备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题02 充分条件与必要条件

专题02 充分条件与必要条件【热点聚焦与扩展】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围． 1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒， （2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。

所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系(1)定义法：若 ,p q q p ⇒≠> ，则p 是q 的充分而不必要条件；若,p q q p ≠>⇒ ，则p 是q 的必要而不充分条件；若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充要条件； 若,p q q p ≠>≠> ，则p 是q 的既不充分也不必要条件。

(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件. 4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【经典例题】例1【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足 ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A.例2【2019届山东省天成大联考高三第二次考试】已知，，，，则是（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D例3【2019届江西省高三监测】已知命题p ： 2230x x +->；命题q ： 01x ax a ->--，且q ⌝的一个必要不充分条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ） A. []3,0- B. ][(),30,-∞-⋃+∞ C. ()3,0- D. ()(),30,-∞-⋃+∞ 【答案】A【解析】x 2＋2x －3>0，得x<－3或x>1，故⌝p ：－3≤x≤1；命题q ： 1,x a x a >+<或，故⌝q ： 1a x a ≤≤+。

由⌝q 的一个必要不充分条件是⌝p ，可知⌝q 是⌝p 的充分不必要条件，故3;{ 11a a ≥-+≤得30a -≤≤.故选A.例4【2019届东北三省三校高三第二次模拟】设，则使成立的必要不充分条件是（ ）A. B.C.D.【答案】B例5【2019届河北省保定市高三第一次模拟】已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-，则0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】向量a 与b 夹角为锐角充要条件为0a b >且向量a 与b 不共线，即()240,:2:2401x x x x x x x x ->≠-∴><≠-或，且，故0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的必要不充分条件，选B.例6. “b ≤y x b =+与圆221x y +=有公共点”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】b b ⇔≤≤将直线方程代入圆的方程,化简得222210x bx b ++-=,判别式()224810b b ∆=--≥,解得b ≤≤故为充分必要条件,选C.例7【2019届天津市十二重点中学高三联考一】设条件p ：函数()()23log 2f x x x =-在(),a +∞上单调递增，条件q ：存在x R ∈使得不等式2121x x a ++-≤成立，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】条件p ：函数()()23log 2f x x x =-在(),a +∞上单调递增，则2a ≥；条件q ：存在x R ∈使得不等式2121x x a ++-≤成立，则()min 21212a x x ≥++-=，则p 是q 的充要条件.故选C.例8【2019届四川省棠湖中学高三3月月考】“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“22log log a b >”的A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >．当a b >时， 22log log a b >不一定成立；反之，当22log log a b >时，必有0a b >>．∴“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“22log log a b >”的必要不充分条件．选C ．例9【2019届北京市西城区156中学高三上学期期中】设，，是两个不同的平面，则“”是“”的（ ）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】A例10.已知{{}2|5,|A x x B x x ax x a =-≥=-≤-，当“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则a 的取值范围是__________ 【答案】()3,a ∈+∞【解析】思路：,A B 为两个不等式的解集，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集。

考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出a 的范围即可解：()()25051013521x x x x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⇒-≥⇒≤≤⎨⎪-≥-⎪⎩[]1,3A ∴=()2210x ax x a x a x a -≤-⇒-++≤()()10x x a ∴--≤由A 是B 的真子集可得：3a >【名师点睛】：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：p 是q 的充分不必要条件⇔p 对应集合P 是q 对应集合的真子集.2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况.例如在本题中，若先处理B ，则解不等式面临着分类讨论的问题.但先处理A 之后，结合数轴会发现何种情况符合，省去了无谓的讨论.【精选精练】1．【2019届河南省濮阳市高三二模】对于实数，，“”是“方程对应的曲线是椭圆”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A2．【2019届河北省衡水中学高三十五模】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，“1009a ， 1010a 是方程43220x x -⋅+=的两根”是“20181009S =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】∵1009a ， 1010a 是方程43220x x -⋅+=的两根∴10091010222a a⨯=，∴1009a +10101a =∴()()120181009101020182018100910092a S a a +⨯==+=∴充分性具备； 反之，不一定成立.∴“1009a ， 1010a 是方程43220x x -⋅+=的两根”是“20181009S =”的充分不必要条件 故选：A.3．【2019届上海市黄浦区高三4月模拟（二模）】在空间中，“直线 平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件 【答案】A4．【2019届上海市杨浦区高三二模】已知22110a b +≠， 22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 【答案】B【解析】22110a b +≠， 22220a b +≠，则“11220a b a b =”化为12210a b a b -=，即1212a ab b -=-直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”可推出：1212a a b b -=-， 1212c c b b -≠- 22110a b ∴+≠， 22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的必要不充分条件故选B5．【2019届重庆市高三4月二诊】“1cos22α=”是“()6k k Z παπ=+∈”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】 由1cos22α=，可得223k παπ=+或22,3k k Z παπ=-+∈， 即6k παπ=+或,6k k Z παπ=-+∈，所以1cos22α=是,6k k Z παπ=+∈成立的必要不充分条件，故选B ． 6．【2019届吉林省四平市高三质量检测】"1"a =是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A7．【2019届北京东城五中2019学年高三上期中】已知向量a 、b 为非零向量，则“0a b ⋅>”是“a 、b 的夹角为锐角”的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】∵0a b ⋅>等价于a ， b 的夹角是锐角或0︒，∴“ 0a b ⋅>”是“a ， b 的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.8．【2019届江西省上饶市高三下学期二模】“3a =-”是“直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直可得， ()210a a a ++=，解得0a =或3-，所以“3a =-”是“直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直”的充分不必要条件，故选A.9．【2019届山东省聊城市高三一模】设等比数列{}n a 的各项均为正数，其n 前项和为n S ，则“1921202S S S +>”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C10．【2019届河南省八市学评高三下学期第一次】设等差数列{}n a 的首项1a 大于0，公差为d ,则“0d <”是“{}14n a a 为递减数列”的( ) A. 充要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】 由题意10a >，当0d <时， ()11111144414n n n na a a a a a d a a ++-==<，所以11144n n a a a a+>，即数列{}14n a a 为递减数列；若数列{}14na a 为递减数列，则()11111144414n n n na a a a a a da a ++-==<，因为10a >，所以0d <，所以0d <是数列{}14n a a 为递减数列的充要条件，故选A ．11．设命题:p 实数m 使曲线222426120x y x y m m +---++=表示一个圆；命题:q 实数m 使曲线221x y m m a-=-表示双曲线.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围. 【答案】(]0,7∴ 7a ≤， ∴ 07a <≤故实数a 的取值范围(]0,7 .12．已知命题p ： {11}A x a x a =-<<+，命题q ： {}2430B x x x =-+≥. （1）若,A B A B R ⋂=∅⋃=，求实数a 的值； （2）若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2;(2) 实数a 的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）.【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合B 化简后，由,A B A B R ⋂=∅⋃=，借助于数轴列方程组可解a 的值；（2）把p 是q 的充分条件转化为集合A 和集合B 之间的包含关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a 的取值范围.。