微积分问题,他在《数学笔记》中指出求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值之比（当这些差值变成无穷小时）;求积依赖于在横坐标的无限小区间纵坐标之和或无限小矩形之和,并且莱布尼兹开始人认识到求和与求差运算的可逆性,用dy 表示曲线上相邻点的纵坐标之差,把⎰dy 表示为所有这些差的和,⎰=dy y 明确指出："⎰"意味着和,d 意味着差.明确指出了：作为求和过程的积分是微分之逆,实际上也就是今天的定积分. 3 完成阶段19世纪的前20年,微积分的逻辑基础仍然不够完善.从19世纪20年代至19世纪末,经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力,微积分的理论基础基本完成,波尔查诺通过极限给出了函数连续的概念及导数的严格定义,柯西用极限给出了积分的定义,指出"⎰"不能理解为一个和式,而是和式∑=---=nk k k kn x x xf s 11))(1(.当1--k k x x 无限减小时,n s 能"最终达到的某个极限值"s ,这个s 就是函数)(x f 在区间[]x x ,0上的定积分.柯西定义了函数⎰=xx dt t f x F 0)()(,证明了当)(x f 在[]x x ,0上连续时,)(x F 在[]x x ,0上连续、可导,且)()(x f x F ='.继之柯西证明了)(x f 的全部原函数彼此只相差一个常数,因此,他把不定积分写成：C dt t f dx x f xx +=⎰⎰0)()(,并由此推出了牛顿-莱布尼兹公式)()()(00x F x F dx x f xx -=⎰.至此,微积分基本定理给出了严格证明和最确切的表示形式. 二定积分在不同学科中的应用 1 定积分在分析中的应用例1 求极限nn nn ⋅++++∞→ 321lim.解：由于∑=⋅=⋅++++n i n n i n n n 11321 可取区间[]b a ,为[]1,0,函数x x f =)(,则n i n a b ia i +=-+=1ξ,nn a b x i 1=-=∆. 故：原式321lim101==⋅=⎰∑=∞→dx x n n i ni n . 例2 求极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-∞→222231241141lim n n n n . 分析：此题所研究的极限为n 项和的形式,可看成函数在241)(xx f -=在区间[]1,0上的一个和式的极限.解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-∞→222231241141lim n n n n n n nn n n 1)(41)2(41)1(41lim 222⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=∞→ ⎰∑==-=⋅-==∞→10102126|2arcsin 411)(41limπx dx xn ni ni n . 2 定积分在几何中的应用 (1) 用定积分求平面图形的面积例3 如图1,计算由曲线4,22-==x y x y 所围成图形的阴影部分的面积. 分析：先根据所给曲线方程,在坐标系中画出曲线, 确定所围成图形的范围;然后根据图形的范围,比较两条曲线的位置关系;最后用定积分求所围图形的面积.解：解方程组⎩⎨⎧-==422x y xy 得出交点坐标为（2,-2）,（8,4）,所以所求图形的面积为423242264224--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰y y y dy y y s .（2）用定积分求立体图形的体积例4 如图2,求椭圆12222=+ay b x 绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积. 解：如图2，因为)(22222x b ba y -=,所求体积是曲边三角形AOB 绕y 轴旋转一周而成的旋转体体积的2倍. 由于旋转体的体积公式为⎰--='bb dx x b ba V )(22222π，所以椭圆12222=+ay b x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为⎰-=bdx x b ba V 02222)(2π ⎰-=bdx x b ba 02222)(2πbx x b ba 03222312⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πb a 234π=. 3 定积分在物理中的应用（1）力的作功问题例5 一圆柱形的贮水桶高位6m,底面半径为3m,桶内盛满了水,试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作x 轴如图3因为要把桶内的水吸出,只需克服重力做功,故取深度x 为积分变量,变化区间为[]6,0,做薄层微元为图中小矩形部分,小矩形部分的重力为dx 238.9π⨯（KN ）,把这部分水吸出水桶外需做功为xdx dW π2.88=（KN ）,故所求的功为4984|1.442.886026≈==⎰x xdx W ππ（KJ ）.(2) 求引力的问题图3例6 一根长为l 的均匀细杆,质量为M,在其中垂线上相距细杆为a 处有一质量为m 的质点,试求细杆对质点的万有引力.解:细杆位于x 轴上的[,]22l l-,质点位于y 轴上的点a, 任取[,]x x x +∆ ⊂[,]22l l-,当x ∆很小时可把这一小段细杆看作一质点,其质量为MdM dx l=,于是它对质点m 的引力为222kmdM km M dF dx r a x l ==⋅+,由于细杆上各点对质点m 的引力方向各不相同,因此不能直接对dF 进行积分,（不符合代数的可加条件）,为此,将dF 分解到x 轴与y 轴两个方向上,得sin x dF dF θ=,cos y dF dF θ=-.由于质量m 位于细杆的中垂线上,必使水平合力为0,即 220ll x X F dF -==⎰,又cos θ=故得垂直方向合力为322222022()l l l y y kmMa F dF a x dx l --==-+=⎰⎰. 负号表示合力方向与y 轴方向相反. 4 定积分在经济学中的应用在经济管理中,应用定积分可以解决由边际函数求总函数或求总函数在某个范围的改变量问题.例7 已知某产品总量的变化率为t t Q 1240)(+='（件/天）,求从第一天到第四天产品的总产量.解：设总产量为Q ,已知第t 天总产量的变化率为)(t Q ',它随t 变化,则总产量Q 在[]dt t t +,内的微元dQ 为dt t dt t Q dQ )1240()(+='= 故在[]5,1内总产量为304|640)1240(51251=+=+=⎰tt dt t Q （件）例8 设生产x 个产品的边际成本x C 350+=,其固定成本为10000=C 元,产品单价规定为500元.假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少是利润最大？解：首先由边际成本x C 350+=,利用变上限定积分得 2012350)350()(x x dt t x C x+=+=⎰,所以最后的总成本为10002350)()(2012++=+=x x C x C x C . 又因为总收益函数为x x R 500)(=,所以总利润为 100023450)()()(22--=-=x x x C x R x L . 令0)(='x L ,即:0223450=⨯-x , 得150=x . 故生产量为150个时,利润最大. 参考文献[1] 邓俊谦.应用数学基础[M].上海:华东师范大学出版社,2000. [2] 陆庆乐,马知恩.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1990. [3] 辛普元.定积分的应用研究[J].现代商贸工业,2008.[4] 上海财经大学应用数学系.高等数学[M].上海:上海财经大学出版社,2005:103-148. [5] 蒙虎.关于莱布尼茨微积分的哲学背景[J].首都师范大学学报(自然科学版),2004:(1). [6] 陈跃.从历史的角度来讲微积分[J].高等数学研究,2005:(6).[7] 王晓硕.极限概念发展的几个历史阶段[J].高等数学研究,2001:(3).。

高中数学第一章导数及其应用 1_7 定积分的简单应用定积分在物理中的应用素材新人教A版

定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。

微积分（Calculus ）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。

定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a ，b]中任意插入若干个分点 a=X0<X1<...<Xn-1<Xn=b把区间[a ，b]分成n 个小区间 [X0，X1]，...[Xn-1，Xn]。

在每个小区间[Xi-1，Xi]上任取一点ξi(Xi-1≤ξi≤Xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作：()dx x f a b⎰即： ()()ini iabx f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b,力的方向与运动方向平行,求变力所作的功.在[a,b]上任取子区间[x,x+dx],在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F(x)在区间[a,b]上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a<b ）,求电场力所做的功.解：当单位正电荷距离原点r 时，由库仑定律电场力为2rqkF =则功的元素为dr rkq dW 2=所求功为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰b a kq r kq dr r kq W bab a1112说明：电场在r=a 处的电势为akq dr r kq a=⎰∞+2例2. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处（如图），求移动过程中气体压力所作的功.解：建立坐标系如图.由博伊尔马略特定律知压强p 与体积V 成反比，即xSk V k p ==故作用在活塞上的力为xkpS F ==功元素为dx xkFdx dW ==所求功为[]ab k x k dx x k W babaln ln ===⎰例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为5m ，底圆半径为3m ，试问要把桶中的水全部吸出需做多少功？解：建立坐标系如图，在任一小区间[x,x+dx]上的一薄层水的重量为dx g 23πρ⋅⋅（KN ）这薄层水吸出桶外所做的功(功元素)为xdx dW πρ9=故所求功为：5502299⎰==xg xdx g W ρπρπρπg 5.112=（KJ ）液体侧压力设液体密度为ρ 深为h 处的压强：h g p ρ=*当平板与水面平行时，平板一侧所受的压力为pA P =*当平板不与水面平行时，所受侧压力就需用积分解决.例4.一水平横放的半径为R 的圆桶，内盛半桶密度为ρ的液体，求桶的一个端面所受的侧压力.解：建立坐标系如图.所论半圆的方程为22xR y -±=()R x ≤≤0利用对称性，侧压力元素dx x R x g dP 222-=ρ端面所受侧压力为322322R g dx x R x g P ⎰=-=ρρ说明：当桶内充满液体时，小窄条上的压强为()x R g +ρ,侧压力元素()dx x R x R g dP 222-+=ρ，故端面所受侧压力为()dx x R x R g P RR222++=⎰-ρ令t R x sin =↓RR x R x R xRg 0222arcsin 224⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ρ3R g ρπ=引力问题质量分别为1m ，2m的质点，相距r ，二者间的引力：大小：221rmm kF =方向：沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力，则需用积分解决. 例5.设有一长度为l ，线密度为μ的均匀直棒，在其中垂线上距a 单位处有一质量为m 的质点M.式计算该棒对质点的引力.解：建立坐标系如图.细棒上小段[x ，x+dx]对质点的引力大小为22xa dxm kdF +=μ故垂直分力元素为αcos dF dF y-=2222xa a x a dx m k +⋅+-=μ()2322x a dxakm +-=μ棒对质点的引力的垂直分力为()⎰+-=2023222l yxa dxa km F μ2222lx a ax a km ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=μ22412la a l km +-=μ棒对质点引力的水平分力0=xF故棒对质点的引力大小为22412la a l km F +=μ说明1. 当细棒很长时，可视l 为无穷大，此时引力大小为akm μ2方向与细棒垂直且指向细棒.2. 若考虑质点克服引力沿y 轴从a 处移动到b （a<b ）处时克服引力作的功，则有dy ly y l km dW 22412+-=μ⎰+-=b aly y dyl km W 2242μ3.当质点位于棒的左端点垂线上时，()2322cos xa dxakm dF dF y+-=⋅-=μα()2322sin xa xdxkm dF dF x+=⋅=μα∴ ()⎰+-=lyxa dxa km F 02322μ()⎰+=lxxa xdxkm F 02322μ引力大小为yxFF F 22+=转动惯量质量为m 的质点关于轴l 的转动惯量为2mr I =与轴l 的距离为ir ，质量为im （i =1,2,…,n ）的质点系关于轴l 的转动惯量为2inli irm I ∑==若考虑物体的转动惯量，则需用积分解决. 例6.设有一个半径为R,质量为M 的均匀圆盘，（1）求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量. （2）求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解：（1）建立坐标系如图.设圆盘面积为ρ.对应于[x,x+dx]的小圆环对轴l 的转动惯量为dx x dI 32πρ=故圆盘对轴l 的转动惯量为24321212I MRR dx x ===⎰πρπρ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2R M πρ(2)取旋转轴为y 轴，建立坐标系如图.对应于[x,x+dx]的平行y 轴的细条关于y 轴的转动惯量元素为dx x R xdx yx dI y222222-==ρρ故圆盘对y 轴的转动惯量为dx x R RRy⎰--=222I ρdx x R xR 2224-=⎰ρtdt t R 22024cos sin 4⎰=πρ（令x=Rsint ）244141MR R ==ρπ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2R Mπρ1. 用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q 的步骤：（1）先用微分分析法求出它的微分表达式dQ 一般微分的几何形状有：条、段、环、带、扇、片、壳等.（2）然后用定积分来表示整体量Q ，并计算他. 2. 定积分的物理应用：. ○1为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m ，抓斗自重400N ，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥中2000N ，提升速度为3m/s,在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需做多少焦耳（J ）功？（99考研）提示：作x 轴如图.将抓起污泥的抓斗由x 提升dx 所作的功为井深30m ，抓斗自重400N ，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥中2000N,提升速度为3m/s,污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉321d dW dW dW W ++=克服抓斗自重：dx dW 4001=克服缆绳中：()dx x dW -⋅=30502抓斗升至x 处所需时间：3x（s ）提升抓斗中的污泥：dx x dW ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=32020003()dx x x W ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-+=∴30032020003050400()J 91500=○2.设星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =上没一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方，再点O 处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力. 提示：如图.()()ds y x k yx ds y x k dF 2122222322+=++=αcos ⋅=dF dF x()ds yx x yx k 222122+⋅+=kxds =kyds dF dF y=⋅=αsin()[]()dtt t a t t a t a k F x22223cos sin 3sin cos3cos ⋅+-⋅⋅=⎰⎰⋅=2042sin cos 3πtdt t k a253ka = 同理253ka Fy=故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为2253ka F =在高中物理中还有很多例子，比如我们学过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。

高中数学第一章导数及其应用1.7第1课时定积分的简单应用学案新人教版

1.7 第一课时定积分的简单应用一、课前准备 1.课时目标1.在理解定积分的概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法．2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积.3.会用定积分解决简单的物理问题．(如变力做功、变速运动等)2.基础预探1．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图1，当f (x )>0时，⎠⎛a b f (x )dx ________0，所以S ＝ ________；(2)如图2，当f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )dx ________0，所以S ＝|⎠⎛ab f (x )dx |＝ ________；(3)如图3，当a ≤x ≤c 时，f (x )<0，⎠⎛a c f (x )dx ________0；当c ≤x ≤b 时，f (x )>0，⎠⎛cbf (x )dx________0，所以S ＝|⎠⎛a c f (x )dx |＋⎠⎛cb f (x )dx ＝ ________＋ ________.(4)如图4，在公共积分区间[a ，b ]上，当f 1(x )>f 2(x )时，曲边梯形的面积为S ＝⎠⎛ab (f 1(x )－f 2(x ))dx ＝________.2.作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即 ________________.3.如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所作的功为 ________________.二、学习引领1．关于定积分几何意义的补充定积分⎠⎛a b f (x )dx ，⎠⎛a b |f (x )|dx 与|⎠⎛ab f (x )dx |的几何意义不同，绝不能等同看待，由于被积函数f (x )在闭区间[a ，b ]上可正可负，因而它的图象可都在x 轴的上方，也可都在x轴的下方，还可以在x 轴的上下两侧，所以⎠⎛ab f (x )dx 表示x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的曲边梯形的面积的代数和；而被积函数|f (x )|是非负的，所以⎠⎛ab |f (x )|dx表示在区间[a ，b ]上以|f (x )|为曲边的曲边梯形的面积，而|⎠⎛a b f (x )dx |则是⎠⎛ab f (x )dx 的绝对值，三者的值一般是不相同的.2．利用定积分求曲线所围成平面图形面积的步骤 (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点的坐标，直线与曲线交点的横坐标是确定积分区间的关键点；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。

高中数学第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用(第1课时)课堂探究新人教A版选修2-2(

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堂探究新人教A版选修2—2探究一不分割型图形面积的求解求不分割型图形面积的一般步骤如下：同时,要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．【典型例题1】计算由曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．解：如图所示，由错误!得x1＝0,x2＝3。

从而所求图形的面积为S＝3⎰(x＋3)d x－30⎰(x2－2x＋3)d x⎰［(x＋3）－（x2－2x＋3)]d x＝3⎰(－x2＋3x)d x＝错误!30|＝错误!.＝3探究二分割型图型面积的求解由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x 运算较为复杂,可以选y 为积分变量,同时更改积分的上、下限．【典型例题2】求直线y ＝x ，y ＝2x ，以及曲线y ＝x 2所围成的平面图形的面积．思路分析：可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间,然后分段利用公式求解．解法一:作出y ＝x 2,y ＝x 及y ＝2x 的图形如图,解方程组错误!得错误!错误! 解方程组错误!得错误!错误!所以所求面积为S ＝10⎰（2x －x ）d x ＋21⎰（2x －x 2)d x ＝10⎰x d x ＋21⎰(2x －x 2)d x＝错误!x 210|＋错误!21|＝错误!.∴此平面图形的面积为错误!.解法二：若选积分变量为y ，则由图知三个函数分别为x ＝错误!，x ＝y ，x ＝错误!y 。

高中数学第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用预习案新人教A版选修2-2(2021年整

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1。

7 定积分的简单应用§1.7.1 定积分的简单应用（总第18课时）【教学目标】1．知识与技能会用定积分及其几何意义求平面几何封闭图形的面积.2．过程与方法体会应用定积分解决封闭平面图形的面积的方法。

3．情感、态度、价值观学生在求面积的过程中体会定积分的价值，激发学生以极大热情学好定积分．【预习任务】阅读教材P 56-—57例1和例2,完成:1.求曲线所围成的平面图形面积时为什么要先画图？2。

写出求曲线所围成平面图形面积时的计算步骤.3.利用定积分求曲线所围成平面图形面积时，体现了什么数学思想？4.例2还有其它解法，请至少再写出一种解法.5.合作探究：设函数f(x)为偶函数,则⎰-=adx x f a )(__________。

设函数f （x ）为奇函数，则⎰-=adx x f a )(__________. 类比上述结论，请写出推广到一般的具有轴对称函数与中心对称函数的一个结论【自主检测】求下列曲线所围成的图形的面积（1)y=x 2,y=2x+3 (2)y=ex ，y=e,x=0【组内互检】求曲线所围成平面图形面积时的计算步骤§1。

高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的简单应用教案新人教A版选修2_

§1.7.1定积分在几何中的简单应用教学目标：1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；教学重点：应用定积分解决平面图形的面积；教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数．教学过程设计（一）、复习引入，激发兴趣。

【教师引入】展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？ (二)、探究新知，揭示概念【热身训练】练习１．计算dx x ⎰--2224 ２．计算 ⎰-22sin ππdx x【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.22222214⨯=-⎰-πdx x0sin =⎰-ππdx x图2（三）、分析归纳，抽象概括探究由曲线所围平面图形的面积解答思路（四）、知识应用，深化理解例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：201y x x y x⎧=⎪==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），曲边形面积 A=A 1-A 21)(2y f面积S=120x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线y =4y x =-与 x 轴的交点．解：作出直线4y x =-，曲线y 1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组4y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线y =8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2844[(4)]x dx =+--⎰⎰⎰33482822044140||(4)|3323x x x =+-=.由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．课堂练习如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h ，宽为常数b ．求证：抛物线拱的面积bh s 32（五）、归纳小结、布置作业解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标． 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y 型积分变量时，要把函数变形成用y 表示x 的函数）4．确定被积函数和积分区间． 5．计算定积分，求出面积. 布置作业：b。

高中数学第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用(

高中数学第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用（第1课时）预习导航新人教A 版选修2-21．利用定积分求曲边多边形的面积(1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数及积分的上、下限．(2)若一平面图形是由y ＝f 1(x )，y ＝f 2(x )及x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成，并且在[a ，b ]上f 1(x )≤f 2(x )，则该平面图形的面积S ＝b a⎰[f 2(x )－f 1(x )]d x .2．曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系 (1)如图①，阴影部分的面积为S ＝0a-⎰g (x )d x ＋a ⎰f (x )d x ＝a ⎰[f (x )－g (x )]d x .(2)如图②，阴影部分的面积为S ＝b⎰[f (x )－g (x )]d x ＋a b⎰[f (x )－c (x )]d x .所以，曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示的函数的差的定积分．思考1如图，当x ∈[a ，b ]时，f (x )＜0，则f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？提示：因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以S ＝ba⎰(0－f (x ))d x ＝b a-⎰f (x )d x .3．常见平面图形的面积计算(1)求由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成平面图形的面积S .图①中，f (x )＞0，b a ⎰f (x )d x ＞0，因此面积S ＝b a⎰f (x )d x ；图②中，f (x )＜0，b a⎰f (x )d x ＜0，因此面积S ＝()|d |b af x x ⎰＝b a -⎰f (x )d x ；⎰|f(x)|d x 图③中，当a≤x≤c时，f(x)＜0，c≤x≤b时，f(x)＞0，因此面积S＝ba⎰[－f(x)]d x＋b c⎰f(x)d x.＝ca(2)求由两条曲线f(x)和g(x)，直线x＝a，x＝b(a＜b)所围成平面图形的面积S.⎰[f(x)－g(x)]d x；图④中，f(x)＞g(x)＞0，面积S＝ba⎰f(x)d x＋b a⎰|g(x)|d x＝b a⎰[f(x)－g(x)]d x.图⑤中，f(x)＞0，g(x)＜0，面积S＝ba思考2求曲边多边形的面积的步骤有哪些？提示：(1)画出图形，确定图形范围．即借助几何知识将所求图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题．(2)确定积分上、下限．即通过解方程组求出交点的横坐标，确定积分上、下限．(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置．(4)写出平面图形面积的定积分表达式，运用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积．。

高中数学第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用同步练习(含解析)新人教A版选修22

1.7定积分的简单应用1.由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.⎠⎛02(x 2－1)d x B ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案：C解析：解答: y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 分析：函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰2.曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9答案：B解析：解答: 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2(2x 2－14x 4)20＝8，故选B.分析：求解两个函数围成的面积先求它们的交点确定积分的上下限，在进行积分 3. 一物体以速度v ＝(3t 2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( ) A ． 31m B ．36m C ．38m D ．40m答案：B解析：解答: S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t)dt ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B. 分析：位移是对速度的积分，速度是位移的导数4. 一物体在力F(x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F(x )所做的功为( ) A ．8J B ．10J C ．12J D ．14J答案：C解析：解答: 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )31＝14(J)，故应选D分析：机械功是力对路程的积分，考查定积分在物理学上的应用5. 若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t ，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B ．3－32 2 C ．6＋3 2 D ．6－3 2答案：D 解析：解答: ⎠⎛3636t dt ＝6t63＝6－32，故应选D.分析：产量的变化率是产量的导数，故产量是对产量变化率的积分 6.如图所示，阴影部分的面积为( )A.ba ⎰f(x )d x B.ba ⎰g(x )d x C.ba ⎰[f(x )-g(x )]d x D.ba⎰[g(x )-f(x )]d x答案：C解析：解答:由题图易知，当x ∈[a ，b]时，f(x )>g(x )，所以阴影部分的面积为ba⎰[f(x )-g(x )]d x .分析：注意在这里式ba⎰[f(x )-g (x )]d x .中要保证 f(x )>g(x )对于任意x ∈[a ，b]恒成立7. 直线x =-1，x =1，y=0与曲线y=sin x 所围成的平面图形的面积表示为( ) A.11-⎰sin x d x B.10⎰sin x d x C.1-⎰2sin x d xD.1⎰2sin x d x答案：D解析：解答:选D.由于y=sin x ，x ∈[-1，1]为奇函数，当x ∈[-1，0]时，sin x ≤0；当x ∈(0，1]时，sin x >0.由定积分的几何意义，直线x =-1，x =1，y=0与曲线y=sin x 所围成的平面图形的面积为11-⎰|sin x |d x =1⎰2sin x d x .分析：定积分满足可加性，定积分也满足奇偶性 8. 由y=1x，x =1，x =2，y=0所围成的平面图形的面积为( ) A.ln2 B.ln2-1 C.1+ln2D.2ln2答案：A解析：解答: 选A.画出曲线y=1x(x >0)及直线x =1，x =2，y=0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积.所以S=21⎰1xd x =ln x 21=ln2-ln1=ln2分析：简单题，考查定积分在求解面积中的应用9.已知a=(sin x ，cos x )，b=(cos x ，sin x )，f(x )=a ·b ，则直线x =0，x =34π，y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为( )A.12C.32答案：C解析：解答: 选C.由a=(sin x ，cos x )，b=(cos x ，sin x )，得f(x )=a ·b=2sin x cos x =sin2x ，当x ∈[0,]2π时，sin2x ≥0；当x ∈3(,]24ππ时，sin2x <0. 由定积分的几何意义，直线x =0，x =34π，y=0以及曲线y=f(x )围成平面图形的面积为 20π⎰sin2x d x -342ππ⎰sin2x d x=-12cos2x |20π+12cos2x |342ππ=1+12=32. 分析：求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积. 10.若两曲线y=x 2与y=c x 3(c>0)围成图形的面积是23，则c 等于( ) A.13B.12C.1D.23答案：B解析：解答: 选B.由23y x y cx⎧=⎨=⎩得交点(0，0)，211(,)c c ，则S=1c ⎰(x 2-c x 3)d x=3411()340c x x c -=23，c=12. 分析：解答此题时往往误认为积分上限是1，积分区间错误的确定为[0，1].确定积分区间必须通过解曲线交点确定11.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是()A.ca⎰f(x )d xB. ca⎰f(x )d x | C.b a⎰f(x )d x +cb ⎰f(x )d x D.cb ⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x答案：D 解析：解答: s=()||cbf x dx ⎰=cb⎰f(x )d x -ba⎰f(x )d x ,故选D分析：函数f(x )与x =a,x =b,y=0所围成的封闭图形的面积为|()|baf x dx ⎰12. ⎠⎛01(x 2＋2)d x ＝( )A.72 B.73 C ．2 D ．1答案：B解析：解答:123011(2)203x dx x x +=+⎰＝73.分析：定积分的求解运用到微积分基本定理。

高中数学第1章导数及其应用171定积分在几何中的应用课件新人教A版选修20

D.[0,2]
答案：D
2．图中所表示的阴影部分的面积为( )
A.cf(x)dx a
B.bf(x)dx＋cf(x)dx
a
b
C.bf(x)dx－cf(x)dx
a
b
D.b|f(x)|dx＋cf(x)dx
a
b
答案：D
3．(2019·佛山三中高二段考)直线 x＝－1，x＝1，y＝0 与偶
函数 y＝f(x)的图象围成平面图形的面积表示为
(2019·哈尔滨师大附中高二月考)从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M 取自阴影部分的概率为________．
解析：阴影部分的面积为 S 阴影＝103x2dx＝x310 ＝1，所以点
M 取自阴影部分的概率为 P＝SS长阴方影形＝3×1 1. 答案：13
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休睛，
①1
f(x)dx；②1
f(|x|)dx；③1
|f(x)|dx；④12|f(x)|dx.
-1
-1
-1
0
其中，正确表示的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D.3
解析：由于偶函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称，当 f(x)≥0
时，平面图形的面积为1 f(x)dx＝12f(x)dx；当 f(x)<0 时，平面图
3
A．1－
4 2
3
B．1－
2 2
C．1－323
D.1－
3 2
【解析】抛物线 y＝x－x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1＝0， x2＝1，所以抛物线与 x 轴所围图形的面积为 S＝
10(x－x2)dx＝x22－13x310

高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用说课稿新人教版

1.7定积分的简单应用一、教材地位、作用分析：《定积分的简单应用》选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章第七节。

本节课内容是在学生理解掌握定积分的概念，性质，定理基础之上，来应用定积分解决实际问题。

本章内容在考纲中只要求理解定义并能简单应用,但是根据近几年高考在学科整合处加大考察力度的命题的趋势，结合定积分在物理和化学反应速率中的重要应用,所以我认为本节课在教学中应该引起足够重视，值得在教学中深入研究，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值，注意到定积分在物理化学等多领域的广泛应用，使学生“形成用数学的意识”，更重要的是为学生在高等学校进一步学习奠定基础。

二、教学重点、难点分析：本节重点：应用定积分解决平面图形的面积，变速直线运动的路程和变力做功等问题；本节难点：“理解积分的思想——无限求和”，即“分割、近似代替、求和、取极限”重点的确定是根据课程标准和考试大纲的要求，更是由积分的工具性所决定；难点的确定主要是因为微积分思想不同于前面学习过的函数与方程思想、数形结合思想等基本的思想方法，在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构，要想深刻理解只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应，而这种改组和顺应要在短短几节课内完成是很难的，所以，它将成为本节的难点所在。

难点的突破我一方面是借助于多媒体计算机的使用，使用直观演示，数据的无穷逼近让学生从感性上去直观感受；另一方面借助于学科之间的融合，借助于学生对于物理中变速运动和变力做功这些有知识的理解来帮助体会积分思想。

三、教学目标分析：1、知识与技能目标：（1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题；（2）学会将实际问题化归为定积分的问题。

2、过程与方法目标：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。

3、情感态度与价值观目标：（1）认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点；（2）培养将数学知识应用于生活的意识。

高中数学第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用

高中数学第一章导数及其应用 1.7 定积分的简单应用教材习题点拨新人教A 版选修2-2教材问题解答 (思考)本题还有其他解法吗？如果有，请写出你的解法，并比较一下这些解法．答：解法一：所求阴影部分的面积为38828244140(4)d (4)323x x x x x --=--=⎰⎰. 解法二：以y 为积分变量所求面积为∫40(4＋y )d y －∫40y 22d y＝⎝⎛⎭⎪⎫4y ＋y 22|40－16y 3|40＝403. 练习1解：(1)323；(2)1.练习21．解：s ＝∫53(2t ＋3)d t ＝(t 2＋3t )|53＝22(m)．2．解：W ＝∫40(3x ＋4)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x |40＝40(J)．习题1.7A 组1．解：(1)2；(2)92.2．解：W ＝∫ba k q r2d r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－k q r |ba ＝k q a －k q b.3．解：令v (t )＝0，即40－10t ＝0，解得t ＝4.即第4 s 时物体达到最大高度．最大高度为h ＝∫40(40－10t )d t ＝(40t －5t 2)|40＝80(m)．4．解：设t s 后两物体相遇，则∫t 0(3t 2＋1)d t ＝∫t010t d t ＋5，解之，得t ＝5.即A ，B 两物体5 s 后相遇．此时，物体A 离出发地的距离为∫50(3t 2＋1)d t ＝(t 3＋t )|50＝130(m)．5．解：由F ＝kl ，得10＝0.01 k ．解之，得k ＝1 000.所做的功为W ＝∫0.10 1 000l d l ＝5 00l 2|0.10＝5(J)．6．解：(1)令v (t )＝5－t ＋551＋t＝0，解之，得t ＝10. 因此，火车经过10 s 后完全停止．(2)s ＝∫100⎝⎛⎭⎪⎫5－t ＋551＋t d t ＝[5t －12t 2＋55ln(1＋t )]|100＝55ln 11(m)． B 组1．解：(1)∫a －a a 2－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝a 2与x 轴所围成的上半圆的面积，因此∫a －aa 2－x 2d x ＝πa22.(2)∫10(1－x －12－x )d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝x 所围成的图形(如图所示)的面积，因此∫10(1－x －12－x )d x ＝π×124－12×1×1＝π4－12.2．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为y ＝ax 2，则h ＝a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，所以a ＝4h b 2.从而抛物线的方程为y ＝4h b2x 2.于是，抛物线的拱形面积23220224422d 233b bh h S h x x hx x bh b b ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 3．解：如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2，y ＝3x得曲线y ＝x 2＋2与曲线y ＝3x 交点的横坐标x 1＝1，x 2＝2.于是所求面积为∫10[(x 2＋2)－3x ]d x －∫21[3x －(x 2＋2)]d x ＝23.4．证明：W ＝∫R ＋hR G Mm r 2d r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－G Mm r |R ＋hR ＝GMmhR R ＋h.。

高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用(第1课时)预习导航新人教A版选修2_2【含答案】

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