经典：人教A版必修2【数学】2.1.1《平面的基本性质1》课件(新人教A版必修2)

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高中数学人教A版必修课件：平面

②判断点在直线上．
高中数学人教A版必修2课件：2.1.1平面(共2 2张PPT )
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随堂练习
1.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
B A
l
（1）
al
P
b
（2）
解：在（1）中， l,a A,a B.
平面公理文字语言
存在性
基本性质2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平
面．作用？
图形语言
确定平面的主要依据．
B
唯一性
A C
符号语言
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．
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D A
C B
为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线画出来．
D
FC
A
E
B
被遮挡部分用虚线表示
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平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．
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文字语言
平面公理
基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
作用？
判定直线是否在平面内．
图形语言
符号语言
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人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件4：8.6.3 平面与平面垂直(二)

【规律方法】
(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种
关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：
判定定理
判定定理
线线垂直线面垂直定义线面垂直性质定理面面垂直
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，
解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合
(1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边的中点，则能否在棱上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD？并证明你的结论．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，如图．
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB⊂平面 PGB，∴AD⊥PB.
(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明如下：在△PBC 中，FE∥PB，在菱形 ABCD 中，GB∥DE. 又 FE⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E， PB⊂平面 PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B， ∴平面 DEF∥平面 PGB. 由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
答案 (1)C (2)5
【题型探究】
题型一面面垂直性质的应用例 1 如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°且边长为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.
(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB.

高中数学 2.1.1 平面课件新人教A版必修2

第三十页，共55页。
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3

高中数学人教a版必修二课件：2.1.1《平面》

几何里所说的“平面” 就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
平面的两个特征：
①无限延展
②平的（没有厚度）
2.平面的画法
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
D
C 通常把表示平面的平行四
A
边形的锐角画成45o,长边
B
是短边的二倍.
注意：在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可
的直线与面平行、有些棱所在的直线与
面相交的；每条棱所在的直线都可以看
成是某个平面内的直线等等。 3.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？这
是本节我们要讨论的问题，为此，我们先来学习平面。
正方体的面、黑板面、课桌面以及海平面，都给我们以平面的感觉，数学中的平面怎样定义？
平面
1.平面的概念课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
先确定这三条直线中哪一是两个平面的交线，另外两条直线分别在这两个平面内，再证明这两条直线相交于一点，由公理3判断这个交点在公共交线上，即三线共点.
课后练习课后习题
说明：公理1是判定直线在平面内的依据
生活中经常看到用三角架支撑照相机和停放地自行车
动画演示公理2
http://../edu/ppt/ppt_pla yVideo.action?mediaVo .resId=55d2910daf508f0 099b1c6cb
B
A
C
公理2. 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
数学语言：A,B,C三点不共线，则 A,B,C确定一个平面。
B
A
C
说明：公理2是确定平面的条件。
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在
平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么

2.1.1《平面》课件(新人教A版必修2).ppt

如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在平面α内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
平面公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内．
在生产、生活中，人
们经过长期观察与实践，
l
A B
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二〇年八月五日2020年8月5 日星期三
公理 2 . A , B , C 不共线 A , B , C 确定一平面
公理 3 .P ,P , l P l
思考:
①一条直线与一个平面会有几种位置关系 ②如图所示，两个平面、,若相交于一点, 则会发生什么现象.
知识小结
实例引入平面
平面的画法和表示
点和平面的位置关系
平面公理
生活中经常看到用三角架支撑照相机．
平面公理
存在性
公理2 平面．
过不在一条直线上的三点，有且只有一个
B
A C

人教A版高中数学必修二课件《平面向量基本定理及坐标表示》平面向量及其应用(平面向量基本定理)

线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
B.12(a＋b)
C.12(b－a)
D.12b＋a
解析：选 B.如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段
BC 的中点，从而B→D＝D→C，即A→D－A→B＝A→C－A→D，
从而A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(a＋b)．
平面向量基本定理的理解设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1； ④e1＋e2 与 e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
B.23a＋13b
C.35a＋45b
Hale Waihona Puke D.45a＋35b解析：选 B.因为B→D＝12D→A，C→B＝a，C→A＝b，所以C→D＝a＋B→D
＝a＋13B→A＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.
2．如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分别是 AD， BC 边上的中点，且 BC＝3AD，B→A＝a，B→C＝b.试以{a，b}为基底表示E→F，D→F.
法二：设A→B＝x，B→C＝y，则A→D＝B→C＝y，又AA→ →BD＋－BA→→CB＝＝AB→→CD，，所以yx－＋xy＝＝ba，，解得 x＝12a－12b，y＝12a＋12b，即A→B＝12a－12b，B→C＝12a＋12b.

新人教A版高中数学第二册(必修2)课件：8.4.1 平面

答案 B
[微思考] 1.几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
提示没有.平行四边形. 2.一个平面把空间分成了几部分？
提示两部分. 3.基本事实1有什么作用？
提示 ①确定平面的依据；②判定点线共面. 4.基本事实2有什么作用？
提示 ①确定直线在平面内的依据；②判定点在平面内. 5.基本事实3有什么作用？
点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只有推论2
一个平面经过两条平行直线，有且只有推论3 一个平面
图形
作用定平面的依据
[微判断]
拓展深化
1.一个平面的面积是16 cm2.( × ) 2.直线l与平面α有且只有两个公共点.( × ) 3.四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.( × ) 4.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.( × ) 5.空间不同三点确定一个平面.( × )
证明如图所示.由已知a∥b，
所以过a，b有且只有一个平面α. 设a∩l＝A，b∩l＝B， ∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l， ∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面.
规律方法在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
2.如图表示两个相交平面，其中画法正确的是( ) 答案 D
3.已知点A，直线a，平面α.
①若A∈a，a⊄α，则A∉α；
②若A∈α，a⊂α，则A∈a；
③若A∉a，a⊂α，则A∉α；
④若A∈a，a⊂α，则A∈α.
以上说法中，表达正确的个数是( )

高一数学人教A版必修2课件：2.1.1平面教学课件

定一个平面，设为α.
因为 l∩a ＝ A ， l∩b ＝ B ，所以 A∈a ， B∈b ，则 A∈α ， B∈α. 又因为 A∈l ， B∈l，所以由公理1可知l⊂α. 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2知：经过两条
“∈”或“∉”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用 “⊂”或“⊄”表示．
3．公理1
文字语言如果一条直线上的________ 两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
图形语言
l⊂α 符号语言 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒_______
判断点在平面内作用判断直线在平面内用直线检验平面
记法
用三角形、圆或其他平面图形表示平面．
2．点、线、面的位置关系的表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外符号语言图形语言
A∈l ____________ A∉l ____________ A∈α ____________ A∉α ____________
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C， ∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线．
命题方向3 ⇨点线共面问题
求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面. 导学号 09024243
[解析] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a、b、c和l共面．证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确

高一数学人教A版必修2 第二章 2.2.1、2直线与平面平行、平面与平面平行的判定课件

(1)直线EG∥平面BDD1B1；
证明如图，连接SB.
∵点E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
证明
(2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明连接SD. ∵点F，G分别是DC，SC的中点， ∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1.
证明
反思与感悟解决线面平行与面面平行的综合问题的策略 (1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的. (2) 线线平行 ―判――定―→ 线面平行 ―判――定―→ 面面平行
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.
第二章 §2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.2 平面与平面平行的判定
学习目标
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理. 2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
问题导学
知识点平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案平行.
证明
Байду номын сангаас
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
解答
引申探究将本例改为在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CM. 证明如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点. 又因为M是AB的中点，连接MF，所以BC1∥MF. 因为MF⊂平面A1CM，BC1⊄平面A1CM，所以BC1∥平面A1CM.

人教A版必修2第二章2.1.1《平面》精选题高频考点(含答案)-2

人教A 版必修2第二章2.1.1《平面》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( )A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上2．如图，在空间四边形ABCD 中，点EH 分别是边,AB AD 的中点，F G ，分别是边,BC CD 上的点，23CF CG CB CD ==，则（）A ．EF 与GH 互相平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A ．1条或2条 B ．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条4．下列命题中正确的个数为（）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线.②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于、、A B C 三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.A ．0B ．1C ．2D ．35．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是1DD 和AB 的中点，平面1B EF 交棱AD 于点P ，则=PE （）A ．6B ．3C ．2D ．6 6．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（）A ．①B ．①④C ．②③D ．③④ 7．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件8．平面αI 平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，C l ∉，有AB l R ⋂=，过A ，B ，C 确定的平面记为γ，则βγ⋂是（）． A ．直线AC B ．直线BC C ．直线CR D ．以上都不对 9．如图所示，1111ABCD A B C D -是长方体，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，给出下列结论：①A ，M ，O 三点共线；②A ，M ，O ，1A 不共面；③A ，M ，O ，C 共面；④B ，1B ，M ，O 共面.其中正确结论的序号为（）A ．①④B ．③④C ．①③D ．②④ 10．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥C ．233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 11．已知空间不共面的四点A ，B ，C ，D ，则到这四点距离相等的平面有（）个．A ．4B ．6C ．7D ．512．下列说法错误的是（）A ．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点B ．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C ．经过两条相交直线，有且只有一个平面D ．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合13．下列结论正确的个数为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．14．下列各图均是正六棱柱，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 ( )A ．B ．C ．D ． 15．以下说法正确的有几个（）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 16．已知二面角l αβ--为60︒，动点,P Q 分别在平面α，β内，点P 到β的距离Q 到α的距离为,P Q 点之间距离的最小值为（）．A B ．2 C ．D ．417．在空间中，可以确定一个平面的条件是（）A ．一条直线B ．不共线的三个点C ．任意的三个点D ．两条直线18．下列命题正确的是 ( )A ．四边形确定一个平面B ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C ．经过三点确定一个平面D ．经过一条直线和一个点确定一个平面19．设,αβ表示两个平面，l 表示直线，,,A B C 表示三个不同的点，给出下列命题： ①若,,,A l A B l B αα∈∈∈∈，则l α⊂；②,αβ不重合，若,,,A A B B αβαβ∈∈∈∈，则AB αβ=I ；③若,l A l α⊂∈，则A αÏ；④若,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线，则α与β重合.其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．420．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（） A ．三点确定一平面B ．不共线三点确定一平面C ．两条相交直线确定一平面D ．两条平行直线确定一平面二、填空题21．两两相交的三条直线可确定______个平面.22．有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l 在平面α内，可以用符号“l ∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交.其中真命题的序号是________.23．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列说法正确的是____ (填序号).(1)直线AC 1在平面CC 1B 1B 内．(2)设正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心分别为O 、O 1，则平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1.(3)由A 、C 1、B 1确定的平面是ADC 1B 1.(4)由A 、C 1、B 1确定的平面与由A 、C 1、D 确定的平面是同一个平面．24．如图所示的正方体中，P ，Q ，M ，N 分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________（把正确图形的序号都填上）.25．a ，b ，c 是三条直线，α，β是两个平面，如果a ∥b ∥c ，a ⊂α，b ⊂β，c ⊂β，那么平面α与平面β的位置关系是______________ .26．已知α、β是不同的平面，l 、m 、n 是不同的直线，P 为空间中一点．若α∩β＝l ，m ⊂α、n ⊂β、m ∩n ＝P ，则点P 与直线l 的位置关系用符号表示为___.27．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱中，既与AB 共面，又与CC 1共面的棱有____条.28．AB ，AD ⊂α，CB ，CD ⊂β，E ∈AB ，F ∈BC ，G ∈CD ，H ∈DA ，若直线EH 与FG 相交于点P ，则点P 必在直线________上.29．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．30．如图所示，G ，H ，M ，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有_________ （填上所有正确答案的序号）．31．设平面α与平面β相交于直线l ，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ∩b ＝M ，则点M 与l 的位置关系为________．32．用一个平面去截一个正方体，截面可能是________．①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．33．不共面的四点可以确定________个平面．34．如图，矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，E 为CD 边的中点，点,P Q 为BC 边上两个动点，且2PQ =，当四边形APQE 的周长最小时，BP =__________．35．空间不共线的四点，可能确定___________个平面．36．过两两相交的三条直线中的每两条直线作一个平面，这样可作平面的个数是________．37．如图，正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 、P 、Q 、R 、S 分别是AB 、BC 、11C D 、1C C 、11A B 、1BB 的中点，则下列判断：（1）PQ 与RS 共面；（2）MN 与RS 共面；（3）PQ 与MN 共面；则正确的结论是＿＿＿＿＿38．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1为棱长为1，动点P ，Q 分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP =x,CQ =y ，其中x ，y ∈[0，1]，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）________.①当x =0时，S 为矩形，其面积最大为1；②当x =y =12时，S 为等腰梯形； ③当x =12，y =34时，S 为六边形； ④当x =12，y ∈(12，1)时，设S 与棱C 1D 1的交点为R ，则RD 1=2−1y .39．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1为棱长为1，动点P ，Q 分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP =x,CQ =y ，其中x ，y ∈[0，1]，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）____________.①当x =0时，S 为矩形，其面积最大为1；②当x =y =12时，S 为等腰梯形； ③当x =12，y ∈(12，1)时，设S 与棱C 1D 1的交点为R ，则RD 1=2−1y ； ④当y =1时，以B 1为顶点，S 为底面的棱锥的体积为定值13.40．在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有 .三、解答题41．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，画出过D 1、C 、E 的平面与平面ABB 1A 1的交线，并说明理由.42．空间四边形ABCD ，E ，F 点分别是AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD 和AD 上，且满足2CG AH GD HD==．（1）证明：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）证明：EH ，FG ，BD 三线共点.43．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．（1）1AA 与1CC 是否在同一平面内？（2）点B ，1C ，D 是否在同一平面内？（3）画出平面1AC 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线． 44．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设线段A 1C 与平面ABC 1D 1交于点Q ，求证：B ，Q ，D 1三点共线．45．如图所示，在边长为a 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为棱111,,,CC BC AB D C 的中点.（1）求证：点,,,E F G H 四点共面；（2）求三棱锥11B A C D -的体积．46．已知两个非零向量12,e e u r u u r 不共线，如果12AB e e =+u u u r u r u u r ，1228AC e e =+u u u r u r u u r ，1233AD e e =-u u u r u r u u r ，求证：,,,A B C D 共面.47．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PH 1HC 2=，点G 在AH 上，且AG AH=m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值.48．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.（1）画出直线l的位置；（2）设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．49．已知：正方体ABCD－A1B1C1D1，如图，（Ⅰ）若E、F为AA1、CC1的中点，画出过D1、E、F的截面；（Ⅱ）若M、N、P为A1B1、BB1、B1C1上的点（均不与B1重合），求证：△MNP是锐角三角形．50．已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：(1)D，B，E，F四点共面.(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.参考答案1．A2．D3．D4．C5．D6．B7．A8．C9．C10．B11．C12．A13．A14．D15．B16．C17．B18．B19．C20．B21．1或322．①③23．(2)(3)(4)24．①③25．平行或相交26．P∈l.27．528．BD29．030．(2)(4)31．M∈l32．①②③④33．434．435．1或436．1或337．（1）（3）38．②③④39．②③④40．841．详见解析.42．（1）见解析；（2）见解析.43．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 44．证明见解析45．（1）见解析；（2）33 a.46．证明见解析．47．3 448．(1)证明见解析；(2) 34 a.49．(1)画图见解析.(2)证明见解析. 50．详见解析。

高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系新人教A版必修2

符号表示：P ∈α ∩β α ∩β = l，且 P ∈l。
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据。
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例1、用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
解：左边的图中， α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。右边的图中， α∩β＝l，a α，b β， a∩l=P，b∩l=P。
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新疆王新敞
奎屯
求证： P 在直线 BD 上新疆王新敞奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
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证明：∵ EH FG P ，∴ PEH ， P FG ， ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD ， ∴ EH 平面 ABD，∴ P 平面 ABD，同理： P 平面 CBD ，又∵平面 ABD 平面 CBD BD ，
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用
几何语言．（平面α外的直线 a）表示 a （平面α外的直线 a）表示 a 或 a A．
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问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？直线l不一定在平面α内。
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
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2．①一条直线与一个平面会有几种位置关系
．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，
有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图
所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？
（5）
直线在平面内
aα
直线与平面相交

人教A版必修二第2章 2.1 2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

判断直线与平面的位置关系
例 1：两条相交直线 a、b 都在平面α内且都不在平面β内， ) 且平面α与β相交，则 a 和 b( A．一定与平面β都相交 B．至少一条与平面β相交 C．至多一条与平面β相交 D．可能与平面β都不相交思维突破：设α∩β＝c，∵若 a、b 都不与β相交，则 a∥c， b∥c，∴a∥b，这与 a、b 相交矛盾，故 a、b 中至少一条与β相交．答案：B
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解：(1)(2)是真命题，(3)(4)是假命题．
(3)会出现三点在这个平面的两侧且符合条件的情况，所以
这两个平面还可能相交． (4)会出现两个相交平面同时与另外一个平面垂直的情况，如正方体中共顶点的三个面．要判断一个命题是假命题，只需举出一个反例；而要想说明一个命题是真命题，则需理论上的证明．
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1－1.下列命题：①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α；②若直线 a 在平面α外，则 a∥α；③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为( A．1 个 B．2 个 A )
作AB⊥平面α于点B，BC⊥a1 于点C，BD⊥b1 于点D，记∠AOB
＝θ1，∠BOC＝θ2，(θ2＝25°或65°)，则有cosθ＝cosθ1· cosθ2，因为0°≤θ≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ2.
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当θ2＝25°时，由θ≤cosθ≤cos25°，得 25°≤θ≤90°. 当θ2＝65°时，由θ≤cosθ≤cos65°，得 65°≤θ≤90°. 故当θ<25°时，直线 l 不存在；
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人教A版高一数学必修2人教版精品课件第2章 2.1 2.1.1《平面》

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2．下列命题正确的是( C ) A．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内 B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内 C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内 D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点 3．下列说法中正确的是( C ) A．两个平面相交有两条交线 B．两个平面可以有且只有一个公共点 C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交线上 D．两个平面一定有公共点
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例 4：如图 5，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F 分别是 AA′、AB 上一点，且 EF∥CD′，求证：平面 EFCD′、平面 AC 与平面 AD′两两相交的交线 ED′、FC、AD 交于一点．
图5
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错因剖析：遇到此类证明多线共点问题，找不到解决问题的突破口．
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正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系．点看成是元素，线、面看成是点的集合，所以点与线、面的关系用“∈、∉”表示，线与线、线与面及面与面的关系用“⊂、⊄”表示．
1－1.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： (1)点 A 在平面α内，但不在平面β内； (2)直线 l 经过平面α外一点 P，且与平面α相交于点 M； (3)平面α与平面β相交于直线 l，且 l 经过点 P.
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第二章点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平面
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1．下列命题正确的是( C ) A．画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm B．一个平面的面积可以是 16 m2 C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分 D．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚

高中数学新人教A版必修2 第2章 2-1空间点、直线、平面的位置关系

A B
AB
B
A
作用:用于判定线在面内
小结：公理2及其推论 A,B,C不共线
A,B,C确定一平面.
A∈ a
A和a确定一平面.
aIb=Ｐ
a和b确定一平面.
ab
a和b确定一平面.
作用:用于确定一个平面.
A
B C
Aa
aＰ
b
a
b
公理3：若两个不重合平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间中基本图形：点、线、面
一、平面的表示方法
1.特点:平面是无限延展,没有厚度的.
（但常用平面的一部分表示平面）
2.画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示.
D
D
C
C
A
B
A
3.记法:
B
①平面α、平面β、平面γ（标记在边上）
②平面ABCD、平面AC或平面BD
巩固:判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打，否则打 .
CA
C (G)
A
G
E
H
DB
HE F
D
B(F)
空间两条不重合直线的位图关系有且只有三种：
若从有没有公共点的角度来看,可分为两类 :
(1) 有且仅有一个公共点相交直线
(
2)
没有公共点
平行直线异面直线
若从有没有共面的角度来看,也可分为两类:
(1)
在同一个平面内
相交直线平行直线
( 2)不同在任何一个平面内异面直线
A1
B1
(2) 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征：既不平行，也不相交
异面直线的定义：
D A

人教A版数学必修二《平面》经典课件

代表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字母表示.
如
D
C
平面
平面
A
B
平A 面BCD
平面 AC
平面 BD
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例1. 画出两个竖直放置的相交平面.
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
人教A版数学必修二2.1.1《平面》经典课件( 共41张 PPT)
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成45o.
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3. 平面的画法： (3)在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画.
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பைடு நூலகம்
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
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3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
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高一数学人教A版必修二课件：2.1.1 平面

一二三四
知识精要思考探究典题例解迁移应用
空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.1或3 答案:D
解析:两两相交不共点的三条直线,可确定一个平面;两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面;若三条直线不在一个平面内,每两条可确定一个平面,共确定3个平
一二三四
知识精要典题例解迁移应用
如图,已知△ABC在平面α外,它的三边所在的直线分别交平面α于点P,Q,R,求证:P,Q,R三点共线.
证明:∵AB∩α=P,AB⊂平面ABC, ∴P∈平面ABC,P∈α.
∴点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证,点Q和R均在这条交线上.
一二三四
知识精要典题例解迁移应用
【例2】过直线l外一点P引两条直线PA,PB和直线l分别相交于A,B两点,求证:三条直线PA,PB,l共面.
思路分析:根据条件P,A,B确定一个平面,再证直线l,PA,PB在这个平面内.
证明:如图,∵点P,A,B不共线,
∴点P,A,B确定一个平面α.
一二三四
知识精要思考探究典题例解迁移应用
一二三四
知识精要思考探究典题例解迁移应用
二、点线共面问题解决点线共面问题的基本方法
一二三四
知识精要思考探究典题例解迁移应用
怎样证明多点或多线共面? 提示:要证明多点或多线共面,首先根据确定平面的条件找到平面,再结合公理1证明其余的点或线也在这个平面内.
一二三四
知识精要思考探究典题例解迁移应用
案例探究误区警示思悟升华
易错考点:共面问题判断中的解题误区下列说法中正确的是( )
A.空间不同的三点确定一个平面 B.空间两两相交的三条直线确定一个平面 C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内